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1.- Introducción

El proyecto SEPRISIS tiene como objetivo el desarrollo de sistemas inteligentes basados en redes neuronales, para analizar el comportamiento de una presa, y con ello prever e identificar escenarios de riesgo. Dichos sistemas inteligentes servirán por tanto, como herramienta de soporte a la toma de decisiones.

Dentro de este esquema de trabajo, la tarea 3 que lidera CIMNE, tiene asignado el cometido de desarrollar y calibrar modelos numéricos deterministas como complemento al sistema de redes neuronales. Esta labor de complemento a las redes neuronales, se centra en dos aspectos fundamentales.

• Analizar los puntos críticos en el comportamiento de la estructura, empleando modelos numéricos apropiados que simulen la respuesta de la presa.

• Alimentar a la red neuronal en el número de resultados a corto plazo disponibles para su funcionamiento.

El objetivo de esta tarea se concreta por tanto en la formulación de modelos numéricos para el tratamiento termo-mecánico de la estructura, su implementación en un código computacional basado en el método de los elementos finitos, que permita simular el comportamiento de la presa en función de múltiples hipótesis de carga en cuanto a nivel de embalse, y carga térmica, considerando en ambos casos la posible evolución en el tiempo de ambas variables.

En la simulación se tendrán en cuenta los diferentes comportamientos de los materiales involucrados, como el hormigón de la presa o las diferentes fases de suelo que conforman el macizo en el que se sitúa la estructura.

El resultado final de esta tarea es una herramienta de cálculo que permite introducir de forma sencilla las hipótesis de carga, y ofrezca los resultados obtenidos en los puntos de medición siguiendo el plan de auscultación que incluye desplazamientos (péndulos), temperaturas (termómetros) y tensiones (extensómetros).

Esta herramienta en la que se ha incluido toda la formulación desarrollada, dará solución a la problemática planteada en las dos vertientes: permite analizar las secciones críticas, y ofrece como salida, un listado de resultados en cualquier punto del dominio estudiado, para cualquier variable de medida considerada en la auscultación.

2.- Definición del procedimiento de cálculo numérico

2.1.- Método de cálculo. El método de los elementos finitos

Los análisis típicos de Elementos Finitos de presas pueden representar el comportamiento resistente de la misma mediante dos modelos básicos:

a) Simulación de la sección transversal de la presa y del terreno mediante un modelo bidimensional. Este modelo precisa de un menor esfuerzo durante la fase de discretización y menos recursos computacionales ya que involucra menos grados de libertad en la fase de cálculo. Es más típico en presas de gravedad donde la planta de la presa es recta y el estado tensional más desfavorable se produce en secciones suficientemente alejadas de los apoyos laterales.

b) Simulación global tridimensional teniendo en cuenta los contactos e iteraciones reales presa terreno. Representan la estructura con todas sus peculiaridades pero las fases de discretización y de interpretación de los resultados precisan de un esfuerzo considerable.

En las presas arco-gravedad la simplificación estructural bidimensional no conduce a buenos resultados ya que un comportamiento de tensión plana no reproduce el comportamiento de la presa ni tiene en cuenta las interrelaciones provocadas por los efectos de las curvaturas.

Las características geométricas de la presa arco-gravedad analizada, su iteración con el terreno, la presencia de materiales heterogéneos y la representación estructural aconsejan realizar un modelo tridimensional del conjunto del cuerpo de la presa y terreno.

En este capítulo se presentan las principales características de los modelos de cálculo utilizados para simular el comportamiento elástico lineal estático de la presa así como el estado tensional adicional que aparece cuando se considera la acción sísmica.

2.1.1.- Problema mecánico. Análisis Elástico Lineal

Se utiliza un modelo de Elementos Finitos que permite resolver las ecuaciones clásicas de la Elasticidad Tridimensional. Las principales características de este modelo son las siguientes:

Campo de desplazamientos: u(x,y,z) = { u(x,y,z), v(x,y,z), w(x,y,z) }^T

u,v y w son los desplazamientos de un punto (x,y,z) según los ejes cartesianos globales (X,Y,Z).

Campo de Deformaciones: ε = { ε_x , ε_y , ε_z , γ_xy , γ_xz , γ_yz }^T

ε son las deformaciones normales y γ los deslizamientos o deformaciones tangenciales

Campo de Tensiones: σ = { σ_x , σ_y , σ_z , τ_xy , τ_xz , τ_yz }^T

σ son las tensiones normales y τ las tensiones tangenciales.

Relación tensión-deformación:

donde D es la matriz de constantes elásticas clásica de la Elasticidad Tridimensional.

Expresión de la Ecuación de Equilibrio

V y A son el volumen y superficie del cuerpo sobre los que actúan las fuerzas de masa b, de superficie t y puntuales q_i, respectivamente.

El sólido tridimensional se discretiza en un conjunto de elementos para los que se particulariza la teoría básica expuesta en los párrafos anteriores. En particular en este trabajo se utiliza el elemento hexaédrico serendípito de 20 nodos de eficacia probada en el tipo de análisis que se va a realizar.

El campo de desplazamientos, deformaciones y tensiones en el interior de un elemento se aproxima en función de los valores de las variables a considerar en los nodos.

N^e y a^e son respectivamente la matriz de funciones de forma y el vector de desplazamientos nodales del elemento e. La expresión algebraica de estas funciones de forma puede encontrarse en cualquier texto de elementos finitos.

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B^e es la matriz de deformación del elemento e y L el operador diferencial que relaciona las deformaciones con los movimientos.

D^e es la matriz de constantes elásticas del elemento e.

Introduciendo estas expresiones en la ecuación de equilibrio se obtiene para cada elemento:

que de forma más compacta puede escribirse como:

Ensamblando todos los elementos que configuran el sólido considerado se obtiene un sistema matricial clásico en la forma:

K es la matriz de rigidez de la estructura, a el vector de desplazamientos nodales y f el vector de fuerzas exteriores que actúa sobre la misma.

Este proceso de ensamblaje se realiza siguiendo los criterios de equilibrio entre elementos clásicos del cálculo de estructuras.

El elemento tridimensional utilizado es isoparámetrico de forma que la propia geometría del elemento se aproxima a partir de las coordenadas de sus nodos:

Se realiza una transformación isoparámetrica punto a punto entre un sistema de referencia global (X,Y,Z) y uno local (x,h,t) de forma que todos los elementos quedan en el triedro local enmarcados en el intervalo [-1,+1]. En estas condiciones los procesos de integración precisan de esta transformación a través de su matriz Jacobiana y se pueden resolver numéricamente usando la regla de integración de Gauss-Legendre que establece que:

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p,q y r definen la posición de los puntos de integración y W_i es el peso que debe asignarse a cada uno de ellos. J es la matriz jacobiana de la transformación de coordenadas. Cada punto del triedro local (ξ_p,η_q,τ_r) o su correspondiente en el triedro global se denomina punto de integración de Gauss que en el contexto del Método de los Elementos Finitos tienen además la propiedad de ser puntos óptimos para la determinación de tensiones. Por esta razón cuando en la solución aparecen valores especiales se recurre a estos puntos como más significativos de la respuesta.

2.1.2.- Problema térmico transitorio

El problema de transmisión de calor por conducción en su formulación transitoria viene gobernado por la siguiente ecuación:

siendo Φ la temperatura en cada punto del medio continuo la variable del problema, Q una fuente de calor externa, ρ la densidad del material y c el coeficiente de conducción térmica.

Esta ecuación viene complementada por las condiciones de contorno definidas como,

y por una condición inicial definida como

El método de los elementos finitos considera una discretización espacial para el medio continuo dividido en elementos definidos por n nodos, y n_e nodos por elemento, en los cuales se calcula el valor de la variable de estado Φ, temperatura en el medio continuo Φ_i. El campo de temperaturas se define a través de la interpolación a partir de los valores en los nodos, de la siguiente manera:

siendo N_i las funciones de forma de cada elemento, con i = 1,…,n_e

Aplicando el método de los residuos ponderados a la ecuación del problema y las condiciones de contorno, y siendo W y W’ funciones de peso, se obtiene,

asumiendo W = W’ e integrando por partes, se obtiene,

Esta ecuación ha de cumplirse para cualquier función W de peso, en particular cuando las funciones W coinciden con las funciones de forma N_i. En este caso la ecuación obtenida puede expresarse como un sistema de ecuaciones de la forma siguiente,

donde para cada elemento, C es la matriz de capacidad térmica, K es la matriz de rigidez y f es el vector de acciones externas, calculadas todas ellas según sigue,

La resolución de este sistema de ecuaciones diferenciales ofrece la solución para la incógnita a y su derivada temporal, cuya forma es

El problema se resuelve en el tiempo, por lo cual que requiere una discretización temporal del intervalo de tiempo [0,t] en el que se desarrolla el problema. En el caso general, el problema es transitorio en [0,t] mientras que para el caso particular de problema estacionario, se trata el tiempo como un pseudotiempo en la ecuación.

La discretización temporal se realiza discretizando el intervalo [0,t] en subintervalos [t_n, t_n+1], y igualmente mediante unas funciones de forma, que relacionan el valor de la variable del problema, con los valores de dicha variable en los instantes t_n y t_n+1.

siendo ξ un valor real tal que 0 ≤ ξ ≤ 1

En consecuencia la derivada temporal se aproxima de la siguiente forma,

Aplicando nuevamente el método de residuos ponderados a la ecuación hallada anteriormente, y siendo W(t) una función de peso, se obtiene lo siguiente,

Sustituyendo las expresiones en diferencias finitas para el vector a se obtiene la siguiente expresión,

donde los términos θ y f se calculan según sigue,

El vector f, puede discretizarse a su vez, según f’ = (1 - θ)fⁿ + θfⁿ⁺¹

De la expresión general anteriormente deducida puede despejarse el valor de la incógnita en el tiempo t_n+1 notada por a_n+1 obteniéndose una expresión de la forma

que para un esquema explícito de resolución (θ=0), queda como sigue,

Lo que permite hallar la temperatura en todos los nodos, en el tiempo t_n+1, y mediante interpolación, en todo el dominio, y para cualquier instante de tiempo.

2.2.- Definición del modelo numérico

2.2.1.- Definición geométrica de la presa de La Baells

La definición geométrica de la presa se ha realizado mediante la información obtenida en [1]. La presa muestra una geometría simétrica, cuyo eje de simetría se ha hecho coincidir con el eje Y, que divide a la estructura en dos semicuerpos, que se componen cada u no de una parte central y un estribo (Figura 2.1a)

El límite entre zona central y los estribos viene dado por un ángulo de 25^g desde el eje de la presa, que se mantiene constante en toda la altura de la estructura.

Los paramentos en la zona central se definen mediante sendas curvas de centros de grado 4 en z, situadas en un plano vertical YZ, siendo z la altura de la presa medida en sentido descendente desde coronación (Cota 628). Los cálculos para la zona central se muestran en las tablas A1a y A2a del anexo A

En la zona de estribos, los paramentos se definen mediante curvas de centros de grado 4 en z. Los cálculos se muestran en las tablas A1b y A2b del anexo A.

La definición geométrica de la zona central se completa con las curvas para los radios, y los espesores de la presa en función de z.

Los cálculos pertinentes se han realizado en hoja de cálculo (Excel). Para la definición del modelo geométrico se han empleado aplicaciones de diseño como AutoCAD. Para el preproceso del modelo numérico se ha empleado GiD, aplicación desarrollada en CIMNE y ampliamente utilizado en la simulación por elementos finitos.

En la definición geométrica de la presa se han tenido en cuenta la presencia de bloques y juntas de construcción. En consecuencia se han definido en el modelo numérico los mismos bloques de los que está compuesta la presa según se aprecia en la Figura 2.2

2.2.2.- Discretización del conjunto suelo – estructura

La simulación del comportamiento de la presa se ha efectuado mediante la aplicación del método de los elementos finitos. Se ha modelado la presa mediante elementos finitos hexaédricos de 20 nodos con 27 puntos de integración.

El modelo comprende el cuerpo de presa según se ha expuesto hasta ahora, al que se ha añadido un bloque de suelo representativo y suficiente para reproducir las condiciones de contorno que afectan a la respuesta estructural de la presa. Para ello se ha escogido un bloque de suelo de unos 50 metros en todas direcciones, correspondientes aproximadamente a la mitad de la altura de la presa que es de 93 metros (Figura 2.3)

La modelación de la geometría incluye los elementos estructurales cuya incidencia sobre el comportamiento de la estructura puede ser determinante. A continuación se explicitan algunos de ellos:

• Se ha dispuesto un zócalo al pie del cuerpo de la presa de una altura de 4 metros. Dicho zócalo se alinea en vertical con el paramento aguas arriba y sobresale del paramentos aguas abajo una distancia constante de 2,5 metros (Figura 2.4a)

• Se ha dispuesto una banda de elementos finitos rodeando el zócalo de pequeño espesor. Se trata de un espacio correspondiente al suelo adyacente al cuerpo de la estructura, cuyas propiedades mecánicas puede definirse de forma diferenciada del resto del suelo. Esta técnica permite considerar cualquier acción en el plano de deslizamiento de la presa, siendo éste uno de los posibles puntos de estudio en la respuesta estructural (Figura 2.4b,c) .

• La geometría incluye las juntas verticales de la presa lo que permite definir los bloques individuales que la componen y ser éstos tratados y analizados de forma diferenciada. Se considerado sin embargo el comportamiento solidario de todos los bloques por lo que al menos en un principio los cálculos se realizan como si la presa fuera un bloque monolítico.

En todo caso el modelo diseñado permitiría de forma sencilla considerar el comportamiento de cada bloque por separado y los movimientos en cada junta, si fuera relevante para el desarrollo del proyecto (Figura 2.5).

La discretización en elementos finitos es la siguiente:

• En sentido vertical se han colocado elementos de 5 m de alto, lo que significa 19 elementos en la sección central

• En el espesor de la presa se han colocado 2 elementos con un tamaño aproximado entre 2.0 y 7.0 metros de longitud equivalente.

• En sentido circunferencial cada bloque constituye un elemento lo que supone un ancho de unos 20 metros aproximadamente, en los bloques centrales.

Teniendo en cuenta todas las salvedades anteriores, el modelo numérico está formado por 1.670 elementos hexaédricos cuadráticos de 20 nodos, lo que se traduce en 9.139 nodos.

2.2.3.- Materiales. Parámetros mecánicos

En la simulación de la respuesta del conjunto suelo – presa se han tenido en cuenta dos materiales: El hormigón de la presa y el suelo circundante. Los parámetros mecánicos empleados se han extraído de [5] y se resumen a continuación:

• Para el hormigón del cuerpo de la presa se ha considerado el módulo de elasticidad a largo plazo según se indica en [4, pág 519] estableciendo un valor de E = 48.600 MPa y un coeficiente de Poison aproximado de valor υ = 0.25

• El suelo presenta una heterogeneidad mucho mayor según se indica en el anejo geológico – geotécnico de Enero de 2010 [5] y se muestra en la figura 2.6a. Los materiales que componen la cerrada varían significativamente su elasticidad, por lo que se han considerado 4 tipos de suelo según se detalla en la tabla 2.1.

La composición del suelo se ha tenido en cuenta en la modelación de la presa, definiendo distintos materiales para el suelo según el esquema anterior, según se muestra en la figura 2.6b.

Los parámetros térmicos escogidos son los correspondientes al estadio permanente y para el caso del hormigón son los siguientes:

• Coeficiente de dilatación α = 10^-5 ºC^-1

• Conductividad λ = 2.3·10^-3 N/(s·ºC)

• Calor específico γ = 0.0 ( para el caso no transitorio o permanente )

Estos aspectos se tratan de manera más pormenorizada en el capítulo de los modelos constitutivos de los materiales, objeto de estudio en este proyecto.

3.- Modelos constitutivos de materiales. Presa de La Baells

3.1.- Introducción

Para modelar la respuesta estructural del conjunto presa – terreno es necesario definir un modelo constitutivo para los materiales involucrados. En el caso de la presa de La Baells, éstos son básicamente el hormigón y el suelo circundante.

Como primera aproximación del problema se han obtenido resultados para el modelo elástico. Con ello se acota el comportamiento del conjunto, localizando las zonas donde el comportamiento puede alcanzar el rango no lineal, lo que de alguna manera acota el problema que se pretende resolver.

El comportamiento constitutivo de suelo y hormigón es claramente diferente, lo que requiere un tratamiento específico para cada material.

El hormigón se caracteriza por un comportamiento de tipo frágil, que puede modelarse a través de un modelo de daño. Las resistencias a tracción y compresión difieren sustancialmente, con una relación σ_C / σ_T = 10.0 como valor más habitual. Estas características sugieren el empleo de un modelo constitutivo de daño tracción / compresión que considera diferentes umbrales de daño, y por tanto diferentes variables de daño a tracción y a compresión.

Hay que especificar que el estudio de la respuesta de una presa de hormigón, se centra prioritariamente en las zonas traccionadas, que puedan derivar en la fisuración del material y por tanto condicionar negativamente la estabilidad y/o la funcionalidad de la estructura. A ello, hay que sumar que el límite de resistencia es hasta 10 veces inferior a tracción que a compresión, como se ha dicho.

Este modelo constitutivo permite evaluar la respuesta global del conjunto con mayor precisión, y detectar las zonas donde el material pueda dañarse perdiendo en consecuencia parte de su resistencia.

El comportamiento del suelo en rango no lineal puede modelarse a través de un modelo de daño en el caso de una roca, o bien a través de un modelo plástico en el caso de un suelo. Para el caso que nos ocupa se asume en un principio que el suelo de la cerrada sigue un comportamiento elástico lineal, sin descartar desarrollos posteriores.

Los parámetros mecánicos elásticos de ambos materiales y la distribución de los suelos se han especificado en el apartado 2.2.3

A continuación se describen la formulación del modelo de daño desarrollado, y algunos resultados obtenidos para una presa de gravedad.

3.2.- Modelo de daño tracción – compresión

Para simular el deterioro en el hormigón se ha empleado un modelo no lineal de comportamiento que considera una disminución de resistencia en el material o daño en los puntos en los que se supera una tensión de referencia, función del límite elástico.

Seguidamente se describen las hipótesis básicas del modelo, las variables que intervienen y las ecuaciones implementadas en el código de cálculo cuando se supone un daño isótropo. El modelo empleado es una generalización del mismo que diferencia el daño a tracción y a compresión. Este modelo es apropiado para materiales que como el hormigón poseen diferentes valores del límite elástico en ambos supuestos de tensión.

Definición de la tensión efectiva

La teoría de daño continuo se basa en la definición de tensión efectiva, bajo la siguiente hipótesis: La deformación (ε) asociada a un estado dañado bajo una tensión (σ) es equivalente a la deformación asociada a un estado no dañado bajo una tensión efectiva ( ). De este modo, las relaciones constitutivas del modelo se establecen en este espacio no dañado, para la tensión efectiva así definida

Ecuaciones constitutivas

Definida la energía libre del medio continuo y mediante la aplicación del método de Coleman que nos garantiza la consistencia termodinámica del modelo constitutivo se definen las ecuaciones constitutivas que determinan las tensiones a partir de las deformaciones observadas en cada punto de cálculo. Dichos puntos de cálculo se obtienen de la discretización del medio continuo a través de una malla de elementos finitos tridimensionales idéntica a la empleada en el cálculo elástico.

Las relaciones constitutivas establecidas para el modelo de daño empleado son las siguientes:

1. Relación tensión efectiva – deformación en el espacio no dañado

dónde D es el tensor constitutivo elástico isótropo

1. Relación tensión – tensión efectiva

relación en la que aparece la variable escalar índice de daño “d” cuya evolución debe ser definida. El índice de daño mide el grado de daño del material en términos de pérdida de resistencia y su dominio de definición es el intervalo [0,1]

Criterio de daño. Variables internas.

En un problema no lineal es necesario definir un criterio de no linealidad o de daño en función de las variables libges del problema. En el caso del daño isótropo el criterio de daño se define a partir de la siguiente función.

donde r es una variable interna que representa el umbral de daño para τ, cuyo comportamiento ha de ser determinado, y donde τ es la tensión equivalente normalizada definida en función del tensor de tensiones ( σ ) según la siguiente expresión:

en la que f_e es la tensión equivalente normalizada para un caso uniaxial, cuyo valor es , siendo σ_u la tensión correspondiente al límite elástico y E el módulo de Young del material.

El valor inicial del umbral de daño es r₀ = 1 al tratarse de una tensión equivalente normalizada. La función g determina un espacio elástico convexo en la que la variable de daño permanece intalterada, mientras que en el exterior del mismo el daño evoluciona modificando dicho espacio elástico en función de r, y de las condiciones de carga.

La evolución del espacio elástico normalizado, viene determinado por las condiciones de Khun – Tucker para situaciones de carga, descarga y recarga. Dichas condiciones relacionan la función límite del espacio elástico g con la evolución en el tiempo de la variable interna ( ) y se expresan de la siguiente forma:

Khun-Tucker

Condición de Consistencia

Todo ello nos lleva a una definición explícita de la variable interna r como

Evolución de la variables de daño

La variable interna permite situar el estado tensional de un punto en el espacio elástico o fuera de él, provocando el incremento de la variable de daño ( d ). La evolución del daño en función de la variable interna r, puede ser de tipo lineal o exponencial, siendo ésta última opción la escogida para el cálculo.

El modelo admite tanto la expansión como la contracción del dominio elástico. En ambos casos, la función d(r) viene determinada por un parámetro H propio del material, según las siguientes expresiones.

Ablandamiento exponencial

Endurecimiento/Ablandamiento lineal

En el caso de ablandamiento del material, es necesario considerar que la energía disponible es finita, y por tanto es necesario introducir una nueva variable: la energía de fractura (G_f).

Empleando el modelo de fisuración se han obtenido resultados para la respuesta de la presa y el grado de daño a tracción que sufre el material para diferentes límites elásticos, considerando la posible degradación del material.

A continuación se presentan algunos resultados para dos valores de límite elástico 5 y 2.5 MPa. Los resultados obtenidos se presentan en términos de tensiones máximas de tracción (S₁) y variable de daño (d) en todo el cuerpo de presa y en el bloque más desfavorable.

3.2.1.- Estudio de Fisuración. Límite elástico 2.5 MPa

3.2.2.- Estudio de Fisuración. Límite elástico 2.25 MPa

3.3.- Modelo de viscoplasticidad para suelos

El comportamiento del suelo está sujeto a diversos fenómenos relacionados con la reordenación de las partículas, o el flujo de agua, lo que le confiere un comportamiento dependiente del tiempo, asimilable a un modelo viscoso con plasticidad, para captar los fenómenos de deformación irreversible.

Se ha desarrollado un modelo viscoplástico para el comportamiento mecánico del suelo. A continuación se presenta la formulación de dicho modelo y las variables que intervienen.

• Variables libres: { ε }

• Variables internas: q = { ε^vp , κ , C }

• Variables dependientes { σ }

Fracción de energía disipada normalizada [ κ ]

La variable interna κ^vp es la fracción de energía disipada por el medio continuo en cada punto con respecto a un valor constitutivo de referencia ( g ). Este valor es un parámetro del modelo que debe ser calibrado y que en general puede presentar distintos valores a tracción y a compresión. (g_f , g_c). Así definida, la ley de evolución para la variable κ^vp es la siguiente.

(3.5)

La definición más general de la variable κ^vp para diferentes valores de la energía de fractura a tracción y compresión exige la utilización de una función escalar r(σ) calculada en tensiones principales como la fracción de tensiones a tracción con respecto a la suma en valor absoluto de las tres tensiones principales.

(3.6)

Resistencia uniaxial equivalente [ C ]

La variable interna C evalúa en cada punto la resistencia del material, en términos de resistencia uniaxial equivalente. El modelo considera el ablandamiento del material, por lo que la resistencia que presenta depende de la fracción de energía disipada (κ^vp ). En consecuencia es necesario definir una ley evolución de C^vp y para ello se considera al igual que en el caso anterior, el comportamiento asimétrico del material pudiendo presentar una diferente evolución a tracción y a compresión.

(3.7)

En la expresión (3.7) C es la cohesión del material, mientras que C_T y C_C son las funciones de evolución de la cohesión del material en un ensayo de tracción o de compresión simple. Ambas funciones pueden obtenerse explícitamente, y pueden relacionarse directamente con la tensión unixial de tracción y compresión mediante expresiones conocidas.

Deformación plástica [ ε^vp ]

La deformación plástica mide la componente irrecuperable de la deformación total. Se define a partir de la hipótesis de aditividad de las deformaciones según la cual se puede expresar la deformación total como suma tensorial de las componentes elástica o recuperable y plástica o irrecuperable.

(3.8)

La deformación plástica se considera una variable interna, por lo que es necesario definir una ley de evolución para determinar su comportamiento a lo largo del tiempo. En este caso se propone una ley de evolución para ε^vp a partir de una función potencial G y un multiplicador viscoplástico λ^vp

(3.9)

Considerando plasticidad asociada la función potencial G se asume igual a la función de fluencia que se explicitará a continuación. Por su parte el multiplicador viscoplástico se define a partir de la regularización de Perzyna de la función de sobretensión Φ

(3.10)

Los paréntesis de McAury se definen como

El parámetro ξ es la viscosidad, magnitud que se propone como una función dependiente del escalar función del tensor de deformaciones total y cuya formulación se expone con más detalle en el siguiente apartado.

Por su parte, la función Φ(x) se define de forma general como Φ(x) = F ⁿ ( σ,q ) [Perzyna]. Habitualmente se escoge como exponente el valor n = 1, con lo que implícitamente se asume el modelo de Duvaut – Lyons.

La no linealidad material asumida en el modelo implica la existencia de un dominio elástico y de un dominio plástico en el cual la relación entre tensiones y deformaciones pierde dicha linealidad. Esta diferenciación permite la modelación constitutiva de materiales varían su comportamiento una vez superado un determinado límite en el campo tensional. Usualmente se suele contemplar dos tipos de materiales en cuanto a su comportamiento plástico como son los materiales metálicos y los materiales friccionales, caracterizados éstos últimos por presentar distintas resistencias a tracción y a compresión o bien, porque su comportamiento depende significativamente de la presión octaédrica o presión media ejercida sobre un punto del medio continuo.

El estado tensional en cada punto de cálculo corresponde a un punto en el dominio elástico o plástico, y la frontera de ambos dominios viene dada por el criterio de fluencia. En el modelo desarrollado el comportamiento del sólido viene determinado por la función de sobretensión mencionada anteriormente.

La función de sobretensión se calcula a partir de la comparación de la tensión y la resistencia del material términos de tensión uniaxial equivalente.

(3.11)

C^vp es la resistencia uniaxial equivalente, variable interna explicitada anteriormente (X). La función f(σ) es una función escalar de argumentos tensoriales que ofrece la tensión uniaxial equivalente de acuerdo a un criterio de fluencia. Existen diversos criterios de fluencia, por lo que el tipo de material y su comportamiento en el dominio plástico condicionan la elección de dicho criterio. El planteamiento realizado es válido para cualquier criterio de fluencia, pero en el caso que nos ocupa se ha optado por lo materiales friccionales y en consecuencia por el criterio de fluencia de Mohr – Coulomb.

(3.12)

En la expresión anterior J₁ y J’₂ son el primer invariante del tensor de tensiones y el segundo invariante del tensor desviador, mientras que θ es el ángulo de Lode, igualmente invariante de tensiones.

La definición de la función F(σ,C) permite pues determinar la situación de cada punto en el espacio tensional y la respuesta elástica o plástica del material

En resumen, la ley de evolución de la variable interna deformación plástica puede explicitarse de la siguiente forma

(3.13)

Según la definición anterior el parámetro viscoplástico λ^vp es nulo cuando el estado tensional se encuentra en el dominio elástico y positivo en el dominio plástico, superada la superficie de fluencia.

Una vez establecidas las bases termodinámicas y descritas las variables del modelo se obtienen las ecuaciones constitutiva y de disipación de energía según las expresiones (3.14)

 (3.14,15)

Reordenando los términos se llega a la expresión (3.16)

(3.16)

En la expresión anterior la tensión σ^v puede ser entendida como una componente viscosa de la tensión desarrollada bajo comportamiento viscoso.

Finalmente, derivando la ecuación constitutiva (3.1) respecto del tiempo obtenemos el tensor constitutivo tangente para el modelo propuesto.

(3.17)

donde el tensor constitutivo C es dependiente del escalar .

4.- Estudio del problema térmico transitorio

4.1.- Solución de Stucky & Derron

La respuesta térmica de la presa se afronta tomando como referencia las soluciones encontradas en la literatura, concretamente en el libro “Problèmes thermiques posés par la construction des barrages-rèservoirs” de Alfred Stucky y Maurice H., Derron (Lausanne, 1957). En él se plantea la resolución del problema de la transmisión del calor de forma transitoria.

En este apartado se pretende validar los resultados obtenidos empleando el método de los elementos finitos, para estudiar el comportamiento de la presa de La Baells, ante distintas solicitaciones térmicas.

Definido un medio continuo tridimensional  Ω, la ecuación de balance de calor en dicho medio puede expresarse de la siguiente manera.

(1)

donde θ(x,y,z,t) es la temperatura en cada punto del dominio, en el instante de tiempo t, y χ es la difusividad del material. Las constantes del material que se han empleado son las extraídas del documento referido, y se describen a continuación.

Conductividad

Peso específico

Calor específico

Difusividad

Se plantea el problema de transmisión del calor unidimensional en x, en un dominio de longitud L, sometido a una temperatura prescrita en los extremos x=0 y x=L, que sigue una variación sinusoidal definida por las siguientes expresiones.

Se escoge como origen de abscisas el paramento aguas abajo, con dirección positiva hacia el paramento aguas arriba.

Paramento aguas abajo: θ_Ab(t) = θ₀ + A₀·cos(ωt) 2.0 + 10.0cos(2πt/T)

Paramento aguas arriba: θ_Arr(t) = θ_L + A_L·cos(ωt) 4.47 + 2.66cos(2πt/T)

El periodo escogido para las variaciones de temperatura en los paramentos es 1 año.

La solución de la ecuación diferencial (1) para el caso unidimensional es conocida y se expresa en los siguientes términos:

 , t > 0, 0 ≤ x ≤ L

donde el coeficiente μ adquiere un valor (π/χT)^1/2 = 0.29942833 m^–1

Imponiendo las condiciones de contorno, se obtienen las constantes de integración:

En consecuencia la solución del caso unidimensional queda expresada como sigue.

 , t > 0, 0 ≤ x ≤ L

En el instante inicial ( t = 0 ), la distribución de temperatura en el intervalo [0,L] también es conocida, en función de las anteriores constantes

En consecuencia, dadas unas condiciones de contorno en temperaturas, la distribución inicial queda determinada en cada punto x, conocida la amplitud del intervalo y las constantes del material.

Seguidamente se muestra una gráfica con la solución analítica obtenida para L = 20 m. La solución de Stucky varía sensiblemente en función del valor de L.

No obstante el problema que se pretende resolver en último término es tridimensional, y con una geometría mucho más compleja. En todo caso, se va a emplear las soluciones obtenidas por Stucky & Derron para validar los resultados obtenidos mediante el método de los elementos finitos aplicados al problema termo – mecánico, con el que nos ocupa.

A continuación se propone la resolución de un problema “cuasi – unidimensional” como es el caso de un cubo sometido a las mismas temperaturas prescritas propuestas por Stucky.

Con el objeto de conocer en profundidad la capacidad del método se han analizado distintos casos, más o menos asimilables a una presa.

4.2.- Validación de la solución de Stucky & Derron

4.2.1.- Cubo homogéneo. Caso unidimensional puro

Se define un prisma de base cuadrada de 20 m de longitud y altura 10 m, cuyo material observa las mismas propiedades anteriormente citadas.

Se ha empleado una malla de 40x40x10 = 16000 elementos hexaédricos cuadráticos de 20 nodos y 27 puntos de integración mediante cuadraturas cerradas de Lobato.

Se aplican las condiciones de contorno mencionadas, en las superficies y = 0, y = L = 20 m

4.2.2.- Cubo con dos materiales. Temperaturas prescritas en el hormigón. Malla gruesa

Cubo con dos bloques: hormigón y suelo con las propiedades dadas para la presa.

Condiciones de temperatura inicial en todo el dominio, pero temperatura impuesta en las superficies y = 0 e y = 20 superiores. La malla es de 8 x 8 x 10 elementos.

4.2.3.- Cubo con dos materiales. Temperaturas prescritas en el hormigón. Malla gruesa

Cubo con dos bloques: hormigón y suelo con las propiedades dadas para la presa.

Condiciones de temperatura inicial en todo el dominio, pero temperatura impuesta en las superficies y = 0 e y = 20 superiores. La malla es de 20 x 20 x 10 = 4000 elementos

4.3.- Aplicación de la solución de Stucky & Derron a la presa de La Baells

Una vez validado el método empleado, se aplica el método de los elementos finitos al estudio del comportamiento térmico de la presa de La Baells.

Se consideran igualmente las temperaturas prescritas propuestas por S&D, según una variación sinusoidal, según se indica en la siguiente figura.

Las condiciones de temperatura inicial se definen a partir de la solución de la ecuación (1) para el instante inicial, y merecen una explicación adicional.

El problema de la presa es tridimensional por lo que se asume la hipótesis de que en cada punto la temperatura inicial de la presa es la correspondiente a la solución de S&D para el caso unidimensional. En base a esto, es necesario definir los parámetros de dicho problema unidimensional.

• L: longitud del intervalo: Se asume como longitud del intervalo el espesor de la presa en cada punto. El espesor de la presa es conocido de forma directa en la sección central pero no en el resto del dominio, por lo que a este parámetro se le aplica un factor corrector en los lugares alejados de la sección central, para aproximar el valor de L

• x: abscisa de cálculo: Se define como la distancia de cada punto al paramento aguas abajo, considerado como origen de abscisas en todos los puntos.

En estas condiciones se ha resuelto el problema con dos grados de precisión, que denominaremos “malla gruesa” y “malla fina”.

4.3.1.- Presa de La Baells. Malla gruesa

El tiempo de cálculo es de 18.787,156 segundos en 365 pasos, es decir 51,5 seg/paso = 0,86 min/paso.

4.3.2.- Presa de La Baells. Malla fina

El tiempo de cálculo es de 1437,7 seg/paso = 24,0 min/paso

En un estudio de red neuronal, el tiempo de cálculo es un factor determinante, por lo que merece un estudio más detallado:

En la siguiente tabla se muestran las características de las mallas junto con sus tiempos de cálculo. Especialmente relevante es el parámetro de tiempo de cálculo por paso de tiempo en la resolución numérica.

Modelo numérico	Nº elementos/ nº nodos	Nº de elementos		Tiempo CPU	Tiempo CPU/paso
		Ancho bloque	Espesor
LaBaells_gruesa	775 / 5213	1	1	5,22 h	0,86 min
LaBaells_fina	10731 / 54165	5	3	99,43 h	16,35 min

Según la tabla adjunta, a una relación de 13,85 en el número de elementos, le corresponde una relación de 27,93 en el tiempo de cálculo.

4.3.3.- Presa de La Baells. Bloque separado

Para evaluar con mayor precisión el fenómeno térmico, se ha resuelto el problema con un solo bloque de presa – el central derecho – con un mayor número de elementos en el espesor, lo que hace asumible el tiempo de computación.

Se ha obtenidota respuesta térmica para un modelo formado por 24607 nodos y 5676 elementos, con 5 elementos cuadráticos en el espesor de la presa, y 6 elementos para el ancho del bloque entre juntas. En la siguiente figura se puede apreciar la discretización numérica empleada.

Este bloque ha sido sometido a la misma solicitación en temperaturas anteriormente considerada. A continuación se muestran algunos resultados.

En los resultados se muestra la variación de temperatura a largo del espesor de la presa en dicho bloque central a distintas cotas, según se muestra en la siguiente tabla (unidades en m)

Punto (Par. Abajo)	Cota	Profundidad (z)	Espesor (e)
1	628	0	4.0
865	600	28	10.2151
1825	570	58	15.4507
2791	540	88	20.2465

La solución del caso unidimensional de Stucky para los anteriores espesores se muestra a continuación.

A continuación se muestra la evolución de la temperatura a lo largo del espesor en diversos a distintas alturas en el bloque central

Los resultados obtenidos muestran una evolución de la forma de la gráfica a medida que varía el espesor de la presa. A media que éste aumenta la gráfica se hace más “fina”. Se ha estudiado este mismo resultado en dos casos:

Bloque2: Bloque con la misma malla pero con las temperaturas prescritas “naturales”, sin forzar el valor en el paramento aguas arriba.

Seguidamente se muestra el resultado obtenido en este caso.

Bloque3: Bloque con la malla más fina y con ero con las temperaturas prescritas “forzadas” en el paramento aguas arriba.

Seguidamente se muestra el resultado obtenido en este caso.

El bloque 3 emplea un tiempo de CPU de 364043.328 seg, es decir 997.4 seg/paso

5.- Metodología para el estudio del problema termo – mecánico acoplado en régimen permanente

La simulación del comportamiento de la presa supone resolver un problema termo – mecánico acoplado que en su forma más general será dependiente del tiempo y por tanto implica resolver un problema en régimen transitorio.

Se trata por tanto de un problema complejo por la multitud y heterogeneidad de los parámetros mecánicos y térmicos además de las limitaciones numéricas propias del método de los elementos finitos.

Como primera aproximación al problema se considera el estudio del mismo en régimen permanente. Este caso nos permite hacer algunas aproximaciones que simplifican el problema y que se mencionan a continuación:

• Se asume despreciable la inercia térmica del material lo que equivale a considerar un calor específico C_e = 0 J/(Kg ºC)

• Si el problema mecánico es elástico lineal – como así se considera en todo el desarrollo hasta la fecha – puede aplicarse el principio de superposición según el cual los efectos producidos por un sistema de cargas, es igual a los efectos producidos por cada una de las cargas por separado. En este caso se consideran los desplazamientos producidos por cargas y temperaturas.

Acorde con lo anteriormente expuesto, se plantea la resolución del problema mediante la superposición de varios casos simples, que nos permiten obtener la solución para cualquier caso de carga complejo, mediante la superposición de casos simples.

Se ha considerado la subdivisión del dominio de cálculo en función de la altura de la presa, definiendo semiarcos cada cinco metros para las cotas 540 +5n, n = 0,…,17 más un último semiarco a cota 628, lo que configuran 19 x 2 semiarcos de cálculo.

5.1.- Problema térmico: Descomposición de la temperatura

Para la simulación del comportamiento térmico de la presa se considerado una distribución lineal de la temperatura en el cuerpo de la presa. Dicha distribución lineal puede expresarse como suma de dos componentes: un valor constante de temperatura en todo el dominio más un gradiente de temperatura entre ambos paramentos.

Por generalidad se han obtenido los desplazamientos producidos por valores unitarios de temperatura y del gradiente, según de resume a continuación:

• Desplazamientos en las tres direcciones X, Y, Z para un incremento unitario de temperatura en cada uno de los semiarcos de 5 metros de altura que conforman la presa. Esto supone un total de 19 x 2 resultados

• Desplazamientos en las tres direcciones X, Y, Z debidas a un gradiente térmico unitario de temperatura en cada uno de los semiarcos de 5 metros de altura que conforman la presa. El gradiente se considera creciente de aguas abajo hacia aguas arriba entre + 1 y – 1. Esto supone un total de 19 x 2 resultados

Los resultados anteriores permiten calcular desplazamientos en cualquier punto del cuerpo de la presa dadas las distribuciones de temperaturas en los paramentos para ambas márgenes de forma separada.

De esta forma los desplazamientos pueden expresarse de la siguiente forma:

• δ(T_Arriba,T_Abajo) es el desplazamiento en cualquier arco, dependiente de las temperaturas prescritas en cada semiarco por el usuario

• δ(Constante) es el desplazamiento obtenido para un incremento unitario de temperatura constante en todo el semiarco.

• δ(Gradiente) es el desplazamiento obtenido para un gradiente unitario de temperatura en todo el semiarco

• K_constante,K_Gradiente son los coeficientes aplicados a los desplazamientos obtenidos para determinar el desplazamiento final.

Los coeficientes aplicados en cada semiarco se calculan según las expresiones siguientes:

K_constante = (T_Arriba + T_Abajo ) /2

K_Gradiente = (T_Arriba – T_Abajo ) /2

donde T_Arriba y T_Abajo son los valores de temperatura prescritos en ambos paramentos para cada una de las márgenes y cada uno de los arcos, por el usuario.

5.2.- Problema mecánico: Presión hidrostática del agua

Paralelamente se han obtenido desplazamientos en las direcciones X,Y,Z para un determinado nivel de embalse prefijado por el usuario. Dichos desplazamientos se obtienen por interpolación de los resultados obtenidos para los niveles de agua correspondientes a cada arco, definidos por la cota superior del mismo.

δ(Nivel) es el desplazamiento para el nivel de agua definido por el usuario

δ(Arco_{i / i – 1}) es el desplazamiento para el nivel de agua a la cota superior del arco i / i – 1

Nivel es el nivel de agua definido por el usuario

Nivel_{i/i – 1} es la cota superior del arco i / i – 1

5.3.- Base de datos Presa de La Baells

Los resultados obtenidos según se explica en los apartados anteriores se han implementado en una base de datos que permite el cálculo de desplazamientos en cualquier punto de la presa – especialmente en los péndulos – para cualquier caso de carga hidrostática y para cualquier distribución lineal de temperatura prescrita en el cuerpo de la presa, considerando el caso térmico permanente.

La base de datos se ha construido en una hoja Excel de cálculo (La Baells_BD.xls) y está estructurada en las siguientes partes:

• Entrada de datos y resultados

• Búsqueda de desplazamientos unitarios y cálculo de desplazamientos finales

• Gráficas de temperaturas prescritas en el cuerpo de la presa

• Gráfica de temperaturas incrementales por semiarco

• Bases de datos

La hoja de cálculo incorpora una macro escrita en visual Basic que realiza la selección de los datos y los cálculos necesarios para obtener los desplazamientos demandados. Para ejecutarla es preciso presionar Alt + F8 y ejecutar la macro “LaBaells_macro” (presionando ENTER)

Esta operación ha de realizarse cada vez que se varíe el punto de cálculo o bien el nivel del embalse, ambas, celdas marcadas en color dorado.

5.3.1.- Pantalla de entrada de datos. Usuario

La base de datos está pensada tanto para obtener desplazamientos en un determinado caso, como para obtener incrementos de desplazamiento entre dos casos de carga distintos. Por ello, los elementos de entrada de datos aparecen duplicados, mientras que en la parte inferior izquierda se muestra en una tabla, dichos incrementos.

En pestaña “Base de datos” de la hoja de cálculo, aparece la pantalla de entrada de datos con los siguientes elementos según se muestra en la Figura 5.1.

• Punto de cálculo (color dorado): El usuario escoge el punto de la presa en el que realizar el cálculo. La base de datos ofrece las coordenadas del punto lo que permite su localización. La variación de este valor requiere ejecutar LaBaells_macro

• Nivel de embalse (color dorado): El usuario escoge el nivel de embalse para el cálculo de los desplazamientos debidos a la presión de agua. Este valor debe estar comprendido en el intervalo [540,628] que son las cotas que comprende el cuerpo de la presa. La variación de este valor requiere ejecutar LaBaells_macro

• Tablas de temperaturas prescritas (color amarillo): El usuario escoge la distribución de temperaturas en ambos paramentos. Dichas distribuciones se definen a través de los valores en cada uno de los 19 semiarcos considerados. Igualmente se ha tenido en cuenta la posibilidad de variar la temperatura en ambas márgenes, cuyas temperaturas prescritas se consideran de forma independiente.

Las funciones definidas por el usuario se muestran en las gráficas anejas para cada una de las márgenes y cada uno de los paramentos, de forma que en todo momento el usuario puede visualizar los datos introducidos.

• Tabla de resultados (color azul): Una vez cumplimentada la entrada de datos, los resultados obtenidos se muestran en una tabla situada debajo del nivel de embalse. En esta tabla aparecen los desplazamientos obtenidos para cada caso de carga, en sus tres componentes y módulo, y el desplazamiento total

• Tabla de incrementos (color blanco): Esta tabla ofrece el incremento del desplazamiento para los dos casos calculados, tanto a nivel de componentes, como en módulo.

5.3.2.- Búsqueda y cálculo de desplazamientos

A la derecha de la pantalla de entrada de datos se sitúan las tablas en las que se muestran los desplazamientos unitarios para cada caso: Temperatura constante, gradiente de temperatura y nivel de embalse.

Se muestran también los coeficientes calculados a partir de las temperaturas prescritas en cada margen, en cada paramento, y en cada semiarco.

En la parte inferior de cada tabla se calcula además la fracción de desplazamiento correspondiente a temperatura constante y gradiente.

En el caso del nivel de embalse, la base de datos sitúa el nivel de agua de cálculo entre dos niveles de referencia según los semiarcos considerados, marcando en negrita los dos niveles entre los cuales realiza la interpolación.

Seguidamente aparecen las tablas que definen las gráficas

Esta parte de la base de datos es de solo lectura y no precisa de la intervención del usuario.

5.3.3.- Gráfica de temperaturas prescritas sobre la presa

En la siguiente pestaña de la hoja de cálculo, “Temperaturas prescritas presa” se muestran las distribuciones de temperaturas prescritas definidas por el usuario, situadas sobre los paramentos de la presa de La Baells. Se muestran dos gráficas para los dos casos considerados en la base de datos que permiten comparar resultados según se ha mencionado anteriormente.

En cada una de las gráficas, se representan cuatro funciones correspondientes a las temperaturas prescritas en ambos márgenes (igual color) y ambos paramentos, para cada una de las cotas de los semiarcos considerados.

Esta parte de la base de datos es de solo lectura y no precisa de la intervención del usuario.

5.3.4.- Gráfica de temperaturas incrementales por semiarco

En la pestaña “Temperaturas incrementales” se muestran las gráficas correspondientes a los desplazamientos unitarios – componente Y – para el caso de temperatura constante y gradiente, en cada una de las márgenes, en el punto de cálculo seleccionado por el usuario. Esto supone cuatro gráficas de temperatura.

Los valores que se muestran no son más que la representación gráfica de las tablas que se muestran en la figura 5.1b en su componente Y. Se ha escogido esta componente por su asimilación al movimiento radial, al menos en la zona central de la presa.

La interpretación de las gráficas permite conocer la contribución de cada semiarco (abscisas) al desplazamiento total en el punto de cálculo. Se aprecia en todo caso, que el máximo de las curvas se da para la cota en la que se sitúa el punto de cálculo.

Es necesario especificar que por simplicidad y visualización, en esta gráfica únicamente se grafican las curvas correspondientes al primer punto de cálculo.

Un ejemplo de lo dicho, se muestra en la figura 5.3

Esta parte de la base de datos es de solo lectura y no precisa de la intervención del usuario.

5.3.5.- Bases de datos

En las siguientes pestañas “Datos coordenadas”, ”Datos Tª constante”, “Datos gradiente” y “Datos nivel embalse”, se encuentran los valores obtenidos para los casos de carga mencionados. Estos valores son utilizados por LaBaells_macro para localizar los datos necesarios para el cálculo, y llevarlo a cabo.

Esta parte de la base de datos es de solo lectura y no precisa de la intervención del usuario.

6.- Cálculo de la respuesta tenso – deformacional de la presa de La Baells. Problema estacionario

6.1.- Introducción y objetivos

El análisis estructural de la presa de La Baells se orienta a la predicción de su comportamiento frente a los distintos casos de carga, en función de los datos disponibles. Fundamentalmente la respuesta del conjunto depende de dos magnitudes en cuanto a las solicitaciones: El nivel de embalse y las variaciones térmicas.

Basándose en esta idea se ha desarrollado una herramienta de cálculo que permite calcular en tiempo real la respuesta estructural de la presa en función de dichas variables y compararlo con los datos obtenidos en la auscultación de la presa.

El objetivo de esta herramienta es pues, predecir el comportamiento de la estructura en periodo determinado, aplicando las formulaciones anteriormente expuestas y los modelos constitutivos presentados. Los resultados se traducen en términos de tensiones y desplazamientos fundamentalmente, pero puede considerarse cualesquier otra variable relevante para el estudio que nos ocupa.

El conocimiento de la respuesta estructural de la presa indica como está trabajando, los esfuerzos que sufre y los puntos de máxima tensión para verificar su idoneidad.

El cálculo permitirá además, situar en cada instante la respuesta dentro de unos límites de comportamiento que determinan la situación en servicio, y en su caso predecir situaciones de fallo. Para esto último es necesario definir los modos de fallo que pueden darse en la estructura y traducirlos en criterios de fallo en términos de desplazamientos o tensiones.

6.2.- Diseño de la herramienta de cálculo

La herramienta de cálculo ha sido creada en una hoja Excel ( LaBaells_BD ), en la que se han incorporado macros programadas en visual basic, además de un módulo de cálculo que contiene el programa COMET desarrollado en CIMNE. COMET es un código computacional basado en el método de los elementos finitos en el que se han implementado las formulaciones y los modelos antes expuestos.

En la hoja de cálculo se ha representado la presa con los termómetros situados en las posiciones reales que ocupan, y el nivel de embalse (Figura 6.1)

Se han considerado dos casos de cálculo para facilitar el cómputo de movimientos / tensiones incrementales dado lo frecuente de este tipo de cálculos.

Se ha considerado igualmente la posibilidad de añadir la gravedad al cálculo.

Los datos de las solicitaciones sobre la presa son introducidos directamente por el usuario tras lo cual se activa el módulo de cálculo. El cálculo está previsto para el problema termo – mecánico en régimen permanente. La duración del mismo es de aproximadamente 70 segundos, dependiendo de la capacidad de cada procesador.

Una vez finalizado, LaBaells_BD lee los resultados escritos por COMET, los inserta en la hoja de cálculo y crea las gráficas correspondientes.

Se obtienen resultados en términos de desplazamientos en los péndulos y tensiones principales en los extensómetros, lo que permite comparar el resultado numérico con el medido realmente. Para ello se han tomado como referencia las medidas de auscultación que se detallan en [5]

Cada una de las variables de entrada recibe un tratamiento específico que se concreta a continuación.

6.2.1.- Datos de entrada. Nivel de embalse

El nivel de embalse determina la carga hidrostática que actúa sobre el paramento aguas arriba. Esta carga se traduce en una carga repartida sobre cada elemento cuyo valor constante se calcula a partir de la densidad del agua y de la columna de agua que cada punto tiene encima.

γ es el peso específico del agua, con un valor γ = 10 kN/m²

z es la coordenada vertical del centro de gravedad de cada elemento finito.

Los elementos finitos cuyo centro de gravedad esté situado por encima del nivel de embalse no reciben carga hidrostática.

6.2.2.- Datos de entrada: Temperaturas medidas en termómetros

La temperatura es conocida en determinados puntos del cuerpo de presa en los que se ha instalado una serie de termómetros según se aprecia en la Figura 6.2. De todos los termómetros disponibles se han seleccionado 55 de ellos situados en el plano medio de la estructura. Se han considerado 11 puntos de cálculo adicionales en los que la temperatura es conocida en los paramentos, lo que permite aproximar el gradiente de temperatura a lo largo del espesor de la presa.

A partir estos valores registrados se determina una distribución de temperaturas en todo el cuerpo de la presa empleando técnicas de interpolación. Esta interpolación se realiza en dos fases:

• Interpolación en el plano medio: A partir de los valores de temperatura en los 55 termómetros situados en el plano medio se determinan las temperaturas en todo el plano medio de la presa, en función de la cota (z_i) y el ángulo ( θ_i ) de cada punto.

De la misma forma, se interpolan los gradientes en todos los puntos del plano medio de la presa, a partir de los gradientes conocidos en los 11 termómetros de gradiente antes mencionados.

• Interpolación en el espesor: Conocidas las coordenadas de cada punto, se calcula su distancia al plano medio. A continuación la temperatura se obtiene a partir de la temperatura en el plano medio y el gradiente, según la expresión

${\displaystyle {T}_{i}={T}_{plano\,medio}+{Grad}_{i}\cdot {d}_{plano\,medio}}$

Este algoritmo proporciona una distribución de temperaturas en todo el cuerpo de la presa. Se ha verificado la idoneidad del proceso de interpolación, con tres distribuciones de temperaturas conocidas según la documentación [5]. La comparación de resultados se muestra en la figura 6.2, en la que puede observarse el grado de aproximación obtenido en la interpolación

Es necesario apuntar que el cálculo de la respuesta de la presa ha de estar referido a un origen para los desplazamientos, lo que implica que existe igualmente un origen de temperaturas, que coincide con la distribución de temperaturas existente en el momento de colocación de los péndulos. Esto significa que los datos de entrada en realidad son incrementos de temperatura con respecto a ese origen, para ser consistente con las gráficas de auscultación tomadas como referencia.

La colocación de los péndulos tuvo lugar en dos fases

• Secciones centrales o péndulos P2I y P1D. Colocados el 4 de Marzo de 1976 con un nivel de embalse a cota 555,0 m

• Secciones laterales o péndulos P6I y P5D. Colocados el 8 de Julio de 1976 con un nivel de embalse a cota 583,30 m

En consecuencia las temperaturas incorporadas al cálculo son los incrementos respecto de las temperaturas existentes en esos momentos.

Los incrementos de temperatura se aplican al cuerpo de presa únicamente, despreciando la contribución del suelo.

6.2.3.- Datos de entrada: Casos predeterminados

Por su utilidad, se han considerado algunos casos de carga predeterminados documentados en [5] y que corresponden al año 2008. Se trata de tres instantes – Abril, Junio y Octubre – de los que se conoce las temperaturas en los termómetros y el nivel de embalse.

LaBaells_BD incorpora la posibilidad de incorporar estos datos automáticamente mediante una macro específica ( Predetermined ) accesible a través de Alt + F8.

En este desarrollo se han empleado estos casos predeterminados para validación del cálculo junto con las medidas experimentales extraídas de [5].

6.3.- Caracterización de los valores de referencia

6.3.1.- Situación de referencia

La simulación de la respuesta de la presa ha de ser validada a través de las mediciones proporcionadas por el sistema de auscultación de la estructura. Dicho sistema de auscultación se traduce fundamentalmente en medida de desplazamientos en los péndulos, tensiones en los extensómetros y temperaturas en los termómetros, todo ello situado en el cuerpo de la presa, según consta en la documentación [5]

La medición de temperaturas y tensiones se realiza en términos absolutos, mientras que la medición de los desplazamientos se efectúa en términos relativos a una situación de referencia que es la existente en el momento de la colocación de los péndulos, instante en el cual la estructura soportaba un cierto nivel de embalse, y presentaba una determinada distribución de temperaturas en todo el cuerpo de la presa.

Por esta razón es necesario definir una situación de referencia que permita comparar los resultados obtenidos en la simulación, con los valores obtenidos en los péndulos.

Es necesario apuntar que en el cálculo desarrollado se asume como válida la hipótesis de superposición de resultados. Los desplazamientos proporcionados por las herramientas de cálculo son pues, relativos a estos desplazamientos iniciales.

La colocación de los péndulos – según la documentación disponible [5] – se efectuó en dos instantes de tiempo diferentes, lo que nos obliga a caracterizar ambos:

• Péndulos centrales ( P2I, P1D )

Fecha: 4 de Marzo de 1976

Cota de embalse: 555,0 m

• Péndulos laterales ( P6I, P5D )

Fecha: 8 de Julio de 1976

Cota de embalse: 583,30 m

La distribución de temperaturas existente en los días de colocación de los péndulos es desconocida, por lo que se ha procedido a aproximarla a partir de los datos disponibles.

Se dispone la distribución de temperaturas en diversos meses del año 2008, concretamente en Abril, Julio y Octubre.

Se dispone además de información acerca de la distribución de temperaturas en la presa en Enero de 1976, así como registros de la evolución de la temperatura en la fase de construcción y fraguado. Esta información de adjunta en el anejo B.

Las distribuciones de temperaturas y niveles de embalse para las situaciones de referencia consideradas se muestran en la figura 6.4.

En ambos casos se ha considerado un factor corrector de la temperatura en la dirección del arco, según se muestra en la figura 6.4c.

Las configuraciones iniciales descritas se emplean como referencia se emplean en todos los cálculos realizados en este informe, independientemente de la naturaleza de la herramienta de cálculo y del formato de entrada de datos.

6.3.2.- Valores de referencia

Los resultados obtenidos en términos de desplazamientos radiales y tangenciales en los péndulos se resumen a continuación:

Es necesario precisar que estos valores se han obtenido respecto de la situación de desplazamiento y temperatura inicial nula, por lo que no son representativos, salvo en el caso de superposición de resultados.

Estos resultados de referencia son válidos para las herramientas de cálculo desarrolladas en este trabajo ( LaBaells_BD, LaBaells_t ).

6.4.- Resultados obtenidos

Los resultados obtenidos se muestran en términos de desplazamientos – respecto del origen – y tensiones principales. A continuación se detalla la presentación de cada uno de los resultados.

6.4.1.- Resultados: Desplazamientos

Los desplazamientos que proporciona LaBaells_BD son los obtenidos en determinados nodos de cálculo, en el plano medio del cuerpo de la presa, coincidentes con la posición de los péndulos instalados en la estructura.

La auscultación de los desplazamientos en La Baells se realiza mediante cuatro series de péndulos colocados en los bloques 6I, 2I, 1D y 5D. Cada una de las series dispone de cuatro péndulos en los que se mide el desplazamiento radial y el tangencial (en sentido circunferencial). En la Figura 6.6 se muestra un esquema de la colocación de los mencionados péndulos [4, pág. 556 ].

En la documentación aportada por OFITECO [5] se presentan las mediciones en cuatro instantes a lo largo de la vida de la presa, para lo cuales se conocen los desplazamientos radiales y tangenciales en los péndulos. Los casos escogidos corresponden a comportamientos extremos en cuanto a desplazamientos, provocados por combinaciones de niveles de embalse y de temperaturas máximos y mínimos.

En la tabla 4 se resumen los casos de carga de referencia, que han sido incluidos en la hoja de cálculo, para situar el resultado numérico dentro del rango de comportamiento de la presa.

Los valores de los desplazamientos para dichos casos de carga [ 4, pág 59 ] están referidos al origen de desplazamientos mencionado ( año 1976 ) por lo que se consideran movimientos absolutos de los péndulos. En las gráficas [ 4, págs. 514 – 517 ] aparecen referidos a dicho origen y así se ha reproducido en la hoja de cálculo.

Los desplazamientos obtenidos por la herramienta de cálculo se presentan numéricamente en la pestaña “Péndulos” y gráficamente en las pestañas “Péndulos (RADIALES)” y “Péndulos (TANGENCIALES)”. En estas hojas de gráficos se presentan las curvas de referencia y las curvas numéricas, para los dos casos de cálculo que admite la herramienta (Figura 6.8a).

Con ello puede referenciarse los resultados obtenidos a lo experimental y extraer consecuencias acerca de la respuesta estructural de la presa.

6.4.2.- Resultados: Tensiones

La hoja de cálculo proporciona también resultados en términos de tensiones en determinados nodos de cálculo coincidentes con la posición de los extensómetros que forman parte del sistema de auscultación de la presa. En la figura 6.7 se muestra la disposición de todos ellos según consta en [4, pág. 557 ]

Es necesario precisar que existen dos tipos de extensómetros

• Extensómetros unidimensionales: proporcionan la tensión en la dirección circunferencial para evaluar el efecto arco. Se encuentran todos ellos situados a la cota 625 m, en el paramento aguas arriba.

• Extensómetros bidimensionales: Grupos de 4 extensómetros, proporcionan las tensiones principales en el plano del paramento correspondiente. Se han instalado grupos bidimensionales en ambos paramentos. Señalar que el aparato instalado en el bloque 3D aguas arriba ha quedado inutilizado

Los extensómetros miden la deformación en una dirección dada. Esta deformación viene afectada por diversas correcciones. En el caso de los extensómetros bidimensionales se pueden obtener las deformaciones principales, y en consecuencia las tensiones principales en cada punto de cálculo, a través de relaciones elásticas que se detallan en [ 4, págs. 514 – 517 ]

7.- Cálculo de la respuesta termomecánica de la presa de La Baells. Problema transitorio

7.1.- Introducción y objetivos

El objetivo global del proyecto consiste en caracterizar el comportamiento de la presa y su evolución en el tiempo, por lo que una vez caracterizado el mismo de forma instantánea, y validada la metodología para el cálculo es necesario ampliar los desarrollos al problema transitorio, simulando la respuesta de la estructura frente a la evolución de las diferentes acciones térmicas y mecánicas.

Para alcanzar este objetivo, se ha desarrollado una herramienta de cálculo capaz de incorporar las condiciones iniciales sobre la presa tanto en términos de carga como de temperaturas, calcular su respuesta y ofrecer resultados para las variables de cálculo en cualquier punto del dominio, con especial preferencia para los puntos de auscultación, como es el caso de los movimientos en los péndulos, las tensiones en los extensómetros y las temperaturas en los termómetros de la presa.

La situación de dichos puntos de auscultación se halla en la documentación [4, vol III ]

Los resultados obtenidos se emplearán para el entrenamiento de una red neuronal. En los primeros instantes la red adolece de resultados que le permitan calcular con precisión una previsión para la respuesta de la presa. En este caso, la red se alimentará con los datos proporcionados por el cálculo numérico. Con el transcurso del tiempo, los datos numéricos se irán sustituyendo por las medidas reales proporcionadas por la auscultación.

Es en este contexto donde de crea la herramienta de cálculo cuyo funcionamiento se expone a continuación.

7.2.- Diseño de la herramienta de cálculo

La herramienta de cálculo “LaBaells_t” ha sido creado en una hoja de cálculo Excel, en el que las diversas pestañas incorporan la información pertinente en cuanto a datos de entrada y resultados.

El problema considerado es de tipo termo – mecánico, para un modelo mecánico de tipo elástico lineal. Seguidamente se detallan los datos necesarios para su funcionamiento, con las especificaciones pertinentes.

En primer lugar se muestran los datos de entrada “LaBaells_t - DATOS”. De forma general los datos de entrada que ha de introducir el usuario se muestran en las celdas de color amarillo claro.

7.2.1.- Datos de control

Los datos de control del problema son los siguientes ( Figura 7.1 ):

• Nº pasos: Es el número de pasos de tiempo que considera el problema. Este parámetro es determinante para el tiempo de cálculo. Se considera que cada paso tarda aproximadamente un minuto de tiempo, aunque esto es muy variable en función del procesador empleado para el cálculo.

• DTIME: Es el incremento de tiempo en días para cada paso de tiempo. El periodo de tiempo de cálculo del problema será por tanto NSTEP * DTIME

• Tª inicial: Este campo hace referencia al tipo de interpolación lineal para las condiciones iniciales de temperatura, que se explicaran en el apartado correspondiente. Existen dos opciones: “Lineal” y “Stucky”.

El cálculo de la presa se resolviendo un problema de tipo termo – mecánico. En el apartado de materiales ( Figura 7.1b ) se introducen los parámetros térmicos y mecánicos para el hormigón de la presa, según las unidades que se muestran. Los valores para el suelo se mantienen constantes, según lo expuesto en el apartado 2.2.3 de este informe.

El modelo constitutivo considerado para el problema mecánico es, de forma general, el modelo de daño isótropo, por lo que en los parámetros del material se incluyen los valores propios del modelo, como son el umbral de daño y la energía de fractura.

De forma particular, el problema elástico lineal se consigue con un valor del límite elástico suficientemente alto.

En cuanto al problema térmico, los valores requeridos son el coeficiente de dilatación ( α ), el calor específico ( c ) y la conductividad ( λ ). Dichos parámetros corresponden al problema transitorio. De forma particular, la respuesta para un caso estacionario se obtiene para un valor nulo del calor específico del hormigón.

7.2.2.- Condiciones de carga

El problema tratado considera dos tipos de cargas sobre la presa, que pueden evolucionar con el tiempo o no. Se resumen a continuación.

• Gravedad: Este valor se coloca de forma predeterminada, y con dirección – Z. Puede anularse su efecto sobre el hormigón, consignando una densidad nula para dicho material; no así en el caso del suelo, cuyo comportamiento está predeterminado.

• Empuje hidrostático: Viene determinado por el nivel de embalse que se consigna en la entrada de datos, a través de una función de evolución de la cota de agua.

7.2.3.- Condiciones iniciales: Temperaturas

La herramienta permite establecer las temperaturas iniciales en todo el cuerpo de la presa, mediante la definición de una serie de funciones discretas, que se introducen a través de las tablas situadas en la parte izquierda. Para este proceso se han establecido los siguientes pasos:

1. La temperatura puede presentar fuertes variaciones entre ambos paramentos, por lo que en primer lugar se considera una función de temperatura inicial para cada uno de ellos. Dicha función establece la variación de la temperatura en función de la cota tal como se muestra en la figura 7.2a.

Se tiene en cuenta igualmente la diferencia de temperaturas entre la parte seca del paramento y la parte sumergida.

2. Adicionalmente se ha considerado la variación de la temperatura a lo largo del arco de la presa, también de forma diferenciada en ambos paramentos. Esto permite una aproximación más realista de la realidad, ya que la temperatura varía en ambas márgenes en función de la posición del sol.

La variación de la temperatura a lo largo del arco se establece a partir de un factor corrector en cada subarco. Dicho factor se multiplica a la temperatura interpolada a partir de la distribución vertical anteriormente expuesta.

El factor corrector de temperatura a lo largo del arco es una función discreta que se introduce en la tabla situada en la parte inferior izquierda, según muestra la figura 7.2b

Tanto la distribución de temperaturas definida por el usuario, como el nivel de embalse se grafican en la propia interface (Figura 7.2a). Igualmente, la herramienta muestra una gráfica de las funciones correctoras por arco en ambos paramentos, acordes con los valores introducidos por el usuario, según se muestra en la figura 7.2b.

3. Una vez definida la distribución de temperaturas en ambos paramentos, es necesario definir el valor inicial de dicha temperatura en el cuerpo de la presa, para lo cual se consideran dos formulaciones: Interpolación lineal e interpolación según el esquema de Stucky expuesto en el apartado 4 de este informe.

La elección del modo de interpolación se realiza en los datos de control y permite determinar la temperatura en cada nodo de cálculo en t = 0, a partir de los valores en los paramentos a la misma cota, según se detalla en 4.3.

Una vez establecidos todos los valores la distribución inicial de temperaturas queda determinada. Sobre ella se aplicarán las funciones de variación temporal.

7.2.4.- Funciones de evolución temporal

La herramienta de cálculo considera la evolución temporal de las acciones y de las temperaturas, a partir de la distribución inicial establecida. La evolución temporal se prescribe a través de tres funciones de evolución introducidas por el usuario mediante los valores situados en la parte inferior derecha según puede apreciarse en la figura 7.3

En el caso de las cargas (nivel de embalse) el valor de la función es un factor que multiplica a la acción definida inicialmente.

En el caso de las temperaturas la función de evolución constituye un valor absoluto que se suma a las temperaturas iniciales, resultando el valor de la temperatura final.

Las tres funciones de evolución temporal consideradas se detallan a continuación:

1. Función de evolución del nivel de embalse: Determina la evolución del nivel de embalse con el tiempo.

Puede definirse a través de una función sinusoidal caracterizada por su amplitud (A) y su periodo (T) o bien, a través de una función definida de forma discreta.

Esta función no está acabada. Únicamente aplica un factor al nivel de embalse inicial, por lo que no varía realmente el nivel, sino que solo es una aproximación.

2. Función de evolución de la temperatura del aire: Determina la evolución temporal de la temperatura del aire y se aplica a los puntos de ambos paramentos situados aguas abajo o bien aguas arriba por encima del nivel de embalse.

Puede definirse a través de una función sinusoidal caracterizada por su amplitud (A) y su periodo (T) o bien, a través de una función definida de forma discreta.

3. Función de evolución de la temperatura del agua: Determina la evolución temporal de la temperatura del agua y se aplica a los puntos del paramento aguas arriba situados por debajo del nivel de embalse. En principio se espera que la variación de la temperatura del agua sea menor que la del aire.

Puede definirse a través de una función sinusoidal caracterizada por su amplitud (A) y su periodo (T), a través de una función definida de forma discreta, o bien estableciendo un factor de variación con respecto a la función definida para la temperatura del aire.

Ésta última función es la más simple y la única que funciona por ahora. Diferenciar dos funciones de evolución para las temperaturas exige reprogramar el código lo que es complejo.

7.3.- Presentación de resultados

Una vez introducidos los datos de entrada el cálculo se activa mediante la macro “LaBaells_t”

La herramienta de cálculo ofrece tres tipos de resultados que pueden ser también definidos por el usuario, en la hoja “LaBaells_t - RESULTADOS”.

Para cada magnitud se muestra un esquema de la presa con la situación de los puntos de auscultación. A la derecha se muestran los posibles resultados para cada magnitud. Para seleccionar un resultado basta llenar la celda correspondiente, es decir basta con que no esté vacía.

Los valores obtenidos después del cálculo son los siguientes:

A. Desplazamientos: LaBaells_t lee los desplazamientos (x,y,z) en todos nodos correspondientes a los péndulos (Figura 7.4a) de la presa según [5]. Sin embargo en nuestro caso es de mayor interés conocer los movimientos en sentido radial y tangencial, por lo que en cada punto de calculan ambas proyecciones y son estos resultados los que se ofrecen en la hoja de cálculo.

B. Tensiones: LaBaells_t lee las tensiones producidas ( 6 componentes ) en los nodos correspondientes a los extensómetros situados en la presa según [5]. La herramienta proporciona las tensiones diagonales del tensor ( Sxx, Syy, Szz ) y las principales, es decir las máximas tensiones de tracción y compresión ( S₁, S₂, S₃ )

C. Temperaturas: LaBaells_t lee las tensiones producidas en los nodos correspondientes a los termómetros situados en la presa según [5]. Éstos son los valores que se ofrecen como resultado.

Los resultados se presentan además en dos formatos:

• Excel: Todos los resultados – desplazamientos, tensiones y temperaturas – se escriben en la propia hoja de cálculo, en las pestañas correspondientes. Esto permite al usuario graficar de forma rápida y sencilla cualquier resultado a su elección.

• Texto: La herramienta exporta a archivos de cálculo – Desplazamientos.res, Tensiones.res y Temperaturas.res – los resultados escogidos por el usuario en la pestaña de resultados. Esto permite el tratamiento individualizado de dichos resultados, y en particular el acoplamiento con otras aplicaciones como MATLAB con el objeto de utilizar los datos para alimentar una red neuronal.

7.4.- Resultados obtenidos

La herramienta de cálculo ofrece resultados de desplazamientos en todos los péndulos bajo diversas hipótesis de carga. Concretamente para la evolución del nivel de embalse mencionada en la documentación, se han considerado dos evoluciones temporales de la temperatura, siguiendo un esquema sinusoidal (Hipótesis 1) y siguiendo el esquema de evolución definido en la documentación ( Hipótesis 2 ).

Para ambos casos se muestran resultados en desplazamientos en diversos puntos de medición (péndulos) en la figura 7.5.

8.- Conclusiones

Las conclusiones extraídas de este trabajo hasta el momento, pueden resumirse en los siguientes puntos:

• Se dispone de formulaciones para el problema térmico – mecánico acoplado basadas en el método de los elementos finitos e implementados en códigos computacionales, capaces de ofrecer soluciones a problemas complejos en cuanto a geometría y comportamiento constitutivo de materiales.

• Se ha definido un modelo numérico para la presa de La Baells teniendo en cuenta la geometría originaria, las juntas verticales de construcción, y el terreno circundante. Se ha considerado en un principio la interacción de los materiales hormigón y suelo, cada uno con sus características termo-mecánicas.

• Se han diseñado dos herramientas de cálculo para la simulación de la respuesta termo-mecánica de la presa de La Baells, tanto en el caso instantáneo como en el caso transitorio. En la primera (LaBaells_D.xls) se ofrece la respuesta a un solo estado de carga termo-mecánica, en términos de desplazamientos normales y tangenciales en todos los péndulos de la presa.

• En el caso de la segunda herramienta de cálculo (LaBaells_t.xls), ésta es capaz de calcular el problema transitorio bajo diferentes combinaciones de carga térmica, variando ésta en la dirección arco y en profundidad, diferenciando ambos paramentos, y siguiendo una función de evolución en el tiempo. En el caso de la temperatura, se admite incluso diferentes interpolaciones en el cuerpo de la presa. La herramienta de cálculo admite además variaciones en el nivel de embalse a lo largo del tiempo.

• La herramienta de cálculo diseñada ofrece la respuesta simulada en todos los puntos de medición de la presa.

• Finalmente LaBaells_t.xls ofrece como información de salida los datos seleccionados en un archivo en formato de texto, para lectura desde cualquier aplicación, en particular una red neuronal. Esto permite la interacción entre ambas herramientas, con la posibilidad de alimentar la red para su funcionamiento en especial a corto plazo cuando los datos disponibles de la auscultación no son numerosos.

9.- Bibliografía

[1] Guerrero, R., Del Río, F., González, R. “Presa de La Baells”. Revista de Obras públicas. Págs 1079 - 1095 Madrid (Diciembre 1979)

[2] Stucky, A., Derron, M. H., “Problèmes thermiques posés par la construction des barrages-rèservoirs”. Science & Technique. Lausanne (1957)

[3] Salete, E., Lancha, J. Carlos., “Presas de hormigón. Problemas térmicos evolutivos”. Colegio de Caminos, Canales y Puertos de Madrid. Madrid (1998)

[5] Oñate, Eugenio. “Cálculo de Estructuras por el Método de los Elementos Finitos. Análisis estático lineal”. Centro Internacional de métodos numéricos en Ingeniería, Barcelona (España) Septiembre 1995

[5] “Presa de La Baells. (Barcelona). Informe del comportament de l’estructura periode 27.11.2007 al 27.10.2008” Agència catalana de l’aigua. OFITECO. Revisió nº 0

[6] “Segona revisió de seguretat de la presa de La Baells. (Barcelona)”. Agència catalana de l’aigua. OFITECO. Enero 2010

[7] “Transmisión de calor”. Curso de Máster en métodos numéricos en ingeniería. Centro Internacional de métodos numéricos en Ingeniería, Barcelona (España)

ANEXO A

DEFINICIÓN GEOMÉTRICA DE LA ESTRUCTURA

SITUACIÓN DE LAS JUNTAS

A.1.- Definición de los paramentos aguas arriba y aguas abajo

A.2.- Definición de las juntas constructivas

ANEXO B

DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS AÑO 1976