Revision as of 19:15, 23 November 2023 (view source) Arias (talk | contribs) (Created page with "==Instrucciones para Autores== '''Gerardo Tinoco Guerrerogerardo.tinoco@umich.mx<sup>a,b</sup>, José Alberto Guzmán Torres<sup>a,b</sup>''' ==2 Presentación== El boletí...")		Latest revision as of 20:51, 18 September 2024 (view source) Gstinoco (talk | contribs) m (Gstinoco moved page Review 981863207323 to Arias et al 2024a)
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−	==Instrucciones para Autores==	+	==1 Introducción==
−	'''Gerardo Tinoco Guerrerogerardo.tinoco@umich.mx<sup>a,b</sup>, José Alberto Guzmán Torres<sup>a,b</sup>'''	+	En la teoría de variable compleja existen técnicas que nos permiten diseñar secciones de álabes con formas relativamente complicadas empleando mapeos conformes <span id='citeF-1'></span><span id='citeF-2'></span><span id='citeF-3'></span>[[#cite-1|[1,2,3]]], pero estos tienen un costo computacional elevado debido al gran número de parámetros que se necesitan determinar para generar una geometría útil para un control numérico, por lo que en la práctica es necesario recurrir a metodologías más simples como la parametrización empleando polinomios, reduciendo así el número de coeficientes a determinar. Los métodos de parametrización de álabes pueden clasificarse en dos principales grupos: aproximación por secciones y parches sobre superficies. Para ambas metodologías, la clave de su implementación eficiente consiste en reducir el número de parámetros para representar geometrías complejas con el menor costo computacional, lo cual ha llevado al desarrollo y uso de un gran número de técnicas en busca de parametrizaciones optimas <span id='citeF-1'></span><span id='citeF-4'></span><span id='citeF-5'></span><span id='citeF-6'></span><span id='citeF-7'></span>[[#cite-1|[1,4,5,6,7]]]. Por su parte, los álabes de turbinas Francis son formas complejas que difícilmente pueden ser reconstruidas geométricamente a partir de una sola función. Algunas de las investigaciones recientes incluyen el uso de métodos de optimización para el diseño de álabes de compresores y turbinas, además del desarrollo de perfiles aerodinámicos <span id='citeF-8'></span><span id='citeF-9'></span><span id='citeF-10'></span><span id='citeF-11'></span><span id='citeF-12'></span><span id='citeF-13'></span><span id='citeF-14'></span>[[#cite-8|[8,9,10,11,12,13,14]]]. Una opción versátil e intuitiva para realizar la representación numérica de un álabe es el uso de Polinomios de Bernstein <span id='citeF-15'></span>[[#cite-15|[15]]]. Estos pueden utilizarse con la idea de realizar ajustes suficientemente precisos en un intervalo cerrado de las curvas continuas que representan líneas de corriente. Originalmente fueron propuestos por Bernstein en 1912, y fueron empleados en relativamente pocas aplicaciones debido a limitaciones de las capacidades de cómputo en ese momento <span id='citeF-16'></span><span id='citeF-17'></span>[[#cite-16|[16,17]]]. Actualmente, su versatilidad ha permitido aplicarlos en áreas como el cálculo, análisis de elementos finitos, control de sistemas dinámicos, modelado y optimización de geometrías complejas, etc. <span id='citeF-18'></span><span id='citeF-15'></span><span id='citeF-16'></span><span id='citeF-19'></span><span id='citeF-20'></span><span id='citeF-21'></span>[[#cite-18|[18,15,16,19,20,21]]]. El presente trabajo muestra una implementación de los polinomios de Bernstein para realizar un ajuste numérico de un álabe de una turbina Francis 99. A continuación, se describe el proceso de parametrización implementado y los resultados obtenidos.
−	==2 Presentación==	+	==2 Descripción de la turbina==
−	El boletín de la Sociedad Mexicana de Computación Científica y sus Aplicaciones publica artículos de investigación originales y de alta calidad en las áreas de matemáticas aplicadas y computación científica, así como artículos de difusión científica. Todos los artículos son sometidos a una revisión por expertos en estas áreas de instituciones nacionales e internacionales.	+	Las turbinas hidráulicas son turbomáquinas motoras que absorben energia del fluido y la convierte en energía mecánica. Estas se pueden clasificar en función de su grado de reacción (<math display="inline">\varepsilon _T </math>) como turbinas de acción y reacción <span id='citeF-22'></span>[[#cite-22|[22]]]. Las turbinas Francis son turbinas de reacción que trabajan con flujo radio-axial y son utilizadas para la producción de energia eléctrica. El caso de estudio se basa en la parametrización del álabe de una turbina hidráulica Francis 99 (Figura [[#img-1a|1a]]), cuyo rotor esta compuesto por 15 álabes principales (Figura [[#img-1b|1b]]) y 15 divisores, y tiene un diámetro de <math display="inline">0.63 \,\, m</math>. El rotor puede alcanzar una velocidad de <math display="inline">335.4</math> revoluciones por minuto y una eficiencia hidráulica de <math display="inline">92.61 % </math>.
−	El Boletín de la Sociedad Mexicana de Computación Científica y sus Aplicaciones A. C. (SMCCA), es una publicación oficial anual editada por la Sociedad Mexicana de Computación Científica y sus Aplicaciones A. C., calle Luis Horacio Salinas, 545, Col. Valle de Morelos, Saltillo, Coahuila, C.P. 25013.	+	<div id='img-1a'></div>
		+	<div id='img-1b'></div>
		+	<div id='img-1'></div>
		+	{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
		+	|-
		+	|[[Image:Review_981863207323-turb1.png|522px|Rotor.]]
		+	|[[Image:Review_981863207323-turb3.png|342px|Álabe principal.]]
		+	|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
		+	| (a) Rotor.
		+	| (b) Álabe principal.
		+	|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
		+	| colspan="2" | '''Figura 1:''' Turbina Francis 99.
		+	|}
−	Editor responsable: Gerardo Tinoco Guerrero. Reserva de Derechos al Uso Exclusivo No. 04-2017-103114330600-203, ISSN: 2594-0457, ambos otorgados por el Instituto Nacional de Derechos de Autor. Responsable de la última actualización de este Número, Gerardo Tinoco Guerrero, Avenida Francisco J. Mújica S/N, Ciudad Universitaria, Edificio B, Morelia, Michoacán, C.P. 58030.	+	==3 Metodología de parametrización==
−	http://www.smcca.org.mx	+	El proceso de parametrización puede realizarse en tres etapas: extracción de datos, reconstrucción del álabe y evaluación numérica (Figura [[#img-2|2]]). A continuación se describe en que consiste cada una de ellas.
−	https://www.scipedia.com/sj/smcca	+	<div id='img-2'></div>
		+	{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
		+	|-
		+	|[[Image:Review_981863207323-diagrama.png|480px|Etapas del proceso de        parametrización.]]
		+	|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
		+	| colspan="1" | '''Figura 2:''' Etapas del proceso de        parametrización.
		+	|}
−	==3 Formato del documento==	+	===3.1 Extracción de datos===
−	Los documentos presentados para su revisión y posterior publicación deberán de contar con el formato del presente archivo, tomando especialmente en cuenta las consideraciones para los estilos en cuanto a la división de secciones, las ecuaciones, tablas y figuras como se muestra a continuación.	+	El primer paso consiste en la obtención de las coordenadas <math display="inline">x_i, y_i, z_i</math> a partir de un escaneo del álabe real de una turbina Francis 99. El perfil se divide en <math display="inline">n</math> secciones (para este caso en particular <math display="inline">n=10</math>) las cuales definen los planos de corte en los que la sección es escaneada (Figura [[#img-3a|3a]]). Para definir cada plano se obtienen las coordenadas de <math display="inline">m</math> puntos en cada una de las caras de succión y presión (<math display="inline">m=128</math> para este caso en particular) (Figura [[#img-3b|3b]]). El proceso de extracción de datos es vital, mientras mejor sea la distribución de puntos sobre la superficie escaneada obtendremos una mejor representación del elemento y por lo tanto una parametrización más precisa; por otra parte, un escaneo deficiente introduce errorres que se manifiestan en la calidad de la parametrización. Los datos del escaneo usados en este trabajo fueron proporcionados por ''the Norwegian Hydropower Centre'' <span id='citeF-23'></span>[[#cite-23|[23]]].
−	===3.1 Ecuaciones===	+	<div id='img-3a'></div>
−		+	<div id='img-3b'></div>
−	Al momento de escribir una ecuación como parte de un texto, es importante que dicha ecuación pueda ser representada de forma lineal, para ello, es necesario escribir las ecuaciones entre dos símbolos de ecuación, como se muestra a continuación <math display="inline">$ Ax = b $ </math>. Las ecuaciones dentro del texto únicamente podrán usarse en caso de poder escribirse en una sola línea, por lo cual, las expresiones que involucren fracciones deberán de escribirse en forma lineal, o como ecuaciones centradas, ''ej''. en lugar de escribir $ <math display="inline">	+	<div id='img-3'></div>
−		+	{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
−	</math>frac<math display="inline">	+
−		+
−	</math>partial u<math display="inline">	+
−		+
−	</math>partial x$ , deberá de escribirse $ (<math display="inline">	+
−		+
−	</math>partial u)/(<math display="inline">	+
−		+
−	</math>partial x)$	+
−		+
−	En los casos en que no sea posible escribir una ecuación dentro del texto, ésta deberá de escribirse de forma centrada en su propia línea, para ello, existen dos formas de hacerlo:	+
−		+
−	<ol>	+
−		+
−	<li>En caso de que no sea necesario una numeración para la ecuación, bastará con usar el ambiente matemático	+
−		+
−	<pre>	+
−	\[	+
−	\frac{\partial u}{\partial x}	+
−	\]	+
−	</pre></li>	+
−		+
−	con lo cual se puede producir una ecuación centrada sin numeración:	+
−		+
−	{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;"	+
	|-		|-
−	|	+	|[[Image:Review_981863207323-planos.png|486px|Planos de corte.]]
−	{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;"	+	|[[Image:Review_981863207323-planos2.png|600px|Datos del escaneo.]]
−	|-	+	|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
−	| style="text-align: center;" | <math>        \frac{\partial u}{\partial x}      </math>	+	| (a) Planos de corte.
−	|}	+	| (b) Datos del escaneo.
		+	|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
		+	| colspan="2" | '''Figura 3:''' Definición de los planos de corte.
	|}		|}
−	<li>Para el caso en que la ecuación requiera numeración, se utilizará, de la misma manera, el entorno
−	<pre>	+	===3.2 Reconstrucción de la geometría del álabe===
−	\begin{equation}	+
−	\frac{\partial u}{\partial x}	+
−	\label{etiqueta}	+
−	\end{equation}	+
−	</pre></li>	+
−	lo cual dará lugar a una ecuación numerada del siguiente estilo:	+	En la etapa de reconstrucción se realiza el ajuste de las caras de presión y succión de la sección transversal del álabe para cada uno de los planos previamente definidos. Para esto se ejecuta un proceso de interpolación empleando un polinomio <math display="inline">P(t)</math> definido por 8 curvas de Bernstein <math display="inline">P^{(k)}(t)</math> de cuarto orden ([[#eq-1|1]]). La elección de la cantidad de curvas implementadas para definir el contorno de la sección transversal esta directamente relacionada con la precisión que se desea obtener. Cada cara de la sección tranversal puede ser definida con tres polinomios o menos, pero esto disminuiría la precisión del ajuste. Del mismo modo incrementar el número de curvas de ajuste reduciría el error pero incrementaría el costo computacional, por lo que lo más conveniente es establecer una tolerancia para el error y encontrar una punto de equilibrio entre precisión y costo computacional.
		+
		+	Las ocho curvas de Bernstein están dadas por
	<span id="eq-1"></span>		<span id="eq-1"></span>
Line 72:		Line 63:
	{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;"		{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;"
	|-		|-
−	| style="text-align: center;" | <math>	+	| style="text-align: center;" | <math>P^{(k)}(t)  = \sum _{i=0}^{n=4} C_i^{(k)}B_i^4 (t), \quad k=1,...8      </math>
−		+
−	\frac{\partial u}{\partial x}             </math>	+
	|}		|}
	| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (1)		| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (1)
	|}		|}
−	</ol>	+	donde <math display="inline">t</math> representa la longitud de arco de cada una de las 8 piezas de la sección de la cara correspondiente (presión o succión) <math display="inline"> 0\leq t \leq 1 </math>, <math display="inline">C_i^{(k)}</math> son 5 puntos de control que definen la forma del ajuste en cada curva, y <math display="inline">k</math> representa la curva correspondiente a cada uno de las piezas de la parametrización (figura [[#img-5|5]]). Como sabemos, los polinomios <math display="inline">B_i^4 (t)</math> pueden escribirse como
−		+
−	Para los casos en que se requiere hacer un arreglo de ecuaciones, esto se hará por medio del entorno '''align''', que se adapta más fácilmente que el comando '''eqnarray''',	+
−		+
−	<pre>	+
−	\begin{align}	+
−	ax & = b,\label{eq1}\\	+
−	by & = c.\label{eq2}	+
−	\end{align}	+
−	</pre>	+
−		+
−	lo cual producirá un arreglo ordenado de las ecuaciones en cada línea:	+
	<span id="eq-2"></span>		<span id="eq-2"></span>
−	<span id="eq-3"></span>
	{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;"		{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;"
	|-		|-
Line 99:		Line 76:
	{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;"		{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;"
	|-		|-
−	| style="text-align: center;" | <math>ax  = b,</math>	+	| style="text-align: center;" | <math>B_i^n (t)=   \left(\begin{array}{lclc}n \\    i  \end{array}\right)t^{i} \,(1-t)^{n-          i}    </math>
		+	|}
	| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2)		| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2)
−	|-
−	| style="text-align: center;" | <math>    by  = c.    </math>
−	| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (3)
−	|}
	|}		|}
−	En los casos en que no sea necesario numerar las ecuaciones en el arreglo, basta con usar el mismo entorno agregando un asterisco al final:	+	donde,
−		+
−	<pre>	+
−	\begin{align*}	+
−	ax & = b,\\	+
−	by & = c.	+
−	\end{align*}	+
−	</pre>	+
−		+
−	con lo cual se generará el arreglo de las ecuaciones de cada línea, sin números:	+
		+	<span id="eq-3"></span>
	{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;"		{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;"
	|-		|-
Line 123:		Line 89:
	{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;"		{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;"
	|-		|-
−	| style="text-align: center;" | <math>ax  = b,</math>	+	| style="text-align: center;" | <math>\left(\begin{array}{lclc}n \\    i  \end{array}\right)= \dfrac{n!}{(n-i)! \, i!}.         </math>
−	|-	+
−	| style="text-align: center;" | <math>    by  = c.   </math>	+
	|}		|}
		+	| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (3)
	|}		|}
−	También, es posible agregar arreglos dentro de una ecuación, sobre todo cuando es necesario escribir ecuaciones matriciales o vectoriales, para esto, se usarán los mismos entornos revisados anteriormente:	+	<div id='img-4'></div>
		+	{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
		+	|-
		+	|[[Image:Review_981863207323-bernstein4.png|600px|Polinomio de Bernstein de cuarto      orden.]]
		+	|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
		+	| colspan="1" | '''Figura 4:''' Polinomio de Bernstein de cuarto      orden.
		+	|}
−	<pre>	+	Algunas de las propiedades más importantes de los polinomios de Bernstein son la simetría, la positividad y la partición de la unidad <span id='citeF-24'></span>[[#cite-24|[24]]], entre otras, que los convierten en herramientas útiles para el diseño asistido por computadora (ver Figura [[#img-4|4]]).
−	\begin{equation}	+
−	\left(	+
−	\begin{array}{lclc}	+
−	1 & 1    & \dots & 1\\	+
−	0 & \Delta x_1  & \dots & \Delta x_q\\	+
−	0 & \Delta y_1  & \dots & \Delta y_q\\	+
−	0 & (\Delta x_1)^2  & \dots & (\Delta x_q)^2\\	+
−	0 & \Delta x_1\Delta y_1 & \dots & \Delta x_q \Delta y_q\\	+
−	0 & (\Delta y_1)^2  & \dots & (\Delta y_q)^2\\	+
−	\end{array}	+
−	\right)	+
−	\left(\begin{array}{l}	+
−	\Gamma_0\\	+
−	\Gamma_1\\	+
−	\Gamma_2\\	+
−	.\\	+
−	.\\	+
−	.\\	+
−	\Gamma_q\\	+
−	\end{array}	+
−	\right)	+
−	=	+
−	\left(\begin{array}{l}	+
−	F(p_0)\\	+
−	D(p_0)\\	+
−	E(p_0)\\	+
−	2A(p_0)\\	+
−	B(p_0)\\	+
−	2C(p_0)\\	+
−	\end{array}	+
−	\right).\label{matriz}	+
−	\end{equation}	+
−	</pre>	+
−	de este manera, las ecuaciones con arreglos se ordenarán fácilmente entre el texto:	+	Proponiendo un problema de mínimos cuadrados para obtener el mejor ajuste en la evaluación de <math display="inline">P(t)</math>  de manera simultánea en todas las coordenadas <math display="inline">x_i, y_i, z_i</math>, considerando restricciones de continuidad para los diferentes <math display="inline">P^{(k)}</math>, se determinan los puntos de control <math display="inline">C_{i}^{(k)};k=1,...,8;i=0,...,4</math>. Cada cara es definida usando <math display="inline">4</math> polinomios (Figura [[#img-5|5]]) con lo que se generan así <math display="inline">20</math> puntos de control. La condición de continuidad viene dada por
−	<span id="eq-4"></span>
	{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;"		{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;"
	|-		|-
Line 174:		Line 111:
	{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;"		{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;"
	|-		|-
−	| style="text-align: center;" | <math>\left(      \begin{array}{lclc}1 & 1    & \dots & 1\\      0 & \Delta x_1  & \dots & \Delta x_q\\      0 & \Delta y_1  & \dots & \Delta y_q\\      0 & (\Delta x_1)^2  & \dots & (\Delta x_q)^2\\      0 & \Delta x_1\Delta y_1 & \dots & \Delta x_q \Delta y_q\\      0 & (\Delta y_1)^2  & \dots & (\Delta y_q)^2\\      \end{array}    \right)    \left(\begin{array}{l}\Gamma _0\\      \Gamma _1\\      \Gamma _2\\      .\\      .\\      .\\      \Gamma _q\\      \end{array}    \right)     =    \left(\begin{array}{l}F(p_0)\\      D(p_0)\\      E(p_0)\\      2A(p_0)\\      B(p_0)\\      2C(p_0)\\      \end{array}    \right).    </math>	+	| style="text-align: center;" | <math>P^{(k)}(\tau _k)=P^{(k+1)}(\tau _k),</math>
	|}		|}
−	| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4)
	|}		|}
−	Para hacer una referencia a cualquier ecuación, dicha referencia deberá de hacerse utilizando el formato '''<math>(	+	donde los valores <math display="inline">\tau _k</math> se eligen de tal manera que el error cuadrático medio entre <math display="inline">P(t)</math> y los puntos escaneados sea un mínimo. Una vez definidos los coeficientes se puede generar una representación de la sección transversal del álabe usando <math display="inline">N</math> puntos. Es importante mencionar que la precisión del ajuste está directamente relacionada con el valor de <math display="inline">N</math>; a mayor número de puntos, menor error, lo cual se puede observar a simple vista en la Figura ([[#img-6|6]]) en donde se muestra los resultados del ajuste para <math display="inline">N=10</math> y <math display="inline">N=100</math> (La línea punteada representa el ajuste y la línea continua la geometría real).
−	</math>refetiqueta)''', con la finalidad de expresar la referencia como: ([[#eq-1|1]]).	+	<div id='img-5'></div>
		+	{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
		+	|-
		+	|[[Image:Review_981863207323-seccion_polinomios.png|600px|Puntos de control.]]
		+	|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
		+	| colspan="1" | '''Figura 5:''' Puntos de control.
		+	|}
−	===3.2 Tablas===	+	<div id='img-6a'></div>
−		+	<div id='img-6b'></div>
−	Para el caso de las tablas, deberán de ir siempre centradas, con una descripción de la misma en la parte superior. De manera normal, una tabla puede hacerse utilizando el siguiente formato:	+	<div id='img-6'></div>
		+	{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
		+	|-
		+	|[[Image:Review_981863207323-N10.png|600px|N=10.]]
		+	|[[Image:Review_981863207323-N100.png|600px|N=100.]]
		+	|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
		+	| (a) N=10.
		+	| (b) N=100.
		+	|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
		+	| colspan="2" | '''Figura 6:''' Ajuste numérico usando N puntos.
		+	|}
−	<pre>	+	Después de generar una sección transversal el proceso se repite para producir cada uno de los planos (Figura [[#img-3|3]]) y posteriormente construir la superficie del álabe empleando interpolación transfinita (Figura [[#img-7|7]]) <span id='citeF-15'></span>[[#cite-15|[15]]].
−	\begin{table}[hpbt]	+
−	\centering	+
−	\caption{T\{i}tulo de la tabla.}	+
−	\begin{tabular}{—l—c—r—}	+
−	\hline	+
−	1 & 2  & 3\\	+
−	\hline	+
−	a & b & c\\	+
−	\hline	+
−	\end{tabular}	+
−	\label{Tabla1}	+
−	\end{table}	+
−	</pre>	+
−		+
−	lo cual creará una tabla sencilla que puede ser fácilmente visualizada:	+
−		+
−		+
−	{|  class="floating_tableSCP wikitable" style="text-align: left; margin: 1em auto;min-width:50%;"	+
−	|+ style="font-size: 75%;" |<span id='table-1'></span>Tabla. 1 Título de la tabla.	+
−	|- style="border-top: 2px solid;"	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" |      1	+
−	| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 2	+
−	| style="text-align: right;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | 3	+
−	|- style="border-top: 2px solid;border-bottom: 2px solid;"	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" |      a	+
−	| style="text-align: center;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | b	+
−	| style="text-align: right;border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | c	+
		+	<div id='img-7'></div>
		+	{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
		+	|-
		+	|[[Image:Review_981863207323-superficie.png|540px|Superficie del álabe.]]
		+	|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
		+	| colspan="1" | '''Figura 7:''' Superficie del álabe.
	|}		|}
−	Además, de que es posible realizar tablas más elaboradas, siguiente un proceso semejante. El caso de las referencias a tablas es muy parecido al de las ecuaciones, deberán de hacerse utilizando el formato '''Tabla refTabla1''', con la finalidad de expresar la referencia como: Tabla [[#table-1|1]].	+	===3.3 Evaluación del error===
		+	La etapa final del proceso de parametrización es la evaluación del error para determinar la precisión del ajuste sobre toda la superficie del álabe y los datos escaneados. Dado que se compara la precisión con que el modelo ajusta los datos reales obtenidos a partir del escaneo, en la literatura se utiliza el error cuadrático medio dado por ([[#eq-4|4]]):
−	{| class="floating_tableSCP wikitable" style="text-align: center; margin: 1em auto;min-width:50%;"	+	<span id="eq-4"></span>
−	|+ style="font-size: 75%;" |<span id='table-2'></span>Tabla. 2 Tabla con comparativos.	+	{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;"
	|-		|-
−	| colspan='5' style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Resultados usando nodos especiales	+	|
−	|- style="border-top: 2px solid;"	+	{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;"
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math display="inline">\sigma </math>	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Error máximo	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Norma infinito	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Error máximo	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Norma infinito	+
−	|-	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" |	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | en <math display="inline">p(x,y)</math>	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | del error en <math display="inline">p(x,y)</math>	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | en <math display="inline">WA=I</math>	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | del error en <math display="inline">WA=I</math>	+
−	|- style="border-top: 2px solid;"	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math display="inline">13</math>	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>1.4162</math>	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>23.1928</math>	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>1.00220</math>	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>32.7982</math>	+
	|-		|-
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>25</math>	+	| style="text-align: center;" | <math>SME = \sqrt{\frac{\sum _{i=1}^{n}D_{i}^{2}}{n}}  </math>
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>0.61372</math>	+	|}
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>11.7524</math>	+	| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4)
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>1.00610</math>	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>20.4337</math>	+
−	|-	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>392</math>	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>0.98594</math>	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>17.0185</math>	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>0.99562</math>	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>27.3561</math>	+
−	|- style="border-top: 2px solid;"	+
−	| colspan='5' style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Resultados sin el uso de nodos especiales	+
−	|- style="border-top: 2px solid;"	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math display="inline">\sigma{+9}</math>	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Error máximo	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Norma infinito	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Error máximo	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Norma infinito	+
−	|-	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" |	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | en <math display="inline">p(x,y)</math>	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | del error en <math display="inline">p(x,y)</math>	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | en <math display="inline">WA=I</math>	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | del error en <math display="inline">WA=I</math>	+
−	|- style="border-top: 2px solid;"	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math display="inline">13+9</math>	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>5.476</math>	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>124.0284</math>	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>12.1347</math>	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>4899.6121</math>	+
−	|-	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>25+9</math>	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>16.7743</math>	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>331.9071</math>	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>8.5985</math>	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>3509.9313</math>	+
−	|- style="border-bottom: 2px solid;"	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>392+9</math>	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>0.12616</math>	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>1.2008</math>	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>0.98685</math>	+
−	| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>254.334</math>	+
−		+
	|}		|}
−	===3.3 Figuras===	+	donde <math display="inline">D_{i}</math>, es la distancia euclidiana entre el punto <math display="inline">(x_i</math>, <math display="inline">y_i</math>, <math display="inline">z_i)</math> y la tangente a la superficie definida por el correspondiente vector unitario normal a la superficie  generada del álabe  <span id='citeF-5'></span>[[#cite-5|[5]]].
−	Las figuras deberán de ir siempre centradas, acompañadas con una descripción de la misma en la parte inferior, escalando las mismas para que queden en línea con el texto. Esto puede hacerse muy fácilmente utilizando el siguiente formato:	+	Al evaluar la ecuación ([[#eq-4|4]]) tomando <math display="inline">N=128</math>,   el error cuadrático medio obtenido entre los datos del escaneo y el ajuste es de <math display="inline">1.5496 \times 10^{-3} %</math> en la cara de presión y <math display="inline">9.685 \times 10^{-5} %</math> para la cara de succión <span id='citeF-15'></span>[[#cite-15|[15]]], ambos valores dentro de la tolerancia sugerida por Dube et al. <span id='citeF-18'></span>[[#cite-18|[18]]].
−	<pre>	+	==4 Conclusiones==
−	\begin{figure}[hpbt]	+
−	\centering	+
−	\scalebox{.8}{	+
−	\includegraphics[width=.3\textwidth]{umsnh.eps}	+
−	}	+
−	\caption{Escudo UMSNH.}	+
−	\label{Figura1}	+
−	\end{figure}	+
−	</pre>	+	El presente trabajo se enfocó en mostrar la implementación de la metodología de aproximación por secciones usando polinomios de Bernstein para la parametrización de formas geometricas complejas, y en particular de álabes de turbinas. Los polinomios de Bernstein muestran ser una opción viable y adecuada, relativamente fácil de implementar. Los resultados obtenidos son muy satisfactorios, y la versatilidad con la que los polinomios se adaptan a la geometría compleja sugiere que esta metodología puede ser implementada para parametrizar álabes de diferentes tipos de turbina, hélices o cualquier otra geometría compleja.
−	lo cual producirá la Figura [[#img-1|1]].	+	===BIBLIOGRAFÍA===
−	<div id='img-1'></div>	+	<div id="cite-1"></div>
−	{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"	+	'''[[#citeF-1|[1]]]''' Abbott, Ira H and Von Doenhoff, Albert E. (2012) "Theory of wing sections: including a summary of airfoil data". Courier Corporation 53-63, 1 Edition
−	|-	+
−	|[[Image:Draft_Arias_206842899-umsnh.png|180px|Escudo UMSNH.]]	+
−	|- style="text-align: center; font-size: 75%;"	+
−	| colspan="1" | '''Figura 1:''' Escudo UMSNH.	+
−	|}	+
−	Es posible insertar una figura con varias subfiguras ocupando todo el ancho de página (si así se requiere), así como en la Figura [[#img-2|2]] y etiquetar cada una de las figuras por separado, lo cual permitirá hacer las referencias a Figura [[#img-2a|2a]], Figura [[#img-2b|2b]] y Figura [[#img-2c|2c]]. Para ello, se puede usar el siguiente formato:	+	<div id="cite-2"></div>
		+	'''[[#citeF-2|[2]]]''' Farrashkhalvat, M and Miles, JP. (2003) "Basic Structured Grid Generation: With an introduction to unstructured grid generation". Elsevier 1-187
−	<pre>	+	<div id="cite-3"></div>
−	\begin{figure*}[hpbt]	+	'''[[#citeF-3|[3]]]''' Thompson, Joe F and Soni, Bharat K and Weatherill, Nigel P. (1998) "Handbook of grid generation". CRC press 1-37
−	\centering	+
−	\begin{subfigure}[t]{0.3\textwidth}	+
−	\centering	+
−	\includegraphics[height=1.2in]{umsnh.eps}	+
−	\caption{Escudo UMSNH.}	+
−	\label{Figura2a}	+
−	\end{subfigure}	+
−	\begin{subfigure}[t]{0.3\textwidth}	+
−	\centering	+
−	\includegraphics[height=1.2in]{umsnh.eps}	+
−	\caption{Escudo UMSNH.}	+
−	\label{Figura2b}	+
−	\end{subfigure}	+
−	\begin{subfigure}[t]{0.3\textwidth}	+
−	\centering	+
−	\includegraphics[height=1.2in]{umsnh.eps}	+
−	\caption{Escudo UMSNH.}	+
−	\label{Figura2c}	+
−	\end{subfigure}	+
−	\caption{Ejemplo de una figura con subfiguras.}	+
−	\label{Figura2}	+
−	\end{figure*}	+
−	</pre>	+
−	<div id='img-2a'></div>	+	<div id="cite-4"></div>
−	<div id='img-2b'></div>	+	'''[[#citeF-4|[4]]]''' Cerriteño, A and Delgado, G and Galván, S and Dominguez, F and Ramírez, R. (2021) "Reconstruction of the Francis 99 main runner blade using a hybrid parametric approach.", Volume 774. IOP Publishing. IOP Conference Series: Earth and Environmental Science 012-074
−	<div id='img-2c'></div>	+
−	<div id='img-2'></div>	+
−	{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"	+
−	|-	+
−	|[[Image:Draft_Arias_206842899-umsnh.png|156px|Escudo UMSNH.]]	+
−	|[[Image:Draft_Arias_206842899-umsnh.png|156px|Escudo UMSNH.]]	+
−	|[[Image:Draft_Arias_206842899-umsnh.png|156px|Escudo UMSNH.]]	+
−	|- style="text-align: center; font-size: 75%;"	+
−	| (a) Escudo UMSNH.	+
−	| (b) Escudo UMSNH.	+
−	| (c) Escudo UMSNH.	+
−	|- style="text-align: center; font-size: 75%;"	+
−	| colspan="3" | '''Figura 2:''' Ejemplo de una figura con subfiguras.	+
−	|}	+
−	Las referencias a las figuras serán iguales que las de las tablas, deberán de hacerse utilizando el formato '''Figura refFigura1''', con la finalidad de expresar la referencia como: Figura [[#img-1|1]].	+	<div id="cite-5"></div>
		+	'''[[#citeF-5|[5]]]''' Delgado, Giovanni and Galván, Sergio and Dominguez-Mota, Francisco and García, JC and Valencia, Esteban. (2020) "Reconstruction methodology of a Francis runner blade using numerical tools", Volume 34. Springer. Journal of Mechanical Science and Technology 1237-1247
−	===3.4 Flotantes===	+	<div id="cite-6"></div>
		+	'''[[#citeF-6|[6]]]''' Farin, Gerald. (2014) "Curves and surfaces for computer-aided geometric design: a practical guide". Elsevier 41-62, 3 Edition
−	El uso de tablas y figuras puede llegar a producir problemas cuando se usan de forma flotante. Existen diferentes opciones para colocar las figuras en diferentes posiciones de la página o del texto. Entre las opciones más usadas se pueden encontrar:	+	<div id="cite-7"></div>
		+	'''[[#citeF-7|[7]]]''' Ferrando, Lluis and Kueny, Jean-Louis and Avellan, Francois and Pedretti, Camille and Tomas, Laurent. (2004) "Surface parameterization of a Francis runner turbine for optimum design". 22nd IAHR Symposium on hydraulic machinery and systems 1-11
−	* h.  hará lo posible por colocar la figura en donde se insertó en el código.	+	<div id="cite-8"></div>
−	* H. forzará la figura a quedar en el lugar donde se insertó en el código.	+	'''[[#citeF-8|[8]]]''' Agromayor, Roberto and Anand, Nitish and Müller, Jens-Dominik and Pini, Matteo and Nord, Lars O. (2021) "A unified geometry parametrization method for turbomachinery blades", Volume 133. Elsevier. Computer-Aided Design 102987
−	* p.  colocará la figura en la siguiente página, sin agregar ningún texto a la misma.	+
−	* t.  colocará la figura en la parte superior de la página actual o de la siguiente.	+
−	* b. colocará la figura en la parte inferior de la página actual o de la siguiente.	+
−	Como una fuerte sugerencia, en caso de que la ubicación de la tabla o figura no sea problema (dado que pueden ser referenciadas en cualquier momento), se sugiere colocar como opciones de flotante '''[hpbt]''' en todas las tablas o figuras. De esta manera, aprovechará mejor el espacio disponible para el documento. La opción '''[H]''' únicamente deberá de usarse en caso de que el texto no pueda comprenderse sin la figura en el lugar que se indica.	+	<div id="cite-9"></div>
		+	'''[[#citeF-9|[9]]]''' Agromayor, Roberto and Nord, Lars O. (2019) "Preliminary design and optimization of axial turbines accounting for diffuser performance", Volume 4. MDPI. International Journal of Turbomachinery, Propulsion and Power 3 32
−	===3.5 Bibliografía===	+	<div id="cite-10"></div>
		+	'''[[#citeF-10|[10]]]''' Anand, Nitish and Vitale, Salvatore and Pini, Matteo and Colonna, Piero. (2018) "Assessment of FFD and CAD-based shape parametrization methods for adjoint-based turbomachinery shape optimization", Volume 7. Proceedings of Montreal 9th
−	La bibliografía del documento deberá de realizarse en <math display="inline">{\mathrm{B{\scriptstyle {IB}}\!T\!_{\displaystyle E}\!X}}</math>, agregando un archivo .bib entre el código fuente para ello. Existen una gran variedad de Softwares que pueden generar este archivo .bib de manera automática. El formato estándar para una referencia dentro de estos archivos es el siguiente:	+	<div id="cite-11"></div>
		+	'''[[#citeF-11|[11]]]''' Gagliardi, Flavio and Giannakoglou, Kyriakos C. (2019) "RBF-based morphing of B-Rep models for use in aerodynamic shape optimization", Volume 138. Elsevier. Advances in Engineering Software 102724
−	<pre>	+	<div id="cite-12"></div>
−	@book{lamport1994,	+	'''[[#citeF-12|[12]]]''' John, Alistair and Shahpar, Shahrokh and Qin, Ning. (2017) "Novel compressor blade shaping through a free-form method", Volume 139. American Society of Mechanical Engineers. Journal of Turbomachinery 8 081002
−	author = {Lamport, L.},	+
−	publisher = {Addison-wesley},	+
−	title = {\LaTeX},	+
−	year = {1994}}	+
−	@article{tinoco2020,	+	<div id="cite-13"></div>
−	author = {G. Tinoco-Guerrero and F.J. Dominguez-Mota	+	'''[[#citeF-13|[13]]]''' Mykhaskiv, Orest and Banovi, Mladen and Auriemma, Salvatore and Mohanamuraly, Pavanakumar and Walther, Andrea and Legrand, Herve and Müller, Jens-Dominik. (2018) "NURBS-based and parametric-based shape optimization with differentiated CAD kernel", Volume 15. Taylor & Francis. Computer-Aided Design and Applications 6 916&#8211;926
−	and J.G. Tinoco-Ruiz},	+
−	title = {A study of the stability for a generalized	+
−	finite-difference scheme applied to the	+
−	advection-diffusion equation},	+
−	journal = {Mathematics and Computers in Simulation},	+
−	volume = {176},	+
−	pages = {301-311},	+
−	year = {2020},	+
−	issn = {0378-4754},	+
−	doi = {https://doi.org/10.1016/j.matcom.2020.01.020}}	+
−	</pre>	+
−	Las citas, se hacen usando el comando '''citekey''', en caso hacer referencia a una única cita, o '''citekey, key2''', cuando se hace referencia a 2 o más trabajos. Las citas tomarán, entonces, la siguiente forma: en el caso de una sola referencia <span id='citeF-1'></span>[[#cite-1|[1]]]; en el caso de dos o más referencias <span id='citeF-2'></span><span id='citeF-1'></span>[[#cite-2|[2,1]]].	+	<div id="cite-14"></div>
		+	'''[[#citeF-14|[14]]]''' Tang, Xiao and Luo, Jiaqi and Liu, Feng. (2018) "Adjoint aerodynamic optimization of a transonic fan rotor blade with a localized two-level mesh deformation method", Volume 72. Elsevier. Aerospace Science and Technology 267&#8211;277
−	==4 Instrucciones de Envío==	+	<div id="cite-15"></div>
		+	'''[[#citeF-15|[15]]]''' Pérez Rubio, Luis David and Galván González, Sergio Ricardo and Domínguez Mota, Francisco Javier and Cerriteño Sánchez, Angel and Tamayo Soto, Miguel Angel and Delgado Sánchez, Giovanni. (2021) "Reconstruction of a Steam Turbine Blade Using Piecewise Bernstein Polynomials and Transfinite Interpolation", Volume 85017. American Society of Mechanical Engineers. Turbo Expo: Power for Land, Sea, and Air
−	El Boletín de la Sociedad Mexicana de Computación Científica y sus Aplicaciones se encuentra alojado dentro del gestor de revistas ''Scipedia'', por lo cual es importante contar con una cuenta dentro de dicha plataforma, la cual se puede crear de forma gratuita.	+	<div id="cite-16"></div>
		+	'''[[#citeF-16|[16]]]''' Farouki, Rida T. (2012) "The Bernstein polynomial basis: A centennial retrospective", Volume 29. Elsevier. Computer Aided Geometric Design 379-419
−	Para realizar el envío de un artículo, para su evaluación y posible publicación en el boletín, es necesario seguir las siguientes instrucciones, posterior a la creación de la cuenta en la plataforma:	+	<div id="cite-17"></div>
		+	'''[[#citeF-17|[17]]]''' Steffens, Karl-Georg. (2006) "The history of approximation theory: from Euler to Bernstein". Springer 1-100
−	<ol>	+	<div id="cite-18"></div>
		+	'''[[#citeF-18|[18]]]''' Dubé, Jean-Francois and Guibault, Francois and Vallet, Marie-Gabrielle and Trépanier, Jean-Yves. (2006) "Turbine blade reconstruction and optimization using subdivision surfaces". 44th AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit 13-27
−	<li>Elaborar el documento conforme al formato establecido en el presente. Es importante mencionar que tanto el resumen como las palabras clave se agregan directamente en la plataforma y no en el documento. Es recomendable crear un único archivo ZIP que contenga todos los archivos necesarios para compilar el documento.    </li>	+	<div id="cite-19"></div>
−	<li>Ingresar a la página principal de Scipedia (https://www.scipedia.com/) e iniciar sesión, con lo cual se nos dirigirá automáticamente al perfil personal de Scipedia.    </li>	+	'''[[#citeF-19|[19]]]''' Yousefi, Sohrab Ali and Behroozifar, Mahmoud. (2010) "Operational matrices of Bernstein polynomials and their applications", Volume 41. Taylor & Francis. International Journal of Systems Science 709-716
−	<li>Dar clic en el botón ''Create a Document'', en la parte superior derecha, como se muestra en la Figura [[#img-3|3]].    </li>	+
−	<li>Seleccionar la opción ''Upload a Document'', como se muestra en la Figura [[#img-4|4]], y seleccionar el archivo ZIP para su carga.    </li>	+
−	<li>Agregar el Resumen, Palabras Clave, y revisar que Título y Autores sean correctos, en caso de no ser así, corregir los mismos. En esta sección es importante seleccionar las categorías en las que se puede clasificar el documento, y seleccionar ''Original Document''. Ver Figura [[#img-5|5]].    </li>	+
−	<li>Una vez que se a procesador el documento, entrar en el mismo y seleccionar ''Submit For Publication''. Ver Figura [[#img-6|6]].    </li>	+
−	<li>En el campo de búsqueda escribir ''Boletín de la Sociedad Mexicana de Computación Científica y sus Aplicaciones''.    </li>	+
−	<li>Completar todos los campos requeridos para enviar el documento. Una vez completado este proceso, se iniciará la revisión por parte del comité editorial y, en su caso, se turnará a revisión por pares. Ver Figura [[#img-7|7]].    </li>	+
−	<li>Una vez que los revisores han realizado su revisión, desde la pestaña ''Review'' es posible ver los comentarios de los mismos. Es importante realizar las observaciones mencionadas y responder directamente a los revisores desde este campo. Ver Figura [[#img-8|8]].    </li>	+
−	<li>Una vez todos los revisores están de acuerdo con el documento, el mismo será publicado en la página oficial del Boletín.	+
−	(https://www.scipedia.com/sj/smcca).    </li>	+	<div id="cite-20"></div>
−	<li>Después de aceptado el documento, es necesario enviar los archivos fuente del mismo al Editor Responsable (gerardo.tinoco@umich.mx), para la compilación final del Boletín, esto debido a que no es posible obtener los archivos fuente desde Scipedia.   </li>	+	'''[[#citeF-20|[20]]]''' Joy, Kenneth I. (2000) "Bernstein polynomials", Volume 13. On-Line Geometric Modeling Notes 1-11
−	</ol>	+	<div id="cite-21"></div>
		+	'''[[#citeF-21|[21]]]''' Arias-Rojas, Heriberto and Rodríguez-Velázquez, Miguel A and Cerriteño-Sánchez, Ángel and Domínguez-Mota, Francisco J and Galván-González, Sergio R. (2023) "A FEM Structural Analysis of a Francis Turbine Blade Parametrized Using Piecewise Bernstein Polynomials", Volume 11. MDPI. Computation 1-23
−	<div id='img-3'></div>	+	<div id="cite-22"></div>
−	{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"	+	'''[[#citeF-22|[22]]]''' Mataix, Claudio. (1986) "Mecánica de fluidos y máquinas hidráulicas" 460-517, 2 Edition
−	|-	+
−	|[[Image:Draft_Arias_206842899-inst1.png|600px|Seleccionar ''Create a Document''.]]	+
−	|- style="text-align: center; font-size: 75%;"	+
−	| colspan="1" | '''Figura 3:''' Seleccionar ''Create a Document''.	+
−	|}	+
−	<div id='img-4'></div>	+
−	{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"	+
−	|-	+
−	|[[Image:Draft_Arias_206842899-inst2.png|600px|Seleccionar ''Upload a Document''.]]	+
−	|- style="text-align: center; font-size: 75%;"	+
−	| colspan="1" | '''Figura 4:''' Seleccionar ''Upload a Document''.	+
−	|}	+
−	<div id='img-5'></div>	+
−	{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"	+
−	|-	+
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		+	'''[[#citeF-23|[23]]]''' . (2023) "Norwegian Hydropower Centre, 2016" Avialable online: https://www.ntnu.edu/nvks/norwegian-hydropower-center
−	<div id="cite-1"></div>	+	<div id="cite-24"></div>
−	'''[[#citeF-1|[1]]]''' G. Tinoco-Guerrero and F.J. Domínguez-Mota and J.G. Tinoco-Ruiz. (2020) "A study of the stability for a generalized finite-difference scheme applied to the advection&#8211;diffusion equation", Volume 176. Mathematics and Computers in Simulation 301-311	+	'''[[#citeF-24|[24]]]''' Kelisky, Richard and Rivlin, Theodore. (1967) "Iterates of Bernstein polynomials", Volume 21. Mathematical Sciences Publishers. Pacific Journal of Mathematics 511-520
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−	'''[[#citeF-2|[2]]]''' Lamport, L. (1994) "". Addison-wesley	+

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Latest revision as of 20:51, 18 September 2024

1 Introducción

En la teoría de variable compleja existen técnicas que nos permiten diseñar secciones de álabes con formas relativamente complicadas empleando mapeos conformes [1,2,3], pero estos tienen un costo computacional elevado debido al gran número de parámetros que se necesitan determinar para generar una geometría útil para un control numérico, por lo que en la práctica es necesario recurrir a metodologías más simples como la parametrización empleando polinomios, reduciendo así el número de coeficientes a determinar. Los métodos de parametrización de álabes pueden clasificarse en dos principales grupos: aproximación por secciones y parches sobre superficies. Para ambas metodologías, la clave de su implementación eficiente consiste en reducir el número de parámetros para representar geometrías complejas con el menor costo computacional, lo cual ha llevado al desarrollo y uso de un gran número de técnicas en busca de parametrizaciones optimas [1,4,5,6,7]. Por su parte, los álabes de turbinas Francis son formas complejas que difícilmente pueden ser reconstruidas geométricamente a partir de una sola función. Algunas de las investigaciones recientes incluyen el uso de métodos de optimización para el diseño de álabes de compresores y turbinas, además del desarrollo de perfiles aerodinámicos [8,9,10,11,12,13,14]. Una opción versátil e intuitiva para realizar la representación numérica de un álabe es el uso de Polinomios de Bernstein [15]. Estos pueden utilizarse con la idea de realizar ajustes suficientemente precisos en un intervalo cerrado de las curvas continuas que representan líneas de corriente. Originalmente fueron propuestos por Bernstein en 1912, y fueron empleados en relativamente pocas aplicaciones debido a limitaciones de las capacidades de cómputo en ese momento [16,17]. Actualmente, su versatilidad ha permitido aplicarlos en áreas como el cálculo, análisis de elementos finitos, control de sistemas dinámicos, modelado y optimización de geometrías complejas, etc. [18,15,16,19,20,21]. El presente trabajo muestra una implementación de los polinomios de Bernstein para realizar un ajuste numérico de un álabe de una turbina Francis 99. A continuación, se describe el proceso de parametrización implementado y los resultados obtenidos.

2 Descripción de la turbina

Las turbinas hidráulicas son turbomáquinas motoras que absorben energia del fluido y la convierte en energía mecánica. Estas se pueden clasificar en función de su grado de reacción (${\textstyle \varepsilon _{T}}$) como turbinas de acción y reacción [22]. Las turbinas Francis son turbinas de reacción que trabajan con flujo radio-axial y son utilizadas para la producción de energia eléctrica. El caso de estudio se basa en la parametrización del álabe de una turbina hidráulica Francis 99 (Figura 1a), cuyo rotor esta compuesto por 15 álabes principales (Figura 1b) y 15 divisores, y tiene un diámetro de ${\textstyle 0.63\,\,m}$. El rotor puede alcanzar una velocidad de ${\textstyle 335.4}$ revoluciones por minuto y una eficiencia hidráulica de ${\textstyle 92.61\%}$.

(a) Rotor.	(b) Álabe principal.
Figura 1: Turbina Francis 99.

3 Metodología de parametrización

El proceso de parametrización puede realizarse en tres etapas: extracción de datos, reconstrucción del álabe y evaluación numérica (Figura 2). A continuación se describe en que consiste cada una de ellas.

Figura 2: Etapas del proceso de parametrización.

3.1 Extracción de datos

El primer paso consiste en la obtención de las coordenadas ${\textstyle x_{i},y_{i},z_{i}}$ a partir de un escaneo del álabe real de una turbina Francis 99. El perfil se divide en ${\textstyle n}$ secciones (para este caso en particular ${\textstyle n=10}$) las cuales definen los planos de corte en los que la sección es escaneada (Figura 3a). Para definir cada plano se obtienen las coordenadas de ${\textstyle m}$ puntos en cada una de las caras de succión y presión (${\textstyle m=128}$ para este caso en particular) (Figura 3b). El proceso de extracción de datos es vital, mientras mejor sea la distribución de puntos sobre la superficie escaneada obtendremos una mejor representación del elemento y por lo tanto una parametrización más precisa; por otra parte, un escaneo deficiente introduce errorres que se manifiestan en la calidad de la parametrización. Los datos del escaneo usados en este trabajo fueron proporcionados por the Norwegian Hydropower Centre [23].

(a) Planos de corte.	(b) Datos del escaneo.
Figura 3: Definición de los planos de corte.

3.2 Reconstrucción de la geometría del álabe

En la etapa de reconstrucción se realiza el ajuste de las caras de presión y succión de la sección transversal del álabe para cada uno de los planos previamente definidos. Para esto se ejecuta un proceso de interpolación empleando un polinomio ${\textstyle P(t)}$ definido por 8 curvas de Bernstein ${\textstyle P^{(k)}(t)}$ de cuarto orden (1). La elección de la cantidad de curvas implementadas para definir el contorno de la sección transversal esta directamente relacionada con la precisión que se desea obtener. Cada cara de la sección tranversal puede ser definida con tres polinomios o menos, pero esto disminuiría la precisión del ajuste. Del mismo modo incrementar el número de curvas de ajuste reduciría el error pero incrementaría el costo computacional, por lo que lo más conveniente es establecer una tolerancia para el error y encontrar una punto de equilibrio entre precisión y costo computacional.

Las ocho curvas de Bernstein están dadas por

${\displaystyle P^{(k)}(t)=\sum _{i=0}^{n=4}C_{i}^{(k)}B_{i}^{4}(t),\quad k=1,...8}$

(1)

donde ${\textstyle t}$ representa la longitud de arco de cada una de las 8 piezas de la sección de la cara correspondiente (presión o succión) ${\textstyle 0\leq t\leq 1}$, ${\textstyle C_{i}^{(k)}}$ son 5 puntos de control que definen la forma del ajuste en cada curva, y ${\textstyle k}$ representa la curva correspondiente a cada uno de las piezas de la parametrización (figura 5). Como sabemos, los polinomios ${\textstyle B_{i}^{4}(t)}$ pueden escribirse como

${\displaystyle B_{i}^{n}(t)=\left({\begin{array}{lclc}n\\i\end{array}}\right)t^{i}\,(1-t)^{n-i}}$

(2)

donde,

${\displaystyle \left({\begin{array}{lclc}n\\i\end{array}}\right)={\dfrac {n!}{(n-i)!\,i!}}.}$

(3)

Figura 4: Polinomio de Bernstein de cuarto orden.

Algunas de las propiedades más importantes de los polinomios de Bernstein son la simetría, la positividad y la partición de la unidad [24], entre otras, que los convierten en herramientas útiles para el diseño asistido por computadora (ver Figura 4).

Proponiendo un problema de mínimos cuadrados para obtener el mejor ajuste en la evaluación de ${\textstyle P(t)}$ de manera simultánea en todas las coordenadas ${\textstyle x_{i},y_{i},z_{i}}$, considerando restricciones de continuidad para los diferentes ${\textstyle P^{(k)}}$, se determinan los puntos de control ${\textstyle C_{i}^{(k)};k=1,...,8;i=0,...,4}$. Cada cara es definida usando ${\textstyle 4}$ polinomios (Figura 5) con lo que se generan así ${\textstyle 20}$ puntos de control. La condición de continuidad viene dada por

${\displaystyle P^{(k)}(\tau _{k})=P^{(k+1)}(\tau _{k}),}$

donde los valores ${\textstyle \tau _{k}}$ se eligen de tal manera que el error cuadrático medio entre ${\textstyle P(t)}$ y los puntos escaneados sea un mínimo. Una vez definidos los coeficientes se puede generar una representación de la sección transversal del álabe usando ${\textstyle N}$ puntos. Es importante mencionar que la precisión del ajuste está directamente relacionada con el valor de ${\textstyle N}$; a mayor número de puntos, menor error, lo cual se puede observar a simple vista en la Figura (6) en donde se muestra los resultados del ajuste para ${\textstyle N=10}$ y ${\textstyle N=100}$ (La línea punteada representa el ajuste y la línea continua la geometría real).

Figura 5: Puntos de control.

(a) N=10.	(b) N=100.
Figura 6: Ajuste numérico usando N puntos.

Después de generar una sección transversal el proceso se repite para producir cada uno de los planos (Figura 3) y posteriormente construir la superficie del álabe empleando interpolación transfinita (Figura 7) [15].

Figura 7: Superficie del álabe.

3.3 Evaluación del error

La etapa final del proceso de parametrización es la evaluación del error para determinar la precisión del ajuste sobre toda la superficie del álabe y los datos escaneados. Dado que se compara la precisión con que el modelo ajusta los datos reales obtenidos a partir del escaneo, en la literatura se utiliza el error cuadrático medio dado por (4):

${\displaystyle SME={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{n}D_{i}^{2}}{n}}}}$

(4)

donde ${\textstyle D_{i}}$, es la distancia euclidiana entre el punto ${\textstyle (x_{i}}$, ${\textstyle y_{i}}$, ${\textstyle z_{i})}$ y la tangente a la superficie definida por el correspondiente vector unitario normal a la superficie generada del álabe [5].

Al evaluar la ecuación (4) tomando ${\textstyle N=128}$, el error cuadrático medio obtenido entre los datos del escaneo y el ajuste es de ${\textstyle 1.5496\times 10^{-3}\%}$ en la cara de presión y ${\textstyle 9.685\times 10^{-5}\%}$ para la cara de succión [15], ambos valores dentro de la tolerancia sugerida por Dube et al. [18].

4 Conclusiones

El presente trabajo se enfocó en mostrar la implementación de la metodología de aproximación por secciones usando polinomios de Bernstein para la parametrización de formas geometricas complejas, y en particular de álabes de turbinas. Los polinomios de Bernstein muestran ser una opción viable y adecuada, relativamente fácil de implementar. Los resultados obtenidos son muy satisfactorios, y la versatilidad con la que los polinomios se adaptan a la geometría compleja sugiere que esta metodología puede ser implementada para parametrizar álabes de diferentes tipos de turbina, hélices o cualquier otra geometría compleja.

BIBLIOGRAFÍA

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