Descomposición en modos en ensayos de fractura interlaminar y de uniones adhesivas con brazos de grieta asimétricos

1. Introducción

Los ensayos de doble viga en doble voladizo (Double Cantilever Beam, DCB) y Flexión con Entalla Final (End Notched Flexure, ENF) fueron diseñados para la determinación del comportamiento de fractura interlaminar en modo I y modo II de materiales compuestos. Las mismas configuraciones, se utilizaron también en la caracterización de juntas adhesivas en los modos I y II. Cuando no existe simetría geométrica o material, aparecen fracturas de modo mixto. El problema de la descomposición de los modos de fractura ha sido analizado por varios autores [1-6]. En el presente estudio, se analizan las condiciones geométricas para obtener modos puros en uniones bimateriales en el caso de los ensayos de Viga Asimétrica en Doble en Voladizo (ADCB) y Flexión Asimétrica con Entalla Final (AENF).

2. Tasa de liberación de energía de deformación y zona cohesiva

Se supone un cuerpo sometido a cargas generalizadas concentradas F_i. El desplazamiento generalizado del punto de aplicación de dicha fuerza en su dirección es δ_i. En un pequeño incremento de grieta, el trabajo realizado en un desplazamiento infinitesimal dδ_i es:

(1)

donde dW es el trabajo realizado por las fuerzas aplicadas; dU es el cambio de energía de deformación; G es la energía necesaria para el avance de grieta por unidad de área; b es el ancho de la grieta; y da es el avance diferencial de grieta. El trabajo diferencial realizado por las fuerzas externas F_i y sus respectivos desplazamientos δ_i, utilizando la convención de índices repetidos, es . Así la Ec. (1) se puede escribir como:

(2)

Asumiendo que la energía de deformación es una función de estado que depende de los desplazamientos δ_i y de la longitud de grieta a:

(3)

Identificando términos en las Ecs. (2) y (3) resulta:

(4)

(5)

La Ec. (4) es el primer teorema de Castigliano y la Ec. (5) es la Tasa de Liberación de Energía de Deformación. La energía complementaria o coenergía se define como:

(6)

El nombre de coenergía se utiliza habitualmente en el caso de fuerzas magnéticas [7]. En el presente estudio, se adopta para la energía de deformación complementaria en el caso mecánico, utilizando la letra C para denominarla. Desde un punto de vista termodinámico, corresponde a la energía libre de Gibbs. Derivando la Ec. (6) y sustituyendo la Ec. (2) resulta:

(7)

Asumiendo que la coenergía es una función de estado de las fuerzas generalizadas F_i y la longitud de grieta a:

(8)

Identificando términos en las Ecs. (7) y (8) resulta:

(9)

(10)

La Ec. (9) es el teorema de Engesser-Castigliano y la Ec. (10) es la tasa de liberación de energía de deformación. En el presente estudio, se utiliza la coenergía para considerar las fuerzas generalizadas como variables de estado.

3. Integral J y modos puros

Rice definió la integral J independiente del camino en una curva cerrada incluyendo la punta de grieta. Se demuestra que en el caso de un material elástico J = G. Teniendo en cuenta los desplazamientos relativos y las tensiones en una zona cercana a la punta de grieta denominada zona cohesiva, resulta [8]:

(11)

donde σ es la tensión normal; δ_n el desplazamiento relativo asociado; τ la tensión cortante; y δ_t el desplazamiento relativo asociado. Todos ellos corresponden a la punta de grieta. Por lo tanto, la primera integral en la Ec.(11) está relacionada con el modo I, y la segunda integral, está relacionada con los modos II y III. El modo III no se considera en el presente trabajo. La zona cohesiva está relacionada con distintos factores como la plastificación, el puenteo de fibra y las micro-grietas. En el caso de modos puros, sólo existe un desplazamiento relativo como variable de estado. Los desplazamientos relativos δ_n y δ_t son la suma de los desplazamientos de puntos homólogos en la punta de grieta. Los puntos homólogos se definen como aquellos que eran el mismo punto antes del avance de grieta. Por lo tanto, en la zona de proceso de fallo están sometidos a las mismas tensiones.

Fig. 1 . Desplazamientos normal y tangencial en dos puntos homólogos.

Según la Fig. 1 donde 1 y 2 son puntos homólogos en la punta de grieta correspondientes a la parte superior e inferior, respectivamente, los desplazamientos relativos son:

(12)

Cuando el modo I es puro, la segunda integral de la Ec. (11) es nula. Por lo tanto, se supone que el desplazamiento relativo tangencial en la punta de grieta es nulo. En consecuencia, el modo I puro ocurre cuando:

(13)

Suponiendo que el modo III no está presente, cuando el modo II ocurre, la primera integral de la Ec. (11) es nula. Se supone que entonces que el desplazamiento relativo normal en la punta de grieta es nulo. Así, el modo II ocurre cuando:

(14)

En el presente estudio, si los desplazamientos tangencial y normal son nulos en la punta de grieta, se supone que también son nulos cerca de la punta de grieta, en la zona agrietada.

4. Ensayo Asimétrico de Viga en Doble Voladizo: ADCB

La Fig. 2 muestra la configuración del ensayo de Viga en Doble Voladizo Asimétrica. La asimetría puede ser debida a diferentes espesores del mismo material o a la unión de distintos materiales. La rotación de la parte recta de la probeta indica la presencia de modo II.

Fig. 2 . Configuración de ensayo ADCB.

Fig. 3 . Fuerzas actuantes en el ensayo ADCB.

El ángulo rotado en la zona no agrietada puede ser determinado en primera aproximación, sin tener en cuenta las rotaciones de la punta de grieta, es decir, suponiendo que los brazos de grieta están perfectamente empotrados en la punta de grieta. La Fig. 3 muestra el diagrama de sólido libre de la probeta y la Fig. 4 muestra el diagrama de sólido libre que corresponde a la aplicación de un momento unitario en la zona no agrietada. Este diagrama se utiliza para calcular las derivadas de los momentos flectores.

Fig. 4 . Momento unitario y reacciones resultantes en ADCB.

Según el teorema de Engesser-Castigliano:

(15)

donde M_i y M' _i son los momentos flectores y sus derivadas, respectivamente. Tras determinar los momentos flectores en la Fig. 3 y sus derivadas de la Fig. 4, sustituyendo en la Ec. (15), la rotación de sólido rígido viene dada por:

(16)

Donde h es el espesor total; h_i son los espesores de cada brazo; F es la carga aplicada; a es la longitud de grieta; d_i son flexibilidades de flexión, siendo  ; E_i es el momento flector del brazo i; I_i es el momento de inercia del brazo i; siendo i = 1, 2 los brazos superior e inferior, respectivamente. Mediante una rotación de sólido rígido, la configuración de ensayo es la mostrada en la Fig. 5. En este caso, la línea de grieta es horizontal y el desplazamiento relativo tangencial entre los puntos A y B es:

(17)

Fig. 5 . Configuración ADCB rotada con línea de grieta horizontal.

La línea de grieta permanece horizontal y el desplazamiento relativo tangencial de dos puntos homólogos puede determinarse utilizando las cargas unitarias de la Fig. 6.

Fig. 6 . Cargas unitarias para determinar el desplazamiento relativo tangencial.

Sustituyendo los momentos de la Fig. 5 y las derivadas de la Fig. 6 en la Ec. (15), el desplazamiento relativo tangencial entre dos puntos homólogos es:

(18)

cuando x_u = 0, el desplazamiento concuerda con el de la Eq. (17). Para cualquier punto, el desplazamiento relativo es nulo si:

(19)

Esta condición es equivalente a imponer la igualdad de deformaciones unitarias normales en puntos homólogos. Cabe señalar que la condición de desplazamientos nulos coincide con la de ángulo de rotación nulo. La Ec. (19) se convierte en:

(20)

5. Ensayo asimétrico de Flexión con Entalla Final

5.1 Fuerza entre los brazos de grieta

La Fig. 7 muestra la configuración del ensayo ANEF, suponiendo que el contacto entre los brazos de grieta ocurre sólo encima del apoyo izquierdo.

Fig. 7 . Configuración del ensayo AENF.'

Esta condición se indica mediante un rodillo de radio despreciable. Así, se supone que la transferencia de cargas está concentrada encima del soporte y que ambos brazos de grieta están sometidos a una fuerza desconocida Y. Para calcular dicha fuerza, sólo debe analizarse la zona agrietada. Teniendo en cuenta los efectos de flexión y cortante, esta fuerza puede determinarse mediante el teorema de Engesser-Castigliano:

(21)

donde M_i, Q_i son los momentos flectores y fuerzas cortantes de la parte i; M_i,Y y Q_i,Y son las derivadas de los momentos flectores y de las fuerzas cortantes de la parte i respecto de Y; s_i son flexibilidades de cortadura, siendo:  ; G_i es el módulo de cortadura fuera del plano del brazo i; A_i es el área de la parte i; siendo i = 1, 2 los brazos superior e inferior, respectivamente.

La Ec. (21) es equivalente a imponer que el desplazamiento relativo es nulo. La fuerza Y es:

(22)

La fuerza de la Ec.(22) puede ser descompuesta en dos componentes relacionadas con los efectos de flexión y cortante, respectivamente:

(23)

La componente de flexión de la Ec. (23) se obtiene considerando sólo efectos de flexión en la Ec. (21). Así, la componente de cortante se obtiene como:

(24)

La componente debida al cortante es nula cuando se satisface la siguiente condición:

(25)

5.2 Desplazamientos relativos normales

Por otra parte, los desplazamientos relativos normales entre dos puntos homólogos de la grieta pueden determinarse mediante el teorema de Engesser-Castigliano:

(26)

Las derivadas de los momentos y de las fuerzas cortantes se obtienen aplicando fuerzas unitarias verticales, como se muestra en la Fig. 8.

Fig. 8 . Fuerzas unitarias para determinar los desplazamientos relativos normales

La condición para que no exista interacción entre los brazos es:

(27)

Tras calcular la Ec. Eqs. (26) e imponiendo la condición (27) resulta:

(28)

Siendo I_b e I_s de la Ec. (28) integrales relacionadas con términos de flexión y cortante, respectivamente:

(29)

Suponiendo que la Ec. (28) puede expresarse como:

(30)

Si no se satisface la desigualdad de la Ec. (30), existe contacto entre ambos brazos a lo largo de la línea de grieta. La interacción entre ambos no puede suponerse concentrada encima del apoyo. Por otra parte, el modo II puro ocurre cuando se satisface la igualdad. Esta condición es la misma que la obtenida en la Ec. (25). Por lo tanto, en modo II puro, suponiendo que la fuerza entre ambos brazos de grieta está concentrada sobre el apoyo, ésta sólo depende de los efectos de flexión.

6. Conclusiones

Siendo 1 y 2 los brazos de grieta superior e inferior, se han determinado las relaciones entre espesores de uniones bimateriales en ensayos ADCB y AENF, para obtener modos puros I y II. Utilizando estas relaciones geométricas, se pueden utilizar las metodologías normalizadas de ensayo en modos I y II para determinar las tasas de liberación de energía en modos I y II de uniones bimateriales.

Agradecimientos

El presente trabajo ha contado con la financiación de La Universidad del País Vasco (UPV/EHU) al Grupo de Investigación GIU20/060 “Mecánica de Materiales”.

7. Referencias

1. Williams JG. On the calculation of energy release rates for cracked laminates. International Journal of Fracture 1988; 36: 101-119.

2. Charalambides M, Kinloch AJ, Wang Y, Williams JG. On the analysis of mixed-mode failure. International Journal of Fracture 1992; 54: 269-291.

3. Bennati S, Colleluori M, Corigliano D, Valvo PS. Composites Science and Technology 2009; 69: 1735-1745.

4. Mollón V, Bonhomme J, Argüelles A, Viña J. Influence of the crack plane asymmetry over G_II results in carbon epoxy ENF specimens. Composite Structures 2012; 94: 1187-1191.

5. Valvo PS. On the calculation of energy release rate and mode mixity in delaminated laminated beams. Engineering Fracture Mechanics 2016; 165: 114-139.

6. Maimí P, Renart J, Sarrado C, González EV. Characterization of debonding between two different materials with beam like geometries. Engineering Fracture Mechanics 2021; 247: 107661.

7. Mawardi OB. On the concept of coenergy, Journal of the Franklin Institute 1957, 264: 313-332.

8. Arrese A, Boyano A, De Gracia J, Mujika F. A novel procedure to determine the cohesive law in DCB tests. Composites Science and Technology 2017; 152: 76-84.