Latest revision as of 17:45, 19 November 2024

1 Introducción

Junto al cerebro y el corazón, el riñón es un órgano fundamental en el sistema cardiovascular, ya que recibe aproximadamente el 20% de la sangre que el corazón expulsa hacia el organismo, en cada latido. Entre sus principales funciones se encuentran: regular la presión arterial, eliminar los desechos tóxicos a través de la orina y producir la hormona que estimula la formación de los glóbulos rojos [5].

Cuando no hay un funcionamiento adecuado del riñón, pueden presentarse enfermedades renales de diversas formas, desde infecciones y cálculos renales hasta enfermedades crónicas como la nefropatía diabética y la enfermedad renal crónica (ERC). Estas generan un problema de salud cada vez más importante a nivel global, afectando no solo la vida de los pacientes, sino también generando una carga significativa para los sistemas de salud debido a su alta prevalencia y costos asociados.

Por otra parte, los modelos hemodinámicos renales proporcionan una comprensión profunda sobre los patrones y comportamientos del flujo sanguíneo renal, lo que puede permitir detectar anomalías y disfunciones que de otra manera podrían pasar desapercibidas. Asimismo contribuyen a tener una perspectiva global e integral del problema, lo que coadyuva a avanzar en el diagnóstico, tratamiento y prevención de las afecciones renales.

Ahora bien, el torrente sanguíneo arrastra una gran cantidad de sustancias, muchas de la cuales entran al riñón y alguna proporción de estas pasa a formar parte de la orina. Sin embargo, la mayoría de los modelos nefrológicos consideran solo la concentración de una sustancia [7]. Estos modelos se han utilizado con fines terapéuticos o tratamiento de enfermedades vía control (cantidad de medicamentos) [1], y también con fines de diseño de riñones artificiales. En general el modelado del proceso de hemodiálisis se basa en ecuaciones cinético-hemodinámicas [3] o ecuaciones cinético-matemáticas [2].

Figura 1: Esquema de las etapas de la formación de la orina en la nefrona [7].

En este contexto, el propósito de este trabajo es analizar la hemodinámica renal modelando matemáticamente los procesos básicos de la producción de la orina, siguiendo las ideas expuestas en [7]. Para esto se asumen varias cosas: que el tejido renal es homogéneo, que ciertos parámetros fisiológicos son constantes y que la anatomía del riñón es simple. Además, se supone que el flujo sanguíneo es uniforme, se simplifican las interacciones químicas y se asume la ausencia de patologías. Con estos supuestos, el modelo resultante se puede resolver al menos numéricamente. En su mayoría este trabajo es expositivo, aunque se complementa con el desarrollo de los detalles que justifican las afirmaciones, y con los resultados de las simulaciones propias respectivas que no están en el artículo. El modelo que se considera está formado por: i) una EDO de primer orden con dos condiciones de frontera (el valor de una de ellas es también desconocido y debe determinarse como parte del modelo), ii) una EDP con una condición de frontera y su respectiva condición inicial, y iii) 8 EDOs adicionales con sus respectivas condiciones iniciales.

2 Formulación del modelo

La principal unidad operativa del riñón se llama nefrona, de la que hay aproximadamente un millón en cada riñón y cada nefrona es capaz de formar orina por sí misma. Es en esta donde se llevan acabo las 3 etapas para la producción de la orina (ver figura 1). En la primer etapa, la etapa de filtración glomerular, el glomérulo filtra el agua y otras sustancias del torrente sanguíneo.

Cada nefrona tiene un glomérulo cuya función es un filtrado inicial de la sangre. El glomérulo consta de una red de capilares envuelto por la cápsula de Bowman (una estructura en forma de copa). La presión arterial de la sangre en los capilares empuja el agua y los solutos pequeños hacia la cápsula de Bowman, a través de una membrana de filtrado. Con esto inicia el proceso de formación de la orina [7]. Aproximadamente el 20% de la sangre que entra a la nefrona, se filtra hacia la cápsula de Bowman. Tanto las plaquetas como las proteínas plasmáticas y células sanguíneas son demasiado grandes para pasar por el filtro, por lo que éstas continúan por la arteriola eferente, formando el 80% del líquido que no se filtró [5].

2.1 Modelo para la filtración glomerular.

Para modelar matemáticamente la dinámica del filtrado glomerular [7], suponemos que los capilares glomerulares se distribuyen en una región en forma de un tubo unidimensional con flujo ${\textstyle q_{1}}$ y que la cápsula de Bowman que lo rodea también tienen la misma forma y flujo ${\textstyle q_{2}}$ (ver figura 2). Suponemos que el filtrado glomerular se da a través de una pared capilar de logitud ${\textstyle L}$ (linea punteada de la figura 2). Dado que el flujo a través de los capilares glomerulares es proporcional a la diferencia de presión a través de la pared capilar, el modelo para la filtración glomerular es

Figura 2: Modelo tubular del glomérulo [7].

junto con las relaciones

donde

• ${\textstyle P_{1}}$ y ${\textstyle P_{2}}$ son las presiones hidrostáticas del fluido en los tubos 1 y 2 respectivamente (como se muestra en la figura 2, donde el tubo 1 esta en rojo y el tubo 2 en verde) y satisfacen las relaciones (2),(3), (4), donde ${\textstyle P_{i}}$ representa las presiones, ${\textstyle R_{i}}$ las resistencias y ${\textstyle Q_{i}}$ los flujos. Aquí, ${\textstyle i=a,e,d}$ y ${\textstyle a}$ hace referencia a la arteriola aferente, ${\textstyle e}$ hace referencia a la arteriola eferente y ${\textstyle d}$ hace referencia al túbulo descendente. ${\textstyle Q_{i}}$ denota el flujo de entrada, es decir el flujo en ${\textstyle x=0}$. ${\textstyle Q_{i}}$ y ${\textstyle Q_{e}}$ son ambas desconocidas y deben determinarse. Esto hace que este problema esté bien definido y sea no trivial.
• ${\textstyle K_{f}}$ es la tasa de filtración capilar.
• ${\textstyle \pi _{i}}$ es la presión osmótica tanto de las proteínas suspendidas como de otras sustancias de alto peso molecular y depende de ${\textstyle q_{1}}$.

2.1.1 Solución del modelo para la filtración glomerular.

2.1.1.1 Solución analítica implícita

Con unas simplificaciones algebraicas, la EDO en (1) se puede resolver por el método de separación de variables. La solución está definida implícitamente por

Usando la condición inicial ${\textstyle q_{1}(0)=Q_{i}}$ y la condición final ${\textstyle q_{1}(L)=Q_{e},}$ determinamos la constante de integración ${\textstyle C.}$ Usando propiedades de logaritmo y haciendo algunas manipulaciones algebraicas (ver [6]), se llega a la siguiente expresión

donde ${\textstyle \alpha ={\frac {\pi _{i}}{(P_{1}-P_{2})}}.}$

En resumen, hasta ahora tenemos la solución implícita para ${\textstyle q_{1}}$ dada por (5) y la de ${\textstyle Q_{e},Q_{i}}$ dada por (6) y además tenemos la relación ${\textstyle Q_{i}=Q_{e}+Q_{d}}$. Así que si damos un valor para ${\textstyle Q_{d}}$ podemos resolver (6) para ${\textstyle Q_{e}}$ y obtener ${\textstyle Q_{i}}$ o de igual forma resolver (6) para ${\textstyle Q_{i}}$ y obtener ${\textstyle Q_{e}}$. También obtenemos ${\textstyle P_{a}}$, vía la relación (2).

Aún con esto no podemos obtener una formula explícita para ${\textstyle q_{1}}$ pero sí podemos resolver numéricamente, como lo explicaremos en la siguiente sección.

2.1.1.2 Solución numérica

Los valores típicos de los parámetros son ${\textstyle P_{1}=60,P_{2}=18,P_{a}=100,P_{e}=18,P_{d}=14-18,\pi _{i}=25mmHg}$, con ${\textstyle Q_{i}=650,Q_{d}=Q_{i}-Q_{e}=125ml/min.}$ Estos valores corresponden a una dinámica estacionaria del riñón, donde los parámetros permanecen constantes. La solución del modelo con estos parámetros se ilustra en la figura 3 (izquierda) para ${\textstyle q_{1}}$ obtenida cuando ${\textstyle Q_{d}=125,}$ que se obtuvo dandole valor a ${\textstyle Q_{d}}$, a las resistencias ${\textstyle R_{a},R_{e}}$ y a las presiones ${\textstyle P_{e},P_{d}}$ y ${\textstyle \pi _{i}}$ especificadas y fijadas en niveles típicos. Con esto, resolvemos (6) para ${\textstyle Q_{i}}$ (utilizando un simple algoritmo de bisección) y ${\textstyle Q_{e},}$ a partir de ello, las presiones correspondientes ${\textstyle P_{1},P_{2},P_{a}}$ se determinan con ayuda de (2)-(4). Con los valores de ${\textstyle Q_{e}}$ y ${\textstyle Q_{i}}$ podemos darle solución la ecuación (5) por medio de bisección para encontrar a ${\textstyle q_{1}}$ o bien aplicar un método como Runge Kutta para problemas de valor inicial.

Si quisiéramos estudiar el funcionamiento del riñón en estado no estacionario, por ejemplo, en una situación donde variara la presión de la arteria aferente ${\textstyle P_{a}}$ entonces esto haría variar todos los demás parámetros. Los flujos y las presiones varían en función de la presión arterial. Para entender algo de esta variación, se dan valores para ${\textstyle Q_{d}}$ y para cada una de ellas se hace el procedimiento explicado anteriormente, obteniendo a ${\textstyle Q_{i},Q_{e},P_{1},P_{2},P_{a}}$ correspondientes a cada ${\textstyle Q_{d}}$ y se grafican (como se muestran en la figura 3 derecha) la tasa de flujo sanguíneo renal ${\textstyle Q_{i}}$ y la tasa de flujo de filtración glomerular ${\textstyle Q_{e}}$ como funciones de la presión arterial ${\textstyle P_{a}}$. Observamos que tanto ${\textstyle Q_{i}}$ como ${\textstyle Q_{d}}$ crecen linealmente con respecto a ${\textstyle P_{a}}$. Sin embargo, en la realidad (según los datos mostrados en la figura 4), la tasa de filtración glomerular permanece relativamente constante incluso cuando la presión arterial varía entre 75 y 160 mmHg, lo que sugiere que existe cierta autorregulación en la tasa de filtración y por tanto en las tasas de flujo ${\textstyle Q_{i}.}$ Este fenómeno lo estudiaremos en la siguiente sección.

(3) Gráfica de la Curva ${\displaystyle q_{1}(x)}$ correspondiente a ${\displaystyle Q_{d}=125}$. Para este caso, ${\displaystyle Q_{i}=652.1}$ y ${\displaystyle Q_{e}=527.1}$, ${\displaystyle x\in [0,L]}$ (izquierda). Gráficas de ${\displaystyle {\frac {Q_{i}}{5}}}$ y ${\displaystyle Q_{d}}$ contra ${\displaystyle P_{a}}$ (derecha).

Figura 4: Gráficas reales del flujo sanguíneo renal con autorregulación y de la tasa de filtración glomerular [7].

2.2 Autorregulación

En la segunda etapa, que es la reabsorción, algunos nutrientes y agua del líquido filtrado que fluye por el túbulo renal se reincorporan al torrente sanguíneo (capilares peritubulares). Lo que retorna son grandes cantidades de: aminoácidos, vitaminas, agua, glucosa, parte de la urea, los iones ${\textstyle K^{+}}$, ${\textstyle Na^{+}}$, ${\textstyle NaHCO_{3}}$ (bicarbonato), ${\textstyle Cl^{-}}$, ${\textstyle HPO_{4}}$ (fosfato).

Por lo que se concluyó en la sección anterior, es claro que el riñón necesita regular la tasa de filtración glomerular. La función principal del túbulo ascendente grueso es bombear iones de sodio ${\textstyle Na^{+}}$ fuera de éste hacia el espacio intersticial, siendo casi totalmente impermeable al agua. Si la velocidad de flujo es lenta a través del túbulo, habrá una mayor reabsorción y una concentración de ${\textstyle Cl^{-}}$ baja al final del túbulo que esta conectado con la mácula densa y el glomérulo. Por otro lado, cuando la velocidad de flujo es alta, hay una baja reabsorción y se produce una mayor concentración de ${\textstyle Na^{+}}$ y ${\textstyle Cl^{-}}$ en la mácula densa. Esto se resume en la tabla 1.

Para normalizar el flujo del túbulo ascendente ya sea porque este sea lento o rápido, las células de la mácula densa responden a la disminución de la concentración de NaCl (a través de un mecanismo no completamente conocido) liberando un vasodilatador que aumenta o disminuye la resistencia de las arteriolas aferentes. En el caso 1, es decir cuando el flujo es lento, las células yuxtaglomerulares liberan renina, una enzima que promueve la formación de angiotensina II, la cual constriñe las arteriolas eferentes. Esto resulta en un aumento simultáneo del flujo de filtrado a través del glomérulo. En cambio, en el caso 2, cuando el flujo es rápido, la concentración de NaCl en la mácula densa aumenta, se disminuye la resistencia de la arteriola aferente y aumenta la resistencia de la arteriola eferente, lo que disminuye la tasa de filtración y el flujo a lo largo del túbulo. Esto se resume en la tabla 2.

2.2.1 Modelado de la concentración de ${\textstyle Cl^{-}}$ para la autorregulación2.2.1 Modelado de la concentración de C l − {\textstyle Cl^{-}} para la autorregulación

Un modelo sencillo de las oscilaciones tubuloglomerulares [7], se centra en el papel de la concentración de cloruro en la rama ascendente gruesa. Para modelar matemáticamente esta dinámica, suponemos que la rama ascendente gruesa tiene forma de un tubo unidimensional de longitud ${\textstyle L}$ y radio constante, a través del cual el ${\textstyle Cl^{-}}$ es transportado y al mismo tiempo bombeado a través de las paredes del túbulo (es el ${\textstyle Na^{+}}$ el que se elimina activamente, pero como el ${\textstyle Cl^{-}}$ sigue pasivamente, el efecto es el mismo).

Supondremos que la concentración de cloruro es uniforme en cada sección transversal. Si usamos una coordenada ${\textstyle y}$ para describir cada sección transversal del túbulo y dado los supuestos que hemos mencionado, denotamos por ${\textstyle C(y,\tau )}$ la concentración de ${\textstyle Cl^{-}}$ en la sección transversal asociada con ${\textstyle y}$ en el momento ${\textstyle \tau }$ y modelamos esa concentración con la siguiente ecuación diferencial parcial de transporte

donde ${\textstyle R(C)}$ representa la tasa de eliminación de ${\textstyle Cl^{-}}$ del tubo mediante el bombeo de ${\textstyle Na^{+}}$ y ${\textstyle \phi {\frac {\partial C}{\partial y}}}$ la tasa de cloro que pasa a través de cada sección transversal. Consideramos las expresiones siguientes

con ${\textstyle \alpha }$ constante, ${\textstyle F_{\delta }}$ una diferencia de presiones, ${\textstyle F_{o}}$ el flujo de referencia de una persona normal y ${\textstyle {\overline {C}}}$ la concentración de ${\textstyle Cl^{-}}$ para la cual ${\textstyle \phi }$ tiene un punto de inflexión, constante. A esta ecuación de transporte le asociamos la condición inicial ${\textstyle C(0,\tau )=C_{0}\equiv cte}$.

2.2.2 Análisis cualitativo de la solución del modelo para la autorregulación

Introducimos el cambio de variable ${\textstyle y=Lx,\tau ={\frac {L}{F_{o}}}t,C(y,\tau )=C_{0}c(x,t)}$ y definimos ${\textstyle {\overline {\tau }}={\frac {L}{F_{o}}}{\overline {t}},K_{1}={\frac {F_{\delta }}{F_{o}}},K_{2}=C_{0},\Omega =(0,1)\times (0,T)}$ donde ${\textstyle {\overline {t}}}$ es el periodo de retardo adimensional.

De donde obtenemos la ecuación diferencial parcial retardada

con ${\textstyle F(c)=1+K_{1}\tanh(K_{2}({\overline {c}}-c))}$ y ${\textstyle \mu =r_{c}{\frac {L}{F_{o}}}}$. Para iniciar el estudio de la ecuación (8), vamos a obtener las soluciones en estado estacionario. Es decir le daremos solución a la ecuación

con ${\textstyle s(0)=1}$. Claramente la solución de esta ecuación es

con ${\textstyle k={\frac {\mu }{F(s(1))}}}$. El valor de ${\textstyle k}$ debe ser determinado y tomando en cuenta que ${\textstyle s(1)=e^{-k},}$ el valor de ${\textstyle k}$ debe satisfacer

Dado que ${\textstyle F}$ es una función decreciente de ${\textstyle c}$ ya que ${\textstyle F'(c)<0,}$ así existe un único valor de ${\textstyle k}$ para el cual se cumple (11) y por tanto, una solución única en estado estacionario.

Al analizar la estabilidad de ${\textstyle s(x)}$ se presentan oscilaciones en la concentración de ${\textstyle Cl^{-}}$ de la mácula densa, y por tanto en las demás variables como la tasa de flujo y la presión glomerular, estas podrían ser explicadas por un mecanismo similar al de una bifurcación de Hopf. En este mecanismo, existen algunos parámetros que dentro de un rango producen soluciones oscilatorias que convergen al estado estacionario, mientras que para otro rango de valores de los parámetros resultan soluciones que oscilan sin acercarse, alrededor del estado estacionario. Podemos encontrar más sobre esto en [6].

2.2.3 Solución numérica de la concentración de ${\textstyle Cl^{-}}$ a través del tiempo2.2.3 Solución numérica de la concentración de C l − {\textstyle Cl^{-}} a través del tiempo

Se realizó un programa para aproximar numéricamente la solución del problema (8). Para ello realizamos los siguientes pasos:

1. Discretizamos en ${\textstyle (M+1)\times (N+1)}$ nodos ((${\textstyle M\times N}$) rectángulos) a ${\textstyle \Omega }$. Para esto, consideramos una partición ${\textstyle x_{j}}$ en ${\textstyle x}$, donde

${\displaystyle {\begin{array}{ll}hx=1/M,\\x_{j}=j*hx,\quad j=0,1,...,M,\\x_{0}=0,x_{M}=1,\end{array}}}$

y una partición ${\textstyle t_{i}}$ en ${\textstyle t}$, donde

${\displaystyle {\begin{array}{ll}ht=T/N,\\t_{i}=i*ht,\quad i=0,1,...,N,\\t_{0}=0,t_{N}=T.\end{array}}}$

De lo anterior se tiene como resultado una malla con nodos o vértices ${\textstyle n_{ij}=(x_{j},t_{i})}$. Para cálculos posteriores necesitamos enumerar cada nodo ${\textstyle n_{ij}=(x_{j},t_{i})}$ y esta numeración se hará recorriendo las rectas horizontales de abajo hacia arriba y los nodos en cada recta horizontal recorridos de izquierda a derecha, numerando cada intersección entre ellas. Al nodo ${\textstyle n_{ij}}$ se le asocia el numero de nodo ${\textstyle k=(i-1)M+j,j=1,..,N}$ e ${\textstyle i=1,..,N.}$ Esto se muestra en la figura 5.

Figura 5: Resultado del paso 1: Malla computacional.

2. Construimos una aproximación ${\textstyle c_{ij}}$ para ${\textstyle c(x_{j},t_{i})}$, es decir, para la solución en cada nodo ${\textstyle n_{ij}=(x_{j},t_{i})}$. De acuedo a las condiciones de frontera para toda ${\textstyle t}$ conocemos el valor de la función en ${\textstyle x=0,}$ entonces simplemente le asignamos a los nodos con esta característica el valor 1. Para todos los demás nodos se aproxima la solución mediante el método de Euler explícito, que se resume en el siguiente esquema

   ${\displaystyle c_{ij}=\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)c_{(i-1)j}+{\frac {s}{\rho }}c_{(i-1)(j-1)},}$

   (12)

para ${\textstyle i=1,2,...,N}$ y ${\textstyle j=1,2,...,M}$ con ${\textstyle \rho =(1/Nx)/(T/Nt)}$ y ${\textstyle s=F(c(1,t_{i}-{\overline {t}}))=F(c_{(i-itg)M}),}$ donde ${\textstyle itg}$ es la parte entera de ${\textstyle {\frac {\overline {t}}{Nt}}}$.

3. Finalmente construimos una función ${\textstyle {\overline {c}}}$ continua por pedazos, a partir de los valores de aproximación obtenidos en lo anterior. Esta función será la aproximación numérica de la solución para la ecuación (8) y graficándola obtenemos gráficas dadas en las figuras 6 y 7 .

Dado el dominio ${\textstyle \Omega =(0,1)\times (0,T),}$ con ${\textstyle F(z)=1+k_{1}tanh(k_{2}({\overline {c}}-z))}$ y los valores típicos de los parámetros ${\textstyle K_{1}=1,K_{2}=10,{\overline {c}}=e^{(-0.91)},\mu =0.5,}$ con las ideas anteriores, hicimos un programa para encontrar las soluciones numéricas de la concentración de ${\textstyle Cl^{-}}$ a través del tiempo y con los datos siguientes para el caso estable ${\textstyle \gamma =0.1223,{\overline {t}}=0.2,{\frac {k}{\mu }}=1,}$ (ver figura 6) y para el caso inestable ${\textstyle \gamma =3.1787,{\overline {t}}=0.2,{\frac {k}{\mu }}=1}$ (ver figura 7). La concentración de ${\textstyle Cl^{-}}$ se representa en unidades adimensionales y la concentración al inicio de la rama ascendente gruesa es 1. La variable ${\textstyle t}$ también es adimensional; para obtener segundos se debe multiplicar por 15.5 .

Una vez obtenida la concentración de ${\textstyle Cl^{-}}$ como función global es decir la superficie obtenida para cada ${\textstyle x}$ y ${\textstyle t,}$ para nuestros propósitos la grafíca de la concentración de ${\textstyle Cl^{-}}$ que nos interesa es cuando estamos al final del asa ascendente de Henle, es decir en este caso para ${\textstyle x=1,}$ gráficas a la derecha en las figuras 6 y 7. Esta será la concentración (en ${\textstyle x=1}$) que vamos a monitorear para saber cuál debe ser la cantidad de flujo en la filtración glomerular ${\textstyle Q_{d}}$ (la variable ${\textstyle Q_{d}}$ es adimensional, para hacerla dimensional se debe multiplicar por ${\textstyle F_{o}=10}$). Si se da que en cierto tiempo ${\textstyle c(1,t)>>s(1),}$ se tendría que acelerar el flujo, al contrario, si en cierto tiempo se da que ${\textstyle c(1,t)<<s(1)}$ se tendría que disminuir el flujo. Esto se hace modificando las resistencias de las arteriolas aferente y eferente, lo cual tienen como efecto la modificación respectiva de la presión, del flujo y de la concentración. A este efecto le llamamos autorregulación.

(6) Caso estable de las soluciones oscilatorias del modelo de la concentración de ${\displaystyle Cl^{-}}$ para la autorregulación, a la izquierda la superficie de la concentración de ${\displaystyle Cl^{-}}$ para cada ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle t}$, a la derecha la curva que pertenece a ${\displaystyle x=1}$ para toda ${\displaystyle t}$.

(7) Caso inestable de las soluciones oscilatorias del modelo de la concentración de ${\displaystyle Cl^{-}}$ para la autorregulación, a la izquierda la superficie de la concentración de ${\displaystyle Cl^{-}}$ para cada ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle t}$, a la derecha la curva que pertenece a ${\displaystyle x=1}$ para toda ${\displaystyle t}$.

Figura 8: Grafica del flujo ${\displaystyle Q_{d}}$ con el proceso de autorregulación.

2.3 Modelado de la reabsorción y la secreción

En esta etapa de secreción, se eliminan sustancias no deseadas hacia los túbulos renales, funcionando como un proceso inverso a la secreción. En la nefrona, el fluido dentro del asa de Henle fluye en direcciones opuestas en los segmentos ascendente y descendente, lo que permite la creación de un gradiente osmótico en la médula renal. Este gradiente facilita la reabsorción de agua. Además, debido a la conexión en el extremo inferior del asa de Henle, el flujo y la concentración de solutos que salen del tubo descendente deben coincidir con los que entran en el tubo ascendente.

Siguiendo a [7], consideramos que el asa de Henle consta de cuatro compartimentos: tres túbulos (rama descendente, rama ascendente y conducto colector (túbulo amarillo en la figura 1)) y un compartimento único para el intersticio y los capilares peritubulares (túbulo rojo en la figura 1). El lecho intersticial/capilar se trata como un tubo unidimensional que recibe líquido de los otros tres túbulos y lo entrega a las vénulas. En cada uno de estos compartimentos, seguimos el flujo de agua y la concentración de solutos.

Suponemos que el flujo en cada uno de los tubos sigue un patrón simple (positivo en la dirección ${\textstyle x}$ positiva), con tasas de flujo ${\textstyle q_{d},q_{a},q_{c},q_{s}}$ para los túbulos descendentes, ascendentes, colectores y los túbulos intersticiales, respectivamente. De igual manera, la concentración de soluto en cada uno de estos se representa como ${\textstyle c_{d},c_{a},c_{c},c_{s}}$. Se considera que los túbulos son unidimensionales, con el flujo del filtrado glomerular ingresando a la rama descendente en ${\textstyle x=0}$, pasando de la rama descendente a la ascendente en ${\textstyle x=L}$, dirigiéndose desde la rama ascendente al conducto colector en ${\textstyle x=0}$, y finalmente saliendo del conducto colector en ${\textstyle x=L}$. Se asume que el intersticio/compartimento capilar se vacía en ${\textstyle x=0}$, y que no hay flujo en ${\textstyle x=L}$. Para una mejor comprensión de lo anterior, ver figura 9.

Figura 9: Diagrama del modelo de cuatro compartimentos del asa de Henle [7].

El sistema de ecuaciones que resultan en nuestra modelación de la actividad en el asa de Henle es:

2.3.1 Solución del modelo para la reabsorción y secreción

Con fines de simplificar la descripción de la solución del modelo, haremos una adimensionalización al sistema de ecuaciones (13), normalizando los flujos y las concentraciones de solutos, con

y los parámetros adimensionales ${\textstyle \rho _{j}={\frac {q_{d}(0)}{2LRT_{c}d(0)k_{j}}},\Delta P_{j}={\frac {P_{j}+\pi _{s}-P_{s}}{RT2c_{d}(0)}},H_{j}={\frac {Lhj}{q_{d}(0)}},j=d,c.}$

La versión adimensional de (13) es

La ecuaciones (14)- (21) tienen las siguientes soluciones implícitas, respectivamente

La solución implícita del modelo de 8 ecuaciones (14)- (21) dice que si conocemos ${\textstyle Q_{d}(y),}$ entonces ${\textstyle C_{d}}$ está determinada, ${\textstyle Q_{a}(y)}$ está determinada si conocemos ${\textstyle Q_{a}}$ y ${\textstyle C_{a}(y),}$ si conocemos ${\textstyle Q_{a},}$ ${\textstyle Q_{c}(y),}$ entonces ${\textstyle C_{c}}$ está determinada y finalmente si conocemos ${\textstyle Q_{d},Q_{a},Q_{c},}$ entonces ${\textstyle Q_{s}}$ y ${\textstyle C_{s}}$ están determinadas. En resumen si ${\textstyle Q_{d}}$ y ${\textstyle Q_{c}}$ están determinadas, las seis ecuaciones diferenciales restantes (15), (16),(17),(19),(20) y (21) tienen solución y por lo tanto el sistema original de ocho ecuaciones estaría resuelto. Así que lo que hace falta es resolver el siguiente sistema de dos ecuaciones de primer orden en dos incógnitas.

donde ${\textstyle C_{c},C_{s}}$ y ${\textstyle C_{d}}$ son funciones de ${\textstyle Q_{d}}$ y ${\textstyle Q_{c}}$. Aunque hay tres condiciones iniciales para dos ecuaciones de primer orden, el número ${\textstyle Q_{a}}$ también es desconocido, por lo que este problema está bien planteado. Con esto observamos que la solución del modelo completo de 8 ecuaciones se reduce a resolver el modelo de ${\textstyle 2\times 2}$ que en general es difícil de resolver tanto analítica como numéricamente.

En las siguientes secciones estudiaremos un poco del comportamiento de la solución de esta ecuación, considerando un caso particular o un caso límite que es cuando se considera ausencia de ADH en la formación de orina.

2.3.2 Solución del modelo en ausencia de ADH y de aldosterona

La hormona antidiurética (ADH) regula la permeabilidad al agua en los riñones, mientras que la aldosterona controla la permeabilidad al sodio. La falta de ADH, como en la diabetes insípida central, provoca la producción de grandes cantidades de orina diluida. La aldosterona, producida en la corteza suprarrenal, modula la cantidad de canales de sodio y la actividad de la ATPasa ${\textstyle Na+/K+}$, afectando la eliminación de sodio y potasio. Desórdenes como la enfermedad de Addison o el síndrome de Conn ilustran desequilibrios causados por niveles anormales de aldosterona. Vamos a considerar un caso en particular, suponemos que no hay ADH presente, entonces ${\textstyle \rho _{c}=\infty }$ y que no hay aldosterona presente, ${\textstyle H_{c}=0}$. En este caso se deduce que

En otras palabras, no hay pérdida de agua o de ${\textstyle Na^{+}}$ en el conducto colector por lo que la ecuación para ${\textstyle Q_{c},}$ (31) ha sido reducida a una ecuación algebraica. Por lo que ahora, queda por determinar lo que ocurre en los túbulos descendente y ascendente. El flujo se rige por las siguientes ecuaciones

con ${\textstyle f(Q_{d},Q_{a},y)=C_{d}-C_{s}-\Delta P_{d}.}$ De las ecuaciones (22) y (27) se deduce que

Con ${\textstyle Q_{a}}$ constante ya que el miembro ascendente es impermeable al agua y ${\textstyle C_{a}}$ una función linealmente decreciente de ${\textstyle y}$.

Observamos que el problema (32), tiene asociadas dos condiciones de frontera, pero una de ellas está en términos de un parámetro desconocido ${\textstyle Q_{a},}$ que se debe determinar como parte del problema.

En el caso que nos ocupa (ausencia de ADH), adicionalmente consideraremos que el túbulo descendente sea bastante permeable al agua. Lo cual implicaría que debemos tomar ${\textstyle \rho _{d}}$ pequeño en el problema (32). Pero entonces, la ecuación diferencial (32) es difícil de resolver tanto analítica como numéricamente ya que resulta ser singular. Dado que ${\textstyle Q_{d}}$ es diferenciable e invertible, por el teorema de la función inversa, podemos resolver este problema buscando una solución en la forma ${\textstyle y=y(Q_{d},\rho _{d})}$ que satisface la ecuación diferencial

Para resolver este problema buscamos ${\textstyle y}$ en función de ${\textstyle Q_{d}}$ como serie de potencias de ${\textstyle \rho _{d}.}$

sustituyendo en (33), igualando y expandiendo en potencias de ${\textstyle \rho _{d},}$ se tiene que

Ahora determinamos ${\textstyle Q_{a}}$ haciendo ${\textstyle y=0,Q_{d}=1}$ en (35), y despejando ${\textstyle Q_{a}}$ para determinarla, obteniendo

Ahora podemos graficar ${\textstyle y}$ en función de ${\textstyle Q_{d}}$ y girar los ejes para ver ${\textstyle Q_{d}}$ en función de ${\textstyle y}$. Esto se representa en las figuras 10. Una vez que se determina ${\textstyle Q_{d}}$ en función de ${\textstyle y}$, podemos graficar la concentración ${\textstyle C_{d}}$ en función de ${\textstyle y}$, dada en la figura 11.

Figura 10: Curva del flujo ${\displaystyle Q_{d}}$ (izquierda) y la curva de la función ${\displaystyle y}$ (derecha) con los valores de los parámetros con los valores de los parámetros: ${\displaystyle P=0.09,\Delta P_{d}=0.15,H_{d}=0.1,\rho _{d}=0.12,}$ ${\displaystyle H_{c}=0.}$