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Avaliação de alternativas para a parametrização dos comprimentos de rugosidade de quantidade de movimento e vapor d'água em lagos

Uma avaliação do desempenho de diversas alternativas de parametrização dos comprimentos de rugosidade para quantidade de movimento e vapor d'água foi realizada com dados medidos sobre a água no reservatório de Itaipu, Brasil. Foram testadas 4 parametrizações para a rugosidade para a quantidade de movimento, e 4 para a rugosidade para o vapor d'água. As parametrizações para quantidade de movimento consistem na equação de Charnock e generalizações, enquanto que as parametrizações para vapor d'água baseiam-se em equações propostas por Brutsaert. As 4 parametrizações para quantidade de movimento produziram resultados muito parecidos em termos de bondade de ajuste e erros, e se revelaram apenas fracamente dependentes da velocidade de atrito. Já as parametrizações para vapor d'água produziram resultados mais dispersos, sendo que as melhores parametrizações encontradas dependem muito fracamente do número de Reynolds de rugosidade, ou são independentes do mesmo. Tanto no caso de quantidade de movimento quanto de vapor d'água, os valores dos parâmetros ótimos de cada parametrização encontrados para Itaipu são significativamente maiores do que os reportados na literatura.

Palavras chave: Quantidade de movimento; Equação de Charnock; Turbulência.

1 Introdução

A estimativa correta dos fluxos superficiais de quantidade de movimento, calor sensível e massa de vapor d’água é um fator crucial em muitas aplicações de engenharia, incluindo a modelagem de interações superfície-atmosfera em modelos atmosféricos e modelagem e gerenciamento de recursos hídricos (Heikinheimo et al., 1999; Kelman et al., 2004; Mahrer e Assouline, 1993; Siqueira e Katul, 2010; Thomas et al., 2008). A partir de medições feitas na parte superior da camada limite atmosférica, denominada subcamada inercial (onde se aplica a Teoria da Similaridade de Monin-Obukhov; ver Raupach e Thom (1981)), os fluxos de escalares podem ser obtidos a partir da teoria de Brutsaert para a estimativa do comprimento de rugosidade para os escalares (Brutsaert, 1965, 1975a,b), que estende a Teoria da Renovação Superficial (TRS) de Danckwerts (1951) para produzir um conjunto fechado de equações para os comprimentos de rugosidade de um escalar (no nosso caso, a rugosidade ${\displaystyle z_{0E}}$ para o vapor d’água) e o tempo médio de contato dos vórtices de menor escala com a superfície. Para ser aplicada, a teoria requer o conhecimento do comprimento de rugosidade para quantidade de movimento ${\displaystyle z_{0}}$ característico da superfície.

Para superfícies sólidas e com vegetação, ${\displaystyle z_{0}}$ geralmente pode ser considerado constante, pelo menos sobre uma certa faixa de direções do vento. Sobre a água, ${\displaystyle z_{0}}$ é mais comumente estimado usando a equação de Charnock (1955),

onde ${\displaystyle u_{*}}$ é a velocidade de atrito e ${\displaystyle g}$ é a aceleração da gravidade e o número adimensional ${\displaystyle \alpha }$ é o parâmetro de Charnock. Para oceanos abertos, ${\displaystyle \alpha }$ é da ordem de ${\displaystyle 10^{-2}}$ como sugerido originalmente e corroborado por diversos estudos posteriores (Large e Pond, 1981; Smith,1980, 1988b; Stacey, 1999).

Para o caso de corpos de água rasos, existem evidências de que a parametrização de Charnock não explica totalmente a relação entre a velocidade média do vento e a velocidade de atrito (Anctil e Donelan, 1996). Por exemplo, valores maiores do coeficiente de Charnock foram encontrados por Garratt (1977) (${\displaystyle \alpha =0.0145}$) , Wu (1980) (${\displaystyle \alpha =0.018}$) e Shabani et al. (2014) (${\displaystyle \alpha =0.110}$).

Devido aos diferentes valores encontrados para o parâmetro de Charnock em corpos de água rasos e profundos, e devido à pequena bibliografia sobre o tema, é importante a realização de outros estudos sobre a parametrização de ${\displaystyle z_{0}}$ em lagos. Uma parte do presente trabalho consiste em parametrizar adequadamente ${\displaystyle z_{0}}$ , utilizando dados provenientes de uma extensa campanha micrometeorológica no lago de Itaipu, Brasil.

Para lagos, a parametrização para o comprimento de rugosidade de escalares da teoria original foi testada por diversos autores (ver, por exemplo, Dias e Vissotto, 2017; Verburg e Antenucci, 2010), com valores de parâmetros sempre muito próximos daqueles propostos originalmente por Charnock (1955) e Brutsaert (1975a,b). Neste trabalho, nós avaliamos experimentalmente as alternativas existentes, com particular atenção aos erros que elas produzem, e aos valores ótimos de seus parâmetros.

Este trabalho está organizado da seguinte maneira: na seção 2, nós apresentamos a metodologia e revisitamos parametrizações alternativas tanto para ${\displaystyle z_{0}}$ quanto para ${\displaystyle z_{0E}}$; na seção 3, nós descrevemos brevemente o sítio experimental do lago de Itaipu, cujos dados são utilizados neste trabalho; na seção 4, nós comparamos as diversas parametrizações, e discutimos os resultados obtidos. As conclusões são apresentados na seção 5.

2 Metodologia

2.1 Fluxos turbulentos e Teoria de Similaridade de Monin-Obukhov

Neste trabalho, nós lidamos com os fluxos turbulentos de quantidade de movimento, calor sensível e calor latente, dados por

Nas equações acima, ${\displaystyle u}$ é a velocidade longitudinal do vento; ${\displaystyle w}$ é a velocidade vertical; ${\displaystyle \rho }$ é a densidade do ar; ${\displaystyle c_{p}}$ é o calor específico a pressão constante do ar; ${\displaystyle \theta }$ é a temperatura do ar; ${\displaystyle q}$ é a umidade específica, e ${\displaystyle L}$ é o calor latente de evaporação. As equações (2)–(4) definem as escalas turbulentas ${\displaystyle u_{*}}$, ${\displaystyle \theta _{*}}$ e ${\displaystyle q_{*}}$ (velocidade de atrito e escalas turbulentas de temperatura e umidade, respectivamente), a partir das quais obtém-se a variável de similaridade de Obukhov,

onde ${\displaystyle z_{r}}$ é uma altura arbitrária acima da superfície, ${\displaystyle \kappa =0,4}$ é a constante de vón Kármán, e

são a temperatura virtual média e a escala turbulenta de temperatura virtual, respectivamente. Nas equações acima, uma barra indica uma média e uma linha a flutuação turbulenta em torno da média.

Os fluxos turbulentos ${\displaystyle \tau }$ e ${\displaystyle LE}$ podem ser estimados a partir da medição de grandezas médias via Teoria de Similaridade de Monin-Obukhov (TSMO), com

e substituição em (2) e (4), onde ${\displaystyle z}$ a é a altura de medição da velocidade média ${\displaystyle {\overline {u_{a}}}}$, e ${\displaystyle z_{b}}$ é a altura de medição da umidade específica média ${\displaystyle {\overline {q_{b}}}}$. Em (8) e (9), ${\displaystyle \Psi _{\tau }}$ e ${\displaystyle \Psi _{E}}$ são as funções de similaridade para os fluxos de quantidade de movimento e vapor d’água de Businger-Dyer (Brutsaert, 1982, seção 4.2). O foco central deste trabalho é a comparação de parametrizações para os comprimentos de rugosidade para a quantidade de movimento ${\displaystyle z_{0}}$ e para o vapor d’água, ${\displaystyle z_{0E}}$. Dias e Vissotto (2017) encontraram discrepâncias na parametrização do fluxo de calor sensível que eles atribuíram à advecção de calor sobre o lago. Por esse motivo, neste trabalho nós avaliamos apenas a estimativa do fluxo de calor latente, associado ao fluxo de massa de vapor d’água, via equação (9).

2.2 A parametrização de ${\displaystyle z_{0}}$2.2 A parametrização de z 0 {\displaystyle z {0}}

Em interfaces água-ar ${\displaystyle z_{0}}$ é usualmente parametrizado através de ${\displaystyle u_{*}}$ , ${\displaystyle g}$ e da viscosidade cinemática do ar ${\displaystyle \nu _{\tau }}$ . Alguns trabalhos também incluem outras grandezas, relacionadas com o estado das ondas na superfície (Drennan et al., 2003; Johnson et al., 1998; Kitai gorodskii e Volkov, 1965; Maat et al., 1991; Mascart et al., 1995; Monbaliu, 1994; Oost et al., 2002; Taylor e Yelland, 2001; Vickers e Mahrt, 1997). Porém em lagos e outros corpos d’água rasos as ondas não conseguem se desenvolver completamente; além disso, em várias aplicações (mesmo no oceano), as características das ondas na superficie nem sempre estão disponíveis. Por isso neste trabalho nós testamos parametrizações para ${\displaystyle z_{0}}$ somente com ${\displaystyle u_{*}}$, ${\displaystyle g}$ e ${\displaystyle \nu _{\tau }}$. As parametrizações avaliadas são generalizações de parametrizações existentes, com a forma

Em (10), ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ são constantes adimensionais, e ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle c}$ precisam atender ao sistema subdeterminado

para produzir um resultado com dimensões de comprimento. O caso ${\displaystyle \alpha =0}$ e ${\displaystyle c=0}$ produz o comprimento de rugosidade para escoamentos turbulentos lisos (Smith, 1988b), que é exatamente o segundo argumento de ${\displaystyle \max(\cdot ,\cdot )}$ na Eq. (\ref{eq:zzero2}). Note que essa restrição (a escolha do maior valor entre as duas expressões) evita que valores demasiadamente pequenos (ou mesmo negativos) resultem de combinações arbitrárias dos parâmetros ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle c}$, principalmente em buscas automáticas do algoritmo de otimização. Para um conjunto de dados medidos, a equação (10) pode ser otimizada em função de ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle \alpha }$, e ${\displaystyle \beta }$. Para cada ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle c}$ ficam determinados via (11)–(12):

Na seção 4, diversas combinações de ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ são obtidos por otimização, com o método de Levenberg-Marquardt, para o lago de Itaiu.

2.3 A parametrização de ${\displaystyle z_{0E}}$2.3 A parametrização de z 0 E {\displaystyle z {0E}}

Para estimar o fluxo de massa de vapor d’água através da expressão (4) é necessário determinar o comprimento de rugosidade z 0E na expressão (9). Um resultado clássico apresentado em Brutsaert (1975b) é

onde ${\displaystyle {\text{Da}}_{0}}$ é o número de Dalton interfacial, e ${\displaystyle {\text{Cd}}_{0}}$ é o coeficiente de arrasto interfacial. Brutsaert (1975a) obteve ${\displaystyle {\text{Cd}}_{0}^{-1/2}=5}$. A equação (14) é válida apenas para o regime turbulento rugoso, que é predominante em condições de campo. Para o regime liso, Brutsaert (1975b) propõe

Neste trabalho, quando o regime é turbulento liso, a Eq. (15) é sempre adotada, independentemente da parametrização que está sendo utilizada para o regime turbulento rugoso (que constitui a maioria dos casos). Com a Teoria de Renovação Superficial é possível quantificar Da 0 na Eq. (14); Brutsaert (1975a) obteve

Em (16), ${\displaystyle C_{R}}$ é um número adimensional, ${\displaystyle {\text{Re}}_{0}}$ é o número de Reynolds de rugosidade, definido como

e ${\displaystyle {\text{Sc}}}$ é o número de Schmidt,

onde ${\displaystyle \nu _{E}}$ é a difusividade molecular de vapor de água no ar. Note que o expoente ${\displaystyle -1/2}$ do número de Schmidt em (16) vem da solução transiente da equação da difusão para uma parcela de fluido na Teoria de Renovação Superficial (Brutsaert, 1965; Danckwerts, 1951); o valor de ${\displaystyle -1/2}$ é confirmado por uma série de resultados experimentais (c.f. Figura 2 de Lorke e Peetres (2006)). Por este motivo, neste trabalho nós mantivemos o expoente de ${\displaystyle {\text{Sc}}}$ fixo em ${\displaystyle -1/2}$ para todas as alternativas de parametrização de ${\displaystyle {\text{Da}}_{0}}$.

Uma expressão alternativa para ${\displaystyle {\text{Da}}_{0}}$ foi apresentada, por exemplo, por Soloviev e Schlüssel (1994) (para regimes de ventos moderados), Csanady (1990) e Lorke e Peetres (2006), que encontraram

onde ${\displaystyle C_{R}}$ é uma constante da ordem de ${\displaystyle 10^{-1}}$.

Neste trabalho nós propomos e avaliamos uma generalização das duas expressões para Da 0 apresentadas anteriormente, da forma

com ${\displaystyle d}$ sendo um número a ser determinado experimentalmente. Em particular quando fazemos ${\displaystyle d=1/4}$ obtemos a expressão (16) de Brutsaert, enquanto que ${\displaystyle d=0}$ dá origem a (19).

3 Sítio experimental

Os dados do lago de Itaipu utilizados neste trabalho foram medidos em uma estação micrometeorológica instalada em uma pequena ilha do Reservatório da Usina Hidrelétrica de Itaipu, Estado do Paraná, Brasil. As coordenadas da ilha são -25°03'25,72"S e -54°24'33,67"O, e sua altitude é de 220m em relação ao nível do mar. Devido à proximidade do município de Missal - PR, a estação foi denominada Estação Missal.

Na estação micrometeorológica foram instalados sensores de resposta rápida operando a 20 Hz, e sensores de resposta lenta medindo a 0,1 Hz e calculando médias em intervalos de tempo de 10 minutos. Entre os sensores de resposta rápida instalados na estação, utilizou-se neste trabalho os dados medidos por um Anemômetro Sônico (Campbell Scientific Instruments (CSI) CSAT3), por um analisador de gás infravermelho de CO₂ e H₂O (Licor LI7500) e por um Termopar (CSI FW03) instalado no centro do caminho ótico do analisador de gás infravermelho. Tanto o analisador de gás infravermelho quanto o anemômetro sônico estavam na altura de 3,76 m em relaçâo à base da estaçâo.

As variáveis medidas na estação pelos sensores de resposta lenta foram temperatura e umidade relativa do ar (CS500, Campbell Scientific Instruments; 2,85 m), pressâo atmosférica (CS100, Campbell Scientific Instruments; 1,73 m) e radiaçâo solar líquida (Kipp & Zönen; 2,67 m).

Para medir a temperatura da água foram instalados dois sensores modelo L108 da Campbell Scientific Instruments em uma bóia nautica situada aproximadamente a 3 km a noroeste da estaçâo micrometeorológica. Um dos sensores mediu a temperatura da superfície da água e o outro a temperatura a uma profundidade de 25 cm.

As medições apresentadas neste trabalho vão do dia 09 de outubro de 2013 ao dia 01 de novembro de 2013. Durante este período a ilha estava na maior parte do tempo submersa, com a altura da base da estação variando entre 0,95 cm de profundidade a 30 cm acima do nível da água.

Os fluxos verticais de calor sensível e latente foram obtidos pelo método de covariâncias turbulentas, com as equações (3)–(4). Os fluxos de vapor de água (E) foram corrigidos com a correção WPL (Webb et al., 1980). Uma rotação de coordenadas (Finnigan et al., 2003) foi aplicada em cada bloco de 30 minutos de dados instantâneos (medidos a 20 Hz) para alinhar a direção x do eixo cartesiano com a direção média do vento. As flutuações turbulentas foram obtidas após a remoção da tendência linear de cada amostra (Falge et al., 2001).

4 Resultados e discussão

4.1 Fluxo de quantidade de movimento

Para a estimativa de ${\displaystyle z_{0}}$ na Eq. (10), classicamente os modelos apresentados na literatura consideram ${\displaystyle b=-1}$. Entre outros trabalhos podemos citar como exemplo dessa abordagem Smith (1988b) e Fairall et al. (2003). Em oceanos, os valores usuais da Equação (10) com ${\displaystyle b=-1}$ considerados em interfaces água-ar são ${\displaystyle \alpha ~0,011}$ e ${\displaystyle \beta ~0,135}$.

Neste trabalho, nós consideramos 5 alternativas para a parametrização dada pela Eq. (10), com as seguintes siglas:

CHA (Parametrização de Charnock). Fixamos ${\displaystyle \beta =0}$, e otimizamos ${\displaystyle \alpha }$.

CLA (Parametrização “clássica”). Fixamos ${\displaystyle b=-1}$, e otimizamos ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$. Neste caso, estamos apenas verificando o quanto os parâmetros ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ ótimos no sítio experimental diferem dos valores para mar aberto.

CLM (Parametrização “clássica modificada”). Otimizamos ao mesmo tempo ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$. Isso corresponde a modificar as parametrizações clássicas e dar bastante liberdade ao parâmetro b. Note que para cada ${\displaystyle b}$ os valores de ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle c}$ ficam restritos pela equação (13).

NCL (Parametrização “não clássica”). Fixamos ${\displaystyle \alpha =0}$, e otimizamos ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle \beta }$ . Essencialmente, já que ${\displaystyle \nu }$ é praticamente constante para o ar, e que ${\displaystyle g}$ é constante, estamos agora investigando qual é o expoente “ótimo” para ${\displaystyle u_{*}}$.

CTE (Parametrização com ${\displaystyle z_{0}}$ constante). Como veremos na sequência, ocorre que a dependência de ${\displaystyle z_{0}}$ com ${\displaystyle u_{*}}$ é relativamente fraca. Assim, nós testamos a qualidade de uma parametrização extremamente simples, em que ${\displaystyle z_{0}}$ é independente de ${\displaystyle u_{*}}$ .

O valor estimado da velocidade de atrito, ${\displaystyle {\widehat {u_{*}}}}$, foi obtido por meio das equações (8) e (10). Neste processo, os valores de ${\displaystyle \zeta _{a}}$ e, consequentemente, ${\displaystyle u_{*}}$ e ${\displaystyle \theta _{v*}}$, foram considerados conhecidos do lado direito das expressões. Isso significa que, no processo de otimização dos parâmetros ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle c}$, o valor de ${\displaystyle u_{*}}$ utilizado foi o medido; além disso, uma vez obtidos os parâmetros ótimos de cada parametrização descrita acima, os valores de ${\displaystyle u_{*}}$ e da escala de temperatura virtual ${\displaystyle \theta _{v*}}$, necessários para o cálculo de ${\displaystyle \zeta _{a}}$ a que aparece na equação (8), novamente foram os medidos. Esse procedimento elimina a incerteza adicional gerada por estimativas iterativas de ${\displaystyle u_{*}}$ e ${\displaystyle \theta _{v*}}$ que utilizam exclusivamente o método fluxo-gradiente.

Para cada alternativa de parametrização, obtêve-se os parâmetros ótimos correspondentes por meio de otimização não-linear, utilizando a rotina leastsq do pacote scipy.optimize.minpack de scipy (https://www.scipy.org). Em seguida, para cada parametrização, obtêve-se um conjunto ótimo de ${\displaystyle {\widehat {u_{*}}}}$ parametrizados com a Eq. (8). Esses valores foram então testados estatisticamente contra os valores medidos de ${\displaystyle u_{*}}$. Note que esse procedimento utiliza o mesmo conjunto de dados para a obtenção dos parâmetros ótimos e para o teste de desempenho da parametrização: cada parametrização é avaliada para o conjunto “ótimo” de parâmetros. Novamente, este procedimento apenas avalia o melhor desempenho possível com a parametrização proposta.

Para cada parametrização, as estatísticas de desempenho calculadas são as seguintes: REMQ (raiz quadrada do erro médio quadrático), EMA (erro médio absoluto), VIÉS (viés), os valores de ${\displaystyle a_{0}}$, ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle s_{y}}$ e ${\displaystyle s_{a}}$ (respectivamente: coeficiente angular, raiz quadrada do coeficiente de determinação, erro padrão das estimativas ${\displaystyle {\widehat {u_{*}}}}$ e erro padrão da estimativa de ${\displaystyle a}$) para a regressão linear pela origem

Finalmente, calculou-se os estimadores de Siegel (Siegel, 1982; Stein e Werman, 1992) para ${\displaystyle a_{1}}$ e ${\displaystyle a_{2}}$ na equação

Os estimadores de Siegel são baseados na mediana das inclinações de cada ponto do conjunto de dados, e são menos influenciados por valores extremos (outliers). Para uma parametrização perfeita, esperamos ${\displaystyle a_{1}=1}$ e ${\displaystyle a_{2}=0}$.

As figuras 1-a - 1-d mostram os resultados obtidos para as 4 primeiras parametrizações, e a Tabela 1 os valores correspondentes dos parâmetros ótimos, e das estatísticas de erro. A Tabela 2 dá as estatísticas de desempenho correspondentes.

Tabela 1: Parâmetros ótimos obtidos para cada parametrização de ${\displaystyle z_{0}}$.

Tabela 2: Estatísticas de erros para cada parametrização de ${\displaystyle z_{0}}$.

A análise da Figura 1 e das Tabelas 1 e 2 leva a diversas conclusões. Primeiramente, note que as 4 primeiras parametrizações têm desempenhos praticamente iguais. É virtualmente impossível escolher uma parametrização "vencedora". Embora haja duas variáveis físicas além de ${\displaystyle u_{*}}$ na Eq. (10), ${\displaystyle g}$ é constante, e ${\displaystyle \nu _{\tau }}$ é praticamente constante. Isso significa que, na prática, a única variável que efetivamente funciona como preditora de ${\displaystyle z_{0}}$ é ${\displaystyle u_{*}}$. Entretanto, parametrizações tão diversas quanto CHA e NCL (com expoentes de ${\displaystyle u_{*}}$ iguais a 2 e a 3,89; vide Tabela \ref{tab:ustarpar}) produzem essencialmente as mesmas estatísticas de erro. Somos levados a concluir que ${\displaystyle z_{0}}$ depende apenas fracamente de ${\displaystyle u_{*}}$.

Por sua vez, isso levanta a questão: será melhor utilizar um ${\displaystyle z_{0}}$ constante, independente de ${\displaystyle u_{*}}$? Será possível que a utilização de parametrizações dependentes de ${\displaystyle u_{*}}$ esteja piorando as estimativas de ${\displaystyle u_{*}}$? Como se pode ver na 5\ira\ linha da Tabela 2, isso não é verdade: a parametrização para uma rugosidade constante conduz a erros maiores do que os encontrados para as 4 primeiras parametrizações. Mesmo assim, a parametrização CTE leva a uma importante conclusão: o valor de ${\displaystyle z_{0}}$ encontrado, que pode ser considerado representativo da rugosidade da superfície da água para o sítio experimental, é dez vezes maior do que o reportado por Brutsaert (1982) para superfícies líquidas, que é de ${\displaystyle 0{,}0002\,\mathrm {m} }$.

Outra observação importante é a comparação dos parâmetros ótimos obtidos para CHA e para CLM na Tabela \ref{tab:ustarpar}: uma rápida inspeção mostra que, na verdade, o algoritmo de otimização encontrou, essencialmente, a mesma forma da equação de Charnock. De fato, além de ${\displaystyle \nu _{\tau }}$ já ser praticamente constante, o seu expoente ${\displaystyle a}$ é muito pequeno (0,030); o expoente de ${\displaystyle u_{*}}$, 1,908, é praticamente igual ao 2 da equação de Charnock, e o expoente de ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle -0,969}$, também é muito próximo ao ${\displaystyle -1}$ da equação de Charnock. Portanto, na prática CLM é quase igual à equação de Charnock com um valor de ${\displaystyle \alpha =3,830-3,995\times (\nu _{\tau })^{0,030}=0,980}$ (para um ${\displaystyle \nu _{\tau }=1,62\times 10^{-5}\,\mathrm {m\,s^{-2}} }$ médio dos dados), que não difere tanto do parâmetro ótimo para a equação de Charnock "pura", que é 0,3824. Note que CLM é a parametrização que utiliza o maior número de parâmetros, e que isso se reflete em um desempenho marginalmente melhor para algumas estatísticas da Tabela 2. Dadas as diferenças muito pequenas encontradas, entretanto, é altamente questionável a utilização de CLM. Entre outras coisas, isso mostra que o ganho obtido com o termo em que aparece ${\displaystyle \beta }$ na Eq. (10) é muito pequeno.

Finalmente, uma última observação muito importante: em consonância com o alto valor médio de ${\displaystyle z_{0}}$ encontrado para a parametrização CTE, os valores de ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ de CLA são muito maiores do que os valores típicos para o oceano. Compare ${\displaystyle \alpha =0.5059}$ com o valor de 0.011 da literatura, e ${\displaystyle \beta =-10.33}$ com ${\displaystyle 0.135}$. O valor ótimo de ${\displaystyle \alpha }$ encontrado no presente trabalho é cerca de uma ordem de grandeza maior que o usual para corpos de água profundos. Esse valor no entanto é coerente com alguns trabalhos realizados em águas rasas presentes na literatura. Por exemplo os trabalhos de Hsu (1974), Geernaert et al. (1987) e Smith (1988a) que observaram um aumento de ${\displaystyle u_{*}}$ relacionada à profundidade do corpo de água e Shabani et al. (2014) que mediram ${\displaystyle u_{*}}$ em uma zona de arrebentação de ondas e obtiveram um valor médio de ${\displaystyle \alpha }$ da ordem de ${\displaystyle 10^{-1}}$.

4.2 Parametrização do fluxo de calor latente

Para testar os modelos para o fluxo de vapor de água foram utilizadas medições de ${\displaystyle {\overline {\theta _{0}}}}$, ${\displaystyle {\overline {q_{b}}}}$, ${\displaystyle \zeta _{b}}$ e ${\displaystyle u_{*}}$. Com tais dados é possível estimar o fluxo de vapor de água através das expressões (9), (14), (15) e (20).

As parametrizações testadas foram as seguintes, todas baseadas na Eq. (20):

BRT Este é o modelo originalmente proposto por Brutsaert (1975b) (expressão (20) com ${\displaystyle C_{R}^{1/2}=7}$, ${\displaystyle d=1/4}$ e ${\displaystyle {\text{Cd}}_{0}=5}$).

BRM (``Brutsaert modificado). Otimizamos ${\displaystyle C_{R}}$, mantendo ${\displaystyle d=1/4}$.

SOL (``Soloviev). Forçamos ${\displaystyle d=0}$ e otimizamos ${\displaystyle C_{R}}$.

GEN (``Modelo generalizado). Otimizamos ${\displaystyle C_{R}}$ e ${\displaystyle d}$.

O valor estimado do fluxo de calor latente, ${\displaystyle {\widehat {LE}}}$, foi obtido por meio das equações (4), (8) e (9), com ${\displaystyle z_{0}}$ sempre estimado com a parametrização CLA (note que as 4 parametrizações CHA, CLA, CLM e NCL produzem resultados muito parecidos). Em todos os casos, o calor latente de evaporação, ${\displaystyle L}$ foi calculado à temperatura da superfície da água. O valor de rugosidade para vapor d'água, ${\displaystyle z_{0E}}$, foi estimado com as Eqs. (14)--(15), mantendo ${\displaystyle {\text{Cd}}_{0}^{-1/2}=5}$ (tentativas de otimizar também este parâmetro produziram estimativas de parâmetros com valores muito grandes; note que ${\displaystyle {\text{Da}}_{0}}$ e ${\displaystyle {\text{Cd}}_{0}}$ se somam dentro do argumento da expoencial, e que não faz sentido tentar otimizar ambos; portanto, preferimos manter ${\displaystyle {\text{Cd}}_{0}}$ constante).

Da mesma maneira que no caso da otimização dos parâmetros envolvidos na estimativa de ${\displaystyle z_{0}}$, os valores de ${\displaystyle \zeta _{b}}$, ${\displaystyle u_{*}}$ e ${\displaystyle \theta _{v*}}$ foram considerados conhecidos do lado direito das expressões. Também da mesma maneira, para cada alternativa de parametrização, obtêve-se os parâmetros ótimos correspondentes por meio de otimização não-linear, novamente com a rotina leastsq mencionada acima.

Da mesma maneira que antes, os testes de desempenho envolvem o REMQ, o EMA, o VIÉS, e os valores de ${\displaystyle a_{0}}$, ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle s_{y}}$, ${\displaystyle s_{a}}$, ${\displaystyle a_{1}}$ e ${\displaystyle a_{2}}$, exceto que as regressões são, agora,

onde ${\displaystyle {\widehat {LE}}}$ é a estimativa do fluxo de calor latente obtida em cada parametrização e ${\displaystyle LE}$ é o fluxo de calor latente medido. As figuras 2-a -- 2-d mostram os resultados obtidos para cada uma das 4 parametrizações. A Tabela 3 lista os valores de ${\displaystyle C_{R}^{-1}}$ e ${\displaystyle d}$ encontrados em cada caso.

Fig

Tab

Tab

A análise desses resultados leva a algumas conclusões importantes. A primeira delas é que o uso da parametrização BRT sem otimização local dos parâmetros produz erros muito maiores do que todas as outras. As causas desse comportamento não estão claras, mas talvez seja possível reunir argumentos físicos, e em particular argumentos relacionados com a transferência de vapor d'água sobre uma superfície líquida natural, para explicá-lo. Mesmo com otmização de ${\displaystyle C_{R}}$, o expoente ${\displaystyle d=1/4}$ que também aparece na parametrização BRM não leva aos melhores resultados.

As parametrizações SOL e GEN, que possuem ${\displaystyle d=0}$ ou próximo disso, foram as que obtiveram os menores erros, e o melhor desempenho, de maneira geral. A conclusão é que as melhores parametrizações de ${\displaystyle z_{0E}}$ em Itaipu são aquelas em que não entra o número de Reynolds de rugosidade ${\displaystyle {\text{Re}}_{0}}$. É importante enfatizar que o escopo de nossa investigação aqui é puramente empírico: uma investigação mais profunda das possíveis causas físicas do comportamento encontrado será necessária em estudos adicionais.

Para a rugosidade do vapor d'água ${\displaystyle z_{0E}}$, a superioridade das duas últimas parametrizações é evidente. Além disso, o ganho adicional de se otimizar ${\displaystyle d}$ é muito pequeno: é evidente que é suficiente fazer ${\displaystyle d=0}$, e utilizar a parametrização SOL.

5 Conclusões

No presente trabalho foram testadas algumas parametrizações para os comprimentos de rugosidade de momentum e vapor de água em lagos. Os dados apresentados neste trabalho foram obtidos em uma campanha realizada no resevatório de Itaipu, no município de Missal. As expressões para o comprimento de rugosidade de \textit{momentum} (${\displaystyle z_{0}}$) testadas e calibradas neste trabalho são generalizações da expressão clássica de Charnock (1955). Já a expressão do comprimento de rugosidade de vapor de água (${\displaystyle z_{0E}}$) pode ser vista como uma generalização da expressão clássica apresentada em Brutsaert (1975a).

Com relação a ${\displaystyle z_{0}}$ a comparação dos diferentes modelos leva a conclusão que ${\displaystyle u_{*}}$ tem pouca capacidade preditiva do mesmo. Isso se dá porque modelos com expoentes muito diferentes de ${\displaystyle u_{*}}$ fornecem estatísticas de erro muito similares. O modelo que resulta em um maior erro é considerar ${\displaystyle z_{0}}$ constante; neste caso o valor ótimo encontrado para ${\displaystyle z_{0}}$ foi uma ordem de grandeza maior que o usualmente considerado em superfícies líquidas. Os valores encontrados para as constantes de calibração dos melhores modelos (com ${\displaystyle z_{0}}$ variando em função de ${\displaystyle u_{*}}$) foram consideravelmente diferentes dos valores usuais para corpos de água profundos; o valor ótimo do parâmetro de Charnock ${\displaystyle \alpha =0.3862}$ encontrado é também uma ordem de grandeza maior que em oceanos. Esse resultado está de acordo com o valor sugerido em Shabani et al. (2014) para medições realizadas em uma zona de arrebentação de ondas.

Com relação a ${\displaystyle z_{0E}}$ foi observado que o modelo clássico BRT com a constante de calibração original (${\displaystyle C_{R}^{-1}=7.3}$) produziu o maior erro. Com a parametrização clássica o valor ótimo de ${\displaystyle C_{R}^{-1}=17.42}$ obtido com os dados de Itaipu resultou em uma diminuição do erro de ${\displaystyle 29,66\%}$ com relação à parametrização BRT. Com isso podemos concluir os coeficientes de calibração de diferentes experimentos têm que ser usados com cuidado em situações diversas do experimento original. Os modelos que apresentaram os melhores desempenhos foram os independentes do número de Reynolds de rugosidade. Do ponto de vista prático podemos concluir que a parametrização SOL com o coeficiente de calibração ${\displaystyle C_{R}^{-1}=49.45}$ gerou os melhores resultados. Note que esse coeficiente de calibração é maior que o sugerido por Soloviev e Schlüssel (1994) que é ${\displaystyle C_{R}^{-1}=13.3}$.

Os resultados obtidos neste estudo indicam que a parametrização de Charnock para ${\displaystyle z_{0}}$ pode ser utilizada de maneira direta sem perda considerável de performace com a inclusão de outros termos. Já para ${\displaystyle z_{0E}}$ também a parametrização mais simples (independente do número de Reynolds de rugosidade) se mostrou mais eficiente. Porém as contantes de calibração encontradas foram considerávelmente diferentes, e isso levanta a dúvida sobre a universalidade dessas parametrizações. Outros estudos da mesma natureza devem ser realizados em outras localidades para essa questão ser sanada.

6 References