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CÁLCULO DE COTAS INFERIORES DE LA ABSCISA DE ESTABILIDAD Y ALGUNAS APLICACIONES

Edgar Díaz, Baltazar Aguirre, Carlos Loredo

Departamento de Matemáticas

Universidad Autónoma Metropolitana

Iztapalapa, San Rafael Atlixco 186, 09340, CDMX México

e-mail: dige_uam@yahoo.com.mx, bahe@xanum.uam.mx, carlos.loredo@ipicyt.edu.mx Jorge López

Departamento de Matemáticas

Universidad de Sonora

Boulevard Rosales y Luis Encinas s/n. Col. Centro, 83000, Hermosillo, Son, México

e-mail: conacyt.pnc01@ibero.mx

Eric Campos

División de Matemáticas

IPICyT, SLP

Camino a la Presa San José 2055, Col. Lomas 4a Sección, 78216 SLP, México

e-mail: eric.campos@ipicyt.edu.mx

Resumen

Si ${\displaystyle p(t)}$ es un polinomio Hurwitz la mayor parte real de sus raíces es llamada la abscisa de estabilidad de ${\displaystyle p(t)}$; este parámetro nos permite analizar la estabilidad de un sistema. En este artículo se presentan diversas cotas inferiores de la abscisa de estabilidad así como también una relación entre el Teorema de Bialas Generalizado y la abscisa de estabilidad que nos permite analizar la estabilidad robusta de un tipo de Familia de Polinomios.

Palabras Clave. polinomios Hurwitz, cotas inferiores, abscisa de estabilidad, estabilidad robusta.

COMPUTATION OF LOWER BOUNDS OF THE ABSCISSA OF STABILITY AND SOME APPLICATIONS

Abstract

If ${\displaystyle p(t)}$ is a Hurwitz polynomial, the largest real part of its roots is named the abscissa of stability of ${\displaystyle p(t)}$, a parameter which allows us to analyze the stability of a system. In this paper we present several lower bounds of the stability abscissa as well as a relationship between the Generalization of the Bialas Theorem and the abscissa of stability that allows us to analyze the robust stability of a Family of Polynomials.

1 Introducción

Para tener estabilidad asintótica en un sistema continuo es necesario que todas las raíces de su polinomio característico asociado se encuentren en ${\textstyle \mathbb {C} ^{-}}$, donde ${\textstyle \mathbb {C} ^{-}}$ es el conjunto de números complejos que tienen parte real negativa. En el caso en que un polinomio tenga todas sus raíces en ${\textstyle \mathbb {C} ^{-}}$ se dice que es un polinomio Hurwitz. Routh (1887) y Hurwitz (1895) demostraron que la estabilidad se puede determinar directamente de los coeficientes del polinomio característico asociado. Los trabajos de Routh y Hurwitz dieron lugar al Criterio de Routh-Hurwitz, probablemente el criterio más popular para determinar si un polinomio es o no polinomio Hurwitz. Múltiples problemas de la mecánica, de la física y de la teoría del control se reducen al problema de las raíces de los polinomios, esto motivo numerosas investigaciones que tenían por objeto conocer la posición de las raíces en el plano complejo sin conocerlas. Para polinomios de coeficientes reales se buscaban cotas entre las que podían estar estas raíces, así, se elaboraban métodos para la búsqueda de cotas entre las que están comprendidas las raíces reales de un polinomios de coeficientes reales, obteniéndose diversas cotas para las raíces reales. A continuación damos la siguiente definición de abscisa de estabilidad.

Definición 1: Si ${\textstyle p(t)}$ es un polinomio estable de grado ${\textstyle n}$ con ceros ${\textstyle w_{1}}$, …, ${\textstyle w_{n}}$, el número negativo

${\displaystyle \sigma _{p}:={\hbox{ max}}_{1\leq m\leq n}{\{{\hbox{ Re }}(w_{m})}\}}$

es definido como la abscisa de estabilidad de ${\textstyle p(t)}$. El siguiente teorema nos ayudara a comprender la importancia de conocer la abscisa de estabilidad de un sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

Teorema 1: Consideremos el sistema de ecuaciones diferenciales:

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax.}$

Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

• Todos los valores propios de ${\textstyle A}$ tienen parte real negativa.
• Existen constantes positivas ${\textstyle a}$, ${\textstyle c}$, ${\textstyle m}$ y ${\textstyle M}$, tales que, para todo ${\textstyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle |e^{At}x_{0}|\leq Me^{-ct}|x_{0}|}$

Conociendo la abscisa de estabilidad tenemos que ${\textstyle |e^{At}x_{0}|\leq Me^{\sigma _{p}t}|x_{0}|}$. Entonces si ${\textstyle \sigma _{p}}$ es la abscisa de estabilidad de un polinomio Hurwitz ${\textstyle p(t)}$ podemos predecir una cierta tasa mínima de decaimiento, por otra parte, el cálculo de la abscisa de estabilidad a sido requerido en el diseño de sistemas dinámicos y de control (ver [20]- [22]).

En este artículo presentamos diversas cotas inferiores de la abscisa de estabilidad primero mediante funciones simétricas y después en un segundo enfoque a partir de una relación entre las abscisas de estabilidad de un polinomio Hurwitz ${\textstyle p(t)}$ y su derivada ${\textstyle p'(t)}$, esta desigualdad la usaremos para obtener cotas inferiores de la abscisa de estabilidad de un polinomio estable.

Como aplicación de la abscisa de estabilidad estudiamos su relación con el Máximo Intervalo de Estabilidad: Dado un polinomio Hurwitz ${\textstyle p(t)}$ de grado ${\textstyle n}$ y un polinomio arbitrario ${\textstyle q(t)}$ consideremos la Familia ${\textstyle p(t)+kq(t)}$ donde ${\textstyle k\in \mathbb {R} }$. El Máximo Intervalo de Estabilidad es denotado por ${\textstyle (k_{\min },k_{\max })}$ de modo que ${\textstyle p(t)+kq(t)}$ resulta ser Hurwitz para todo ${\textstyle k\in (k_{\min },k_{\max })}$, ${\textstyle k_{\min }}$ es conocido como el Mínimo Extremo Izquierdo y ${\textstyle k_{\max }}$ como el Máximo Extremo Derecho que resulta ser la abscisa de estabilidad de ${\textstyle p(t)}$.

2 Desarrollo

2.1 Cotas inferiores

Ahora presentamos algunas cotas inferiores para la abscisa de estabilidad de un polinomio utilizando funciones simétricas de los ceros. El parámetro abscisa de estabilidad se denomina en ocasiones como el grado de estabilidad. Aunque el término abscisa de estabilidad tiene preferencia ya que grado implica una cierta cantidad entera. Los índices ${\textstyle n}$, ${\textstyle i}$ y ${\textstyle j}$ se usaran de manera habitual para los siguientes rangos: ${\textstyle n=2,3,\ldots }$; ${\textstyle i=1,2,\ldots ,n}$; ${\textstyle j=0,1,\ldots ,n}$.

2.2 Cotas inferiores a partir de funciones simétricas elementales

Las cotas inferiores del Teorema 2 son estructuralmente más simples que las de los siguientes teoremas, estas cotas son funciones de las funciones simétricas elementales de los ceros de ${\textstyle p(t)}$.

Teorema 2: Sea ${\textstyle p(t)}$ un polinomio real estable y sea ${\textstyle \sigma }$ su abscisa de estabilidad. Entonces las constantes

${\displaystyle S_{mi}=-\left({\binom {n}{m}}^{-1}{\binom {n}{i}}\left({\frac {a_{m}}{a_{i}}}\right)\right)^{1/(i-m)}}$

(1)

son cotas inferiores de la abscisa de estabilidad de ${\textstyle p(t)}$, es decir,

${\displaystyle S_{mi}\leq \sigma ,m=0,1,\cdots ,i-1.}$

La igualdad se tiene si todos los ceros de ${\textstyle p(t)}$ son reales e iguales, excepto para ${\textstyle S_{n-1,n}}$ para la cual la igualdad se tiene si todos los ceros tiene igual parte real. Ver [17] para una demostración. El Teorema 2 define ${\textstyle {\binom {n+1}{2}}}$ cotas inferiores. El siguiente teorema muestra la mejor cota inferior de este conjunto.

Teorema 3: Sea ${\textstyle p(t)}$ un polinomio estable real y sean ${\textstyle S_{mn}}$ cotas inferiores de la abscisa de estabilidad como fueron definidas en (1). Entonces la mejor cota inferior estará entre las cotas siguientes

${\displaystyle S_{k,k+1}=-\left({\frac {n-k}{k+1}}\right)\left({\frac {a_{k}}{a_{k+1}}}\right),k=0,1,\cdots ,n-1.}$

Ver [17] para una demostración. A partir de este teorema se desprende el siguiente corolario.

Corolario 1: Sea ${\textstyle p(t)}$ un polinomio real estable y sea ${\textstyle \sigma }$ su abscisa de estabilidad, además, sea ${\textstyle \mu \leq 0}$ un número dado y sea ${\textstyle q(t)}$ un polinomio con abscisa de estabilidad ${\textstyle \mu }$. Una condición necesaria para que ${\textstyle p(t)}$ sea al menos estable como ${\textstyle q(t)}$ es que las siguientes desigualdades

${\displaystyle {\frac {a_{k}}{a_{k+1}}}\geq {\frac {k+1}{n-k}}\cdot |\mu |,k=0,1,\cdots ,n-1,}$

(2)

se satisfagan. Este corolario es una generalización de la siguiente condición necesaria: Un polinomio estable tiene coeficientes positivos y de hecho se reduce a esta condición para ${\textstyle \mu =0}$.

2.3 Cotas inferiores a partir de sumas de potencias

Diferentes cotas inferiores de la abscisa de estabilidad pueden ser obtenidas a partir de funciones simétricas de los recíprocos de los ceros de ${\textstyle p(t)}$. Consideremos el polinomio siguiente:

${\displaystyle q(t)=p\left({\frac {1}{t}}\right)\cdot t^{n}=\sum _{j}a_{n-j}t^{j},}$

cuyos ceros son ${\textstyle t_{i}^{-1}}$. Consideremos ahora las sumas de potencias de los recíprocos de los ceros de un polinomio ${\textstyle p(t)}$. Denotemos la k-ésima suma de potencias por ${\textstyle s_{k}}$, es decir,

${\displaystyle s_{k}=\sum _{i}t_{i}^{-k},k=1,2,\cdots {.}}$

(3)

Específicamente, las primeras cuatro sumas de potencias como funciones de los coeficientes de ${\textstyle p(t)}$ son:

${\displaystyle s_{1}=-a_{1}/a_{0},}$ ${\displaystyle s_{2}=(a_{1}^{2}-2a_{0}a_{2})/a_{0}^{2},}$ ${\displaystyle s_{3}=(-a_{1}^{3}+3a_{0}a_{1}a_{2}-3a_{0}^{2}a_{3})/a_{0}^{3},}$ ${\displaystyle s_{4}=(a_{1}^{4}-4a_{0}a_{1}^{2}a_{2}+2a_{0}^{2}a_{2}^{2}+4a_{0}^{2}a_{1}a_{3}-4a_{0}^{3}a_{4})/a_{0}^{4}.}$

Tales sumas de potencias aparecerán en el siguiente teorema.

Teorema 4: Sean ${\textstyle p(t)}$ un polinomio real estable, ${\textstyle \sigma }$ su abscisa de estabilidad y ${\textstyle s_{k}}$, (${\textstyle k=1,2,\cdots ,}$) las sumas de potencias de los recíprocos de los ceros de ${\textstyle p(t)}$ definidos como en (3). Entonces, para ${\textstyle s_{k}\neq 0}$ las constantes

${\displaystyle T_{k}=\left\{{\begin{array}{ll}-((-1)^{k+1}nc_{k}s_{k}^{-1})^{1/k}&\left\{{\begin{array}{ll}s_{k}>0,&k{\textrm {impar}},\\s_{k}<0,&k{\textrm {par}},\end{array}}\right.\\-((-1)^{k}ns_{k}^{-1})^{1/k}&\left\{{\begin{array}{ll}s_{k}>0,&k{\textrm {par}},\\s_{k}<0,&k{\textrm {impar}},\end{array}}\right.\end{array}}\right.}$

donde ${\textstyle c_{k}=\cos ^{k+1}{\left({\frac {\pi }{k+1}}\right)}}$ son cotas inferiores de la abscisa de estabilidad de ${\textstyle p(t)}$, es decir,

${\displaystyle T_{k}\leq \sigma ,k=1,2,\cdots {.}}$

La igualdad se tiene si todos los ceros de ${\textstyle p(t)}$ son reales e iguales. Ver [17] para una demostración.

2.4 Cotas inferiores a partir de otras funciones simétricas

Adicionalmente diversas cotas inferiores de la abscisa de estabilidad pueden ser obtenidas a partir de otras funciones simétricas elementales.

Consideremos la siguiente función simétrica de los recíprocos de los ceros de un polinomio ${\textstyle p(t)}$ definida por:

${\displaystyle h(t)=\sum _{i,k=1,i\neq k}(t_{i}^{2}t_{k})^{-1}.}$

En términos de los coeficientes de ${\textstyle p(t)}$,

${\displaystyle h(t)=(3a_{3}a_{0}-a_{2}a_{1})a_{0}^{-2}.}$

Obtenemos la siguiente cota inferior de la abscisa de estabilidad de un polinomio real estable ${\textstyle p(t)}$ para ${\textstyle h(t)\neq 0}$:

${\displaystyle S_{h}=-{\sqrt {=}}3\leq \sigma _{p},}$

con

${\displaystyle c=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {1}{4}}&{\textrm {para}}h(t)>0{\textrm {}}.\\-1&{\textrm {para}}h(t)<0{\textrm {}}\end{array}}\right.}$

La igualdad se obtiene si todos los ceros de ${\textstyle p(t)}$ son reales e iguales.

2.5 Segundo enfoque

Ahora presentamos algunas cotas inferiores de la abscisa de estabilidad como una consecuencia del Teorema de Gauss-Lucas. A partir de un polinomio Hurwitz de orden ${\textstyle n}$ mediante una sucesivo descenso del orden del polinomio obtenemos una sucesión de cotas inferiores que dependen de los coeficientes del polinomio de grado ${\textstyle n}$.

Primero presentamos una desigualdad entre las abscisas de estabilidad de un polinomio Hurwitz ${\textstyle p(t)}$ y su derivada ${\textstyle p'(t)}$. Sin pérdida de generalidad, vamos a considerar ${\textstyle p(t)}$ de la forma siguiente:

${\displaystyle p(t)=a_{n}t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots +a_{1}t+a_{0}.}$

A partir de esta desigualdad podemos obtener una cota inferior para la abscisa de estabilidad de ${\textstyle p(t)}$. Usando la notación dada anteriormente vamos a denotar la abscisa de estabilidad de un polinomio Hurwitz ${\textstyle p(t)}$ por ${\textstyle \sigma _{p}}$ y la abscisa de estabilidad de ${\textstyle p'(t)}$ por ${\textstyle \sigma _{p'}}$. Esta relación es la desigualdad ${\textstyle \sigma _{p'}\leq \sigma _{p}}$. Después utilizaremos esta desigualdad para obtener una cota inferior para la abscisa de estabilidad de un polinomio.

2.5.1 Abscisa de polinomios Hurwitz: Una desigualdad entre ${\displaystyle \sigma _{p}}$ y ${\displaystyle \sigma _{p'}}$2.5.1 Abscisa de polinomios Hurwitz: Una desigualdad entre σ p {\displaystyle \sigma {p}} y σ p ′ {\displaystyle \sigma {p'}}

La prueba del Teorema 6 está basada en el siguiente resultado de Gauss-Lucas.

Teorema 5: Cualquier semiplano cerrado que contiene todos los ceros de un polinomio ${\textstyle p(t)}$ también contiene todos los ceros de su derivada, ${\textstyle p'(t)}$. Ver [10, pág. 463], [14, pág. 11 y 12] y [19, pág. 84] para una demostración. Consideremos un polinomio Hurwitz ${\textstyle p(t)}$ de la forma indicada; entonces tenemos que

${\displaystyle p'(t)=na_{n}t^{n-1}+(n-1)a_{n-1}t^{n-2}+(n-2)a_{n-2}t^{n-3}+\cdots +2a_{2}t+a_{1}.}$

Así tenemos el siguiente resultado.

Teorema 6: Si ${\textstyle p(t)}$ es un polinomio Hurwitz y ${\textstyle \sigma _{p}}$, ${\textstyle \sigma _{p'}}$ son las abscisas de estabilidad de ${\textstyle p}$ y ${\textstyle p'}$ respectivamente, entonces tenemos que ${\textstyle \sigma _{p'}\leq \sigma _{p}}$. Ahora vamos a considerar dos ejemplos.

Ejemplo 1: Sea ${\textstyle p(t)=t^{3}+{\frac {19}{6}}t^{2}+{\frac {8}{3}}t+{\frac {2}{3}}}$. La abscisa de estabilidad de ${\textstyle p(t)}$ es ${\textstyle \sigma _{p}=-0{.}5}$ y la abscisa de estabilidad de ${\textstyle p'(t)=3t^{2}+{\frac {19}{3}}t+{\frac {8}{3}}}$ es ${\textstyle \sigma _{p'}\approx -0{.}58}$. Así tenemos que ${\textstyle \sigma _{p'}<\sigma _{p}}$.

Ejemplo 2: Sea ${\textstyle p(t)=t^{3}+4t^{2}+5t+2}$. La abscisa de estabilidad de ${\textstyle p(t)}$ es ${\textstyle \sigma _{p}=-1}$ y la abscisa de estabilidad de ${\textstyle p'(t)=3t^{2}+8t+5}$ es ${\textstyle \sigma _{p'}=-1}$. En este caso tenemos que ${\textstyle \sigma _{p'}=\sigma _{p}}$. El Teorema 6 nos plantea el siguiente problema abierto: Si ${\textstyle p(t)}$ es un polinomio Hurwitz encontrar condiciones necesarias y suficientes para tener la igualdad entre ${\textstyle \sigma _{p'}}$ y ${\textstyle \sigma _{p}}$. Relacionado con este problema, de manera inmediata se pueden dar los siguientes resultados.

Teorema 7: Si ${\textstyle p(t)=a_{n}(t-\alpha )^{n}}$ es un polinomio Hurwitz entonces se tiene que ${\textstyle \sigma _{p'}=\sigma _{p}}$.

Teorema 8: Si ${\textstyle p(t)=a_{n}(t-\alpha _{1})(t-\alpha _{2})\cdots (t-\alpha _{n})}$ es un polinomio Hurwitz donde sus raíces son reales y distintas entonces ${\textstyle \sigma _{p'}<\sigma _{p}}$.

2.5.2 Una cota inferior de la abscisa de estabilidad de un polinomio

A partir de esta desigualdad podemos obtener el siguiente resultado que nos da una cota inferior para la abscisa de estabilidad de un polinomio estable.

Teorema 9: Sea ${\textstyle p(t)=a_{n}t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots +a_{1}t+a_{0}}$ un polinomio Hurwitz con coeficientes positivos, entonces tenemos que

(a) Si ${\textstyle [2(n-1)a_{n-1}]^{2}-8n(n-1)a_{n}a_{n-2}\geq 0}$, entonces

${\displaystyle {\frac {-2(n-1)a_{n-1}+{\sqrt {[2(n-1)a_{n-1}]^{2}-8n(n-1)a_{n}a_{n-2}}}}{2n(n-1)a_{n}}}\leq \sigma _{p}}$

. (b) Si ${\textstyle [2(n-1)a_{n-1}]^{2}-8n(n-1)a_{n}a_{n-2}<0}$, entonces

${\displaystyle -{\frac {a_{n-1}}{na_{n}}}\leq \sigma _{p}}$

.

A continuación presentamos algunos ejemplos los cuales ilustran el teorema dado.

Ejemplo 3: Consideremos el polinomio ${\textstyle p(t)=6t^{5}+43t^{4}+110t^{3}+125t^{2}+64t+12}$ para este polinomio tenemos que ${\textstyle [2(n-1)a_{n-1}]^{2}-8n(n-1)a_{n}a_{n-2}=12736\geq 0}$. De la parte ${\textstyle (a)}$ del teorema 9 tenemos que

${\displaystyle {\frac {-2(n-1)a_{n-1}+{\sqrt {[2(n-1)a_{n-1}]^{2}-8n(n-1)a_{n}a_{n-2}}}}{2n(n-1)a_{n}}}=-0{.}96}$

es una cota inferior de ${\textstyle \sigma _{p}}$, esto es, ${\textstyle -0{.}96\leq {-1/2}=\sigma _{p}}$.

Ejemplo 4: Sea el polinomio ${\textstyle p(t)=t^{4}+3t^{3}+5t^{2}+4t+2}$. Entonces tenemos que ${\textstyle [2(n-1)a_{n-1}]^{2}-8n(n-1)a_{n}a_{n-2}=-156\leq 0}$. Por la parte ${\textstyle (b)}$ del teorema 9 tenemos que

${\displaystyle -{\frac {a_{n-1}}{na_{n}}}=-3/4}$

es una cota inferior de ${\textstyle \sigma _{p}}$, esto es, ${\textstyle -3/4\leq -1/2=\sigma _{p}}$. Realizando las siguientes sustituciones ${\textstyle m=n-1}$, ${\textstyle i=n}$ en las cotas inferiores dadas en [16] y [17].

${\displaystyle S_{mi}=-\left[{\binom {n}{m}}^{-1}{\binom {n}{i}}\left({\frac {a_{m}}{a_{i}}}\right)\right]^{1/(i-m)},m=0,1,\ldots ,i-1.}$

(4)

obtenemos que

${\displaystyle S_{(n-1)n}=-{\frac {a_{n-1}}{na_{n}}}}$

el cual es el mismo resultado obtenido en la parte ${\textstyle (b)}$ del Teorema 9. Del Teorema 9 ${\textstyle (a)}$ tenemos una cota para la abscisa de estabilidad de ${\textstyle p(z)}$ la cual depende de tres coeficientes mientras que las cotas inferiores de (4) sólo dependen de dos coeficientes de ${\textstyle p(t)}$ así en algunos casos esta cota es mejor que las dadas en (4) como se ilustra en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 5: Sea ${\textstyle p(t)=6t^{5}+43t^{4}+110t^{3}+125t^{2}+64t+12}$. Por la parte ${\textstyle (a)}$ del Teorema 9 tenemos que

${\displaystyle {\frac {-2(n-1)a_{n-1}+{\sqrt {[2(n-1)a_{n-1}]^{2}-8n(n-1)a_{n}a_{n-2}}}}{2n(n-1)a_{n}}}\approx -0{.}96}$

es una cota inferior de ${\textstyle \sigma _{p}=-1/2}$ y ${\textstyle -{\frac {a_{n-1}}{na_{n}}}=-1{.}43<-0{.}96<-{\frac {1}{2}}=\sigma _{p}}$.

Ejemplo 6: Sea ${\textstyle p(t)=6t^{3}+19t^{2}+16t+4}$. Por la parte ${\textstyle (a)}$ del Teorema 9 tenemos que

${\displaystyle {\frac {-2(n-1)a_{n-1}+{\sqrt {[2(n-1)a_{n-1}]^{2}-8n(n-1)a_{n}a_{n-2}}}}{2n(n-1)a_{n}}}\approx -0{.}58}$

es una cota inferior de ${\textstyle \sigma _{p}=-1/2}$ y ${\textstyle S_{mi}=-\left[{\binom {n}{m}}^{-1}{\binom {n}{i}}\left({\frac {a_{m}}{a_{i}}}\right)\right]^{1/(i-m)}<-0{.}58<\sigma _{p},\forall m=0,1,\ldots ,i-1}$.

2.6 La abscisa de estabilidad y Familias de Polinomios

Consideremos el siguiente polinomio ${\textstyle p(t)=t^{n}+a_{1}t^{n-1}+a_{2}t^{n-2}+\cdots +a_{n-2}t^{2}+a_{n-1}t+a_{n}}$ estable, podemos escribir la familia ${\textstyle f_{r}(t)}$ de la forma siguiente:

${\displaystyle f_{r}(t)=t^{n}+{\frac {p^{(n-1)}(-r)}{(n-1)!}}t^{n-1}+\cdots +{\frac {p'(-r)}{1!}}t+p(-r),}$ ${\displaystyle f_{r}(t)=t^{n}+g_{1}(r)t^{n-1}+g_{2}(r)t^{n-2}+\cdots +g_{n-1}(r)t+g_{n}(r).}$

donde ${\textstyle f_{0}(t)=p(t)}$, el cual es estable. Entonces tenemos que ${\textstyle f_{r}(t)}$ es una familia de polinomios cuyos coeficientes son polinomios en la variable ${\textstyle r}$. Con este planteamiento podemos relacionar el estudio de la abscisa de estabilidad de un polinomio con el estudio de la estabilidad de familias de polinomios. Existe una gran cantidad de literatura acerca de la Teoría de la Estabilidad de Familias de Polinomios ver, por ejemplo, [1],[2], [4] y [13].

2.6.1 El Teorema de Bialas Generalizado

El Teorema de Bialas fue publicado en ${\textstyle 1985}$ [6], ahora vamos a utilizar una generalización de este Teorema para calcular la abscisa de estabilidad de un polinomio.

Consideremos el polinomio de la forma

${\displaystyle P(t,r)=P_{0}(t)+rP_{1}(t)+\cdots +r^{m}P_{m}(t)}$

donde

• ${\textstyle P_{0}(t)}$ es un polinomio estable con coeficientes positivos,
• ${\textstyle (2){\textrm {gr}}<{\textrm {gr}},i=1,\ldots ,m}$.

Además, sea ${\textstyle H_{i}}$ la matriz Hurwitz de ${\textstyle P_{i}(t)\forall i,i=1,\ldots ,m}$.

El mayor intervalo de estabilidad ${\textstyle (r_{\textrm {min}},r_{\textrm {max}})}$ , tal que, ${\textstyle P(t,r)}$ es Hurwitz ${\textstyle \forall r\in (r_{\textrm {min}},r_{\textrm {max}})}$ esta dado por

${\textstyle r_{\textrm {max}}=1/\lambda _{\textrm {max}}^{+}(M)}$ ${\textstyle r_{\textrm {min}}=1/\lambda _{\textrm {min}}^{-}(M)}$

donde ${\textstyle \lambda _{\textrm {max}}^{+}(M)}$ es el máximo valor propio positivo de ${\textstyle M}$, ${\textstyle \lambda _{\textrm {min}}^{-}(M)}$ es el mínimo valor propio negativo de ${\textstyle M}$ y ${\textstyle M}$ esta dada por

${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{pmatrix}0&I&0&\cdots &0&0\\0&0&I&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &I&0\\0&0&0&\cdots &0&I\\-H_{0}^{-1}H_{m}&-H_{0}^{-1}H_{m-1}&-H_{0}^{-1}H_{m-2}&\cdots &-H_{0}^{-1}H_{2}&-H_{0}^{-1}H_{1}\end{pmatrix}}.}$

(5)

La prueba de este teorema es similar a la del Teorema ${\textstyle 17{.}8{.}1}$ [4] (ver también [9] y [15]. Ideas relacionadas fueron expuestas en el trabajo de J. Chen [7]. Esta generalización ha sido ampliamente divulgada por D. Henrion, ver [12].

2.7 La abscisa de estabilidad y el Teorema de Bialas Generalizado

Podemos escribir la familia de polinomios ${\textstyle f_{r}(t)}$ de la forma siguiente

${\displaystyle f_{r}(t)=p(t)+rp_{1}(t)+r^{2}p_{2}(t)+\cdots {.}}$

Mediante el resultado dado en 2.6.1 podemos calcular el Mínimo Extremo Izquierdo (${\textstyle r_{\textrm {min}}}$) y el Máximo Extremo Derecho (${\textstyle r_{\textrm {max}}}$). En este caso, la abscisa de estabilidad coincide con el Máximo Extremo Derecho, ya que

${\displaystyle \sigma =-\max _{r}{\{r>0|f_{\bar {r}}(z){\textrm {esHurwitz}}\forall {\bar {r}},{\bar {r}}<r\}}}$

Teorema 10: Sea p(t) un polinomio Hurwitz y sea la familia de polinomios ${\textstyle f_{r}(t)=p_{0}(t)+rp_{1}(t)+r^{2}p_{2}(t)+\cdots +r^{n}p_{n}(t)}$ con ${\textstyle p_{0}(t)=p(t)}$,

${\displaystyle p_{1}(t)={\frac {n(n-1)\cdots (2)(1)}{(n-1)!}}(-1)t^{n-1}+}$ ${\displaystyle {\frac {(n-1)(n-2)\cdots (3)(2)}{(n-2)!}}(-1)a_{1}t^{n-2}+\cdots }$ ${\displaystyle +{\frac {(3)(2)(1)}{2!}}(-1)a_{n-3}t^{2}+{\frac {(2)(1)}{1!}}(-1)a_{n-2}t+(-1)a_{n-1},}$ ${\displaystyle p_{2}(t)={\frac {(n)(n-1)(n-2)\cdots (4)(3)}{(n-2)!}}(-1)^{2}t^{n-2}+}$ ${\displaystyle {\frac {(n-1)(n-2)\cdots (4)(3)}{(n-3)!}}a_{1}(-1)^{2}t^{n-3}+}$ ${\displaystyle {\frac {(4)(3)}{2!}}a_{n-4}(-1)^{2}t^{2}+{\frac {3}{1!}}a_{n-3}(-1)^{2}t+a_{n-2}(-1)^{2},\ldots ,}$ ${\displaystyle p_{n}(z)=(-1)^{n}.}$

y sean ${\textstyle H_{0}}$, ${\textstyle H_{1}}$, …, ${\textstyle H_{n}}$ las matrices Hurwitz de ${\textstyle p_{i}(t)}$ para ${\textstyle i=0,1,\ldots ,n}$. Definamos ${\textstyle M}$ como 5, entonces la abscisa de estabilidad esta dada por ${\textstyle \sigma =-r_{\textrm {max}}}$.

Sea ${\textstyle p(t)}$ un polinomio Hurwitz de grado ${\textstyle n}$, obtenemos la familia de polinomios ${\textstyle f_{r}(t)=p(t-r)}$ la cual podemos escribir como

${\displaystyle f_{r}(t)=p_{0}(t)+rp_{1}(t)+r^{2}p_{2}(t)+\cdots +r^{n}p_{n}(t).}$

A partir del Teorema de Bialas Generalizado, tomando ${\textstyle P(t,r)=f_{r}(t)}$, el Teorema se tiene ya que ${\textstyle \sigma =-r_{\textrm {max}}}$.

El Teorema de Bialas generalizado se obtiene directamente de las ideas de Saydy, Tits, Abed y Barmish (ver [4] y [15]). A continuación presentamos un ejemplo el cual ilustra el teorema dado.

Ejemplo 7: Consideremos el polinomio Hurwitz ${\textstyle p(t)=t^{3}+6t^{2}+11t+6}$, entonces ${\textstyle f_{r}(t)}$ es una familia de polinomios, tal que,

${\displaystyle f_{r}(t)=P_{0}(t)+rP_{1}(t)+r^{2}P_{2}(t)+r^{3}P_{3}(t),}$ ${\displaystyle =[t^{3}+6t^{2}+11t+6]+r[-3t^{2}-12t-11]+}$ ${\displaystyle +r^{2}[2t+6]+r^{3}[-1].}$

con ${\textstyle H_{0}}$, …, ${\textstyle H_{3}}$ las matrices Hurwitz de los polinomios ${\textstyle P_{0}}$, …, ${\textstyle P_{3}}$ respectivamente.

${\displaystyle H_{0}={\begin{pmatrix}6&6&0\\1&11&0\\0&6&6\end{pmatrix}},H_{1}={\begin{pmatrix}-3&-11&0\\0&-12&0\\0&-3&-11\end{pmatrix}},H_{2}={\begin{pmatrix}0&6&0\\0&3&0\\0&0&6\end{pmatrix}}}$

y

${\displaystyle H_{3}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}.}$

construyendo la matriz ${\textstyle M}$ y calculando sus valores propios ${\textstyle \lambda }$ tenemos que

${\displaystyle \lambda =\{0,0,0,1/3,2/5,1/2,1/2,2/3,1\}}$

Así ${\textstyle \lambda _{\max }^{+}{(M)}=1}$, entonces por el Teorema 10 tenemos que

${\displaystyle \sigma =-{\frac {1}{\lambda _{\max }^{+}{(M)}}}=-1.}$

Es fácil verificar que ${\textstyle p(t)}$ puede ser factorizado como ${\textstyle p(t)=(t+1)(t+2)(t+3)}$.

3 Conclusiones

En el análisis de la estabilidad de un sistema de ecuaciones diferenciales a partir de la abscisa de estabilidad asociada al sistema se obtuvieron diversas cotas inferiores de la abscisa primero mediante la utilización de funciones simétricas y después mediante el Teorema de Gauss-Lucas se obtuvieron otras cotas inferiores que en algunos casos son mejores que las obtenidas por el primer método. Como aplicación se presenta una relación entre la abscisa de estabilidad de un polinomio Hurwitz ${\textstyle p(t)}$ y el Teorema de Bialas Generalizado que nos permite analizar la estabilidad robusta de un tipo de Familia de polinomios.

Referencias

[1] J. Ackermann, Robust Control. The Parameter Space Approach, Springer-Verlag, New York, NY, USA, (2002).

[2] B. Aguirre, C. Ibarra y R. Suárez, Sufficient algebraic conditions for stability of cones of polynomials, Systems and Control Letters 46, no. 4, pp. 255-263, (2002).

[3] B. Aguirre y R. Suárez, Algebraic test for the Hurwitz stability of a given segment of polynomials, Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana, Vol. 12, no. 2, pp. 261-275, (2006).

[4] B.R. Barmish, New Tools for Robustness of Linear Systems, Macmillan Publishing Co., New York, (1994).

[5] S.P. Bhattacharyya, H. Chapellat y L.H. Keel, Robust Control: The Parametric Approach, Prentice-Hall, Upper Saddle River, NJ, (1995).

[6] S. Bialas, A necessary and sufficient condition for the stability of convex combinations of stable polynomials or matrices, Bulletin of the Polish Academy of Sciences, Technical Sciences, Vol. 33, no. 9-10, pp. 473-480, (1985).

[7] J. Chen, Static output feedback stabilization for SISO systems and related problems: Solution via generalized eigenvalues, Control-Theory and Advanced Technology, Vol. 10, pp. 2233-2244, (1995).

[8] P. Dorato, R. Tempo y G. Moscato, Bibliography on Robust Control, Automatica, Vol. 29, no. 1, pp. 201-213, (1993).

[9] M.Fu y B.R Barmish, Maximal unidirectional perturbation bounds for stability of polynomials and matrices, Systems and Control Letters, Vol. 11, pp. 173-179 (1988).

[10] P. Henrici, Applied and Computational Complex Analysis, Vol. 1, John Wiley Sons, (1974).

[11] P.Henrici, Upper bounds for the abscissa of stability of a stable polynomial, SIAM J. Numer. Anal, vol. 7, pp. 538 - 544, (1970).

[12] D. Henrion, Course on polynomial methods for robust control, Universidad de los Andes, Merida, Venezuela, (2001).

[13] J. A. López-Rentería, B. Aguirre-Hernández y F. Verduzco, The Boundary Crossing Theorem and the Maximal Stability Interval, Math. Prob. in Eng, Vol. 2011, Article ID123403, 13 pages, doi:10.1155/2011/1234-03, (2011).

[14] C.A. Loredo-Villalobos, Criterios para determinar si un polinomio es un polinomio Hurwitz, Reporte de los Seminarios de Investigación I y II, UAM-I, (2005).

[15] L.Saydy, A.L. Tits y E.H Abed, Guardian maps and the generalized stability of parametrized families of matrices and polynomials, Mathematics of Control, Signal and Systems, Vol. 3, pp. 345-371, (1990).

[16] G.F. Schrack, Lower Bounds for the Abscissa of Stability of Stable Polynomials, Dissertation 4065, Eidgen ssische Technische Hochshule, Z rich, (1967).

[17] G.F. Schrack, Lower bounds to the abscissa of stability of a stable polynomial from symmetric functions, SIAM J. Appl. Math. Vol. 21, No. 3, pp. 373-379, (1971).

[18] M. Spivak, Cálculo Infinitesimal, Universidad Brandeis, Editorial Reverté S. A., Barcelona-Buenos Aires-México, (1996).

[19] H.S. Wilf, Mathematics for the Physical Sciences, Dover Publications, Inc, New York, N. Y., (1962).

[20] V. Zakian y U. Al-Naib, Design of dynamical and control systems by the method of inequalities, Proc. Inst. Elect. Eng. Vol. 120, no. 14, pp. 2-3, (1973).

[21] V. Zakian, New formulations for the method of inequalities, Proc. Inst. Elect. Eng. Vol. 126, pp. 579-584, (1979).

[22] V. Zakian, Computation of the Abscissa of Stability by Repeated Use of the Routh Test, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. AC-24, No. 4, pp. 604-606, (1979).