Latest revision as of 23:52, 22 June 2023

Resumen

En este artículo se propone una estrategia computacionalmente eficiente para la aproximación del comportamiento no-lineal de estructuras mediante el método de los elementos finitos. Esta propuesta se basa en la ejecución de una serie de análisis lineales en los que la resistencia de los elementos en los que se presenta el daño se degrada de manera secuencial complementándose con un esquema de integración numérica reducida estabilizada para elementos finitos sólidos. Así, la matriz de rigidez solo contiene información en un punto de integración y, en consecuencia, los esfuerzos se calculan en dicho punto. Del mismo modo, la estabilización posibilita que no solamente se utilice integración reducida en los elementos donde se asume que ocurrirá el daño, sino en todos los elementos, garantizando una mayor reducción del costo computacional. En este artículo se aplica esta estrategia de análisis no-lineal basada en análisis lineales secuenciales e integración reducida estabilizada a una serie de ejemplos tanto de validación como de aplicación en los que se discute la calidad en la aproximación y la eficiencia computacional alcanzada. Finalmente, se discuten algunos desarrollos futuros para la estrategia.

Palabras clave: Análisis no-lineal, daño, análisis lineales secuenciales, integración reducida, elementos finitos

Abstract

In this paper, a computationally efficient strategy for the approximation of the non-linear behaviour of structures through the finite element method is proposed. This proposal is based on the execution of a set of linear analyses in which the strength of the elements where the damage occurs is sequentially degraded and, in addition, complemented with a stabilized reduced numerical integration scheme for solid finite elements. Thus, the stiffness matrix only contains information of one integration point and, consequently, the stresses are computed only at that point. Also, due to the stabilization, it is possible to use reduced integration not only in the elements where the damage is assumed to occur, but in all the elements, guaranteeing a greater reduction in the computational cost. In this paper, the strategy of sequentially linear analysis with stabilized reduced integration is applied to several validation as well as application examples in which the quality of the approximation and the computational efficiency achieved are discussed. Finally, some future developments for the strategy are proposed.

Keywords: Non-linear analysis, damage, sequentially linear analysis, reduced integration, finite elements

1. Introducción

En la actualidad, el análisis de estructuras, en el que se considera la aparición y evolución de daño, se está convirtiendo en una tendencia para el ejercicio profesional de todo ingeniero estructurista. Una de las etapas de dicho análisis es la construcción de un modelo matemático que aproxime, de manera suficientemente cercana a los objetivos planteados para dicho análisis, el comportamiento de la estructura. Así, es posible construir modelos matemáticos con consideraciones muy apegadas a la realidad del problema en cuestión, e.g., comportamiento no-lineal de los materiales que componen a la estructura; sin embargo, su solución o aproximación demanda un costo computacional demasiado alto que los deja rezagados a aplicaciones académicas o de investigación.  

Un ejemplo de estos modelos matemáticos son los modelos constitutivos basados en la teoría de plasticidad que consideran distintos criterios de fluencia y que están orientados a simular el comportamiento de materiales con diversas características. Para materiales como el concreto y la mampostería, son convenientes los modelos que consideran criterios de falla con resistencias diferentes a tensión y compresión tales como los criterios de Drucker-Prager y Mohr-Coulomb. Adicionalmente, existen modelos constitutivos complejos que combinan las teorías de plasticidad y de daño, lo que los convierte en ideales para simular de una manera muy realista este tipo de materiales cuasi-frágiles, e.g., los modelos constitutivos de Lubliner et al. [1] y Contrafatto y Cuomo [2].

Estos modelos constitutivos complejos han mostrado ser capaces de simular el comportamiento real de estructuras; sin embargo, su aplicación no es eficiente para fines prácticos debido a las siguientes necesidades: programas de computadora que incluyan las implementaciones de los modelos a emplear; que dichos programas incluyan algoritmos robustos y eficientes que permitan aproximar la solución del problema matemático no-lineal; computadoras con buena capacidad de procesamiento y mano de obra especializada para las etapas de pre- y pos-proceso del análisis. 

Adicionalmente, el tiempo de cómputo puede ser un factor de mucha consideración especialmente si se requiere la obtención de resultados de manera rápida y eficiente. Por esta razón, resulta conveniente contar con estrategias de aproximación del comportamiento no-lineal de las estructuras que sean computacionalmente eficientes y que, además, demuestren que los resultados obtenidos sean los suficientemente buenos para poder ser empleados de manera cotidiana.

Algunas de estas estrategias se enfocan en la reducción del costo computacional requerido para llevar a cabo análisis no-lineales empleando este tipo de modelos constitutivos complejos. Por ejemplo, las estrategias basadas en formulaciones que emplean integración numérica reducida y estabilizada en elementos finitos sólidos, cuadriláteros y hexaedros. Algunas de estas formulaciones se concentran principalmente en controlar las inconsistencias numéricas generadas por el empleo de integración reducida para la obtención de la matriz de rigidez [3]; o en la posibilidad de emplear mallas más gruesas por el mejoramiento en la representación de la energía de deformación de los modos de deformación lineal en los elementos cuadriláteros [4]. Otros desarrollos, se enfocan en formulaciones que permiten que la evaluación de cierto modelo constitutivo se realice en una cantidad reducida de puntos de integración, disminuyendo así el volumen de cómputo [5]. Adicionalmente, existen desarrollos recientes en los llamados elementos solid-shell, i.e., elementos que combinan las formulaciones de los sólidos con los cascarones para el análisis de problemas en tres dimensiones de estructuras delgadas [6,7].

Otras estrategias buscan la simplificación de los modelos constitutivos mediante el establecimiento de hipótesis o, incluso, la propuesta de nuevos modelos numéricos simplificados cuya aplicación demande menor costo computacional. Por ejemplo, una de estas propuestas consiste en la aplicación de Análisis Lineales Secuenciales (ALS) [8], la cual busca aproximar el comportamiento no-lineal de una estructura mediante una serie de análisis lineales en los que se reduce, siguiendo una ley de ablandamiento, las magnitudes de las propiedades mecánicas del material de los elementos que se dañan. Esta estrategia es computacionalmente eficiente pues, al consistir en una serie de análisis lineales, no es necesario un proceso iterativo para alcanzar la convergencia de la solución en cada análisis.

En este artículo se propone ejecutar los ALS aplicando un modelo de elementos finitos resueltos mediante un esquema de integración reducida estabilizada (IRE). La combinación de estas dos estrategias, ALS-IRE, es naturalmente compatible, pues ambas, de manera independiente, reducen el costo computacional requerido en el análisis no-lineal de estructuras desde distintos enfoques. Del mismo modo, al combinarlas, se generan algunas nuevas ventajas que se discuten a lo largo del artículo. En este documento se incluye la descripción de la propuesta y de su implementación numérica mediante una herramienta computacional independiente y compatible con programas de pre-proceso comerciales. Adicionalmente, se valida la propuesta con ejemplos tomados de la literatura especializada sobre el tema y posteriormente se aplica para mostrar la eficiencia alcanzada en comparación con otras propuestas de análisis no-lineal más robustas. Finalmente, se incluye una breve discusión sobre el potencial de este esquema en trabajos futuros.

2. Integración numérica reducida en el método de elementos finitos

En la formulación isoparamétrica de un elemento finito cuadrilátero, se emplean técnicas de integración numérica en el cálculo de la matriz de rigidez ${\textstyle {\boldsymbol {K}}}$, y cuando se considera un comportamiento no-lineal del material en la evaluación numérica del modelo constitutivo en cuestión

donde ${\textstyle t}$ es el espesor del elemento, ${\textstyle {\boldsymbol {B}}}$ es la matriz de compatibilidad y ${\textstyle {\boldsymbol {C}}}$ es la matriz constitutiva para un comportamiento asumido de esfuerzo plano o deformación plana. Además, ${\textstyle x}$ y ${\textstyle y}$ son las coordenadas del espacio físico real, ${\textstyle \xi }$ y ${\textstyle \eta }$ son las del espacio padre de referencia y ${\textstyle \left|{\boldsymbol {J}}\right|}$ es el Jacobiano de la transformación. Los términos ${\textstyle {\xi }_{i}}$, ${\textstyle {\eta }_{j}}$ y ${\textstyle {w}_{i}}$, ${\textstyle {w}_{j}}$ corresponden a los puntos de muestreo y a los pesos de la cuadratura de Gauss-Legendre empleada para el proceso de integración numérica, respectivamente. Como se puede apreciar en la ec. (1), el costo computacional de este procedimiento es proporcional al número de puntos de integración empleados, i.e., orden de cuadratura. Particularmente, para el elemento finito cuadrilátero de 4 nodos, se identifican dos esquemas de integración numérica: integración completa (IC), correspondiente al uso de una cuadratura de ${\textstyle 2\times 2}$, e integración reducida (IR) que corresponde al empleo de una cuadratura de ${\textstyle 1\times 1}$.

El empleo de cuadraturas de orden inferior al requerido puede generar inestabilidades numéricas como el llamado efecto “reloj de arena”, conocido comúnmente en la literatura especializada por su traducción al idioma inglés como efecto hourglass. El cual consiste en la aparición de modos de deformación espurios o modos hourglass i.e., modos inconsistentes que presentan deformación, pero para los cuales la energía de deformación es nula, ${\textstyle {U}_{e}=}$${\displaystyle 0}$. Por lo tanto, la selección de un orden de cuadratura adecuado debe representar una actividad de gran importancia en la ejecución de análisis no-lineales mediante el método de los elementos finitos. En otras palabras, se debe recurrir a un procedimiento de control de efecto hourglass o de estabilización si se quiere tomar ventaja del empleo de IR.

Uno de los métodos más empleados para emplear IR es el desarrollado por Belytschko et al. [3], el cual se basa en la adición de una matriz de rigidez estabilizadora, ${\textstyle \,{\boldsymbol {K}}_{stab}}$, a la matriz de rigidez obtenida con IR, ${\textstyle {\boldsymbol {K}}_{\left(1\right)}}$ (ec. (2)). Desde un punto de vista matemático, la matriz ${\textstyle {\boldsymbol {K}}_{stab}}$, de rango 2, controla el efecto hourglass debido a la recuperación de rango de 3 a 5 de la matriz ${\textstyle {\boldsymbol {K}}_{\left(1\right)}}$, mediante la adición de los términos ignorados cuando se usa IR

donde

En el método original [3], la integral de la ec. (3) se evalúa mediante integración numérica con una cuadratura de ${\textstyle 2\times 2}$, de otra manera resulta ser nula. Esto significa que la matriz de rigidez estabilizada contiene información en los 4 puntos de integración y, consecuentemente, las deformaciones y los esfuerzos se aproximan en estos 4 puntos de integración. Esto es especialmente de consideración cuando se asume un comportamiento no-lineal del material, ya que las evaluaciones del modelo constitutivo en cuestión se realizarán en cada uno de estos 4 puntos de integración, como si se tratara de un esquema de IC. En el trabajo de Belytschko y Bachrach [4] se ha demostrado que este método controla de manera satisfactoria el efecto hourglass y además posibilita, en algunos casos, el empleo de mallas gruesas.

En este artículo, se trabaja con una modificación propuesta al método que consiste en integrar analíticamente la expresión de la ec. (3) con la finalidad de contar con una expresión analítica para la matriz ${\textstyle {\boldsymbol {K}}_{stab}}$ [5]. De esta manera, la matriz de rigidez estabilizada contiene información en un solo punto de integración. La principal ventaja de este esquema de IRE es su eficiencia computacional en análisis no-lineales, debido a que la evaluación de cierto modelo constitutivo solamente se realiza en un punto de integración.

3. Procedimiento de ALS para cargas proporcionales

De acuerdo con Rots [9], el principal objetivo de un procedimiento de ALS es el estudio del fenómeno de fractura en materiales cuasi-frágiles, como el concreto y la mampostería. Este procedimiento aproxima el ablandamiento característico en la correspondiente curva de esfuerzo-deformación a tensión mediante un diagrama dentado, i.e., ley de ablandamiento dentado (Figura 1). Por la naturaleza de la formulación original de ALS, es de esperarse que se subestime el área bajo la curva esfuerzo-deformación del material. Por ello, la formulación de ALS fue mejorada por Rots e Invernizzi [10], quienes propusieron un procedimiento de regularización de malla con el objetivo de minimizar la influencia de ésta en la ejecución de los análisis. Este procedimiento consiste en la inclusión de un factor que modifica la resistencia a tensión y la deformación última del material. En el presente trabajo se implementa este procedimiento en la propuesta de ALS-IRE.

Figura 1. Ablandamiento en curva esfuerzo-deformación [8]

En el procedimiento original de Rots [8] se plantea una ley de ablandamiento lineal del material el cual se aproxima con forma dentada. Rots et al. [11] propusieron nuevos modelos de ablandamiento, incluyendo uno no-lineal. En el mismo sentido, DeJong et al. [12], Eliáš et al. [13] y Yu et al. [14] propusieron innovadores algoritmos que posibilitan la consideración de cargas no proporcionales en la aplicación de ALS. Esto amplía el campo de aplicación de la estrategia a otros patrones de carga, e.g., etapas de carga de pre-compresión y carga lateral.

En cuanto a los campos de aplicación de la estrategia, Rots [8,9] la aplicó al estudio de construcciones de mampostería histórica y de concreto. Más tarde, Invernizzi et al. [15] y Slobbe et al. [16] la aplicaron al estudio de elementos estructurales de concreto sin refuerzo. Adicionalmente, Pari et al. [17] desarrollaron un modelo robusto que permite el empleo de ALS para el estudio de estructuras de mampostería en 2 y 3 dimensiones, mostrando que su propuesta es capaz de reproducir comportamientos complejos de la mampostería. Existen, incluso, algunos algoritmos para reducir el costo computacional en la aplicación de ALS como los de Pari et al. [18], quienes proponen dos estrategias de solución para reutilizar algunas descomposiciones de la matriz de rigidez realizadas en los análisis lineales previos. De esta manera se toma ventaja de que los cambios en el sistema de ecuaciones del modelo de elementos finitos solo son locales.

A grandes rasgos, el procedimiento de ALS consiste en, como su nombre lo indica, realizar una serie de análisis en los que el comportamiento del material siempre es elástico lineal. Después de cada uno de estos análisis se selecciona el elemento más demandado y se degrada su rigidez. Este procedimiento se repite hasta que los elementos por donde se asume que aparecerán grietas se degradan totalmente. Con este procedimiento de ALS, se logra modelar el fenómeno de snap-back (rebote hacia atrás) comúnmente presente en las curvas de esfuerzo-deformación de materiales cuasi-frágiles, mientras que un análisis no-lineal presenta dificultades para reproducirlos numéricamente.

Este procedimiento inicia con la discretización de la estructura empleando elementos finitos sólidos. En la propuesta original, estos elementos son cuadriláteros de 4 nodos, i.e., de aproximación lineal, para aplicar IR con una cuadratura de ${\textstyle 1\times 1}$ en los elementos donde se asume que ocurrirá el daño. Aunque esto es naturalmente extrapolable a elementos hexaedros para análisis tridimensionales. El comportamiento del material se asume elástico-lineal en cada uno de los análisis. Como parámetros iniciales del material, a cada elemento se le asigna un módulo de elasticidad, ${\textstyle E}$, una relación de Poisson, ${\textstyle v}$, y una resistencia a tensión, ${\textstyle {f}_{t}}$. Posteriormente, se sigue el siguiente procedimiento de cargas proporcionales de manera secuencial [10]:

1. Se asigna la carga externa como una carga unitaria de referencia.

2. Se ejecuta un análisis elástico-lineal de manera convencional.

3. A partir de los resultados, se identifica el elemento crítico, i.e., el elemento para el cual el esfuerzo principal de tensión, ${\textstyle \,{\sigma }_{t}}$, es el más cercano su resistencia a tensión actual. De acuerdo con Rots e Invernizzi [10], el criterio del esfuerzo principal de tensión es ampliamente aceptado en el Modo I de la Mecánica de la Fractura para materiales cuasi-frágiles.

4. Se calcula el factor de escala, ${\textstyle \lambda }$, como un cociente entre la resistencia a tensión actual y el esfuerzo principal de tensión del elemento crítico

5. De manera que se pueda construir la curva carga-desplazamiento, se calculan la carga crítica global, como el producto del factor de escala por la carga unitaria de referencia asignada en el paso 1 y, además, se calcula su correspondiente desplazamiento global.

6. Se reducen el módulo de elasticidad y la resistencia a tensión del elemento crítico de acuerdo a la curva de ablandamiento dentado (Figura 1) como se describe en la siguiente sección.

7. Se repiten los pasos del 2 al 6 con la estructura para la cual el módulo de elasticidad y la resistencia a tensión del elemento crítico fueron reducidas.

8. Con todas las configuraciones de encontradas en el paso 5, se construye la curva reacción-desplazamiento.

Finalmente, se traza la malla deformada. De acuerdo con Rots e Invernizzi [10], esta gráfica revela la ubicación de la fractura debido a que la serie de elementos críticos degradados mostrarán las deformaciones más grandes. El resultado de este método depende de la forma en la cual se reduce progresivamente la rigidez y la resistencia del elemento crítico. Esto constituye la esencia del procedimiento. De manera muy simplificada se podría reducir ${\textstyle E}$ a cero inmediatamente después de que un elemento sea seleccionado como elemento crítico por primera vez. Sin embargo, de acuerdo con Rots [9] esto beneficiaría la dependencia de la malla en la obtención de resultados acertados.

3.1 Ley de ablandamiento dentado

El diagrama de esfuerzo-deformación es definido por el módulo de elasticidad ${\textstyle E}$, la resistencia a tensión ${\textstyle {f}_{t}}$, la forma del diagrama y la energía de fractura ${\textstyle {G}_{f}}$ dividida entre el ancho de grieta ${\textstyle h}$, representado por el área bajo el diagrama [10]. Por lo tanto, para un diagrama de ablandamiento lineal, la deformación última ${\textstyle {\epsilon }_{u}}$ se expresa tal como aparece en la siguiente ecuación

En el procedimiento descrito en la sección anterior, el diagrama de ablandamiento se reproduce mediante reducciones consecutivas del módulo de elasticidad con la ec. (6) [8]