Blade's parameterization of a Francis 99 turbine using Bernstein polynomials

1 Introducción

En la teoría de variable compleja existen técnicas que nos permiten diseñar secciones de álabes con formas relativamente complicadas empleando mapeos conformes [1,2,3], pero estos tienen un costo computacional elevado debido al gran número de parámetros que se necesitan determinar para generar una geometría útil para un control numérico, por lo que en la práctica es necesario recurrir a metodologías más simples como la parametrización empleando polinomios, reduciendo así el número de coeficientes a determinar. Los métodos de parametrización de álabes pueden clasificarse en dos principales grupos: aproximación por secciones y parches sobre superficies. Para ambas metodologías, la clave de su implementación eficiente consiste en reducir el número de parámetros para representar geometrías complejas con el menor costo computacional, lo cual ha llevado al desarrollo y uso de un gran número de técnicas en busca de parametrizaciones optimas [1,4,5,6,7]. Por su parte, los álabes de turbinas Francis son formas complejas que difícilmente pueden ser reconstruidas geométricamente a partir de una sola función. Algunas de las investigaciones recientes incluyen el uso de métodos de optimización para el diseño de álabes de compresores y turbinas, además del desarrollo de perfiles aerodinámicos [8,9,10,11,12,13,14]. Una opción versátil e intuitiva para realizar la representación numérica de un álabe es el uso de Polinomios de Bernstein [15]. Estos pueden utilizarse con la idea de realizar ajustes suficientemente precisos en un intervalo cerrado de las curvas continuas que representan líneas de corriente. Originalmente fueron propuestos por Bernstein en 1912, y fueron empleados en relativamente pocas aplicaciones debido a limitaciones de las capacidades de cómputo en ese momento [16,17]. Actualmente, su versatilidad ha permitido aplicarlos en áreas como el cálculo, análisis de elementos finitos, control de sistemas dinámicos, modelado y optimización de geometrías complejas, etc. [18,15,16,19,20,21]. El presente trabajo muestra una implementación de los polinomios de Bernstein para realizar un ajuste numérico de un álabe de una turbina Francis 99. A continuación, se describe el proceso de parametrización implementado y los resultados obtenidos.

2 Descripción de la turbina

Las turbinas hidráulicas son turbomáquinas motoras que absorben energia del fluido y la convierte en energía mecánica. Estas se pueden clasificar en función de su grado de reacción (${\textstyle \varepsilon _{T}}$) como turbinas de acción y reacción [22]. Las turbinas Francis son turbinas de reacción que trabajan con flujo radio-axial y son utilizadas para la producción de energia eléctrica. El caso de estudio se basa en la parametrización del álabe de una turbina hidráulica Francis 99 (Figura 1a), cuyo rotor esta compuesto por 15 álabes principales (Figura 1b) y 15 divisores, y tiene un diámetro de . El rotor puede alcanzar una velocidad de ${\textstyle 335.4}$ revoluciones por minuto y una eficiencia hidráulica de ${\textstyle 92.61\%}$.

(a) Rotor.	(b) Álabe principal.
Figura 1: Turbina Francis 99.

3 Metodología de parametrización

El proceso de parametrización puede realizarse en tres etapas: extracción de datos, reconstrucción del álabe y evaluación numérica (Figura 2). A continuación se describe en que consiste cada una de ellas.

Figura 2: Etapas del proceso de parametrización.

3.1 Extracción de datos

El primer paso consiste en la obtención de las coordenadas ${\textstyle x_{i},y_{i},z_{i}}$ a partir de un escaneo del álabe real de una turbina Francis 99. El perfil se divide en ${\textstyle n}$ secciones (para este caso en particular ${\textstyle n=10}$) las cuales definen los planos de corte en los que la sección es escaneada (Figura 3a). Para definir cada plano se obtienen las coordenadas de ${\textstyle m}$ puntos en cada una de las caras de succión y presión (${\textstyle m=128}$ para este caso en particular) (Figura 3b). El proceso de extracción de datos es vital, mientras mejor sea la distribución de puntos sobre la superficie escaneada obtendremos una mejor representación del elemento y por lo tanto una parametrización más precisa; por otra parte, un escaneo deficiente introduce errorres que se manifiestan en la calidad de la parametrización. Los datos del escaneo usados en este trabajo fueron proporcionados por the Norwegian Hydropower Centre [23].

(a) Planos de corte.	(b) Datos del escaneo.
Figura 3: Definición de los planos de corte.

3.2 Reconstrucción de la geometría del álabe

En la etapa de reconstrucción se realiza el ajuste de las caras de presión y succión de la sección transversal del álabe para cada uno de los planos previamente definidos. Para esto se ejecuta un proceso de interpolación empleando un polinomio ${\textstyle P(t)}$ definido por 8 curvas de Bernstein ${\textstyle P^{(k)}(t)}$ de cuarto orden (1). La elección de la cantidad de curvas implementadas para definir el contorno de la sección transversal esta directamente relacionada con la precisión que se desea obtener. Cada cara de la sección tranversal puede ser definida con tres polinomios o menos, pero esto disminuiría la precisión del ajuste. Del mismo modo incrementar el número de curvas de ajuste reduciría el error pero incrementaría el costo computacional, por lo que lo más conveniente es establecer una tolerancia para el error y encontrar una punto de equilibrio entre precisión y costo computacional.

Las ocho curvas de Bernstein están dadas por

$P^{(k)}(t)=\sum _{i=0}^{n=4}C_{i}^{(k)}B_{i}^{4}(t),\quad k=1,...8$

(1)

donde ${\textstyle t}$ representa la longitud de arco de cada una de las 8 piezas de la sección de la cara correspondiente (presión o succión) ${\textstyle 0\leq t\leq 1}$, ${\textstyle C_{i}^{(k)}}$ son 5 puntos de control que definen la forma del ajuste en cada curva, y ${\textstyle k}$ representa la curva correspondiente a cada uno de las piezas de la parametrización (figura 5). Como sabemos, los polinomios ${\textstyle B_{i}^{4}(t)}$ pueden escribirse como

$B_{i}^{n}(t)=\left({\begin{array}{lclc}n\\i\end{array}}\right)t^{i}\,(1-t)^{n-i}$

(2)

donde,

$\left({\begin{array}{lclc}n\\i\end{array}}\right)={\dfrac {n!}{(n-i)!\,i!}}.$

(3)

Figura 4: Polinomio de Bernstein de cuarto orden.

Algunas de las propiedades más importantes de los polinomios de Bernstein son la simetría, la positividad y la partición de la unidad [24], entre otras, que los convierten en herramientas útiles para el diseño asistido por computadora (ver Figura 4).

Proponiendo un problema de mínimos cuadrados para obtener el mejor ajuste en la evaluación de ${\textstyle P(t)}$ de manera simultánea en todas las coordenadas ${\textstyle x_{i},y_{i},z_{i}}$, considerando restricciones de continuidad para los diferentes ${\textstyle P^{(k)}}$, se determinan los puntos de control ${\textstyle C_{i}^{(k)};k=1,...,8;i=0,...,4}$. Cada cara es definida usando ${\textstyle 4}$ polinomios (Figura 5) con lo que se generan así ${\textstyle 20}$ puntos de control. La condición de continuidad viene dada por

$P^{(k)}(\tau _{k})=P^{(k+1)}(\tau _{k}),$

donde los valores ${\textstyle \tau _{k}}$ se eligen de tal manera que el error cuadrático medio entre ${\textstyle P(t)}$ y los puntos escaneados sea un mínimo. Una vez definidos los coeficientes se puede generar una representación de la sección transversal del álabe usando ${\textstyle N}$ puntos. Es importante mencionar que la precisión del ajuste está directamente relacionada con el valor de ${\textstyle N}$; a mayor número de puntos, menor error, lo cual se puede observar a simple vista en la Figura (6) en donde se muestra los resultados del ajuste para ${\textstyle N=10}$ y ${\textstyle N=100}$ (La línea punteada representa el ajuste y la línea continua la geometría real).

Figura 5: Puntos de control.

(a) N=10.	(b) N=100.
Figura 6: Ajuste numérico usando N puntos.

Después de generar una sección transversal el proceso se repite para producir cada uno de los planos (Figura 3) y posteriormente construir la superficie del álabe empleando interpolación transfinita (Figura 7) [15].

Figura 7: Superficie del álabe.

3.3 Evaluación del error

La etapa final del proceso de parametrización es la evaluación del error para determinar la precisión del ajuste sobre toda la superficie del álabe y los datos escaneados. Dado que se compara la precisión con que el modelo ajusta los datos reales obtenidos a partir del escaneo, en la literatura se utiliza el error cuadrático medio dado por (4):

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): SME = \sqrt{\frac{\sum _{i=1}^{n}D_{i}^{2}}{n}}

(4)

donde Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://mathoid.scipedia.com/localhost/v1/":): {\textstyle D_{i}} , es la distancia euclidiana entre el punto ${\textstyle (x_{i}}$, ${\textstyle y_{i}}$, ${\textstyle z_{i})}$ y la tangente a la superficie definida por el correspondiente vector unitario normal a la superficie generada del álabe [5].

Al evaluar la ecuación (4) tomando ${\textstyle N=128}$, el error cuadrático medio obtenido entre los datos del escaneo y el ajuste es de ${\textstyle 1.5496\times 10^{-3}\%}$ en la cara de presión y ${\textstyle 9.685\times 10^{-5}\%}$ para la cara de succión [15], ambos valores dentro de la tolerancia sugerida por Dube et al. [18].

4 Conclusiones

El presente trabajo se enfocó en mostrar la implementación de la metodología de aproximación por secciones usando polinomios de Bernstein para la parametrización de formas geometricas complejas, y en particular de álabes de turbinas. Los polinomios de Bernstein muestran ser una opción viable y adecuada, relativamente fácil de implementar. Los resultados obtenidos son muy satisfactorios, y la versatilidad con la que los polinomios se adaptan a la geometría compleja sugiere que esta metodología puede ser implementada para parametrizar álabes de diferentes tipos de turbina, hélices o cualquier otra geometría compleja.

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