Latest revision as of 15:26, 28 February 2017

Resumo

Uma das tarefas mais importantes na engenharia de petróleo é a caracterização de reservatórios. Um bom conhecimento das propriedades dos reservatórios é fundamental para confiáveis previsões de produção e para a aplicação dos métodos especiais de recuperação secundária. Uma ferramenta muito utilizada para este fim é a simulação numérica de reservatórios de petróleo, que através da aplicação de métodos numéricos permite obter a solução de equações diferenciais complexas por natureza. Este trabalho trata da modelagem computacional da injeção de espumas em reservatórios de petróleo utilizando o software Eclipse^® . O objetivo principal desta pesquisa é compreender quais são os parâmetros que potencializam o aumento do fator de recuperação do óleo retido no espaço poroso após a utilização de métodos convencionais. A espuma é injetada desde a superfície em um reservatório localizado a 8.400 pés de profundidade que contem óleo cuja viscosidade é dependente da pressão, este óleo é conduzido para a superfície através de um poço produtor. Os 2 poços são completados ao longo de toda a espessura da formação de interesse. As equações que expressam o modelo da espuma são detalhadas e discretizadas juntamente com as equações que regem o fluxo de fluidos. Comparações de desempenho variado a concentração da espuma são apresentados para 3 tipos de óleos denominados de leve, intermediário e pesado. Os resultados mostram que existe uma correlação direta entre a concentração da espuma no fluido deslocante e o fator de recuperação de óleo. Destaca‐se ainda que uma concentração crítica c* de espuma é evidenciada com influência direta na eficiência do processo.

Abstract

One of the most important tasks in Petroleum Engineering is a reservoir characterization. A good knowledge of the properties of the reservoirs is essential for reliable production forecasts and the application of special methods of secondary recovery. A very useful tool for this purpose is the numerical simulation of oil reservoirs, which through the application of numerical methods allows for the solution of complex differential equations by nature. This paper deals with the computational modeling of foam injection in oil reservoirs using the Eclipse^® software. The main objective of this research is to understand what the parameters that maximize the increase of the oil recovery factor retained in the pore space after using conventional methods are. Foam is injected from the surface into a reservoir of 8.400 feet deep containing oil viscosity which is dependent on the pressure, this oil is conducted to the surface through a production well. Both wells are completed over the entire thickness of the formation of interest. Equations that express the detailed model and the foam are discretized together with the governing equations of the fluid flow. Comparisons at different foam concentration are shown for light, intermediate and heavy oils. Results show that there is a direct correlation between the concentration of the displacing fluid foam and the oil recovery factor. Note also that a critical concentration c* foam is evidenced with direct influence on the efficiency of the process.

Palavras‐chave

Injeção de espuma ; Recuperação avançada de petróleo ; Meio poroso ; Controle da mobilidade ; Eclipse®

Keywords

Foam injection ; Enhanced oil recovery ; Porous medium ; Mobility control ; Eclipse®

1. Introdução

No processo de produção do petróleo há uma dissipação da energia primária, causada pela descompressão dos fluidos do reservatório e pelas resistências encontradas pelos mesmos ao fluírem em direção aos poços produtores. Essas resistências são devidas ou associadas às forças viscosas ou capilares presentes no meio poroso que se reflete principalmente no decréscimo da pressão do reservatório durante a sua vida produtiva, e consequente redução da produtividade. O uso de métodos especiais de recuperação (Enhanced Oil Recovery [EOR]) visa aumentar o fator de recuperação de óleo, ou seja, recuperar a maior fração possível do Original Oil in Place (OOIP) em relação àquela que seria recuperada somente através de métodos convencionais. O OOIP é o volume de óleo originalmente contido no reservatório, estimado durante o período de exploração. Os métodos especiais de recuperação são classificados na literatura como (i ) químicos, que refere‐se à injecão de solucões poliméricas [1]  and [2] , surfactantes, álcalis, Alkaline‐Surfactant–Polymer (ASP) [3] e espumas [4] ; (ii) térmicos, como a injeção de vapor cíclica e contínua, combustão in‐situ; (iii) miscíveis, utilização de gás carbônico [9] , nitrogênio e solventes orgânicos; e (vi ) outros métodos como utilização de micro‐organismos, Toe‐to‐Heel Air Injection (THAI), Vapour Extraction (VAPEX), Steam‐Assisted Gravity Drainage (SAGD), etc. Por limitações de espaço será abordado apenas a injeção de espumas. Para detalhes sobre os outros métodos sugere‐se consultar a literatura, por exemplo, Lake [5] e Rosa et al. [6] .

As espumas atuam principalmente na melhora da eficiência de varrido, tanto por viscosificação da água de injeção como pelo bloqueio físico de canais de alta permeabilidade (consultar [7]  and [8] ). Portanto, a espuma força o fluido injetado a percorrer as áreas não varridas. A espuma tem sido amplamente utilizada em processos de recuperação melhorada de óleo na indústria do petróleo ao longo de décadas [10]  and [11] . Existem 2 mecanismos principais em que a utilização da espuma no processo de recuperação de óleo torna‐se importante. A primeira, que é objeto de estudo neste trabalho, é a que permite controlar a mobilidade de gás injetado (fig. 1 A). Isto é, nas aplicações de injeção de gás ou nas técnicas de injeção alternada de água e gás (Water Alternating Gas [WAG]), os efeitos conjugados da alta mobilidade do gás aliado com sua baixa densidade o conduzem a fluir pelas zonas de maior permeabilidade criando caminhos preferenciais, assim como pelo topo do reservatório devido à segregação gravitacional, em ambas as situações o gás ultrapassa o banco de óleo que deveria ser deslocado. A espuma tem sido utilizada nestas situações para controlar a mobilidade do gás melhorando, assim, a eficiência do varrido por meio do aumento da viscosidade efetiva e da diminuição da permeabilidade relativa do gás. Uma segunda aplicação da espuma é no controle do conning de gás, que ocorre quando o contato gás/óleo atinge o poço produtor e por consequência o gás, que é mais móvel, começa a ser produzido ao invés do óleo. Espuma é injetada para ser depositada no topo da formação produtora, no poço produtor, reduzindo com isso o influxo de gás, como ilustrado na figura 1 B [12] .

Figura 1. Utilização da espuma: A) controle da mobilidade do gás quando existem caminhos preferenciais (a) e (b), e segregação gravitacional (c); B) controle do conning de gás [12] .

Como visto, a espuma tem uma função importante na produção de petróleo. É resultado de uma mistura gás/líquido, sendo a fase líquida contínua e a que molha a rocha, enquanto que a fase gasosa está organizada de forma descontínua em bolhas de gás unidas por meio de filmes de líquido denominadas de lamelas, segundo representado na figura 2[13] .

Figura 2. A espuma com o detalhe da lamela (modificado de [13] ).

A espuma é gerada adicionando um surfactante na fase aquosa e passando o gás através da mistura líquido/surfactante para gerar uma dispersão estável de bolhas de gás no líquido. A espuma pode ser transportada com um fluxo de gás para dentro do reservatório, sendo o efeito benéfico a redução da mobilidade do gás. A espuma também reduz a tensão superficial entre óleo e água, sendo que este efeito não é significativo. A redução da mobilidade do gás depende tipicamente de vários fatores, como pressão e taxa de cisalhamento que refere‐se à velocidade de injeção do gás [14]  and [15] . O surfactante é adicionado para auxiliar na geração e proporcionar uma estabilidade adequada da espuma nas condições do reservatório. Adicionalmente é desejável que o surfactante tenha baixa perda por adsorção e decomposição para a rocha, que permita aumentar a eficiência de varrido e seja comercialmente disponível e barato [11] .

Existem diversos tipos de espuma. Aquela que possui textura grosseira com grandes bolhas como a mostrada na figura 3 a,c é referida como uma espuma fraca, pois desenvolve uma baixa redução na mobilidade do gás. Agora, uma espuma com textura fina formada por pequenas bolhas (fig. 3 b) já é referida como uma espuma forte, pois reduz drasticamente a mobilidade do gás [16] .

Figura 3. Espumas resistentes na presença de óleo [12] .

A sua estabilidade, manutenção das suas características originais por longos períodos de tempo, é controlada pela interação das partículas que a compõem. Se a força de contato entre essas partículas for baixa ao contato com o óleo ocorre a quebra dessas forças tornando a espuma pouco eficiente [10] . Geralmente a espuma é desestabilizada ao contato com o óleo se a concentração de surfactante for baixa, isto ocorre principalmente na borda dianteira do banco de espuma. Se o tamanho do banco for muito pequeno a desestabilização será potencializada, resultando em um banco de espuma com maior mobilidade e portanto com uma razão de mobilidades desfavorável [17] . A estabilidade da espuma é uma característica muito importante neste método. Tipicamente a espuma sofre de adsorção pela matriz rochosa, decaimento ao longo do tempo e deterioração na presença de água e do óleo. Esta característica de estabilidade depende de vários parâmetros como, por exemplo, temperatura do meio, salinidade, molhabilidade e composição de óleo [13] . O tamanho da bolha de gás e a espessura da lamela é um indicativo da sua estabilidade. A figura 3 mostra espumas obtidas adicionando concentração de surfactante suficiente de tal forma a manter sua estabilidade na presença de óleo.

A física do processo de injeção de espuma e seu deslocamento no meio poroso é, em geral, bastante complexa. As bolhas de espuma tipicamente preenchem os poros da matriz rochosa. Estas bolhas tendem a se movimentar somente quando uma pressão maior do que a resistência oferecida pelo efeito capilar é aplicada, de tal forma a comprimir e deformar as bolhas obrigando‐as a se movimentar atravessando as gargantas. Em seguida, por sua vez, mais bolhas são geradas na nova pressão mais elevada, mas com o tamanho da bolha original [14]  and [15] .

Segundo Al‐Mossawy et al. [11] , a elaboração do projeto de injeção de espuma requer experimentos de laboratório e estudos abrangentes de simulação de reservatórios. Os parâmetros operacionais que devem ser investigados por experimentos de laboratório são a formulação e a concentração de surfactante, o gradiente de pressão necessário para estabilizar o fluxo de espuma, e uma estratégia de injeção preparada antes da injeção, podendo ser uma coinjeção de uma solução de surfactante e gás, ou uma injeção alternada de gás com uma solução de surfactante.

Outra aplicação importante da espuma é em processos de recuperação ambiental, como em aquíferos contaminados em que espuma desloca as substancias poluidoras por meio de um controle de razão de mobilidade. A espuma ainda pode ser utilizada para extinção de incêndios por meio da sua capacidade de agir como uma barreira entre o ar e o comburente [12] . Pode ainda ser utilizada em fluidos de perfuração, para lubrificar a broca e transportar cascalhos para a superfície de forma mais eficiente. A operação de perfuração utilizando espumas permite ainda que baixas pressões sejam aplicadas a formação, o qual é importante quando se perfura em reservatórios de baixa pressão [18] .

Neste trabalho não será modelado o detalhe da geração de espuma nem seu colapso. A espuma é tratada como sendo um marcador que pode ser transportado com o gás ou com a fase aquosa, tendo em conta sua adsorção na superfície da rocha e deterioração ao longo do tempo [14]  and [15] .

2. Modelo físico

Os fluidos envolvidos neste estudo são gás e espuma, como fluidos injetados, óleo e água do reservatório como fluidos deslocados. O modelo físico do reservatório considerado é o conhecido como ¼ de five‐spot , muito utilizado em malhas de drenagem em padrão repetido, com dimensões areal de 1.000 ft x 1.000 ft e espessura de 100 ft, que consiste de um poço injetor e um poço produtor, tal como representado esquematicamente na figura 4 . A injeção de gás no reservatório ocorre a uma vazão de 1.000 Mscf/d (1.000 pés cúbicos standard /dia) a uma profundidade de 8.400 ft, enquanto que a produção de óleo ocorre a uma vazão de 20.000 STB/d (stock tank barrel /dia), sendo a pressão de fluxo de fundo de poço de 1.000 psia na profundidade de 8.400 ft. O reservatório tridimensional é formado por 3 camadas na direção vertical z com espessuras e permeabilidades detalhados na tabela 1 . A pressão no instante da descoberta é 4.800 psi, a profundidade dos contatos gás/óleo e água/óleo são 8.200 e 8.500 ft, respectivamente, sendo a pressão capilar nos contatos nula (tabela 1 ).

Figura 4. Representação esquemática do reservatório 3 D.

Diversas informações referentes à permeabilidade relativa à água, permeabilidade relativa ao gás, permeabilidade relativa ao óleo‐água, propriedades PVT (Pressão‐Volume‐Temperatura) da água, propriedades PVT do gás seco, propriedades PVT do óleo vivo (com gás dissolvido), estão disponíveis em Fejoli [8] . A razão de solubilidade gás‐óleo é 1,27 Mscf/STB.

A compressibilidade da rocha é 3 x 10⁻⁶  psi⁻¹ ; as densidades do óleo, água e gás, em lb/ft³ são, respectivamente, 49,1, 64,79 e 0,06054 em condições de superfície. A variação da viscosidade com a pressão para um óleo pesado, intermediário e leve é apresentada na figura 5 , onde a viscosidade do óleo monofásico diminui com a depleção do reservatório até que, a partir da pressão de bolha é 4.000 psia, a viscosidade começa a aumentar, isso porque o gás dissolvido começa ser liberado deixando apenas os componentes mais pesados na fase líquida.

Figura 5. Variação da viscosidade com a pressão.

3. Modelo matemático

O modelo matemático trata das equações que governam o escoamento de fluidos no meio poroso. É a expressão dos fenômenos físicos a ser estudado em termos de equações matemáticas. Para o modelo, apresentado em coordenadas cartesianas tridimensionais, foram admitidas as seguintes hipóteses simplificadoras:

• escoamento moderadamente compressível (volume varia pouco com a pressão);
• regime transiente (reservatório considerado infinito no início da produção);
• fluidos viscosos;
• reservatório horizontal (forças gravitacionais desprezíveis);
• escoamento trifásico de óleo, água e gás (sem formação de emulsões);
• meio poroso homogêneo (propriedades físicas constantes em cada camada do reservatório) e isotrópico (propriedades físicas não variam com a direção nas camadas).

Com as hipóteses mencionadas o escoamento do óleo (o ) no meio poroso é governado pela seguinte equação

para o escoamento da água (w ) temos

e no caso do escoamento do gás (g )

sendo

em que, respectivamente A_(x,y,z) é a área normal à direção x , y ou z ; k_(x,y,z) é a permeabilidade na direção x , y ou z ; k_(ro ,_{rw ,rg)} é a permeabilidade relativa ao óleo, a água e ao gás; μ_(o,w,g) é a viscosidade do óleo, da água e do gás; B_(o,w,g) é o fator volume formação do óleo, da água e do gás; p_(o,w,g) é a pressão do óleo, da água e do gás; Δ(x,y,z) é a dimensão na direção x , y ou z ; V_b é o volume de controle;ϕ é a porosidade; S_(o,w,g) é a saturação do óleo, da água e do gás; q_(o,w,g)sc é a vazão do óleo, da água e do gás nas condições‐padrão (standard conditions [sc]); q_fgsc é a taxa de produção do gás livre nas condições‐padrão, e R_s é a razão de solubilidade gás/óleo.

Embora a espuma seja essencialmente uma mistura de gás, água e surfactante, na modelagem matemática considera‐se como uma concentração de surfactante transportada na fase gasosa ou na fase aquosa. Por tal motivo a concentração de espuma pode ser considerada como a concentração de surfactante em forma de espuma existente. Assim, sua distribuição no reservatório pode ser descrita de 2 formas, pela equação (5), que é a equação de conservação da espuma como traçador na fase gasosa com decomposição [14]  and [15]

ou pela equação (6), que é a equação de um traçador na fase aquosa com decomposição

onde C_f denota a concentração de espuma; ρ_w , ρ_g é a massa específica da água e do gás respectivamente; ρ_r é a densidade da rocha; ϕ   a porosidade; ∑ é a soma sobre as células vizinhas; ${\textstyle C_{f}^{a}}$ é a concentração de espuma adsorvida na rocha; μ_w , μ_g é a viscosidade de água e gás respectivamente; D_z é a profundidade do centro da célula; B_r , B_w , B_g é o fator volume de formação da rocha, água e gás respectivamente; T é a transmissibilidade; k_rw , k_rg é a permeabilidade relativa da água e gás respectivamente; S_w , S_g é a saturação da água e gás respectivamente; V é o volume poroso do bloco; Q_w , Q_g é a taxa de produção de água e gás respectivamente; p_w , p_g é a pressão da água e gás respectivamente; Λ é o parâmetro taxa de decaimento ou meia‐vida em função da saturação do óleo e da água; g é a aceleração da gravidade e M_rf é o fator de redução da mobilidade do gás devido à espuma, que é introduzido por meio de um simples multiplicador fornecido como uma função da concentração de espuma (C_f). Para este termo, 2 abordagens, denominadas de modelo tabular e modelo funcional, são apresentadas nas seções 3.1 e 3.2 [14]  and [15] .

Quando surfactante é adicionado na água, a geração de espuma depende do volume de água, que é calculado como ${\textstyle VS_{w}C_{f}/B_{r}B_{w}}$ . A espuma é afetada pela adsorção da rocha, a parcela do surfactante adsorvido é descrita por ${\textstyle V{\rho }_{r}C_{f}^{a}(1-}$${\displaystyle \phi )/\phi }$ . O gás que é transportado na forma de espuma é representado por ${\textstyle Q_{w}C_{f}}$ . Mesmo em condições favoráveis a efetividade da espuma diminui com o tempo e pode ser acelerada na presença de água ou óleo. Essa redução da efetividade da espuma é modelada pelo último termo do lado direito da equação (6), ${\textstyle \Lambda \left(S_{w},S_{o}\right)VC_{f}}$ , denominado decaimento da espuma.

Durante o processo de solução das equações, a concentração da espuma é atualizada ao final de um intervalo de tempo depois que os fluxos entre os blocos foram determinados.

3.1. Modelo tabular

Para o modelo tabular, o fator da redução da mobilidade do gás M_rf é expresso sob a forma das equações (7) e (8), e como mencionado, implementadas na equação (5)

em que M_v (V_g ) é o modificador de mobilidade devido à redução de velocidade do gás V_g ; M_c (C_f ) é o fator de redução da mobilidade do gás devido a concentração de espuma C_f ; M_p (p ) é o modificador de mobilidade devido a redução de pressão p .

A velocidade do gás é calculada de acordo com a equação (9)

onde F_g é a taxa de fluxo de gás em unidades de superfície; B_g é o fator volume de formação do gás; ϕ é a média de porosidade de 2 células e A é a área aberta ao fluxo entre 2 células.

Os modificadores de redução de mobilidade do gás, devido à pressão (M_p ) e a velocidade do gás (M_v ) também denominada de efeito de cisalhamento, tendem a aumentar a mobilidade do gás em comparação com a redução de mobilidade devido à concentração de espuma (M_c ).

3.2. Modelo funcional

Para o modelo funcional, o fator de redução de mobilidade M_rf é expresso pela equação (10) como sendo

onde M_r é o fator de referência de redução da mobilidade; F_s é o fator de redução da mobilidade devido a concentração do surfactante; F_w é o fator de redução de mobilidade devido a saturação de água; F_o é o fator de redução da mobilidade devido a saturação de óleo e F_c é o fator de redução de mobilidade devido a velocidade do gás.

A referência para o fator de redução da mobilidade M_r é normalmente da ordem de 5‐100 e corresponde à resistência normalizada de fluxo para um tamanho mínimo de bolha, que na ausência de fatores aumentariam seu tamanho.

Os fatores de redução de mobilidade podem ser opcionalmente omitidos ou especificados. No entanto, pelo menos um destes componentes deve ser considerado para que o fator de redução de mobilidade tenha efeito.

O fator de redução de mobilidade F_s representa a dependência da espuma com a concentração de surfactante efetiva C_s , sendo expressa na equação (11)

em que ${\textstyle C_{s}^{r}}$ é a concentração de surfactante de referência e e_s é um expoente que controla o grau de inclinação da transição em torno do ponto ${\textstyle C_{s}=}$${\displaystyle C_{s}^{r}}$ .

A importância do fator F_s é determinado pela concentração do agente surfactante de referência, a partir do qual a presença de surfactante torna‐se significativo na criação de espuma. Para concentrações baixas de surfactantes tais como ${\textstyle C_{s}<C_{s}^{r}}$ (espuma fraca), o valor de F_s é inferior a 1tendendo a 0 na medida que a concentração de agente surfactante diminui a valores muito pequenos próximos de 0. Por outro lado, para altas concentrações do surfactante, isto é, ${\textstyle C_{s}>C_{s}^{r}}$ (espuma forte), o valor de F_s será maior do que 1, crescendo com o aumento da concentração do agente surfactante.

O fator de redução de mobilidade F_w representa a dependência com a saturação de água S_w e é expressa pela equação (12)

onde f_w é o fator de ponderação que controla a alteração de mobilidade e ${\textstyle S_{w}^{l}}$ é a saturação de água limite abaixo do qual a espuma deixa de ser eficaz. Como os valores limites da função arcotangente são – π/2 e + π/2, pode‐se estabelecer que 0 < F_w < 1. Com F_w ≈ 0 e da equação (10) percebe‐se que a mobilidade do gás é elevada, portanto S_w deve ser o maior possível do que ${\textstyle S_{w}^{l}}$ .

O fator de redução de mobilidade F_o representa a dependência com a saturação do óleo S_o , sendo expressa pela equação (13)

o parâmetro do ${\textstyle S_{o}^{m}}$ é a saturação de óleo máxima acima do qual a espuma deixa de ser eficaz; e_o é um expoente que controla o grau de inclinação da transição em torno do ponto ${\textstyle S_{o}=}$${\displaystyle S_{o}^{m}}$ . De (13) pode‐se verificar que o valor máximo de F_o é 1 e ocorre quando S_o  =  0. Para ${\textstyle S_{o}<S_{o}^{m}}$ o valor de F_o diminui com o aumento da S_o , a taxa de diminuição é controlada pelo expoente e_o . Assim, quando ${\textstyle S_{o}>S_{o}^{m}}$ o valor de F_o será 0 e da equação (10) verifica‐se que M_rf resulta em 1, portanto não haverá qualquer efeito na redução da mobilidade de gás, independentemente de valores dos outros fatores multiplicativos.

O fator de redução de mobilidade F_c traduz a dependência com o número capilar N_c e pode ser representado mediante a equação (14)

onde ${\textstyle N_{c}^{r}}$ é o número capilar de referência e e_c é um expoente que controla o grau de inclinação da transição em torno do ponto ${\textstyle N_{c}=}$${\displaystyle N_{c}^{r}}$ . Este fator controla a mobilidade de gás para pseudoplasticidade na região de baixa qualidade de espuma. O número capilar é um parâmetro adimensional que fornece uma medida da razão entre forças viscosas e capilares, é calculado de acordo com a equação (15)

sendo k a permeabilidade absoluta; p a pressão e σ_wg a tensão interfacial água/gás. O termo ${\textstyle \left|k{\mbox{   }}{\mbox{grad}}p\right|}$ é obtido da equação (16) como

em que, para cada célula i com vizinho j , o produto k gradp é determinada na direção x de acordo com

e similarmente para as direções y e z . O termo k_x /Δ_x é calculado de uma maneira análoga à transmissibilidade e depende de como a geometria é especificada.

3.3. Condições iniciais e de contorno para a solução do sistema de equações

O modelo matemático exige condições iniciais e de contorno. Nesta simulação as condições iniciais necessárias são a pressão inicial do reservatório e a distribuição de saturações [19] .

Em grande parte dos estudos de simulação as condições iniciais são obtidas assumindo‐se equilíbrio inicial capilar/gravitacional. Neste modo de inicialização, a distribuição de pressões é obtida especificando‐se a pressão em um datum de referência e usando o gradiente dos fluidos para determinar as pressões em todas as demais profundidades. A distribuição inicial de saturações é então obtida através dos contatos dos fluidos e das relações de pressão capilar [19] .

As condições de contorno impostas em simulação de reservatórios podem ser bastante complexas visto que as equações diferenciais resolvidas pelo simulador necessitam que todas as fronteiras sejam especificadas. Isto inclui as fronteiras externas (limites do reservatório) e as fronteiras internas (poços de produção e injeção). Neste trabalho para as 4 fronteiras externas é assumido condição de contorno de Neumann, ou de segundo tipo, na pressão, isto é, gradiente de pressão nulo típico de escoamentos pseudopermanentes.

4. Modelagem numérica

Em geral, é muito difícil encontrar expressões matemáticas que sejam soluções para as equações de fluxo em meio poroso apresentadas anteriormente sem a exigência de fortes hipóteses simplificadoras. Dentre os motivos para isto podem ser mencionados: não linearidade das equações diferenciais, reservatórios com geometrias complexas e condições de contorno muito específicas. Uma saída bastante efetiva para este problema é a solução numérica das equações por meio da aplicação de métodos numéricos nas equações diferenciais e do uso de computadores para resolver as equações discretizadas. O modelo numérico é a discretização do conjunto de equações que representam o modelo matemático. Esta discretização consiste na transformação das equações diferenciais parciais, contínuas no espaço e no tempo, em equações algébricas válidas apenas em determinados pontos discretos. A solução deste sistema matricial resultante, mediante procedimentos de álgebra linear computacional, resulta em uma aproximação para o modelo matemático proposto.

Na indústria do petróleo, assim como em diversas áreas da ciência, esta metodologia é adotada sendo aprimorada para implementação nos simuladores comerciais como é o caso do Eclipse^® , software utilizado neste trabalho. Recursos computacionais avançados, principalmente de computação gráfica, são incorporados para facilitar o pós‐processamento.

O reservatório tridimensional é dividido em unidades discretas em forma de paralelepípedo tal como mostrado em coordenadas cartesianas na figura 6 , onde são inseridas as propriedades do sistema rocha‐fluido. Uma breve discussão sobre a escolha do nível de refinamento é apresentada na subseção 4.3. As equações do modelo matemático são aplicadas, então, para cada bloco do reservatório [20] .

Figura 6. Representação discretizada do problema abordado (malha de 10 x 10 x 3 elementos).

Para o escoamento tridimensional, uma malha de blocos centrados é construída conforme a figura 7 , que consiste de um elemento principal central com 6 elementos vizinhos denominados leste, oeste, norte, sul, frontal e posterior. Os pontos onde as pressões são calculadas encontram‐se no centro destes elementos. Na direção x as fronteiras do bloco i são designadas por i  + 1/2 e i  ‐ 1/2 e o seu centro é designado por x_i , y_i , z_i ; a notação em 3 dimensões segue este padrão [19] . Associando com a figura 6 os contadores assumem os seguintes valores i  = 1,..., 10; j  = 1,..,10 e k  = 1, 2, 3. Os poços injetor e produtor estão localizados, respectivamente, nas coordenadas i  = 1 e j  = 1, e i  = 10 e j  = 10.

Figura 7. Visualização 1 D, 2 D e 3 D do elemento principal e seus 6 vizinhos.

Utilizando o elemento 3 D é apresentada a discretização das equações que governam o escoamento de óleo (o ), água (w ) e gás (g), equações (1), (2) e (3), no reservatório.

É apresentado detalhadamente o processo de discretização da equação (1) para o óleo. Nesta equação, as derivadas do lado esquerdo são reescritas através do uso da aproximação central de diferenças finitas como sendo

substituindo estas expressões e reorganizando, a equação (1) resulta em

utilizando novamente a aproximação central por diferenças finitas para as derivadas ${\textstyle {\frac {\partial p}{\partial x}},{\frac {\partial p}{\partial y}}{\mbox{ }}e{\mbox{ }}{\frac {\partial p}{\partial z}}}$ tem‐se

A derivada temporal do lado direito da equação (21) é discretizada por diferenças finitas avaliando a expressão nos instantes de tempo desconhecido (n +1) e conhecido (n ), resultando em

Substituindo as equações (22) a (28) na equacão (21) e utilizando a abordagem implícita, em que as pressões dos pontos nodais são avaliadas no instante de tempo desconhecido (n +1), tem‐se