Determination of the flexural and shear moduli in curved section specimens by means of bending tests

1. INTRODUCCIÓN

En los últimos años se están sustituyendo los postes de madera y hormigón por otros fabricados de poliéster reforzado con fibra de vidrio (PRFV). Las ventajas de este material frente a los tradicionales son su bajo peso, facilidad para el transporte y resistencia a la corrosión, al fuego y a la intemperie.

Debido a la gran variabilidad en las propiedades mecánicas aportadas por los diferentes fabricantes, puede ser de utilidad definir un procedimiento de ensayo de flexión para caracterizar el material utilizando probetas obtenidas a partir del poste. Dado que estas probetas tienen sección curva, es preciso analizar la influencia de la cortadura según varía el ancho y longitud de la probeta.

En este estudio se analiza el efecto de la cortadura en el cálculo los módulos de flexión y cortadura mediante ensayos de flexión. Para ello, se ha realizado una aproximación analítica del factor de cortante en vigas de sección curva y espesor constante, para posteriormente realizar una validación numérica de los resultados obtenidos.

2. CÁLCULO DE LOS MÓDULOS DE FLEXIÓN Y CORTADURA MEDIANTE ENSAYOS DE FLEXIÓN

2.1. INTRODUCCIÓN

Mujika [1] propuso un procedimiento para determinar los módulos de flexión y cortadura del material a partir de la curva carga-desplazamiento en el ensayo de flexión de tres puntos. Considerando la condición de simetría del ensayo se ha modelado como la media viga empotrada de la figura 1.

Fig. 1. Modelo del ensayo de tres puntos y sección transversal

De acuerdo con el teorema de Enguesser-Castigliano [2], el desplazamiento en el punto de aplicación de la carga P es:

$\delta ={\frac {P{L}^{3}}{3{E}_{f}{I}_{z}}}+\chi {\frac {PL}{GA}}$

(1)

Donde M es el momento flector, V es la fuerza cortante, E_f es el módulo de flexión, G es el módulo de cortadura, I_z es el momento de inercia de la sección respecto al eje z que para por su centro de gravedad, A es el área de la sección transversal y χ es el factor de cortadura. Reordenando los términos resulta:

${E}_{f}={E}_{0}\left[1+\chi {\frac {3{E}_{f}{I}_{z}}{GA}}{\left({\frac {1}{L}}\right)}^{2}\right]$

(2)

Donde ${\textstyle {E}_{0}={\frac {m{L}^{3}}{3{I}_{z}}}}$ y ${\textstyle m=}$${\frac {P}{\delta }}$ es la pendiente de la curva carga-desplazamiento.

Reordenando la ecuación (2) resulta:

${E}_{0}^{-1}={E}_{f}^{-1}\left[1+\chi {\frac {3{E}_{f}{I}_{z}}{GA}}{\left({\frac {1}{L}}\right)}^{2}\right]$

(3)

Esta ecuación es equivalente a una ecuación lineal ${\textstyle y={A}_{r}+}$${B}_{r}x.$ Donde:

${\textstyle y={E}_{0}^{-1}}$, ${\textstyle x={\left({\frac {1}{L}}\right)}^{2}}$, ${\textstyle {A}_{r}=}$${E}_{f}^{-1}$, ${\textstyle {B}_{r}=\chi {\frac {3{I}_{z}}{A}}{G}^{-1}}$

(4)

Los coeficientes A_r y B_r se obtienen por regresión lineal a partir de las n curvas carga-desplazamiento obtenidas variando la separación entre apoyos. Conocidos los coeficientes A_r y B_r se tienen E_fy G:

${\textstyle {E}_{f}={{A}_{r}}^{-1}}$, ${\textstyle G=}$$\chi {\frac {3{I}_{z}}{A}}{{B}_{r}}^{-1}$

(5)

Estas ecuaciones son válidas para cualquier tipo de sección, pero previamente hay que calcular el factor de cortante de la sección transversal.

2.2. VALORES ESTÁTICOS DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL

En la Fig. 2 se muestra la sección transversal de las probetas objeto de este análisis, donde R₁ y R₂ son los radios exterior e interior respectivamente y φ(-θ,θ) el ángulo.

Fig. 2. Sección transversal

El momento de inercia respecto al eje z que pasa por el centro de gravedad de la sección es:

${I}_{z}={R}_{1}^{4}\left(1-{f}^{2}\right)\left[{\frac {1}{8}}\left[2\theta +sin\left(2\theta \right)\right]\left(1+\right.\right.$$\left.\left.{f}^{2}\right)-{\frac {4}{9}}{\frac {{sin}^{2}\theta }{\theta }}{R}_{1}{\left(1+{\frac {\,{f}^{2}}{1+f}}\right)}^{2}\right]$

(6)

Siendo ${\textstyle f={\frac {{R}_{2}}{{R}_{1}}}}$. La posición del centro de gravedad de la sección, y_G, es:

${y}_{G}={\frac {2}{3}}{\frac {sin\theta }{\theta }}{\frac {{R}_{1}^{3}-{R}_{2}^{3}}{{R}_{1}^{2}-{R}_{2}^{2}}}=$${\frac {2}{3}}{\frac {sin\theta }{\theta }}{R}_{1}\left(1+{\frac {\,{f}^{2}}{1+f}}\right)$

(7)

Y el área de la sección transversal:

$A={R}_{1}^{2}\left(1-{f}^{2}\right)$

(8)

2.3. FACTOR DE CORTANTE

El factor de cortante de una sección se calcula a partir de la energía de deformación de cortadura de la viga y su expresión es [3]:

$\chi ={\frac {A}{{T}^{2}}}\int _{A}^{}{\tau }^{2}dA$

(9)

Donde T es el esfuerzo cortante, A el área de la sección transversal y τ la tensión de cortadura. Descomponiendo la tensión cortante en sus componentes radial y tangencial:

${\tau }^{2}={\tau }_{rx}^{2}+{\tau }_{\varphi x}^{2}$

(10)

Sustituyendo la ecuación (10) en (9),

$\chi ={\frac {A}{{T}^{2}}}\left(\int _{A}^{}{\tau }_{rx}^{2}dA+\int _{A}^{}{\tau }_{\varphi x}^{2}dA\right)$

(11)

El factor de cortante se puede descomponer como la suma de los factores de cortadura tangencial y radial.

$\chi ={\chi }_{r}+{\chi }_{\varphi }$

(12)

La componente tangencial es:

${\chi }_{\varphi }={\frac {A}{{T}^{2}}}\int _{A}^{}{\tau }_{\varphi x}^{2}dA={\frac {A}{{T}^{2}}}\int _{R2}^{R1}rdr\int _{-\theta }^{\theta }{\tau }_{\varphi x}^{2}d\varphi$

(13)

Y la componente radial:

${\chi }_{r}={\frac {A}{{T}^{2}}}\int _{A}^{}{\tau }_{rx}^{2}dA={\frac {A}{{T}^{2}}}\int _{R2}^{R1}rdr\int _{-\theta }^{\theta }{\tau }_{rx}^{2}d\varphi$

(14)

2.4. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS

A continuación, se ha analizado la influencia del radio exterior, el espesor y el ángulo en el factor de cortante. Para ángulos pequeños la componente ${\textstyle {\chi }_{\varphi }}$ es despreciable y el factor de cortante tiende a 1,2 como en una sección rectangular. Para 180º la componente ${\textstyle {\chi }_{r}}$ es despreciable y el factor toma el valor 2 como en un tubo hueco delgado.

En la Figura 5 se muestra la influencia de las componentes radial y tangencial del factor de cortante en una probeta de 39mm de radio exterior y 3mm de espesor. El ángulo a partir del cual el efecto del espesor de la probeta puede despreciarse oscila entre 25º y 40º en función de la geometría de la probeta, pero hasta ese valor su influencia debe tenerse en cuenta.

Fig. 5 Componentes radial y tangencial del factor de cortante

En la figura 6 se muestra la variación del factor de cortante en una sección curva de 6 mm de espesor, para radios exteriores que varían desde 30 mm hasta 165 mm y ángulos de corte desde 5º hasta 180º.

Fig. 6 Influencia del radio y del ángulo de corte

En el gráfico se observa que entre 5º y 45º el factor de cortante aumenta de forma pronunciada y ese efecto aumenta con el radio. Para un radio de 165 mm y 20º el factor de cortante es 20. A partir de 90º el valor se aproxima a 2 en todos los casos.

En la figura 7 se analiza la variación del factor de cortante en una sección de 165 mm de radio exterior a la que se va variando el espesor desde 6 mm hasta 15 mm y ángulos de corte desde 5º hasta 180º. En este caso el factor de cortante disminuye cuando aumenta el espesor, para un mismo ángulo.

Fig. 7 Influencia del espesor y del ángulo de corte para un radio de 165 mm

2.5. COMPARACIÓN CON RESULTADOS NUMÉRICOS

Con el objetivo de validar numéricamente la expresión analítica del factor de cortante, se ha realizado un análisis por Elementos Finitos de un ensayo de flexión de 3 puntos de una viga de sección curva de poliéster reforzado con fibra de vidrio. En la simulación del ensayo las propiedades del material son datos de entrada y, teniendo en cuenta la condición de simetría del ensayo de tres puntos, se ha modelado como media viga empotrada. No se han incluido los rodillos de apoyo ni de carga, por tanto, no hay que considerar la reducción de la luz entre apoyos que sucedería en un ensayo real. Para evitar los efectos de las deformaciones locales, se ha impuesto un desplazamiento vertical en todos los puntos de la sección del extremo libre.

En el análisis por Elementos Finitos como datos de entrada se han supuesto las propiedades mecánicas que figuran en la Tabla 1 [4]:

Tabla 1: propiedades del material introducidas en el análisis EF.

E1 (GPa)	E2, E3 (GPa)	G12, G13 (GPa)	G23 (GPa)	ν12,ν13	ν23
39,9	8,3	3,6	3,7	0,27	0,11

Para el análisis EF se han utilizado elementos hexaédricos de 8 nodos incompatibles (C3D8I) en el programa ABAQUS ESTÁNDAR [5]. A partir de las expresiones de (4) por regresión lineal se obtienen los parámetros A_r y B_r. Como el valor de G es conocido, de la ecuación (5) se obtiene el factor de cortante:

$\chi ={\frac {{B}_{r}A}{3{I}_{z}G}}$

(15)

Para realizar la validación numérica, se ha analizado 5 vigas de sección curva de 65 mm de radio exterior y 6 mm de espesor, con ángulos θ de 5º, 10º, 20º, 30º y 45º.

En la tabla 2 se muestra una comparativa entre los resultados numéricos y analíticos. En todos los casos el error es menor que el 1% excepto para un ángulo de 45º en el que el error es del 2%.

Tabla 2: Factores de cortante. R₂=65 mm; H=6 mm

θ (º)	χanalítico	χnumérico	Error (%)
5	1,20	1,19	0,9 %
10	1,24	1,25	-0,4 %
20	3,88	3,84	1,0 %
30	7,94	7,96	-0,2 %
45	6,52	6,66	-2,1 %

A continuación se ha analizado una viga de 165 mm de radio exterior y θ de 10º, para espesores de 2, 4 y 6 mm. En la Tabla 3 se muestran los factores de cortante analíticos y numéricos obtenidos con los diferentes espesores.

Tabla 3: Factores de cortante. R₂=165 mm; θ =10º

H(mm)	χanalítico	χnumérico	Error (%)
2	55,55	55,28	0,5 %
4	12,69	12,7	-0,1 %
6	4,20	4,16	-1,0 %

En los tres casos analizados el error es menor que el 1%, por lo tanto, se da por validada la aproximación analítica del factor de cortante.

3. DETERMINACIÓN DE LOS MÓDULOS DE FLEXIÓN Y CORTADURA EN PROBETAS DE SECCIÓN CURVA Y ANCHO CONSTANTE

A la hora de extraer las probetas, éstas normalmente se cortarían de diferentes partes del poste y con una anchura constante. Teniendo en cuenta que estos postes tienen diferentes radios en cabeza y en base se han analizado probetas obtenidas en la cabeza y en la base de dos postes de diferentes alturas. En esta sección se van a calcular los módulos de flexión y cortadura mediante el procedimiento descrito en el apartado (2), en probetas de 15 mm de anchura [6] y tomando como factor de cortante el obtenido mediante la aproximación analítica.

En la tabla 4 se muestran los resultados de la simulación del ensayo de 3 puntos. Los módulos de flexión y cortadura se han comparado con los valores introducidos en el programa como datos de entrada.

Tabla 4: Módulos de flexión y cortadura

	POSTE 1		POSTE 2
Altura (m)	14		3
Radio exterior en base (mm)	165		65
Radio exterior en cabeza (mm)	39		39
Espesor (mm)	10		4
χBase	1,200		1,297
χCabeza	1,207		1,434
BASE	Numérico	Error	Numérico	Error
Ef (MPa)	39983	0,2%	40239	0,8%
G (MPa)	3576	-0,7%	3569	-0,9%
CABEZA	Numérico	Error	Numérico	Error
Ef (MPa)	39953	0,1%	40268	0,9%
G (MPa)	3571	-0,4%	3575	-0,7%

En todos los casos el error cometido tanto en el módulo de flexión como en el de cortadura es menos del 1%. Si en la probeta obtenida de la parte superior del poste 2, se hubiera supuesto un factor de cortante de 1.2 correspondiente a una sección rectangular, se obtendría un módulo de cortadura de 2981 MPa, con un error de -17,2%.

4. CONCLUSIONES

Se ha realizado una aproximación analítica para determinar el factor de cortante en probetas de sección curva obtenidas de postes de poliéster reforzado con fibra de vidrio.

Para validar la aproximación analítica, se ha realizado una simulación por elementos finitos del ensayo de 3 puntos con probetas con diferentes geometrías para obtener el valor del factor de cortante numérico. La aproximación analítica ha sido validada numéricamente.

Finalmente, se han calculado los módulos de flexión y cortadura del material en probetas con diferentes geometrías mediante el ensayo de flexión de 3 puntos, tomando como factor de cortante el obtenido mediante la aproximación analítica. En todos los casos el error ha sido inferior al 1%.

Dependiendo de la geometría de la probeta la influencia del cortante puede ser muy grande y no tener en cuenta este efecto puede originar errores considerables en el cálculo del módulo de cortadura.

5. AGRADECIMIENTOS

Los autores agradecen a la Universidad del País Vasco (UPV/EHU) la financiación del Grupo de Investigación Mecánica de Materiales GIU20/060 en la convocatoria de 2020.

6. REFERENCIAS

1. Mujika F. On the effect of shear and local deformation in three-point bending tests. Polym Test. 2007; 26(7):869-77.

2. Oden JT, Ripperger EA. Mechanics of Elastic Structures. 2nd ed. Washington: Hemisphere Publishing Corporation; 1981.

3. Gere JM, Timoshenko SP. Mechanics of materials. 4th ed. Pws; 1997

4. Morgado T, Silvestre N, Correia JR. Simulation of fire resistance behavior of pultruded GFRP beams – Part I: Models description and kinematic issues. Compos Struct. 2018;187:269-80.

5. ABAQUS version 6.12: ABAQUS user's manual, SIMULIA World Headquarters, 166 Valley Street, Providence, RI 02909, USA; 2012

6 ISO 14125 Fibre-reinforced plastic composites - Determination of flexural properties