Descomposición en modos en ensayos de fractura interlaminar y de uniones adhesivas con brazos de grieta asimétricos

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====DESCOMPOSICIÓN DE MODOS EN ENSAYOS DE FRACTURA INTERLAMINAR Y DE UNIONES ADHESIVAS CON BRAZOS DE GRIETA ASIMÉTRICOS ====

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
'''F. Mujika*, N. Insausti, A. Boyano, U. Garitaonaindia'''</div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
Grupo MECMAT, Departamento de Ingeniería Mecánica, Universidad del País Vasco (UPV/EHU).</div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
Plaza Europa 1, 20018 Donostia-San Sebastián</div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
*faustino.mujika[mailto:@ @]ehu.eus</div>

'''Resumen: ''' ''Los ensayos de Viga en Doble Voladizo y Flexión con Entalla Final fueron diseñados para caracterizar la fractura interlaminar de materiales compuestos en modos puros I y II. En ambos casos, las probetas tienen una longitud de grieta inicial en la mitad del espesor. En el caso de probetas bimateriales, si la grieta se ubica en la mitad del espesor, podría existir un modo mixto, debido a la asimetría del material. El objetivo del presente estudio es proponer relaciones geométricas para obtener condiciones de modo puro cuando se ensayan probetas bimateriales en configuraciones DCB y ENF.''
-->

'''Abstract: ''' ''Double Cantilever Beam and End Notched Flexure tests were designed to characterize interlaminar fracture of composite materials in pure modes I and II. In both cases, specimens have an initial crack length in the middle of the thickness. In the case of bi-material specimens, if the crack is located in the middle of the thickness, mixed-mode could exist, due to the material asymmetry. The objective of the present study is to propose geometric relations to obtain pure mode conditions when bi-material specimens are tested in DCB and ENF configurations. ''

'''Palabras clave: '''Fractura interlaminar; modo puro; probeta bi-material.

=1. Introducción=

Los ensayos de doble viga en doble voladizo (''Double Cantilever Beam'', DCB) y Flexión con Entalla Final (''End Notched Flexure'', ENF) fueron diseñados para la determinación del comportamiento de fractura interlaminar en modo I y modo II de materiales compuestos. Las mismas configuraciones, se utilizaron también en la caracterización de juntas adhesivas en los modos I y II. Cuando no existe simetría geométrica o material, aparecen fracturas de modo mixto. El problema de la descomposición de los modos de fractura ha sido analizado por varios autores [1-6]. En el presente estudio, se analizan las condiciones geométricas para obtener modos puros en uniones bimateriales en el caso de los ensayos de Viga Asimétrica en Doble en Voladizo (ADCB) y Flexión Asimétrica con Entalla Final (AENF).

=2. Tasa de liberación de energía de deformación y zona cohesiva=

Se supone un cuerpo sometido a cargas generalizadas concentradas ''F<sub>i</sub>''. El desplazamiento generalizado del punto de aplicación de dicha fuerza en su dirección es ''&#x03b4;<sub>i</sub>''. En un pequeño incremento de grieta, el trabajo realizado en un desplazamiento infinitesimal ''d&#x03b4;<sub>i</sub>'' es:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
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{| style="text-align: center; margin:auto;" 
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| <span id='ZEqnNum947193'></span>  [[Image:Draft_Mujika_247875316-image1.png|114px]]
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (1)
|}


donde ''dW'' es el trabajo realizado por las fuerzas aplicadas; ''dU'' es el cambio de energía de deformación; ''G'' es la energía necesaria para el avance de grieta por unidad de área; ''b'' es el ancho de la grieta; y ''da'' es el avance diferencial de grieta. El trabajo diferencial realizado por las fuerzas externas ''F<sub>i</sub>''  y sus respectivos desplazamientos ''&#x03b4;<sub>i</sub>'', utilizando la convención de índices repetidos, es  [[Image:Draft_Mujika_247875316-image2.png|72px]] . Así la Ec. <span id='cite-ZEqnNum947193'></span>[[#ZEqnNum947193|(1)]] se puede escribir como:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
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{| style="text-align: center; margin:auto;" 
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| <span id='ZEqnNum790703'></span>  [[Image:Draft_Mujika_247875316-image3.png|126px]]
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2)
|}


Asumiendo que la energía de deformación es una función de estado que depende de los desplazamientos ''&#x03b4;<sub>i</sub>'' y de la longitud de grieta ''a'':

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
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{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum518638'></span>  [[Image:Draft_Mujika_247875316-image4.png|192px]]
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (3)
|}


Identificando términos en las Ecs. <span id='cite-ZEqnNum790703'></span>[[#ZEqnNum790703|(2)]] y <span id='cite-ZEqnNum518638'></span>[[#ZEqnNum518638|(3)]] resulta:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
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{| style="text-align: center; margin:auto;" 
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| <span id='ZEqnNum155024'></span>  [[Image:Draft_Mujika_247875316-image5.png|78px]]
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4)
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{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
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{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum847268'></span>  [[Image:Draft_Mujika_247875316-image6.png|102px]]
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (5)
|}


La Ec. <span id='cite-ZEqnNum155024'></span>[[#ZEqnNum155024|(4)]] es el primer teorema de Castigliano y la Ec. <span id='cite-ZEqnNum847268'></span>[[#ZEqnNum847268|(5)]] es la Tasa de Liberación de Energía de Deformación. La energía complementaria o ''coenergía'' se define como:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum898491'></span>  [[Image:Draft_Mujika_247875316-image7.png|114px]]
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (6)
|}


El nombre de ''coenergía'' se utiliza habitualmente en el caso de fuerzas magnéticas [7]. En el presente estudio, se adopta para la energía de deformación complementaria en el caso mecánico, utilizando la letra ''C'' para denominarla. Desde un punto de vista termodinámico, corresponde a la energía libre de Gibbs. Derivando la Ec. <span id='cite-ZEqnNum89849'></span>[[#ZEqnNum89849|(6)]] y sustituyendo la Ec. <span id='cite-ZEqnNum790703'></span>[[#ZEqnNum790703|(2)]] resulta:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
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{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum471195'></span>  [[Image:Draft_Mujika_247875316-image8.png|120px]]
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (7)
|}


Asumiendo que la ''coenergía'' es una función de estado de las fuerzas generalizadas ''F<sub>i</sub>'' y la longitud de grieta ''a'':

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum297805'></span>  [[Image:Draft_Mujika_247875316-image9.png|186px]]
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (8)
|}


Identificando términos en las Ecs. <span id='cite-ZEqnNum471195'></span>[[#ZEqnNum471195|(7)]] y <span id='cite-ZEqnNum297805'></span>[[#ZEqnNum297805|(8)]] resulta:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
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{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum911236'></span>  [[Image:Draft_Mujika_247875316-image10.png|72px]]
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (9)
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum458792'></span>  [[Image:Draft_Mujika_247875316-image11.png|90px]]
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (10)
|}


La Ec. <span id='cite-ZEqnNum911236'></span>[[#ZEqnNum911236|(9)]] es el teorema de Engesser-Castigliano y la Ec. <span id='cite-ZEqnNum458792'></span>[[#ZEqnNum458792|(10)]] es la tasa de liberación de energía de deformación. En el presente estudio, se utiliza la coenergía para considerar las fuerzas generalizadas como variables de estado.

=3. Integral J y modos puros=

Rice definió la integral ''J'' independiente del camino en una curva cerrada incluyendo la punta de grieta. Se demuestra que en el caso de un material elástico ''J'' = ''G''. Teniendo en cuenta los desplazamientos relativos y las tensiones en una zona cercana a la punta de grieta denominada zona cohesiva, resulta [8]:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum310693'></span>  [[Image:Draft_Mujika_247875316-image12.png|174px]]
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (11)
|}


donde ''&#x03c3;'' es la tensión normal; ''&#x03b4;<sub>n</sub>'' el desplazamiento relativo asociado; ''&#x03c4;'' la tensión cortante; y ''&#x03b4;<sub>t</sub>'' el desplazamiento relativo asociado. Todos ellos corresponden a la punta de grieta. Por lo tanto, la primera integral en la Ec.<span id='cite-ZEqnNum310693'></span>[[#ZEqnNum310693|(11)]] está relacionada con el modo I, y la segunda integral, está relacionada con los modos II y III. El modo III no se considera en el presente trabajo. La zona cohesiva está relacionada con distintos factores como la plastificación, el puenteo de fibra y las micro-grietas. En el caso de modos puros, sólo existe un desplazamiento relativo como variable de estado. Los desplazamientos relativos ''&#x03b4;<sub>n</sub>'' y ''&#x03b4;<sub>t</sub>'' son la suma de los desplazamientos de puntos homólogos en la punta de grieta. Los puntos homólogos se definen como aquellos que eran el mismo punto antes del avance de grieta. Por lo tanto, en la zona de proceso de fallo están sometidos a las mismas tensiones.


[[Image:Draft_Mujika_247875316-picture-Lienzo 65.svg|center|181px]]

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
'''Fig. 1''' ''. Desplazamientos normal y tangencial en dos puntos homólogos.''</div>

Según la Fig. 1 donde 1 y 2 son puntos homólogos en la punta de grieta correspondientes a la parte superior e inferior, respectivamente, los desplazamientos relativos son:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| [[Image:Draft_Mujika_247875316-image13.png|84px]]
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (12)
|}


Cuando el modo I es puro, la segunda integral de la Ec. <span id='cite-ZEqnNum310693'></span>[[#ZEqnNum310693|(11)]] es nula. Por lo tanto, se supone que el desplazamiento relativo tangencial en la punta de grieta es nulo. En consecuencia, el modo I puro ocurre cuando:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
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{| style="text-align: center; margin:auto;" 
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| [[Image:Draft_Mujika_247875316-image14.png|120px]]
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (13)
|}


Suponiendo que el modo III no está presente, cuando el modo II ocurre, la primera integral de la Ec. <span id='cite-ZEqnNum310693'></span>[[#ZEqnNum310693|(11)]] es nula. Se supone que entonces que el desplazamiento relativo normal en la punta de grieta es nulo. Así, el modo II ocurre cuando:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| [[Image:Draft_Mujika_247875316-image15.png|126px]]
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (14)
|}


En el presente estudio, si los desplazamientos tangencial y normal son nulos en la punta de grieta, se supone que también son nulos cerca de la punta de grieta, en la zona agrietada.

=4. Ensayo Asimétrico de Viga en Doble Voladizo: ADCB=

La Fig. 2 muestra la configuración del ensayo de Viga en Doble Voladizo Asimétrica. La asimetría puede ser debida a diferentes espesores del mismo material o a la unión de distintos materiales. La rotación de la parte recta de la probeta indica la presencia de modo II.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">

[[Image:Draft_Mujika_247875316-picture-Lienzo 246.svg|center|600px]]
</div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
'''Fig. 2''' ''. Configuración de ensayo ADCB.''</div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">

[[Image:Draft_Mujika_247875316-picture-Lienzo 90.svg|center|600px]]
</div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
'''Fig. 3''' ''. Fuerzas actuantes en el ensayo ADCB. ''</div>

El ángulo rotado en la zona no agrietada puede ser determinado en primera aproximación, sin tener en cuenta las rotaciones de la punta de grieta, es decir, suponiendo que los brazos de grieta están perfectamente empotrados en la punta de grieta. La Fig. 3 muestra el diagrama de sólido libre de la probeta y la Fig. 4 muestra el diagrama de sólido libre que corresponde a la aplicación de un momento unitario en la zona no agrietada. Este diagrama se utiliza para calcular las derivadas de los momentos flectores.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">

[[Image:Draft_Mujika_247875316-picture-Lienzo 119.svg|center|600px]]
</div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
'''Fig. 4''' ''. Momento unitario y reacciones resultantes en ADCB. ''</div>

Según el teorema de Engesser-Castigliano:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum167974'></span>  [[Image:Draft_Mujika_247875316-image17.png|216px]]
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (15)
|}


donde ''M<sub>i</sub>'' y ''M''' ''<sub>i</sub>'' son los momentos flectores y sus derivadas, respectivamente. Tras determinar los momentos flectores en la Fig. 3 y sus derivadas de la Fig. 4, sustituyendo en la Ec. <span id='cite-ZEqnNum167974'></span>[[#ZEqnNum167974|(15)]], la rotación de sólido rígido viene dada por:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| [[Image:Draft_Mujika_247875316-image18.png|138px]]
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (16)
|}


Donde ''h'' es el espesor total; ''h<sub>i</sub>'' son los espesores de cada brazo; ''F'' es la carga aplicada; ''a'' es la longitud de grieta; ''d<sub>i</sub>'' son flexibilidades de flexión, siendo  [[Image:Draft_Mujika_247875316-image19.png|78px]] ; ''E<sub>i</sub>'' es el momento flector del brazo ''i''; ''I<sub>i</sub>'' es el momento de inercia del brazo ''i''; siendo ''i'' = 1, 2 los brazos superior e inferior, respectivamente. Mediante una rotación de sólido rígido, la configuración de ensayo es la mostrada en la Fig. 5. En este caso, la línea de grieta es horizontal y el desplazamiento relativo tangencial entre los puntos A y B es:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum745516'></span>  [[Image:Draft_Mujika_247875316-image20.png|186px]]
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (17)
|}


<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">

[[Image:Draft_Mujika_247875316-picture-Lienzo 181.svg|center|600px]]
</div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
'''Fig. 5''' ''. Configuración ADCB rotada con línea de grieta horizontal.''</div>

La línea de grieta permanece horizontal y el desplazamiento relativo tangencial de dos puntos homólogos puede determinarse utilizando las cargas unitarias de la Fig. 6.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">

[[Image:Draft_Mujika_247875316-picture-Lienzo 135.svg|center|600px]]
</div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
'''Fig. 6''' ''. Cargas unitarias para determinar el desplazamiento relativo tangencial.''</div>

Sustituyendo los momentos de la Fig. 5 y las derivadas de la Fig. 6 en la Ec. <span id='cite-ZEqnNum167974'></span>[[#ZEqnNum167974|(15)]], el desplazamiento relativo tangencial entre dos puntos homólogos es:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| [[Image:Draft_Mujika_247875316-image21.png|210px]]
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (18)
|}


cuando ''x<sub>u</sub>'' = 0, el desplazamiento concuerda con el de la Eq. <span id='cite-ZEqnNum745516'></span>[[#ZEqnNum745516|(17)]]. Para cualquier punto, el desplazamiento relativo es nulo si:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum200670'></span>  [[Image:Draft_Mujika_247875316-image22.png|96px]]
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (19)
|}


Esta condición es equivalente a imponer la igualdad de deformaciones unitarias normales en puntos homólogos. Cabe señalar que la condición de desplazamientos nulos coincide con la de ángulo de rotación nulo. La Ec. <span id='cite-ZEqnNum200670'></span>[[#ZEqnNum200670|(19)]] se convierte en:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| [[Image:Draft_Mujika_247875316-image23.png|66px]]
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (20)
|}

=5. Ensayo asimétrico de Flexión con Entalla Final=

==5.1 Fuerza entre los brazos de grieta==

La Fig. 7 muestra la configuración del ensayo ANEF, suponiendo que el contacto entre los brazos de grieta ocurre sólo encima del apoyo izquierdo.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">

[[Image:Draft_Mujika_247875316-picture-Lienzo 224.svg|center|600px]]
</div>

'''Fig. 7''' ''. Configuración del ensayo AENF.''

Esta condición se indica mediante un rodillo de radio despreciable. Así, se supone que la transferencia de cargas está concentrada encima del soporte y que ambos brazos de grieta están sometidos a una fuerza desconocida ''Y''. Para calcular dicha fuerza, sólo debe analizarse la zona agrietada. Teniendo en cuenta los efectos de flexión y cortante, esta fuerza puede determinarse mediante el teorema de Engesser-Castigliano:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum449665'></span>  [[Image:Draft_Mujika_247875316-image24.png|492px]]
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (21)
|}


donde ''M<sub>i</sub>'', ''Q<sub>i</sub>'' son los momentos flectores y fuerzas cortantes de la parte ''i''; ''M<sub>i,Y</sub>'' y ''Q<sub>i,Y</sub>'' son las derivadas de los momentos flectores y de las fuerzas cortantes de la parte ''i'' respecto de ''Y''; ''s<sub>i</sub>'' son flexibilidades de cortadura, siendo:  [[Image:Draft_Mujika_247875316-image25.png|90px]] ; ''G<sub>i</sub>'' es el módulo de cortadura fuera del plano del brazo ''i''; ''A<sub>i</sub>'' es el área de la parte ''i''; siendo ''i'' = 1, 2 los brazos superior e inferior, respectivamente.

La Ec. <span id='cite-ZEqnNum449665'></span>[[#ZEqnNum449665|(21)]] es equivalente a imponer que el desplazamiento relativo es nulo. La fuerza ''Y'' es:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum286754'></span>  [[Image:Draft_Mujika_247875316-image26.png|192px]]
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (22)
|}


La fuerza de la Ec.<span id='cite-ZEqnNum286754'></span>[[#ZEqnNum286754|(22)]] puede ser descompuesta en dos componentes relacionadas con los efectos de flexión y cortante, respectivamente:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum731609'></span>  [[Image:Draft_Mujika_247875316-image27.png|270px]]
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (23)
|}


La componente de flexión de la Ec. <span id='cite-ZEqnNum731609'></span>[[#ZEqnNum731609|(23)]] se obtiene considerando sólo efectos de flexión en la Ec. <span id='cite-ZEqnNum449665'></span>[[#ZEqnNum449665|(21)]]. Así, la componente de cortante se obtiene como:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| [[Image:Draft_Mujika_247875316-image28.png|66px]]
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (24)
|}


La componente debida al cortante es nula cuando se satisface la siguiente condición:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum175590'></span>  [[Image:Draft_Mujika_247875316-image29.png|252px]]
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (25)
|}

==5.2 Desplazamientos relativos normales==

Por otra parte, los desplazamientos relativos normales entre dos puntos homólogos de la grieta pueden determinarse mediante el teorema de Engesser-Castigliano:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum186758'></span>  [[Image:Draft_Mujika_247875316-image30.png|426px]]
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (26)
|}


Las derivadas de los momentos y de las fuerzas cortantes se obtienen aplicando fuerzas unitarias verticales, como se muestra en la Fig. 8.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">

[[Image:Draft_Mujika_247875316-picture-Lienzo 93.svg|center|600px]]
</div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
'''Fig. 8''' ''. Fuerzas unitarias para determinar los desplazamientos relativos normales ''</div>

La condición para que no exista interacción entre los brazos es:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <span id='ZEqnNum978605'></span>  [[Image:Draft_Mujika_247875316-image31.png|42px]]
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (27)
|}


Tras calcular la Ec. Eqs. <span id='cite-ZEqnNum186758'></span>[[#ZEqnNum186758|(26)]] e imponiendo la condición <span id='cite-ZEqnNum978605'></span>[[#ZEqnNum978605|(27)]] resulta:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
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{| style="text-align: center; margin:auto;" 
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| <span id='ZEqnNum829115'></span>  [[Image:Draft_Mujika_247875316-image32.png|444px]]
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| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (28)
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Siendo ''I<sub>b</sub>'' e ''I<sub>s</sub>'' de la Ec. <span id='cite-ZEqnNum829115'></span>[[#ZEqnNum829115|(28)]] integrales relacionadas con términos de flexión y cortante, respectivamente:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
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{| style="text-align: center; margin:auto;" 
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| [[Image:Draft_Mujika_247875316-image33.png|276px]]
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (29)
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Suponiendo que  [[Image:Draft_Mujika_247875316-image34.png|42px]] la Ec. <span id='cite-ZEqnNum829115'></span>[[#ZEqnNum829115|(28)]] puede expresarse como:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
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{| style="text-align: center; margin:auto;" 
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| <span id='ZEqnNum337801'></span>  [[Image:Draft_Mujika_247875316-image35.png|138px]]
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (30)
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Si no se satisface la desigualdad de la Ec. <span id='cite-ZEqnNum337801'></span>[[#ZEqnNum337801|(30)]], existe contacto entre ambos brazos a lo largo de la línea de grieta. La interacción entre ambos no puede suponerse concentrada encima del apoyo. Por otra parte, el modo II puro ocurre cuando se satisface la igualdad. Esta condición es la misma que la obtenida en la Ec. <span id='cite-ZEqnNum175590'></span>[[#ZEqnNum175590|(25)]]. Por lo tanto, en modo II puro, suponiendo que la fuerza entre ambos brazos de grieta está concentrada sobre el apoyo, ésta sólo depende de los efectos de flexión.

=6. Conclusiones=

Siendo 1 y 2 los brazos de grieta superior e inferior, se han determinado las relaciones entre espesores de uniones bimateriales en ensayos ADCB y AENF, para obtener modos puros I y II. Utilizando estas relaciones geométricas, se pueden utilizar las metodologías normalizadas de ensayo en modos I y II para determinar las tasas de liberación de energía en modos I y II de uniones bimateriales.

==Agradecimientos==

El presente trabajo ha contado con la financiación de La Universidad del País Vasco (UPV/EHU) al Grupo de Investigación GIU20/060 “Mecánica de Materiales”.

=7. Referencias=

:1. Williams JG. On the calculation of energy release rates for cracked laminates. International Journal of Fracture 1988; 36: 101-119.

:2. Charalambides M, Kinloch AJ, Wang Y, Williams JG. On the analysis of mixed-mode failure. International Journal of Fracture 1992; 54: 269-291.

:3. Bennati S, Colleluori M, Corigliano D, Valvo PS. Composites Science and Technology 2009; 69: 1735-1745.

:4. Mollón V, Bonhomme J, Argüelles A, Viña J. Influence of the crack plane asymmetry over G<sub>II</sub> results in carbon epoxy ENF specimens. Composite Structures 2012; 94: 1187-1191.

:5. Valvo PS. On the calculation of energy release rate and mode mixity in delaminated laminated beams. Engineering Fracture Mechanics 2016; 165: 114-139.

:6. Maimí P, Renart J, Sarrado C, González EV. Characterization of debonding between two different materials with beam like geometries. Engineering Fracture Mechanics 2021; 247: 107661.

<span id='_Ref27039889'></span>
:7. Mawardi OB. On the concept of coenergy, Journal of the Franklin Institute 1957, 264: 313-332.

:8. Arrese A, Boyano A, De Gracia J, Mujika F. A novel procedure to determine the cohesive law in DCB tests. Composites Science and Technology 2017; 152: 76-84.

<span id='_GoBack'></span>