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Las vigas sobre fundación flexible representan un modelo básico dentro del análisis estructural, las cuales suelen emplearse para modelar vigas de cimentación, pilas, muros de contención y estructuras más complejas que tengan algún tipo de estos elementos. Para el análisis de estas, usualmente se emplea el método de elementos finitos [1], el cual produce una solución aproximada del problema; y el método de rigidez con funciones de Green [2], el cual produce una solución exacta del mismo.
En este artículo se presenta una metodología 100 % basada en el empleo de las funciones de Green (respuesta ante una fuerza puntual unitaria), para obtener la respuesta exacta de las vigas sobre fundación flexible. La principal ventaja de esta formulación es su menor costo computacional comparado con las citadas alternativas, además que la respuesta puede expresarse solo por medio de sumas e integrales, las cuales se pueden realizar fácilmente de forma numérica.
Por completez, también se presentan una gran variedad de funciones de Green para vigas sobre fundación flexible finitas e infinitas con diferentes condiciones de frontera, así como algunos ejemplos con la implementación de la metodología propuesta.
Palabras clave: Funciones de Green, vigas sobre fundación flexible, pilas, campos de desplazamiento
Beams on elastic foundation are basic elements within structural analysis, which are used to model foundation beams, foundation piles, retaining walls, and more complex structures that include some of these elements. For their analysis, the finite element method is usually used [1], which produces an approximate solution of the problem; and the Green's function stiffness method [2], which produces an exact solution. This article presents a methodology 100% based on the use of Green function's (response to a unit point force), to obtain the exact response of beams on elastic foundation. The main advantage of this formulation is its computational low cost compared to the aforementioned alternatives, and even for a large number of problems, it can be expressed only by means of sums and integrals, which can be easily performed numerically.
Also, a great variety of Green function's for finite and infinite beams on elastic foundations with different boundary conditions are also presented, as well as some examples with the implementation of the proposed methodology.
Keywords: Green’s functions, beams on elastic foundation, piles, displacement field
En mecánica, se define como función de Green, al campo de desplazamiento en un medio ante la acción de una fuerza puntual unitaria. En general, para casos tridimensionales, dicha fuerza unitaria puede estar ubicada en cualquier punto y dirección del medio, y el campo de desplazamiento será vectorial y tendrá también tres componentes escalares. El concepto de función de Green puede fácilmente extenderse a cualquier problema físico en el cual la fuerza puntual será reemplazada por una fuente o acción puntual unitaria, mientras que el campo de desplazamiento será reemplazado por el campo de la variable dependiente principal para el problema. Por ejemplo, en transferencia de calor, la función de Green será el campo de temperatura debido a la acción de una fuente de calor puntual unitaria.
Por si solas, las funciones de Green juegan un papel muy importante en la solución de problemas físicos, puesto que presentan la solución a problemas fundamentales. Por ejemplo, en el famoso problema de Boussinesq, la función de Green es el campo de desplazamiento en un semiespacio (espacio semi-infinito) tridimensional ante la acción de una fuerza puntual unitaria en su superficie. En textos como [3], [4] y [5] se presentan las principales funciones de Green empleadas en la física clásica, en [6] se presenta un compendio de las principales funciones de Green empleadas en la geotecnia, para sismología y elastodinámica sus principales funciones de Green son presentadas en [7], para transferencia de calor en [8], mientras que aquellas propias de los problemas de difusión se presentan en [9].
Además de lo anterior, las funciones de Green son la base de algunos métodos numéricos de contorno o frontera, los cuales permiten resolver problemas diferentes a aquellos para los cuales fueron definidas dichas funciones, es decir, problemas con diferentes condiciones de cargas o fuentes y de frontera. Entre estos métodos numéricos destacan el método directo de elementos de frontera [10,11,12], el método indirecto de elementos de frontera [13,14], y el método de rigidez con funciones de Green [2].
Las vigas sobre fundación flexible representan un modelo básico dentro del análisis estructural, las cueles suelen emplearse para modelar vigas de cimentación, pilas, muros de contención y estructuras más complejas que tengan algún tipo de estos elementos. Pese a que en la actualidad existen diversos métodos para el análisis de estas estructuras, los cuales van desde soluciones tabuladas para gran cantidad de condiciones de frontera y carga [15], la solución directa de los problemas de valor en la frontera gobernantes empleando métodos clásicos de ecuaciones diferenciales [16], hasta el método de elementos finitos [1] o de rigidez con funciones de Green [2] e incluso hay sitios web para su análisis (https://www.buildingsguide.com/calculators/structural/BOEF), es posible empleando solo las funciones de Green obtener su solución.
En este artículo se presenta una metodología basada en las funciones de Green para el análisis de vigas sobre fundación flexible, en la cual el problema de valor en la frontera gobernante para cada problema es resuelto por medio de la superposición o suma de la respuesta ante cargas puntuales. Pese a que el presente procedimiento tiene similitudes conceptuales con aquel propuesto por Dinev [17] los autores creen que la formulación en términos de funciones de Green es más ingenieril y además al presentarse gran variedad de estas funciones para diferentes condiciones de frontera, hace más fácil su implementación para vigas sobre fundación flexible de uno o varios tramos.
La ecuación diferencial que gobierna el desplazamiento de una viga sobre fundación flexible (Figura 1), formada por una viga de material elástico lineal homogéneo, de sección transversal constante y apoyada sobre un medio flexible con rigidez por unidad de longitud constante, es (ver [2] para una deducción paso a paso):
|
(1) |
donde:
: Módulo de elasticidad del material de la viga.
: Momento de inercia respecto al eje de la sección transversal de la viga.
: Constante de rigidez por unidad de longitud del suelo de soporte de la viga.
: Campo de desplazamiento en dirección del eje de la viga.
: Fuerza externa por unidad de longitud en dirección del eje que actúa sobre la viga.
![]() |
Figura 1. Viga sobre fundación flexible sometida a carga externa distribuida |
Por facilidad en su solución, es usual dividir (1) entre , obteniéndose:
|
(2) |
donde .
Además de la fuerza externa por unidad de longitud , la viga también se encuentra sometida a la fuerza distribuida que el suelo ejerce sobre esta, la cual es proporcional al desplazamiento en cada de esta y se calcula como:
|
(3) |
En este punto es importante resaltar que pese a que las ecuaciones (1) y (2) están escritas en términos de la fuerza externa por unidad de longitud sobre la viga, es decir, una carga distribuida, incluso fuerzas y momentos puntuales se pueden expresar de esta manera. Como ejemplo, se tiene que la carga externa puntual aplicada a la viga sobre fundación flexible presentada en la Figura 2a se define por medio de la siguiente función:
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(4) |
![]() |
![]() |
(a) | (b) |
Figura 2. Vigas sobre fundación flexible sometidas a fuerzas y momentos puntuales. (a) Fuerza puntual. (b) Momento puntual |
Mientras que para el caso del momento externo puntual presentado en la Figura 2b, la función se define a partir de (4) como (ver la Figura 3 para una explicación):
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(5) |
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Figura 3. Definición de un momento puntual como el caso límite de dos fuerzas puntuales muy cercanas entre si |
De otra parte, a partir del campo de desplazamiento, es posible obtener los campos de fuerzas internas en la viga como:
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donde es el campo de momento flector y es el campo de fuerza cortante, cuya convención positiva se presenta en la Figura 4.
![]() |
Figura 4. Convención positiva de las fuerzas internas |
En las figuras 5 y 6 se presentan los modelos de las vigas sobre fundación flexible finitas e infinitas para los cuales se definirán las funciones de Green a emplear en este artículo, todas las cuales son solución de la siguiente ecuación diferencial:
|
(7) |
Donde es la función de Green del problema en particular, es decir, el desplazamiento en dirección del punto , debido a la aplicación de una fuerza puntual unitaria en dirección en el punto .
La ecuación (7) es un caso particular de (2), en la cual en lugar de se ha empleado y para definir la función de la carga externa se ha empleado (4) con .![]() |
Figura 6: Viga sobre fundación flexible infinita sometida a una fuerza puntual unitaria. |
La función de Green para la viga sobre fundación flexible finita, con ambos extremos libres y presentada en la figura 5a, es la solución del siguiente problema de valor en la frontera:
|
Donde las dos que acompañan al nombre de la función de Green hacen referencia a que cada uno de los extremos es ibre.
Cada uno de los tramos de esta función de Green se definen como:
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(9) |
Donde:
|
|
(11) |
|
(12) |
|
(13) |
|
(14) |
|
(15) |
La función de Green para la viga sobre fundación flexible finita con ambos extremos con apoyos simples, presentada en la figura 5b, es la solución del siguiente problema de valor en la frontera:
|
Donde las dos que acompañan al nombre de la función de Green hacen referencia a que cada uno de los extremos es un apoyo imple.
Cada uno de los tramos de esta función de Green se definen como:
|
(17) |
Donde:
|
|
(19) |
|
(20) |
|
(21) |
La función de Green para la viga sobre fundación flexible finita con su extremo inicial empotrado y su extremo final libre, presentada en la figura 5c, es la solución del siguiente problema de valor en la frontera:
|
Donde la del primer supeindice del nombre hace referencia a que el extremo inicial es mpotrado y la a que el extremo final es ibre.
Cada uno de los tramos de esta función de Green se definen como:
|
(23) |
Donde:
|
|
(25) |
|
(26) |
|
(27) |
|
(28) |
|
(29) |
La función de Green para la viga sobre fundación flexible finita doblemente empotrada presentada en la figura 5d, es la solución del siguiente problema de valor en la frontera:
|
Donde las dos que acompañan al nombre de la función de Green hacen referencia a que cada uno de los extremos es un apoyo mpotrado.
Cada uno de los tramos de esta función de Green se definen como:
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(31) |
Donde:
|
|
(33) |
|
(34) |
|
(35) |
|
(36) |
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(37) |
La función de Green para la viga sobre fundación flexible infinita presentada en la figura 6, se define como:
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(38) |
Donde:
|
(39) |
|
(40) |
La cual se puede escribir en un solo tramo desde a como:
|
(41) |
![]() |
Figura 8: Viga sobre fundación flexible infinita sometida a un momento puntual unitario. |
A partir de (9), la función de Green para la viga sobre fundación flexible finita con ambos extremos libres presentada en la figura 7a, se define como:
|
(42) |
Y sus tramos se definen como:
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(43) |
A partir de (17), la función de Green para la viga sobre fundación flexible finita simplemente apoyada presentada en la figura 7b, se define como:
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(44) |
Y sus tramos se definen como:
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(45) |
A partir de (23), la función de Green para la viga sobre fundación flexible finita simplemente apoyada presentada en la figura 7c, se define como:
|
(46) |
Y sus tramos se definen como:
|
(47) |
A partir de (31), la función de Green para la viga sobre fundación flexible finita simplemente apoyada presentada en la figura 7d, se define como:
|
(48) |
Y sus tramos se definen como:
|
(49) |
A partir de (38), la función de Green para la viga sobre fundación flexible finita simplemente apoyada presentada en la figura 8, se define como:
|
(50) |
Y sus tramos se definen como:
|
(51) |
![]() |
Figura 9: Viga sobre fundación flexible sometida a cargas externas distribuidas y puntuales. |
La carga puntual se expresa como el producto de una fuerza puntual unitaria por el factor , es decir, se encuentra definida por la siguiente función (ver la ecuación (4) para una explicación):
|
(52) |
Algo similar ocurre con las fuerzas puntuales debidas a las reacciones verticales que ocurren en los puntos 1 y 2, las cuales se definen respectivamente como:
|
Donde y son respectivamente los valores de las reacciones en los puntos 1 y 2, las cuales son positivas en dirección del eje .
Por su parte, los momentos puntuales debidos al momento externo y la reacción a momento en el punto 1, se expresan respectivamente como:
|
Donde es la reacción a momento en el punto 1 y es una variable auxiliar muda o temporal.
Mientras que la carga distribuida se expresa como:
|
(55) |
Ahora que es claro que cualquier carga puntual o distribuida puede expresarse como un operador lineal de cargas puntuales, se debe seleccionar una función de Green cuya viga sobre fundación flexible cumpla o pueda cumplir, por medio de la aplicación de fuerzas o momentos puntuales, todas condiciones de frontera y compatibilidad de la viga sobre fundación flexible en estudio. Para este problema la función de Green que más se acomoda es aquella de la viga empotrada libre presentada en la figura 5c. Una vez seleccionada la función de Green, la viga que la define debe hacerse equivalente a aquella en estudio, lo cual se logra a partir de la aplicación de cargas distribuidas y/o puntuales (todas ellas expresables como un operador lineal de cargas puntuales) y del cumplimiento de condiciones de frontera y/o compatibilidad. En este caso es claro que para que la estructura presentada en la figura (5c) sea equivalente a aquella de la figura 9 debe cumplirse que el desplazamiento en el punto 2 sea cero, es decir, , condición de compatibilidad empleada para obtener el valor de la reacción que es desconocido, la cual se expresa en términos de las funciones de Green y , así como empleando el principio de superposición, como:
|
(56) |
Cuyos términos se explican a continuación:
: Desplazamiento en debido a la fuerza puntual ubicada en .
: Desplazamiento en debido a la fuerza puntual ubicada en .
: Desplazamiento en debido al momento puntual ubicado en .
: Desplazamiento en debido a la carga distribuida ubicada entre y .
: Desplazamiento en debido a la carga distribuida ubicada entre y .
En este punto es importante recordarle al lector que corresponde al desplazamiento antes de la fuerza puntual unitaria, mientras que corresponde a aquel después de esta.
Como siguiente paso, una vez obtenidas todas las condiciones de compatibilidad, se resuelve el sistema lineal de ecuaciones que ellas forman, de lo cual se obtiene el valor de aquellas reacciones puntuales diferentes a aquellas que también ocurrirían en la viga sobre fundación flexible empleada para definir la función de Green. En este ejemplo esto equivale a obtener el único valor de que cumple (56).![]() |
Figura 10: Aplicación de las cargas externas de la viga sobre fundación flexible a analizar sobre aquella empleada para la definición de la función de Green empleada en la solución. |
Una vez obtenidas las reacciones que hacen que se cumplan las condiciones de compatibilidad y/o frontera, es necesario calcular el campo de desplazamiento en cada uno de los tramos de la viga sobre fundación flexible, lo cual se realiza de nuevo empleando el principio de superposición. Para este ejemplo el campo de desplazamiento tiene 6 tramos y se define como:
|
(57) |
Mientras que cada uno de sus valores se calcula como:
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(58) |
|
(59) |
|
(60) |
|
(61) |
|
(62) |
|
(63) |
Por último, a partir del campo de desplazamiento calculado anteriormente y empleando (3) y (6) se calculan los campos de la fuerza que el suelo ejerce sobre la viga, de momento flector y fuerza cortante respectivamente como:
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(64) |
|
(65) |
|
(66) |
![]() |
Figura 11: Viga sobre fundación flexible simplemente apoyada sometida a una carga externa sinusoidal. |
Solución
Como se indicó en el enunciado, la función de Green a emplear en la solución de este problema es , la cual se presenta en la ecuación (17).
La carga externa distribuida sobre la viga está definida por medio de la siguiente función:
|
(67) |
Ahora, debido a que la viga sobre fundación flexible empleada para la función de Green tiene los mismos tramos, condiciones de frontera y de continuidad que aquella a analizar, su campo de desplazamiento se obtiene de forma inmediata solo mediante la siguiente integral:
|
(68) |
La cual se puede entender como el cálculo del desplazamiento en un punto de la viga sobre fundación flexible como la suma del desplazamiento en dicho punto debido a la carga externa aplicada en cada uno de sus puntos .
A partir de (3) y (6), la fuerza que el suelo ejerce sobre la viga y las fuerzas internas en esta se calculan respectivamente como:
|
Desde el siguiente enlace se puede descargar el código de Python con la solución de este ejemplo:
https://drive.google.com/file/d/18ee0fR2uzRQFk79DYxLziZwbhIHquAgS
![]() |
Figura 12: Viga sobre fundación flexible empotrada-libre sometida a una carga externa distribuida constante. |
Solución
La carga externa que actúa sobre la viga está definida por la siguiente función:
|
(70) |
Para esta alternativa la función de Green a emplear es , la cual se presenta en la ecuación (23).
Debido a que la viga de la función de Green que a emplear tienen las mismas condiciones de frontera que aquella a analizar, su campo de desplazamiento se calcula como:
|
(71) |
El cual luego de realizar las integrales respectivas, da como resultado:
|
(72) |
Donde:
|
(73) |
A partir de (3) y empleando (72) se tiene que la fuerza que el suelo hace sobre la viga es:
|
(74) |
Mientras que reemplazando (72) en (6) se obtiene que los campos de momento flector y fuerza cortante son respectivamente:
|
Donde:
|
(76) |
Y:
|
(77) |
Para la solución de este problema se emplearán las siguientes funciones de Green:
: Campo de desplazamientos de la viga sobre fundación flexible libre-libre sometida a una carga puntual unitaria presentada en la figura 5a y cuyo valor se presenta en la ecuación (17).
: Campo de desplazamientos de la viga sobre fundación flexible libre-libre sometida a un momento puntual unitario presentada en la figura 7a y cuyo valor se presenta en la ecuación (44).
: Campo de rotaciones de la viga sobre fundación flexible libre-libre sometida a una carga puntual unitaria presentada en la figura 5a.
: Campo de rotaciones de la viga sobre fundación flexible libre-libre sometida a un momento puntual unitario presentada en la figura 7a.
En este punto es importante resaltar que debido a que , y son derivadas de , en realidad es posible indicar que lo es necesario emplear está última, mientras que los tramos de las primeras se definen como:
|
|
|
Para resolver este problema se debe tener en cuenta que solo integrando la función de Green libre-libre multiplicada por la carga externa que actúa sobre la viga, se obtiene una solución que cumplirá las mismas condiciones de frontera homogéneas que la función de Green posee, es decir:
Las cuales cuales no coinciden con aquellas que posee la viga sobre fundación flexible a estudiar (ver figura 12).
![]() |
Figura 13: Viga sobre fundación flexible en voladizo sometida a una carga externa distribuida constante. |
Con base en lo anterior, las dos ecuaciones a emplear para obtener el valor de las reacciones de la viga sobre fundación flexible son:
|
De cuya solución se obtiene:
|
Con lo cual, se tiene que el campo de desplazamiento ahora se calcula como:
|
(80) |
El cual luego de realizar las integrales y usando (79), da como resultado:
|
(81) |
Donde:
|
(82) |
Dado que el campo de desplazamiento presentado en (82) es igual al presentado en (72) la fuerza que el suelo ejerce sobre la viga y las fuerzas internas en esta serán también iguales con ambas alternativas.
Desde el siguiente enlace se puede descargar el código de Python con la solución de este ejemplo:
https://drive.google.com/file/d/1_i-gzT1M8_PfHonABU7wzhmksbqhUeIi
![]() |
Figura 14: Viga sobre fundación flexible simplemente libre libre sometida a cargas puntuales y distribuidas así como a momento puntual. |
Funciones de Green a emplear
Para la solución de este ejercicio se emplearán las funciones de Green y , las cuales se presentan en las ecuaciones (9) y (42) respectivamente.
El campo de desplazamiento de la viga sobre fundación flexible tiene 4 tramos, los cuales se definen como:
|
(83) |
Donde cada uno de estos se calcula como:
|
(84) |
|
(85) |
|
(86) |
|
(87) |
|
(88) |
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(89) |
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(90) |
|
(91) |
![]() |
![]() |
(a) Campo de desplazamiento. | (b) Campo de la fuerza que el suelo le ejerce a la viga. |
Figura 15: Campos de desplazamiento y fuerza que el suelo ejerce sobre la viga. |
Cálculo de la fuerza distribuida que el suelo realiza sobre la viga
A partir del campo de desplazamiento es fácil calcular la fuerza que el suelo le hace a la viga como , es decir:
|
(92) |
Donde:
|
(93) |
|
(94) |
|
(95) |
|
(96) |
Como revisión de los anteriores resultados a continuación se realizará la revisión del equilibrio vertical y rotacional respecto al nodo 1 de toda la viga:
|
A continuación se calculan las fuerzas internas en la viga a partir de su campo de desplazamiento.
Campo de momento flector
A partir del campo de desplazamiento y empleando (6.a), el campo de momento flector se calcula como:
|
(98) |
Donde:
|
(99) |
|
(100) |
|
(101) |
|
(102) |
De forma gráfica, el campo de momento flector se presenta en la figura 16FigMomentoFlector.
Campo de fuerza cortante
Mientras que el campo de fuerza cortante se calcula a partir del campo de desplazamiento como (ver (6.b)):
|
(103) |
Donde:
|
(104) |
|
(105) |
|
(106) |
|
(107) |
![]() |
![]() |
(a) Momento flector. | (b) Fuerza cortante. |
Figura 16: Campos de fuerzas internas. |
Desde el siguiente enlace se puede descargar el código de Python con la solución de este ejemplo:
https://drive.google.com/file/d/1OVWDyO10_n7tHrZyyISo-OOYUmVrB8bn
Las principales conclusiones de este artículo son:
[1] Reddy, JN. (2004) "An introduction to the finite element method", Volume 1221. McGraw-Hill New York
[2] Molina-Villegas, Juan Camilo and Giraldo, Harold Nolberto Diaz and Ochoa, Andrés Felipe Acosta. (2020) "Analytical formulation of the stiffness method for 2D reticular structures using Green functions", Volume 36. Revista Internacional de Metodos Numericos para Calculo y Diseno en Ingenieria 3
[3] Stakgold, Ivar and Holst, Michael J. (2011) "Green's functions and boundary value problems", Volume 99. John Wiley & Sons
[4] Duffy, Dean G. (2015) "Green's functions with applications". CRC Press
[5] Rother, Tom. (2017) "Green's Functions in Classical Physics", Volume 938. Springer
[6] Podio-Guidugli, Paolo and Favata, Antonino. (2014) "Elasticity for Geotechnicians: A Modern Exposition of Kelvin, Boussinesq, Flamant, Cerruti, Melan, and Mindlin Problems", Volume 204. Springer
[7] Kausel, Eduardo. (2006) "Fundamental solutions in elastodynamics: a compendium". Cambridge University Press
[8] Cole, Kevin and Beck, James and Haji-Sheikh, A and Litkouhi, Bahman. (2010) "Heat Conduction Using Greens Functions". CRC Press
[9] Mandelis, Andreas. (2013) "Diffusion-wave fields: mathematical methods and Green functions". Springer Science & Business Media
[10] Beer, Gernot. (2000) "Programming the boundary element method". John Wiley & Sons, Inc.
[11] Brebbia, Carlos Alberto and Dominguez, Jose. (1994) "Boundary elements: an introductory course". WIT press
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Published on 29/06/21
Accepted on 29/06/21
Submitted on 25/01/21
Volume 37, Issue 2, 2021
DOI: 10.23967/j.rimni.2021.06.002
Licence: CC BY-NC-SA license
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