Latest revision as of 15:33, 19 July 2018

Resumo

Este artigo analisa a capacidade do método do reticulado de Boltzmann (LBM) com múltiplos tempos de relaxamento (MRT) na simulação do escoamento em problemas práticos de engenharia. O estudo de caso abordado refere-se ao primeiro trecho do canal de iniciação, que faz parte do canal da piracema, localizado no Usina Hidrelétrica de Itaipu. O canal de iniciação possui obstáculos submersos distribuídos de uma margem até a outra, com o objetivo de reduzir a velocidade da água e permitir a ocorrência do ciclo da piracema. As equações governantes do escoamento são as equações de águas rasas, que serão resolvidas por meio do LBM-MRT. Utilizou-se condições de contorno adequadas para escoamento em canal, vazão e altura da água constante na entrada e saída, respectivamente. Devido às características do problema que pretende-se simular, incorporou-se ao código computacional uma técnica de simulação em grandes escalas (LES - Large Eddy Simulation) a qual permite obter resultados mais próximos do comportamento real do escoamento. Além disso, avalia-se a estabilidade da simulação em todos os pontos da malha para cada passo de tempo e, juntamente com a propriedade da consistência do LBM, obtém-se a convergência da solução. A simulação fornece a profundidade, velocidades nas direções ${\textstyle x}$ e ${\textstyle y}$, e a magnitude da vorticidade da água.

Palavras-chave: Simulação numérica; método do reticulado de Boltzmann; equações de águas rasas; escoamento em canal; obstáculos submersos.

Abstract

This paper analyzes the ability of the Lattice Boltzmann method (LBM) with multiple relaxation times (MRT) in the simulation of flow in practical engineering problems. The case study covered refers to the first section of the initiation channel, which is part of the piracema channel, located in the Itaipu Hydroelectric Power Plant. The initiation channel has submerged obstacles distributed from one margin to the other, in order to reduce water velocity and allow the piracema cycle to occur. The governing equations of flow are the shallow water equations, which will be solved through the LBM-MRT. The non-slip bounce-back scheme was used on walls and obstacles, constant discharge at the inlet and fixed depth at the outlet of the channel. Due to the characteristics of the problem to be simulated, a large eddy simulation (LES) technique was incorporated into the computational code, which allows to obtain results that are closer to the actual behavior of the flow. In addition, the stability of the simulation at all points of the mesh is evaluated for each step of time and, together with the property of the consistency of the LBM, the convergence of the solution is obtained. The simulation provides the depth, velocities in the x and y directions, and the magnitude of water vorticity.

1. Introdução

O método do reticulado de Boltzmann é uma ferramenta numérica alternativa para simular escoamento de fluidos. Sua abordagem é diferenciada dos métodos numéricos convencionais, pois não utiliza discretizações nas equações governantes do escoamento. A ideia principal do LBM é fazer a ponte entre a microescala e a macroescala por não considerar o comportamento individual das partículas, mas o comportamento de um conjunto de partículas. Possui equação governante caracterizada pelas etapas de transmissão e colisão, e pode ser visto como uma forma discretizada da equação cinética de Boltzmann em que somente são mantidos os detalhes moleculares essenciais para recuperar o comportamento macroscópico do escoamento [1]. O LBM possui a capacidade de lidar com geometrias complexas, fácil implementação e possibilidade de paralelização do código [1,2,3]. Deve-se também considerar as desvantagens, como nos casos em que é necessário um refinamento da malha, gerando alto custo computacional [2].

Nos últimos anos, o método têm sido estudado por muitos pesquisadores e tornou-se uma área de pesquisa de grande potencial na dinâmica de fluidos computacional, como por exemplo, o LBM obteve êxito na modelagem de escoamento com distribuição não-hidrostática de pressão [4], fluxo sanguíneo [5,6,7,8], escoamentos multifásicos em meios porosos [9,10], escoamento de fluidos com transferência de calor no interior de microcanais [11] e aplicações nas indústrias aeroespacial e automotiva [12,13]. Acoplamento entre o LBM e outros métodos numéricos também apresentam bons resultados na dinâmica computacional de fluidos [14,15]. Escoamentos envolvendo águas rasas e o modelo onda cinemática também foram abrangidos pelo LBM e as simulações apresentaram bons resultados [2,16,17,18,19,20,21,22]. Em particular, para o caso do modelo onda cinemática, derivado das equações de águas rasas, um estudo sobre bacias hidrográficas naturais foi recentemente aceito na Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería, intitulado “Application of lattice boltzmann method for surface runoff in watershed”, de autoria dos mesmos autores deste trabalho, porém ainda não foi publicado [23].

As equações de águas rasas modelam escoamentos muito comuns na natureza e importantes, como por exemplo, canais, rios e estuários [2]. Canais de navegação, de irrigação, de drenagem e canal da piracema, são exemplos de canais artificiais que ajudam no desenvolvimentos das cidades e da agricultura. Em particular, este artigo trás a simulação de um trecho canal de iniciação, que faz parte do canal da piracema. O canal da piracema, construído no parque da usina hidrelétrica de Itaipu, possui grande importância para a região. Pode-se perceber os benefícios que esta obra trouxe, permitindo que diversas espécies de peixes existentes na Costa Oeste do Estado, possam transpor a barragem da usina e, assim, voltam a utilizar sua antiga rota migratória para a desova [24].

Como trata-se de uma aplicação prática de Engenharia e também ao fato que o operador BGK ser menos estável [25,26], optou-se por utilizar o método do reticulado de Boltzmann com múltiplos tempos de relaxamento (LBM-MRT). A capacidade do LBM-MRT foi testada em simulações de escoamento em canais abertos governados pelas equações de águas rasas e apresentaram resultados satisfatórios [27,28,29,26,21]. Além disso, incorporou-se o fenômeno da turbulência, por meio da abordagem LES e do modelo de Smagorinsky. De acordo com Zhou [2], a incorporação da turbulência fornece soluções mais próximas da situação real. Utilizou-se o reticulado quadrado ${\textstyle D2Q9}$, considerado uma boa opção para simulação em canais [1]. As condições de contorno Bounce-back para as paredes do canal, vazão e altura constantes na entrada e saída do canal, respectivamente, também são consideradas levando em conta as características do canal [30].

O estudo de caso abordado neste trabalho e simulado por meio do LBM, se ratifica por dois principais motivos. O primeiro deles está no fato de que o LBM-MRT é uma alternativa eficiente para simular escoamento de água em canal, com fundo descontínuo, governado pelas equações de águas rasas. Com código de simples implementação e a possibilidade de utilizar computação paralela, o LBM mostra-se um método promissor na dinâmica de fluidos computacional, respeitando as suas restrições. O outro motivo está relacionado com a importância do canal da piracema, permitindo que diversas espécies de peixes possam retomar a rota migratória que utilizavam antes da construção da usina hidrelétrica. Além disso, a contribuição principal deste trabalho está no fato de que não existe na literatura simulação numérica bidimensional do problema proposto.

O trabalho está organizado conforme segue. Na seção 2 têm-se as equações governantes do escoamento. Em seguida, na seção 3 apresenta-se o método numérico que será usado na simulação do estudo de caso que é apresentado na seção 4. A validação do modelo, as simulações numéricas e discussões foram detalhadas na seção 6, e, em seguida, na seção 7, apresentam-se as conclusões.

2. Equações de Águas Rasas

Para o estudo de caso proposto, o escoamento é governado pelas equações de águas rasas (1) e são apresentadas aqui com notação tensorial [2],

onde ${\textstyle t}$ é o tempo, ${\textstyle h}$ é a profundidade da água, ${\textstyle x_{j}}$ são as coordenadas espaciais ${\textstyle x}$ e ${\textstyle y}$, ${\textstyle u_{i}}$ são as componentes do vetor velocidade nas direções ${\textstyle x}$ e ${\textstyle y}$, isto é, ${\textstyle u}$ e ${\textstyle v}$, ${\textstyle g}$ é a aceleração da gravidade, ${\textstyle \nu }$ é a viscosidade cinemática e ${\textstyle {F_{i}}}$ é o termo de força dado por,

em que ${\textstyle {\partial {z_{b}}}/{\partial {x_{i}}}}$ é a declividade do fundo, ${\textstyle \rho }$ é a densidade e ${\textstyle \tau _{bi}}$ é a tensão de cisalhamento com o fundo do canal, definida por,

onde ${\textstyle C_{b}}$ é o coeficiente de atrito do leito do canal, que pode ser um valor constante ou estimado por ${\textstyle C_{b}=g/{C_{z}^{2}}}$, em que ${\textstyle C_{z}}$ é o coeficiente de Chezy.

3. Método do Reticulado de Boltzmann

O método do reticulado de Boltzmann, de acordo com Chen e Doolen [1], é um esquema numérico baseado em equações cinéticas formuladas em uma escala mesoscópica, que captura as informações na escala microscópica e simula a dinâmica do fluido em uma escala macroscópica. A dinâmica deste método é dada pela equação do reticulado de Boltzmann, a qual mostra como ocorrem as distribuições das partículas.

A equação do reticulado de Boltzmann (LBE) (4), com o operador de colisão BGK é,

onde ${\textstyle e=\Delta x/\Delta t}$ é a velocidade no reticulado, ${\textstyle \Delta x=\Delta y}$ é o espaçamento da malha, ${\textstyle \Delta t}$ é o incremento no tempo, ${\textstyle {\vec {e}}_{\alpha }}$ são as direções de movimento das partículas, ${\textstyle f_{\alpha }}$ é a função distribuição de partículas, ${\textstyle F_{i}}$ é a componente da força na direção ${\textstyle i}$, ${\textstyle N_{\alpha }={\frac {1}{e^{2}}}\sum \limits {{e_{\alpha i}}{e_{\alpha i}}}}$ é uma constante estabelecida de acordo com o reticulado, ${\textstyle \tau }$ é o parâmetro de relaxamento e ${\textstyle f_{\alpha }^{eq}}$ é a função distribuição de equilíbrio.

Utilizar-se-a o reticulado ${\textstyle D2Q9}$, conforme figura 1, cujas direções do movimento são [1,2],

Figura 1. Reticulado ${\displaystyle D2Q9}$

A função distribuição de equilíbrio (6) é determinada de forma que se recuperem as equações de águas rasas. Este processo é feito por meio da análise de Chapman-Enskog que conecta a LBE com as equações macroscópicas governantes [2,30],

As quantidades físicas de interesse, a profundidade (7) e a velocidade da água (8), são determinadas de forma a recuperar as equações de águas rasas,

e

Como o operador BGK é menos estável [25], optou-se por utilizar o MRT. Proposto por d'Humieres [31], O MRT captura as informações físicas do escoamento de forma mais completa e alcança estabilidade numérica de maneira mais eficiente do que o LBM-BGK. Foram Lallemand e Luo [32] que fizeram uma análise sobre a estabilidade do LBM-MRT, mostrando como melhorar o modelo de forma satisfatória. A principal mudança entre o LBM-BGK e o LBM-MRT está no operador de colisão. Migra-se do espaço de velocidades, utilizado do LBM-BGK, para o espaço dos momentos, no LBM-MRT [32]. A equação do reticulado de Boltzmann com múltiplos tempos de relaxamento é [29],

em que ${\textstyle M}$ é a matriz que transforma um vetor do espaço ${\textstyle V=R}{^{i}}$ , gerado pelas velocidades discretas, em um vetor do espaço dos momentos ${\textstyle M=R}{^{i}}$, ${\textstyle M^{-1}}$ é a matriz inversa de ${\textstyle M}$, ${\textstyle {m_{i}{\alpha }}}$ são as funções de distribuição no espaço dos momentos, onde ${\textstyle \left|m\right\rangle =M\left|f\right\rangle }$ e ${\textstyle \left|.\right\rangle }$ é uma notação para vetor coluna, ${\textstyle m_{\alpha }^{eq}}$ são as funções de distribuição de equilíbrio no espaço dos momentos, onde ${\textstyle \left|{m^{eq}}\right\rangle =M\left|{f^{eq}}\right\rangle }$ e ${\textstyle {\widehat {S}}}$ é uma matriz diagonal ${\textstyle {\widehat {S}}=diag\left({{s_{0}},\,{s_{1}},\,...,\,{s_{{\alpha }-1}}}\right)}$, onde os seus valores são definidos de acordo com o problema estudado.

Pode-se separar a equação (9) nas etapas de colisão,

com ${\textstyle \alpha =1,...,\,M}$, e a propagação,

O termo de força em (10), ${\textstyle {\frac {\Delta t}{{N_{\alpha }}{e^{2}}}}{e_{\alpha i}}{F_{i}}\left({{\vec {x}},t}\right)}$ está sendo somado ao operador de colisão, ou seja, ele não faz parte do operador de colisão. Deste modo, o termo de força pode ser posicionado tanto somando juntamente com o operador de colisão, como na etapa de transmissão.

Considerando-se o reticulado ${\textstyle D2Q9}$, são escolhidos momentos para cada uma das 9 velocidades [32]. Estes momentos formam a matriz ${\textstyle M_{9\times {9}}}$ em (12), que é a matriz transformação do espaço das velocidades para o espaço dos momentos,

Assim, como ${\textstyle \left|m\right\rangle =M\left|f\right\rangle }$, pode-se caracterizar as funções distribuição de equilíbrio do espaço dos momentos (${\textstyle m_{\alpha }^{eq}}$) da seguinte forma,

Com relação a estabilidade linear do LBM, não é possível fazer sua caracterização completa [33], porém Zhou [2] estabelece indica algumas condições necessárias para se obter estabilidade na simulação. A respeito das condições para promover a estabilidade do LBM, um primeiro olhar deve ser dirigido para a viscosidade cinemática ${\textstyle \nu }$. Ela deve ser sempre positiva em problemas de escoamento envolvendo fenômenos de difusão. É uma propriedade do fluido e relaciona-se com o parâmetro de relaxamento, ${\textstyle \tau }$, presente no termo de colisão da LBE,

com ${\textstyle \tau >1/2}$ [33].

Deve-se garantir que a magnitude da velocidade física resultante do fluido é menor do que a velocidade no reticulado, conforme (15) [2]. O lado esquerdo de (15) é o denominado número de Courant [33],

e também registra-se a condição (16) para a celeridade,

onde ${\textstyle {\vec {u}}}$ é o vetor de velocidade física do fluido, ${\textstyle g}$ é a aceleração da gravidade e ${\textstyle h}$ é a altura da água.

Além das condições necessárias citadas acima, o LBM está limitado a fluxos de baixa velocidade e isto sugere que o LBM é adequado para escoamentos subcríticos de águas pouco profundas [2]. Desta forma impõe-se que,

As condições (15), (16) e (17) serão incorporadas ao código computacional e o teste será feito em todos os pontos da malha para cada passo de tempo, garantindo-se, deste forma, que a simulação seja estável.

Atualmente, a limitação (17) está em estudo, como pode ser visto nos trabalhos de Chopard, Pham e Lefèvre [34] e [35], onde o escoamento é supercrítico, e no trabalho de Rocca et al. [36], onde o escoamento é transcrítico. As pesquisas indicam o uso de um reticulado assimétrico para tornar possível a abordagem de problemas envolvendo escoamento supercrítico, pois são apropriados para descrever fluxos com grandes velocidades em uma direção, além disso, são necessários mais estudos para a aplicação em simulações bidimensionais [34].

Utiliza-se, com frequência, no LBM uma viscosidade mais elevada do que a viscosidade cinemática do fluido e os resultados estão em concordância com as simulações disponíveis na literatura [2,17,37,38,39]. A justificativa para esta abordagem, de acordo com Rocca, Adduce e Sciortino [37], é que o LBM é um modelo intrinsecamente viscoso e a viscosidade numérica pode ser adequadamente ajustada em concordância com os parâmetros da discretização, possibilitando evitar instabilidades numéricas. Em particular, Janben, Grilli e Krafczyk [38], simularam escoamento de água com viscosidade no LBM várias vezes mais elevada do que a viscosidade cinemática. Simulações foram feitas no mesmo problema, com o objetivo de manter a estabilidade e aproximar a viscosidade do LBM com a viscosidade cinemática. Observou-se que uma redução ainda maior na viscosidade no LBM não altera significativamente os resultados.

A incorporação do fenômeno da turbulência é realizada na equação governante do LBM-MRT (9), em que o parâmetro de relaxamento ${\textstyle \tau }$ é substituído pelo parâmetro de relaxamento total ${\textstyle \tau _{t}=\tau +\tau _{e}}$ (18), onde ${\textstyle \tau _{e}}$ é o parâmetro de relaxamento turbulento. Utilizou-se a simulação de grandes escalas (LES), por meio do modelo de Smagorinsky. É uma técnica que oferece resultados refinados e utiliza menos recursos computacionais. A incorporação da turbulência apresentou resultados satisfatórios em diversos trabalhos [2,30],

onde ${\textstyle C_{s}}$ é a constante de Smagorinsky escolhida de forma coerente com o problema e ${\textstyle {\Pi _{ij}}}$ faz parte do tensor taxa de deformação nas simulações em grandes escalas,

4. Estudo de caso

O problema que pretende-se simular é baseado em um trecho do canal de iniciação, com comprimento de ${\textstyle 33\,m}$ e largura de ${\textstyle 5\,m}$, localizado entre o lago principal e o lago inferior, conforme figura 2. O canal de iniciação faz parte do canal da piracema, construído na usina hidrelétrica de Itaipu em 2002. Itaipu está localizada no rio Paraná, em um trecho de fronteira entre o Brasil e o Paraguai [40].

O canal de iniciação possui chicanas (obstáculos submersos) posicionadas de uma margem até a outra, com altura de ${\textstyle 0,3\,m}$, largura da base ${\textstyle 1\,m}$ e do topo ${\textstyle 0,5\,m}$, a seção transversal é trapezoidal. Outras informações sobre a geometria são descritas conforme Tabela 1.

Como o canal possui ${\textstyle 507\,m}$ de comprimento, optou-se por simular um trecho de ${\textstyle 33\,m}$, com seção transversal retangular. Outras informações sobre a geometria do problema simualdo são descritas conforme pode ser visto na Tabela 2.

Na figura 3, tem-se um trecho do canal de iniciação no qual o estudo de caso deste trabalho é baseado. Veja que figura 4, tem-se a representação computacional para o fundo deste canal.

Figura 3. Trecho do canal de iniciação no parque da usina hidrelétrica de Itaipu.

Figura 4. Representação computacional para o fundo do trecho escolhido do canal de iniciação.

A ocorrência da piracema está condicionada às seguintes restrições: velocidades médias não superiores a ${\textstyle 3\,m/s}$ nas seções transversais ao longo do complexo do parque de barragem, profundidade da água superior a ${\textstyle 0,8\,m}$ e áreas molhadas nas seções transversais superiores a ${\textstyle 6\,m^{2}}$ (pode ser de ${\textstyle 4\,m^{2}}$ em trechos curtos). O não atendimento aos requisitos citados somente serão permitidos em trechos bastante curtos e em condições especiais, como por exemplo, sobre os obstáculos (chicanas) construídas ao longo do canal e nas aberturas das chicanas [41]. Simulações computacionais do escoamento unidimensional realizadas por Muller e Gibertoni [41], concluíram que nas proximidades das chicanas ocorre a diminuição da profundidade da água acompanhada de um aumento de velocidade e no trecho onde o canal não apresenta obstáculo, o fluxo tende a voltar a condição anterior acontecendo um aumento de profundidade e consequentemente diminuição de velocidade.

5. Algoritmo para o LBM-MRT

O algoritmo para o programa desenvolvido com base no LBM-MRT possui todas as etapas do algoritmo para o LBM-BGK. Porém, são necessárias mais etapas no LBM-MRT, pois o operador de colisão MRT necessita de mais cálculos. Portanto, a principal diferença entre os dois algoritmos está na abordagem do operador de colisão.

Na equação governante do LBM-BGK (4), tanto no lado esquerdo como no direito, têm-se a mesma função distribuição de partículas ${\textstyle f_{\alpha }}$, isto porque todo o processo de simulação do LBM-BGK ocorre no espaço das velocidades. Observando-se agora a equação governante do LBM-MRT (9), percebe-se que as funções (${\textstyle {m_{\alpha }}}$ e ${\textstyle m_{\alpha }^{eq}}$) que compõem o termo de colisão não são as mesmas que estão do lado esquerdo. Isto ocorre pelo fato de que ${\textstyle {m_{\alpha }}}$ e ${\textstyle m_{\alpha }^{eq}}$ são funções distribuição que estão no espaço dos momentos.

A transformação do espaço de velocidades para o espaço dos momentos é feita por meio da matriz ${\textstyle M}$ apresentada em (12). Além disso, pode-se proceder com a obtenção de funções que estão no espaço de velocidades a partir das funções que estão no espaço dos momentos e isto pode feito conforme apresentado na seção 3 e que será descrito a seguir com mais detalhes,

• Escrever a função distribuição de partículas, que está no espaço de velocidades, no espaço dos momentos: ${\textstyle \left|m\right\rangle =M\left|f\right\rangle }$;

• Escrever a função distribuição de equilíbrio, que está no espaço de velocidades, no espaço dos momentos: ${\textstyle \left|{m^{eq}}\right\rangle =M\left|{f^{eq}}\right\rangle }$;

• Escrever a função distribuição de partículas, que está no espaço dos momentos, no espaço gerado pelas velocidades: ${\textstyle \left|f\right\rangle ={M^{-1}}\left|m\right\rangle }$;

• Escrever a função distribuição de equilíbrio, que está no espaço dos momentos, no espaço gerado pelas velocidades: ${\textstyle \left|f^{eq}\right\rangle ={M^{-1}}\left|{m^{eq}}\right\rangle }$

Portanto, somente o operador de colisão do LBM-MRT opera no espaço dos momentos. Neste sentido, observa-se que na etapa do operador de colisão, o código recebe ${\textstyle f_{\alpha }}$ e ${\textstyle f_{\alpha }^{eq}}$, mas precisa transformá-las em ${\textstyle {m_{\alpha }}}$ e ${\textstyle m_{\alpha }^{eq}}$. Procedimento análogo acorre na saída do operador de colisão, têm-se ${\textstyle {m_{\alpha }}}$ e ${\textstyle m_{\alpha }^{eq}}$ e é necessário obter ${\textstyle f_{\alpha }}$ e ${\textstyle f_{\alpha }^{eq}}$.

O algoritmo para o programa desenvolvido utilizando o LBM-MRT é fornecido a seguir:

1. Escolha o reticulado. Identifique o tamanho da malha, o passo de temporal e o espacial. Estabeleça o valor para a constante de Smagorinsky, valor inicial para o parâmetro de relaxamento, valores da matriz diagonal ${\textstyle {\widehat {S}}}$ e caracterize a geometria do canal.
2. Inicialização (${\textstyle t=0}$):
• Inicializa-se o valor da velocidade macroscópica nas direções ${\textstyle x}$ e ${\textstyle y}$, ${\textstyle u\left({x,y,0}\right)}$ e ${\textstyle v\left({x,y,0}\right)}$, respectivamente;
• Inicializa-se o valor da profundidade da água ${\textstyle h\left({x,y,0}\right)}$;
• Calcular ${\textstyle f_{\alpha }^{eq}}$, utilizando ${\textstyle h\left({x,y,0}\right)}$, ${\textstyle u\left({x,y,0}\right)}$ e ${\textstyle v\left({x,y,0}\right)}$, por meio de (6);
• Inicializar ${\textstyle {f_{\alpha }}\left({{\vec {x}},0}\right)}$ utilizando ${\textstyle f_{\alpha }^{eq}\left({h,u,v}\right)}$, ou seja ${\textstyle {f_{\alpha }}\left({{\vec {x}},0}\right)=f_{\alpha }^{eq}\left({h,u,v}\right)}$.
3. Loop principal (${\textstyle t=1}$ até ${\textstyle t_{max}}$):
• Informar quais condições de contorno serão utilizadas e incorporar no código;
• Atualizar as variáveis macroscópicas, profundidade e velocidades nas direções ${\textstyle x}$ e ${\textstyle y}$, utilizando (7) e (8), respectivamente. Além disso, atualiza-se o parâmetro de relaxamento total por meio de (18);
• Calcular ${\textstyle m_{\alpha }^{eq}}$ utilizando (13);
• Cálculo do termo de força utilizando (2);
• Cálculo da colisão usando a expressão (10). Neste momento ocorrem todas as etapas de transformação descritas nesta seção;
• Cálculo da propagação usando (11);
• Verificar as condições de estabilidade descritas em (15), (16) e (17);
• calcular o erro relativo entre a simulação no tempo atual e no tempo anterior.
• Escrever os resultados.
4. Plotar os resultados.