New analytical models for non-symmetric Double Cantilever Beam and End-Notched Flexure tests

<!-- metadata commented in wiki content


<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<big>'''Nuevos modelos analíticos para los ensayos de viga en doble voladizo y de flexión con entalla final no simétricos'''</big></div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
Faustino Mujika, Ainhoa Arrese, Juan de Gracia y Ana I. Boyano</div>

'''RESUMEN:''' Se explican los fundamentos de nuevos modelos analíticos basados en la energía y coenergía de deformación, para abordar analíticamente ensayos asimétricos de fractura interlaminar. Tras repasar algunos conceptos de teoría de vigas laminadas, se determina la tasa crítica de liberación de energía en función de la coenergía desde un punto de vista global, incluyendo de forma inédita la contribución de las tensiones higrotérmicas. Por otra parte, tras la determinación de la integral ''J'' en la zona cohesiva, se explican las condiciones requeridas para que los ensayos de fractura asimétricos se produzcan en modo puro en fractura elástica lineal, tomando como base las fuerzas y desplazamientos de la punta de grieta. Conociendo además dichas fuerzas y desplazamientos, se puede determinar la tasa de liberación de energía que corresponde a cada modo de fractura.
-->

'''ABSTRACT:''' The fundamentals of new analytical models based on energy and coenergy of deformation are explained to analytically address asymmetric interlaminar fracture tests. After reviewing some concepts of laminated beam theory, the energy release rate as a function of coenergy is determined from a global point of view, including in an unprecedented way the contribution of hygrothermal stresses. On the other hand, after the determination of the ''J'' integral in the cohesive zone, the conditions required for the asymmetric fracture tests to occur in pure mode in linear elastic fracture are explained, based on the forces and displacements of the crack tip. Furthermore, knowing these forces and displacements, it is possible to determine the energy release rate that corresponds to each fracture mode.

'''Keywords: '''Fractura interlaminar, Modo I, Modo II, Combinación de modos I-II

==1. Introducción==

La fractura interlaminar en materiales compuestos se analiza habitualmente mediante los ensayos de Viga en Doble Voladizo (Double Cantilever Beam, DCB) y de Flexión con Entalla Final (End Notched Flexure, ENF) en modos I y II, respectivamente. Estas mismas configuraciones se utilizan también para caracterizar uniones adhesivas, con brazos de grieta simétricos para que la fractura se produzca en modo puro. En caso de que exista asimetría geométrica o material, se puede producir combinación de modos I/II. En este trabajo, se abordan las bases de nuevos planteamientos analíticos para los ensayos asimétricos ADCB y AENF.

Además de la flexibilidad de la probeta y de la tasa crítica de liberación de energía total, se determinan las tasas de energía correspondientes a modo I y modo II, con un planteamiento local en la punta de grieta. Dicho planteamiento es equivalente a la Ténica de Cierre Virtual de Grieta (Virtual Crack Closure Technique, (VCCT), utilizado cuando el problema se aborda numéricamente con el Método de los Elementos Finitos.

==2. Planteamiento global==

Se supone un cuerpo sometido a cargas generalizadas concentradas ''F<sub>i</sub>''. El desplazamiento generalizado del punto de aplicación de dicha fuerza en su dirección es ''&#x03b4;<sub>i</sub>''. En un pequeño incremento de grieta, el trabajo realizado en un desplazamiento infinitesimal ''d&#x03b4;<sub>i</sub>'' es:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum947193'></span>  <math>dW=dU+Gwda</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (1)
|}


donde ''dW'' es el trabajo realizado por las fuerzas aplicadas; ''dU'' es el cambio de energía de deformación; ''G'' es la energía necesaria para el avance de grieta por unidad de área; ''w'' es el ancho de la grieta; y ''da'' es el avance diferencial de grieta. El trabajo diferencial realizado por las fuerzas externas ''F<sub>i</sub>'' y sus respectivos desplazamientos ''&#x03b4;<sub>i</sub>'', utilizando la convención de índices repetidos, es  <math>dW=F_id{\delta }_i</math> . Así la Ec. <span id='cite-ZEqnNum947193'></span>[[#ZEqnNum947193|(1)]] se puede escribir como:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum790703'></span>  <math>dU=F_id{\delta }_i-Gbda</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2)
|}


Asumiendo que la energía de deformación es una función de estado que depende de los desplazamientos ''&#x03b4;<sub>i</sub>'' y de la longitud de grieta ''a'':

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum518638'></span>  <math>dU={\left(\frac{dU}{d{\delta }_i}\right)}_ad{\delta }_i+</math><math>{\left(\frac{dU}{da}\right)}_{{\delta }_i}da</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (3)
|}


Identificando términos en las Ecs. <span id='cite-ZEqnNum790703'></span>[[#ZEqnNum790703|(2)]] y <span id='cite-ZEqnNum518638'></span>[[#ZEqnNum518638|(3)]] resulta:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum155024'></span>  <math>F_i={\left(\frac{dU}{d{\delta }_i}\right)}_a</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4)
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum847268'></span>  <math>G=-\frac{1}{b}{\left(\frac{dU}{da}\right)}_{{\delta }_i}</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (5)
|}


La Ec. <span id='cite-ZEqnNum155024'></span>[[#ZEqnNum155024|(4)]] es el primer teorema de Castigliano y la Ec. <span id='cite-ZEqnNum847268'></span>[[#ZEqnNum847268|(5)]] es la Tasa de Liberación de Energía de Deformación. La energía complementaria o ''coenergía'' se define como:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum898491'></span>  <math>C=U^\ast =F_i{\delta }_i-U</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (6)
|}


El nombre de ''coenergía'' se utiliza habitualmente en el caso de fuerzas magnéticas [1], pero también se ha utilizado en Mecánica [2]. En el presente estudio, se adopta para la energía de deformación complementaria en el caso mecánico, utilizando la letra ''C'' para denominarla. Desde un punto de vista termodinámico, corresponde a la energía libre de Gibbs. Derivando la Ec. <span id='cite-ZEqnNum89849'></span>[[#ZEqnNum89849|(6)]] y sustituyendo la Ec. <span id='cite-ZEqnNum790703'></span>[[#ZEqnNum790703|(2)]] resulta:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum471195'></span>  <math>dC={\delta }_idF_i+Gbda</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (7)
|}


Asumiendo que la ''coenergía'' es una función de estado de las fuerzas generalizadas ''F<sub>i</sub>'' y la longitud de grieta ''a'':

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum297805'></span>  <math>dC={\left(\frac{dC}{dF_i}\right)}_adF_i+{\left(\frac{dC}{da}\right)}_{F_i}da</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (8)
|}


Identificando términos en las Ecs. <span id='cite-ZEqnNum471195'></span>[[#ZEqnNum471195|(7)]] y <span id='cite-ZEqnNum297805'></span>[[#ZEqnNum297805|(8)]] resulta:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum911236'></span>  <math>{\delta }_i={\left(\frac{dC}{dF_i}\right)}_a</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (9)
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum458792'></span>  <math>G=\frac{1}{b}{\left(\frac{dC}{da}\right)}_{F_i}</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (10)
|}


La Ec. <span id='cite-ZEqnNum911236'></span>[[#ZEqnNum911236|(9)]] es el teorema de Engesser-Castigliano y la Ec. <span id='cite-ZEqnNum458792'></span>[[#ZEqnNum458792|(10)]] es la tasa de liberación de energía de deformación. En el presente estudio, se utiliza la coenergía para considerar las fuerzas generalizadas como variables de estado.

==3. Coenergía en vigas laminadas de sección rectangular==

===3.1. Fuerzas normales y momentos flectores===

Suponiendo un laminado de N láminas, la tensión normal en la lámina ''k'' es:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum241651'></span>  <math>{\sigma }_x^k=E_x^k\left({\epsilon }_x-e_{0x}^k\right)\Rightarrow {\sigma }_x^k=</math><math>E_k\left(\epsilon -e_{0k}\right)=E_k\left({\epsilon }_0+\right. </math><math>\left. \kappa z-e_{0k}\right)</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (11)
|}


Donde  <math>e_{0k}</math> son las tensiones higrotérmicas de la lámina ''k''. Dado que la fuerza normal ''N'' y el momento flector ''M'' son la resultante y el momento resultante de las fuerzas normales, resulta:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum273882'></span>  <math>\left\{\begin{array}{c}
N_G\\
M_G
\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
N\\
M
\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}
N_{HT}\\
M_{HT}
\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{cc}
A & B\\
B & D
\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}
{\epsilon }_0\\
\kappa 
\end{array}\right\}</math>  <math display="inline"></math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (12)
|}


Donde el subíndice ''G'' se refiere a Global y ''HT'' hace referencia a la fuerza y momento higrotérmico. Los coeficientes de rigidez son:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>\begin{array}{c}
A=b\sum_{k=1}^nE_k\left(z_k-z_{k-1}\right)\\
B=\frac{b}{2}\sum_{k=1}^nE_k\left(z_k^2-z_{k-1}^2\right)\\
D=\frac{b}{3}\sum_{k=1}^nE_k\left(z_k^3-z_{k-1}^3\right)
\end{array}</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (13)
|}


Inviertiendo la relación se obtiene:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum751127'></span>  <math>\left\{\begin{array}{c}
{\epsilon }_0\\
\kappa 
\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{cc}
c & b\\
b & d
\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}
N_G\\
M_G
\end{array}\right\}</math>  <math display="inline"></math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (14)
|}


Las tensiones normales vienen dadas por:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum906183'></span>  <math>{\sigma }_x^k=E_k\left({\epsilon }_0+z\kappa -e_{0k}\right)=</math><math>E_k\left[N_G\left(c+bz\right)+M_G\left(b+zd\right)-\right. </math><math>\left. e_{0k}\right]</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (15)
|}


===3.2. Coenergía en la viga laminada incluyendo tensiones higrotérmicas===

Suponiendo comportamiento elástico lineal, y teniendo en cuenta las deformaciones normales higrotérmicas, la coenergía por unidad de volumen viene dada por:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>C_0=\frac{1}{2}{\sigma }_x\left({\epsilon }_x+e_0\right)</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (16)
|}


Integrando en el área de la sección, la coenergía por unidad de longitud ''C<sub>1</sub>'' es:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>\begin{array}{c}
C_1=\frac{1}{2}cN_G^2+\frac{1}{2}bM_G^2+bM_GN_G-B_e\\
B_e=\frac{1}{2}b\sum_{k=1}^nE_ke_{0k}^2\left(z_k-z_{k-1}\right)
\end{array}</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (17)
|}


La coenergía debida a las tensiones cortantes es:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>C_s=\frac{1}{2}s{\int }_{L_x}V^2dx</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (18)
|}


donde ''s'' es la flexibilidad equivalente de cortadura. En el caso de un material de una única capa ortótropo es  <math>s=\frac{6}{5}{\left(G_{13}wh\right)}^{-1}</math> . La coenergía de toda la viga que corresponde a tensiones normales y cortantes es:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>C=\frac{1}{2}a{\int }_{L_x}N_G^2dx+\frac{1}{2}d{\int }_{L_x}M_G^2dx+</math><math>\frac{1}{2}s{\int }_{L_x}V^2dx+b{\int }_{L_x}N_GM_Gdx-</math><math>B_e</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (19)
|}


===3.3. Teorema de Engesser-Castigliano===

Como se ha visto en la Ed. <span id='cite-ZEqnNum911236'></span>[[#ZEqnNum911236|(9)]], según el teorema de Engesser-Castigliano, el desplazamiento generalizado ''&#x03b4;<sub>k</sub>'' del punto de aplicación de la fuerza generalizada ''F<sub>k</sub>'' es:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum945834'></span>  <math>{\delta }_k=c{\int }_{L_x}N_GN'_Gdx+d{\int }_{L_x}M_GM'_Gdx+</math><math>s{\int }_{L_x}VV{}'dx+b\left({\int }_{L_x}N'_GM_Gdx+\right. </math><math>\left. {\int }_{L_x}N_GM'_Gdx\right)</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (20)
|}


En la Ec. <span id='cite-ZEqnNum945834'></span>[[#ZEqnNum945834|(20)]], las primas indican derivadas respecto a ''F<sub>k</sub>''. Dado que las fuerzas y momentos higrotérmicos no dependen de las fuerzas aplicadas ''F<sub>k</sub>'', la Ec. <span id='cite-ZEqnNum945834'></span>[[#ZEqnNum945834|(20)]] puede escribirse como:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| [[Image:Draft_Mujika_346021501-image25.png|462px]]
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (21)
|}


===3.4. Tasa critica de liberación de energía===

Según la Ec. <span id='cite-ZEqnNum458792'></span>[[#ZEqnNum458792|(10)]], la tasa crítica de liberación de energía es:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum286087'></span>  <math>G=\frac{\partial }{\partial a}\left(\frac{1}{2}a{\int }_{L_x}N_G^2dx+\right. </math><math>\left. \frac{1}{2}d{\int }_{L_x}M_G^2dx+\frac{1}{2}s{\int }_{L_x}V^2dx+\right. </math><math>\left. b{\int }_{L_x}N_GM_Gdx-B_e\right)</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (22)
|}


En el caso de la Ec. <span id='cite-ZEqnNum286087'></span>[[#ZEqnNum286087|(22)]] es necesario tener en cuenta que los límites de integración pueden depender de la longitud de grieta, por lo que es necesario determinar la coenergía antes de derivarla respecto de ''a''. Otra alternativa, es utilizar la fórmula de Leibiniz relativa a diferenciación de integrales respecto a un parámetro.

==4. Integral J. Planteamiento local==

===4.1. Integral J en la zona cohesiva===

En este apartado se realiza una explicación de la integral ''J'' definida por Rice [3]. Se aplica a la zona cohesiva, ya que será la herramienta básica para la descomposición de modos. La zona cohesiva corresponde a la zona de dañada cercana a la punta de grieta. En fractura elástica lineal la integral ''J'' es equivalente a la tasa de liberación de energía ''G.'' Dicha integral se define como:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math display="inline">J={\int }_{\Gamma }Wdy-\overset{\rightarrow}{T}\cdot {\overset{\rightarrow}{\delta }}_{,x}ds</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (23)
|}


''W'' es la energía de deformación por unidad de volumen. &#x0393; es una curva que rodea la punta de grieta, evaluándose la integral en sentido anti horario comenzando por la zona inferior de la zona cohesiva y continuando por la zona superior, siguiendo la curva &#x0393;.  <math display="inline">\overset{\rightarrow}{T}</math> es el vector tensión definido según la normal externa a la curva &#x0393;,  <math display="inline">\overset{\rightarrow}{\delta }</math> es el vector desplazamiento y ''ds'' es un elemento de longitud de arco. De acuerdo a la Figura 1, ''dy'' = 0.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 [[Image:Draft_Mujika_346021501-image30-c.png|288px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
Figura 1. Zona cohesiva y descomposición de &#x0393; en &#x0393;<sub>I</sub> y &#x0393;<sub>II</sub></div>

Según la Figura 1:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math display="inline">\begin{array}{c}
\overset{\mbox{ˆ}}{n}=n_x\overset{\mbox{ˆ}}{i}+n_y\overset{\mbox{ˆ}}{j}\\
\overset{\rightarrow}{T}=\left({\sigma }_xn_x+{\tau }_{xy}n_y\right)\overset{\mbox{ˆ}}{i}+\left({\tau }_{xy}n_x+{\sigma }_yn_y\right)\overset{\mbox{ˆ}}{j}\\
\overset{\rightarrow}{\delta }=u\overset{\mbox{ˆ}}{i}+v\overset{\mbox{ˆ}}{j}
\end{array}</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (24)
|}


La curva &#x0393; se divide &#x0393; en &#x0393;<sub>I</sub> y &#x0393;<sub>II</sub>, que corresponden a las caras inferior y superior de la zona cohesiva, respectivamente, como se muestra en la Figura 1. Siendo las tensiones iguales en ambas curvas, teniendo en cuenta la ecuación 3 resulta:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum452789'></span>  <math display="inline">\begin{array}{c}
{\Gamma }_I\\
{\overset{\mbox{ˆ}}{n}}_I=-\overset{\mbox{ˆ}}{j}\\
ds_I=dx\\
{\overset{\rightarrow}{T}}_I=-{\tau }_{xy}\overset{\mbox{ˆ}}{i}-{\sigma }_y\overset{\mbox{ˆ}}{j}\\
{\overset{\rightarrow}{\delta }}_I=u_I\overset{\mbox{ˆ}}{i}+v_I\overset{\mbox{ˆ}}{j}\\
{\overset{\rightarrow}{T}}_I\cdot {\overset{\rightarrow}{\delta }}_{I,x}=-{\tau }_{xy}u_{I,x}-{\sigma }_yv_{I,x}
\end{array}</math>  <math display="inline">\begin{array}{c}
{\Gamma }_{II}\\
{\overset{\mbox{ˆ}}{n}}_{II}=\overset{\mbox{ˆ}}{j}\\
ds_{II}=-dx\\
{\overset{\rightarrow}{T}}_{II}={\tau }_{xy}\overset{\mbox{ˆ}}{i}+{\sigma }_y\overset{\mbox{ˆ}}{j}\\
{\overset{\rightarrow}{\delta }}_{II}=u_{II}\overset{\mbox{ˆ}}{i}+v_{II}\overset{\mbox{ˆ}}{j}\\
{\overset{\rightarrow}{T}}_{II}\cdot {\overset{\rightarrow}{\delta }}_{II,x}={\tau }_{xy}u_{II,x}+{\sigma }_yv_{II,x}
\end{array}</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (25)
|}


Sustituyendo los resultados de la Ec. <span id='cite-ZEqnNum452789'></span>[[#ZEqnNum452789|(25)]] la integral ''J'' es:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum647390'></span>  <math>\begin{array}{c}
J=-\left({\int }_{{\Gamma }_I}{\overset{\rightarrow}{T}}_I\cdot {\overset{\rightarrow}{\delta }}_{I,x}ds_I+{\int }_{{\Gamma }_{II}}{\overset{\rightarrow}{T}}_{II}\cdot {\overset{\rightarrow}{\delta }}_{II,x}ds_{II}\right)\\
=-\left[{\int }_{-b}^0\left(-{\tau }_{xy}u_{I,x}-{\sigma }_yv_{I,x}\right)dx+{\int }_0^{-b}\left({\tau }_{xy}u_{II,x}+{\sigma }_yv_{II,x}\right)\left(-dx\right)\right]\\
={\int }_0^{-b}{\sigma }_y{\delta }_{n,x}dx+{\int }_0^{-b}{\tau }_{xy}{\delta }_{t,x}dx
\end{array}</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (26)
|}


Los desplazamientos relativos normal y tangencial en la Ec.<span id='cite-ZEqnNum647390'></span>[[#ZEqnNum647390|(26)]] se definen como:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>\begin{array}{c}
{\delta }_t(x)=u_{II}(x,0^+)-u_I(x,0^{-})\\
{\delta }_n(x)=v_{II}(x,0^+)-v_I(x,0^{-})
\end{array}</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (27)
|}


Dado que los desplazamientos relativos son función de ''x'', resulta:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum312866'></span>  <math>d{\delta }_n(x)={\delta }_{n,x}dx\begin{array}{cc}
 & 
\end{array}d{\delta }_t(x)={\delta }_{t,x}dx</math>  <math display="inline"></math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (28)
|}


Además, los límites de la integral de la Ec.<span id='cite-ZEqnNum647390'></span>[[#ZEqnNum647390|(26)]] se modifican según:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum592467'></span>  <math>x=-b\Rightarrow \lbrace \begin{array}{c}
{\delta }_n={\Delta }_n\\
{\delta }_t={\Delta }_t
\end{array}\begin{array}{cc}
 & 
\end{array}x=0\Rightarrow \lbrace \begin{array}{c}
{\delta }_n=0\\
{\delta }_t=0
\end{array}</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (29)
|}


siendo &#x0394;<sub>n</sub> y &#x0394;<sub>t</sub> los valores de los desplazamientos relativos en la punta de grieta. Además, siendo  <math>\sigma ={\sigma }_y</math> y  <math>\tau ={\tau }_{xy}</math> , combinando las Ecs. <span id='cite-ZEqnNum647390'></span>[[#ZEqnNum647390|(26)]], <span id='cite-ZEqnNum312866'></span>[[#ZEqnNum312866|(28)]] y <span id='cite-ZEqnNum592467'></span>[[#ZEqnNum592467|(29)]] resulta:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum125071'></span>'' '' <math>J={\int }_0^{{\Delta }_n}\sigma \left({\delta }_n(x),{\delta }_t(x)\right)d{\delta }_n(x)+</math><math>{\int }_0^{{\Delta }_t}\tau \left({\delta }_n(x),{\delta }_t(x)\right)d{\delta }_t(x)</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (30)
|}


La deducción de la Ec.<span id='cite-ZEqnNum125071'></span>[[#ZEqnNum125071|(30)]] no depende de la longitud de la zona cohesiva. El cambio de variable permite además interpretar la integral ''J'' de dos formas: según la Ec. <span id='cite-ZEqnNum647390'></span>[[#ZEqnNum647390|(26)]], es una integral extendida a lo largo de la zona cohesiva. Según la Ec. <span id='cite-ZEqnNum125071'></span>[[#ZEqnNum125071|(30)]] puede considerarse como el trabajo por unidad de área realizado por las tensiones normal y cortante de la punta de grieta, cuando el desplazamiento relativo varía desde cero hasta su valor final.

La primera integral de la Ec. <span id='cite-ZEqnNum125071'></span>[[#ZEqnNum125071|(30)]] es la contribución de modo I y la segunda integral es la contribución que corresponde a los modos II y III. Considerando sólo modos I y II, si la segunda integral es nula, se tiene modo puro I, siendo  <math>J=J_I</math> y si la primera integral es nula, se tiene modo puro II, siendo  <math>J=J_{II}</math> .

===4.2. J<sub>I</sub> y J<sub>II</sub> determinadas localmente===

Se realiza el desarrollo para modo I. Suponiendo una ley cohesiva que corresponde a una rotura frágil, se supone una ley cohesiva lineal, en la cual cuando el desplazamiento relativo del punto de grieta alcanza su valor final, el vector tensión tiende a 0 y la grieta avanza ''da''. Siendo ''F<sub>n</sub>'' la fuerza normal en la punta de grieta, resulta.

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum456475'></span>  <math>G_I=J_I=\frac{1}{2w}{\left(F_n^2\frac{dC_n}{da}\right)}_a\frac{1}{2w}{\left(F_n\frac{d{\delta }_n}{da}\right)}_a</math>  <math display="inline"></math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (31)
|}


Análogamente, en modo II

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum178063'></span>  <math>G_{II}=J_{II}=\frac{1}{2w}{\left(F_t^2\frac{dC_t}{da}\right)}_a=</math><math>\frac{1}{2w}{\left(F_t\frac{d{\delta }_t}{da}\right)}_a</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (32)
|}


Según las Ecs. <span id='cite-ZEqnNum456475'></span>[[#ZEqnNum456475|(31)]] y <span id='cite-ZEqnNum178063'></span>[[#ZEqnNum178063|(32)]], conociendo las fuerzas y desplazamientos de la punta de grieta, se pueden obtener las tasas de liberación de energía que corresponden a cada modo. Además, proporcionan criterios para determinar las condiciones de modo puro:

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
Modo I:  <math>F_t=0</math> y  <math>\frac{d{\delta }_t}{da}=0</math> </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
Modo II:  <math>F_n=0</math> y  <math>\frac{d{\delta }_n}{da}=0</math> </div>

La fuerza nula en la punta de grieta indica que no no es necesario impedir ningún desplazamiento de la misma dirección cercano a la punta de grieta. De ahí la simultaneidad de condiciones de fuerzas y derivadas de desplazamiento, ya que dichas derivadas indican desplazamientos cercanos a la punta de grieta.

==5. Aplicación a modelos de probetas de ensayo de fractura interlaminar de materiales compuestos==

Las ecuaciones desarrolladas en los apartados anteriores pueden aplicarse para realizar modelos matemáticos del comportamiento mecánico de probetas de fractura interlaminar. En particular, se pueden analizar los ensayos de Viga en Doble Voladizo Asimétrica (''Asymmetric Double Cantielver Beam'', ADCB) y de Flexión con Entalla Final Asimétrica (''Asymmetric End Notched Flexure'', ENF). Dado que en ambos ensayos puede existir combinación de modos, como se muestra en las Figuras 2 y 3, el problema general puede descomponerse en otros 2:

1. Hallar las condiciones que se deben cumplir para que los ensayos se realicen en modo puro.

2. Determinar las fuerzas y desplazamientos en la punta de grieta para determinar las tasas de liberación de energía de cada modo.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 [[Image:Draft_Mujika_346021501-image49.png|396px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
Figura 2. Ensayo de Viga en Doble Voladizo Asimétrica (ADCB).</div>

<div id="_GoBack" class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 [[Image:Draft_Mujika_346021501-image50-c.png|390px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
Figura 2. Ensayo de Flexión con Entalla Final Asimétrico (AENF).</div>

==Bibliografía==

{| style="width: 100%;" 
|-
|  style="vertical-align: top;"|[1]
|  style="vertical-align: top;"|O.B. Mawardi (1957). On the concept of coenergy. ''Journal of the Franklin Institute'', 264(4), 313–332. DOI: 10.1016/0016-0032(57)90190-4
|-
|  style="vertical-align: top;"|[2]
|  style="vertical-align: top;"|Seeler, K. A. (2014). System Dynamics. An Introduction for Mechanical Engineers, Springer. DOI: 10.1007/978-1-4614-9152-1
|-
|  style="vertical-align: top;"|[3]
|  style="vertical-align: top;"|J.R. Rice (1968). A path independent integral and the approximate analysis of strain concentration by notches and cracks, ''Journal of Applied Mechanics'', 35(2), 379–386. DOI: 10.1115/1.3601206
|}