New analytical models for non-symmetric Double Cantilever Beam and End-Notched Flexure tests

ABSTRACT: The fundamentals of new analytical models based on energy and coenergy of deformation are explained to analytically address asymmetric interlaminar fracture tests. After reviewing some concepts of laminated beam theory, the energy release rate as a function of coenergy is determined from a global point of view, including in an unprecedented way the contribution of hygrothermal stresses. On the other hand, after the determination of the J integral in the cohesive zone, the conditions required for the asymmetric fracture tests to occur in pure mode in linear elastic fracture are explained, based on the forces and displacements of the crack tip. Furthermore, knowing these forces and displacements, it is possible to determine the energy release rate that corresponds to each fracture mode.

Keywords: Fractura interlaminar, Modo I, Modo II, Combinación de modos I-II

1. Introducción

La fractura interlaminar en materiales compuestos se analiza habitualmente mediante los ensayos de Viga en Doble Voladizo (Double Cantilever Beam, DCB) y de Flexión con Entalla Final (End Notched Flexure, ENF) en modos I y II, respectivamente. Estas mismas configuraciones se utilizan también para caracterizar uniones adhesivas, con brazos de grieta simétricos para que la fractura se produzca en modo puro. En caso de que exista asimetría geométrica o material, se puede producir combinación de modos I/II. En este trabajo, se abordan las bases de nuevos planteamientos analíticos para los ensayos asimétricos ADCB y AENF.

Además de la flexibilidad de la probeta y de la tasa crítica de liberación de energía total, se determinan las tasas de energía correspondientes a modo I y modo II, con un planteamiento local en la punta de grieta. Dicho planteamiento es equivalente a la Técnica de Cierre Virtual de Grieta (Virtual Crack Closure Technique, (VCCT), utilizado cuando el problema se aborda numéricamente con el Método de los Elementos Finitos.

2. Planteamiento global

Se supone un cuerpo sometido a cargas generalizadas concentradas F_i. El desplazamiento generalizado del punto de aplicación de dicha fuerza en su dirección es δ_i. En un pequeño incremento de grieta, el trabajo realizado en un desplazamiento infinitesimal dδ_i es:

$dW=dU+Gwda$

(1)

donde dW es el trabajo realizado por las fuerzas aplicadas; dU es el cambio de energía de deformación; G es la energía necesaria para el avance de grieta por unidad de área; w es el ancho de la grieta; y da es el avance diferencial de grieta. El trabajo diferencial realizado por las fuerzas externas F_i y sus respectivos desplazamientos δ_i, utilizando la convención de índices repetidos, es $dW=F_{i}d{\delta }_{i}$ . Así la Ec. (1) se puede escribir como:

$dU=F_{i}d{\delta }_{i}-Gbda$

(2)

Asumiendo que la energía de deformación es una función de estado que depende de los desplazamientos δ_i y de la longitud de grieta a:

$dU={\left({\frac {dU}{d{\delta }_{i}}}\right)}_{a}d{\delta }_{i}+$${\left({\frac {dU}{da}}\right)}_{{\delta }_{i}}da$

(3)

Identificando términos en las Ecs. (2) y (3) resulta:

$F_{i}={\left({\frac {dU}{d{\delta }_{i}}}\right)}_{a}$

(4)

$G=-{\frac {1}{b}}{\left({\frac {dU}{da}}\right)}_{{\delta }_{i}}$

(5)

La Ec. (4) es el primer teorema de Castigliano y la Ec. (5) es la Tasa de Liberación de Energía de Deformación. La energía complementaria o coenergía se define como:

$C=U^{\ast }=F_{i}{\delta }_{i}-U$

(6)

El nombre de coenergía se utiliza habitualmente en el caso de fuerzas magnéticas [1], pero también se ha utilizado en Mecánica [2]. En el presente estudio, se adopta para la energía de deformación complementaria en el caso mecánico, utilizando la letra C para denominarla. Desde un punto de vista termodinámico, corresponde a la energía libre de Gibbs. Derivando la Ec. (6) y sustituyendo la Ec. (2) resulta:

$dC={\delta }_{i}dF_{i}+Gbda$

(7)

Asumiendo que la coenergía es una función de estado de las fuerzas generalizadas F_i y la longitud de grieta a:

$dC={\left({\frac {dC}{dF_{i}}}\right)}_{a}dF_{i}+{\left({\frac {dC}{da}}\right)}_{F_{i}}da$

(8)

Identificando términos en las Ecs. (7) y (8) resulta:

${\delta }_{i}={\left({\frac {dC}{dF_{i}}}\right)}_{a}$

(9)

$G={\frac {1}{b}}{\left({\frac {dC}{da}}\right)}_{F_{i}}$

(10)

La Ec. (9) es el teorema de Engesser-Castigliano y la Ec. (10) es la tasa de liberación de energía de deformación. En el presente estudio, se utiliza la coenergía para considerar las fuerzas generalizadas como variables de estado.

3. Coenergía en vigas laminadas de sección rectangular

3.1. Fuerzas normales y momentos flectores

Suponiendo un laminado de N láminas, la tensión normal en la lámina k es:

${\sigma }_{x}^{k}=E_{x}^{k}\left({\epsilon }_{x}-e_{0x}^{k}\right)\Rightarrow {\sigma }_{x}^{k}=$$E_{k}\left(\epsilon -e_{0k}\right)=E_{k}\left({\epsilon }_{0}+\right.$$\left.\kappa z-e_{0k}\right)$

(11)

Donde $e_{0k}$ son las tensiones higrotérmicas de la lámina k. Dado que la fuerza normal N y el momento flector M son la resultante y el momento resultante de las fuerzas normales, resulta:

$\left\{{\begin{array}{c}N_{G}\\M_{G}\end{array}}\right\}=\left\{{\begin{array}{c}N\\M\end{array}}\right\}+\left\{{\begin{array}{c}N_{HT}\\M_{HT}\end{array}}\right\}=\left[{\begin{array}{cc}A&B\\B&D\end{array}}\right]\left\{{\begin{array}{c}{\epsilon }_{0}\\\kappa \end{array}}\right\}$

(12)

Donde el subíndice G se refiere a Global y HT hace referencia a la fuerza y momento higrotérmico. Los coeficientes de rigidez son:

${\begin{array}{c}A=b\sum _{k=1}^{n}E_{k}\left(z_{k}-z_{k-1}\right)\\B={\frac {b}{2}}\sum _{k=1}^{n}E_{k}\left(z_{k}^{2}-z_{k-1}^{2}\right)\\D={\frac {b}{3}}\sum _{k=1}^{n}E_{k}\left(z_{k}^{3}-z_{k-1}^{3}\right)\end{array}}$

(13)

Inviertiendo la relación se obtiene:

$\left\{{\begin{array}{c}{\epsilon }_{0}\\\kappa \end{array}}\right\}=\left[{\begin{array}{cc}c&b\\b&d\end{array}}\right]\left\{{\begin{array}{c}N_{G}\\M_{G}\end{array}}\right\}$

(14)

Las tensiones normales vienen dadas por:

${\sigma }_{x}^{k}=E_{k}\left({\epsilon }_{0}+z\kappa -e_{0k}\right)=$$E_{k}\left[N_{G}\left(c+bz\right)+M_{G}\left(b+zd\right)-\right.$$\left.e_{0k}\right]$

(15)

3.2. Coenergía en la viga laminada incluyendo tensiones higrotérmicas

Suponiendo comportamiento elástico lineal, y teniendo en cuenta las deformaciones normales higrotérmicas, la coenergía por unidad de volumen viene dada por:

$C_{0}={\frac {1}{2}}{\sigma }_{x}\left({\epsilon }_{x}+e_{0}\right)$

(16)

Integrando en el área de la sección, la coenergía por unidad de longitud C₁ es:

${\begin{array}{c}C_{1}={\frac {1}{2}}cN_{G}^{2}+{\frac {1}{2}}bM_{G}^{2}+bM_{G}N_{G}-B_{e}\\B_{e}={\frac {1}{2}}b\sum _{k=1}^{n}E_{k}e_{0k}^{2}\left(z_{k}-z_{k-1}\right)\end{array}}$

(17)

La coenergía debida a las tensiones cortantes es:

$C_{s}={\frac {1}{2}}s{\int }_{L_{x}}V^{2}dx$

(18)

donde s es la flexibilidad equivalente de cortadura. En el caso de un material de una única capa ortótropo es $s={\frac {6}{5}}{\left(G_{13}wh\right)}^{-1}$ . La coenergía de toda la viga que corresponde a tensiones normales y cortantes es:

$C={\frac {1}{2}}a{\int }_{L_{x}}N_{G}^{2}dx+{\frac {1}{2}}d{\int }_{L_{x}}M_{G}^{2}dx+$${\frac {1}{2}}s{\int }_{L_{x}}V^{2}dx+b{\int }_{L_{x}}N_{G}M_{G}dx-$$B_{e}$

(19)

3.3. Teorema de Engesser-Castigliano

Como se ha visto en la Ed. (9), según el teorema de Engesser-Castigliano, el desplazamiento generalizado δ_k del punto de aplicación de la fuerza generalizada F_k es:

${\delta }_{k}=c{\int }_{L_{x}}N_{G}N'_{G}dx+d{\int }_{L_{x}}M_{G}M'_{G}dx+$$s{\int }_{L_{x}}VV{}'dx+b\left({\int }_{L_{x}}N'_{G}M_{G}dx+\right.$$\left.{\int }_{L_{x}}N_{G}M'_{G}dx\right)$

(20)

En la Ec. (20), las primas indican derivadas respecto a F_k. Dado que las fuerzas y momentos higrotérmicos no dependen de las fuerzas aplicadas F_k, la Ec. (20) puede expresarse como:

$C'=a{\int }_{L_{x}}NN'dx+d{\int }_{L_{x}}MM'dx+$$s{\int }_{L_{x}}VV{}'dx+b\left({\int }_{L_{x}}N'Mdx+\right.$$\left.{\int }_{L_{x}}NM'dx\right)+$ $+(aN_{HT}+bM_{HT}){\int }_{L_{x}}N'dx+(bN_{HT}+dM_{HT}){\int }_{L_{x}}M'dx$

(21)

3.4. Tasa critica de liberación de energía

Según la Ec. (10), la tasa crítica de liberación de energía es:

$G={\frac {\partial }{\partial a}}\left({\frac {1}{2}}a{\int }_{L_{x}}N_{G}^{2}dx+\right.$$\left.{\frac {1}{2}}d{\int }_{L_{x}}M_{G}^{2}dx+{\frac {1}{2}}s{\int }_{L_{x}}V^{2}dx+\right.$$\left.b{\int }_{L_{x}}N_{G}M_{G}dx-B_{e}\right)$

(22)

En el caso de la Ec. (22) es necesario tener en cuenta que los límites de integración pueden depender de la longitud de grieta, por lo que es necesario determinar la coenergía antes de derivarla respecto de a. Otra alternativa, es utilizar la fórmula de Leibniz relativa a diferenciación de integrales respecto a un parámetro.

4. Integral J. Planteamiento local

4.1. Integral J en la zona cohesiva

En este apartado se realiza una explicación de la integral J definida por Rice [3]. Se aplica a la zona cohesiva, ya que será la herramienta básica para la descomposición de modos. La zona cohesiva corresponde a la zona de dañada cercana a la punta de grieta. En fractura elástica lineal la integral J es equivalente a la tasa de liberación de energía G. Dicha integral se define como:

${\textstyle J={\int }_{\Gamma }Wdy-{\overset {\rightarrow }{T}}\cdot {\overset {\rightarrow }{\delta }}_{,x}ds}$

(23)

W es la energía de deformación por unidad de volumen. Γ es una curva que rodea la punta de grieta, evaluándose la integral en sentido anti horario comenzando por la zona inferior de la zona cohesiva y continuando por la zona superior, siguiendo la curva Γ. ${\textstyle {\overset {\rightarrow }{T}}}$ es el vector tensión definido según la normal externa a la curva Γ, ${\textstyle {\overset {\rightarrow }{\delta }}}$ es el vector desplazamiento y ds es un elemento de longitud de arco. De acuerdo a la Figura 1, dy = 0.

Figura 1. Zona cohesiva y descomposición de Γ en Γ_I y Γ_II

Según la Figura 1:

${\textstyle {\begin{array}{c}{\overset {\mbox{ˆ}}{n}}=n_{x}{\overset {\mbox{ˆ}}{i}}+n_{y}{\overset {\mbox{ˆ}}{j}}\\{\overset {\rightarrow }{T}}=\left({\sigma }_{x}n_{x}+{\tau }_{xy}n_{y}\right){\overset {\mbox{ˆ}}{i}}+\left({\tau }_{xy}n_{x}+{\sigma }_{y}n_{y}\right){\overset {\mbox{ˆ}}{j}}\\{\overset {\rightarrow }{\delta }}=u{\overset {\mbox{ˆ}}{i}}+v{\overset {\mbox{ˆ}}{j}}\end{array}}}$

(24)

La curva Γ se divide Γ en Γ_I y Γ_II, que corresponden a las caras inferior y superior de la zona cohesiva, respectivamente, como se muestra en la Figura 1. Siendo las tensiones iguales en ambas curvas, teniendo en cuenta la ecuación 3 resulta:

${\textstyle {\begin{array}{c}{\Gamma }_{I}\\{\overset {\mbox{ˆ}}{n}}_{I}=-{\overset {\mbox{ˆ}}{j}}\\ds_{I}=dx\\{\overset {\rightarrow }{T}}_{I}=-{\tau }_{xy}{\overset {\mbox{ˆ}}{i}}-{\sigma }_{y}{\overset {\mbox{ˆ}}{j}}\\{\overset {\rightarrow }{\delta }}_{I}=u_{I}{\overset {\mbox{ˆ}}{i}}+v_{I}{\overset {\mbox{ˆ}}{j}}\\{\overset {\rightarrow }{T}}_{I}\cdot {\overset {\rightarrow }{\delta }}_{I,x}=-{\tau }_{xy}u_{I,x}-{\sigma }_{y}v_{I,x}\end{array}}}$ ${\textstyle {\begin{array}{c}{\Gamma }_{II}\\{\overset {\mbox{ˆ}}{n}}_{II}={\overset {\mbox{ˆ}}{j}}\\ds_{II}=-dx\\{\overset {\rightarrow }{T}}_{II}={\tau }_{xy}{\overset {\mbox{ˆ}}{i}}+{\sigma }_{y}{\overset {\mbox{ˆ}}{j}}\\{\overset {\rightarrow }{\delta }}_{II}=u_{II}{\overset {\mbox{ˆ}}{i}}+v_{II}{\overset {\mbox{ˆ}}{j}}\\{\overset {\rightarrow }{T}}_{II}\cdot {\overset {\rightarrow }{\delta }}_{II,x}={\tau }_{xy}u_{II,x}+{\sigma }_{y}v_{II,x}\end{array}}}$

(25)

Sustituyendo los resultados de la Ec. (25) la integral J es:

${\begin{array}{c}J=-\left({\int }_{{\Gamma }_{I}}{\overset {\rightarrow }{T}}_{I}\cdot {\overset {\rightarrow }{\delta }}_{I,x}ds_{I}+{\int }_{{\Gamma }_{II}}{\overset {\rightarrow }{T}}_{II}\cdot {\overset {\rightarrow }{\delta }}_{II,x}ds_{II}\right)\\=-\left[{\int }_{-b}^{0}\left(-{\tau }_{xy}u_{I,x}-{\sigma }_{y}v_{I,x}\right)dx+{\int }_{0}^{-b}\left({\tau }_{xy}u_{II,x}+{\sigma }_{y}v_{II,x}\right)\left(-dx\right)\right]\\={\int }_{0}^{-b}{\sigma }_{y}{\delta }_{n,x}dx+{\int }_{0}^{-b}{\tau }_{xy}{\delta }_{t,x}dx\end{array}}$

(26)

Los desplazamientos relativos normal y tangencial en la Ec.(26) se definen como:

${\begin{array}{c}{\delta }_{t}(x)=u_{II}(x,0^{+})-u_{I}(x,0^{-})\\{\delta }_{n}(x)=v_{II}(x,0^{+})-v_{I}(x,0^{-})\end{array}}$

(27)

Dado que los desplazamientos relativos son función de x, resulta:

$d{\delta }_{n}(x)={\delta }_{n,x}dx{\begin{array}{cc}&\end{array}}d{\delta }_{t}(x)={\delta }_{t,x}dx$

(28)

Además, los límites de la integral de la Ec.(26) se modifican según:

$x=-b\Rightarrow \lbrace {\begin{array}{c}{\delta }_{n}={\Delta }_{n}\\{\delta }_{t}={\Delta }_{t}\end{array}}{\begin{array}{cc}&\end{array}}x=0\Rightarrow \lbrace {\begin{array}{c}{\delta }_{n}=0\\{\delta }_{t}=0\end{array}}$

(29)

siendo Δ_n y Δ_t los valores de los desplazamientos relativos en la punta de grieta. Además, siendo $\sigma ={\sigma }_{y}$ y $\tau ={\tau }_{xy}$ , combinando las Ecs. (26), (28) y (29) resulta:

$J={\int }_{0}^{{\Delta }_{n}}\sigma \left({\delta }_{n}(x),{\delta }_{t}(x)\right)d{\delta }_{n}(x)+$${\int }_{0}^{{\Delta }_{t}}\tau \left({\delta }_{n}(x),{\delta }_{t}(x)\right)d{\delta }_{t}(x)$

(30)

La deducción de la Ec.(30) no depende de la longitud de la zona cohesiva. El cambio de variable permite además interpretar la integral J de dos formas: según la Ec. (26), es una integral extendida a lo largo de la zona cohesiva. Según la Ec. (30) puede considerarse como el trabajo por unidad de área realizado por las tensiones normal y cortante de la punta de grieta, cuando el desplazamiento relativo varía desde cero hasta su valor final.

La primera integral de la Ec. (30) es la contribución de modo I y la segunda integral es la contribución que corresponde a los modos II y III. Considerando sólo modos I y II, si la segunda integral es nula, se tiene modo puro I, siendo $J=J_{I}$ y si la primera integral es nula, se tiene modo puro II, siendo $J=J_{II}$ .

4.2. J_I y J_II determinadas localmente

Se realiza el desarrollo para modo I. Suponiendo una ley cohesiva que corresponde a una rotura frágil, se supone una ley cohesiva lineal, en la cual cuando el desplazamiento relativo del punto de grieta alcanza su valor final, el vector tensión tiende a 0 y la grieta avanza da. Siendo F_n la fuerza normal en la punta de grieta, resulta.

$G_{I}=J_{I}={\frac {1}{2w}}{\left(F_{n}^{2}{\frac {dC_{n}}{da}}\right)}_{a}{\frac {1}{2w}}{\left(F_{n}{\frac {d{\delta }_{n}}{da}}\right)}_{a}$

(31)

Análogamente, en modo II

$G_{II}=J_{II}={\frac {1}{2w}}{\left(F_{t}^{2}{\frac {dC_{t}}{da}}\right)}_{a}=$${\frac {1}{2w}}{\left(F_{t}{\frac {d{\delta }_{t}}{da}}\right)}_{a}$

(32)

Según las Ecs. (31) y (32), conociendo las fuerzas y desplazamientos de la punta de grieta, se pueden obtener las tasas de liberación de energía que corresponden a cada modo. Además, proporcionan criterios para determinar las condiciones de modo puro:

Modo I: $F_{t}=0$ y ${\frac {d{\delta }_{t}}{da}}=0$

Modo II: $F_{n}=0$ y ${\frac {d{\delta }_{n}}{da}}=0$

La fuerza nula en la punta de grieta indica que no es necesario impedir ningún desplazamiento de la misma dirección cercano a la punta de grieta. De ahí la simultaneidad de condiciones de fuerzas y derivadas de desplazamiento, ya que dichas derivadas indican desplazamientos cercanos a la punta de grieta.

5. Aplicación a modelos de probetas de ensayo de fractura interlaminar de materiales compuestos

Las ecuaciones desarrolladas en los apartados anteriores pueden aplicarse para realizar modelos matemáticos del comportamiento mecánico de probetas de fractura interlaminar. En particular, se pueden analizar los ensayos de Viga en Doble Voladizo Asimétrica (Asymmetric Double Cantielver Beam, ADCB) y de Flexión con Entalla Final Asimétrica (Asymmetric End Notched Flexure, ENF). Dado que en ambos ensayos puede existir combinación de modos, como se muestra en las Figuras 2 y 3, el problema general puede descomponerse en otros 2:

1. Hallar las condiciones que se deben cumplir para que los ensayos se realicen en modo puro.

2. Determinar las fuerzas y desplazamientos en la punta de grieta para determinar las tasas de liberación de energía de cada modo.

Figura 2. Ensayo de Viga en Doble Voladizo Asimétrica (ADCB).

Figura 3. Ensayo de Flexión con Entalla Final Asimétrico (AENF).

Bibliografía

[1]	O.B. Mawardi (1957). On the concept of coenergy. Journal of the Franklin Institute, 264(4), 313–332. DOI: 10.1016/0016-0032(57)90190-4
[2]	Seeler, K. A. (2014). System Dynamics. An Introduction for Mechanical Engineers, Springer. DOI: 10.1007/978-1-4614-9152-1
[3]	J.R. Rice (1968). A path independent integral and the approximate analysis of strain concentration by notches and cracks, Journal of Applied Mechanics, 35(2), 379–386. DOI: 10.1115/1.3601206