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	Las cuales cuales no coinciden con aquellas que posee la viga sobre fundación flexible a estudiar ([[#img-12|Figura 12]]).		Las cuales cuales no coinciden con aquellas que posee la viga sobre fundación flexible a estudiar ([[#img-12|Figura 12]]).
−	====Cálculo del campo de desplazamiento====	+	'''Cálculo del campo de desplazamiento'''
	Para poder hacer cumplir las condiciones de frontera del problema real, a la viga sobre fundación flexible libre-libre no solo se le debe agregar el efecto de la carga distribuida sino también aquel del momento y fuerza puntuales debidos al empotramiento en el extremo izquierdo de esta, así como el cumplimiento de las condiciones de desplazamiento y rotaciones nulos en <math display="inline">x=0</math> ([[#img-13|Figura 13]]).		Para poder hacer cumplir las condiciones de frontera del problema real, a la viga sobre fundación flexible libre-libre no solo se le debe agregar el efecto de la carga distribuida sino también aquel del momento y fuerza puntuales debidos al empotramiento en el extremo izquierdo de esta, así como el cumplimiento de las condiciones de desplazamiento y rotaciones nulos en <math display="inline">x=0</math> ([[#img-13|Figura 13]]).

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Revision as of 15:04, 22 June 2021

Resumen

Las vigas sobre fundación flexible representan un modelo básico dentro del análisis estructural, las cuales suelen emplearse para modelar vigas de cimentación, pilas, muros de contención y estructuras más complejas que tengan algún tipo de estos elementos. Para el análisis de estas, usualmente se emplea el método de elementos finitos [1], el cual produce una solución aproximada del problema; y el método de rigidez con funciones de Green [2], el cual produce una solución exacta del mismo.

En este artículo se presenta una metodología 100 % basada en el empleo de las funciones de Green (respuesta ante una fuerza puntual unitaria), para obtener la respuesta exacta de las vigas sobre fundación flexible. La principal ventaja de esta formulación es su menor costo computacional comparado con las citadas alternativas, además que la respuesta puede expresarse solo por medio de sumas e integrales, las cuales se pueden realizar fácilmente de forma numérica.

Por completez, también se presentan una gran variedad de funciones de Green para vigas sobre fundación flexible finitas e infinitas con diferentes condiciones de frontera, así como algunos ejemplos con la implementación de la metodología propuesta.

Palabras clave: Funciones de Green, vigas sobre fundación flexible, pilas, campos de desplazamiento

Abstract

Beams on elastic foundation are basic elements within structural analysis, which are used to model foundation beams, foundation piles, retaining walls, and more complex structures that include some of these elements. For their analysis, the finite element method is usually used [1], which produces an approximate solution of the problem; and the Green's function stiffness method [2], which produces an exact solution. This article presents a methodology 100% based on the use of Green function's (response to a unit point force), to obtain the exact response of beams on elastic foundation. The main advantage of this formulation is its computational low cost compared to the aforementioned alternatives, and even for a large number of problems, it can be expressed only by means of sums and integrals, which can be easily performed numerically.

Also, a great variety of Green function's for finite and infinite beams on elastic foundations with different boundary conditions are also presented, as well as some examples with the implementation of the proposed methodology.

Keywords: Green’s functions, beams on elastic foundation, piles, displacement field

1. Introducción

En mecánica, se define como función de Green, al campo de desplazamiento en un medio ante la acción de una fuerza puntual unitaria. En general, para casos tridimensionales, dicha fuerza unitaria puede estar ubicada en cualquier punto y dirección del medio, y el campo de desplazamiento será vectorial y tendrá también tres componentes escalares. El concepto de función de Green puede fácilmente extenderse a cualquier problema físico en el cual la fuerza puntual será reemplazada por una fuente o acción puntual unitaria, mientras que el campo de desplazamiento será reemplazado por el campo de la variable dependiente principal para el problema. Por ejemplo, en transferencia de calor, la función de Green será el campo de temperatura debido a la acción de una fuente de calor puntual unitaria.

Por si solas, las funciones de Green juegan un papel muy importante en la solución de problemas físicos, puesto que presentan la solución a problemas fundamentales. Por ejemplo, en el famoso problema de Boussinesq, la función de Green es el campo de desplazamiento en un semiespacio (espacio semi-infinito) tridimensional ante la acción de una fuerza puntual unitaria en su superficie. En textos como [3,4,5], se presentan las principales funciones de Green empleadas en la física clásica, en [6] se presenta un compendio de las principales funciones de Green empleadas en la geotecnia, para sismología y elastodinámica sus principales funciones de Green son presentadas en [7], para transferencia de calor en [8], mientras que aquellas propias de los problemas de difusión se presentan en [9].

Además de lo anterior, las funciones de Green son la base de algunos métodos numéricos de contorno o frontera, los cuales permiten resolver problemas diferentes a aquellos para los cuales fueron definidas dichas funciones, es decir, problemas con diferentes condiciones de cargas o fuentes y de frontera. Entre estos métodos numéricos destacan el método directo de elementos de frontera [10,11,12], el método indirecto de elementos de frontera [13,14], y el método de rigidez con funciones de Green [2].

Las vigas sobre fundación flexible representan un modelo básico dentro del análisis estructural, las cueles suelen emplearse para modelar vigas de cimentación, pilas, muros de contención y estructuras más complejas que tengan algún tipo de estos elementos. Pese a que en la actualidad existen diversos métodos para el análisis de estas estructuras, los cuales van desde soluciones tabuladas para gran cantidad de condiciones de frontera y carga [15], la solución directa de los problemas de valor en la frontera gobernantes empleando métodos clásicos de ecuaciones diferenciales [16], hasta el método de elementos finitos [1] o de rigidez con funciones de Green [2] e incluso hay sitios web para su análisis (https://www.buildingsguide.com/calculators/structural/BOEF), es posible empleando solo las funciones de Green obtener su solución.

En este artículo se presenta una metodología basada en las funciones de Green para el análisis de vigas sobre fundación flexible, en la cual el problema de valor en la frontera gobernante para cada problema es resuelto por medio de la superposición o suma de la respuesta ante cargas puntuales. Pese a que el presente procedimiento tiene similitudes conceptuales con aquel propuesto por Dinev [17] los autores creen que la formulación en términos de funciones de Green es más ingenieril y además al presentarse gran variedad de estas funciones para diferentes condiciones de frontera, hace más fácil su implementación para vigas sobre fundación flexible de uno o varios tramos.

2. Ecuación diferencial gobernante y convenciones

La ecuación diferencial que gobierna el desplazamiento de una viga sobre fundación flexible (Figura 1), formada por una viga de material elástico lineal homogéneo, de sección transversal constante y apoyada sobre un medio flexible con rigidez por unidad de longitud constante, es (ver [2] para una deducción paso a paso):

${\displaystyle EI{\frac {d^{4}v}{dx^{4}}}(x)+kv(x)=q(x)}$

(1)

donde:

${\textstyle E}$: Módulo de elasticidad del material de la viga.

${\textstyle I}$: Momento de inercia respecto al eje ${\textstyle z}$ de la sección transversal de la viga.

${\textstyle k}$: Constante de rigidez por unidad de longitud del suelo de soporte de la viga.

${\textstyle v(x)}$: Campo de desplazamiento en dirección del eje ${\textstyle y}$ de la viga.

${\textstyle q(x)}$: Fuerza externa por unidad de longitud en dirección del eje ${\textstyle y}$ que actúa sobre la viga.

Figura 1. Viga sobre fundación flexible sometida a carga externa distribuida

Por facilidad en su solución, es usual dividir (1) entre ${\textstyle EI}$, obteniéndose:

${\displaystyle {\frac {d^{4}v}{dx^{4}}}(x)+4\lambda ^{4}v(x)={\frac {q(x)}{EI}}}$

(2)

donde ${\textstyle \lambda ={\sqrt[{4}]{\dfrac {k}{4EI}}}}$.

Además de la fuerza externa por unidad de longitud ${\textstyle q(x)}$, la viga también se encuentra sometida a la fuerza distribuida que el suelo ejerce sobre esta, la cual es proporcional al desplazamiento en cada de esta y se calcula como:

${\displaystyle f_{S}(x)=-kv(x)}$

(3)

En este punto es importante resaltar que pese a que las ecuaciones (1) y (2) están escritas en términos de la fuerza externa por unidad de longitud ${\textstyle (q(x))}$ sobre la viga, es decir, una carga distribuida, incluso fuerzas y momentos puntuales se pueden expresar de esta manera. Como ejemplo, se tiene que la carga externa puntual aplicada a la viga sobre fundación flexible presentada en la Figura 2a se define por medio de la siguiente función:

${\displaystyle q(x,\xi )=F\cdot \delta (x-\xi )}$

(4)

donde ${\textstyle \delta ()}$ es la función delta de Dirac, cuyas principales propiedades se presentan en [4].

(a)	(b)
Figura 2. Vigas sobre fundación flexible sometidas a fuerzas y momentos puntuales. (a) Fuerza puntual. (b) Momento puntual

Mientras que para el caso del momento externo puntual presentado en la Figura 2b, la función ${\textstyle q(x)}$ se define a partir de (4) como (ver la Figura 3 para una explicación):

${\displaystyle q(x,\xi )=\lim _{\Delta \xi \rightarrow 0}\left[{\dfrac {M}{\Delta \xi }}\delta (x-\xi {-\Delta }\xi )-{\dfrac {M}{\Delta \xi }}\delta (x-\xi )\right]=}$ ${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad M\lim _{\Delta \xi \rightarrow 0}{\dfrac {\delta (x-\xi {-\Delta }\xi )-\delta (x-\xi )}{\Delta \xi }}=M{\dfrac {\partial \delta (x-\xi )}{\partial \xi }}}$

(5)

Figura 3. Definición de un momento puntual como el caso límite de dos fuerzas puntuales muy cercanas entre si

De otra parte, a partir del campo de desplazamiento, es posible obtener los campos de fuerzas internas en la viga como:

${\displaystyle M(x)=EI{\dfrac {d^{2}v}{dx^{2}}}(x)}$ (6a) ${\displaystyle V(x)=-EI{\dfrac {d^{3}v}{dx^{3}}}(x)}$ (6b)

donde ${\textstyle M(x)}$ es el campo de momento flector y ${\textstyle V(x)}$ es el campo de fuerza cortante, cuya convención positiva se presenta en la Figura 4.

Figura 4. Convención positiva de las fuerzas internas

3. Funciones de Green para vigas sobre fundación flexible

3.1 Fuerzas puntuales

En las Figuras 5 y 6 se presentan los modelos de las vigas sobre fundación flexible finitas e infinitas para los cuales se definirán las funciones de Green a emplear en este artículo, todas las cuales son solución de la siguiente ecuación diferencial:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}G_{yy}}{\partial x^{4}}}(x,\xi )+4\lambda ^{4}G_{yy}(x,\xi )={\frac {\delta (x-\xi )}{EI}}}$

(7)

donde ${\textstyle G_{yy}(x,\xi )}$ es la función de Green del problema en particular, es decir, el desplazamiento en dirección ${\textstyle y}$ del punto ${\textstyle x}$, debido a la aplicación de una fuerza puntual unitaria en dirección ${\textstyle y}$ en el punto ${\textstyle \xi }$.

La ecuación (7) es un caso particular de (2), en la cual en lugar de ${\textstyle v(x,\xi )}$ se ha empleado ${\textstyle G_{yy}(x,\xi )}$ y para definir la función de la carga externa se ha empleado la ecuación (4) con ${\textstyle F=1}$.

(a) Libre - libre	(b) Simplemente apoyada
(c) Empotrada - libre	(d) Empotrada - empotrada
Figura 5. Vigas sobre fundación flexible finitas con diferentes condiciones de frontera y sometidas a fuerzas puntuales unitarias transversales

Figura 6. Viga sobre fundación flexible infinita sometida a una fuerza puntual unitaria

3.1.1 Viga sobre fundación flexible finita libre - libre

La función de Green para la viga sobre fundación flexible finita, con ambos extremos libres y presentada en la Figura 5a, es la solución del siguiente problema de valor en la frontera:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}G_{yy}^{LL}}{\partial x^{4}}}(x,\xi )+4\lambda ^{4}G_{yy}^{LL}(x,\xi )={\frac {\delta (x-\xi )}{EI}}}$ (8a) ${\displaystyle EI{\dfrac {\partial ^{2}G_{yy}^{LL}}{\partial x^{2}}}(0,\xi )=0}$ (8b) ${\displaystyle -EI{\dfrac {\partial ^{3}G_{yy}^{LL}}{\partial x^{2}}}(0,\xi )=0}$ (8c) ${\displaystyle EI{\dfrac {\partial ^{2}G_{yy}^{LL}}{\partial x^{2}}}(L,\xi )=0}$ (8d) ${\displaystyle -EI{\dfrac {\partial ^{3}G_{yy}^{LL}}{\partial x^{3}}}(L,\xi )=0}$ (8e)

donde las dos ${\textstyle L}$ que acompañan al nombre de la función de Green hacen referencia a que cada uno de los extremos es ${\textstyle L}$ibre.

Cada uno de los tramos de esta función de Green se definen como:

${\displaystyle G_{yy}^{LL}(x,\xi )={\begin{cases}G_{yy}^{LL1}(x,\xi )&0<x\leq \xi \\G_{yy}^{LL2}(x,\xi )\qquad &\xi \leq x<L\end{cases}}}$

(9)

donde

${\displaystyle G_{yy}^{LL1}(x,\xi )={\dfrac {A(x,\xi )}{4EI\lambda ^{3}\left[\sin ^{2}(\lambda L)-\sinh ^{2}(\lambda L)\right]}}}$ (10a) ${\displaystyle G_{yy}^{LL2}(x,\xi )={\dfrac {B(x,\xi )}{4EI\lambda ^{3}\left[\sin ^{2}(\lambda L)-\sinh ^{2}(\lambda L)\right]}}}$ (10b)

${\displaystyle A(x,\xi )=2A_{1}(\xi )\cos(\lambda x)\cosh(\lambda x)+A_{2}(\xi )\left[\sin(\lambda x)\cosh(\lambda x)+\cos(\lambda x)\sinh(\lambda x)\right]}$

(11)

${\displaystyle A_{1}(\xi )=\sin(\lambda L)\cosh(\lambda \xi )\cos[\lambda (L-\xi )]-\sinh(\lambda L)\cos(\lambda \xi )\cosh[\lambda (L-\xi )]}$

(12)

${\displaystyle A_{2}(\xi )=\sin(\lambda L)\left\{\cosh(\lambda \xi )\sin[\lambda (L-\xi )]-\sinh(\lambda \xi )\cos[\lambda (L-\xi )]\right\}}$ ${\displaystyle +\sinh(\lambda L)\left\{\cos(\lambda \xi )\sinh[\lambda (L-\xi )](\lambda \xi )\cosh[\lambda (L-\xi )]\right\}}$

(13)

${\displaystyle B(x,\xi )=A(\xi ,x)}$

(14)

${\displaystyle G_{yy}^{LL2}(x,\xi )=G_{yy}^{LL1}(\xi ,x)}$

(15)

3.1.2 Viga sobre fundación flexible finita simplemente apoyada

La función de Green para la viga sobre fundación flexible finita con ambos extremos con apoyos simples, presentada en la Figura 5b, es la solución del siguiente problema de valor en la frontera:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}G_{yy}^{SS}}{\partial x^{4}}}(x,\xi )+4\lambda ^{4}G_{yy}^{SS}(x,\xi )={\frac {\delta (x-\xi )}{EI}}}$ (16a) ${\displaystyle G_{yy}^{SS}(0,\xi )=0}$ (16b) ${\displaystyle EI{\dfrac {\partial ^{2}G_{yy}^{SS}}{\partial x^{2}}}(0,\xi )=0}$ (16c) ${\displaystyle G_{yy}^{SS}(L,\xi )=0}$ (16d) ${\displaystyle EI{\dfrac {\partial ^{2}G_{yy}^{SS}}{\partial x^{2}}}(L,\xi )=0}$ (16e)

donde las dos ${\textstyle S}$ que acompañan al nombre de la función de Green hacen referencia a que cada uno de los extremos es un apoyo ${\textstyle S}$imple.

Cada uno de los tramos de esta función de Green se definen como:

${\displaystyle G_{yy}^{SS}(x,\xi )={\begin{cases}G_{yy}^{SS1}(x,\xi )&0<x\leq \xi \\G_{yy}^{SS2}(x,\xi )\qquad &\xi \leq x<L\end{cases}}}$

(17)

donde

${\displaystyle G_{yy}^{SS1}(x,\xi )={\dfrac {C(x,\xi )}{4EI\lambda ^{3}\left[\cos(2\lambda L)-\cosh(2\lambda L)\right]}}}$ (18a) ${\displaystyle G_{yy}^{SS2}(x,\xi )={\dfrac {D(x,\xi )}{4EI\lambda ^{3}\left[\cos(2\lambda L)-\cosh(2\lambda L)\right]}}}$ (18b)

${\displaystyle C(x,\xi )=\left\{\sin[\lambda (2L-\xi )]\sinh(\lambda \xi )-\sinh[\lambda (2L-\xi )]\sin(\lambda \xi )\right\}\left[\sin(\lambda x)\cosh(\lambda x)+\cos(\lambda x)\sinh(\lambda x)\right]}$ ${\displaystyle +\left\{\cosh[\lambda (2L-\xi )]\cos(\lambda \xi )-\cos[\lambda (2L-\xi )]\cosh(\lambda \xi )\right\}\left[\sin(\lambda x)\cosh(\lambda x)-\cos(\lambda x)\sinh(\lambda x)\right]}$

(19)

${\displaystyle D(x,\xi )=C(\xi ,x)}$

(20)

${\displaystyle G_{yy}^{SS2}(x,\xi )=G_{yy}^{SS1}(\xi ,x)}$

(21)

3.1.3 Viga sobre fundación flexible finita empotrada - libre

La función de Green para la viga sobre fundación flexible finita con su extremo inicial ${\textstyle (x=0)}$ empotrado y su extremo final ${\textstyle (x=L)}$ libre, presentada en la Figura 5c, es la solución del siguiente problema de valor en la frontera:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}G_{yy}^{EL}}{\partial x^{4}}}(x,\xi )+4\lambda ^{4}G_{yy}^{EL}(x,\xi )={\frac {\delta (x-\xi )}{EI}}}$ (22a) ${\displaystyle G_{yy}^{EL}(0,\xi )=0}$ (22b) ${\displaystyle {\dfrac {\partial G_{yy}^{EL}}{\partial x}}(0,\xi )=0}$ (22c) ${\displaystyle EI{\dfrac {\partial ^{2}G_{yy}^{EL}}{\partial x^{2}}}(L,\xi )=0}$ (22d) ${\displaystyle -EI{\dfrac {\partial ^{3}G_{yy}^{EL}}{\partial x^{3}}}(L,\xi )=0}$ (22e)

donde la ${\textstyle E}$ del primer supeindice del nombre hace referencia a que el extremo inicial es ${\textstyle E}$mpotrado y la ${\textstyle L}$ a que el extremo final es ${\textstyle L}$ibre.

Cada uno de los tramos de esta función de Green se definen como:

${\displaystyle G_{yy}^{EL}(x,\xi )={\begin{cases}G_{yy}^{EL1}(x,\xi )&0<x\leq \xi \\G_{yy}^{EL2}(x,\xi )\qquad &\xi \leq x<L\end{cases}}}$

(23)

Donde:

${\displaystyle G_{yy}^{EL1}(x,\xi )={\dfrac {E(x,\xi )}{4EI\lambda ^{3}\left[\cos ^{2}(\lambda L)+\cosh ^{2}(\lambda L)\right]}}}$ (24a) ${\displaystyle G_{yy}^{EL2}(x,\xi )={\dfrac {F(x,\xi )}{4EI\lambda ^{3}\left[\cos ^{2}(\lambda L)+\cosh ^{2}(\lambda L)\right]}}}$ (24b)

${\displaystyle E(x,\xi )=2E_{1}(\xi )\sin(\lambda x)\sinh(\lambda x)+E_{2}(\xi )\left[\sin(\lambda x)\cosh(\lambda x)-\cos(\lambda x)\sinh(\lambda x)\right]}$

(25)

${\displaystyle E_{1}(\xi )=\sinh(\lambda L)\sin(\lambda \xi )\sinh[\lambda (L-\xi )]-\sin(\lambda L)\sinh(\lambda \xi )\sin[\lambda (L-\xi )]}$ ${\displaystyle +\sin(\lambda \xi )\cosh(\lambda \xi )+\cos(\lambda \xi )\sinh(\lambda \xi )}$

(26)

${\displaystyle E_{2}(\xi )=\sin(\lambda L)\left\{\cosh(\lambda \xi )\sin[\lambda (L-\xi )+\sinh(\lambda \xi )\cos[\lambda (L-\xi )]\right\}}$ ${\displaystyle -\sinh(\lambda L)\left\{\sin(\lambda \xi )\cosh[\lambda (L-\xi )]+\cos(\lambda \xi )\sinh[\lambda (L-\xi )]\right\}-2\cos(\lambda \xi )\cosh(\lambda \xi )}$

(27)

${\displaystyle F(x,\xi )=E(\xi ,x)}$

(28)

${\displaystyle G_{yy}^{EL2}(x,\xi )=G_{yy}^{EL1}(\xi ,x)}$

(29)

3.1.4 Viga sobre fundación flexible finita doblemente empotrada

La función de Green para la viga sobre fundación flexible finita doblemente empotrada presentada en la Figura 5d, es la solución del siguiente problema de valor en la frontera:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}G_{yy}^{EE}}{\partial x^{4}}}(x,\xi )+4\lambda ^{4}G_{yy}^{EE}(x,\xi )={\frac {\delta (x-\xi )}{EI}}}$ (30a) ${\displaystyle G_{yy}^{EE}(0,\xi )=0}$ (30b) ${\displaystyle {\dfrac {\partial G_{yy}^{EE}}{\partial x}}(0,\xi )=0}$ (30c) ${\displaystyle G_{yy}^{EE}(L,\xi )=0}$ (30d) ${\displaystyle {\dfrac {\partial G_{yy}^{EE}}{\partial x}}(L,\xi )=0}$ (30e)

donde las dos ${\textstyle E}$ que acompañan al nombre de la función de Green hacen referencia a que cada uno de los extremos es un apoyo ${\textstyle E}$mpotrado.

Cada uno de los tramos de esta función de Green se definen como:

${\displaystyle G_{yy}^{EE}(x,\xi )={\begin{cases}G_{yy}^{EE1}(x,\xi )&0<x\leq \xi \\G_{yy}^{EE2}(x,\xi )\qquad &\xi \leq x<L\end{cases}}}$

(31)

donde

${\displaystyle G_{yy}^{EE1}(x,\xi )={\dfrac {H(x,\xi )}{4EI\lambda ^{3}[\sin ^{2}(\lambda L)-\sinh ^{2}(\lambda L)]}}}$ (32a) ${\displaystyle G_{yy}^{EE2}(x,\xi )={\dfrac {J(x,\xi )}{4EI\lambda ^{3}[\sin ^{2}(\lambda L)-\sinh ^{2}(\lambda L)]}}}$ (32b)

${\displaystyle H(\xi )=2\sin(\lambda x)\sinh(\lambda x)H_{1}(\xi )+[\sin(\lambda x)\cosh(\lambda x)-\cos(\lambda x)\sinh(\lambda x)]H_{2}(\xi )}$

(33)

${\displaystyle H_{1}(\xi )=\sin(\lambda L)\sinh(\lambda \xi )\sin[\lambda (L-\xi )]-\sin(\lambda \xi )\sinh(\lambda L)\sinh[\lambda (L-\xi )]}$

(34)

${\displaystyle H_{2}(\xi )=-\sin(\lambda L)\{\cosh(\lambda \xi )\sin[\lambda (L-\xi )]+\sinh(\lambda \xi )\cos[\lambda (L-\xi )]\}}$ ${\displaystyle +\sinh(\lambda L)\{\sin(\lambda \xi )\cosh[\lambda (L-\xi )]+\cos(\lambda \xi )\sinh[\lambda (L-\xi )]\}}$

(35)

${\displaystyle J(x,\xi )=H(\xi ,x)}$

(36)

${\displaystyle G_{yy}^{EE2}(x,\xi )=G_{yy}^{EE1}(\xi ,x)}$

(37)

3.1.5 Viga sobre fundación flexible infinita

La función de Green para la viga sobre fundación flexible infinita presentada en la Figura 6, se define como:

${\displaystyle G_{yy}(x,\xi )={\begin{cases}G_{yy}^{1}(x,\xi )&-\infty <x\leq \xi \\[.3cm]G_{yy}^{2}(x,\xi )\qquad &\xi \leq x<+\infty \end{cases}}}$

(38)

Donde:

${\displaystyle G_{yy}^{1}(x,\xi )={\dfrac {\exp[+\lambda (x-\xi )]\{\cos[\lambda (x-\xi )]-\sin[\lambda (x-\xi )]\}}{8EI\lambda ^{3}}}}$

(39)

${\displaystyle G_{yy}^{2}(x,\xi )={\dfrac {\exp[-\lambda (x-\xi )]\{\cos[\lambda (x-\xi )]+\sin[\lambda (x-\xi )]\}}{8EI\lambda ^{3}}}}$

(40)

La cual se puede escribir en un solo tramo desde ${\textstyle x=-\infty }$ a ${\textstyle x=+\infty }$ como:

${\displaystyle G_{yy}(x,\xi )={\dfrac {\exp(-\lambda |x-\xi |)[\cos(\lambda |x-\xi |)+\sin(\lambda |x-\xi |)]}{8EI\lambda ^{3}}}\qquad -\infty {<}x<+\infty }$

(41)

3.2 Momentos puntuales

En las Figuras 7 y 8 se presentan las vigas sobre fundación flexible finitas e infinitas para las cuales se definirán las funciones de Green debidas a la aplicación de un momento puntual unitario, todas las cuales se pueden obtener directamente a partir de sus contrapartes debidas a fuerzas puntuales unitarias presentadas en la sección 3.1 empleando la representación de un momento como el limite de dos fuerzas puntuales muy cercanas presentado anteriormente.

(a) Libre - libre finita	(b) Simplemente apoyada
(c) Empotrada - libre	(d) Empotrada - libre infinita
Figura 7. Vigas sobre fundación flexible finitas con diferentes condiciones de frontera y sometidas a momentos puntuales unitarios

Figura 8. Viga sobre fundación flexible infinita sometida a un momento puntual unitario

3.2.1 Viga sobre fundación flexible finita libre - libre

A partir de la ecuación (9), la función de Green para la viga sobre fundación flexible finita con ambos extremos libres presentada en la Figura 7a, se define como:

${\displaystyle G_{y\theta }^{LL}(x,\xi )={\dfrac {G_{yy}^{LL}}{\partial \xi }}(x,\xi )}$

(42)

Y sus tramos se definen como:

${\displaystyle G_{y\theta }^{LL}(x,\xi )={\begin{cases}G_{y\theta }^{LL1}(x,\xi )={\dfrac {G_{yy}^{LL1}}{\partial \xi }}(x,\xi )&0<x\leq \xi \\[0.3cm]G_{y\theta }^{LL2}(x,\xi )={\dfrac {G_{yy}^{LL2}}{\partial \xi }}(x,\xi )\qquad &\xi \leq x<L\end{cases}}}$

(43)

3.2.2 Viga sobre fundación flexible finita simplemente apoyada

A partir de la ecuación (17), la función de Green para la viga sobre fundación flexible finita simplemente apoyada presentada en la Figura 7b, se define como:

${\displaystyle G_{y\theta }^{SS}(x,\xi )={\dfrac {G_{yy}^{SS}}{\partial \xi }}(x,\xi )}$

(44)

Y sus tramos se definen como:

${\displaystyle G_{y\theta }^{SS}(x,\xi )={\begin{cases}G_{y\theta }^{SS1}(x,\xi )={\dfrac {G_{yy}^{SS1}}{\partial \xi }}(x,\xi )&0<x\leq \xi \\[0.3cm]G_{y\theta }^{SS2}(x,\xi )={\dfrac {G_{yy}^{SS2}}{\partial \xi }}(x,\xi )\qquad &\xi \leq x<L\end{cases}}}$

(45)

3.2.3 Viga sobre fundación flexible finita empotrada - libre

A partir de la ecuación (23), la función de Green para la viga sobre fundación flexible finita simplemente apoyada presentada en la Figura 7c, se define como:

${\displaystyle G_{y\theta }^{EL}(x,\xi )={\dfrac {G_{yy}^{EL}}{\partial \xi }}(x,\xi )}$

(46)

Y sus tramos se definen como:

${\displaystyle G_{y\theta }^{EL}(x,\xi )={\begin{cases}G_{y\theta }^{EL1}(x,\xi )={\dfrac {G_{yy}^{EL1}}{\partial \xi }}(x,\xi )&0<x\leq \xi \\[0.3cm]G_{y\theta }^{EL2}(x,\xi )={\dfrac {G_{yy}^{EL2}}{\partial \xi }}(x,\xi )\qquad &\xi \leq x<L\end{cases}}}$

(47)

3.2.4 Viga sobre fundación flexible finita doblemente empotrada

A partir de la ecuación (31), la función de Green para la viga sobre fundación flexible finita simplemente apoyada presentada en la Figura 7d, se define como:

${\displaystyle G_{y\theta }^{EE}(x,\xi )={\dfrac {G_{yy}^{EE}}{\partial \xi }}(x,\xi )}$

(48)

Y sus tramos se definen como:

${\displaystyle G_{y\theta }^{EE}(x,\xi )={\begin{cases}G_{y\theta }^{EE1}(x,\xi )={\dfrac {G_{yy}^{EE1}}{\partial \xi }}(x,\xi )&0<x\leq \xi \\[0.3cm]G_{y\theta }^{EE2}(x,\xi )={\dfrac {G_{yy}^{EE2}}{\partial \xi }}(x,\xi )\qquad &\xi \leq x<L\end{cases}}}$

(49)

3.2.5 Viga sobre fundación flexible infinita

A partir de la ecuación (38), la función de Green para la viga sobre fundación flexible finita simplemente apoyada presentada en la Figura 8, se define como:

${\displaystyle G_{y\theta }(x,\xi )={\dfrac {G_{yy}}{\partial \xi }}(x,\xi )}$

(50)

Y sus tramos se definen como:

${\displaystyle G_{y\theta }(x,\xi )={\begin{cases}G_{y\theta }^{1}(x,\xi )={\dfrac {G_{yy}^{1}}{\partial \xi }}(x,\xi )&0<x\leq \xi \\[0.3cm]G_{y\theta }^{2}(x,\xi )={\dfrac {G_{yy}^{2}}{\partial \xi }}(x,\xi )\qquad &\xi \leq x<L\end{cases}}}$

(51)

4. Solución de vigas sobre fundación flexible empleando funciones de Green

Antes de comenzar con la explicación de esta metodología es necesario tener claro que todas las cargas externas aplicadas en una viga sobre fundación flexible pueden obtenerse como un operador lineal de cargas puntuales unitarias, en particular sumas, integrales o derivadas ponderadas por un número o función. Para facilitar la explicación de este concepto, se empleará como ejemplo la viga sobre fundación flexible presentada en la Figura 9.

Figura 9. Viga sobre fundación flexible sometida a cargas externas distribuidas y puntuales

La carga puntual ${\textstyle F}$ se expresa como el producto de una fuerza puntual unitaria por el factor ${\textstyle F}$, es decir, se encuentra definida por la siguiente función (ver la ecuación (4) para una explicación):

${\displaystyle q_{1}(\xi )=F\cdot \delta (\xi {-}x_{4})}$

(52)

Algo similar ocurre con las fuerzas puntuales debidas a las reacciones verticales que ocurren en los puntos 1 y 2, las cuales se definen respectivamente como:

${\displaystyle q_{2}(\xi )=FY_{1}\cdot \delta (\xi )}$ (53a) " | ${\displaystyle q_{3}(\xi )=FY_{2}\cdot \delta (\xi {-}x_{2})}$ (53b)

donde ${\textstyle FY_{1}}$ y ${\textstyle FY_{2}}$ son respectivamente los valores de las reacciones en los puntos 1 y 2, las cuales son positivas en dirección del eje ${\textstyle y}$.

Por su parte, los momentos puntuales debidos al momento externo ${\textstyle M}$ y la reacción a momento en el punto 1, se expresan respectivamente como:

${\displaystyle q_{4}(\xi )=M\cdot {\dfrac {\partial \delta (\xi {-}r)}{\partial r}}(r=x_{5})}$ (54a) ${\displaystyle q_{5}(\xi )=M_{1}\cdot {\dfrac {\partial \delta (\xi {-}r)}{\partial r}}(r=0)}$ (54b)

donde ${\textstyle M_{1}}$ es la reacción a momento en el punto 1 y ${\textstyle r}$ es una variable auxiliar muda o temporal.

Mientras que la carga distribuida se expresa como:

${\displaystyle q(\xi )=\int _{x_{1}}^{x_{3}}q(x)\delta (x-\xi )dx}$

(55)

Ahora que es claro que cualquier carga puntual o distribuida puede expresarse como un operador lineal de cargas puntuales, se debe seleccionar una función de Green cuya viga sobre fundación flexible cumpla o pueda cumplir, por medio de la aplicación de fuerzas o momentos puntuales, todas condiciones de frontera y compatibilidad de la viga sobre fundación flexible en estudio. Para este problema la función de Green que más se acomoda es aquella de la viga empotrada libre presentada en la Figura 5c. Una vez seleccionada la función de Green, la viga que la define debe hacerse equivalente a aquella en estudio, lo cual se logra a partir de la aplicación de cargas distribuidas y/o puntuales (todas ellas expresables como un operador lineal de cargas puntuales) y del cumplimiento de condiciones de frontera y/o compatibilidad. En este caso es claro que para que la estructura presentada en la Figura 5c sea equivalente a aquella de la Figura 9 debe cumplirse que el desplazamiento en el punto 2 sea cero, es decir, ${\textstyle v_{2}=v(x_{2})=0}$, condición de compatibilidad empleada para obtener el valor de la reacción ${\textstyle FY_{2}}$ que es desconocido, la cual se expresa en términos de las funciones de Green ${\textstyle G_{yy}^{EL}(z,\xi )}$ y ${\textstyle G_{y\theta }^{EL}(z,\xi )}$, así como empleando el principio de superposición, como:

${\displaystyle v_{2}=v(x_{2})=0=FY_{2}\cdot G_{yy}^{EL1}(x_{2},x_{2})+F\cdot G_{yy}^{EL1}(x_{2},x_{4})+M\cdot G_{y\theta }^{EL1}(x_{2},x_{5})}$ ${\displaystyle +\int _{x_{1}}^{x_{2}}q(\xi )G_{yy}^{EL2}(x_{2},\xi )d\xi {+\int }_{x_{2}}^{x_{3}}q(\xi )G_{yy}^{EL1}(x_{2},\xi )d\xi }$

(56)

Cuyos términos se explican a continuación:

${\textstyle FY_{2}\cdot G_{yy}^{EL1}(x_{2},x_{2})}$: Desplazamiento en ${\textstyle x=x_{2}}$ debido a la fuerza puntual ${\textstyle FY_{2}}$ ubicada en ${\textstyle x=x_{2}}$.

${\textstyle F\cdot G_{yy}^{EL1}(x_{2},x_{4})}$: Desplazamiento en ${\textstyle x=x_{2}}$ debido a la fuerza puntual ${\textstyle F}$ ubicada en ${\textstyle x=x_{4}}$.

${\textstyle M_{2}\cdot G_{y\theta }^{EL1}(x_{2},x_{5})}$: Desplazamiento en ${\textstyle x=x_{2}}$ debido al momento puntual ${\textstyle M}$ ubicado en ${\textstyle x=x_{5}}$.

${\textstyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}q(\xi )G_{yy}^{EL2}(x_{2},\xi )d\xi }$: Desplazamiento en ${\textstyle x=x_{2}}$ debido a la carga distribuida ${\textstyle q(\xi )}$ ubicada entre ${\textstyle x=x_{1}}$ y ${\textstyle x=x_{2}}$.

${\textstyle \int _{x_{2}}^{x_{3}}q(\xi )G_{yy}^{EL1}(x_{2},\xi )d\xi }$: Desplazamiento en ${\textstyle x=x_{2}}$ debido a la carga distribuida ${\textstyle q(\xi )}$ ubicada entre ${\textstyle x=x_{2}}$ y ${\textstyle x=x_{3}}$.

En este punto, es importante recordarle al lector que ${\textstyle G_{yy}^{EL1}(x,\xi )}$ corresponde al desplazamiento antes de la fuerza puntual unitaria, mientras que ${\textstyle G_{yy}^{EL2}(x,\xi )}$ corresponde a aquel después de esta.

Como siguiente paso, una vez obtenidas todas las condiciones de compatibilidad, se resuelve el sistema lineal de ecuaciones que ellas forman, de lo cual se obtiene el valor de aquellas reacciones puntuales diferentes a aquellas que también ocurrirían en la viga sobre fundación flexible empleada para definir la función de Green (Figura 10). En este ejemplo esto equivale a obtener el único valor de ${\textstyle FY_{2}}$ que cumple (56).

Figura 10. Aplicación de las cargas externas de la viga sobre fundación flexible a analizar sobre aquella empleada para la definición de la función de Green empleada en la solución

Una vez obtenidas las reacciones que hacen que se cumplan las condiciones de compatibilidad y/o frontera, es necesario calcular el campo de desplazamiento en cada uno de los tramos de la viga sobre fundación flexible, lo cual se realiza de nuevo empleando el principio de superposición. Para este ejemplo el campo de desplazamiento tiene 6 tramos y se define como:

${\displaystyle v(x)={\begin{cases}v_{1}(x)&0<x\leq x_{1}\\v_{2}(x)&x_{1}\leq x\leq x_{2}\\v_{3}(x)&x_{2}\leq x\leq x_{3}\\v_{4}(x)&x_{3}\leq x\leq x_{4}\\v_{5}(x)&x_{4}\leq x\leq x_{5}\\v_{6}(x)&x_{5}\leq x<L\end{cases}}}$

(57)

Mientras que cada uno de sus valores se calcula como:

${\displaystyle v_{1}(x)=FY_{2}\cdot G_{yy}^{EL1}(x,x_{2})+F\cdot G_{yy}^{EL1}(x,x_{4})+M\cdot G_{y\theta }^{EL1}(x,x_{5})+\int _{x_{1}}^{x_{3}}q(\xi )G_{yy}^{EL1}(x,\xi )d\xi }$

(58)

${\displaystyle v_{2}(x)=FY_{2}\cdot G_{yy}^{EL1}(x,x_{2})+F\cdot G_{yy}^{EL1}(x,x_{4})+M\cdot G_{y\theta }^{EL1}(x,x_{5})}$ ${\displaystyle +\int _{x_{1}}^{x}q(\xi )G_{yy}^{EL2}(x,\xi )d\xi {+\int }_{x}^{x_{3}}q(\xi )G_{yy}^{EL1}(x,\xi )d\xi }$

(59)

${\displaystyle v_{3}(x)=FY_{2}\cdot G_{yy}^{EL2}(x,x_{2})+F\cdot G_{yy}^{EL1}(x,x_{4})+M\cdot G_{y\theta }^{EL1}(x,x_{5})}$ ${\displaystyle +\int _{x_{1}}^{x}q(\xi )G_{yy}^{EL2}(x,\xi )d\xi {+\int }_{x}^{x_{3}}q(\xi )G_{yy}^{EL1}(x,\xi )d\xi }$

(60)

${\displaystyle v_{4}(x)=FY_{2}\cdot G_{yy}^{EL2}(x,x_{2})+F\cdot G_{yy}^{EL1}(x,x_{4})+M\cdot G_{y\theta }^{EL1}(x,x_{5})+\int _{x_{1}}^{x_{3}}q(\xi )G_{yy}^{EL2}(x,\xi )d\xi }$

(61)

${\displaystyle v_{5}(x)=FY_{2}\cdot G_{yy}^{EL2}(x,x_{2})+F\cdot G_{yy}^{EL2}(x,x_{4})+M\cdot G_{y\theta }^{EL1}(x,x_{5})+\int _{x_{1}}^{x_{3}}q(\xi )G_{yy}^{EL2}(x,\xi )d\xi }$

(62)

${\displaystyle v_{6}(x)=FY_{2}\cdot G_{yy}^{EL2}(x,x_{2})+F\cdot G_{yy}^{EL2}(x,x_{4})+M\cdot G_{y\theta }^{EL2}(x,x_{5})+\int _{x_{1}}^{x_{3}}q(\xi )G_{yy}^{EL2}(x,\xi )d\xi }$

(63)

Por último, a partir del campo de desplazamiento calculado anteriormente y empleando las ecuaciones (3) y (6) se calculan los campos de la fuerza que el suelo ejerce sobre la viga, de momento flector y fuerza cortante respectivamente como:

${\displaystyle f_{S}(x)={\begin{cases}f_{S}^{1}(x)=-kv_{1}(x)&0<x\leq x_{1}\\f_{S}^{2}(x)=-kv_{2}(x)&x_{1}\leq x\leq x_{2}\\f_{S}^{3}(x)=-kv_{3}(x)&x_{2}\leq x\leq x_{3}\\f_{S}^{4}(x)=-kv_{4}(x)&x_{3}\leq x\leq x_{4}\\f_{S}^{5}(x)=-kv_{5}(x)&x_{4}\leq x\leq x_{5}\\f_{S}^{6}(x)=-kv_{6}(x)\qquad &x_{5}\leq x<L\end{cases}}}$

(64)

${\displaystyle M(x)=EI{\dfrac {d^{2}v}{dx^{2}}}(x)={\begin{cases}M_{1}(x)=EI{\dfrac {d^{2}v_{1}}{dx^{2}}}(x)&0<x\leq x_{1}\\[0.2cm]M_{2}(x)=EI{\dfrac {d^{2}v_{2}}{dx^{2}}}(x)&x_{1}\leq x\leq x_{2}\\[0.2cm]M_{3}(x)=EI{\dfrac {d^{2}v_{3}}{dx^{2}}}(x)&x_{2}\leq x\leq x_{3}\\[0.2cm]M_{4}(x)=EI{\dfrac {d^{2}v_{4}}{dx^{2}}}(x)&x_{3}\leq x\leq x_{4}\\[0.2cm]M_{5}(x)=EI{\dfrac {d^{2}v_{5}}{dx^{2}}}(x)&x_{4}\leq x\leq x_{5}\\[0.2cm]M_{6}(x)=EI{\dfrac {d^{2}v_{6}}{dx^{2}}}(x)\qquad &x_{5}\leq x<L\end{cases}}}$

(65)

${\displaystyle V(x)=-EI{\dfrac {d^{3}v}{dx^{3}}}(x)={\begin{cases}V_{1}(x)=-EI{\dfrac {d^{3}v_{1}}{dx^{3}}}(x)&0<x\leq x_{1}\\[0.2cm]V_{2}(x)=-EI{\dfrac {d^{3}v_{2}}{dx^{3}}}(x)&x_{1}\leq x\leq x_{2}\\[0.2cm]V_{3}(x)=-EI{\dfrac {d^{3}v_{3}}{dx^{3}}}(x)&x_{2}\leq x\leq x_{3}\\[0.2cm]V_{4}(x)=-EI{\dfrac {d^{3}v_{4}}{dx^{3}}}(x)&x_{3}\leq x\leq x_{4}\\[0.2cm]V_{5}(x)=-EI{\dfrac {d^{3}v_{5}}{dx^{3}}}(x)&x_{4}\leq x\leq x_{5}\\[0.2cm]V_{6}(x)=-EI{\dfrac {d^{3}v_{6}}{dx^{3}}}(x)\qquad &x_{5}\leq x<L\end{cases}}}$

(66)

5. Ejemplos

5.1 Viga sobre fundación flexible simplemente apoyada sometida a una carga externa sinusoidal

Resolver la viga sobre fundación flexible presentada en la Figura 11 empleando la función de Green de la Figura 5b.

Figura 11. Viga sobre fundación flexible simplemente apoyada sometida a una carga externa sinusoidal

Solución

Funciones de Green a emplear

Como se indicó en el enunciado, la función de Green a emplear en la solución de este problema es ${\textstyle G_{yy}^{SS}(x,\xi )}$, la cual se presenta en la ecuación (17).

Cálculo del campo de desplazamiento

La carga externa distribuida sobre la viga está definida por medio de la siguiente función:

${\displaystyle q(x)=-Q\sin \left(\pi {\dfrac {x}{L}}\right)\qquad 0<x<L}$

(67)

Ahora, debido a que la viga sobre fundación flexible empleada para la función de Green tiene los mismos tramos, condiciones de frontera y de continuidad que aquella a analizar, su campo de desplazamiento se obtiene de forma inmediata solo mediante la siguiente integral:

${\displaystyle v(x)=\int _{0}^{L}G_{yy}^{SS}(x,\xi )q(\xi )d\xi =\int _{0}^{x}G_{yy}^{SS2}(x,\xi )q(\xi )d\xi {+\int }_{x}^{L}G_{yy}^{SS1}(x,\xi )q(\xi )d\xi }$ ${\displaystyle =-{\dfrac {QL^{4}}{EI}}{\dfrac {1}{4(\lambda L)^{4}+\pi ^{4}}}\sin \left(\pi {\dfrac {x}{L}}\right)\qquad 0<x<L}$

(68)

La cual se puede entender como el cálculo del desplazamiento en un punto ${\textstyle x}$ de la viga sobre fundación flexible como la suma del desplazamiento en dicho punto debido a la carga externa ${\textstyle q(\xi )}$ aplicada en cada uno de sus puntos ${\textstyle (0<\xi {<}L)}$.

Cálculo del campo de la fuerza que el suelo ejerce sobre la viga y de fuerzas internas

A partir de las ecuaciones (3) y (6), la fuerza que el suelo ejerce sobre la viga y las fuerzas internas en esta se calculan respectivamente como:

${\displaystyle f_{S}(x)=-kv(x)={\dfrac {kQL^{4}}{EI}}{\dfrac {1}{4(\lambda L)^{4}+\pi ^{4}}}\sin \left(\pi {\dfrac {x}{L}}\right)\qquad 0<x<L}$ (69a) ${\displaystyle M(x)=EI{\dfrac {d^{2}v}{dx^{2}}}(x)=QL^{2}{\dfrac {\pi ^{2}}{4(\lambda L)^{4}+\pi ^{4}}}\sin \left(\pi {\dfrac {x}{L}}\right)\qquad 0<x<L}$ (69b) ${\displaystyle V(x)=-EI{\dfrac {d^{3}v}{dx^{3}}}(x)=-QL{\dfrac {\pi ^{3}}{4(\lambda L)^{4}+\pi ^{4}}}\cos \left(\pi {\dfrac {x}{L}}\right)\qquad 0<x<L}$ (69c)

Desde el siguiente enlace se puede descargar el código de Python con la solución de este ejemplo:

https://drive.google.com/file/d/18ee0fR2uzRQFk79DYxLziZwbhIHquAgS

5.2 Viga sobre fundación flexible empotrada - libre sometida a una carga distribuida constante

Resolver la viga sobre fundación flexible presentada en la Figura 12 empleando: a) la función de Green empotrada libre presentada en la sección 3.1.3 y b) la función de Green de libre-libre presentada en la sección 3.1.1.

Figura 12. Viga sobre fundación flexible empotrada-libre sometida a una carga externa distribuida constante

Solución

Definición de la carga externa

La carga externa que actúa sobre la viga está definida por la siguiente función:

${\displaystyle q(x)=-Q\qquad 0<x<L}$

(70)

5.2.1 Solución empleando la función de Green de la viga sobre fundación flexible empotrada libre (Figura 5c)

Funciones de Green a emplear

Para esta alternativa la función de Green a emplear es ${\textstyle G_{yy}^{EL}(x,\xi )}$, la cual se presenta en la ecuación (23).

Cálculo del campo de desplazamiento

Debido a que la viga de la función de Green que a emplear tienen las mismas condiciones de frontera que aquella a analizar, su campo de desplazamiento se calcula como:

${\displaystyle v(x)=\int _{0}^{L}G_{yy}^{EL}(x,\xi )q(\xi )d\xi =\int _{0}^{x}G_{yy}^{EL2}(x,\xi )q(\xi )d\xi {+\int }_{x}^{L}G_{yy}^{EL1}(x,\xi )q(\xi )d\xi }$ ${\displaystyle =-Q\left[\int _{0}^{x}G_{yy}^{EL2}(x,\xi )d\xi {+\int }_{x}^{L}G_{yy}^{EL1}(x,\xi )d\xi \right]}$

(71)

El cual luego de realizar las integrales respectivas, da como resultado:

${\displaystyle v(x)=-{\dfrac {Q}{4EI\lambda ^{4}}}{\dfrac {f(x)}{\cos(2\lambda L)+\cosh(2\lambda L)+2}}\qquad 0<x<L}$

(72)

donde

${\displaystyle f(x)=\sin(\lambda x)\sinh[\lambda (2L-x)]-\sin[\lambda (2L-x)]\sinh(\lambda x)+2\cos(\lambda x)\cosh(\lambda x)+\cos(\lambda x)\cosh[\lambda (2L-x)]}$ ${\displaystyle +\cos[\lambda (2L-x)]\cosh(\lambda x)-2-\cos(2\lambda L)-\cosh(2\lambda L)}$

(73)

Cálculo del campo de la fuerza que el suelo ejerce sobre la viga y de fuerzas internas

A partir de la ecuación (3) y empleando la ecuación (72) se tiene que la fuerza que el suelo hace sobre la viga es:

${\displaystyle f_{S}(x)={\dfrac {Q\cdot k}{4EI\lambda ^{4}}}{\dfrac {f(x)}{\cos(2\lambda L)+\cosh(2\lambda L)+2}}\qquad 0<x<L}$

(74)

Mientras que, reemplazando la ecuación (72) en la ecuación (6), se obtiene que los campos de momento flector y fuerza cortante son respectivamente:

${\displaystyle M(x)={\dfrac {g(x)}{2\lambda ^{2}[\cos(2\lambda L)+\cosh(2\lambda L)+2]}}0<x<L}$ (75.a) ${\displaystyle V(x)={\dfrac {h(x)}{\lambda [\cos(2\lambda L)+\cosh(2\lambda L)+2]}}0<x<L}$ (75.b)

donde

${\displaystyle g(x)=Q\{2\sin(\lambda L)\sin[\lambda (L-x)]\cosh(\lambda x)-2\sin(\lambda L)\cos[\lambda (L-x)]\sinh(\lambda x)+3\sin(\lambda x)\sinh(\lambda x)}$ ${\displaystyle -\sin(\lambda x)\sinh[\lambda (2L-x)]-\cos(\lambda x)\cosh(\lambda x)+\cos(\lambda x)\cosh[\lambda (2L-x)]\}}$

(76)

y

${\displaystyle h(x)=Q\{-\sin(\lambda x)\cosh(\lambda x)+\sin[\lambda (2L-x)]\cosh(\lambda x)-\cos(\lambda x)\sinh(\lambda x)+\cos(\lambda x)\sinh[\lambda (2L-x)]\}}$

(77)

5.2.2 Solución empleando la función de Green de la viga sobre fundación flexible libre libre (Figura 5a)

Funciones de Green a emplear

Para la solución de este problema se emplearán las siguientes funciones de Green:

${\textstyle G_{yy}^{LL}(x,\xi )}$: Campo de desplazamientos de la viga sobre fundación flexible libre-libre sometida a una carga puntual unitaria presentada en la Figura 5a y cuyo valor se presenta en la ecuación (17).

${\textstyle G_{y\theta }^{LL}(x,\xi )}$: Campo de desplazamientos de la viga sobre fundación flexible libre-libre sometida a un momento puntual unitario presentada en la Figura 7a y cuyo valor se presenta en la ecuación (44).

${\textstyle G_{\theta y}^{LL}(x,\xi )}$: Campo de rotaciones de la viga sobre fundación flexible libre-libre sometida a una carga puntual unitaria presentada en la Figura 5a.

${\textstyle G_{\theta \theta }(x,\xi )}$: Campo de rotaciones de la viga sobre fundación flexible libre-libre sometida a un momento puntual unitario presentada en la Figura 7a.

En este punto es importante resaltar que debido a que ${\textstyle G_{\theta y}^{LL}(x,\xi )}$, ${\textstyle G_{y\theta }^{LL}(x,\xi )}$ y ${\textstyle G_{\theta \theta }^{LL}(x,\xi )}$ son derivadas de ${\textstyle G_{yy}^{LL}(x,\xi )}$, en realidad es posible indicar que lo es necesario emplear está última, mientras que los tramos de las primeras se definen como:

${\displaystyle G_{\theta y}^{LL}(x,\xi )={\dfrac {\partial G_{yy}^{LL}}{\partial x}}(x,\xi )={\begin{cases}G_{\theta y}^{LL1}(x,\xi )(x,\xi )&0<x\leq \xi \\[.25cm]G_{\theta y}^{LL2}(x,\xi )(x,\xi )\qquad &\xi \leq x<L\end{cases}}}$

${\displaystyle G_{y\theta }^{LL}(x,\xi )={\dfrac {\partial G_{yy}^{LL}}{\partial \xi }}(x,\xi )={\begin{cases}G_{y\theta }^{LL1}(x,\xi )&0<x\leq \xi \\[.25cm]G_{y\theta }^{LL2}(x,\xi )\qquad &\xi \leq x<L\end{cases}}}$

${\displaystyle G_{\theta \theta }^{LL}(x,\xi )={\dfrac {\partial ^{2}G_{yy}^{LL}}{\partial x\partial \xi }}(x,\xi )={\begin{cases}G_{\theta \theta }^{LL1}(x,\xi )&0<x\leq \xi \\[.25cm]G_{\theta \theta }^{LL2}(x,\xi )\qquad &\xi \leq x<L\end{cases}}}$

Para resolver este problema se debe tener en cuenta que solo integrando la función de Green libre-libre multiplicada por la carga externa que actúa sobre la viga, se obtiene una solución que cumplirá las mismas condiciones de frontera homogéneas que la función de Green posee, es decir:

1. Segunda derivada derivada (o momento flector) igual a cero en ${\textstyle x=0}$.
2. Tercera derivada (o fuerza cortante) igual a cero en ${\textstyle x=0}$.
3. Segunda derivada derivada (o momento flector) igual a cero en ${\textstyle x=L}$.
4. Tercera derivada (o fuerza cortante) igual a cero en ${\textstyle x=L}$.

Las cuales cuales no coinciden con aquellas que posee la viga sobre fundación flexible a estudiar (Figura 12).

Cálculo del campo de desplazamiento

Para poder hacer cumplir las condiciones de frontera del problema real, a la viga sobre fundación flexible libre-libre no solo se le debe agregar el efecto de la carga distribuida sino también aquel del momento y fuerza puntuales debidos al empotramiento en el extremo izquierdo de esta, así como el cumplimiento de las condiciones de desplazamiento y rotaciones nulos en ${\textstyle x=0}$ (Figura 13).

Figura 13. Viga sobre fundación flexible en voladizo sometida a una carga externa distribuida constante.

Con base en lo anterior, las dos ecuaciones a emplear para obtener el valor de las reacciones de la viga sobre fundación flexible son:

${\displaystyle v(0)=0=FY_{1}G_{yy}^{LL2}(0,0)+M_{1}G_{y\theta }^{LL2}(0,0)-Q\int _{0}^{L}G_{yy}^{LL1}(0,\xi )d\xi }$ (78a) ${\displaystyle {\dfrac {dv}{dx}}(0)=0=FY_{1}G_{\theta y}^{LL2}(0,0)+M_{1}G_{\theta \theta }^{LL2}(0,0)-Q\int _{0}^{L}G_{\theta y}^{LL1}(0,\xi )d\xi }$ (78b)

De cuya solución se obtiene:

${\displaystyle FY_{1}=-{\dfrac {Q}{\lambda }}{\dfrac {\sin(2\lambda L)+\sinh(2\lambda L)}{\cos(2\lambda L)+\cosh(2\lambda L)+2}}}$ (79a) ${\displaystyle M_{1}={\dfrac {Q}{2\lambda ^{2}}}{\dfrac {\cos(2\lambda L)-\cosh(2\lambda L)}{\cos(2\lambda L)+\cosh(2\lambda L)+2}}}$ (79b)

Con lo cual, se tiene que el campo de desplazamiento ahora se calcula como:

${\displaystyle v(x)=FY_{1}G_{yy}^{LL2}(x,0)+M_{1}G_{y\theta }^{LL2}(x,0)-Q\left[\int _{0}^{x}G_{yy}^{LL2}(0,\xi )d\xi {+\int }_{x}^{L}G_{yy}^{LL1}(0,\xi )d\xi \right]}$

(80)

El cual luego de realizar las integrales y usando la ecuación (79), da como resultado:

${\displaystyle v(x)=-{\dfrac {Q}{4EI\lambda ^{4}}}{\dfrac {f(x)}{\cos(2\lambda L)+\cosh(2\lambda L)+2}}\qquad 0<x<L}$

(81)

donde

${\displaystyle f(x)=\sin(\lambda x)\sinh[\lambda (2L-x)]-\sin[\lambda (2L-x)]\sinh(\lambda x)+2\cos(\lambda x)\cosh(\lambda x)+\cos(\lambda x)\cosh[\lambda (2L-x)]}$ ${\displaystyle +\cos[\lambda (2L-x)]\cosh(\lambda x)-2-\cos(2\lambda L)-\cosh(2\lambda L)}$

(82)

Cálculo del campo de la fuerza que el suelo ejerce sobre la viga y de fuerzas internas

Dado que el campo de desplazamiento presentado en la ecuación (82) es igual al presentado en la ecuación (72) la fuerza que el suelo ejerce sobre la viga y las fuerzas internas en esta serán también iguales con ambas alternativas.

Desde el siguiente enlace se puede descargar el código de Python con la solución de este ejemplo:

https://drive.google.com/file/d/1_i-gzT1M8_PfHonABU7wzhmksbqhUeIi

5.3 Viga sobre fundación flexible libre - libre sometida a cargas puntuales y distribuidas así como a momento puntual

Resolver la viga sobre fundación flexible presentada en la Figura 14 empleando la función de Green libre-libre presentada en la sección 3.1.1.

Figura 14. Viga sobre fundación flexible simplemente libre libre sometida a cargas puntuales y distribuidas, así como a momento puntual

Funciones de Green a emplear

Para la solución de este ejercicio se emplearán las funciones de Green ${\textstyle G_{yy}^{LL}(x,\xi )}$ y ${\textstyle G_{y\theta }^{LL}(x,\xi )}$, las cuales se presentan en las ecuaciones (9) y (42), respectivamente.

Cálculo del campo de desplazamiento

El campo de desplazamiento de la viga sobre fundación flexible tiene 4 tramos, los cuales se definen como:

${\displaystyle v(x)={\begin{cases}v_{1}(x)&0<x\leq 1{\hbox{ m}}\\v_{2}(x)&1{\hbox{ m}}\leq x\leq 4{\hbox{ m}}\\v_{3}(x)&4{\hbox{ m}}\leq x\leq 5{\hbox{ m}}\\v_{4}(x)&5{\hbox{ m}}\leq x<10{\hbox{ m}}\end{cases}}}$

(83)

Donde cada uno de estos se calcula como:

${\displaystyle v_{1}(x)=-250G_{yy}^{LL1}(x,1)-100G_{y\theta }^{LL1}(x,4)-200\int _{5}^{10}G_{yy}^{LL1}(x,\xi )d\xi }$

(84)

${\displaystyle v_{1}(x)=3.399293\times 10^{-4}\sin(\lambda x)\cosh(\lambda x)+3.399293\times 10^{-4}\cos(\lambda x)\sinh(\lambda x)}$ ${\displaystyle -1.716465\times 10^{-3}\cos(\lambda x)\cosh(\lambda x)}$

(85)

${\displaystyle v_{2}(x)=-250G_{yy}^{LL2}(x,1)-100G_{y\theta }^{LL1}(x,4)-200\int _{5}^{10}G_{yy}^{LL1}(x,\xi )d\xi }$

(86)

${\displaystyle v_{2}(x)=1.815758\times 10^{-3}\sin(\lambda x)\sinh(\lambda x)-2.085686\times 10^{-3}\sin(\lambda x)\cosh(\lambda x)}$ ${\displaystyle +1.952791\times 10^{-3}\cos(\lambda x)\sinh(\lambda x)-1.595276\times 10^{-3}\cos(\lambda x)\cosh(\lambda x)}$

(87)

${\displaystyle v_{3}(x)=-250G_{yy}^{LL2}(x,1)-100G_{y\theta }^{LL2}(x,4)-200\int _{5}^{10}G_{yy}^{LL1}(x,\xi )d\xi }$

(88)

${\displaystyle v_{3}(x)=1.331976\times 10^{-3}\sin(\lambda x)\sinh(\lambda x)-1.628203\times 10^{-3}\sin(\lambda x)\cosh(\lambda x)}$ ${\displaystyle -2.305245\times 10^{-4}\cos(\lambda x)\sinh(\lambda x)+4.693530\times 10^{-4}\cos(\lambda x)\cosh(\lambda x)}$

(89)

${\displaystyle v_{4}(x)=-250G_{yy}^{LL2}(x,1)-100G_{y\theta }^{LL2}(x,4)-200\int _{5}^{x}G_{yy}^{LL2}(x,\xi )d\xi -200\int _{x}^{10}G_{yy}^{LL1}(x,\xi )d\xi }$

(90)

${\displaystyle v_{4}(x)=-9.182279\times 10^{-5}\sin[\lambda (x-5)]\sinh[\lambda (x-5)]+4.461867\times 10^{-5}\sin[\lambda (x-5)]\cosh[\lambda (x-5)]}$ ${\displaystyle -1.632428\times 10^{-3}\cos[\lambda (x-5)]\sinh[\lambda (x-5)]+1.708853\times 10^{-3}\cos[\lambda (x-5)]\cosh[\lambda (x-5)]}$ ${\displaystyle -3.636363\times 10^{-3}}$

(91)

Como resumen de lo anterior, en la Figura 15 se presenta la gráfica del campo de desplazamiento en toda la viga.

(a) Campo de desplazamiento	(b) Campo de la fuerza que el suelo le ejerce a la viga
Figura 15. Campos de desplazamiento y fuerza que el suelo ejerce sobre la viga

=Cálculo de la fuerza distribuida que el suelo realiza sobre la viga

A partir del campo de desplazamiento es fácil calcular la fuerza que el suelo le hace a la viga como ${\textstyle -kv(x)}$, es decir:

${\displaystyle f_{S}(x)=-kv(x)={\begin{cases}f_{S}^{1}(x)&0<x\leq 1{\hbox{ m}}\\f_{S}^{2}(x)&1{\hbox{ m}}\leq x\leq 4{\hbox{ m}}\\f_{S}^{3}(x)&4{\hbox{ m}}\leq x\leq 5{\hbox{ m}}\\f_{S}^{4}(x)&5{\hbox{ m}}\leq x<10{\hbox{ m}}\end{cases}}}$

(92)

donde

${\displaystyle f_{S}^{1}(x)=-18.696111\sin(\lambda x)\cosh(\lambda x)-18.696111\cos(\lambda x)\sinh(\lambda x)+94.405583\cos(\lambda x)\cosh(\lambda x)}$

(93)

${\displaystyle f_{S}^{2}(x)=-99.866674\sin(\lambda x)\sinh(\lambda x)+114.712745\sin(\lambda x)\cosh(\lambda x)}$ ${\displaystyle -107.403483\cos(\lambda x)\sinh(\lambda x)+87.740186\cos(\lambda x)\cosh(\lambda x)}$

(94)

${\displaystyle f_{S}^{3}(x)=-73.258680\sin(\lambda x)\sinh(\lambda x)+89.551174\sin(\lambda x)\cosh(\lambda x)}$ ${\displaystyle +12.678850\cos(\lambda x)\sinh(\lambda x)-25.814414\cos(\lambda x)\cosh(\lambda x)}$

(95)

${\displaystyle f_{S}^{4}(x)=5.050253\sin[\lambda (x-5)]\sinh[\lambda (x-5)]-2.454027\sin[\lambda (x-5)]\cosh[\lambda (x-5)]}$ ${\displaystyle +89.783516\cos[\lambda (x-5)]\sinh[\lambda (x-5)]-93.986929\cos[\lambda (x-5)]\cosh[\lambda (x-5)]+200}$

(96)

Como revisión de los anteriores resultados a continuación se realizará la revisión del equilibrio vertical y rotacional respecto al nodo 1 de toda la viga:

${\displaystyle \sum FY=-250-200\cdot 5+\int _{0}^{10}f_{S}(x)dx\approx 0}$ (97a) ${\displaystyle \sum M_{1}=-250\cdot 1-100-200\cdot 7.5+\int _{0}^{10}f_{S}(x)\cdot xdx\approx 0}$ (97b)

Cálculo de los campos de fuerzas internas

A continuación se calculan las fuerzas internas en la viga a partir de su campo de desplazamiento.

Campo de momento flector

A partir del campo de desplazamiento y empleando (6.a), el campo de momento flector se calcula como:

${\displaystyle M(x)=EI{\dfrac {d^{2}v}{dx^{2}}}(x)={\begin{cases}M_{1}(x)&0<x\leq 1{\hbox{ m}}\\M_{2}(x)&1{\hbox{ m}}\leq x<4{\hbox{ m}}\\M_{3}(x)&4{\hbox{ m}}<x\leq 5{\hbox{ m}}\\M_{4}(x)&5{\hbox{ m}}\leq x<10{\hbox{ m}}\end{cases}}}$

(98)

Donde:

${\displaystyle M_{1}(x)=236.013957\sin(\lambda x)\sinh(\lambda x)-46.740277\sin(\lambda x)\cosh(\lambda x)+46.740277\cos(\lambda x)\sinh(\lambda x)}$

(99)

${\displaystyle M_{2}(x)=219.350465\sin(\lambda x)\sinh(\lambda x)-268.508707\sin(\lambda x)\cosh(\lambda x)-286.781862\cos(\lambda x)\sinh(\lambda x)}$ ${\displaystyle +249.66668430318\cos(\lambda x)\cosh(\lambda x)}$

(100)

${\displaystyle M_{3}(x)=-64.536036\sin(\lambda x)\sinh(\lambda x)+31.697125\sin(\lambda x)\cosh(\lambda x)-223.877936\cos(\lambda x)\sinh(\lambda x)}$ ${\displaystyle +183.146701\cos(\lambda x)\cosh(\lambda x)}$

(101)

${\displaystyle M_{4}(x)=-234.967314\sin =[\lambda (x-5)]\sinh[\lambda (x-5)]+224.458790\sin[\lambda (x-5)]\cosh[\lambda (x-5)]}$ ${\displaystyle +6.135067\cos[\lambda (x-5)]\sinh[\lambda (x-5)]-12.625633\cos[\lambda (x-5)]\cosh[\lambda (x-5)]}$

(102)

De forma gráfica, el campo de momento flector se presenta en la figura 16FigMomentoFlector.

Campo de fuerza cortante

Mientras que el campo de fuerza cortante se calcula a partir del campo de desplazamiento como (ver (6.b)):

${\displaystyle V(x)=-EI{\dfrac {d^{3}v}{dx^{3}}}(x)={\begin{cases}V_{1}(x)&0<x<1{\hbox{ m}}\\V_{2}(x)&1{\hbox{ m}}<x\leq 4{\hbox{ m}}\\V_{3}(x)&4{\hbox{ m}}\leq x\leq 5{\hbox{ m}}\\V_{4}(x)&5{\hbox{ m}}\leq x<10{\hbox{ m}}\end{cases}}}$

(103)

Donde:

${\displaystyle V_{1}(x)=41.805775\sin(\lambda x)\sinh(\lambda x)-105.548650\sin(\lambda x)\cosh(\lambda x)-105.548650\cos(\lambda x)\sinh(\lambda x)}$

(104)

${\displaystyle V_{2}(x)=-8.172003\sin(\lambda x)\sinh(\lambda x)+13.557825\sin(\lambda x)\cosh(\lambda x)-209.750846\cos(\lambda x)\sinh(\lambda x)}$ ${\displaystyle +248.333492\cos(\lambda x)\cosh(\lambda x)}$

(105)

${\displaystyle V_{3}(x)=-114.296642\sin(\lambda x)\sinh(\lambda x)+110.767087\sin(\lambda x)\cosh(\lambda x)-53.044302\cos(\lambda x)\sinh(\lambda x)}$ ${\displaystyle +85.945872\cos(\lambda x)\cosh(\lambda x)}$

(106)

${\displaystyle V_{4}(x)=-97.637337\sin[\lambda (x-5)]\sinh[\lambda (x-5)]+99.434222\sin[\lambda (x-5)]\cosh[\lambda (x-5)]}$ ${\displaystyle +110.72693z\cos[\lambda (x-5)]\sinh[\lambda (x-5)]-103.124708\cos[\lambda (x-5)]\cosh[\lambda (x-5)]}$

(107)

Como resumen de los anteriores resultados, en la figura 16FigFuerzaCortante se presenta de forma gráfica el campo de fuerza cortante en toda la viga.

(a) Momento flector.	(b) Fuerza cortante.
Figura 16: Campos de fuerzas internas.

Desde el siguiente enlace se puede descargar el código de Python con la solución de este ejemplo:

https://drive.google.com/file/d/1OVWDyO10_n7tHrZyyISo-OOYUmVrB8bn

6 Conclusiones

Las principales conclusiones de este artículo son:

1. Se presenta una metodología basada 100% en las funciones de Green para el análisis de vigas sobre fundación flexible, con la cual se pueden calcular de forma exacta los campos de desplazamiento, momento flector, fuerza cortante y fuerza que el suelo ejerce sobre la viga.
2. Una vez implementado de forma numérica, el procedimiento presentado permite analizar de forma muy eficiente vigas sobre fundación flexible.
3. Pese a que las funciones de Green más eficientes para resolver un determinado problema son aquellas que comparten las mismas condiciones de frontera (homogéneas) del problema en estudio, es posible su empleo para resolver problemas con diferentes condiciones de frontera. Esto se demuestra en el ejemplo [[#5.2.2 Solución empleando la función de Green de la viga sobre fundación flexible libre libre (figura 5a)|5.2.2]] y le da mucha generalidad al procedimiento.
4. Se presentan varias funciones de Green para vigas sobre fundación flexible finitas e infinitas con diferentes condiciones de frontera, lo cual permite la implementación del método propuesto para gran cantidad e vigas sobre fundación flexible.
5. Se presentan tres ejemplos con la solución de igual número de vigas sobre fundación flexible empleando la metodología presentada en este artículo, las cuales son la respuesta exacta de cada problema pues cumplen sus ecuaciones diferenciales gobernantes (equilibrio de cada punto), condiciones de frontera y equilibrio de toda la viga.

BIBLIOGRAFÍA

[1] Reddy, JN. (2004) "An introduction to the finite element method", Volume 1221. McGraw-Hill New York

[2] Molina-Villegas, Juan Camilo and Giraldo, Harold Nolberto Diaz and Ochoa, Andrés Felipe Acosta. (2020) "Analytical formulation of the stiffness method for 2D reticular structures using Green functions", Volume 36. Revista Internacional de Metodos Numericos para Calculo y Diseno en Ingenieria 3

[3] Stakgold, Ivar and Holst, Michael J. (2011) "Green's functions and boundary value problems", Volume 99. John Wiley & Sons

[4] Duffy, Dean G. (2015) "Green's functions with applications". CRC Press

[5] Rother, Tom. (2017) "Green's Functions in Classical Physics", Volume 938. Springer

[6] Podio-Guidugli, Paolo and Favata, Antonino. (2014) "Elasticity for Geotechnicians: A Modern Exposition of Kelvin, Boussinesq, Flamant, Cerruti, Melan, and Mindlin Problems", Volume 204. Springer

[7] Kausel, Eduardo. (2006) "Fundamental solutions in elastodynamics: a compendium". Cambridge University Press

[8] Cole, Kevin and Beck, James and Haji-Sheikh, A and Litkouhi, Bahman. (2010) "Heat Conduction Using Greens Functions". CRC Press

[9] Mandelis, Andreas. (2013) "Diffusion-wave fields: mathematical methods and Green functions". Springer Science & Business Media

[10] Beer, Gernot. (2000) "Programming the boundary element method". John Wiley & Sons, Inc.

[11] Brebbia, Carlos Alberto and Dominguez, Jose. (1994) "Boundary elements: an introductory course". WIT press

[12] Katsikadelis, John T. (2002) "Boundary elements: theory and applications". Elsevier

[13] Rodriguez-Castellanos, Alejandro and Flores, E and Sánchez-Sesma, Francisco José and Ortiz-Aleman, Carlos and Nava-Flores, Mauricio and Martin, Roland. (2011) "Indirect Boundary Element Method applied to fluid–solid interfaces", Volume 31. Elsevier. Soil Dynamics and Earthquake Engineering 3 470–477

[14] Sánchez-Sesma, FJ and Ramos-Martinez, J and Campillo, M. (1993) "An indirect boundary element method applied to simulate the seismic response of alluvial valleys for incident P, S and Rayleigh waves", Volume 22. Wiley Online Library. Earthquake engineering & structural dynamics 4 279–295

[15] Young, Warren C and Budynas, Richard G and Sadegh, Ali M. (2012) "Roark's formulas for stress and strain". McGraw-Hill Education

[16] Hetényi, Miklós. (1971) "Beams on elastic foundation: theory with applications in the fields of civil and mechanical engineering". University of Michigan

[17] Dinev, Dobromir. (2012) "Analytical solution of beam on elastic foundation by singularity functions", Volume 19. Engineering Mechanics 6 381–392