Elastoplastic analysis of steel frames with interaction surfaces in stress resultants obtained for multiple linear regression

Latest revision as of 14:39, 5 March 2021

Resumo

As superfícies de interação em resultantes de tensão podem ser de grande utilidade nos processos de análise estrutural, mas sua obtenção para pórticos planos ou espaciais, geralmente, é em esforços combinados de momentos fletores e normais. A literatura apresenta as superfícies em formas planas, quadriculares, complexas ou mistas para análise não linear de estruturas que apresentam os problemas de instabilidade local e global na execução. O modelo de regressão linear múltipla é um método que permite a obtenção de superfícies de interação em resultantes de tensão a partir de análises de elementos sólidos 3D. As análises elastoplásticas de pórticos planos ou espaciais usando estas superfícies facilitam os processos de análise estrutural para a execução de projetos com melhor segurança estrutural. Neste trabalho, a abordagem será para estruturas metálicas com superfícies em resultantes de tensão obtidas por análises não lineares do modelo de dano de vigas de Timoshenko 3D.

Palavras-chave: Superfícies de interação, vigas de Timoshenko 3D, regressão linear múltipla, resultantes de tensões, pórticos metálicos, análise elastoplástica

Abstract

The interaction surfaces in stress resultants can be of great use in the structural analysis processes, but their obtaining for plane or space frames, generally, is in combined efforts of bending moments and normal. The literature presents the surfaces in plane, quadric, complex or mixed forms for nonlinear analysis of structures that have the problems of local and global instability in the executing. The multiple linear regression model is a method that permit obtain interaction surfaces in the stress resultants from 3D solid element analysis. The plane and space frames elastoplastic analysis using these surfaces facilitate the structural analysis processes for the execution of projects with better structural safety. In this work, the approach will be for metallic structures with stress resultants surfaces obtained by Timoshenko 3D beams damage model non-linear analysis.

Keywords: Interaction curves, 3D Timoshenko beams, multiple linear regression, stress resultants, steel frame, elastoplastic analysis

1. Introdução

A análise elastoplástica com pórticos espaciais ou planos necessita da função de escoamento que controla o término da fase elástica e o estado plástico da estrutura. Usar superfícies de interação em resultantes de tensões é de mais fácil entendimento para os projetistas porque geralmente os esforços seccionais são apresentados nestas resultantes, a saber, momentos, cortantes e axial. O modelo de dano em vigas de Timoshenko em vigas 3D permite obter os esforços em resultantes de tensões com a versatilidade de poder usá-lo para estruturas de concreto armado ou aço, de acordo com os parâmetros adotados. No trabalho de Vieira [1] faz-se a aplicação da tese doutoral de Hanganu [2] para o caso de estruturas de aço com a definição do limite de dano quando o valor da função de endurecimento ( ${\textstyle k\left(d\right))}$ for igual a máxima resistência ao cortante octaédrica ( ${\textstyle {\tau }_{oct}^{m{\acute {a}}x}(d)}$ ). As verificações realizadas demonstraram que os limites plásticos foram atendidos. Este trabalho fará a aplicação das superfícies de interação em pórticos planos e espaciais, de modo que seja verificado se a regressão linear múltipla consegue demostrar se a função é de boa utilidade ou não na análise elastoplástica.

2. Métodos

A pesquisa foi desenvolvida com as formulações apresentadas nas Seções 2.1 a 2.6 e 3 (três) estudos de casos na Seção 2.7.

2.1 Funções de Escoamento

Na literatura, as funções de escoamento de uma seção retangular para combinações de esforços seccionais de momento fletor, axial, cortante e torção para pórticos planos e espaciais são apresentadas por Lubliner [3], Mrázik [4] e Crisfield [5] de forma resumida como:

(1)

onde:

;

(2)

com

${\textstyle N}$ = esforço normal atuante;

${\textstyle {N}_{xp}}$ = esforço axial de plastificação;

${\textstyle {M}_{i}}$ = esforço de momento atuante;

${\textstyle {M}_{ip}}$ = esforço de momento de plastificação;

${\textstyle x\,e\,y}$ = direções dos esforços no sistema de referência.

Outras funções apresentam as interações de esforços seccionais como segue:

(3)

(4)

com

(5)

(6)

(7)

com

onde ${\textstyle {F}_{i}}$ = força cortante atuante; ${\textstyle {F}_{ip}}$ = força cortante de plastificação.

Existem dificuldades para a obtenção das funções de escoamento por ensaios experimentais, assim como por modelos computacionais porque as mesmas dependem da geometria da seção transversal e das propriedades do material. A abordagem baseada no modelo de dano em vigas de Timoshenko 3D para a obtenção das superfícies com regressão linear múltipla é apresentada em Vieira e Silva [6] e com mais detalhes em Vieira [1].

2.2 Modelo de dano

Hanganu [2] desenvolve o modelo de dano isotrópico para problemas termicamente estáveis, na configuração material lagrangiana com pequenas deformações e deslocamentos com a descrição do dano pela variável ${\textstyle d}$ em função de uma superfície elementar com um volume de material degradado como na Figura 1:

(8)

onde ${\textstyle {S}_{n}}$ = área total da seção; ${\textstyle {\overline {S}}_{n}}$ = área resistente efetiva; ${\textstyle {S}_{n}-{\overline {S}}_{n}\,}$ = área ocupada pelas aberturas.

Figura 1. Superfície com dano

A relação de equilíbrio entre a tensão de Cauchy ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {\sigma }}}}$ e a tensão efetiva ${\textstyle {\overline {\mathit {\boldsymbol {\sigma }}}}}$ é mostrada pela equação (9) e a Figura 2:

(9)


(a) Região real com dano	(b) Região equivalente sem dano
Figura 2. Tensão de Cauchy ${\textstyle \sigma }$ e tensão efetiva ${\textstyle {\overline {\sigma }}}$

Fazendo as relações entre as equações (8) e (9) obtém-se:

(10)

onde ${\textstyle E}$ = módulo de elasticidade do material; ${\textstyle \epsilon }$ = deformação do material.

Para problemas termicamente estáveis é válida a inequação de Clasius-Planck para representar a dissipação ( ${\textstyle {\Xi }_{m}}$ ), sempre crescente, com a potência dissipativa ${\textstyle {\overset {\cdot }{{\Xi }_{m}}}}$ sendo positiva em um ponto para a forma lagrangiana seguinte:

(11)

com

${\textstyle {\Psi }_{0}}$ = energia livre elástica de Helmholtz do material sem danos;

${\textstyle \Psi }$ = energia livre de Helmholtz para um modelo com dano isotérmico;

${\textstyle {m}_{0}}$ = densidade na configuração material.

O termo ${\textstyle \left({\frac {1}{{m}_{o}}}{\mathit {\boldsymbol {\sigma }}}^{T}-\right.}$ $\left.{\frac {\partial {\boldsymbol {\Psi }}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {\epsilon }}}}}\right){\overset {\cdot }{\mathit {\boldsymbol {\epsilon }}}}-$ ${\frac {\partial {\boldsymbol {\Psi }}}{\partial d}}{\overset {\cdot }{d}}\geq 0$ necessita cumprir-se em qualquer variação temporal arbitrária da variável independente ${\textstyle \epsilon }$ . Assim, ${\textstyle {\overset {\cdot }{\epsilon }}}$ pode ser “zero” ou

(12)

Desenvolvendo a equação (12) chega-se a:

(13)

onde ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {C}}}^{s}=\left(1-d\right){\mathit {\boldsymbol {C}}}^{0}}$ é a matriz constitutiva secante do material com dano.

Por consequência o termo restante da equação (11) torna-se em

(14)

Pelas equações (11) e (14) o dano nunca pode diminuir, ou seja, ${\textstyle {\overset {\cdot }{d}}\geq 0}$ .

A função equivalente utilizada no modelo de Hanganu [2] é mostrada na Figura 3 com ${\textstyle {\acute {{f}_{t}}}}$ e ${\textstyle {\acute {{f}_{c}}}}$ como resistências de tração e compressão, respectivamente.

O termo ${\textstyle n}$ é

(15)

Figura 3. Função limite de dano no plano principal

A equação que a representa é a seguinte:

(16)

onde ${\textstyle G\left(\chi \right)}$ = função escalar, inversível, positiva e derivada positiva, a determinar.

A função de evolução do limite de dano, Hanganu [2], é mostrada na Figura 4.

Figura 4. Representação da função

O presente trabalho foi focado em estruturas de aço. Desta feita, adotou-se o critério de von Mises que depende de somente um parâmetro, ou seja, a máxima resistência ao cortante octaédrica ${\textstyle {\tau }_{oct}^{m{\acute {a}}x}}$ , considerando somente o 2º invariante do tensor desviador de tensões ${\textstyle \,{J}_{2}}$ , desprezando a influência do 1º invariante do tensor de tensões e do 3º invariante do tensor desviador de tensões ${\textstyle {J}_{3}}$ . De acordo com este critério, se alcança o limite do dano quando o valor da função de endurecimento ${\textstyle \kappa \,(d)}$ alcança a máxima resistência ao cortante octaédrico ${\textstyle {\tau }_{oct}^{m{\acute {a}}x}\,(d)}$

(17)

Este critério é representado na equação (18):

(18)

2.3 Superfícies de interação por regressão linear múltipla

Na obtenção das superfícies foram feitas várias combinações de carregamentos de forma a ter um grupo de pontos para gerar a superfície proposta, ou seja, pontos que tenham alcançado a superfície de escoamento. Para um dado carregamento, obtém-se um ponto, como por exemplo o ponto 1 da Figura 5, cujas coordenadas (n1, m1) são o esforço axial e momento fletor respectivamente. Mais detalhes sobre os processos de obtenção das superfícies podem ser lidos em Vieira [1].

Figura 5. Pontos gerados para criar a função de escoamento (caso uniaxial)

A superfície para o caso da Figura 5 tem a seguinte descrição no formato do modelo de regressão linear múltipla:

(19)

onde ${\textstyle n\,e\,m}$ = esforços normal e fletor adimensionais, respectivamente; ${\textstyle {\beta }_{1}\,e\,{\beta }_{2}}$ = coeficientes obtidos pela regressão linear múltipla.

Muitas aplicações da análise de regressão envolvem situações em que há mais de uma variável de regressão. Um modelo de regressão que contém mais de um regressor recebe o nome de modelo de regressão múltipla como por exemplo em Montgomery [7].

O modelo desenvolvido para a formulação pretendida tem a seguinte forma:

(20)

onde:

${\textstyle {\overline {n}}_{x}={\frac {{n}_{x}}{{n}_{xp}}}}$ com ${\textstyle {n}_{x}}$ e ${\textstyle {n}_{xp}}$ como o esforço axial atuante e plástico;

${\textstyle {\overline {f}}_{y}={\frac {{f}_{y}}{{f}_{yp}}}}$ com ${\textstyle {f}_{y}}$ e ${\textstyle {f}_{yp}}$ como o esforço cortante atuante e plástico;

${\textstyle {\overline {f}}_{z}={\frac {{f}_{z}}{{f}_{zp}}}}$ com ${\textstyle {f}_{z}}$ e ${\textstyle {f}_{zp}}$ como o esforço cortante atuante e plástico;

${\textstyle {\overline {m}}_{x}={\frac {{m}_{x}}{{m}_{xp}}}}$ com ${\textstyle {m}_{x}}$ e ${\textstyle {m}_{xp}}$ como o momento torçor atuante e plástico;

${\textstyle {\overline {m}}_{y}={\frac {{m}_{y}}{{m}_{yp}}}}$ com ${\textstyle {m}_{y}}$ e ${\textstyle {m}_{yp}}$ como o momento fletor atuante e plástico;

${\textstyle {\overline {m}}_{z}={\frac {{m}_{z}}{{m}_{zp}}}}$ com ${\textstyle {m}_{z}}$ e ${\textstyle {m}_{zp}}$ como o momento fletor atuante e plástico.

Na regressão as observações da equação (20) podem ser apresentadas como

(21)

onde

${\textstyle n}$ = número de observações (ensaios);

${\textstyle {\beta }_{k}}$ = coeficientes de regressão da resposta ${\textstyle Y}$ ;

${\textstyle k\,}$ = variáveis independes (regressores): ${\textstyle {\overline {f}}_{x}}$ ; ${\textstyle {\overline {f}}_{y}}$ ; ${\textstyle {\overline {f}}_{z}}$ ; ${\textstyle \,{\overline {m}}_{x}}$ ; ${\textstyle \,{\overline {m}}_{y}}$ ; ${\textstyle {\overline {m}}_{z}}$ e suas combinações;

${\textstyle {\epsilon }_{i}}$ = erros do modelo.

O enfoque matricial da formulação é mostrado como segue:

(22)

com

\left[{\begin{matrix}1\\1\\{\begin{matrix}\vdots \\1\end{matrix}}\end{matrix}}{\begin{matrix}{x}_{11}\\{x}_{21}\\{\begin{matrix}\vdots \\{x}_{n1}\end{matrix}}\end{matrix}}{\begin{matrix}{x}_{12}\\{x}_{22}\\{\begin{matrix}\vdots \\{x}_{n2}\end{matrix}}\end{matrix}}{\begin{matrix}\cdots \\\cdots \\{\begin{matrix}\vdots \\\cdots \end{matrix}}\end{matrix}}{\begin{matrix}{x}_{1k}\\{x}_{2k}\\{\begin{matrix}\vdots \\{x}_{nk}\end{matrix}}\end{matrix}}\right]

(23)

(24)

onde

${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {Y}}}}$ = é o vetor de observações de dimensão ${\textstyle (n\times 1)}$ ;

${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {X}}}}$ = é o tensor (matriz) de dimensão ${\textstyle (n\times p)}$ dos níveis das variáveis independentes;

${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {\beta }}}}$ = é o vetor dos coeficientes de regressão de dimensão ${\textstyle (p\times 1)}$ ;

${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {\epsilon }}}}$ = é o vetor dos erros aleatórios de dimensão ${\textstyle (n\times 1)}$ .

Deve-se encontrar o vetor dos estimadores dos mínimos quadrado, ${\textstyle {\hat {\mathit {\boldsymbol {\beta }}}}}$ , que minimiza

(25)

Desenvolvendo os cálculos chega-se a:

(26)

Mais detalhes dos processos de cálculo podem ser lidos em Montgomery [7].

O modelo ajustado passa a ter a seguinte forma;

(27)

Com ${\textstyle i=1,\,2,\,\cdots ,n}$ .

Os testes de hipóteses utilizados são o estatístico de prova “F” e os de coeficientes individuais “t” que podem ser compreendidos com detalhes em Montgomery [7].

As superfícies e seus os resultados estatísticos (Tabelas 1 a 6) que serão usados nas análises elastoplásticas, obtidos em Vieira [1], são as seguintes:

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

Tabela 1. Prova de significância da superfície

Fonte de variação	Soma dos quadrados	Graus de liberdade	Média dos quadrados	$F$	$P>F$
Regressão	23,860	3	7,953	1183,674	0,000
Erro (resíduo)	0,1400	21	0,007
Total	24,000	24
Prova dos coeficientes individuais
Variáveis	Estimado	Erro	$t$	$P>\left\|t\right\|$
${n}^{2}$	1,1580	0,0377	30,740	0,000
${m}_{y}^{2}$	1,1180	0,0387	28,900	0,000
${m}_{z}^{2}$	1,1240	0,0381	29,530	0,000

Tabela 2. Prova de significância da superfície

Fonte de variação	Soma dos quadrados	Graus de liberdade	Média dos quadrados	$F$	$P>F$
Regressão	24,000	5	4,800	55913,754	0,000
Erro (resíduo)	0,000	19	0,000
Total	24,000	24
Prova dos coeficientes individuais
Variáveis	Estimado	Erro	$t$	$P>\left\|t\right\|$
${n}^{2}$	1,0100	0,0056	179,500	0,000
${m}_{y}^{2}$	0,9680	0,0086	113,100	0,000
${m}_{z}^{2}$	0,9810	0,0085	115,500	0,000
$n{m}_{y}$	0,5140	0,0312	16,500	0,000
$n{m}_{z}$		0,0305	14,100	0,000

Tabela 3. Prova de significância da superfície

Fonte de variação	Soma dos quadrados	Graus de liberdade	Média dos quadrados	$F$	$P>F$
Regressão	24,000	6	4,000	53308,230	0,000
Erro (resíduo)	0,000	18	0,000
Total	24,000	24
Prova dos coeficientes individuais
Variáveis	Estimado	Erro	$t$	$P>\left\|t\right\|$
${n}^{2}$	1,0140	0,00552	183,500	0,000
${m}_{y}^{2}$	0,9660	0,00806	119,800	0,000
${m}_{z}^{2}$	0,9820	0,00795	123,500	0,000
$n{m}_{y}$	0,5060	0,02951	17,100	0,000
$n{m}_{z}$	0,4040	0,03146	12,800	0,000
${m}_{y}{m}_{z}$	0,0380	0,01980	1,900	0,000

Tabela 4. Prova de significância da superfície

Fonte de variação	Soma dos quadrados	Graus de liberdade	Média dos quadrados	$F$	$P>F$
Regressão	12,000	2	6,000	84325,969	0,000
Erro (resíduo)	0,000	10	0,000
Total	12,000	12
Prova dos coeficientes individuais
Variáveis	Estimado	Erro	$t$	$P>\left\|t\right\|$
${n}^{2}$	1,0120	0,0043	235, 300	0,000
${m}_{z}^{2}$	1,0270	0,0044	233, 800	0,000

Tabela 5. Prova de significância da superfície

Fonte de variação	Soma dos quadrados	Graus de liberdade	Média dos quadrados	$F$	$P>F$
Regressão	11,960	2	5,979	1455,211	0,000
Erro (resíduo)	0,040	10	0,004
Total	12,000	12
Prova dos coeficientes individuais
Variáveis	Estimado	Erro	$t$	$P>\left\|t\right\|$
${n}^{2}$	1,2420	0,0309	40,220	0,000
${m}_{z}^{2}$	1,0870	0,0355	30,610	0,000

Tabela 6. Prova de significância da superfície

Fonte de variação	Soma dos quadrados	Graus de liberdade	Média dos quadrados	$F$	$P>F$
Regressão	11,990	2	5,996	8547,240	0,000
Erro (resíduo)	0,010	10	0,001
Total	12,000	12
Prova dos coeficientes individuais
Variáveis	Estimado	Erro	$t$	$P>\left\|t\right\|$
$n$	1,0890	0,0112	97,600	0,000
${m}_{z}^{2}$	0,9290	0,0150	62,040	0,000

2.4 Análise elastoplástica de estruturas de pórticos

Uma superfície de interação define o estado último de uma seção transversal e depende dos seguintes fatores:

1. Forma geométrica da seção transversal;

2. Combinação dos esforços seccionais que atuam na seção transversal;

3. Teoria de viga utilizada.

Encontram-se soluções analíticas fechadas para determinados tipos de seções (I, Retangular, etc) com casos especiais de combinações de esforços, tais como momentos fletores e esforço normal Horne [8], Lubliner [3] e Neal [9]. Neste trabalho, assume-se uma superfície descrita na equação (20) em função dos esforços seccionais.

A análise elastoplástica segue os conceitos apresentados no trabalho de Silva [10] com as seguintes considerações;

1) Os esforços seccionais contidos no interior da superfície de interação geram somente deformações elásticas;

2) Os esforços seccionais que estejam na superfície de interação geram deformações plásticas;

3) Os esforços seccionais fora da superfície de interação representam estados de tensões inadmissíveis porque não se leva em conta o caso do endurecimento.

Durante o processo de aplicação do carregamento em passos de carga os esforços seccionais em alguns nós dos elementos da estrutura poderão sair da superfície de interação. Para trazer estes esforços seccionais de volta a superfície utiliza-se o método de Backward Euler que necessita das derivadas primeira e segunda da superfície em relação aos esforços seccionais.

2.4.1 Derivadas de primeira ordem

Baseando-se na equação (20) são obtidas as derivadas de primeira ordem da superfície de interação em relação aos esforços seccionais:

{\frac {\partial f}{{f}_{x}}}={\frac {1}{{f}_{x}}}\left(s{f}_{x}\left({\left({\frac {{f}_{x}}{{f}_{xp}}}\right)}^{{\beta }_{19}}{\left({\frac {{m}_{x}}{{m}_{xp}}}\right)}^{{\beta }_{20}\,}s{m}_{x}{\beta }_{7}{\beta }_{19}+\right.\right.

\left.\left.{\left({\frac {{f}_{x}}{{f}_{xp}}}\right)}^{{\beta }_{23}}{\left({\frac {{m}_{z}}{{m}_{zp}}}\right)}^{{\beta }_{24}}s{m}_{z}{\beta }_{9}{\beta }_{23}+\right.\right.\left.\left.{\left({\frac {{f}_{x}}{{f}_{xp}}}\right)}^{{\beta }_{13}}{\beta }_{1}{\beta }_{13}\right)\right)

(34)

(35)

(36)

{\frac {\partial f}{{m}_{x}}}={\frac {1}{{m}_{x}}}\left(s{m}_{x}\left({\left({\frac {{m}_{x}}{{m}_{xp}}}\right)}^{{\beta }_{25}}{\left({\frac {{m}_{y}}{{m}_{yp}}}\right)}^{{\beta }_{26}}s{m}_{y}{\beta }_{10}{\beta }_{25}+\right.\right.

\left.\left.{\left({\frac {{f}_{x}}{{f}_{xp}}}\right)}^{{\beta }_{19}}{\left({\frac {{m}_{x}}{{m}_{xp}}}\right)}^{{\beta }_{20}}s{f}_{x}{\beta }_{7}{\beta }_{20}+\right.\right.\left.\left.{\left({\frac {{m}_{x}}{{m}_{xp}}}\right)}^{{\beta }_{16}}{\beta }_{4}{\beta }_{16}\right)\,\right)\,\,

(37)

{\frac {\partial f}{{m}_{y}}}={\frac {1}{{m}_{y}}}\left(s{m}_{y}\left({\left({\frac {{m}_{x}}{{m}_{xp}}}\right)}^{{\beta }_{25}}{\left({\frac {{m}_{y}}{{m}_{yp}}}\right)}^{{\beta }_{26}}s{m}_{x}{\beta }_{10}{\beta }_{26}+\right.\right.

\left.\left.{\left({\frac {{f}_{x}}{{f}_{xp}}}\right)}^{{\beta }_{21}}\,{\left({\frac {{m}_{y}}{{m}_{yp}}}\right)}^{{\beta }_{22}}s{f}_{x}{\beta }_{8}{\beta }_{22}+\right.\right.\left.\left.{\left({\frac {{m}_{y}}{{m}_{yp}}}\right)}^{\beta 17}{\beta }_{5}{\beta }_{17}\right)\right)\,\,

(38)

{\frac {\partial f}{{m}_{z}}}={\frac {1}{{m}_{z}}}\left(s{m}_{z}\left({\left({\frac {{m}_{x}}{{m}_{xp}}}\right)}^{{\beta }_{27}}{\left({\frac {{m}_{z}}{{m}_{zp}}}\right)}^{{\beta }_{28}}s{m}_{x}{\beta }_{11}{\beta }_{28}+\right.\right.

\left.\left.{\left({\frac {{m}_{y}}{{m}_{yp}}}\right)}^{{\beta }_{29}}{\left({\frac {{m}_{z}}{{m}_{zp}}}\right)}^{{\beta }_{30}}s{m}_{y}{\beta }_{12}{\beta }_{30}+\right.\right.\left.\left.{\left({\frac {{m}_{z}}{{m}_{zp}}}\right)}^{{\beta }_{18}}{\beta }_{6}{\beta }_{18}\right)\,\right)\,

(39)

onde ${\textstyle s{f}_{i}={\frac {{f}_{i}}{\left|{f}_{i}\right|}}}$ = sinal do esforço seccional de forças; ${\textstyle s{m}_{i}={\frac {{m}_{i}}{\left|{m}_{i}\right|}}}$ = sinal do esforço seccional de momentos.

A superfície de interação é assumida como um potencial plástico. As componentes são apresentadas na equação (40) na forma matricial para cada nó do elemento do fluxo plástico no nós do elemento durante o processo de carga

\left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial f}{\partial {F}_{x1}}}\\{\frac {\partial f}{\partial {F}_{y1}}}\\{\frac {\partial f}{\partial {F}_{z1}}}\\{\frac {\partial f}{\partial {M}_{x1}}}\\{\frac {\partial f}{\partial {M}_{y1}}}\\{\frac {\partial f}{\partial {M}_{z1}}}\\{\mathit {\boldsymbol {0}}}\end{matrix}}\right\}

;

\left\{{\begin{matrix}{\mathit {\boldsymbol {0}}}\\{\frac {\partial f}{\partial {F}_{x2}}}\\{\frac {\partial f}{\partial {F}_{y2}}}\\{\frac {\partial f}{\partial {F}_{z2}}}\\{\frac {\partial f}{\partial {M}_{x2}}}\\{\frac {\partial f}{\partial {M}_{y2}}}\\{\frac {\partial f}{\partial {M}_{z2}}}\end{matrix}}\right\}

(40)

onde ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {0}}}}$ é o vetor nulo de dimensão ${\textstyle (6\times 1)}$ .

2.4.2 Derivadas de segunda ordem

As derivadas de segunda ordem expressam o gradiente do vetor de fluxo plástico, obtido pela diferenciação de cada componente do vetores da equação (40). Desenvolvendo-se as derivadas, chega-se a:

Para ${\textstyle \partial {F}_{x}{F}_{k}}$

{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x}\partial {F}_{x}}}={\frac {1}{{f}_{x}^{2}}}s{f}_{x}\left({\left({\frac {{f}_{x}}{{f}_{xp}}}\right)}^{{\beta }_{19}}{\beta }_{19}^{2}{\left({\frac {{m}_{x}}{{m}_{xp}}}\right)}^{{\beta }_{20}}s{m}_{x}{\beta }_{7}+\right.

(41)

(42)

(43)

{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x}\partial {M}_{x}}}={\frac {s{f}_{x}{\left({\frac {{f}_{x}}{{f}_{xp}}}\right)}^{{\beta }_{19}}{\left({\frac {{m}_{x}}{{m}_{xp}}}\right)}^{{\beta }_{20}}{\beta }_{20}s{m}_{x}{\beta }_{7}{\beta }_{19}}{{f}_{x}{m}_{x}}}

(44)

{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x}\partial {M}_{y}}}={\frac {s{f}_{x}{\left({\frac {{f}_{x}}{{f}_{xp}}}\right)}^{{\beta }_{21}}{\left({\frac {{m}_{y}}{{m}_{yp}}}\right)}^{{\beta }_{22}}{\beta }_{22}s{m}_{y}{\beta }_{8}{\beta }_{21}}{{f}_{x}{m}_{y}}}

(45)

{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x}\partial {M}_{z}}}={\frac {s{f}_{x}{\left({\frac {{f}_{x}}{{f}_{xp}}}\right)}^{{\beta }_{23}}{\left({\frac {{m}_{z}}{{m}_{zp}}}\right)}^{{\beta }_{24}}{\beta }_{24}s{m}_{z}{\beta }_{9}{\beta }_{23}}{{f}_{x}{m}_{z}}}

(46)

Para ${\textstyle \partial {F}_{y}{F}_{k}}$

(47)

{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{y}\partial {F}_{y}}}={\frac {s{f}_{y}{\beta }_{2}{\left({\frac {{f}_{y}}{{f}_{yp}}}\right)}^{{\beta }_{14}}{\beta }_{14}({\beta }_{14}-1)}{{f}_{y}^{2}}}\quad

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

Para ${\textstyle \partial {F}_{z}{F}_{k}}$

(53)

(54)

{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{z}\partial {F}_{z}}}={\frac {s{f}_{z}{\beta }_{3}{\left({\frac {{f}_{z}}{{f}_{zp}}}\right)}^{{\beta }_{15}}{\beta }_{15}({\beta }_{15}-1)\,}{{f}_{z}^{2}}}\,\,

(55)

(56)

(57)

(58)

Para ${\textstyle \partial {M}_{x}{F}_{k}}$

{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x}\partial {F}_{x}}}={\frac {s{f}_{x}{\left({\frac {{f}_{x}}{{f}_{xp}\,\,}}\right)}^{{\beta }_{19}}{\left({\frac {{m}_{x}}{{m}_{xp}}}\right)}^{\beta 20}\beta 20\,s{m}_{x}\beta 7\beta 19}{{f}_{x}{m}_{x}}}\quad

(59)

(60)

(61)

{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x}\partial {M}_{x}}}={\frac {1}{{m}_{x}^{2}}}s{m}_{x}\left({\left({\frac {{m}_{x}}{{m}_{xp}}}\right)}^{{\beta }_{25}}{\beta }_{25}^{2}{\left({\frac {{m}_{y}}{{m}_{yp}}}\right)}^{{\beta }_{26}}s{m}_{y}{\beta }_{10}+\right.

(62)

{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x}\partial {M}_{y}}}={\frac {s{m}_{x}{\left({\frac {{m}_{x}}{{m}_{xp}}}\right)}^{{\beta }_{25}}\,{\left({\frac {{m}_{y}}{{m}_{yp}}}\right)}^{{\beta }_{26}}{\beta }_{26}s{m}_{y}{\beta }_{10}{\beta }_{25}}{{m}_{x}{m}_{y}}}

(63)

{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x}\partial {M}_{z}}}={\frac {s{m}_{x}{\left({\frac {{m}_{x}}{{m}_{xp}}}\right)}^{{\beta }_{27}}{\left({\frac {{m}_{z}}{{m}_{zp}}}\right)}^{{\beta }_{28}}{\beta }_{28}s{m}_{z}{\beta }_{11}{\beta }_{27}}{{m}_{x}{m}_{z}}}

(64)

Para ${\textstyle \partial {M}_{y}{F}_{k}}$

{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y}\partial {F}_{x}}}={\frac {s{f}_{x}{\left({\frac {{f}_{x}}{{f}_{xp}}}\right)}^{{\beta }_{21}}{\left({\frac {{m}_{y}}{{m}_{yp}}}\right)}^{{\beta }_{22}}{\beta }_{22}s{m}_{y}{\beta }_{8}{\beta }_{21}}{{f}_{x}{m}_{y}}}\,\,

(65)

(66)

(67)

{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y}\partial {M}_{x}}}={\frac {s{m}_{x}{\left({\frac {{m}_{x}}{{m}_{xp}}}\right)}^{{\beta }_{25}}{\left({\frac {{m}_{y}}{{m}_{yp}}}\right)}^{{\beta }_{26}}{\beta }_{26}s{m}_{y}{\beta }_{10}{\beta }_{25}}{{m}_{x}{m}_{y}}}\,\,

(68)

{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y}\partial {M}_{y}}}={\frac {1}{{m}_{y}^{2}}}s{m}_{y}\left({\left({\frac {{m}_{x}}{{m}_{xp}}}\right)}^{{\beta }_{25}}{\left({\frac {{m}_{y}}{{m}_{yp}}}\right)}^{{\beta }_{26}}{\beta }_{26}^{2}s{m}_{x}{\beta }_{10}+\right.

(69)

{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y}\partial {M}_{z}}}={\frac {s{m}_{y}{\left({\frac {{m}_{y}}{{m}_{yp}}}\right)}^{{\beta }_{29}}{\left({\frac {{m}_{z}}{{m}_{zp}}}\right)}^{{\beta }_{30}}{\beta }_{30}s{m}_{z}{\beta }_{12}{\beta }_{29}}{{m}_{y}{m}_{z}}}

(70)

Para ${\textstyle \partial {M}_{z}{F}_{k}}$

{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z}\partial {F}_{x}}}=\,{\frac {s{f}_{x}{\left({\frac {{f}_{x}}{{f}_{xp}}}\right)}^{{\beta }_{23}}{\left({\frac {{m}_{z}}{{m}_{zp}}}\right)}^{{\beta }_{24}}{\beta }_{24}s{m}_{z}{\beta }_{9}{\beta }_{23}}{{f}_{x}{m}_{z}}}

(71)

(72)

(73)

{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z}\partial {M}_{x}}}={\frac {s{m}_{x}{\left({\frac {{m}_{x}}{{m}_{xp}}}\right)}^{{\beta }_{27}}{\left({\frac {{m}_{z}}{{m}_{zp}}}\right)}^{{\beta }_{28}}{\beta }_{28}s{m}_{z}{\beta }_{11}{\beta }_{27}}{{m}_{x}{m}_{z}}}\quad

(74)

{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z}\partial {M}_{y}}}={\frac {s{m}_{y}{\left({\frac {{m}_{y}}{{m}_{yp}}}\right)}^{{\beta }_{29}}{\left({\frac {{m}_{z}}{{m}_{zp}}}\right)}^{{\beta }_{30}}{\beta }_{30}s{m}_{z}{\beta }_{12}{\beta }_{29}}{{m}_{y}{m}_{z}}}

(75)

{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z}\partial {M}_{z}}}={\frac {1}{{m}_{z}^{2}}}s{m}_{z}\left({\left({\frac {{m}_{x}}{{m}_{xp}}}\right)}^{{\beta }_{27}}{\left({\frac {{m}_{z}}{{m}_{zp}}}\right)}^{{\beta }_{28}}{\beta }_{28}^{2}s{m}_{x}{\beta }_{11}+\right.

(76)

As 2ª derivadas na forma matricial podem ser expressas como

{A}_{1}=\left[{\begin{matrix}{\begin{matrix}{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x1}\partial {F}_{x1}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x1}\partial {F}_{y1}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x1}\partial {F}_{z1}}}\\{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{y1}\partial {F}_{x1}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{y1}\partial {F}_{y1}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{y1}\partial {F}_{z1}}}\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x1}\partial {M}_{x1}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x1}\partial {M}_{y1}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x1}\partial {M}_{z1}}}\\{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{y1}\partial {M}_{x1}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{y1}\partial {M}_{y1}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{y1}\partial {M}_{z1}}}\end{matrix}}\\{\begin{matrix}{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{z1}\partial {F}_{x1}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{z1}\partial {F}_{y1}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{z1}\partial {F}_{z1}}}\\{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x1}\partial {F}_{x1}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x1}\partial {F}_{y1}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x1}\partial {F}_{z1}}}\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{z1}\partial {M}_{x1}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{z1}\partial {M}_{y1}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{z1}\partial {M}_{z1}}}\\{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x1}\partial {M}_{x1}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x1}\partial {M}_{y1}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x1}\partial {M}_{z1}}}\end{matrix}}\\{\begin{matrix}{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y1}\partial {F}_{x1}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y1}\partial {F}_{y1}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y1}\partial {F}_{z1}}}\\{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z1}\partial {F}_{x1}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z1}\partial {F}_{y1}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z1}\partial {F}_{z1}}}\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y1}\partial {M}_{x1}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y1}\partial {M}_{y1}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y1}\partial {M}_{z1}}}\\{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z1}\partial {M}_{x1}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z1}\partial {M}_{y1}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z1}\partial {M}_{z1}}}\end{matrix}}\end{matrix}}\right]

(77)

(78)

{A}_{2}=\left[{\begin{matrix}{\begin{matrix}{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x2}\partial {F}_{x2}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x2}\partial {F}_{y2}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x2}\partial {F}_{z2}}}\\{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{y2}\partial {F}_{x2}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{y2}\partial {F}_{y2}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{y2}\partial {F}_{z2}}}\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x2}\partial {M}_{x2}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x2}\partial {M}_{y2}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x2}\partial {M}_{z2}}}\\{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{y2}\partial {M}_{x2}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{y2}\partial {M}_{y2}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{y2}\partial {M}_{z2}}}\end{matrix}}\\{\begin{matrix}{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{z2}\partial {F}_{x2}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{z2}\partial {F}_{y2}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{z2}\partial {F}_{z2}}}\\{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x2}\partial {F}_{x2}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x2}\partial {F}_{y2}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x2}\partial {F}_{z2}}}\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{z2}\partial {M}_{x2}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{z2}\partial {M}_{y2}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{z2}\partial {M}_{z2}}}\\{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x2}\partial {M}_{x2}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x2}\partial {M}_{y2}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x2}\partial {M}_{z2}}}\end{matrix}}\\{\begin{matrix}{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y2}\partial {F}_{x2}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y2}\partial {F}_{y2}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y2}\partial {F}_{z2}}}\\{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z2}\partial {F}_{x2}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z2}\partial {F}_{y2}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z2}\partial {F}_{z2}}}\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y2}\partial {M}_{x2}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y2}\partial {M}_{y2}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y2}\partial {M}_{z2}}}\\{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z2}\partial {M}_{x2}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z2}\partial {M}_{y2}}}&{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z2}\partial {M}_{z2}}}\end{matrix}}\end{matrix}}\right]

(79)

(80)

onde ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {0}}}}$ é uma matriz de dimensão ${\textstyle (6\times 6)}$ com elementos nulos.

2.5 Algoritmo de Retorno

O algoritmo de retorno proposto por Silva [10] servirá para trazer de volta os esforços seccionais inadmissíveis, ou seja, os que saem da superfície de interação. O método de backward Euler será utilizado para trazer de volta a superfície estes esforços seccionais. Quando os esforços atingem a superfície se formam as rótulas plásticas.

Assume-se que exista uma combinação de esforços seccionais em um dos nós do elemento que esteja fora da superfície de interação. Usando o método de backward Euler para corrigir o vetor de forças nodais tem-se a seguinte forma:

(81)

onde

${\textstyle {\hat {\mathit {\boldsymbol {F}}}}_{i}}$ = vetor de forças nodais corrigido;

${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{i}^{trial}}$ = vetor de força nodais estimado;

${\textstyle {\lambda }_{1}}$ = multiplicador plástico do nó 1, de forma ${\textstyle {\lambda }_{1}\geq 0}$ ;

${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {K}}}_{ij}}$ = matriz de rigidez do elemento;

${\textstyle {\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{j}}}\right\}}_{1}}$ = vetor de fluxo plástico do nó 1.

O vetor de forças nodais estimado é expressado por:

(82)

onde ${\textstyle {\overline {\mathit {\boldsymbol {F}}}}_{i}}$ = vetor de forças nodais do último passo de carga convergido; ${\textstyle d{\mathit {\boldsymbol {U}}}_{j}}$ = incrementos do campo de deslocamentos do nó.

O vetor ${\textstyle {F}_{i}^{trial}}$ é obtido da solução elástica dos incrementos de deslocamentos ${\textstyle d{U}_{j}}$ e da matriz de rigidez ${\textstyle {K}_{ij}}$ linear elástica do elemento de viga 3D. O vetor ${\textstyle {\overline {F}}_{i}}$ pode estar dentro, fora ou tocando a superfície de interação. Geralmente, os vetores de forças nodais, estimado ( ${\textstyle {F}_{i}^{trial}}$ ) e o corrigido ( ${\textstyle {\hat {F}}_{i}}$ ) não estão sobre a superfície de interação quando atingem a fase de escoamento. Usar-se-á um método iterativo para trazer os esforços seccionais a um estado de tensão que esteja na superfície de interação.

O algoritmo irá trabalhar com 2 (duas) possibilidades de formação de rótulas plásticas, ou seja, para 1 (um) nó ou os 2 (dois) nós.

2.5.1 Algoritmo de retorno com 1 (um) vetor

O caso de formação de somente uma rótula plástica no elemento de viga emprega-se um vetor de fluxo plástico correspondente aos esforços seccionais que se encontra fora da superfície de interação, conforme Figura 6.

Figura 6. Retorno à superfície com um vetor

O processo iterativo utiliza vetores de fluxo plástico atualizados para aproximar-se da superfície. Este procedimento é chamado de algoritmo de retorno.

Admite-se que os vetores de força nodais ${\textstyle {F}_{i}}$ (atual) e o corrigido ${\textstyle {\hat {F}}_{i}}$ não cumprem o critério de escoamento, ou seja, ${\textstyle f({F}_{i})>1}$ e ${\textstyle f({\hat {F}}_{i})>1.}$

O vetor de forças residuais ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {r}}}_{i}}$ do processo iterativo será como

(83)

Desenvolvendo a equação (83) numa série de Taylor até os termos de 1ª ordem e mantendo o vetor de forças nodais de partida ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{i}^{trial}}$ fixo, obtém-se um novo vetor de forças residuais ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {r}}}_{i}^{n+1}}$ , apresentado da seguinte forma:

(84)

onde

${\textstyle n=0,1,2,\ldots }$ = passo do processo iterativo.

${\textstyle d{\mathit {\boldsymbol {F}}}_{i}}$ = variação do vetor de forças;

${\textstyle d{\lambda }_{1}}$ = variação do multiplicador plástico;

${\textstyle {\left\{{\frac {{\partial }^{\mathit {\boldsymbol {2}}}{\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{\mathit {\boldsymbol {j}}}\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{k}}}\right\}}_{1}d{\mathit {\boldsymbol {F}}}_{k}}$ = variação do vetor de fluxo (gradiente).

Aplicando a condição de que ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {r}}}_{i}^{n+1}=}$ ${\mathit {\boldsymbol {0}}}$ , a equação (84) torna-se em

(85)

onde ${\textstyle {\delta }_{ik}}$ = Delta de Kronecker.

Definindo-se o termo

(86)

A equação (85), torna-se:

(87)

Obtendo os termos da variação do vetor de força, chega-se a:

(88)

(89)

Expandindo a superfície de interação, ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {f}}}}$ , numa série de Taylor até os termos de 1ª ordem entorno do vetor do vetor de forças nodais final ( ${\textstyle {F}_{k})}$ , obtém-se:

(90)

Tomando-se ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {f}}}_{1}^{n+1}={\mathit {\boldsymbol {0}}}}$ e desenvolvendo a equação (89) paro obter o multiplicador plástico, chega-se a:

(91)

{\mathit {\boldsymbol {f}}}_{1}^{n}={\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{\mathit {\boldsymbol {j}}}}}\right\}}_{1}\left[{Q}_{ik}^{-1}\left({\mathit {\boldsymbol {r}}}_{i}^{n}+d{\lambda }_{1}{\mathit {\boldsymbol {K}}}_{ij}{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{\mathit {\boldsymbol {j}}}}}\right\}}_{1}\right)\right]

(92)

(93)

(94)

d{\lambda }_{1}={\frac {{\mathit {\boldsymbol {f}}}_{1}^{n}-{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{\mathit {\boldsymbol {j}}}}}\right\}}_{1}{Q}_{ik}^{-1}{\mathit {\boldsymbol {r}}}_{i}^{n}}{{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{\mathit {\boldsymbol {j}}}}}\right\}}_{1}{Q}_{ik}^{-1}{\mathit {\boldsymbol {K}}}_{ij}{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{\mathit {\boldsymbol {j}}}}}\right\}}_{1}}}

(95)

O processo iterativo termina quando são alcançados os critérios de parada adotados:

${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {f}}}^{norm}=\left|{\mathit {\boldsymbol {f}}}-\right.}$ $\left.1\right|<Tol$

(96)

onde

${\textstyle \left\|{\mathit {\boldsymbol {r}}}_{i}\right\|}$ = norma euclidiana do vetor de forças nodais;

${\textstyle \left\|{\mathit {\boldsymbol {F}}}_{i}^{trial}\right\|}$ = norma euclidiana do vetor de forças estimado;

${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {f}}}^{norm}}$ = vetor resíduo da superfície de interação;

${\textstyle Tol}$ = tolerância adotada.

2.5.2 Algoritmo de retorno com 2 (dois) vetores

O caso da existência de duas rótulas plástica no elemento de viga usa 2 (dois) vetores de fluxo plástico, um para cada nó. O vetores seguem a premissa de que

(97)

Durante o processo iterativo, usa-se dois vetores de fluxo para se aproximar da superfície de interação. Este procedimento é chamado algoritmo de retorno com 2 (dois) vetores. A interpretação geométrica é vista na Figura 7.

Figura 7. Retorno à superfície com dois vetores

O vetor nodal de partida é similar a equação (82). O vetor de forças nodais para os dois nós corrigido é expressado como

(98)

onde ${\textstyle {\lambda }_{1}}$ e ${\textstyle {\lambda }_{2}}$ são os multiplicadores plásticos.

O vetor resíduo das forças tem a forma seguinte:

{\mathit {\boldsymbol {r}}}_{i}={\mathit {\boldsymbol {F}}}_{i}-{\hat {\mathit {\boldsymbol {F}}}}_{i}={\mathit {\boldsymbol {F}}}_{i}-\left(({\mathit {\boldsymbol {F}}}_{i}^{trial}-{\lambda }_{1}{\mathit {\boldsymbol {K}}}_{ij}{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{\mathit {\boldsymbol {j}}}}}\right\}}_{1}-{\lambda }_{2}{\mathit {\boldsymbol {K}}}_{ij}{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{j}}}\right\}}_{2}\right)

(99)

O vetor novo em função da série de Taylor com termos de 1ª ordem e ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{i}^{trial}}$ fixo é apresentado:

(100)

Com a condição que ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {r}}}_{i}^{n+1}=}$ ${\mathit {\boldsymbol {0}}}$ , chega-se a:

(101)

Adotando-se:

(102)

Isolando o termo ${\textstyle d{\mathit {\boldsymbol {F}}}_{k}}$ da equação (101), obtém-se:

d{\mathit {\boldsymbol {F}}}_{k}=-{Q}_{ik}^{-1}\left({\mathit {\boldsymbol {r}}}_{i}^{n}+d{\lambda }_{1}{\mathit {\boldsymbol {K}}}_{ij}{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{\mathit {\boldsymbol {j}}}}}\right\}}_{1}+d{\lambda }_{2}{\mathit {\boldsymbol {K}}}_{ij}{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{\mathit {\boldsymbol {j}}}}}\right\}}_{2}\right)

(103)

Os termos iterativos da função de escoamento (superfícies) são apresentados como

$\,{\mathit {\boldsymbol {f}}}_{2}^{n+1}={\mathit {\boldsymbol {f}}}_{2}^{n}+{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{\mathit {\boldsymbol {j}}}}}\right\}}_{2}d{\mathit {\boldsymbol {F}}}_{k}$

(104)

Impondo o critério de que ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {f}}}_{1}^{n+1}=}$ ${\mathit {\boldsymbol {0}}}$ e ${\textstyle \,{\mathit {\boldsymbol {f}}}_{2}^{n+1}=}$ ${\mathit {\boldsymbol {0}}}$ e desenvolvendo a equação (102), chega-se a:

${\mathit {\boldsymbol {f}}}_{2}^{n}=-{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{\mathit {\boldsymbol {j}}}}}\right\}}_{2}d{\mathit {\boldsymbol {F}}}_{k}$

(105)

{\mathit {\boldsymbol {f}}}_{1}^{n}={\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{\mathit {\boldsymbol {j}}}}}\right\}}_{1}\left[{Q}_{ik}^{-1}\left({\mathit {\boldsymbol {r}}}_{i}^{n}+d{\lambda }_{1}{\mathit {\boldsymbol {K}}}_{ij}{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{\mathit {\boldsymbol {j}}}}}\right\}}_{1}+d{\lambda }_{2}{\mathit {\boldsymbol {K}}}_{ij}{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{\mathit {\boldsymbol {j}}}}}\right\}}_{2}\right)\right]

${\mathit {\boldsymbol {f}}}_{2}^{n}={\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{\mathit {\boldsymbol {j}}}}}\right\}}_{2}\left[{Q}_{ik}^{-1}\left({\mathit {\boldsymbol {r}}}_{i}^{n}+d{\lambda }_{1}{\mathit {\boldsymbol {K}}}_{ij}{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{\mathit {\boldsymbol {j}}}}}\right\}}_{1}+d{\lambda }_{2}{\mathit {\boldsymbol {K}}}_{ij}{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{\mathit {\boldsymbol {j}}}}}\right\}}_{2}\right)\right]$

(106)

(107)

(108)

Desenvolvendo o sistema de equações (107) e (108) no sistema matricial, obtêm-se os seguintes temos:

\left[{\begin{matrix}{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{\mathit {\boldsymbol {j}}}}}\right\}}_{1}{Q}_{ik}^{-1}{\mathit {\boldsymbol {K}}}_{ij}{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{\mathit {\boldsymbol {j}}}}}\right\}}_{1}&{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{\mathit {\boldsymbol {j}}}}}\right\}}_{1}{Q}_{ik}^{-1}{\mathit {\boldsymbol {K}}}_{ij}{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{\mathit {\boldsymbol {j}}}}}\right\}}_{2}\\{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{\mathit {\boldsymbol {j}}}}}\right\}}_{2}{Q}_{ik}^{-1}{\mathit {\boldsymbol {K}}}_{ij}{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{\mathit {\boldsymbol {j}}}}}\right\}}_{1}&{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{\mathit {\boldsymbol {j}}}}}\right\}}_{2}{Q}_{ik}^{-1}{\mathit {\boldsymbol {K}}}_{ij}{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{\mathit {\boldsymbol {j}}}}}\right\}}_{2}\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}d{\lambda }_{1}\\d{\lambda }_{2}\end{matrix}}\right\}=

\left\{{\begin{matrix}{\mathit {\boldsymbol {f}}}_{1}^{n}-{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{\mathit {\boldsymbol {j}}}}}\right\}}_{1}{Q}_{ik}^{-1}{\mathit {\boldsymbol {r}}}_{i}^{n}\\{\mathit {\boldsymbol {f}}}_{2}^{n}-{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{\mathit {\boldsymbol {j}}}}}\right\}}_{2}{Q}_{ik}^{-1}{\mathit {\boldsymbol {r}}}_{i}^{n}\end{matrix}}\right\}

(109)

Reapresentando a equação (109) na forma sintética:

(110)

A solução do sistema da equação (110) é a seguinte:

\left\{{\begin{matrix}d{\lambda }_{1}\\d{\lambda }_{2}\end{matrix}}\right\}=\left[{\begin{matrix}{\frac {{a}_{22}{b}_{1}-{a}_{12}{b}_{2}}{{a}_{11}{a}_{22}-{a}_{12}{a}_{21}}}\\{\frac {{a}_{11}{b}_{2}-{a}_{21}{b}_{1}}{{a}_{11}{a}_{22}-{a}_{12}{a}_{21}}}\end{matrix}}\right]

(111)

O processo iterativo segue procedimentos similares ao caso com um 1 (um) vetor:

${\mathit {\boldsymbol {f}}}_{1}^{norm}=\left|{\mathit {\boldsymbol {f}}}_{\mathit {\boldsymbol {1}}}-\right.$ $\left.1\right|<Tol$

${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {f}}}_{2}^{norm}=\left|{\mathit {\boldsymbol {f}}}_{\mathit {\boldsymbol {2}}}-\right.}$ $\left.1\right|<Tol$

(112)

2.6 Matriz de rigidez consistente

O processo iterativo utiliza o método de Newton-Raphson para determinar a configuração de equilíbrio do sistema estrutural. A manutenção da convergência quadrática faz necessário a obtenção de uma matriz de rigidez consistente para os 2 (dois) vetores. Uma rótula plástica usará o algoritmo com um vetor e para 2 (duas) o algoritmo com dois vetores.

2.6.1 Algoritmo de retorno com um vetor

Usando a equação (81) e (82) como ponto de partida:

${\mathit {\boldsymbol {F}}}_{i}^{trial}={\overline {\mathit {\boldsymbol {F}}}}_{i}+{\mathit {\boldsymbol {K}}}_{ij}d{\mathit {\boldsymbol {U}}}_{j}$

com ${\textstyle {\lambda }_{1}>0}$

(113)

Aplicando-se o diferencial total na equação (113), chega-se a:

(114)

(115)

Adotando ${\textstyle \,d{\overline {F}}_{i}={\mathit {\boldsymbol {0}}}}$

(116)

Isolando o termo ${\textstyle d{F}_{k}}$

(117)

Usando ${\textstyle {Q}_{ik}}$ (equação (86)):

(118)

Isolando o termo ${\textstyle d{F}_{k}}$ :

(119)

Adotando o termo:

(120)

A equação (119) torna-se em:

(121)

O vetor de forças nodais final tem que cumprir a condição ${\textstyle {\mathit {\boldsymbol {f}}}_{\mathit {\boldsymbol {1}}}\left({F}_{i}\right)=}$ ${\mathit {\boldsymbol {0}}}$ . Desta maneira, diferencia-se a equação (121) e obtém-se:

(122)

(123)

Isolando o termo ${\textstyle d{\lambda }_{1}}$ :

d{\lambda }_{1}={\frac {{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{i}}}\right\}}_{1}{\mathit {\boldsymbol {R}}}_{ij}d{\mathit {\boldsymbol {U}}}_{j}}{{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{i}}}\right\}}_{1}{\mathit {\boldsymbol {R}}}_{ij}{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {F}_{j}}}\right\}}_{1}}}

(124)

A matriz de rigidez consistente é obtida, trabalhando com as equações (124) e (121):

d{\mathit {\boldsymbol {F}}}_{i}=\left({\mathit {\boldsymbol {R}}}_{ij}-{\frac {{\mathit {\boldsymbol {R}}}_{im}{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{m}}}\right\}}_{1}{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{n}}}\right\}}_{1}{\mathit {\boldsymbol {R}}}_{nj}}{{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{m}}}\right\}}_{1}{\mathit {\boldsymbol {R}}}_{mn}{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {F}_{n}}}\right\}}_{1}}}\right)d{\mathit {\boldsymbol {U}}}_{j}

(125)

com

{\mathit {\boldsymbol {K}}}_{ij}^{AL}=\left({\mathit {\boldsymbol {R}}}_{ij}-{\frac {{\mathit {\boldsymbol {R}}}_{im}{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{m}}}\right\}}_{1}{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{n}}}\right\}}_{1}{\mathit {\boldsymbol {R}}}_{nj}}{{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{m}}}\right\}}_{1}{\mathit {\boldsymbol {R}}}_{mn}{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {F}_{n}}}\right\}}_{1}}}\right)

(126)

2.6.2 Algoritmo com dois vetores de retorno

Os procedimentos similares são realizados para obter a matriz de rigidez consistente para dois vetores como por exemplo Silva [10] e Vieira [6].

A formulação para os dois vetores tem a seguinte forma:

d{\mathit {\boldsymbol {F}}}_{i}={\mathit {\boldsymbol {R}}}_{ij}\left({\begin{matrix}d{\mathit {\boldsymbol {U}}}_{j}-d{\lambda }_{1}{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{j}}}\right\}}_{1}\\-d{\lambda }_{2}{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{j}}}\right\}}_{2}\end{matrix}}\right)

(127)

As condições do vetor de forças nodais final são que

e

(128)

Os termos dos multiplicadores plásticos são os seguintes:

\left\{{\begin{matrix}d{\lambda }_{1}\\d{\lambda }_{2}\end{matrix}}\right\}=\left[{\begin{matrix}{\frac {{c}_{1}{b}_{22}-{c}_{2}{b}_{12}}{{b}_{11}{b}_{22}-{b}_{12}{b}_{21}}}\\{\frac {{c}_{2}{b}_{11}-{c}_{1}{b}_{21}}{{b}_{11}{b}_{22}-{b}_{12}{b}_{21}}}\end{matrix}}\right]

(129)

com

${c}_{2}={\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{i}}}\right\}}_{2}{R}_{ij}d{U}_{j}$

${b}_{11}={\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{i}}}\right\}}_{1}{R}_{ij}{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{j}}}\right\}}_{1}$

${b}_{12}={\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{i}}}\right\}}_{1}{R}_{ij}{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{j}}}\right\}}_{2}$

${b}_{21}={\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{i}}}\right\}}_{2}{R}_{ij}{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{j}}}\right\}}_{1}$

${b}_{22}={\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{i}}}\right\}}_{2}{R}_{ij}{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{j}}}\right\}}_{2}$

(130)

Se ocorrer o caso dos multiplicadores plásticos for ${\textstyle d{\lambda }_{1}<0}$ ou ${\textstyle d{\lambda }_{2}<0}$ será atribuído o valor zero e desativa-se a rótula plástica correspondente ao caso negativo.

Desenvolvendo os termos das equações (127) e (129):

{\mathit {\boldsymbol {K}}}_{ij}^{AL}={\mathit {\boldsymbol {R}}}_{ij}-\left({d}_{1}{R}_{im}{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{m}}}\right\}}_{1}{\left\{{\frac {\partial {\mathit {\boldsymbol {f}}}}{\partial {\mathit {\boldsymbol {F}}}_{n}}}\right\}}_{1}{\mathit {\boldsymbol {R}}}_{nj}-\right.

(131)

com

${d}_{2}={\frac {{b}_{12}}{{b}_{11}{b}_{22}-{b}_{12}{b}_{21}}}$

${d}_{3}={\frac {{b}_{11}}{{b}_{11}{b}_{22}-{b}_{12}{b}_{21}}}$

${d}_{4}={\frac {{b}_{21}}{{b}_{11}{b}_{22}-{b}_{12}{b}_{21}}}$

(132)

2.7 Caracterização dos casos

Os casos abordam a formulação apresentada com o intuito de verificar a viabilidade das superfícies de interação obtidas pelo modelo de dano com a regressão linear múltipla. Também, pretende-se usar as informações estatísticas para comparar a qualidade das funções obtidas e suas análises elastoplásticas.

O caso 1 é baseado nos dados do trabalho de Thai e Kim [11] que trata de um pórtico plano, conforme Figura 8 e Tabelas 7 a 10 que apresentam as características do caso como coordenadas, características físicas, propriedades do material e cargas aplicadas, respectivamente.

Propriedades do Pórtico Plano (PP)

Figura 8. Pórtico Plano de Thai e Kim

Tabela 7. Coordenadas do pórtico plano - Thai e Kim

Nó	X (cm)	Y (cm)
1	0,000	0,000
2	0,000	1000,000
3	1000,000	1000,000
4	1000,000	0,000

Tabela 8. Características físicas do pórtico plano - Thai e Kim

Elem.	No I	No F	E (kN/cm $^{\bf {2}}$ )	${\boldsymbol {\sigma }}_{y}$ (kN/cm $^{\bf {2}}$ )	${\boldsymbol {\nu }}$
1	1	2	1961,3	9,8	0,170
2	2	3
3	3	4

Os termos da Tabela 8 tem a seguinte descrição: ${\textstyle E}$ = módulo de elasticidade; ${\textstyle \nu }$ = coeficiente de Poisson; ${\textstyle {\sigma }_{y}}$ = tensão de escoamento.

Tabela 9. Propriedades do material do pórtico plano - Thai e Kim

Elemento	Seção transversal
1,2,3 e 4	$A=800,000\,c{m}^{2}$
	${\textstyle b=20\,cm}$ e ${\textstyle h=}$ $40\,cm$
	${I}_{z}=106666,667\,c{m}^{4}$
	${F}_{xp}=7840,000\,kN$
	${M}_{zp}=78400,000\,kN\times cm$

As cargas aplicadas são as seguintes:

Tabela 10. Cargas aplicadas do pórtico plano - Thai e Kim

Nó	Dir	Valor (kN)
2	${F}_{X}$	1,000
2	${F}_{y}$	-1,000
3	${F}_{y}$	-1,000

As funções utilizadas no caso são as ${\textstyle {f}_{4}}$ , ${\textstyle {f}_{5}}$ e ${\textstyle {f}_{6}}$ , equações (31), (32) e (33), respectivamente.

O caso 2 é baseado no pórtico espacial com dados dos trabalhos de Thai e Kim [11] e Argyris [12], conforme a Figura 9.

Figura 9 – Pórtico espacial de 2 (dois) pavimentos

As propriedades do caso são apresentadas nas Tabela 11 a Tabela 13.

Tabela 11. Coordenadas do pórtico espacial - Thai e Kim

Nó	X (cm)	Y (cm)	Z (cm)
1	0,000	0,000	0,000
2	400,000	0,000	0,000
3	400,000	0,000	300,000
4	0,000	0,000	300,000
5	0,000	400,000	0,000
6	400,000	400,000	0,000
7	400,000	400,000	300,000
8	0,000	400,000	300,000
9	0,000	800,000	0,000
10	400,000	800,000	0,000
11	400,000	800,000	300,000
12	0,000	800,000	300,000
13	0,000	800,000	150,000
14	400,000	800,000	150,000

Tabela 12. Características físicas do pórtico espacial - Thai e Kim

Elem.	No I	No F	E (kN/cm $^{2}$ )	${\boldsymbol {\sigma }}_{y}$ (kN/cm $^{2}$ )	${\boldsymbol {\nu }}$
1	1	5	1961,3	9,8	0,170
2	2	6
3	3	7
4	4	8
5	5	6
6	6	7
7	7	8
8	8	5
9	5	9
10	6	10
11	7	11
12	8	12
13	9	10
14	10	14
15	14	11
16	11	12
17	9	13
18	12	13

Tabela 13. Propriedades do material do pórtico espacial - Thai e Kim

Elemento	Seção transversal
1 a 18	$A=800,000\,c{m}^{2}$
	${\textstyle b=20\,cm}$ e ${\textstyle h=}$ $40\,cm$
	${I}_{z}=1,067\times {10}^{5}\,c{m}^{4}$
	${I}_{x}=1,067\times {10}^{5}\,c{m}^{4}$
	${I}_{y}=2,667\times {10}^{4}\,c{m}^{4}$
	${M}_{zp}=7,840\times {10}^{4}\,kN\times cm$
	${M}_{xp}=6,533\times {10}^{4}\,kN\times cm$
	${M}_{yp}=3,920\times {10}^{4}\,kN\times cm$
	${F}_{zp}=4,526\times {10}^{3}\,kN$
	${F}_{xp}=7,840\times {10}^{3}\,kN$
	${F}_{yp}=4,526\times {10}^{3}\,kN$

As cargas aplicadas são as seguintes:

Tabela 14. Cargas aplicadas do pórtico espacial - Thai e Kim

Nó	${\boldsymbol {F}}_{\boldsymbol {x}}$ (kN)	${\textstyle {\boldsymbol {F}}_{\boldsymbol {y}}}$ (kN)
5	1,000	-2,000
6	0,250	-2,000
7	0,250	-2,000
8	1,000	-2,000
9	3,000	-0,500
10	0,500	-0,500
11	0,500	-0,500
12	3,000	-0,500
13	0,000	-1,000
14	0,000	-1,000

As funções utilizadas no caso são as ${\textstyle {f}_{1}}$ , ${\textstyle {f}_{2}}$ e ${\textstyle {f}_{3}}$ , equações (28), (29) e (30), respectivamente.

O caso 3 é baseado no pórtico espacial com dados dos trabalhos de Argyris et al [12] e Park e Lee [13], conforme a Figura 10.

Figura 10. Pórtico em domo - Argyris et al.

As propriedades do caso são apresentadas nas Tabela 15 a Tabela 18.

Tabela 15. Coordenadas do pórtico em domo - Argyris et al.

Nó	X (cm)	Y (cm)	Z (cm)
1	0,000	610,000	0,000
2	628,500	455,000	1088,500
3	1257,000	455,000	0,000
4	628,500	455,000	-1088,500
5	-628,500	455,000	-1088,500
6	-1257,000	455,000	0,000
7	-628,500	455,000	1088,500
8	1219,000	0,000	2111,500
9	2438,000	0,000	0,000
10	1219,000	0,000	-2111,500
11	-1219,000	0,000	-2111,500
12	-2438,000	0,000	0,000
13	-1219,000	0,000	2111,500

Tabela 16. Características físicas do pórtico em domo - Argyris et al.

Elem.	No I	No F	E (kN/cm $^{2}$ )	${\boldsymbol {\sigma }}_{y}$ (kN/cm $^{2}$ )	${\boldsymbol {\nu }}$
1	1	2	2068,0	8,0	0,1716
2	1	3
3	1	4
4	1	5
5	1	6
6	1	7
7	2	3
8	3	4
9	5	4
10	5	6
11	6	7
12	7	2
13	2	8
14	3	9
15	4	10
16	5	11
17	6	12
18	7	13

Tabela 17. Propriedades do material do pórtico em domo - Argyris et al.

Elemento	Seção transversal
1 a 18	$A=9272,000\,c{m}^{2}$
	${\textstyle b=76\,cm}$ e ${\textstyle h=}$ $122\,cm$
	${I}_{z}=1,150\times {10}^{7}\,c{m}^{4}$
	${I}_{x}=1,596\times {10}^{7}\,c{m}^{4}$
	${I}_{y}=4,463\times {10}^{6}\,c{m}^{4}$
	${M}_{zp}=2,262\times {10}^{6}\,kN\times cm$
	${M}_{xp}=6,533\times {10}^{9}\,kN\times cm$
	${M}_{yp}=1,409\times {10}^{6}\,kN\times cm$
	${F}_{zp}=4,282\times {10}^{4}\,kN$
	${F}_{xp}=7,416\times {10}^{4}\,kN$
	${F}_{yp}=4,282\times {10}^{4}\,kN$

As cargas aplicadas são as seguintes:

Tabela 18. Cargas aplicadas do pórtico em domo - Argyris et al.

Nó	${\boldsymbol {F}}_{\boldsymbol {x}}$ (kN)	${\textstyle {\boldsymbol {F}}_{\boldsymbol {y}}}$ (kN)	${\boldsymbol {F}}_{\boldsymbol {z}}$ (kN)
1	0,000	-1,000	0,000

As funções utilizadas no caso são as ${\textstyle {f}_{1}}$ , ${\textstyle {f}_{2}}$ e ${\textstyle {f}_{3}}$ , equações (28), (29) e (30), respectivamente.

3. Resultados e discussão

Os resultados e discussões dos estudos de caso 1 a 3 são apresentados.

3.1 Caso 1

Os resultados dos estudos, s. O número de elementos plastificados foram 3 (três) para todas as funções e a quantidade de rótulas 5 (cinco). Os caminhos da formação das rótulas são apresentados na Tabela 19 e Figura 11, com as 3 (três) funções ${\textstyle {f}_{4},\,{f}_{5}\,e\,{f}_{6}\,\,}$ mostram que os resultados estão mais próximos da solução do ABAQUS de 20 elementos de Thai e Kim [11] que teve o fator de carga entre 1 e 1,2. Do ponto de vista estatístico, a melhor solução seria a função ${\textstyle {f}_{4}}$ , depois ${\textstyle {f}_{6}}$ e por último ${\textstyle {f}_{5}}$ . No entanto, a carga limite de ${\textstyle {f}_{5}}$ é que se aproxima melhor aos resultados de Thai e Kim [11] com fatores de carga próximos a 0,8. Se levarmos em conta a solução de 20 elementos do ABACUS de Thai e Kim [11], a função ${\textstyle {f}_{4}}$ foi de fato a melhor corroborando com os resultados estatísticos. O número de elementos plastificados foram 3 (três) para todas as funções e a quantidade de rótulas 5 (cinco). Os caminhos da formação das rótulas são apresentados na Tabela 19.

Tabela 19. Rótulas plásticas – pórtico plano - Thai e Kim.

Função ${\textstyle {f}_{4}}$
Elemento	Nó	${\mathit {\boldsymbol {\lambda }}}$	Carga limite (kN)
1	1	$0,108246\times {10}^{5}$	$309,146$
	2	$0,841207\times {10}^{4}$
2	2	$0,227389\times {10}^{2}$
3	3	$0,844737\times {10}^{4}$
	4	$0,108410\times {10}^{5}$

Função ${\textstyle {f}_{5}}$
Elemento	Nó	${\mathit {\boldsymbol {\lambda }}}$	Carga limite (kN)
1	1	$0,106273\times {10}^{5}$	$300,431$
	2	$0,208395\times {10}^{4}$
2	2	$0,626480\times {10}^{4}$
3	3	$0,836829\times {10}^{4}$
	4	$0,106452\times {10}^{5}$

Função ${\textstyle {f}_{6}}$
Elemento	Nó	${\mathit {\boldsymbol {\lambda }}}$	Carga limite (kN)
1	1	$0,114845\times {10}^{5}$	$318,103$
	2	$0,254762\times {10}^{4}$
2	2	$0,604007\times {10}^{4}$
3	3	$0,899557\times {10}^{4}$
	4	$0,117705\times {10}^{5}$

Figura 11. Gráfico carga versus deslocamento horizontal (

) - pórtico plano - Thai e Kim

3.2 Caso 2

Os resultados dos estudos, Tabela 20 e Figura 12, com as 3 (três) funções ${\textstyle {f}_{2},\,{f}_{3}\,e\,{f}_{1}\,\,}$ mostram que os resultados das cargas limites estão mais elevados do que os de Thai e Kim [11] que teve o valor de 128,82 ${\textstyle kN}$ . Do ponto de vista estatístico, a melhor solução seria a função ${\textstyle {f}_{2}}$ , depois ${\textstyle {f}_{3}}$ e por último ${\textstyle {f}_{1}}$ . Neste caso, a carga limite de ${\textstyle {f}_{2}}$ é a que realmente se aproxima melhor aos resultados de Thai e Kim [11], confirmando os resultados estatísticos com uma diferença relativa de 4,08% (( ${\textstyle {f}_{2}-}$ $Thai)/Thai\,\times 100)$ . Esta diferença pode ter ocorrido porque os esforços plásticos limites (momentos, cortantes e axial) não existem nos dados de Thai e Kim [11], porém são necessários na teoria apresentada. O número de elementos plastificados foram 10 (dez) para todas as funções e a quantidade de rótulas 12 (doze). Os caminhos da formação das rótulas são apresentados na Tabela 20.

Tabela 20. Rótulas plásticas – pórtico espacial - Thai e Kim

Função ${\textstyle {f}_{1}}$
Elemento	Nó	${\mathit {\boldsymbol {\lambda }}}$	Carga limite (kN)
1	1	$0,345728\times {10}^{4}$	$141,886$
2	2	$0,353734\times {10}^{4}$
3	3	$0,348667\times {10}^{4}$
4	4	$0,350863\times {10}^{4}$
5	5	$0,308873\times {10}^{4}$
	6	$0,307316\times {10}^{4}$
7	7	$0,306402\times {10}^{4}$
	8	$0,309575\times {10}^{4}$
9	9	$0,899973\times {10}^{3}$
10	10	$0,933775\times {10}^{3}$
11	11	$0,984856\times {10}^{3}$
12	12	$0,849066\times {10}^{3}$

Função ${\textstyle {f}_{2}}$
Elemento	Nó	${\mathit {\boldsymbol {\lambda }}}$	Carga limite (kN)
1	1	$0,321786\times {10}^{4}$	$134,077$
2	2	$0,326692\times {10}^{4}$
3	3	$0,326692\times {10}^{4}$
4	4	$0,321786\times {10}^{4}$
5	5	$0,299500\times {10}^{4}$
	6	$0,298730\times {10}^{4}$
7	7	$0,298730\times {10}^{4}$
	8	$0,299500\times {10}^{4}$
9	9	$0,106747\times {10}^{4}$
10	10	$0,107793\times {10}^{4}$
11	11	$0,107793\times {10}^{4}$
12	12	$0,106747\times {10}^{4}$

Função ${\textstyle {f}_{3}}$
Elemento	Nó	${\mathit {\boldsymbol {\lambda }}}$	Carga limite (kN)
1	1	$0,345110\times {10}^{4}$	$141,900$
2	2	$0,353048\times {10}^{4}$
3	3	$0,348312\times {10}^{4}$
4	4	$0,349939\times {10}^{4}$
5	5	$0,309236\times {10}^{4}$
	6	$0,307839\times {10}^{4}$
7	7	$0,306698\times {10}^{4}$
	8	$0,309736\times {10}^{4}$
9	9	$0,905438\times {10}^{3}$
10	10	$0,938623\times {10}^{3}$
11	11	$0,983798\times {10}^{3}$
12	12	$0,855577\times {10}^{3}$

Figura 12. Gráfico carga versus deslocamento horizontal (

- pórtico espacial - Thai e Kim

3.3 Caso 3

Os resultados dos estudos, Tabela 21 e Figura 13, com as 3 (três) funções ${\textstyle {f}_{2},\,{f}_{3}\,e\,{f}_{1}\,\,}$ mostram que os resultados das cargas limites estão próximos de Argyris et al [12], visualmente, porque o valor exato não é apresentado. Do ponto de vista estatístico, a melhor solução seria a função ${\textstyle {f}_{2}}$ , depois ${\textstyle {f}_{3}}$ e por último ${\textstyle {f}_{1}}$ . Neste caso, a carga limite de ${\textstyle {f}_{3}}$ é a que realmente se aproxima melhor aos resultados de Argyris et al [12], visualmente. Porém, esta função não conseguiu avançar o caminho de deslocamento em relação aos demais. Se avaliarmos a trajetória de deslocamento, a função ${\textstyle {f}_{2}}$ será a melhor e corroborará com os resultados estatísticos. O número de elementos plastificados foram 6 (seis) para as funções ${\textstyle {f}_{1}}$ e ${\textstyle {f}_{2}}$ e a quantidade de rótulas 12 (doze). Já a função ${\textstyle {f}_{3}}$ foram 6 (seis) elementos e 6 (seis) rótulas. Os caminhos da formação das rótulas são apresentados na Tabela 21.

Tabela 21. Rótulas plásticas – pórtico espacial - pórtico espacial - Argyris et al.

Função ${\textstyle {f}_{1}}$
Elemento	Nó	${\mathit {\boldsymbol {\lambda }}}$	Carga limite (kN)
1	1	$0,549351$	$51,0815$
	2	$0,891167$
2	1	$0,552499$
	3	$0,861987$
3	1	$0,564206$
	4	$0,883022$
4	1	$0,569621$
	5	$0,885590$
5	1	$0,556237$
	6	$0,862806$
6	1	$0,541887$
	7	$0,934919$

Função ${\textstyle {f}_{2}}$
Elemento	Nó	${\mathit {\boldsymbol {\lambda }}}$	Carga limite (kN)
1	1	$2,63534$	$54,4497$
	2	$2,62747$
2	1	$2,64188$
	3	$2,63063$
3	1	$2,64561$
	4	$2,63270$
4	1	$2,64226$
	5	$2,63100$
5	1	$2,63496$
	6	$2,62711$
6	1	$2,63079$
	7	$2,62451$

Função ${\textstyle {f}_{3}}$
Elemento	Nó	${\mathit {\boldsymbol {\lambda }}}$	Carga limite (kN)
1	1	$0,227607$	$48,0914$
2	1	$0,227118$
3	1	$0,226262$
4	1	$0,224668$
5	1	$0,224136$
6	1	$0,225236$

Figura 13. Gráfico carga versus deslocamento horizontal (

- pórtico espacial - Argyris et al.

4. Conclusões

* As superfícies de escoamento em resultantes de tensões aplicadas para pórticos planos e espaciais obtiveram resultados satisfatórios tendo em vista os exemplos apresentados;

* Os resultados estatísticos conseguiram detectar as melhores funções, a saber, ${\textstyle {f}_{2}}$ e ${\textstyle {f}_{4}}$ para as análises desenvolvidas;

* O método apresentado permitiu o uso do modelo de dano de viga de Timoshenko 3D com bons resultados para estruturas de aço;

* A regressão linear múltipla se apresenta como uma solução viável para obter funções por análises numéricas e/ou experimentais;

* O processo de formação de rótulas plásticas foi similares para os casos 1 e 2, porém o caso 3 apresentou distinções entre as funções apresentadas com ${\textstyle {f}_{1}}$ e ${\textstyle {f}_{2}}$ similares e diferente para ${\textstyle {f}_{3}}$ . Isto impactou nos resultados das cargas limites e trajetória de deslocamento do caso 3.

Agradecimentos

À UFOB, CIMNE/UPC, PECC/UnB e a CAPES.

Referências

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[6]	Vieira P.C.S., Silva W.T.M. Análise elastoplástica de estruturas aporticadas com superfícies de interação obtidas por regressão linear múltipla. Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería, 3:175–187, 2013.
[7]	Montgomery D.C., Runger G.C. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. LTC, Rio de Janeiro, 2016.
[8]	Horne, M.R. Plastic theory of structures. 2ª ed., Pergamon Press, Oxford, 1972.
[9]	Neal, B.G. The plastic methods of structural analysis. Chapman and Hall, Inglaterra, 1977.
[10]	Silva, W. T. M. Análise elastoplástica de pórticos espaciais utilizando o conceito de rótula plástica e o método de backward Euler. Métodos Computacionais em Engenharia, [s.n.], Lisboa, 2004.
[11]	Thai H.T., Kim S.E. Nonlinear inelastic analysis of space frames. Journal of Constructional Steel Research, 67:585–592, 2011.
[12]	Argyris, J.H. et al. Finite element analysis of two and three-dimensional elasto-plastic frames - the natural approach. Comp. Method. in Applied Mechanics and Engineering, 35:221-248, 1982.
[13]	Park M.S., Lee B.C. Geometrically non-linear and elastoplastic three-dimensional shear flexible beam element of von-Mises-type hardening material. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 39:383-408, 1996.

Latest revision as of 14:39, 5 March 2021

Resumo

Abstract

1. Introdução

2. Métodos

2.1 Funções de Escoamento

2.2 Modelo de dano

2.3 Superfícies de interação por regressão linear múltipla

2.4 Análise elastoplástica de estruturas de pórticos

2.4.1 Derivadas de primeira ordem

2.4.2 Derivadas de segunda ordem

2.5 Algoritmo de Retorno

2.5.1 Algoritmo de retorno com 1 (um) vetor

2.5.2 Algoritmo de retorno com 2 (dois) vetores

2.6 Matriz de rigidez consistente

2.6.1 Algoritmo de retorno com um vetor

2.6.2 Algoritmo com dois vetores de retorno

2.7 Caracterização dos casos

3. Resultados e discussão

3.1 Caso 1

3.2 Caso 2

3.3 Caso 3

4. Conclusões

Agradecimentos

Referências

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Keywords

@@ Line 1: / Line 1: @@
 ==Resumo==
 As superfícies de interação em resultantes de tensão podem ser de grande utilidade nos processos de análise estrutural, mas sua obtenção para pórticos planos ou espaciais, geralmente, é em esforços combinados de momentos fletores e normais. A literatura apresenta as superfícies em formas planas, quadriculares, complexas ou mistas para análise não linear de estruturas que apresentam os problemas de instabilidade local e global na execução. O modelo de regressão linear múltipla é um método que permite a obtenção de superfícies de interação em resultantes de tensão a partir de análises de elementos sólidos 3D. As análises elastoplásticas de pórticos planos ou espaciais usando estas superfícies facilitam os processos de análise estrutural para a execução de projetos com melhor segurança estrutural. Neste trabalho, a abordagem será para estruturas metálicas com superfícies em resultantes de tensão obtidas por análises não lineares do modelo de dano de vigas de Timoshenko 3D.
-'''Palavras-chave:''' Superfícies de interação; vigas de Timoshenko 3D; regressão linear múltipla; resultantes de tensões, pórticos metálicos; análise elastoplástica.
+'''Palavras-chave:''' Superfícies de interação, vigas de Timoshenko 3D, regressão linear múltipla, resultantes de tensões, pórticos metálicos, análise elastoplástica
 ==Abstract==
@@ Line 11: / Line 9: @@
 The interaction surfaces in stress resultants can be of great use in the structural analysis processes, but their obtaining for plane or space frames, generally, is in combined efforts of bending moments and normal. The literature presents the surfaces in plane, quadric, complex or mixed forms for nonlinear analysis of structures that have the problems of local and global instability in the executing. The multiple linear regression model is a method that permit obtain interaction surfaces in the stress resultants from 3D solid element analysis. The plane and space frames elastoplastic analysis using these surfaces facilitate the structural analysis processes for the execution of projects with better structural safety. In this work, the approach will be for metallic structures with stress resultants surfaces obtained by Timoshenko 3D beams damage model non-linear analysis.
-'''Keywords: '''interaction curves, 3D Timoshenko beams, multiple linear regression, stress resultants, steel frame, elastoplastic analysis.
+'''Keywords: '''Interaction curves, 3D Timoshenko beams, multiple linear regression, stress resultants, steel frame, elastoplastic analysis
 <span id='_Ref457256930'></span>
-==1 Introdução==
+==1. Introdução==
 A análise elastoplástica com pórticos espaciais ou planos necessita da função de escoamento que controla o término da fase elástica e o estado plástico da estrutura. Usar superfícies de interação em resultantes de tensões é de mais fácil entendimento para os projetistas porque geralmente os esforços seccionais são apresentados nestas resultantes, a saber, momentos, cortantes e axial. O modelo de dano em vigas de Timoshenko em vigas 3D permite obter os esforços em resultantes de tensões com a versatilidade de poder usá-lo para estruturas de concreto armado ou aço, de acordo com os parâmetros adotados. No trabalho de Vieira [1] faz-se a aplicação da tese doutoral de Hanganu [2] para o caso de estruturas de aço com a definição do limite de dano quando o valor da função de endurecimento (<math display="inline">k\left( d\right) )</math> for igual a máxima resistência ao cortante octaédrica (<math display="inline">{\tau }_{oct}^{m\acute{a}x}(d)</math>). As verificações realizadas demonstraram que os limites plásticos foram atendidos. Este trabalho fará a aplicação das superfícies de interação em pórticos planos e espaciais, de modo que seja verificado se a regressão linear múltipla consegue demostrar se a função é de boa utilidade ou não na análise elastoplástica.
-==2 Métodos==
+==2. Métodos==
-A pesquisa foi desenvolvida com as formulações apresentadas nas seções <span id='cite-_Ref4583336'></span>[[#_Ref4583336|2.1]] a <span id='cite-_Ref4583347'></span>[[#_Ref4583347|2.6]] e 3 (três) estudos de casos na seção <span id='cite-_Ref477377056'></span>[[#_Ref477377056|2.7]].
+A pesquisa foi desenvolvida com as formulações apresentadas nas Seções <span id='cite-_Ref4583336'></span>[[#_Ref4583336|2.1]] a <span id='cite-_Ref4583347'></span>[[#_Ref4583347|2.6]] e 3 (três) estudos de casos na Seção <span id='cite-_Ref477377056'></span>[[#_Ref477377056|2.7]].
 <span id='_Ref4583336'></span>
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 | <math>f={n}^{2}+{m}_{i}-1=0\, com\, i=x,y</math>
 |}
-|  style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 1 )
+|  style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(1)
 |}
+onde:
-Onde:
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
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 | <math display="inline">n=\frac{N}{{N}_{xp}}</math>; <math display="inline">{m}_{i}=</math><math>\frac{{M}_{i}}{{M}_{ip}}</math>
 |}
-|  style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 2 )
+|  style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(2)
 |}
 com
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 |-
 | <math>f={n}^{2}+\frac{s}{\sqrt{3}}{m}_{i}n+{m}_{i}^{2}-1=0\,</math>
 |}
-|  style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 3 )
+|  style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(3)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
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 |-
 | <math>f={n}^{2}+3s{m}_{i}n+\frac{9}{4}{m}_{i}^{2}-1=0\,</math>
 |}
-|  style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 4 )
+|  style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(4)
 |}
 com
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 |-
 | <math>s=\frac{{M}_{i}}{\left| {M}_{ip}\right| }\,</math>
 |}
-|  style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 5 )
+|  style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(5)
 |-
 |
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 |-
 | <math>f={m}_{z}+\frac{3}{4}{m}_{y}^{2}-1=0</math>
 |}
-|  style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 6 )
+|  style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(6)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 124: / Line 109: @@
 | <math>f={m}_{i}^{2}+{f}_{i}^{2}-1=0</math>
 |}
-|  style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 7 )
+|  style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(7)
 |}
 com
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 |}
+onde <math display="inline">{F}_{i}</math> = força cortante atuante; <math display="inline">{F}_{ip}</math> = força cortante de plastificação.
-<math display="inline">{F}_{i}</math> = força cortante atuante;
-<math display="inline">{F}_{ip}</math> = força cortante de plastificação.
 Existem dificuldades para a obtenção das funções de escoamento por ensaios experimentais, assim como por modelos computacionais porque as mesmas dependem da geometria da seção transversal e das propriedades do material. A abordagem baseada no modelo de dano em vigas de Timoshenko 3D para a obtenção das superfícies com regressão linear múltipla é apresentada em Vieira e Silva [6] e com mais detalhes em Vieira [1].
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 ===2.2 Modelo de dano ===
-Hanganu [2] desenvolve o modelo de dano isotrópico para problemas termicamente estáveis, na configuração material lagrangiana com pequenas deformações e deslocamentos com a descrição do dano pela variável <math display="inline">d</math> em função de uma superfície elementar com um volume de material degradado como na <span id='cite-_Ref529774485'></span>[[#_Ref529774485|'''Figura 1''']]:
+Hanganu [2] desenvolve o modelo de dano isotrópico para problemas termicamente estáveis, na configuração material lagrangiana com pequenas deformações e deslocamentos com a descrição do dano pela variável <math display="inline">d</math> em função de uma superfície elementar com um volume de material degradado como na <span id='cite-_Ref529774485'></span>[[#_Ref529774485|Figura 1]]:
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
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 | <math>d=\frac{{S}_{n}-{\overline{S}}_{n}}{{S}_{n}}=1-\frac{{\overline{S}}_{n}}{{S}_{n}}</math>
 |}
-|  style="vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref529712878'></span>( 8 )
+|  style="vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref529712878'></span>(8)
 |}
+onde <math display="inline">{S}_{n}</math> = área total da seção; <math display="inline">{\overline{S}}_{n}</math>= área resistente efetiva; <math display="inline">{S}_{n}-{\overline{S}}_{n}\,</math>  = área ocupada pelas aberturas.
-Onde
-<math display="inline">{S}_{n}</math> = área total da seção;
+<div id='_Ref529774485'></div>
+{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
-<math display="inline">{\overline{S}}_{n}</math>= área resistente efetiva;
-<math display="inline">{S}_{n}-{\overline{S}}_{n}\,</math>  = área ocupada pelas aberturas.
-{| style="width: 100%;border-collapse: collapse;"
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;width: 100%;"|[[Image:Draft_Vieira_908925676-image1.png|174px]]
+|style="padding:10px;"|  [[Image:Review_967755629029_4053_test-image1.png|120px]]
+|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
+| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 1'''. Superfície com dano
 |}
-<span id='_Ref529774485'></span>'''Figura 1'''. Superfície com dano.
+A relação de equilíbrio entre a tensão de Cauchy <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{\sigma }}</math>''' '''e a tensão efetiva <math display="inline">\overline{\mathit{\boldsymbol{\sigma }}}</math>''' '''é mostrada pela equação <span id='cite-_Ref529712885'></span>[[#_Ref529712885|(9)]] e a <span id='cite-_Ref529775476'></span>[[#_Ref529775476|Figura 2]]:
-A relação de equilíbrio entre a tensão de Cauchy <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{\sigma }}</math>''' '''e a tensão efetiva <math display="inline">\overline{\mathit{\boldsymbol{\sigma }}}</math>''' '''é mostrada pela equação <span id='cite-_Ref529712885'></span>[[#_Ref529712885|( 9 )]] e a <span id='cite-_Ref529775476'></span>[[#_Ref529775476|'''Figura 2''']]:
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
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 | <math>\sigma S=\, \overline{\sigma }\boldsymbol{\, }\overline{S}</math>
 |}
-|  style="vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref529712885'></span>( 9 )
+|  style="vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref529712885'></span>(9)
 |}
+<div id='_Ref529775476'></div>
-{| style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;"
+{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;width: 49%;"|[[Image:Draft_Vieira_908925676-image2.png|258px]]
+|  style="text-align: center;padding:10px;"| [[Image:Review_967755629029_1811_test-image2.png|158px]]
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;width: 50%;"|[[Image:Draft_Vieira_908925676-image3.png|258px]]
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;padding:10px;"| [[Image:Review_967755629029_8526_test-image3.png|158px]]
 |-
-|  style="vertical-align: top;"|1) Região real com dano.
+|  style="text-align: center;font-size: 75%;"|(a) Região real com dano
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|2) Região equivalente sem dano.
+|  style="text-align: center;font-size: 75%;"|(b) Região equivalente sem dano
+|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
+| colspan="2" style="padding:10px;"| '''Figura 2'''. Tensão de Cauchy <math display="inline">\sigma</math>  e tensão efetiva <math display="inline">\overline{\sigma }</math>
 |}
-<span id='_Ref529775476'></span>'''Figura 2'''. Tensão de Cauchy <math display="inline">\sigma</math>  e tensão efetiva <math display="inline">\overline{\sigma }</math>.
+Fazendo as relações entre as equações <span id='cite-_Ref529712878'></span>[[#_Ref529712878|(8)]] e <span id='cite-_Ref529712885'></span>[[#_Ref529712885|(9)]] obtém-se:
-Fazendo as relações entre as equações <span id='cite-_Ref529712878'></span>[[#_Ref529712878|( 8 )]] e <span id='cite-_Ref529712885'></span>[[#_Ref529712885|( 9 )]] obtém-se:
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 206: / Line 182: @@
 | <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{\sigma }}=\, \overline{\mathit{\boldsymbol{\sigma }}}\boldsymbol{\, }\left( 1-\right. </math><math>\left. d\right) =\left( 1-d\right) \mathit{\boldsymbol{E}}\epsilon</math>
 |}
-|  style="vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 10 )
+|  style="vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(10)
 |}
+onde <math display="inline">E</math> = módulo de elasticidade do material; <math display="inline">\epsilon</math>  = deformação do material.
-Onde:
+Para problemas termicamente estáveis é válida a inequação de Clasius-Planck para representar a dissipação (<math display="inline">{\Xi }_{m}</math>), sempre crescente, com a potência dissipativa <math display="inline">\overset{\cdot}{{\Xi }_{m}}</math> sendo positiva em um ponto para a forma lagrangiana seguinte:
-<math display="inline">E</math> = módulo de elasticidade do material;
-<math display="inline">\epsilon</math>  = deformação do material.
-Para problemas termicamente estáveis é válida a inequação de Clasius-Planck para representar a dissipação ( <math display="inline">{\Xi }_{m}</math>), sempre crescente, com a potência dissipativa <math display="inline">\overset{\cdot}{{\Xi }_{m}}</math> sendo positiva em um ponto para a forma lagrangiana seguinte:
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 225: / Line 196: @@
 | <math>\overset{\cdot}{{\Xi }_{m}}=\frac{1}{{m}_{0}}\, {\mathit{\boldsymbol{\sigma }}}^{T}\overset{\cdot}{\mathit{\boldsymbol{\epsilon }}}-</math><math>\overset{\cdot}{\boldsymbol{\Psi }}=\left( \frac{1}{{m}_{o}}{\mathit{\boldsymbol{\sigma }}}^{T}-\right. </math><math>\left. \frac{\partial \boldsymbol{\Psi }}{\partial \mathit{\boldsymbol{\epsilon }}}\right) \overset{\cdot}{\mathit{\boldsymbol{\epsilon }}}-</math><math>\frac{\partial \boldsymbol{\Psi }}{\partial d}\overset{\cdot}{d}\geq 0</math>
 |}
-|  style="vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref529714747'></span>( 11 )
+|  style="vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref529714747'></span>(11)
 |}
+com
-Com
 <math display="inline">{\Psi }_{0}</math> = energia livre elástica de Helmholtz do material sem danos;
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 | <math>\left( \frac{1}{{m}_{o}}{\mathit{\boldsymbol{\sigma }}}^{T}-\frac{\partial \boldsymbol{\Psi }}{\partial \mathit{\boldsymbol{\epsilon }}}\right) =</math><math>0</math>
 |}
-|  style="vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref529778988'></span>( 12 )
+|  style="vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref529778988'></span>(12)
 |}
+Desenvolvendo a equação <span id='cite-_Ref529778988'></span>[[#_Ref529778988|(12)]] chega-se a:
-Desenvolvendo a equação <span id='cite-_Ref529778988'></span>[[#_Ref529778988|( 12 )]] chega-se a:
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
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 | <math>\mathit{\boldsymbol{\sigma }}={m}_{o}{\left( \frac{\partial \boldsymbol{\Psi }}{\partial \epsilon }\right) }^{T}=</math><math>\left( 1-d\right) {\mathit{\boldsymbol{C}}}^{0}\mathit{\boldsymbol{\epsilon }}={\mathit{\boldsymbol{C}}}^{s}\mathit{\boldsymbol{\epsilon }}</math>
 |}
-|  style="vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 13 )
+|  style="vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(13)
 |}
+onde <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{C}}}^{s}= \left( 1- d\right) {\mathit{\boldsymbol{C}}}^{0}</math> é a matriz constitutiva secante do material com dano.
-Onde
+Por consequência o termo restante da equação <span id='cite-_Ref529714747'></span>[[#_Ref529714747|(11)]] torna-se em
-<math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{C}}}^{s}</math>= <math display="inline">\left( 1-\right. </math><math>\left. d\right) {\mathit{\boldsymbol{C}}}^{0}</math> é a matriz constitutiva secante do material com dano.
-Por consequência o termo restante da equação <span id='cite-_Ref529714747'></span>[[#_Ref529714747|( 11 )]] torna-se em
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 276: / Line 242: @@
 | <math>\overset{\cdot}{{\Xi }_{m}}={-\frac{\partial \boldsymbol{\Psi }}{\partial d}\overset{\cdot}{d}\boldsymbol{=\Psi }}_{0}\overset{\cdot}{d}\geq 0</math>
 |}
-|  style="vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref529779568'></span>( 14 )
+|  style="vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref529779568'></span>(14)
 |}
-Pelas equações <span id='cite-_Ref529714747'></span>[[#_Ref529714747|( 11 )]] e <span id='cite-_Ref529779568'></span>[[#_Ref529779568|( 14 )]] o dano nunca pode diminuir, ou seja,  <math display="inline">\overset{\cdot}{d}\geq 0</math>.
+Pelas equações <span id='cite-_Ref529714747'></span>[[#_Ref529714747|(11)]] e <span id='cite-_Ref529779568'></span>[[#_Ref529779568|(14)]] o dano nunca pode diminuir, ou seja,  <math display="inline">\overset{\cdot}{d}\geq 0</math>.
-A função equivalente utilizada no modelo de Hanganu [2] é mostrada na <span id='cite-_Ref529715855'></span>[[#_Ref529715855|'''Figura 3''']] com <math display="inline">\acute{{f}_{t}}</math> e <math display="inline">\acute{{f}_{c}}</math> como resistências de tração e compressão, respectivamente.
+A função equivalente utilizada no modelo de Hanganu [2] é mostrada na <span id='cite-_Ref529715855'></span>[[#_Ref529715855|Figura 3]] com <math display="inline">\acute{{f}_{t}}</math> e <math display="inline">\acute{{f}_{c}}</math> como resistências de tração e compressão, respectivamente.
 O termo <math display="inline">n</math> é
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 | <math>n=\frac{{f}_{c}}{{f}_{t}}</math>
 |}
-|  style="vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 15 )
+|  style="vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(15)
 |}
+<div id='_Ref529715855'></div>
-{| style="width: 70%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;"
+{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;width: 100%;"|[[Image:Draft_Vieira_908925676-image4.png|402px]]
+|style="padding:10px;"| [[Image:Review_967755629029_5411_test-image4.png|402px]]
+|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
-<span id='_Ref529715855'></span>'''Figura 3'''. Função limite de dano no plano principal <math display="inline">{\sigma }_{1}-</math><math>{\sigma }_{2}</math>.
+| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 3'''. Função limite de dano no plano principal <math display="inline">{\sigma }_{1}-</math><math>{\sigma }_{2}</math>
 |}
@@ Line 314: / Line 280: @@
 | <math display="inline">\overline{F}=\, G\left( \overline{\sigma }\right) -G({f}_{c})\leq 0</math>
 |}
-|  style="vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 16 )
+|  style="vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(16)
 |}
+onde <math display="inline">G\left( \chi \right)</math>  = função escalar, inversível, positiva e derivada positiva, a determinar.
-Onde
+A função de evolução do limite de dano, Hanganu [2], é mostrada na <span id='cite-_Ref529718486'></span>[[#_Ref529718486|Figura 4]].
-<math display="inline">G\left( \chi \right)</math>  = função escalar, inversível, positiva e derivada positiva, a determinar.
+<div id='_Ref529718486'></div>
+{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
-A função de evolução do limite de dano, Hanganu [2], é mostrada na <span id='cite-_Ref529718486'></span>[[#_Ref529718486|'''Figura 4''']]:
-{| style="width: 100%;border-collapse: collapse;"
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;width: 100%;"|[[Image:Draft_Vieira_908925676-image5.png|432px]]
+|style="padding:10px;"| [[Image:Review_967755629029_3845_test-image5.png|250px]]
+|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
+| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 4'''. Representação da função <math display="inline">G\left( \overline{\sigma }\right)</math>
 |}
-<span id='_Ref529718486'></span>'''Figura 4'''. Representação da função <math display="inline">G\left( \overline{\sigma }\right)</math>
+O presente trabalho foi focado em estruturas de aço. Desta feita, adotou-se o critério de von Mises que depende de somente um parâmetro, ou seja, a máxima resistência ao cortante octaédrica <math display="inline">{\tau }_{oct}^{m\acute{a}x}</math>, considerando somente o 2º invariante do tensor desviador de tensões <math display="inline">\, {J}_{2}</math>, desprezando a influência do 1º invariante do tensor de tensões e do 3º invariante do tensor desviador de tensões <math display="inline">{J}_{3}</math>. De acordo com este critério, se alcança o limite do dano quando o valor da função de endurecimento <math display="inline">\kappa \, (d)</math> alcança a máxima resistência ao cortante octaédrico <math display="inline">{\tau }_{oct}^{m\acute{a}x}\, (d)</math>
-O presente trabalho foi focado em estruturas de aço. Desta feita, adotou-se o critério de von Mises que depende de somente um parâmetro, ou seja, a máxima resistência ao cortante octaédrica <math display="inline">{\tau }_{oct}^{m\acute{a}x}</math>, considerando somente o 2º invariante do tensor desviador de tensões <math display="inline">\, {J}_{2}</math>, desprezando a influência do 1º invariante do tensor de tensões e do 3º invariante do tensor desviador de tensões <math display="inline">{J}_{3}</math>. De acordo com este critério, se alcança
-o limite do dano quando o valor da função de endurecimento <math display="inline">\kappa \, (d)</math> alcança a máxima resistência ao cortante octaédrico <math display="inline">{\tau }_{oct}^{m\acute{a}x}\, (d)</math>.
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 343: / Line 305: @@
 | <math>\kappa \, (d)={\tau }_{oct}^{m\acute{a}x}(d)</math>
 |}
-|  style="vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 17 )
+|  style="vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(17)
 |}
+Este critério é representado na equação  <span id='cite-_Ref529821017'></span>[[#_Ref529821017|(18)]]:
-Este critério é representado na equação  <span id='cite-_Ref529821017'></span>[[#_Ref529821017|( 18 )]]:
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 356: / Line 317: @@
 | <math>F\left( {\mathit{\boldsymbol{J}}}_{\mathit{\boldsymbol{2}}};\overline{\sigma }\right) =</math><math>f\left( {J}_{2}\right) -\overline{\sigma }d=\sqrt{3{\mathit{\boldsymbol{J}}}_{\mathit{\boldsymbol{2}}}}-</math><math>\overline{\sigma }d=0</math>
 |}
-|  style="vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref529821017'></span>( 18 )
+|  style="vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref529821017'></span>(18)
 |}
 ===2.3 Superfícies de interação por regressão linear múltipla===
-Na obtenção das superfícies foram feitas várias combinações de carregamentos de forma a ter um grupo de pontos para gerar a superfície proposta, ou seja, pontos que tenham alcançado a superfície de escoamento. Para um dado carregamento, obtém-se um ponto, como por exemplo o ponto 1 da <span id='cite-_Ref529720062'></span>[[#_Ref529720062|'''Figura 5''']], cujas coordenadas (n1, m1) são o esforço axial e momento fletor respectivamente. Mais detalhes sobre os processos de obtenção das superfícies podem ser lidos em Vieira [1].
+Na obtenção das superfícies foram feitas várias combinações de carregamentos de forma a ter um grupo de pontos para gerar a superfície proposta, ou seja, pontos que tenham alcançado a superfície de escoamento. Para um dado carregamento, obtém-se um ponto, como por exemplo o ponto 1 da <span id='cite-_Ref529720062'></span>[[#_Ref529720062|Figura 5]], cujas coordenadas (n1, m1) são o esforço axial e momento fletor respectivamente. Mais detalhes sobre os processos de obtenção das superfícies podem ser lidos em Vieira [1].
-{| style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;"
+<div id='_Ref529720062'></div>
+{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|''' [[Image:Draft_Vieira_908925676-image6.png|420px]] '''
+|style="padding:10px;"| [[Image:Review_967755629029_4024_test-image6.png|220px]]
+|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
+| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 5'''. Pontos gerados para criar a função de escoamento (caso uniaxial)
 |}
-<span id='_Ref529720062'></span>'''Figura 5'''. Pontos gerados para criar a função de escoamento (caso uniaxial).
+A superfície para o caso da <span id='cite-_Ref529720062'></span>[[#_Ref529720062|Figura 5]] tem a seguinte descrição no formato do modelo de regressão linear múltipla:
-A superfície para o caso da <span id='cite-_Ref529720062'></span>[[#_Ref529720062|'''Figura 5''']] tem a seguinte descrição no formato do modelo de regressão linear múltipla:
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 381: / Line 342: @@
 | <math>f={\beta }_{1}{n}^{2}+{\beta }_{2}m-1=0</math>
 |}
-|  style="vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 19 )
+|  style="vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(19)
 |}
+onde <math display="inline">n\, e\, m</math> = esforços normal e fletor adimensionais, respectivamente; <math display="inline">{\beta }_{1}\, e\, {\beta }_{2}</math> = coeficientes obtidos pela regressão linear múltipla.
-Onde
-<math display="inline">n\, e\, m</math> = esforços normal e fletor adimensionais, respectivamente;
-<math display="inline">{\beta }_{1}\, e\, {\beta }_{2}</math> = coeficientes obtidos pela regressão linear múltipla.
 Muitas aplicações da análise de regressão envolvem situações em que há mais de uma variável de regressão. Um modelo de regressão que contém mais de um regressor recebe o nome de modelo de regressão múltipla como por exemplo em Montgomery [7].
@@ Line 401: / Line 357: @@
 |-
 | <math>f={\beta }_{1}{{\overline{n}}_{x}}^{{\beta }_{13}}+{\beta }_{2}{{\overline{f}}_{y}}^{{\beta }_{14}}+</math><math>{\beta }_{3}{{\overline{f}}_{z}}^{{\beta }_{15}}+{\beta }_{4}{{\overline{m}}_{x}}^{{\beta }_{16}}+</math><math>{\beta }_{5}{{\overline{m}}_{y}}^{{\beta }_{17}}+{\beta }_{6}{{\overline{m}}_{z}}^{{\beta }_{18}}+</math><math>{\beta }_{7}{{{\overline{n}}_{x}}^{{\beta }_{19}}\, {\overline{m}}_{x}}^{{\beta }_{20}}+</math><math>{\beta }_{8}{{{\overline{n}}_{x}}^{{\beta }_{21}}{\overline{m}}_{y}}^{{\beta }_{22}}+</math><math>{\beta }_{9}{{{\overline{n}}_{x}}^{{\beta }_{23}}{\overline{m}}_{z}}^{{\beta }_{24}}+</math><math>{\beta }_{10}{\, {\overline{m}}_{x}}^{{\beta }_{25}}{{\overline{m}}_{y}}^{{\beta }_{26}}+</math><math>{\beta }_{11}{\, {\overline{m}}_{x}}^{{\beta }_{27}}{{\overline{m}}_{z}}^{{\beta }_{28}}+</math><math>{\beta }_{12}{{\overline{m}}_{y}}^{{\beta }_{29}}{{\overline{m}}_{z}}^{{\beta }_{30}}-1=</math><math>0</math>
 |}
-|  style="vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref529721691'></span>( 20 )
+|  style="vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref529721691'></span>(20)
 |}
+onde:
-Onde:
 <math display="inline">{\overline{n}}_{x}=\frac{{n}_{x}}{{n}_{xp}}</math> com <math display="inline">{n}_{x}</math> e <math display="inline">{n}_{xp}</math> como o esforço axial atuante e plástico;
@@ Line 422: / Line 375: @@
 <math display="inline">{\overline{m}}_{z}=\frac{{m}_{z}}{{m}_{zp}}</math> com <math display="inline">{m}_{z}</math> e <math display="inline">{m}_{zp}</math> como o momento fletor atuante e plástico.
-Na regressão as observações da equação <span id='cite-_Ref529721691'></span>[[#_Ref529721691|( 20 )]] podem ser apresentadas como
+Na regressão as observações da equação <span id='cite-_Ref529721691'></span>[[#_Ref529721691|(20)]] podem ser apresentadas como
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 429: / Line 382: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;"
 |-
-| <math>Y={\beta }_{0}+{\beta }_{1}{x}_{i1}+{\beta }_{2}{x}_{i2}+\cdots +{\beta }_{k}{x}_{ik}+</math><math>{\epsilon }_{i}=0</math>
+| <math>Y={\beta }_{0}+{\beta }_{1}{x}_{i1}+{\beta }_{2}{x}_{i2}+\cdots +{\beta }_{k}{x}_{ik}+</math><math>{\epsilon }_{i}=0 \qquad i=1,2,\, \cdots ,n</math>
 |}
-|  style="vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 21 )
+|  style="vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(21)
 |}
+onde
-Com <math display="inline">i=1,2,\, \cdots ,n</math>
-Onde
 <math display="inline">n</math> = número de observações (ensaios);
@@ Line 456: / Line 406: @@
 | <math>\mathit{\boldsymbol{Y}}=\mathit{\boldsymbol{X\beta }}+\mathit{\boldsymbol{\epsilon }}=</math><math>0</math>
 |}
-|  style="vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 22 )
+|  style="vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(22)
 |}
+com
-Com
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 469: / Line 418: @@
 | <math>\mathit{\boldsymbol{Y=\, }}\left[ \begin{matrix}\begin{matrix}{y}_{1}\\{y}_{2}\\\vdots \end{matrix}\\{y}_{n}\end{matrix}\right] ;\mathit{\boldsymbol{\, X}}=</math><math>\left[ \begin{matrix}1\\1\\\begin{matrix}\vdots \\1\end{matrix}\end{matrix}\begin{matrix}{x}_{11}\\{x}_{21}\\\begin{matrix}\vdots \\{x}_{n1}\end{matrix}\end{matrix}\begin{matrix}{x}_{12}\\{x}_{22}\\\begin{matrix}\vdots \\{x}_{n2}\end{matrix}\end{matrix}\begin{matrix}\cdots \\\cdots \\\begin{matrix}\vdots \\\cdots \end{matrix}\end{matrix}\begin{matrix}{x}_{1k}\\{x}_{2k}\\\begin{matrix}\vdots \\{x}_{nk}\end{matrix}\end{matrix}\right]</math>
 |}
-|  style="vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 23 )
+|  style="vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(23)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 480: / Line 428: @@
 | <math>\mathit{\boldsymbol{\beta =\, }}\left[ \begin{matrix}\begin{matrix}{\beta }_{0}\\{\beta }_{1}\\\vdots \end{matrix}\\{\beta }_{k}\end{matrix}\right] ;\mathit{\boldsymbol{\epsilon }}=</math><math>\left[ \begin{matrix}{\epsilon }_{1}\\{\epsilon }_{2}\\\begin{matrix}\vdots \\{\epsilon }_{n}\end{matrix}\end{matrix}\right]</math>
 |}
-|  style="vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 24 )
+|  style="vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(24)
 |}
+onde
-Onde
 <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{Y}}</math> = é o vetor de observações de dimensão <math display="inline">(n\times 1)</math>;
@@ Line 503: / Line 450: @@
 | <math>\mathit{\boldsymbol{L}}=\sum _{i=1}^{n}{\mathit{\boldsymbol{\epsilon }}}_{\mathit{\boldsymbol{i}}}^{\mathit{\boldsymbol{2}}}=</math><math>{\mathit{\boldsymbol{\epsilon }}}^{T}\mathit{\boldsymbol{\epsilon }}={\left( \mathit{\boldsymbol{Y}}-\mathit{\boldsymbol{X\beta }}\right) }^{T}\left( \mathit{\boldsymbol{Y}}-\right. </math><math>\left. \mathit{\boldsymbol{X\beta }}\right)</math>
 |}
-|  style="vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 25 )
+|  style="vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(25)
 |}
 Desenvolvendo os cálculos chega-se a:
@@ Line 516: / Line 462: @@
 | <math>\hat{\mathit{\boldsymbol{\beta }}}={\left( {\mathit{\boldsymbol{X}}}^{\mathit{\boldsymbol{T}}}\mathit{\boldsymbol{X}}\right) }^{-1}{\mathit{\boldsymbol{X}}}^{T}\mathit{\boldsymbol{Y}}</math>
 |}
-|  style="vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 26 )
+|  style="vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(26)
 |}
 Mais detalhes dos processos de cálculo podem ser lidos em Montgomery [7].
@@ Line 531: / Line 476: @@
 | <math display="inline">{\hat{Y}}_{i}={\hat{\beta }}_{0}+\sum _{j=1}^{n}{\hat{\beta }}_{j}{x}_{ij}</math>
 |}
-|  style="vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 27 )
+|  style="vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(27)
 |}
 Com <math display="inline">i=1,\, 2,\, \cdots ,n</math>.
-Os testes de hipóteses utilizados são o estatístico de prova
+Os testes de hipóteses utilizados são o estatístico de prova “F” e os de coeficientes individuais “t” que podem ser compreendidos com detalhes em Montgomery [7].
-“F” e os de coeficientes individuais “t” que podem ser compreendidos com detalhes em Montgomery [7].
+As superfícies e seus os resultados estatísticos ([[#tab-1|Tabelas 1]] a [[#tab-6|6]]) que serão usados nas análises elastoplásticas, obtidos em Vieira [1], são as seguintes:
-As superfícies e seus os resultados estatísticos (Tabelas de 1 a 6) que serão usados nas análises elastoplásticas, obtidos em Vieira [1], são as seguintes:
 {| class="formulaSCP" style="width: 72%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 550: / Line 492: @@
 | <math display="inline">{f}_{1}=1,010{n}^{2}+0,968{m}_{y}^{2}+0,981{m}_{z}^{2}+</math><math>0,514n{m}_{y}+0,43n{m}_{z}-1=0</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref533151259'></span>( 28 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref533151259'></span>(28)
 |}
+{| class="formulaSCP" style="width: 52%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
+|-
+|
+{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;"
+|-
+| <math display="inline">{f}_{2}=1,158{n}^{2}+1,118{m}_{y}^{2}+1,124{m}_{z}^{2}-1=</math><math>0</math>
+|}
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref533151260'></span>(29)
+|}
+{| class="formulaSCP" style="width: 85%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
+|-
+|
+{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;"
+|-
+| <math display="inline">{f}_{3}=1,\, 014{n}^{2}+0,966{m}_{y}^{2}+0,982{m}_{z}^{2}+</math><math>0,506n{m}_{y}+0,404n{m}_{z}+0,038{m}_{y}{m}_{z}-1=0</math>
+|}
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref533151262'></span>(30)
+|}
-'''Tabela 1'''. Prova de significância da superfície <math display="inline">{f}_{1}</math>
+{| class="formulaSCP" style="width: 52%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
+|-
+|
+{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;"
+|-
+| <math display="inline">{f}_{4}=1,012{n}^{2}+1,027{m}_{z}^{2}-1=0</math>
+|}
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref531207210'></span>(31)
+|}
-{| style="width: 62%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;"
+{| class="formulaSCP" style="width: 52%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
 |-
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Fonte de variação'''
+|
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Soma dos quadrados'''
+{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;"
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Graus de liberdade'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|'''Média dos quadrados'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|<math>F</math>
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<math>P>F</math>
 |-
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Regressão'''
+| <math display="inline">{f}_{5}=1,\, 242{n}^{2}+1,\, 087{m}_{z}^{2}-1=0</math>
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|23,860
+|}
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|3
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref531207213'></span>(32)
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|7,953
+|}
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|1183,674
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
+{| class="formulaSCP" style="width: 52%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
+|-
+|
+{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;"
+|-
+| <math display="inline">{f}_{6}=1,089n+\, 0,929{m}_{z}^{2}-1=0</math>
+|}
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref531207215'></span>(33)
+|}
+<div class="center" style="font-size: 75%;">'''Tabela 1'''. Prova de significância da superfície <math display="inline">{f}_{1}</math>
+</div>
+<div id='tab-1'></div>
+{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;font-size:85%;width:auto;"
+|-style="text-align:center"
+! Fonte de variação !! Soma dos quadrados !! Graus de liberdade !! Média dos quadrados !! <math>F</math> !!<math>P>F</math>
+|-
+|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|'''Regressão'''
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|23,860
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|3
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|7,953
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|1183,674
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
 |-
 |  style="text-align: right;vertical-align: top;"|'''Erro (resíduo)'''
@@ Line 580: / Line 567: @@
 |  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Total'''
+|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|'''Total'''
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|24,000
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|24,000
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|24
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|24
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  colspan='6'  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|'''Prova dos coeficientes individuais'''
+|  colspan='6'  style="text-align: center;vertical-align: top;"|'''Prova dos coeficientes individuais'''
 |-
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Variáveis'''
+|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|'''Variáveis'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|'''Estimado'''
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|'''Estimado'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|'''Erro'''
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|'''Erro'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|<math>t</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<math>t</math>
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|<math>P>\left| t\right|</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<math>P>\left| t\right|</math>
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
 |  style="text-align: right;vertical-align: top;"|<math>{n}^{2}</math>
@@ Line 610: / Line 597: @@
 |  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<math>{m}_{z}^{2}</math>
+|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|<math>{m}_{z}^{2}</math>
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|1,1240
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|1,1240
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0,0381
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|0,0381
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|29,530
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|29,530
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |}
-{| class="formulaSCP" style="width: 52%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
-|-
-|
-{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;"
-|-
-| <math display="inline">{f}_{2}=1,158{n}^{2}+1,118{m}_{y}^{2}+1,124{m}_{z}^{2}-1=</math><math>0</math>
-|}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref533151260'></span>( 29 )
-|}
+<div class="center" style="font-size: 75%;">'''Tabela 2'''. Prova de significância da superfície <math display="inline">{f}_{2}</math>
+</div>
-'''Tabela 2'''. Prova de significância da superfície <math display="inline">{f}_{2}</math>
+<div id='tab-2'></div>
+{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;font-size:85%;width:auto;"
-{| style="width: 62%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;"
+|-style="text-align:center"
+! Fonte de variação !! Soma dos quadrados !! Graus de liberdade !! Média dos quadrados !! <math>F</math> !!<math>P>F</math>
 |-
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Fonte de variação'''
+|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|'''Regressão'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Soma dos quadrados'''
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|24,000
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Graus de liberdade'''
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|5
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|'''Média dos quadrados'''
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|4,800
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|<math>F</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|55913,754
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<math>P>F</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
-|-
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Regressão'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|24,000
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|5
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|4,800
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-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
 |-
 |  style="text-align: right;vertical-align: top;"|'''Erro (resíduo)'''
@@ Line 655: / Line 629: @@
 |  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Total'''
+|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|'''Total'''
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|24,000
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|24,000
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|24
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|24
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  colspan='6'  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|'''Prova dos coeficientes individuais'''
+|  colspan='6'  style="text-align: center;vertical-align: top;"|'''Prova dos coeficientes individuais'''
 |-
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Variáveis'''
+|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|'''Variáveis'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Estimado'''
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|'''Estimado'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|'''Erro'''
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|'''Erro'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|<math>t</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<math>t</math>
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|<math>P>\left| t\right|</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<math>P>\left| t\right|</math>
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
 |  style="text-align: right;vertical-align: top;"|<math>{n}^{2}</math>
@@ Line 699: / Line 673: @@
 |  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<math>n{m}_{z}</math>
+|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|<math>n{m}_{z}</math>
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0,0305
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|0,0305
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|14,100
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|14,100
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |}
-{| class="formulaSCP" style="width: 85%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
-|-
-|
-{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;"
-|-
-| <math display="inline">{f}_{3}=1,\, 014{n}^{2}+0,966{m}_{y}^{2}+0,982{m}_{z}^{2}+</math><math>0,506n{m}_{y}+0,404n{m}_{z}+0,038{m}_{y}{m}_{z}-1=0</math>
-|}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref533151262'></span>( 30 )
-|}
+<div class="center" style="font-size: 75%;">'''Tabela 3.''' Prova de significância da superfície <math display="inline">{f}_{3}</math>
-'''Tabela 3.''' Prova de significância da superfície <math display="inline">{f}_{3}</math>
+</div>
+<div id='tab-3'></div>
-{| style="width: 62%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;"
+{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;font-size:85%;width:auto;"
+|-style="text-align:center"
+! Fonte de variação !! Soma dos quadrados !! Graus de liberdade !! Média dos quadrados !! <math>F</math> !!<math>P>F</math>
 |-
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Fonte de variação'''
+|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|'''Regressão'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Soma dos quadrados'''
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|24,000
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Graus de liberdade'''
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|6
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|'''Média dos quadrados'''
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|4,000
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|<math>F</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|53308,230
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<math>P>F</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
-|-
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Regressão'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|24,000
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-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|4,000
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|53308,230
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
 |-
 |  style="text-align: right;vertical-align: top;"|'''Erro (resíduo)'''
@@ Line 744: / Line 704: @@
 |  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Total'''
+|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|'''Total'''
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|24,000
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|24,000
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|24
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|24
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  colspan='6'  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Prova dos coeficientes individuais'''
+|  colspan='6'  style="text-align: right;vertical-align: top;"|'''Prova dos coeficientes individuais'''
 |-
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Variáveis'''
+|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|'''Variáveis'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Estimado'''
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|'''Estimado'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|'''Erro'''
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|'''Erro'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|<math>t</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<math>t</math>
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|<math>P>\left| t\right|</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<math>P>\left| t\right|</math>
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
 |  style="text-align: right;vertical-align: top;"|<math>{n}^{2}</math>
@@ Line 795: / Line 755: @@
 |  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<math>{m}_{y}{m}_{z}</math>
+|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|<math>{m}_{y}{m}_{z}</math>
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0,0380
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|0,0380
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0,01980
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|0,01980
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|1,900
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|1,900
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |}
-{| class="formulaSCP" style="width: 52%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
+<div class="center" style="font-size: 75%;">'''Tabela 4'''. Prova de significância da superfície <math display="inline">{f}_{4}</math>
+</div>
+<div id='tab-4'></div>
+{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;font-size:85%;width:auto;"
+|-style="text-align:center"
+! Fonte de variação !! Soma dos quadrados !! Graus de liberdade !! Média dos quadrados !! <math>F</math> !!<math>P>F</math>
 |-
-|
+|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|'''Regressão'''
-{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;"
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|12,000
-|-
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|2
-| <math display="inline">{f}_{4}=1,012{n}^{2}+1,027{m}_{z}^{2}-1=0</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|6,000
-|}
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|84325,969
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref531207210'></span>( 31 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
-|}
-'''Tabela 4'''. Prova de significância da superfície <math display="inline">{f}_{4}</math>
-{| style="width: 66%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;"
-|-
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Fonte de variação'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Soma dos quadrados'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Graus de liberdade'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|'''Média dos quadrados'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|<math>F</math>
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<math>P>F</math>
-|-
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Regressão'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|12,000
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|2
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|6,000
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|84325,969
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
 |-
 |  style="text-align: right;vertical-align: top;"|'''Erro (resíduo)'''
@@ Line 840: / Line 785: @@
 |  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Total'''
+|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|'''Total'''
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|12,000
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|12,000
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|12
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|12
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  colspan='6'  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|'''Prova dos coeficientes individuais'''
+|  colspan='6'  style="text-align: center;vertical-align: top;"|'''Prova dos coeficientes individuais'''
 |-
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Variáveis'''
+|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|'''Variáveis'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Estimado'''
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|'''Estimado'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|'''Erro'''
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|'''Erro'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|<math>t</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<math>t</math>
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|<math>P>\left| t\right|</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<math>P>\left| t\right|</math>
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
 |  style="text-align: right;vertical-align: top;"|<math>{n}^{2}</math>
@@ Line 863: / Line 808: @@
 |  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<math>{m}_{z}^{2}</math>
+|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|<math>{m}_{z}^{2}</math>
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|1,0270
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+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|233, 800
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+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |}
-{| class="formulaSCP" style="width: 52%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
+<div class="center" style="font-size: 75%;">'''Tabela 5'''. Prova de significância da superfície <math display="inline">{f}_{5}</math>
+</div>
+<div id='tab-5'></div>
+{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;font-size:85%;width:auto;"
+|-style="text-align:center"
+! Fonte de variação !! Soma dos quadrados !! Graus de liberdade !! Média dos quadrados !! <math>F</math> !!<math>P>F</math>
 |-
-|
+|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|'''Regressão'''
-{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;"
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|11,960
-|-
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|2
-| <math display="inline">{f}_{5}=1,\, 242{n}^{2}+1,\, 087{m}_{z}^{2}-1=0</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|5,979
-|}
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|1455,211
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref531207213'></span>( 32 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
-|}
-'''Tabela 5'''. Prova de significância da superfície <math display="inline">{f}_{5}</math>
-{| style="width: 61%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;"
-|-
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Fonte de variação'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Soma dos quadrados'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Graus de liberdade'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|'''Média dos quadrados'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|<math>F</math>
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<math>P>F</math>
-|-
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Regressão'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|11,960
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|2
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|5,979
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|1455,211
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
 |-
 |  style="text-align: right;vertical-align: top;"|'''Erro (resíduo)'''
@@ Line 908: / Line 838: @@
 |  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Total'''
+|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|'''Total'''
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|12,000
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|12,000
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|12
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|12
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  colspan='6'  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|'''Prova dos coeficientes individuais'''
+|  colspan='6'  style="text-align: center;vertical-align: top;"|'''Prova dos coeficientes individuais'''
 |-
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Variáveis'''
+|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|'''Variáveis'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Estimado'''
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|'''Estimado'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|'''Erro'''
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|'''Erro'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|<math>t</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<math>t</math>
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|<math>P>\left| t\right|</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<math>P>\left| t\right|</math>
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
 |  style="text-align: right;vertical-align: top;"|<math>{n}^{2}</math>
@@ Line 931: / Line 861: @@
 |  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<math>{m}_{z}^{2}</math>
+|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|<math>{m}_{z}^{2}</math>
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|1,0870
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|1,0870
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0,0355
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|0,0355
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|30,610
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|30,610
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |}
-{| class="formulaSCP" style="width: 52%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
+<div class="center" style="font-size: 75%;">'''Tabela 6'''. Prova de significância da superfície <math display="inline">{f}_{6}</math>
+</div>
+<div id='tab-6'></div>
+{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;font-size:85%;width:auto;"
+|-style="text-align:center"
+! Fonte de variação !! Soma dos quadrados !! Graus de liberdade !! Média dos quadrados !! <math>F</math> !!<math>P>F</math>
 |-
-|
+|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|'''Regressão'''
-{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;"
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|11,990
-|-
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|2
-| <math display="inline">{f}_{6}=1,089n+\, 0,929{m}_{z}^{2}-1=0</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|5,996
-|}
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|8547,240
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref531207215'></span>( 33 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
-|}
-'''Tabela 6'''. Prova de significância da superfície <math display="inline">{f}_{6}</math>
-{| style="width: 61%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;"
-|-
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Fonte de variação'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Soma dos quadrados'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Graus de liberdade'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|'''Média dos quadrados'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|<math>F</math>
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<math>P>F</math>
-|-
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Regressão'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|11,990
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|2
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|5,996
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|8547,240
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
 |-
 |  style="text-align: right;vertical-align: top;"|'''Erro (resíduo)'''
@@ Line 976: / Line 891: @@
 |  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Total'''
+|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|'''Total'''
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|12,000
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|12,000
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|12
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|12
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  colspan='6'  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|'''Prova dos coeficientes individuais'''
+|  colspan='6'  style="text-align: center;vertical-align: top;"|'''Prova dos coeficientes individuais'''
 |-
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Variáveis'''
+|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|'''Variáveis'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|'''Estimado'''
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|'''Estimado'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|'''Erro'''
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|'''Erro'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|<math>t</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<math>t</math>
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|<math>P>\left| t\right|</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<math>P>\left| t\right|</math>
-|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
 |  style="text-align: right;vertical-align: top;"|<math>n</math>
@@ Line 999: / Line 914: @@
 |  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|<math>{m}_{z}^{2}</math>
+|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|<math>{m}_{z}^{2}</math>
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0,9290
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|0,9290
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0,0150
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|0,0150
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|62,040
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|62,040
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |}
@@ Line 1,017: / Line 932: @@
 :3. Teoria de viga utilizada.
-Encontram-se soluções analíticas fechadas para determinados tipos de seções (I, Retangular, etc) com casos especiais de combinações de esforços, tais como momentos fletores e esforço normal Horne [8], Lubliner [3] e Neal [9]. Neste trabalho, assume-se uma superfície descrita na equação <span id='cite-_Ref529721691'></span>[[#_Ref529721691|( 20 )]] em função dos esforços seccionais.
+Encontram-se soluções analíticas fechadas para determinados tipos de seções (I, Retangular, etc) com casos especiais de combinações de esforços, tais como momentos fletores e esforço normal Horne [8], Lubliner [3] e Neal [9]. Neste trabalho, assume-se uma superfície descrita na equação <span id='cite-_Ref529721691'></span>[[#_Ref529721691|(20)]] em função dos esforços seccionais.
 A análise elastoplástica segue os conceitos apresentados no trabalho de Silva [10] com as seguintes considerações;
@@ Line 1,031: / Line 946: @@
 ====2.4.1 Derivadas de primeira ordem====
-Baseando-se na equação <span id='cite-_Ref529721691'></span>[[#_Ref529721691|( 20 )]] são obtidas as derivadas de primeira ordem da superfície de interação em relação aos esforços seccionais:
+Baseando-se na equação <span id='cite-_Ref529721691'></span>[[#_Ref529721691|(20)]] são obtidas as derivadas de primeira ordem da superfície de interação em relação aos esforços seccionais:
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;"
 |-
 | <math>f={\beta }_{1}{{\overline{f}}_{x}}^{{\beta }_{13}}+{\beta }_{2}{{\overline{f}}_{y}}^{{\beta }_{14}}+</math><math>{\beta }_{3}{{\overline{f}}_{z}}^{{\beta }_{15}}+{\beta }_{4}{{\overline{m}}_{x}}^{{\beta }_{16}}+</math><math>{\beta }_{5}{{\overline{m}}_{y}}^{{\beta }_{17}}+{\beta }_{6}{{\overline{m}}_{z}}^{{\beta }_{18}}+</math><math>{\beta }_{7}{{{\overline{f}}_{x}}^{{\beta }_{19}}\, {\overline{m}}_{x}}^{{\beta }_{20}}+</math><math>{\beta }_{8}{{{\overline{f}}_{x}}^{{\beta }_{21}}{\overline{m}}_{y}}^{{\beta }_{22}}+</math><math>{\beta }_{9}{{{\overline{f}}_{x}}^{{\beta }_{23}}{\overline{m}}_{z}}^{{\beta }_{24}}+</math><math>{\beta }_{10}{\, {\overline{m}}_{x}}^{{\beta }_{25}}{{\overline{m}}_{y}}^{{\beta }_{26}}+</math><math>{\beta }_{11}{\, {\overline{m}}_{x}}^{{\beta }_{27}}{{\overline{m}}_{z}}^{{\beta }_{28}}+</math><math>{\beta }_{12}{{\overline{m}}_{y}}^{{\beta }_{29}}{{\overline{m}}_{z}}^{{\beta }_{30}}-1=</math><math>0</math>
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,043: / Line 957: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;"
 |-
-| <math>\frac{\partial f}{{f}_{x}}=\frac{1}{{f}_{x}}\left( s{f}_{x}\left( {\left( \frac{{f}_{x}}{{f}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{19}}{\left( \frac{{m}_{x}}{{m}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{20}\, }s{m}_{x}{\beta }_{7}{\beta }_{19}+\right. \right. </math><math>\left. \left. {\left( \frac{{f}_{x}}{{f}_{xp}}\right) }^{\beta 21}{\left( \frac{{m}_{y}}{{m}_{yp}}\right) }^{\beta 22}s{m}_{y}{\beta }_{8}{\beta }_{21}\, +\right. \right. </math><math>\left. \left. {\left( \frac{{f}_{x}}{{f}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{23}}{\left( \frac{{m}_{z}}{{m}_{zp}}\right) }^{{\beta }_{24}}s{m}_{z}{\beta }_{9}{\beta }_{23}+\right. \right. </math><math>\left. \left. {\left( \frac{{f}_{x}}{{f}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{13}}{\beta }_{1}{\beta }_{13}\right) \right)</math>
+| <math>\frac{\partial f}{{f}_{x}}=\frac{1}{{f}_{x}}\left( s{f}_{x}\left( {\left( \frac{{f}_{x}}{{f}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{19}}{\left( \frac{{m}_{x}}{{m}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{20}\, }s{m}_{x}{\beta }_{7}{\beta }_{19}+\right. \right. </math><math>\left. \left. {\left( \frac{{f}_{x}}{{f}_{xp}}\right) }^{\beta 21}{\left( \frac{{m}_{y}}{{m}_{yp}}\right) }^{\beta 22}s{m}_{y}{\beta }_{8}{\beta }_{21}\, +\right. \right. </math><math>\left. \left. {\left( \frac{{f}_{x}}{{f}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{23}}{\left( \frac{{m}_{z}}{{m}_{zp}}\right) }^{{\beta }_{24}}s{m}_{z}{\beta }_{9}{\beta }_{23}+\right. \right. \left. \left. {\left( \frac{{f}_{x}}{{f}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{13}}{\beta }_{1}{\beta }_{13}\right) \right)</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 34 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(34)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,056: / Line 969: @@
 | <math>\frac{\partial f}{{f}_{y}}=\frac{s{f}_{y}{\beta }_{2}{\left( \frac{{f}_{y}}{{f}_{yp}}\right) }^{{\beta }_{14}}{\beta }_{14}}{{f}_{y}}</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 35 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(35)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,067: / Line 979: @@
 | <math>\frac{\partial f}{{f}_{z}}=\frac{s{f}_{z}{\beta }_{3}{\left( \frac{{f}_{z}}{{f}_{zp}}\right) }^{{\beta }_{15}}{\beta }_{15}}{{f}_{z}}</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 36 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(36)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,076: / Line 987: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;"
 |-
-| <math>\frac{\partial f}{{m}_{x}}=\frac{1}{{m}_{x}}\left( s{m}_{x}\left( {\left( \frac{{m}_{x}}{{m}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{25}}{\left( \frac{{m}_{y}}{{m}_{yp}}\right) }^{{\beta }_{26}}s{m}_{y}{\beta }_{10}{\beta }_{25}+\right. \right. </math><math>\left. \left. {\left( \frac{{m}_{x}}{{m}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{27}}{\left( \frac{{m}_{z}}{{m}_{zp}}\right) }^{{\beta }_{28}}s{m}_{z}{\beta }_{11}{\beta }_{27}+\right. \right. </math><math>\left. \left. {\left( \frac{{f}_{x}}{{f}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{19}}{\left( \frac{{m}_{x}}{{m}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{20}}s{f}_{x}{\beta }_{7}{\beta }_{20}+\right. \right. </math><math>\left. \left. {\left( \frac{{m}_{x}}{{m}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{16}}{\beta }_{4}{\beta }_{16}\right) \, \right) \, \,</math>
+| <math>\frac{\partial f}{{m}_{x}}=\frac{1}{{m}_{x}}\left( s{m}_{x}\left( {\left( \frac{{m}_{x}}{{m}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{25}}{\left( \frac{{m}_{y}}{{m}_{yp}}\right) }^{{\beta }_{26}}s{m}_{y}{\beta }_{10}{\beta }_{25}+\right. \right. </math><math>\left. \left. {\left( \frac{{m}_{x}}{{m}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{27}}{\left( \frac{{m}_{z}}{{m}_{zp}}\right) }^{{\beta }_{28}}s{m}_{z}{\beta }_{11}{\beta }_{27}+\right. \right. </math><math>\left. \left. {\left( \frac{{f}_{x}}{{f}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{19}}{\left( \frac{{m}_{x}}{{m}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{20}}s{f}_{x}{\beta }_{7}{\beta }_{20}+\right. \right. \left. \left. {\left( \frac{{m}_{x}}{{m}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{16}}{\beta }_{4}{\beta }_{16}\right) \, \right) \, \,</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 37 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(37)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,087: / Line 997: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;"
 |-
-| <math>\frac{\partial f}{{m}_{y}}=\frac{1}{{m}_{y}}\left( s{m}_{y}\left( {\left( \frac{{m}_{x}}{{m}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{25}}{\left( \frac{{m}_{y}}{{m}_{yp}}\right) }^{{\beta }_{26}}s{m}_{x}{\beta }_{10}{\beta }_{26}+\right. \right. </math><math>\left. \left. {\left( \frac{{m}_{y}}{{m}_{yp}}\right) }^{{\beta }_{29}}{\left( \frac{{m}_{z}}{{m}_{zp}}\right) }^{{\beta }_{30}}s{m}_{z}{\beta }_{12}{\beta }_{29}+\right. \right. </math><math>\left. \left. {\left( \frac{{f}_{x}}{{f}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{21}}\, {\left( \frac{{m}_{y}}{{m}_{yp}}\right) }^{{\beta }_{22}}s{f}_{x}{\beta }_{8}{\beta }_{22}+\right. \right. </math><math>\left. \left. {\left( \frac{{m}_{y}}{{m}_{yp}}\right) }^{\beta 17}{\beta }_{5}{\beta }_{17}\right) \right) \, \,</math>
+| <math>\frac{\partial f}{{m}_{y}}=\frac{1}{{m}_{y}}\left( s{m}_{y}\left( {\left( \frac{{m}_{x}}{{m}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{25}}{\left( \frac{{m}_{y}}{{m}_{yp}}\right) }^{{\beta }_{26}}s{m}_{x}{\beta }_{10}{\beta }_{26}+\right. \right. </math><math>\left. \left. {\left( \frac{{m}_{y}}{{m}_{yp}}\right) }^{{\beta }_{29}}{\left( \frac{{m}_{z}}{{m}_{zp}}\right) }^{{\beta }_{30}}s{m}_{z}{\beta }_{12}{\beta }_{29}+\right. \right. </math><math>\left. \left. {\left( \frac{{f}_{x}}{{f}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{21}}\, {\left( \frac{{m}_{y}}{{m}_{yp}}\right) }^{{\beta }_{22}}s{f}_{x}{\beta }_{8}{\beta }_{22}+\right. \right. \left. \left. {\left( \frac{{m}_{y}}{{m}_{yp}}\right) }^{\beta 17}{\beta }_{5}{\beta }_{17}\right) \right) \, \,</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 38 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(38)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,098: / Line 1,007: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;"
 |-
-| <math>\frac{\partial f}{{m}_{z}}=\frac{1}{{m}_{z}}\left( s{m}_{z}\left( {\left( \frac{{m}_{x}}{{m}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{27}}{\left( \frac{{m}_{z}}{{m}_{zp}}\right) }^{{\beta }_{28}}s{m}_{x}{\beta }_{11}{\beta }_{28}+\right. \right. </math><math>\left. \left. {\left( \frac{{f}_{x}}{{f}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{23}}{\left( \frac{{m}_{z}}{{m}_{zp}}\right) }^{{\beta }_{24}}s{f}_{x}{\beta }_{9}{\beta }_{24}+\right. \right. </math><math>\left. \left. {\left( \frac{{m}_{y}}{{m}_{yp}}\right) }^{{\beta }_{29}}{\left( \frac{{m}_{z}}{{m}_{zp}}\right) }^{{\beta }_{30}}s{m}_{y}{\beta }_{12}{\beta }_{30}+\right. \right. </math><math>\left. \left. {\left( \frac{{m}_{z}}{{m}_{zp}}\right) }^{{\beta }_{18}}{\beta }_{6}{\beta }_{18}\right) \, \right) \,</math>
+| <math>\frac{\partial f}{{m}_{z}}=\frac{1}{{m}_{z}}\left( s{m}_{z}\left( {\left( \frac{{m}_{x}}{{m}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{27}}{\left( \frac{{m}_{z}}{{m}_{zp}}\right) }^{{\beta }_{28}}s{m}_{x}{\beta }_{11}{\beta }_{28}+\right. \right. </math><math>\left. \left. {\left( \frac{{f}_{x}}{{f}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{23}}{\left( \frac{{m}_{z}}{{m}_{zp}}\right) }^{{\beta }_{24}}s{f}_{x}{\beta }_{9}{\beta }_{24}+\right. \right. </math><math>\left. \left. {\left( \frac{{m}_{y}}{{m}_{yp}}\right) }^{{\beta }_{29}}{\left( \frac{{m}_{z}}{{m}_{zp}}\right) }^{{\beta }_{30}}s{m}_{y}{\beta }_{12}{\beta }_{30}+\right. \right. \left. \left. {\left( \frac{{m}_{z}}{{m}_{zp}}\right) }^{{\beta }_{18}}{\beta }_{6}{\beta }_{18}\right) \, \right) \,</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 39 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(39)
 |}
+onde <math display="inline">s{f}_{i}=\frac{{f}_{i}}{\left| {f}_{i}\right| }</math> = sinal do esforço seccional de forças; <math display="inline">s{m}_{i}=\frac{{m}_{i}}{\left| {m}_{i}\right| }</math> = sinal do esforço seccional de momentos.
-Onde
+A superfície de interação é assumida como um potencial plástico. As componentes são apresentadas na equação <span id='cite-_Ref529991859'></span>[[#_Ref529991859|(40)]]  na forma matricial para cada nó do elemento do fluxo plástico no nós do elemento durante o processo de carga
-<math display="inline">s{f}_{i}=\frac{{f}_{i}}{\left| {f}_{i}\right| }</math> = sinal do esforço seccional de forças;
-<math display="inline">s{m}_{i}=\frac{{m}_{i}}{\left| {m}_{i}\right| }</math> = sinal do esforço seccional de momentos;
-A superfície de interação é assumida como um potencial plástico. As componentes são apresentadas na equação <span id='cite-_Ref529991859'></span>[[#_Ref529991859|( 40 )]]  na forma matricial para cada nó do elemento do fluxo plástico no nós do elemento durante o processo de carga.
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,119: / Line 1,023: @@
 | <math display="inline">{\left\{ \frac{\partial f}{\partial {F}_{j}}\right\} }_{1}=</math><math>\left\{ \begin{matrix}\frac{\partial f}{\partial {F}_{x1}}\\\frac{\partial f}{\partial {F}_{y1}}\\\frac{\partial f}{\partial {F}_{z1}}\\\frac{\partial f}{\partial {M}_{x1}}\\\frac{\partial f}{\partial {M}_{y1}}\\\frac{\partial f}{\partial {M}_{z1}}\\\mathit{\boldsymbol{0}}\end{matrix}\right\}</math> ; <math display="inline">{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {F}_{j}}\right\} }_{2}=</math><math>\left\{ \begin{matrix}\mathit{\boldsymbol{0}}\\\frac{\partial f}{\partial {F}_{x2}}\\\frac{\partial f}{\partial {F}_{y2}}\\\frac{\partial f}{\partial {F}_{z2}}\\\frac{\partial f}{\partial {M}_{x2}}\\\frac{\partial f}{\partial {M}_{y2}}\\\frac{\partial f}{\partial {M}_{z2}}\end{matrix}\right\}</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref529991859'></span>( 40 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref529991859'></span>(40)
 |}
+onde <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{0}}</math> é o vetor nulo de dimensão <math display="inline">(6\times 1)</math>.
-Onde <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{0}}</math> é o vetor nulo de dimensão <math display="inline">(6\times 1)</math>.
 ====2.4.2 Derivadas de segunda ordem====
-As derivadas de segunda ordem expressam o gradiente do vetor de fluxo plástico, obtido pela diferenciação de cada componente do vetores da equação <span id='cite-_Ref529991859'></span>[[#_Ref529991859|( 40 )]]. Desenvolvendo-se as derivadas, chega-se a:
+As derivadas de segunda ordem expressam o gradiente do vetor de fluxo plástico, obtido pela diferenciação de cada componente do vetores da equação <span id='cite-_Ref529991859'></span>[[#_Ref529991859|(40)]]. Desenvolvendo-se as derivadas, chega-se a:
-'''Para''' <math display="inline">\partial {F}_{x}{F}_{k}</math>
+''Para'' <math display="inline">\partial {F}_{x}{F}_{k}</math>
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,138: / Line 1,041: @@
 | <math>\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x}\partial {F}_{x}}=\frac{1}{{f}_{x}^{2}}s{f}_{x}\left( {\left( \frac{{f}_{x}}{{f}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{19}}{\beta }_{19}^{2}{\left( \frac{{m}_{x}}{{m}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{20}}s{m}_{x}{\beta }_{7}+\right. </math><math>\left. {\left( \frac{{f}_{x}}{{f}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{23}}{\beta }_{23}^{2}{\left( \frac{{m}_{z}}{{m}_{zp}}\right) }^{{\beta }_{24}}\quad s{m}_{z}{\beta }_{9}+\right. </math><math>\left. {\left( \frac{{f}_{x}}{{f}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{21}}{\beta }_{21}^{2}{\left( \frac{{m}_{y}}{{m}_{yp}}\right) }^{{\beta }_{22}}s{m}_{y}{\beta }_{8}-\right. </math><math>\left. {\left( \frac{{f}_{x}}{{f}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{19}}{\left( \frac{{m}_{x}}{{m}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{20}}s{m}_{x}{\beta }_{7}{\beta }_{19}-\right. </math><math>\left. {\left( \frac{{f}_{x}}{{f}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{23}}{\left( \frac{{m}_{z}}{{m}_{zp}}\right) }^{{\beta }_{24}}s{m}_{z}{\beta }_{9}{\beta }_{23}-\right. </math><math>\left. {\left( \frac{{f}_{x}}{{f}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{21}}{\left( \frac{{m}_{y}}{{m}_{yp}}\right) }^{{\beta }_{22}}s{m}_{y}{\beta }_{8}{\beta }_{21}+\right. </math><math>\left. {\left( \frac{{f}_{x}}{{f}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{13}}{\beta }_{13}^{2}{\beta }_{1}-\right. </math><math>\left. {\left( \frac{{f}_{x}}{{f}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{13}}{\beta }_{1}{\beta }_{13}\right) \quad</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 41 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(41)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,149: / Line 1,051: @@
 | <math>\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x}\partial {F}_{y}}=0\quad</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 42 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(42)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,160: / Line 1,061: @@
 | <math>\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x}\partial {F}_{z}}=0\quad</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 43 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(43)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,170: / Line 1,070: @@
 |-
 | <math>\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x}\partial {M}_{x}}=\frac{s{f}_{x}{\left( \frac{{f}_{x}}{{f}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{19}}{\left( \frac{{m}_{x}}{{m}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{20}}{\beta }_{20}s{m}_{x}{\beta }_{7}{\beta }_{19}}{{f}_{x}{m}_{x}}</math>
-<math>\quad</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 44 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(44)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,183: / Line 1,080: @@
 |-
 | <math>\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x}\partial {M}_{y}}=\frac{s{f}_{x}{\left( \frac{{f}_{x}}{{f}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{21}}{\left( \frac{{m}_{y}}{{m}_{yp}}\right) }^{{\beta }_{22}}{\beta }_{22}s{m}_{y}{\beta }_{8}{\beta }_{21}}{{f}_{x}{m}_{y}}</math>
-<math>\quad</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 45 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(45)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,196: / Line 1,090: @@
 |-
 | <math>\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x}\partial {M}_{z}}=\frac{s{f}_{x}{\left( \frac{{f}_{x}}{{f}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{23}}{\left( \frac{{m}_{z}}{{m}_{zp}}\right) }^{{\beta }_{24}}{\beta }_{24}s{m}_{z}{\beta }_{9}{\beta }_{23}}{{f}_{x}{m}_{z}}</math>
-<math>\quad</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 46 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(46)
 |}
-'''Para''' <math display="inline">\partial {F}_{y}{F}_{k}</math>
+''Para'' <math display="inline">\partial {F}_{y}{F}_{k}</math>
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,212: / Line 1,104: @@
 | <math>\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{y}\partial {F}_{x}}=0\quad</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 47 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(47)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,223: / Line 1,114: @@
 | <math>\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{y}\partial {F}_{y}}=\frac{s{f}_{y}{\beta }_{2}{\left( \frac{{f}_{y}}{{f}_{yp}}\right) }^{{\beta }_{14}}{\beta }_{14}({\beta }_{14}-1)}{{f}_{y}^{2}}\quad</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 48 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(48)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,234: / Line 1,124: @@
 | <math>\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{y}\partial {F}_{z}}=0\quad</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 49 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(49)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,245: / Line 1,134: @@
 | <math>\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{y}\partial {M}_{x}}=0\quad</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 50 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(50)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,256: / Line 1,144: @@
 | <math>\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{y}\partial {M}_{y}}=0\quad</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 51 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(51)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,267: / Line 1,154: @@
 | <math>\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{y}\partial {M}_{z}}=0\quad</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 52 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(52)
 |}
-'''Para''' <math display="inline">\partial {F}_{z}{F}_{k}</math>
+''Para'' <math display="inline">\partial {F}_{z}{F}_{k}</math>
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,280: / Line 1,167: @@
 | <math>\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{z}\partial {F}_{x}}=0\quad</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 53 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(53)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,291: / Line 1,177: @@
 | <math>\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{z}\partial {F}_{y}}=0\quad</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 54 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(54)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,302: / Line 1,187: @@
 | <math>\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{z}\partial {F}_{z}}=\frac{s{f}_{z}{\beta }_{3}{\left( \frac{{f}_{z}}{{f}_{zp}}\right) }^{{\beta }_{15}}{\beta }_{15}({\beta }_{15}-1)\, }{{f}_{z}^{2}}\, \,</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 55 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(55)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,313: / Line 1,197: @@
 | <math>\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{z}\partial {M}_{x}}=0\quad</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 56 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(56)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,324: / Line 1,207: @@
 | <math>\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{z}\partial {M}_{y}}=0\quad</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 57 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(57)
 |-
 |
@@ Line 1,331: / Line 1,214: @@
 | <math>\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{z}\partial {M}_{z}}=0\quad</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 58 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(58)
 |}
-'''Para''' <math display="inline">\partial {M}_{x}{F}_{k}</math>
+''Para'' <math display="inline">\partial {M}_{x}{F}_{k}</math>
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,344: / Line 1,227: @@
 | <math>\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x}\partial {F}_{x}}=\frac{s{f}_{x}{\left( \frac{{f}_{x}}{{f}_{xp}\, \, }\right) }^{{\beta }_{19}}{\left( \frac{{m}_{x}}{{m}_{xp}}\right) }^{\beta 20}\beta 20\, s{m}_{x}\beta 7\beta 19}{{f}_{x}{m}_{x}}\quad</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 59 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(59)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,355: / Line 1,237: @@
 | <math>\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x}\partial {F}_{y}}=0\quad</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 60 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(60)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,366: / Line 1,247: @@
 | <math>\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x}\partial {F}_{z}}=0\, \,</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 61 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(61)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,377: / Line 1,257: @@
 | <math>\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x}\partial {M}_{x}}=\frac{1}{{m}_{x}^{2}}s{m}_{x}\left( {\left( \frac{{m}_{x}}{{m}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{25}}{\beta }_{25}^{2}{\left( \frac{{m}_{y}}{{m}_{yp}}\right) }^{{\beta }_{26}}s{m}_{y}{\beta }_{10}+\right. </math><math>\left. {\left( \frac{{m}_{x}}{{m}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{27}}{\beta }_{27}^{2}{\left( \frac{{m}_{z}}{{m}_{zp}}\right) }^{{\beta }_{28}}s{m}_{z}{\beta }_{11}+\right. </math><math>\left. {\left( \frac{{f}_{x}}{{f}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{19}}{\left( \frac{{m}_{x}}{{m}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{20}}{\beta }_{20}^{2}s{f}_{x}{\beta }_{7}-\right. </math><math>\left. {\left( \frac{{m}_{x}}{{m}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{25}}{\left( \frac{{m}_{y}}{{m}_{yp}}\right) }^{{\beta }_{26}}s{m}_{y}{\beta }_{10}{\beta }_{25}-\right. </math><math>\left. {\left( \frac{{m}_{x}}{{m}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{27}}{\left( \frac{{m}_{z}}{{m}_{zp}}\right) }^{{\beta }_{28}}s{m}_{z}{\beta }_{11}{\beta }_{27}-\right. </math><math>\left. {\left( \frac{{f}_{x}}{{f}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{19}}{\left( \frac{{m}_{x}}{{m}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{20}}s{f}_{x}{\beta }_{7}{\beta }_{20}+\right. </math><math>\left. {\left( \frac{{m}_{x}}{{m}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{16}}{\beta }_{16}^{2}{\beta }_{4}-\right. </math><math>\left. {\left( \frac{{m}_{x}}{{m}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{16}}{\beta }_{4}{\beta }_{16}\right) \, \,</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 62 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(62)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,388: / Line 1,267: @@
 | <math>\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x}\partial {M}_{y}}=\frac{s{m}_{x}{\left( \frac{{m}_{x}}{{m}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{25}}\, {\left( \frac{{m}_{y}}{{m}_{yp}}\right) }^{{\beta }_{26}}{\beta }_{26}s{m}_{y}{\beta }_{10}{\beta }_{25}}{{m}_{x}{m}_{y}}</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 63 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(63)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,399: / Line 1,277: @@
 | <math>\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x}\partial {M}_{z}}=\frac{s{m}_{x}{\left( \frac{{m}_{x}}{{m}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{27}}{\left( \frac{{m}_{z}}{{m}_{zp}}\right) }^{{\beta }_{28}}{\beta }_{28}s{m}_{z}{\beta }_{11}{\beta }_{27}}{{m}_{x}{m}_{z}}</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 64 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(64)
 |}
-'''Para''' <math display="inline">\partial {M}_{y}{F}_{k}</math>
+''Para'' <math display="inline">\partial {M}_{y}{F}_{k}</math>
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,412: / Line 1,290: @@
 | <math>\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y}\partial {F}_{x}}=\frac{s{f}_{x}{\left( \frac{{f}_{x}}{{f}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{21}}{\left( \frac{{m}_{y}}{{m}_{yp}}\right) }^{{\beta }_{22}}{\beta }_{22}s{m}_{y}{\beta }_{8}{\beta }_{21}}{{f}_{x}{m}_{y}}\, \,</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 65 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(65)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,423: / Line 1,300: @@
 | <math>\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y}\partial {F}_{y}}=0\quad</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 66 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(66)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,434: / Line 1,310: @@
 | <math>\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y}\partial {F}_{z}}=0\, \,</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 67 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(67)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,445: / Line 1,320: @@
 | <math>\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y}\partial {M}_{x}}=\frac{s{m}_{x}{\left( \frac{{m}_{x}}{{m}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{25}}{\left( \frac{{m}_{y}}{{m}_{yp}}\right) }^{{\beta }_{26}}{\beta }_{26}s{m}_{y}{\beta }_{10}{\beta }_{25}}{{m}_{x}{m}_{y}}\, \,</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 68 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(68)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,456: / Line 1,330: @@
 | <math>\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y}\partial {M}_{y}}=\frac{1}{{m}_{y}^{2}}s{m}_{y}\left( {\left( \frac{{m}_{x}}{{m}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{25}}{\left( \frac{{m}_{y}}{{m}_{yp}}\right) }^{{\beta }_{26}}{\beta }_{26}^{2}s{m}_{x}{\beta }_{10}+\right. </math><math>\left. {\left( \frac{{m}_{y}}{{m}_{yp}}\right) }^{{\beta }_{29}}{\beta }_{29}^{2}{\left( \frac{{m}_{z}}{{m}_{zp}}\right) }^{{\beta }_{30}}s{m}_{z}{\beta }_{12}+\right. </math><math>\left. {\left( \frac{{f}_{x}}{{f}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{21}}{\left( \frac{{m}_{y}}{{m}_{yp}}\right) }^{{\beta }_{22}}{\beta }_{22}^{2}s{f}_{x}{\beta }_{8}-\right. </math><math>\left. \left( \frac{{m}_{x}}{{m}_{xp}}\right) {\beta }_{25}{\left( \frac{{m}_{y}}{{m}_{yp}}\right) }^{{\beta }_{26}}s{m}_{x}{\beta }_{10}{\beta }_{26}-\right. </math><math>\left. {\left( \frac{{m}_{y}}{{m}_{yp}}\right) }^{{\beta }_{29}}{\left( \frac{{m}_{z}}{{m}_{zp}}\right) }^{{\beta }_{30}}s{m}_{z}{\beta }_{12}{\beta }_{29}-\right. </math><math>\left. {\left( \frac{{f}_{x}}{{f}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{21}}\left( \frac{{m}_{y}}{{m}_{yp}}\right) {\beta }_{22}s{f}_{x}{\beta }_{8}{\beta }_{22}+\right. </math><math>\left. {\left( \frac{{m}_{y}}{{m}_{yp}}\right) }^{{\beta }_{17}}{\beta }_{17}^{2}{\beta }_{5}-\right. </math><math>\left. {\left( \frac{{m}_{y}}{{m}_{yp}}\right) }^{{\beta }_{17}}{\beta }_{5}{\beta }_{17}\right)</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 69 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(69)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,467: / Line 1,340: @@
 | <math>\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y}\partial {M}_{z}}=\frac{s{m}_{y}{\left( \frac{{m}_{y}}{{m}_{yp}}\right) }^{{\beta }_{29}}{\left( \frac{{m}_{z}}{{m}_{zp}}\right) }^{{\beta }_{30}}{\beta }_{30}s{m}_{z}{\beta }_{12}{\beta }_{29}}{{m}_{y}{m}_{z}}</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 70 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(70)
 |}
-'''Para''' <math display="inline">\partial {M}_{z}{F}_{k}</math>
+''Para'' <math display="inline">\partial {M}_{z}{F}_{k}</math>
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,480: / Line 1,353: @@
 | <math>\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z}\partial {F}_{x}}=\, \frac{s{f}_{x}{\left( \frac{{f}_{x}}{{f}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{23}}{\left( \frac{{m}_{z}}{{m}_{zp}}\right) }^{{\beta }_{24}}{\beta }_{24}s{m}_{z}{\beta }_{9}{\beta }_{23}}{{f}_{x}{m}_{z}}</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 71 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(71)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,491: / Line 1,363: @@
 | <math>\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z}\partial {F}_{y}}=0\quad</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 72 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(72)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,502: / Line 1,373: @@
 | <math>\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z}\partial {F}_{z}}=0\, \,</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 73 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(73)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,513: / Line 1,383: @@
 | <math>\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z}\partial {M}_{x}}=\frac{s{m}_{x}{\left( \frac{{m}_{x}}{{m}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{27}}{\left( \frac{{m}_{z}}{{m}_{zp}}\right) }^{{\beta }_{28}}{\beta }_{28}s{m}_{z}{\beta }_{11}{\beta }_{27}}{{m}_{x}{m}_{z}}\quad</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 74 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(74)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,524: / Line 1,393: @@
 | <math>\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z}\partial {M}_{y}}=\frac{s{m}_{y}{\left( \frac{{m}_{y}}{{m}_{yp}}\right) }^{{\beta }_{29}}{\left( \frac{{m}_{z}}{{m}_{zp}}\right) }^{{\beta }_{30}}{\beta }_{30}s{m}_{z}{\beta }_{12}{\beta }_{29}}{{m}_{y}{m}_{z}}</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 75 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(75)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,535: / Line 1,403: @@
 | <math>\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z}\partial {M}_{z}}=\frac{1}{{m}_{z}^{2}}s{m}_{z}\left( {\left( \frac{{m}_{x}}{{m}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{27}}{\left( \frac{{m}_{z}}{{m}_{zp}}\right) }^{{\beta }_{28}}{\beta }_{28}^{2}s{m}_{x}{\beta }_{11}+\right. </math><math>\left. {\left( \frac{{f}_{x}}{{f}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{23}}{\left( \frac{{m}_{z}}{{m}_{zp}}\right) }^{{\beta }_{24}}{\beta }_{24}^{2}s{f}_{x}{\beta }_{9}+\right. </math><math>\left. {\left( \frac{{m}_{y}}{{m}_{yp}}\right) }^{{\beta }_{29}}{\left( \frac{{m}_{z}}{{m}_{zp}}\right) }^{{\beta }_{30}}{\beta }_{30}^{2}s{m}_{y}{\beta }_{12}-\right. </math><math>\left. {\left( \frac{{m}_{x}}{{m}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{27}}{\left( \frac{{m}_{z}}{{m}_{zp}}\right) }^{{\beta }_{28}}s{m}_{x}{\beta }_{11}{\beta }_{28}-\right. </math><math>\left. {\left( \frac{{f}_{x}}{{f}_{xp}}\right) }^{{\beta }_{23}}{\left( \frac{{m}_{z}}{{m}_{zp}}\right) }^{{\beta }_{24}}s{f}_{x}{\beta }_{9}{\beta }_{24}-\right. </math><math>\left. {\left( \frac{{m}_{y}}{{m}_{yp}}\right) }^{{\beta }_{29}}{\left( \frac{{m}_{z}}{{m}_{zp}}\right) }^{{\beta }_{30}}s{m}_{y}{\beta }_{12}{\beta }_{30}+\right. </math><math>\left. {\left( \frac{{m}_{z}}{{m}_{zp}}\right) }^{{\beta }_{18}}{\beta }_{18}^{2}{\beta }_{6}-\right. </math><math>\left. {\left( \frac{{m}_{z}}{{m}_{zp}}\right) }^{{\beta }_{18}}{\beta }_{6}\, {\beta }_{18}\right)</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 76 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(76)
 |}
+As 2ª derivadas na forma matricial podem ser expressas como
 {| class="formulaSCP" style="width: 78%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,544: / Line 1,414: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;"
 |-
-| As 2ª derivadas na forma matricial podem ser expressas como
+| <math>{A}_{1}=\left[ \begin{matrix}\begin{matrix}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x1}\partial {F}_{x1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x1}\partial {F}_{y1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x1}\partial {F}_{z1}}\\\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{y1}\partial {F}_{x1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{y1}\partial {F}_{y1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{y1}\partial {F}_{z1}}\end{matrix}&\begin{matrix}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x1}\partial {M}_{x1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x1}\partial {M}_{y1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x1}\partial {M}_{z1}}\\\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{y1}\partial {M}_{x1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{y1}\partial {M}_{y1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{y1}\partial {M}_{z1}}\end{matrix}\\\begin{matrix}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{z1}\partial {F}_{x1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{z1}\partial {F}_{y1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{z1}\partial {F}_{z1}}\\\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x1}\partial {F}_{x1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x1}\partial {F}_{y1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x1}\partial {F}_{z1}}\end{matrix}&\begin{matrix}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{z1}\partial {M}_{x1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{z1}\partial {M}_{y1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{z1}\partial {M}_{z1}}\\\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x1}\partial {M}_{x1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x1}\partial {M}_{y1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x1}\partial {M}_{z1}}\end{matrix}\\\begin{matrix}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y1}\partial {F}_{x1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y1}\partial {F}_{y1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y1}\partial {F}_{z1}}\\\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z1}\partial {F}_{x1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z1}\partial {F}_{y1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z1}\partial {F}_{z1}}\end{matrix}&\begin{matrix}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y1}\partial {M}_{x1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y1}\partial {M}_{y1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y1}\partial {M}_{z1}}\\\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z1}\partial {M}_{x1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z1}\partial {M}_{y1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z1}\partial {M}_{z1}}\end{matrix}\end{matrix}\right]</math>
-<math>{A}_{1}=\left[ \begin{matrix}\begin{matrix}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x1}\partial {F}_{x1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x1}\partial {F}_{y1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x1}\partial {F}_{z1}}\\\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{y1}\partial {F}_{x1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{y1}\partial {F}_{y1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{y1}\partial {F}_{z1}}\end{matrix}&\begin{matrix}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x1}\partial {M}_{x1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x1}\partial {M}_{y1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x1}\partial {M}_{z1}}\\\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{y1}\partial {M}_{x1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{y1}\partial {M}_{y1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{y1}\partial {M}_{z1}}\end{matrix}\\\begin{matrix}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{z1}\partial {F}_{x1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{z1}\partial {F}_{y1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{z1}\partial {F}_{z1}}\\\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x1}\partial {F}_{x1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x1}\partial {F}_{y1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x1}\partial {F}_{z1}}\end{matrix}&\begin{matrix}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{z1}\partial {M}_{x1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{z1}\partial {M}_{y1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{z1}\partial {M}_{z1}}\\\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x1}\partial {M}_{x1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x1}\partial {M}_{y1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x1}\partial {M}_{z1}}\end{matrix}\\\begin{matrix}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y1}\partial {F}_{x1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y1}\partial {F}_{y1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y1}\partial {F}_{z1}}\\\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z1}\partial {F}_{x1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z1}\partial {F}_{y1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z1}\partial {F}_{z1}}\end{matrix}&\begin{matrix}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y1}\partial {M}_{x1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y1}\partial {M}_{y1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y1}\partial {M}_{z1}}\\\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z1}\partial {M}_{x1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z1}\partial {M}_{y1}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z1}\partial {M}_{z1}}\end{matrix}\end{matrix}\right]</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 77 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(77)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 45%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,559: / Line 1,426: @@
 | <math>{\left[ \frac{{\partial }^{2}\mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {F}_{j}\partial {F}_{k}}\right] }_{1}=</math><math>\left[ \begin{matrix}{\mathit{\boldsymbol{A}}}_{\mathit{\boldsymbol{1}}}&\mathit{\boldsymbol{0}}\\\mathit{\boldsymbol{0}}&\mathit{\boldsymbol{0}}\end{matrix}\right]</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 78 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(78)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 78%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,570: / Line 1,436: @@
 | <math>{A}_{2}=\left[ \begin{matrix}\begin{matrix}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x2}\partial {F}_{x2}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x2}\partial {F}_{y2}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x2}\partial {F}_{z2}}\\\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{y2}\partial {F}_{x2}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{y2}\partial {F}_{y2}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{y2}\partial {F}_{z2}}\end{matrix}&\begin{matrix}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x2}\partial {M}_{x2}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x2}\partial {M}_{y2}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{x2}\partial {M}_{z2}}\\\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{y2}\partial {M}_{x2}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{y2}\partial {M}_{y2}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{y2}\partial {M}_{z2}}\end{matrix}\\\begin{matrix}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{z2}\partial {F}_{x2}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{z2}\partial {F}_{y2}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{z2}\partial {F}_{z2}}\\\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x2}\partial {F}_{x2}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x2}\partial {F}_{y2}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x2}\partial {F}_{z2}}\end{matrix}&\begin{matrix}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{z2}\partial {M}_{x2}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{z2}\partial {M}_{y2}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {F}_{z2}\partial {M}_{z2}}\\\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x2}\partial {M}_{x2}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x2}\partial {M}_{y2}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{x2}\partial {M}_{z2}}\end{matrix}\\\begin{matrix}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y2}\partial {F}_{x2}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y2}\partial {F}_{y2}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y2}\partial {F}_{z2}}\\\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z2}\partial {F}_{x2}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z2}\partial {F}_{y2}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z2}\partial {F}_{z2}}\end{matrix}&\begin{matrix}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y2}\partial {M}_{x2}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y2}\partial {M}_{y2}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{y2}\partial {M}_{z2}}\\\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z2}\partial {M}_{x2}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z2}\partial {M}_{y2}}&\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {M}_{z2}\partial {M}_{z2}}\end{matrix}\end{matrix}\right]</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 79 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(79)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 45%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,581: / Line 1,446: @@
 | <math>{\left[ \frac{{\partial }^{2}\mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {F}_{j}\partial {F}_{k}}\right] }_{2}=</math><math>\left[ \begin{matrix}\mathit{\boldsymbol{0}}&\mathit{\boldsymbol{0}}\\\mathit{\boldsymbol{0}}&{\mathit{\boldsymbol{A}}}_{\mathit{\boldsymbol{2}}}\end{matrix}\right]</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 80 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(80)
 |}
+onde  <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{0}}</math> é uma matriz de dimensão <math display="inline">(6\times 6)</math> com elementos nulos.
-Onde  <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{0}}</math>''' '''é uma matriz de dimensão <math display="inline">(6\times 6)</math> com elementos nulos.
 ===2.5 Algoritmo de Retorno===
@@ Line 1,600: / Line 1,464: @@
 | <math>{\hat{\mathit{\boldsymbol{F}}}}_{i}={\mathit{\boldsymbol{F}}}_{i}^{trial}-{\lambda }_{1}{K}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{j}}\right\} }_{1}</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530073820'></span>( 81 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530073820'></span>(81)
 |}
+onde
-Onde
 <math display="inline">{\hat{\mathit{\boldsymbol{F}}}}_{i}</math>= vetor de forças nodais corrigido;
@@ Line 1,625: / Line 1,488: @@
 | <math>{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{i}^{trial}={\overline{\mathit{\boldsymbol{F}}}}_{i}+{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}d{\mathit{\boldsymbol{U}}}_{j}</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530068060'></span>( 82 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530068060'></span>(82)
 |}
+onde <math display="inline">{\overline{\mathit{\boldsymbol{F}}}}_{i}</math> = vetor de forças nodais do último passo de carga convergido; <math display="inline">d{\mathit{\boldsymbol{U}}}_{j}</math> = incrementos do campo de deslocamentos do nó.
-Onde
+O vetor <math display="inline">{F}_{i}^{trial}</math> é obtido da solução elástica dos incrementos de deslocamentos <math display="inline">d{U}_{j}</math> e da matriz de rigidez <math display="inline">{K}_{ij}</math> linear elástica do elemento de viga 3D. O vetor <math display="inline">{\overline{F}}_{i}</math> pode estar dentro, fora ou tocando a superfície de interação. Geralmente, os vetores de forças nodais, estimado (<math display="inline">{F}_{i}^{trial}</math>) e o corrigido (<math display="inline">{\hat{F}}_{i}</math>) não estão sobre a superfície de interação quando atingem a fase de escoamento. Usar-se-á um método iterativo para trazer os esforços seccionais a um estado de tensão que esteja na superfície de interação.
-<math display="inline">{\overline{\mathit{\boldsymbol{F}}}}_{i}</math> = vetor de forças nodais do último passo de carga convergido;
-<math display="inline">d{\mathit{\boldsymbol{U}}}_{j}</math> = incrementos do campo de deslocamentos do nó.
-O vetor <math display="inline">{F}_{i}^{trial}</math> é obtido da solução elástica dos incrementos de deslocamentos <math display="inline">d{U}_{j}</math> e da matriz de rigidez <math display="inline">{K}_{ij}</math> linear elástica do elemento de viga 3D. O vetor <math display="inline">{\overline{F}}_{i}</math> pode estar dentro, fora ou tocando a superfície de interação. Geralmente, os vetores de forças nodais, estimado ( <math display="inline">{F}_{i}^{trial}</math>) e o corrigido ( <math display="inline">{\hat{F}}_{i}</math>) não estão sobre a superfície de interação quando atingem a fase de escoamento. Usar-se-á um método iterativo para trazer os esforços seccionais a um estado de tensão que esteja na superfície de interação.
 O algoritmo irá trabalhar com 2 (duas) possibilidades de formação de rótulas plásticas, ou seja, para 1 (um) nó ou os 2 (dois) nós.
@@ Line 1,641: / Line 1,499: @@
 ====2.5.1 Algoritmo de retorno com 1 (um) vetor====
-<span id='_Ref503810719'></span>O caso de formação de somente uma rótula plástica no elemento de viga emprega-se um vetor de fluxo plástico correspondente aos esforços seccionais que se encontra fora da superfície de interação, conforme <span id='cite-_Ref530062972'></span>[[#_Ref530062972|'''Figura 6''']].
+<span id='_Ref503810719'></span>O caso de formação de somente uma rótula plástica no elemento de viga emprega-se um vetor de fluxo plástico correspondente aos esforços seccionais que se encontra fora da superfície de interação, conforme <span id='cite-_Ref530062972'></span>[[#_Ref530062972|Figura 6]].
-{| style="width: 82%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;"
+{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;width: 100%;"|[[Image:Draft_Vieira_908925676-image7.png|474px]]
+|style="padding:10px;"| [[Image:Review_967755629029_6569_test-image7.png|450px]]
+|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
+| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 6'''. Retorno à superfície com um vetor
 |}
-<span id='_Ref530062972'></span>'''Figura 6'''. Retorno à superfície com um vetor.
 O processo iterativo utiliza vetores de fluxo plástico atualizados para aproximar-se da superfície. Este procedimento é chamado de algoritmo de retorno.
@@ Line 1,662: / Line 1,520: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;"
 |-
-| <math>{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{i}={\mathit{\boldsymbol{F}}}_{i}-{\hat{\mathit{\boldsymbol{F}}}}_{i}=</math><math>{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{i}-({\mathit{\boldsymbol{F}}}_{i}^{trial}-{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1})</math>
+| <math>{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{i}={\mathit{\boldsymbol{F}}}_{i}-{\hat{\mathit{\boldsymbol{F}}}}_{i}=</math><math>{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{i}-\left({\mathit{\boldsymbol{F}}}_{i}^{trial}-{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}\right)</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530063570'></span>( 83 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530063570'></span>(83)
 |}
+Desenvolvendo a equação <span id='cite-_Ref530063570'></span>[[#_Ref530063570|(83)]] numa série de Taylor até os termos de 1ª ordem e mantendo o vetor de forças nodais de partida <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{i}^{trial}</math> fixo, obtém-se um novo vetor de forças residuais <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{i}^{n+1}</math>, apresentado da seguinte forma:
-Desenvolvendo a equação <span id='cite-_Ref530063570'></span>[[#_Ref530063570|( 83 )]] numa série de Taylor até os termos de 1ª ordem e mantendo o vetor de forças nodais de partida <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{i}^{trial}</math> fixo, obtém-se um novo vetor de forças residuais <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{i}^{n+1}</math>, apresentado da seguinte forma:
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,677: / Line 1,534: @@
 | <math>{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{i}^{n+1}={\mathit{\boldsymbol{r}}}_{i}^{n}+d{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{i}+</math><math>d{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}+</math><math>{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{{\partial }^{\mathit{\boldsymbol{2}}}\mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{k}}\right\} }_{1}d{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{k}</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530064230'></span>( 84 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530064230'></span>(84)
 |}
+onde
-Onde
 <math display="inline">n=0,1,2,\ldots</math>  = passo do processo iterativo.
@@ Line 1,691: / Line 1,547: @@
 <math display="inline">{\left\{ \frac{{\partial }^{\mathit{\boldsymbol{2}}}\mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{k}}\right\} }_{1}d{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{k}</math> = variação do vetor de fluxo (gradiente).
-Aplicando a condição de que <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{i}^{n+1}=</math><math>\mathit{\boldsymbol{0}}</math>, a equação <span id='cite-_Ref530064230'></span>[[#_Ref530064230|( 84 )]] torna-se em
+Aplicando a condição de que <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{i}^{n+1}=</math><math>\mathit{\boldsymbol{0}}</math>, a equação <span id='cite-_Ref530064230'></span>[[#_Ref530064230|(84)]] torna-se em
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,700: / Line 1,556: @@
 | <math>\mathit{\boldsymbol{0}}={\mathit{\boldsymbol{r}}}_{i}^{n}+d{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}+</math><math>\left( {\delta }_{ik}+{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{{\partial }^{\mathit{\boldsymbol{2}}}\mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{k}}\right\} }_{1}\right) d{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{k}</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530064567'></span>( 85 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530064567'></span>(85)
 |}
+onde <math display="inline">{\delta }_{ik}</math> = Delta de Kronecker.
-Onde <math display="inline">{\delta }_{ik}</math> = Delta de Kronecker
 Definindo-se o termo
@@ Line 1,715: / Line 1,570: @@
 | <math>{\mathit{\boldsymbol{Q}}}_{ik}=\left( {\delta }_{ik}+{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{{\partial }^{\mathit{\boldsymbol{2}}}\mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{k}}\right\} }_{1}\right)</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530075709'></span>( 86 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530075709'></span>(86)
 |}
+A equação <span id='cite-_Ref530064567'></span>[[#_Ref530064567|(85)]], torna-se:
-A equação <span id='cite-_Ref530064567'></span>[[#_Ref530064567|( 85 )]], torna-se:
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,728: / Line 1,582: @@
 | <math>\mathit{\boldsymbol{0}}={\mathit{\boldsymbol{r}}}_{i}^{n}+d{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}+</math><math>{Q}_{ik}d{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{k}</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 87 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(87)
 |}
 Obtendo os termos da variação do vetor de força, chega-se a:
@@ Line 1,739: / Line 1,592: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;"
 |-
-| <math>{Q}_{ik}d{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{k}=-\left( {\mathit{\boldsymbol{r}}}_{i}^{n}+\right. </math><math>\left. d{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}\right)</math>
+| <math>{Q}_{ik}d{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{k}=-\left( {\mathit{\boldsymbol{r}}}_{i}^{n}+ d{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}\right)</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 88 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(88)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,750: / Line 1,602: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;"
 |-
-| <math>d{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{k}=-{Q}_{ik}^{-1}\left( {\mathit{\boldsymbol{r}}}_{i}^{n}+\right. </math><math>\left. d{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}\right)</math>
+| <math>d{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{k}=-{Q}_{ik}^{-1}\left( {\mathit{\boldsymbol{r}}}_{i}^{n}+ d{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}\right)</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530065198'></span>( 89 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530065198'></span>(89)
 |}
-Expandindo a superfície de interação, <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{f}}</math> , numa série de Taylor até os termos de 1ª ordem entorno do vetor do vetor de forças nodais final ( <math display="inline">{F}_{k})</math>, obtém-se:
+Expandindo a superfície de interação, <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{f}}</math>, numa série de Taylor até os termos de 1ª ordem entorno do vetor do vetor de forças nodais final (<math display="inline">{F}_{k})</math>, obtém-se:
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,765: / Line 1,617: @@
 | <math>{\mathit{\boldsymbol{f}}}_{1}^{n+1}={\mathit{\boldsymbol{f}}}_{1}^{n}+{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}d{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{k}</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 90 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(90)
 |}
+Tomando-se <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{f}}}_{1}^{n+1}=\mathit{\boldsymbol{0}}</math> e desenvolvendo a equação <span id='cite-_Ref530065198'></span>[[#_Ref530065198|(89)]] paro obter o multiplicador plástico, chega-se a:
-Tomando-se <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{f}}}_{1}^{n+1}=\mathit{\boldsymbol{0}}</math> e desenvolvendo a equação <span id='cite-_Ref530065198'></span>[[#_Ref530065198|( 89 )]] paro obter o multiplicador plástico, chega-se a:
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,778: / Line 1,629: @@
 | <math>{\mathit{\boldsymbol{f}}}_{1}^{n}=-{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}d{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{k}</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 91 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(91)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,787: / Line 1,637: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;"
 |-
-| <math>{\mathit{\boldsymbol{f}}}_{1}^{n}={\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}\left[ {Q}_{ik}^{-1}\left( {\mathit{\boldsymbol{r}}}_{i}^{n}+\right. \right. </math><math>\left. \left. d{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}\right) \right]</math>
+| <math>{\mathit{\boldsymbol{f}}}_{1}^{n}={\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}\left[ {Q}_{ik}^{-1}\left( {\mathit{\boldsymbol{r}}}_{i}^{n}+ d{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}\right) \right]</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 92 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(92)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,800: / Line 1,649: @@
 | <math>{\mathit{\boldsymbol{f}}}_{1}^{n}={\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}{Q}_{ik}^{-1}{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{i}^{n}+</math><math>{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}{Q}_{ik}^{-1}d{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 93 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(93)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,811: / Line 1,659: @@
 | <math>{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}{Q}_{ik}^{-1}d{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}=</math><math>{\mathit{\boldsymbol{f}}}_{1}^{n}-{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}{Q}_{ik}^{-1}{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{i}^{n}</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 94 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(94)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,822: / Line 1,669: @@
 | <math>d{\lambda }_{1}=\frac{{\mathit{\boldsymbol{f}}}_{1}^{n}-{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}{Q}_{ik}^{-1}{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{i}^{n}}{{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}{Q}_{ik}^{-1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}}</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 95 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(95)
 |}
 O processo iterativo termina quando são alcançados os critérios de parada adotados:
@@ Line 1,837: / Line 1,683: @@
 <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{f}}}^{norm}=\left| \mathit{\boldsymbol{f}}-\right. </math><math>\left. 1\right| <Tol</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 96 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(96)
 |}
+onde
-Onde
 <math display="inline">\left\| {\mathit{\boldsymbol{r}}}_{i}\right\|</math>  = norma euclidiana do vetor de forças nodais;
@@ Line 1,862: / Line 1,707: @@
 | <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{f}}}_{\mathit{\boldsymbol{1}}}({F}_{j})>1;\, {\mathit{\boldsymbol{f}}}_{\mathit{\boldsymbol{2}}}({F}_{j})>1</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 97 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(97)
 |}
+Durante o processo iterativo, usa-se dois vetores de fluxo para se aproximar da superfície de interação. Este procedimento é chamado algoritmo de retorno com 2 (dois) vetores. A interpretação geométrica é vista na <span id='cite-_Ref530324965'></span>[[#_Ref530324965|Figura 7]].
-Durante o processo iterativo, usa-se dois vetores de fluxo para se aproximar da superfície de interação. Este procedimento é chamado algoritmo de retorno com 2 (dois) vetores. A interpretação geométrica é vista na <span id='cite-_Ref530324965'></span>[[#_Ref530324965|'''Figura 7''']].
+{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
-{| style="width: 85%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;"
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|''' [[Image:Draft_Vieira_908925676-image8.png|510px]] '''
+|style="padding:10px;"|[[Image:Review_967755629029_9634_test-image8.png|450px]]
+|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
+| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 7'''. Retorno à superfície com dois vetores
 |}
-<span id='_Ref530324965'></span>'''Figura 7'''. Retorno à superfície com dois vetores.
+O vetor nodal de partida é similar a equação   <span id='cite-_Ref530068060'></span>[[#_Ref530068060|(82)]]. O vetor de forças nodais para os dois nós corrigido é expressado como
-O vetor nodal de partida é similar a equação   <span id='cite-_Ref530068060'></span>[[#_Ref530068060|( 82 )]]. O vetor de forças nodais para os dois nós corrigido é expressado como
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,885: / Line 1,729: @@
 | <math>{\hat{\mathit{\boldsymbol{F}}}}_{i}={\mathit{\boldsymbol{F}}}_{i}^{trial}-{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{j}}\right\} }_{1}-</math><math>{\lambda }_{2}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{j}}\right\} }_{2}</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 98 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(98)
 |}
+onde <math display="inline">{\lambda }_{1}</math> e <math display="inline">{\lambda }_{2}</math> são os multiplicadores plásticos.
-Onde
-<math display="inline">{\lambda }_{1}</math>e <math display="inline">{\lambda }_{2}</math> são os multiplicadores plásticos.
 O vetor resíduo das forças tem a forma seguinte:
@@ Line 1,900: / Line 1,741: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;"
 |-
-| <math>{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{i}={\mathit{\boldsymbol{F}}}_{i}-{\hat{\mathit{\boldsymbol{F}}}}_{i}=</math><math>{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{i}-({\mathit{\boldsymbol{F}}}_{i}^{trial}-{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}-</math><math>{\lambda }_{2}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{j}}\right\} }_{2})</math>
+| <math>{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{i}={\mathit{\boldsymbol{F}}}_{i}-{\hat{\mathit{\boldsymbol{F}}}}_{i}={\mathit{\boldsymbol{F}}}_{i}-\left(({\mathit{\boldsymbol{F}}}_{i}^{trial}-{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}-{\lambda }_{2}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{j}}\right\} }_{2}\right)</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 99 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(99)
 |}
 O vetor novo em função da série de Taylor com termos de 1ª ordem e <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{i}^{trial}</math> fixo é apresentado:
@@ Line 1,915: / Line 1,755: @@
 | <math>{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{i}^{n+1}={\mathit{\boldsymbol{r}}}_{i}^{n}+d{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{i}+</math><math>d{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}+</math><math>{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{{\partial }^{\mathit{\boldsymbol{2}}}\mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{k}}\right\} }_{1}d{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{k}+</math><math>d{\lambda }_{2}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{2}+</math><math>{\lambda }_{2}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{{\partial }^{\mathit{\boldsymbol{2}}}\mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{k}}\right\} }_{2}d{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{k}</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 100 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(100)
 |}
 Com a condição que <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{i}^{n+1}=</math><math>\mathit{\boldsymbol{0}}</math>, chega-se a:
@@ Line 1,928: / Line 1,767: @@
 | <math>\mathit{\boldsymbol{0}}={\mathit{\boldsymbol{r}}}_{i}^{n}+d{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}+</math><math>d{\lambda }_{2}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{2}+</math><math>\left( {\delta }_{ik}+{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{{\partial }^{\mathit{\boldsymbol{2}}}\mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{k}}\right\} }_{1}+\right. </math><math>\left. {\lambda }_{2}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{{\partial }^{\mathit{\boldsymbol{2}}}\mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{k}}\right\} }_{2}\right) d{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{k}</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530068973'></span>( 101 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530068973'></span>(101)
 |}
 Adotando-se:
@@ Line 1,941: / Line 1,779: @@
 | <math>{\mathit{\boldsymbol{Q}}}_{ik}=\left( {\delta }_{ik}+{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{{\partial }^{\mathit{\boldsymbol{2}}}\mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{k}}\right\} }_{1}+\right. </math><math>\left. {\lambda }_{2}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{{\partial }^{\mathit{\boldsymbol{2}}}\mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{k}}\right\} }_{2}\right)</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530069357'></span>( 102 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530069357'></span>(102)
 |}
+Isolando o termo <math display="inline">d{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{k}</math> da equação <span id='cite-_Ref530068973'></span>[[#_Ref530068973|(101)]], obtém-se:
-Isolando o termo <math display="inline">d{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{k}</math> da equação <span id='cite-_Ref530068973'></span>[[#_Ref530068973|( 101 )]], obtém-se:
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,952: / Line 1,789: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;"
 |-
-| <math>d{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{k}=-{Q}_{ik}^{-1}\left( {\mathit{\boldsymbol{r}}}_{i}^{n}+\right. </math><math>\left. d{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}+\right. </math><math>\left. d{\lambda }_{2}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{2}\right)</math>
+| <math>d{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{k}=-{Q}_{ik}^{-1}\left( {\mathit{\boldsymbol{r}}}_{i}^{n}+d{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}+ d{\lambda }_{2}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{2}\right)</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 103 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(103)
 |}
 Os termos iterativos da função de escoamento (superfícies) são apresentados como
@@ Line 1,969: / Line 1,805: @@
 <math>\, {\mathit{\boldsymbol{f}}}_{2}^{n+1}={\mathit{\boldsymbol{f}}}_{2}^{n}+{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{2}d{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{k}</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 104 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(104)
 |}
-Impondo o critério de que <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{f}}}_{1}^{n+1}=</math><math>\mathit{\boldsymbol{0}}</math> e <math display="inline">\, {\mathit{\boldsymbol{f}}}_{2}^{n+1}=</math><math>\mathit{\boldsymbol{0}}</math> e desenvolvendo a equação <span id='cite-_Ref530069357'></span>[[#_Ref530069357|( 102 )]], chega-se a:
+Impondo o critério de que <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{f}}}_{1}^{n+1}=</math><math>\mathit{\boldsymbol{0}}</math> e <math display="inline">\, {\mathit{\boldsymbol{f}}}_{2}^{n+1}=</math><math>\mathit{\boldsymbol{0}}</math> e desenvolvendo a equação <span id='cite-_Ref530069357'></span>[[#_Ref530069357|(102)]], chega-se a:
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,984: / Line 1,820: @@
 <math>{\mathit{\boldsymbol{f}}}_{2}^{n}=-{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{2}d{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{k}</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 105 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(105)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 1,993: / Line 1,828: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;"
 |-
-| <math>{\mathit{\boldsymbol{f}}}_{1}^{n}={\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}\left[ {Q}_{ik}^{-1}\left( {\mathit{\boldsymbol{r}}}_{i}^{n}+\right. \right. </math><math>\left. \left. d{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}+\right. \right. </math><math>\left. \left. d{\lambda }_{2}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{2}\right) \right]</math>
+| <math>{\mathit{\boldsymbol{f}}}_{1}^{n}={\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}\left[ {Q}_{ik}^{-1}\left( {\mathit{\boldsymbol{r}}}_{i}^{n}+ d{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}+ d{\lambda }_{2}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{2}\right) \right]</math>
-<math>{\mathit{\boldsymbol{f}}}_{2}^{n}={\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{2}\left[ {Q}_{ik}^{-1}\left( {\mathit{\boldsymbol{r}}}_{i}^{n}+\right. \right. </math><math>\left. \left. d{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}+\right. \right. </math><math>\left. \left. d{\lambda }_{2}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{2}\right) \right]</math>
+<math>{\mathit{\boldsymbol{f}}}_{2}^{n}={\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{2}\left[ {Q}_{ik}^{-1}\left( {\mathit{\boldsymbol{r}}}_{i}^{n}+ d{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}+ d{\lambda }_{2}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{2}\right) \right]</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530069811'></span>( 106 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530069811'></span>(106)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 2,008: / Line 1,842: @@
 | <math>{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}{Q}_{ik}^{-1}d{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}+</math><math>{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}{Q}_{ik}^{-1}d{\lambda }_{2}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{2}=</math><math>{\mathit{\boldsymbol{f}}}_{1}^{n}-{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}{Q}_{ik}^{-1}{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{i}^{n}</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530070117'></span>( 107 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530070117'></span>(107)
 |}
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 2,019: / Line 1,852: @@
 | <math>{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{2}{Q}_{ik}^{-1}d{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}+</math><math>{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{2}{Q}_{ik}^{-1}d{\lambda }_{2}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{2}=</math><math>{\mathit{\boldsymbol{f}}}_{2}^{n}-{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{2}{Q}_{ik}^{-1}{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{i}^{n}</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530070122'></span>( 108 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530070122'></span>(108)
 |}
-Desenvolvendo o sistema de equações <span id='cite-_Ref530070117'></span>[[#_Ref530070117|( 107 )]] e <span id='cite-_Ref530070122'></span>[[#_Ref530070122|( 108 )]] no sistema matricial, obtêm-se os seguintes temos:
+Desenvolvendo o sistema de equações <span id='cite-_Ref530070117'></span>[[#_Ref530070117|(107)]] e <span id='cite-_Ref530070122'></span>[[#_Ref530070122|(108)]] no sistema matricial, obtêm-se os seguintes temos:
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 2,032: / Line 1,865: @@
 | <math>\left[ \begin{matrix}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}{Q}_{ik}^{-1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}&{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}{Q}_{ik}^{-1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{2}\\{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{2}{Q}_{ik}^{-1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}&{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{2}{Q}_{ik}^{-1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{2}\end{matrix}\right] \left\{ \begin{matrix}d{\lambda }_{1}\\d{\lambda }_{2}\end{matrix}\right\} =</math><math>\left\{ \begin{matrix}{\mathit{\boldsymbol{f}}}_{1}^{n}-{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{1}{Q}_{ik}^{-1}{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{i}^{n}\\{\mathit{\boldsymbol{f}}}_{2}^{n}-{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{j}}}}\right\} }_{2}{Q}_{ik}^{-1}{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{i}^{n}\end{matrix}\right\}</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530072897'></span>( 109 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530072897'></span>(109)
 |}
-Reapresentando a equação <span id='cite-_Ref530072897'></span>[[#_Ref530072897|( 109 )]] na forma sintética:
+Reapresentando a equação <span id='cite-_Ref530072897'></span>[[#_Ref530072897|(109)]] na forma sintética:
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 2,045: / Line 1,878: @@
 | <math>\left[ \begin{matrix}{a}_{11}&{a}_{12}\\{a}_{21}&{a}_{22}\end{matrix}\right] \left\{ \begin{matrix}d{\lambda }_{1}\\d{\lambda }_{2}\end{matrix}\right\} =</math><math>\left\{ \begin{matrix}{b}_{1}\\{b}_{2}\end{matrix}\right\}</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530072993'></span>( 110 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530072993'></span>(110)
 |}
-A solução do sistema da equação <span id='cite-_Ref530072993'></span>[[#_Ref530072993|( 110 )]] é a seguinte:
+A solução do sistema da equação <span id='cite-_Ref530072993'></span>[[#_Ref530072993|(110)]] é a seguinte:
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 2,058: / Line 1,891: @@
 | <math>\left\{ \begin{matrix}d{\lambda }_{1}\\d{\lambda }_{2}\end{matrix}\right\} =\left[ \begin{matrix}\frac{{a}_{22}{b}_{1}-{a}_{12}{b}_{2}}{{a}_{11}{a}_{22}-{a}_{12}{a}_{21}}\\\frac{{a}_{11}{b}_{2}-{a}_{21}{b}_{1}}{{a}_{11}{a}_{22}-{a}_{12}{a}_{21}}\end{matrix}\right]</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 111 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(111)
 |}
 O processo iterativo segue procedimentos similares ao caso com um 1 (um) vetor:
@@ Line 2,075: / Line 1,907: @@
 <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{f}}}_{2}^{norm}=\left| {\mathit{\boldsymbol{f}}}_{\mathit{\boldsymbol{2}}}-\right. </math><math>\left. 1\right| <Tol</math>
 |}
-|  style="text-align: right;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 112 )
+|  style="text-align: right;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(112)
 |}
@@ Line 2,087: / Line 1,919: @@
 ====2.6.1 Algoritmo de retorno com um vetor ====
-Usando a equação <span id='cite-_Ref530073820'></span>[[#_Ref530073820|( 81 )]] e <span id='cite-_Ref530068060'></span>[[#_Ref530068060|( 82 )]] como ponto de partida:
+Usando a equação <span id='cite-_Ref530073820'></span>[[#_Ref530073820|(81)]] e <span id='cite-_Ref530068060'></span>[[#_Ref530068060|(82)]] como ponto de partida:
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 2,100: / Line 1,932: @@
 com <math display="inline">{\lambda }_{1}>0</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530073960'></span>( 113 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530073960'></span>(113)
 |}
-Aplicando-se o diferencial total na equação <span id='cite-_Ref530073960'></span>[[#_Ref530073960|( 113 )]], chega-se a:
+Aplicando-se o diferencial total na equação <span id='cite-_Ref530073960'></span>[[#_Ref530073960|(113)]], chega-se a:
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 2,113: / Line 1,945: @@
 | <math>d{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{i}=d({\overline{F}}_{i}+{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}d{\mathit{\boldsymbol{U}}}_{j})-</math><math>d\left( {\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {F}_{j}}\right\} }_{1}\right) d{F}_{k}</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 114 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(114)
 |-
 |
@@ Line 2,120: / Line 1,952: @@
 | <math>d{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{i}=d{\overline{F}}_{i}+{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}d{\mathit{\boldsymbol{U}}}_{j}-</math><math>d{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {F}_{j}}\right\} }_{1}-</math><math>{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{{\partial }^{2}\mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {F}_{j}\partial {F}_{k}}\right\} }_{1}d{F}_{k}</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 115 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(115)
 |}
 Adotando <math display="inline">\, d{\overline{F}}_{i}=\mathit{\boldsymbol{0}}</math>
@@ Line 2,133: / Line 1,964: @@
 | <math>\mathit{\boldsymbol{0}}={\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}d{\mathit{\boldsymbol{U}}}_{j}-</math><math>d{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {F}_{j}}\right\} }_{1}-</math><math>d{F}_{i}-{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{{\partial }^{2}\mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {F}_{j}\partial {F}_{k}}\right\} }_{1}d{F}_{k}</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 116 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(116)
 |}
 Isolando o termo <math display="inline">d{F}_{k}</math>
@@ Line 2,146: / Line 1,976: @@
 | <math>\mathit{\boldsymbol{0}}={\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}d{\mathit{\boldsymbol{U}}}_{j}-</math><math>d{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {F}_{j}}\right\} }_{1}-</math><math>\left( {\delta }_{ik}+{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{{\partial }^{2}\mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {F}_{j}\partial {F}_{k}}\right\} }_{1}\right) d{F}_{k}</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 117 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(117)
 |}
+Usando <math display="inline">{Q}_{ik}</math> (equação <span id='cite-_Ref530075709'></span>[[#_Ref530075709|(86)]]):
-Usando <math display="inline">{Q}_{ik}</math> (equação <span id='cite-_Ref530075709'></span>[[#_Ref530075709|( 86 )]]):
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 2,159: / Line 1,988: @@
 | <math>\mathit{\boldsymbol{0}}={\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}d{\mathit{\boldsymbol{U}}}_{j}-</math><math>d{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {F}_{j}}\right\} }_{1}-</math><math>{\mathit{\boldsymbol{Q}}}_{ik}d{F}_{k}</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 118 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(118)
 |}
 Isolando o termo <math display="inline">d{F}_{k}</math>:
@@ Line 2,170: / Line 1,998: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;"
 |-
-| <math>d{F}_{k}={\mathit{\boldsymbol{Q}}}_{ik}^{-1}\left( {\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}d{\mathit{\boldsymbol{U}}}_{j}-\right. </math><math>\left. d{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {F}_{j}}\right\} }_{1}\right)</math>
+| <math>d{F}_{k}={\mathit{\boldsymbol{Q}}}_{ik}^{-1}\left( {\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}d{\mathit{\boldsymbol{U}}}_{j}- d{\lambda }_{1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {F}_{j}}\right\} }_{1}\right)</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530076047'></span>( 119 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530076047'></span>(119)
 |}
 Adotando o termo:
@@ Line 2,185: / Line 2,012: @@
 | <math>{\mathit{\boldsymbol{R}}}_{ij}={\mathit{\boldsymbol{Q}}}_{ik}^{-1}{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530077061'></span>( 120 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530077061'></span>(120)
 |}
+A equação <span id='cite-_Ref530076047'></span>[[#_Ref530076047|(119)]] torna-se em:
-A equação <span id='cite-_Ref530076047'></span>[[#_Ref530076047|( 119 )]] torna-se em:
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 2,196: / Line 2,022: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;"
 |-
-| <math>d{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{i}={\mathit{\boldsymbol{R}}}_{ij}\left( d{\mathit{\boldsymbol{U}}}_{j}-\right. </math><math>\left. d{\lambda }_{1}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{j}}\right\} }_{1}\right)</math>
+| <math>d{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{i}={\mathit{\boldsymbol{R}}}_{ij}\left( d{\mathit{\boldsymbol{U}}}_{j}- d{\lambda }_{1}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{j}}\right\} }_{1}\right)</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530076227'></span>( 121 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530076227'></span>(121)
 |}
+O vetor de forças nodais final tem que cumprir a condição <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{f}}}_{\mathit{\boldsymbol{1}}}\left( {F}_{i}\right) =</math><math>\mathit{\boldsymbol{0}}</math>. Desta maneira, diferencia-se a equação <span id='cite-_Ref530076227'></span>[[#_Ref530076227|(121)]] e obtém-se:
-O vetor de forças nodais final tem que cumprir a condição <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{f}}}_{\mathit{\boldsymbol{1}}}\left( {F}_{i}\right) =</math><math>\mathit{\boldsymbol{0}}</math>. Desta maneira, diferencia-se a equação <span id='cite-_Ref530076227'></span>[[#_Ref530076227|( 121 )]] e obtém-se:
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 2,211: / Line 2,036: @@
 | <math>{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{j}}\right\} }_{1}d{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{i}=</math><math>\mathit{\boldsymbol{0}}</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 122 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(122)
 |}
@@ Line 2,220: / Line 2,045: @@
 {| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;"
 |-
-| <math>{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{j}}\right\} }_{1}d{F}_{i}=</math><math>{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{j}}\right\} }_{1}{\mathit{\boldsymbol{R}}}_{ij}\left( d{\mathit{\boldsymbol{U}}}_{j}-\right. </math><math>\left. d{\lambda }_{1}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {F}_{j}}\right\} }_{1}\right)</math>
+| <math>{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{j}}\right\} }_{1}d{F}_{i}=</math><math>{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{j}}\right\} }_{1}{\mathit{\boldsymbol{R}}}_{ij}\left( d{\mathit{\boldsymbol{U}}}_{j}- d{\lambda }_{1}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {F}_{j}}\right\} }_{1}\right)</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 123 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(123)
 |}
 Isolando o termo <math display="inline">d{\lambda }_{1}</math>:
@@ Line 2,235: / Line 2,059: @@
 | <math>d{\lambda }_{1}=\frac{{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{i}}\right\} }_{1}{\mathit{\boldsymbol{R}}}_{ij}d{\mathit{\boldsymbol{U}}}_{j}}{{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{i}}\right\} }_{1}{\mathit{\boldsymbol{R}}}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {F}_{j}}\right\} }_{1}}</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530077047'></span>( 124 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530077047'></span>(124)
 |}
+A matriz de rigidez consistente é obtida, trabalhando com as equações <span id='cite-_Ref530077047'></span>[[#_Ref530077047|(124)]] e <span id='cite-_Ref530076227'></span>[[#_Ref530076227|(121)]]:
-A matriz de rigidez consistente é obtida, trabalhando com as equações <span id='cite-_Ref530077047'></span>[[#_Ref530077047|( 124 )]] e <span id='cite-_Ref530076227'></span>[[#_Ref530076227|( 121 )]]:
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 2,248: / Line 2,071: @@
 | <math>d{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{i}=\left( {\mathit{\boldsymbol{R}}}_{ij}-\frac{{\mathit{\boldsymbol{R}}}_{im}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{m}}\right\} }_{1}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{n}}\right\} }_{1}{\mathit{\boldsymbol{R}}}_{nj}}{{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{m}}\right\} }_{1}{\mathit{\boldsymbol{R}}}_{mn}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {F}_{n}}\right\} }_{1}}\right) d{\mathit{\boldsymbol{U}}}_{j}</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 125 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(125)
 |}
+com
-Com
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 2,261: / Line 2,083: @@
 | <math>{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}^{AL}=\left( {\mathit{\boldsymbol{R}}}_{ij}-\frac{{\mathit{\boldsymbol{R}}}_{im}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{m}}\right\} }_{1}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{n}}\right\} }_{1}{\mathit{\boldsymbol{R}}}_{nj}}{{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{m}}\right\} }_{1}{\mathit{\boldsymbol{R}}}_{mn}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {F}_{n}}\right\} }_{1}}\right)</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 126 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(126)
 |}
 ====2.6.2 Algoritmo com dois vetores de retorno====
@@ Line 2,278: / Line 2,099: @@
 | <math>d{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{i}={\mathit{\boldsymbol{R}}}_{ij}\left( \begin{matrix}d{\mathit{\boldsymbol{U}}}_{j}-d{\lambda }_{1}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{j}}\right\} }_{1}\\-d{\lambda }_{2}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{j}}\right\} }_{2}\end{matrix}\right)</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530079964'></span>( 127 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530079964'></span>(127)
 |}
@@ Line 2,284: / Line 2,105: @@
 As condições do vetor de forças nodais final são que
-{| style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;"
+{| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
 |-
-|  style="text-align: center;"|<math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{f}}}_{\mathit{\boldsymbol{1}}}\left( {F}_{i}\right) =</math><math>\mathit{\boldsymbol{0}}</math>''' e ''' <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{f}}}_{\mathit{\boldsymbol{2}}}\left( {F}_{i}\right) =</math><math>\mathit{\boldsymbol{0}}</math>''' '''
+|
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|( 128 )
+{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;"
+|-
+|<math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{f}}}_{\mathit{\boldsymbol{1}}}\left( {F}_{i}\right) =</math><math>\mathit{\boldsymbol{0}}</math> e <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{f}}}_{\mathit{\boldsymbol{2}}}\left( {F}_{i}\right) =</math><math>\mathit{\boldsymbol{0}}</math>
+|}
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(128)
 |}
 Os termos dos multiplicadores plásticos são os seguintes:
@@ Line 2,300: / Line 2,124: @@
 | <math>\left\{ \begin{matrix}d{\lambda }_{1}\\d{\lambda }_{2}\end{matrix}\right\} =\left[ \begin{matrix}\frac{{c}_{1}{b}_{22}-{c}_{2}{b}_{12}}{{b}_{11}{b}_{22}-{b}_{12}{b}_{21}}\\\frac{{c}_{2}{b}_{11}-{c}_{1}{b}_{21}}{{b}_{11}{b}_{22}-{b}_{12}{b}_{21}}\end{matrix}\right]</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530079552'></span>( 129 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref530079552'></span>(129)
 |}
+com
-Com
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 2,323: / Line 2,146: @@
 <math>{b}_{22}={\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{i}}\right\} }_{2}{R}_{ij}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{j}}\right\} }_{2}</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 130 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(130)
 |}
@@ Line 2,329: / Line 2,152: @@
 Se ocorrer o caso dos multiplicadores plásticos for <math display="inline">d{\lambda }_{1}<0</math> ou <math display="inline">d{\lambda }_{2}<0</math> será atribuído o valor zero e desativa-se a rótula plástica correspondente ao caso negativo.
-Desenvolvendo os termos das equações <span id='cite-_Ref530079964'></span>[[#_Ref530079964|( 127 )]] e  <span id='cite-_Ref530079552'></span>[[#_Ref530079552|( 129 )]]:
+Desenvolvendo os termos das equações <span id='cite-_Ref530079964'></span>[[#_Ref530079964|(127)]] e  <span id='cite-_Ref530079552'></span>[[#_Ref530079552|(129)]]:
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 2,338: / Line 2,161: @@
 | <math>{\mathit{\boldsymbol{K}}}_{ij}^{AL}={\mathit{\boldsymbol{R}}}_{ij}-\left( {d}_{1}{R}_{im}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{m}}\right\} }_{1}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{n}}\right\} }_{1}{\mathit{\boldsymbol{R}}}_{nj}-\right. </math><math>\left. {d}_{2}{R}_{im}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{m}}\right\} }_{1}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{n}}\right\} }_{2}{\mathit{\boldsymbol{R}}}_{nj}\right) -</math><math>\left( {d}_{3}{R}_{im}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{m}}\right\} }_{2}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{n}}\right\} }_{2}{\mathit{\boldsymbol{R}}}_{nj}-\right. </math><math>\left. {d}_{4}{R}_{im}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{m}}\right\} }_{2}{\left\{ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{F}}}_{n}}\right\} }_{1}{\mathit{\boldsymbol{R}}}_{nj}\right)</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 131 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(131)
 |}
+com
-Com
 {| class="formulaSCP" style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;"
@@ Line 2,356: / Line 2,178: @@
 <math>{d}_{4}=\frac{{b}_{21}}{{b}_{11}{b}_{22}-{b}_{12}{b}_{21}}</math>
 |}
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|( 132 )
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(132)
 |}
@@ Line 2,369: / Line 2,189: @@
 Os casos abordam a formulação apresentada com o intuito de verificar a viabilidade das superfícies de interação obtidas pelo modelo de dano com a regressão linear múltipla. Também, pretende-se usar as informações estatísticas para comparar a qualidade das funções obtidas e suas análises elastoplásticas.
-O '''caso 1''' é baseado nos dados do trabalho de Thai e Kim [11] que trata de um pórtico plano, conforme <span id='cite-_Ref530127321'></span>[[#_Ref530127321|Figura 8]] e tabelas de 7 a 10 que apresentam as características do caso como coordenadas, características físicas, propriedades do material e cargas aplicadas, respectivamente.
+O '''caso 1''' é baseado nos dados do trabalho de Thai e Kim [11] que trata de um pórtico plano, conforme <span id='cite-_Ref530127321'></span>[[#_Ref530127321|Figura 8]] e [[#tab-1|Tabelas 7]]  a [[#tab-10|10]] que apresentam as características do caso como coordenadas, características físicas, propriedades do material e cargas aplicadas, respectivamente.
-==Propriedades do Pórtico Plano (PP):==
+'''''Propriedades do Pórtico Plano (PP)'''''
-{| style="width: 100%;border-collapse: collapse;"
+{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
 |-
-|  style="text-align: center;width: 100%;"|[[Image:Draft_Vieira_908925676-image9.png|600px]]
+|style="padding:10px;"| [[Image:Review_967755629029_6129_test-image9.png|250px]]
+|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
+| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 8'''. Pórtico Plano de Thai e Kim
 |}
+<span id='_Ref457417233'></span>
-<span id='_Ref530127321'></span>'''Figura 8'''. Pórtico Plano de Thai e Kim<span style="text-align: center; font-size: 75%;">.</span>
-<span id='_Ref457417233'></span>
+<div class="center" style="font-size: 75%;">'''Tabela 7'''. Coordenadas do pórtico plano - Thai e Kim
+</div>
-<span id='_Ref494057582'></span>'''Tabela 7''' - Coordenadas do pórtico plano - Thai e Kim.
+<div id='tab-7'></div>
+{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;font-size:85%;width:40%;"
-{| style="width: 58%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;"
+|-style="text-align:center"
+! '''Nó''' !!'''X (cm)'''!!'''Y (cm) '''!!'''Z (cm)'''
 |-
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''Nó'''</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|1
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<math>\mathit{\boldsymbol{X}}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|0,000
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<math>\mathit{\boldsymbol{Y}}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|0,000
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<math>\mathit{\boldsymbol{Z}}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|0,000
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|2
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''('''</span> <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{cm}}</math><span style="text-align: center; font-size: 75%;">''')'''</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|0,000
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''('''</span> <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{cm}}</math><span style="text-align: center; font-size: 75%;">''')'''</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|1000,000
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''('''</span> <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{cm}}</math><span style="text-align: center; font-size: 75%;">''')'''</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|0,000
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">1</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|3
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|1000,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|1000,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|0,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
-|-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">2</span>
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">1000,000</span>
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
-|-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">3</span>
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">1000,000</span>
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">1000,000</span>
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">4</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|4
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">1000,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|1000,000
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|0,000
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|0,000
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|
 |}
+<div class="center" style="font-size: 75%;">'''Tabela 8'''. Características físicas do pórtico plano - Thai e Kim
+</div>
 <span id='_Ref457417961'></span><span id='_Ref494057719'></span>
+<span id='_Ref500759207'></span>
-<span id='_Ref500759207'></span>'''Tabela 8''' – Características físicas do pórtico plano - Thai e Kim.
+<div id='tab-8'></div>
+{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;font-size:85%;width:40%;"
-{| style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;"
+|-style="text-align:center"
+!'''Elem.''' !! '''No I''' !! '''No F''' !! '''E''' <br/>('''kN/cm'''<math>^{\bf 2}</math>) !! <math>\boldsymbol{\sigma }_{{y}}</math> <br/>('''kN/cm'''<math>^{\bf 2}</math>)  !! <math>\boldsymbol{\nu }</math>
 |-
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>\mathit{\boldsymbol{Elem.}}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|1
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>\boldsymbol{N\acute{o}\, I}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|1
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>\boldsymbol{N\acute{o}\, F}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|2
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>\boldsymbol{E}</math>
+|  rowspan="3" style="text-align: center;vertical-align: center;"|1961,3
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|<math>{\mathit{\boldsymbol{\sigma }}}_{\mathit{\boldsymbol{y}}}</math>
+|  rowspan="3" style="text-align: center;vertical-align: center;"|9,8
-|  colspan='2'  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>\boldsymbol{\nu }</math>
+|  rowspan="3" style="text-align: center;vertical-align: center;"|0,170
 |-
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|2
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|2
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|3
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''('''</span> <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{kN/c}}{\mathit{\boldsymbol{m}}}^{\mathit{\boldsymbol{2}}}\mathit{\boldsymbol{)}}</math>
-|  colspan='2'  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: left;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''('''</span> <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{kN/c}}{\mathit{\boldsymbol{m}}}^{\mathit{\boldsymbol{2}}}\mathit{\boldsymbol{)}}</math>
-|  colspan='2'  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">1</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|3
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">1</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|3
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">2</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|4
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
-|  colspan='2'  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|
-|-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">2</span>
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">2</span>
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">3</span>
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|1961,3
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|9,8
-|  colspan='2'  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|0,170
-|-
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">3</span>
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">3</span>
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">4</span>
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|
-|  colspan='2'  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|
 |}
 <span id='_Ref457418210'></span>
 Os termos da <span id='cite-_Ref500759207'></span>[[#_Ref500759207|Tabela 8]] tem a seguinte descrição:
+<math display="inline">E</math> = módulo de elasticidade; <math display="inline">\nu</math>  = coeficiente de Poisson; <math display="inline">{\sigma }_{y}</math>= tensão de escoamento.
-<math display="inline">E</math> = módulo de elasticidade;
+<span id='_Ref494057745'></span>
-<math display="inline">\nu</math>  = coeficiente de Poisson;
+<div class="center" style="font-size: 75%;">'''Tabela 9'''. Propriedades do material do pórtico plano - Thai e Kim
+</div>
-<math display="inline">{\sigma }_{y}</math>= tensão de escoamento.
+<div id='tab-9'></div>
+{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;font-size:85%;width:40%;"
-<span id='_Ref494057745'></span>'''Tabela 9''' – Propriedades do material do pórtico plano - Thai e Kim.
+|-style="text-align:center"
+!'''Elemento''' !! '''Seção transversal'''
-{| style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;"
-|-
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|'''Elemento'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|'''Seção transversal'''
 |-
-|  rowspan='5' style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">1,2,3 e 4</span>
+|  rowspan='5' style="text-align: center;"|1,2,3 e 4
 |  style="text-align: center;"|<math>A=800,000\, c{m}^{2}</math>
 |-
-|  style="text-align: center;"|<math display="inline">b=20\, cm</math><span style="text-align: center; font-size: 75%;"> e </span> <math display="inline">h=</math><math>40\, cm</math>
+|  style="text-align: center;"|<math display="inline">b=20\, cm</math> e <math display="inline">h=</math><math>40\, cm</math>
 |-
 |  style="text-align: center;"|<math>{I}_{z}=106666,667\, c{m}^{4}</math>
@@ Line 2,496: / Line 2,281: @@
 |  style="text-align: center;"|<math>{F}_{xp}=7840,000\, kN</math>
 |-
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>{M}_{zp}=78400,000\, kN\times cm</math>
+|  style="text-align: center;"|<math>{M}_{zp}=78400,000\, kN\times cm</math>
 |}
@@ Line 2,502: / Line 2,287: @@
 As cargas aplicadas são as seguintes:
-'''Tabela 10''' – Cargas aplicadas do pórtico plano - Thai e Kim.
+<div class="center" style="font-size: 75%;">'''Tabela 10'''. Cargas aplicadas do pórtico plano - Thai e Kim
+</div>
-{| style="width: 58%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;"
+<div id='tab-10'></div>
+{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;font-size:85%;width:40%;"
+|-style="text-align:center"
+!'''Nó''' !! '''Dir''' !! '''Valor (kN)'''
 |-
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>\mathit{\boldsymbol{N\acute{o}}}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|2
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>\boldsymbol{Dir}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|<math>{F}_{X}</math>
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>\boldsymbol{Valor\, (kN)}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|1,000
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">2</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|2
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<math>{F}_{X}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|<math>{F}_{y}</math>
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">1,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|-1,000
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">2</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|3
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<math>{F}_{y}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|<math>{F}_{y}</math>
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">-1,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|-1,000
-|-
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100;">3</span>
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<math>{F}_{y}</math>
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">-1,000</span>
 |}
-As funções utilizadas no caso são as <math display="inline">{f}_{4}</math>, <math display="inline">{f}_{5}</math> e <math display="inline">{f}_{6}</math> , equações <span id='cite-_Ref531207210'></span>[[#_Ref531207210|( 31 )]], <span id='cite-_Ref531207213'></span>[[#_Ref531207213|( 32 )]] e <span id='cite-_Ref531207215'></span>[[#_Ref531207215|( 33 )]], respectivamente.
+As funções utilizadas no caso são as <math display="inline">{f}_{4}</math>, <math display="inline">{f}_{5}</math> e <math display="inline">{f}_{6}</math>, equações <span id='cite-_Ref531207210'></span>[[#_Ref531207210|(31)]], <span id='cite-_Ref531207213'></span>[[#_Ref531207213|(32)]] e <span id='cite-_Ref531207215'></span>[[#_Ref531207215|(33)]], respectivamente.
-O '''caso 2''' é baseado no pórtico espacial com dados dos trabalhos de Thai e Kim [11] e Argyris [12], conforme a <span id='cite-_Ref457421631'></span>[[#_Ref457421631|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">Figura 9</span>]].
+O '''caso 2''' é baseado no pórtico espacial com dados dos trabalhos de Thai e Kim [11] e Argyris [12], conforme a <span id='cite-_Ref457421631'></span>[[#_Ref457421631|Figura 9]].
-{| style="width: 100%;border-collapse: collapse;"
+<span id='_Ref457421631'></span>
+{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
 |-
-|  style="vertical-align: top;"|<span id='_Ref457421631'></span> [[Image:Draft_Vieira_908925676-image10.png|600px]] '''Figura 9''' – Pórtico espacial de 2 (dois) pavimentos.
+|style="padding:10px;"| [[Image:Review_967755629029_7705_test-image10.png|300px]]
+|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
+| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 9''' – Pórtico espacial de 2 (dois) pavimentos
 |}
@@ Line 2,538: / Line 2,324: @@
 As propriedades do caso são apresentadas nas <span id='cite-_Ref457422104'></span>[[#_Ref457422104|Tabela 11]] a <span id='cite-_Ref532329759'></span>[[#_Ref532329759|Tabela 13]].
-<span id='_Ref457422104'></span>'''Tabela 11''' - Coordenadas do pórtico espacial - Thai e Kim.
+<span id='_Ref457422104'></span>
+<div class="center" style="font-size: 75%;">'''Tabela 11'''. Coordenadas do pórtico espacial - Thai e Kim
-{| style="width: 58%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;"
+</div>
+<div id='tab-11'></div>
+{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;font-size:85%;width:40%;"
+|-style="text-align:center"
+!'''Nó'''!!'''X (cm)'''!!'''Y (cm)'''!!'''Z (cm)'''
 |-
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''Nó'''</span>
+|  style="text-align: right;vertical-align: center;"|1
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<math>\mathit{\boldsymbol{X}}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|0,000
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<math>\mathit{\boldsymbol{Y}}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|0,000
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<math>\mathit{\boldsymbol{Z}}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|0,000
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|
+|  style="text-align: right;vertical-align: center;"|2
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''('''</span> <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{cm}}</math><span style="text-align: center; font-size: 75%;">''')'''</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|400,000
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''('''</span> <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{cm}}</math><span style="text-align: center; font-size: 75%;">''')'''</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|0,000
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''('''</span> <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{cm}}</math><span style="text-align: center; font-size: 75%;">''')'''</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|0,000
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="text-align: right;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">1</span>
+|  style="text-align: right;vertical-align: center;"|3
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|400,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|0,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|300,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="text-align: right;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">2</span>
+|  style="text-align: right;vertical-align: center;"|4
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">400,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|0,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|0,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|300,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="text-align: right;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">3</span>
+|  style="text-align: right;vertical-align: center;"|5
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">400,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|0,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|400,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">300,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|0,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="text-align: right;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">4</span>
+|  style="text-align: right;vertical-align: center;"|6
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|400,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|400,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">300,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|0,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="text-align: right;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">5</span>
+|  style="text-align: right;vertical-align: center;"|7
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|400,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">400,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|400,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|300,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="text-align: right;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">6</span>
+|  style="text-align: right;vertical-align: center;"|8
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">400,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|0,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">400,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|400,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|300,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="text-align: right;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">7</span>
+|  style="text-align: right;vertical-align: center;"|9
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">400,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|0,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">400,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|800,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">300,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|0,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="text-align: right;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">8</span>
+|  style="text-align: right;vertical-align: center;"|10
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|400,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">400,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|800,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">300,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|0,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="text-align: right;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">9</span>
+|  style="text-align: right;vertical-align: center;"|11
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|400,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">800,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|800,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|300,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="text-align: right;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">10</span>
+|  style="text-align: right;vertical-align: center;"|12
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">400,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|0,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">800,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|800,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|300,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="text-align: right;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">11</span>
+|  style="text-align: right;vertical-align: center;"|13
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">400,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|0,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">800,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|800,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">300,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|150,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="text-align: right;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">12</span>
+|  style="text-align: right;vertical-align: center;"|14
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|400,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">800,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|800,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">300,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|150,000
 |  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
-|-
-|  style="text-align: right;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">13</span>
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">800,000</span>
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">150,000</span>
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
-|-
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">14</span>
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">400,000</span>
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">800,000</span>
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">150,000</span>
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|
 |}
 <span id='_Ref500757194'></span>
+<div class="center" style="font-size: 75%;">'''Tabela 12'''. Características físicas do pórtico espacial - Thai e Kim
-'''Tabela 12''' - Características físicas do pórtico espacial - Thai e Kim.
+</div>
+<div id='tab-12'></div>
-{| style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;"
+{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;font-size:85%;width:40%;"
-|-
+|-style="text-align:center"
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<span id='_Ref500758784'></span> <math>\mathit{\boldsymbol{Elem.}}</math>
+!'''Elem.'''!!'''No I'''!!'''No F'''!!'''E''' <br/>(kN/cm<math>^{2}</math>) !!<math>\boldsymbol{\sigma }_{{y}}</math><br/>(kN/cm<math>^{2}</math>) !!<math>\boldsymbol{\nu }</math>
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>\boldsymbol{N\acute{o}\, I}</math>
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>\boldsymbol{N\acute{o}\, F}</math>
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>\boldsymbol{E}</math>
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|<math>{\mathit{\boldsymbol{\sigma }}}_{\mathit{\boldsymbol{p}}}</math>
-|  colspan='2'  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>\boldsymbol{\nu }</math>
-|-
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''('''</span> <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{kN/c}}{\mathit{\boldsymbol{m}}}^{\mathit{\boldsymbol{2}}}\mathit{\boldsymbol{)}}</math>
-|  colspan='2'  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: left;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''('''</span> <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{kN/c}}{\mathit{\boldsymbol{m}}}^{\mathit{\boldsymbol{2}}}\mathit{\boldsymbol{)}}</math>
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">1</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|1
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">1</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|1
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">5</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|5
-|  rowspan='18' style="text-align: center;border-bottom: 1pt solid black;"|1961,3
+|  rowspan='18' style="text-align: center;"|1961,3
-|  rowspan='18' style="text-align: center;border-bottom: 1pt solid black;"|9,8
+|  rowspan='18' style="text-align: center;"|9,8
-|  rowspan='18' style="text-align: center;border-bottom: 1pt solid black;"|0,170
+|  rowspan='18' style="text-align: center;"|0,170
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">2</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|2
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">2</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|2
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">6</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|6
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">3</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|3
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">3</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|3
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">7</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|7
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">4</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|4
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">4</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|4
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">8</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|8
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">5</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|5
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">5</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|5
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">6</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|6
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">6</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|6
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">6</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|6
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">7</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|7
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">7</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|7
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">7</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|7
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">8</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|8
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">8</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|8
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">8</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|8
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">5</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|5
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">9</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|9
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">5</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|5
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">9</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|9
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">10</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|10
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">6</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|6
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">10</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|10
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">11</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|11
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">7</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|7
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">11</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|11
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">12</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|12
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">8</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|8
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">12</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|12
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">13</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|13
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">9</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|9
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">10</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|10
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">14</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|14
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">10</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|10
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">14</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|14
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">15</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|15
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">14</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|14
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">11</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|11
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">16</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|16
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">11</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|11
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">12</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|12
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">17</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|17
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">9</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|9
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">13</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|13
 |-
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">18</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|18
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">12</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|12
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">13</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|13
 |}
-<span id='_Ref532329759'></span>'''Tabela 13''' - Propriedades do material do pórtico espacial - Thai e Kim.
+<div class="center" style="font-size: 75%;"><span id='_Ref532329759'></span>'''Tabela 13'''. Propriedades do material do pórtico espacial - Thai e Kim
+</div>
-{| style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;"
+<div id='tab-13'></div>
+{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;font-size:85%;width:40%;"
+|-style="text-align:center"
+!Elemento !! Seção transversal
 |-
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|'''Elemento'''
+|  rowspan='11' style="text-align: center;"|1 a 18
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|'''Seção transversal'''
-|-
-|  rowspan='11' style="text-align: center;border-bottom: 1pt solid black;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">1 a 18</span>
 |  style="text-align: center;"|<math>A=800,000\, c{m}^{2}</math>
 |-
-|  style="text-align: center;"|<math display="inline">b=20\, cm</math><span style="text-align: center; font-size: 75%;"> e </span> <math display="inline">h=</math><math>40\, cm</math>
+|  style="text-align: center;"|<math display="inline">b=20\, cm</math> e  <math display="inline">h=</math><math>40\, cm</math>
 |-
 |  style="text-align: center;"|<math>{I}_{z}=1,067\times {10}^{5}\, c{m}^{4}</math>
@@ Line 2,765: / Line 2,519: @@
 |  style="text-align: center;"|<math>{F}_{xp}=7,840\times {10}^{3}\, kN</math>
 |-
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>{F}_{yp}=4,526\times {10}^{3}\, kN</math>
+|  style="text-align: center;"|<math>{F}_{yp}=4,526\times {10}^{3}\, kN</math>
 |}
@@ Line 2,771: / Line 2,525: @@
 As cargas aplicadas são as seguintes:
-'''Tabela 14''' – Cargas aplicadas do pórtico espacial - Thai e Kim.
+<div class="center" style="font-size: 75%;">'''Tabela 14'''. Cargas aplicadas do pórtico espacial - Thai e Kim
+</div>
-{| style="width: 80%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;"
+<div id='tab-14'></div>
+{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;font-size:85%;width:40%;"
+|-style="text-align:center"
+!'''Nó''' !! <math>{{\boldsymbol{F}}}_{{\boldsymbol{x}}}</math> (kN) !! <math display="inline">{{\boldsymbol{F}}}_{{\boldsymbol{y}}}</math> (kN) !! <math>{{\boldsymbol{F}}}_{{\boldsymbol{z}}}</math> (kN)
 |-
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>\mathit{\boldsymbol{N\acute{o}}}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|5
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{x}}}\mathit{\boldsymbol{\, (kN)}}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|1,000
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">''' '''</span> <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{y}}}\mathit{\boldsymbol{\, (kN)}}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|-2,000
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{z}}}\mathit{\boldsymbol{\, (kN)}}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">5</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|6
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">1,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|0,250
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">-2,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|-2,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">6</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|7
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,250</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|0,250
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">-2,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|-2,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">7</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|8
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,250</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|1,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">-2,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|-2,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">8</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|9
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">1,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|3,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">-2,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|-0,500
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">9</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|10
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">3,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|0,500
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">-0,500</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|-0,500
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">10</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|11
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,500</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|0,500
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">-0,500</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|-0,500
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">11</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|12
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,500</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|3,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">-0,500</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|-0,500
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">12</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|13
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">3,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|0,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">-0,500</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|-1,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
-|-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">13</span>
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">-1,000</span>
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
 |-
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">14</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|14
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|0,000
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">-1,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|-1,000
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
 |}
-As funções utilizadas no caso são as <math display="inline">{f}_{1}</math>, <math display="inline">{f}_{2}</math> e <math display="inline">{f}_{3}</math> , equações <span id='cite-_Ref533151259'></span>[[#_Ref533151259|( 28 )]], <span id='cite-_Ref533151260'></span>[[#_Ref533151260|( 29 )]] e <span id='cite-_Ref533151262'></span>[[#_Ref533151262|( 30 )]], respectivamente.
+As funções utilizadas no caso são as <math display="inline">{f}_{1}</math>, <math display="inline">{f}_{2}</math> e <math display="inline">{f}_{3}</math>, equações <span id='cite-_Ref533151259'></span>[[#_Ref533151259|(28)]], <span id='cite-_Ref533151260'></span>[[#_Ref533151260|(29)]] e <span id='cite-_Ref533151262'></span>[[#_Ref533151262|(30)]], respectivamente.
 O '''caso 3''' é baseado no pórtico espacial com dados dos trabalhos de Argyris et al [12] e Park e Lee [13], conforme a  <span id='cite-_Ref533152504'></span>[[#_Ref533152504|Figura 10]].
-{| style="width: 100%;border-collapse: collapse;"
+<span id='_Ref533152504'></span>
+{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;width: 100%;"|[[Image:Draft_Vieira_908925676-image11.png|600px]]
+|style="padding:10px;"| [[Image:Review_967755629029_8143_test-image11.png|350px]]
+|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
+| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 10'''. Pórtico em domo - Argyris et al.
 |}
-<span id='_Ref533152504'></span>'''Figura 10''' – Pórtico em domo - Argyris et al.
 As propriedades do caso são apresentadas nas <span id='cite-_Ref534577723'></span>[[#_Ref534577723|Tabela 15]] a <span id='cite-_Ref534577726'></span>[[#_Ref534577726|Tabela 18]].
-<span id='_Ref534577723'></span>'''Tabela 15''' - Coordenadas do <span style="text-align: center; font-size: 75%;">pórtico em domo - </span>Argyris et al.
-{| style="width: 65%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;"
+<div class="center" style="font-size: 75%;"><span id='_Ref534577723'></span>'''Tabela 15'''. Coordenadas do pórtico em domo - Argyris et al.
-|-
+</div>
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''Nó'''</span>
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<math>\mathit{\boldsymbol{X}}</math>
+<div id='tab-15'></div>
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<math>\mathit{\boldsymbol{Y}}</math>
+{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;font-size:85%;width:40%;"
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<math>\mathit{\boldsymbol{Z}}</math>
+|-style="text-align:center"
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|
+! '''Nó''' !!'''X (cm)'''!!'''Y (cm) '''!!'''Z (cm)'''
-|-
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''('''</span> <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{cm}}</math><span style="text-align: center; font-size: 75%;">''')'''</span>
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''('''</span> <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{cm}}</math><span style="text-align: center; font-size: 75%;">''')'''</span>
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''('''</span> <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{cm}}</math><span style="text-align: center; font-size: 75%;">''')'''</span>
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="text-align: right;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">1</span>
+|  style="text-align: right;vertical-align: center;"|1
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|0,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">610,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|610,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|0,000
 |  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="text-align: right;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">2</span>
+|  style="text-align: right;vertical-align: center;"|2
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">628,500</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|628,500
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">455,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|455,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">1088,500</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|1088,500
 |  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="text-align: right;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">3</span>
+|  style="text-align: right;vertical-align: center;"|3
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">1257,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|1257,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">455,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|455,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|0,000
 |  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="text-align: right;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">4</span>
+|  style="text-align: right;vertical-align: center;"|4
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">628,500</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|628,500
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">455,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|455,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">-1088,500</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|-1088,500
 |  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="text-align: right;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">5</span>
+|  style="text-align: right;vertical-align: center;"|5
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">-628,500</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|-628,500
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">455,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|455,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">-1088,500</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|-1088,500
 |  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="text-align: right;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">6</span>
+|  style="text-align: right;vertical-align: center;"|6
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">-1257,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|-1257,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">455,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|455,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
 |  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="text-align: right;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">7</span>
+|  style="text-align: right;vertical-align: center;"|7
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">-628,500</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|-628,500
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">455,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|455,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">1088,500</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|1088,500
 |  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="text-align: right;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">8</span>
+|  style="text-align: right;vertical-align: center;"|8
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">1219,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|1219,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">2111,500</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|2111,500
 |  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="text-align: right;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">9</span>
+|  style="text-align: right;vertical-align: center;"|9
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">2438,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|2438,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
 |  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="text-align: right;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">10</span>
+|  style="text-align: right;vertical-align: center;"|10
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">1219,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|1219,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">-2111,500</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|-2111,500
 |  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="text-align: right;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">11</span>
+|  style="text-align: right;vertical-align: center;"|11
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">-1219,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|-1219,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">-2111,500</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|-2111,500
 |  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="text-align: right;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">12</span>
+|  style="text-align: right;vertical-align: center;"|12
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">-2438,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|-2438,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
 |  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |-
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">13</span>
+|  style="text-align: right;vertical-align: center;"|13
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">-1219,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|-1219,000
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">2111,500</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|2111,500
 |  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
 |}
-'''Tabela 16''' - Características físicas do <span style="text-align: center; font-size: 75%;">pórtico em domo - </span>Argyris et al.
+<div class="center" style="font-size: 75%;">'''Tabela 16'''. Características físicas do pórtico em domo - Argyris et al.
+</div>
-{| style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;"
+<div id='tab-16'></div>
+{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;font-size:85%;width:40%;"
+|-style="text-align:center"
+!'''Elem.'''!!'''No I'''!!'''No F'''!!'''E''' <br/>(kN/cm<math>^{2}</math>) !!<math>\boldsymbol{\sigma }_{{y}}</math><br/>(kN/cm<math>^{2}</math>) !!<math>\boldsymbol{\nu }</math>
 |-
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>\mathit{\boldsymbol{Elem.}}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|1
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>\boldsymbol{N\acute{o}\, I}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|1
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>\boldsymbol{N\acute{o}\, F}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|2
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>\boldsymbol{E}</math>
+|  rowspan='18' style="text-align: center;"|2068,0
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|<math>{\mathit{\boldsymbol{\sigma }}}_{\mathit{\boldsymbol{p}}}</math>
+|  rowspan='18' style="text-align: center;"|8,0
-|  colspan='2'  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>\boldsymbol{\nu }</math>
+|  rowspan='18' style="text-align: center;"|0,1716
 |-
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|2
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|1
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|3
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''('''</span> <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{kN/c}}{\mathit{\boldsymbol{m}}}^{\mathit{\boldsymbol{2}}}\mathit{\boldsymbol{)}}</math>
-|  colspan='2'  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: left;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''('''</span> <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{kN/c}}{\mathit{\boldsymbol{m}}}^{\mathit{\boldsymbol{2}}}\mathit{\boldsymbol{)}}</math>
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">1</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|3
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">1</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|1
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">2</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|4
-|  rowspan='18' style="text-align: center;border-bottom: 1pt solid black;"|2068,0
-|  rowspan='18' style="text-align: center;border-bottom: 1pt solid black;"|8,0
-|  rowspan='18' style="text-align: center;border-bottom: 1pt solid black;"|0,1716
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">2</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|4
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">1</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|1
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">3</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|5
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">3</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|5
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">1</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|1
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">4</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|6
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">4</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|6
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">1</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|1
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">5</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|7
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">5</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|7
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">1</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|2
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">6</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|3
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">6</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|8
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">1</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|3
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">7</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|4
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">7</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|9
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">2</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|5
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">3</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|4
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">8</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|10
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">3</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|5
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">4</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|6
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">9</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|11
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">5</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|6
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">4</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|7
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">10</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|12
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">5</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|7
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">6</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|2
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">11</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|13
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">6</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|2
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">7</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|8
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">12</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|14
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">7</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|3
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">2</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|9
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">13</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|15
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">2</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|4
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">8</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|10
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">14</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|16
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">3</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|5
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">9</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|11
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">15</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|17
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">4</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|6
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">10</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|12
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">16</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|18
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">5</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|7
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">11</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|13
-|-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">17</span>
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">6</span>
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">12</span>
-|-
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">18</span>
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">7</span>
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">13</span>
 |}
-'''Tabela 17''' - Propriedades do material do <span style="text-align: center; font-size: 75%;">pórtico em domo - </span>Argyris et al.
+<div class="center" style="font-size: 75%;">'''Tabela 17'''. Propriedades do material do pórtico em domo - Argyris et al.
+</div>
-{| style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;"
+<div id='tab-13'></div>
-|-
+{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;font-size:85%;width:40%;"
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|'''Elemento'''
+|-style="text-align:center"
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|'''Seção transversal'''
+!Elemento !! Seção transversal
 |-
-|  rowspan='11' style="text-align: center;border-bottom: 1pt solid black;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">1 a 18</span>
+|  rowspan='11' style="text-align: center;"|1 a 18
 |  style="text-align: center;"|<math>A=9272,000\, c{m}^{2}</math>
 |-
-|  style="text-align: center;"|<math display="inline">b=76\, cm</math><span style="text-align: center; font-size: 75%;"> e </span> <math display="inline">h=</math><math>122\, cm</math>
+|  style="text-align: center;"|<math display="inline">b=76\, cm</math> e <math display="inline">h=</math><math>122\, cm</math>
 |-
 |  style="text-align: center;"|<math>{I}_{z}=1,150\times {10}^{7}\, c{m}^{4}</math>
@@ Line 3,067: / Line 2,803: @@
 |  style="text-align: center;"|<math>{F}_{xp}=7,416\times {10}^{4}\, kN</math>
 |-
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>{F}_{yp}=4,282\times {10}^{4}\, kN</math>
+|  style="text-align: center;"|<math>{F}_{yp}=4,282\times {10}^{4}\, kN</math>
 |}
@@ Line 3,073: / Line 2,809: @@
 As cargas aplicadas são as seguintes:
-<span id='_Ref534577726'></span>'''Tabela 18''' – Cargas aplicadas do <span style="text-align: center; font-size: 75%;">pórtico em domo - </span>Argyris et al.
+<span id='_Ref534577726'></span>
+<div class="center" style="font-size: 75%;">'''Tabela 18'''. Cargas aplicadas do pórtico em domo - Argyris et al.
-{| style="width: 80%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;"
+</div>
+<div id='tab-18'></div>
+{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;font-size:85%;width:40%;"
+|-style="text-align:center"
+!'''Nó''' !! <math>{{\boldsymbol{F}}}_{{\boldsymbol{x}}}</math> (kN) !! <math display="inline">{{\boldsymbol{F}}}_{{\boldsymbol{y}}}</math> (kN) !! <math>{{\boldsymbol{F}}}_{{\boldsymbol{z}}}</math> (kN)
 |-
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>\mathit{\boldsymbol{N\acute{o}}}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|1
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{x}}}\mathit{\boldsymbol{\, (kN)}}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|0,000
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">''' '''</span> <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{y}}}\mathit{\boldsymbol{\, (kN)}}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|-1,000
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>{\mathit{\boldsymbol{F}}}_{\mathit{\boldsymbol{z}}}\mathit{\boldsymbol{\, (kN)}}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|0,000
-|-
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">1</span>
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">-1,000</span>
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|<span style="text-align: center; font-size: 100%;">0,000</span>
 |}
-As funções utilizadas no caso são as <math display="inline">{f}_{1}</math>, <math display="inline">{f}_{2}</math> e <math display="inline">{f}_{3}</math> , equações <span id='cite-_Ref533151259'></span>[[#_Ref533151259|( 28 )]], <span id='cite-_Ref533151260'></span>[[#_Ref533151260|( 29 )]] e <span id='cite-_Ref533151262'></span>[[#_Ref533151262|( 30 )]], respectivamente.
+As funções utilizadas no caso são as <math display="inline">{f}_{1}</math>, <math display="inline">{f}_{2}</math> e <math display="inline">{f}_{3}</math>, equações <span id='cite-_Ref533151259'></span>[[#_Ref533151259|(28)]], <span id='cite-_Ref533151260'></span>[[#_Ref533151260|(29)]] e <span id='cite-_Ref533151262'></span>[[#_Ref533151262|(30)]], respectivamente.
-==3 RESULTADOS E DISCUSSÃO==
+==3. Resultados e discussão==
 Os resultados e discussões dos estudos de caso 1 a 3 são apresentados.
@@ Line 3,097: / Line 2,832: @@
 ===3.1 Caso 1===
-Os resultados dos estudos, '''s. '''O número de elementos plastificados foram 3 (três) para todas as funções e a quantidade de rótulas 5 (cinco). Os caminhos da formação das rótulas são apresentados na <span id='cite-_Ref4574898'></span>[[#_Ref4574898|'''Tabela 19''']] e <span id='cite-_Ref457419276'></span>[[#_Ref457419276|'''Figura 11''']], com as 3 (três) funções <math display="inline">{f}_{4},\, {f}_{5}\, e\, {f}_{6}\, \,</math> mostram que os resultados estão mais próximos da solução do ABAQUS de 20 elementos de Thai e Kim [11] que teve o fator de carga entre 1 e 1,2. Do ponto de vista estatístico, a melhor solução seria a função <math display="inline">{f}_{4}</math>, depois <math display="inline">{f}_{6}</math> e por último <math display="inline">{f}_{5}</math>. No entanto, a carga limite de <math display="inline">{f}_{5}</math> é que se aproxima melhor aos resultados de Thai e Kim [11] com fatores de carga próximos a 0,8. Se levarmos em conta a solução de 20 elementos do ABACUS de Thai e Kim [11], a função <math display="inline">{f}_{4}</math> foi de fato a melhor corroborando com os resultados estatísticos. O número de elementos plastificados foram 3 (três) para todas as funções e a quantidade de rótulas 5 (cinco). Os caminhos da formação das rótulas são apresentados na <span id='cite-_Ref4574898'></span>[[#_Ref4574898|'''Tabela 19''']].
+Os resultados dos estudos, '''s. '''O número de elementos plastificados foram 3 (três) para todas as funções e a quantidade de rótulas 5 (cinco). Os caminhos da formação das rótulas são apresentados na <span id='cite-_Ref4574898'></span>[[#_Ref4574898|Tabela 19]] e <span id='cite-_Ref457419276'></span>[[#_Ref457419276|Figura 11]], com as 3 (três) funções <math display="inline">{f}_{4},\, {f}_{5}\, e\, {f}_{6}\, \,</math> mostram que os resultados estão mais próximos da solução do ABAQUS de 20 elementos de Thai e Kim [11] que teve o fator de carga entre 1 e 1,2. Do ponto de vista estatístico, a melhor solução seria a função <math display="inline">{f}_{4}</math>, depois <math display="inline">{f}_{6}</math> e por último <math display="inline">{f}_{5}</math>. No entanto, a carga limite de <math display="inline">{f}_{5}</math> é que se aproxima melhor aos resultados de Thai e Kim [11] com fatores de carga próximos a 0,8. Se levarmos em conta a solução de 20 elementos do ABACUS de Thai e Kim [11], a função <math display="inline">{f}_{4}</math> foi de fato a melhor corroborando com os resultados estatísticos. O número de elementos plastificados foram 3 (três) para todas as funções e a quantidade de rótulas 5 (cinco). Os caminhos da formação das rótulas são apresentados na <span id='cite-_Ref4574898'></span>[[#_Ref4574898|Tabela 19]].
-<span id='_Ref4574898'></span>'''Tabela 19''' – Rótulas plásticas – pórtico plano - Thai e Kim.
+<div class="center" style="font-size: 75%;">'''Tabela 19'''. Rótulas plásticas – pórtico plano - Thai e Kim.
+</div>
-{| style="width: 70%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;"
+<div id='tab-19'></div>
+{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;font-size:85%;width:auto;"
+|-style="text-align:center"
+!colspan="4" | '''Função''' <math display="inline">{f}_{4}</math>
 |-
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<span id='_Hlk4522464'></span>
+!  '''Elemento''' !! '''Nó'''!! <math>\mathit{\boldsymbol{\lambda }}</math> !! '''Carga limite (kN)'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|função <math display="inline">{f}_{4}</math>
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|
 |-
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: left; font-size: 75%;">'''Elemento'''</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|1
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''Nó'''</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|1
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>\mathit{\boldsymbol{\lambda }}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|<math>0,108246\times {10}^{5}</math>
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>\mathit{\boldsymbol{Carga\, limite\, (kN)}}</math>
+|  rowspan='5' style="text-align: center;"|<math>309,146</math>
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">1</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">1</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|2
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<math>0,108246\times {10}^{5}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|<math>0,841207\times {10}^{4}</math>
-|  rowspan='5' style="text-align: center;border-bottom: 1pt solid black;"|<math>309,146</math>
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|2
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">2</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|2
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<math>0,841207\times {10}^{4}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|<math>0,227389\times {10}^{2}</math>
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: left; font-size: 75%;">2</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|3
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">2</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|3
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<math>0,227389\times {10}^{2}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|<math>0,844737\times {10}^{4}</math>
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: left; font-size: 75%;">3</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">3</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|4
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<math>0,844737\times {10}^{4}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|<math>0,108410\times {10}^{5}</math>
-|-
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">4</span>
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<math>0,108410\times {10}^{5}</math>
 |}
+{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;font-size:85%;width:auto;"
-{| style="width: 70%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;"
+|-style="text-align:center"
+!colspan="4" | '''Função''' <math display="inline">{f}_{5}</math>
 |-
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|
+!  '''Elemento''' !! '''Nó'''!! <math>\mathit{\boldsymbol{\lambda }}</math> !! '''Carga limite (kN)'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|função <math display="inline">{f}_{5}</math>
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|
 |-
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''Elemento'''</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|1
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''Nó'''</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|1
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>\mathit{\boldsymbol{\lambda }}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|<math>0,106273\times {10}^{5}</math>
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>\mathit{\boldsymbol{Carga\, limite\, (kN)}}</math>
+|  rowspan='5' style="text-align: center;"|<math>300,431</math>
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">1</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">1</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|2
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<math>0,106273\times {10}^{5}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|<math>0,208395\times {10}^{4}</math>
-|  rowspan='5' style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>300,431</math>
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|2
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">2</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|2
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<math>0,208395\times {10}^{4}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|<math>0,626480\times {10}^{4}</math>
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">2</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|3
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">2</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|3
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<math>0,626480\times {10}^{4}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|<math>0,836829\times {10}^{4}</math>
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">3</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">3</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|4
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<math>0,836829\times {10}^{4}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|<math>0,106452\times {10}^{5}</math>
-|-
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">4</span>
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<math>0,106452\times {10}^{5}</math>
 |-
 |-
 |}
+{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;font-size:85%;width:auto;"
-{| style="width: 70%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;"
+|-style="text-align:center"
+!colspan="4" | '''Função''' <math display="inline">{f}_{6}</math>
 |-
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|
+!  '''Elemento''' !! '''Nó'''!! <math>\mathit{\boldsymbol{\lambda }}</math> !! '''Carga limite (kN)'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|função <math display="inline">{f}_{6}</math>
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|
 |-
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''Elemento'''</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|1
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''Nó'''</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|1
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>\mathit{\boldsymbol{\lambda }}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|<math>0,114845\times {10}^{5}</math>
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>\mathit{\boldsymbol{Carga\, limite\, (kN)}}</math>
+|  rowspan='5' style="text-align: center;"|<math>318,103</math>
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">1</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">1</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|2
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<math>0,114845\times {10}^{5}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|<math>0,254762\times {10}^{4}</math>
-|  rowspan='5' style="text-align: center;border-bottom: 1pt solid black;"|<math>318,103</math>
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|2
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">2</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|2
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<math>0,254762\times {10}^{4}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|<math>0,604007\times {10}^{4}</math>
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">2</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|3
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">2</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|3
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<math>0,604007\times {10}^{4}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|<math>0,899557\times {10}^{4}</math>
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">3</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">3</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|4
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<math>0,899557\times {10}^{4}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|<math>0,117705\times {10}^{5}</math>
-|-
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">4</span>
-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<math>0,117705\times {10}^{5}</math>
 |}
-<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
+{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
- [[Image:Draft_Vieira_908925676-image12-c.png|438px]] </div>
-<span id='_Ref457419276'></span>'''Figura 11''' – Gráfico carga versus deslocamento horizontal ( <math display="inline">{H}_{x})-n\acute{o}\, 2</math> - pórtico plano - Thai e Kim.
-{| style="width: 100%;border-collapse: collapse;"
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: top;"|
+|style="padding:10px;"| [[Image:Review_967755629029_7962_test-image12.png|480px]]
+|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
+| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 11'''. Gráfico carga versus deslocamento horizontal (<math display="inline">{H}_{x})-n\acute{o}\, 2</math>) - pórtico plano - Thai e Kim
 |}
 ===3.2 Caso 2===
-Os resultados dos estudos, <span id='cite-_Ref4571218'></span>[[#_Ref4571218|'''Tabela 20''']] e <span id='cite-_Ref500765589'></span>[[#_Ref500765589|'''Figura 12''']], com as 3 (três) funções <math display="inline">{f}_{2},\, {f}_{3}\, e\, {f}_{1}\, \,</math> mostram que os resultados das cargas limites estão mais elevados do que os de Thai e Kim [11] que teve o valor de 128,82 <math display="inline">kN</math>. Do ponto de vista estatístico, a melhor solução seria a função <math display="inline">{f}_{2}</math>, depois <math display="inline">{f}_{3}</math> e por último <math display="inline">{f}_{1}</math>. Neste caso, a carga limite de <math display="inline">{f}_{2}</math> é a que realmente se aproxima melhor aos resultados de Thai e Kim [11], confirmando os resultados estatísticos com uma diferença relativa de 4,08% (( <math display="inline">{f}_{2}-</math><math>Thai)/Thai\, \times 100)</math>. Esta diferença pode ter ocorrido porque os esforços plásticos limites (momentos, cortantes e axial) não existem nos dados de Thai e Kim [11], porém são necessários na teoria apresentada. O número de elementos plastificados foram 10 (dez) para todas as funções e a quantidade de rótulas 12 (doze). Os caminhos da formação das rótulas são apresentados na <span id='cite-_Ref4571218'></span>[[#_Ref4571218|'''Tabela 20''']].
+Os resultados dos estudos, <span id='cite-_Ref4571218'></span>[[#_Ref4571218|Tabela 20]] e <span id='cite-_Ref500765589'></span>[[#_Ref500765589|Figura 12]], com as 3 (três) funções <math display="inline">{f}_{2},\, {f}_{3}\, e\, {f}_{1}\, \,</math> mostram que os resultados das cargas limites estão mais elevados do que os de Thai e Kim [11] que teve o valor de 128,82 <math display="inline">kN</math>. Do ponto de vista estatístico, a melhor solução seria a função <math display="inline">{f}_{2}</math>, depois <math display="inline">{f}_{3}</math> e por último <math display="inline">{f}_{1}</math>. Neste caso, a carga limite de <math display="inline">{f}_{2}</math> é a que realmente se aproxima melhor aos resultados de Thai e Kim [11], confirmando os resultados estatísticos com uma diferença relativa de 4,08% ((<math display="inline">{f}_{2}-</math><math>Thai)/Thai\, \times 100)</math>. Esta diferença pode ter ocorrido porque os esforços plásticos limites (momentos, cortantes e axial) não existem nos dados de Thai e Kim [11], porém são necessários na teoria apresentada. O número de elementos plastificados foram 10 (dez) para todas as funções e a quantidade de rótulas 12 (doze). Os caminhos da formação das rótulas são apresentados na <span id='cite-_Ref4571218'></span>[[#_Ref4571218|Tabela 20]].
-<span id='_Ref4571218'></span><span id='_Ref500765287'></span>'''Tabela 20''' - Rótulas plásticas – pórtico espacial - Thai e Kim
+<div class="center" style="font-size: 75%;">'''Tabela 20'''. Rótulas plásticas – pórtico espacial - Thai e Kim
+</div>
-{| style="width: 70%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;"
+<div id='tab-20'></div>
+{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;font-size:85%;width:auto;"
+|-style="text-align:center"
+!colspan="4" | '''Função''' <math display="inline">{f}_{1}</math>
 |-
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|
+!  '''Elemento''' !! '''Nó'''!! <math>\mathit{\boldsymbol{\lambda }}</math> !! '''Carga limite (kN)'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|função <math display="inline">{f}_{1}</math>
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|
 |-
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''Elemento'''</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|1
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''Nó'''</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|1
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>\mathit{\boldsymbol{\lambda }}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|<math>0,345728\times {10}^{4}</math>
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>\mathit{\boldsymbol{Carga\, limite\, (kN)}}</math>
+|  rowspan='12' style="text-align: center;"|<math>141,886</math>
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">1</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|2
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">1</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|2
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<math>0,345728\times {10}^{4}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|<math>0,353734\times {10}^{4}</math>
-|  rowspan='12' style="text-align: center;border-bottom: 1pt solid black;"|<math>141,886</math>
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">2</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|3
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">2</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|3
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<math>0,353734\times {10}^{4}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|<math>0,348667\times {10}^{4}</math>
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">3</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|4
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">3</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|4
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<math>0,348667\times {10}^{4}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|<math>0,350863\times {10}^{4}</math>
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">4</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|5
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">4</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|5
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<math>0,350863\times {10}^{4}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|<math>0,308873\times {10}^{4}</math>
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">5</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">5</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|6
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<math>0,308873\times {10}^{4}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|<math>0,307316\times {10}^{4}</math>
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|7
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">6</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|7
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<math>0,307316\times {10}^{4}</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|<math>0,306402\times {10}^{4}</math>
 |-
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">7</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|
-|  style="text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">7</span>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|8
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 |}
+{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;font-size:85%;width:auto;"
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+!  '''Elemento''' !! '''Nó'''!! <math>\mathit{\boldsymbol{\lambda }}</math> !! '''Carga limite (kN)'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|função <math display="inline">{f}_{2}</math>
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 |-
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 |-
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 |-
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 |-
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 |}
+{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;font-size:85%;width:auto;"
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+|-style="text-align:center"
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+!colspan="4" | '''Função''' <math display="inline">{f}_{3}</math>
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-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|função <math display="inline">{f}_{3}</math>
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|
 |-
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''Elemento'''</span>
+!  '''Elemento''' !! '''Nó'''!! <math>\mathit{\boldsymbol{\lambda }}</math> !! '''Carga limite (kN)'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''Nó'''</span>
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>\mathit{\boldsymbol{\lambda }}</math>
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 |-
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 |-
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 |-
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 |-
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 |-
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 |-
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 |-
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 |-
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 |-
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-<div id="_Ref457419942" class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
+{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
-  [[Image:Draft_Vieira_908925676-image13-c.png|456px]] </div>
+|-
+|style="padding:10px;"|  [[Image:Review_967755629029_9261_test-image13.png|480px]]
-<span id='_Ref500765589'></span>'''Figura 12''' - Gráfico carga versus deslocamento horizontal ( <math display="inline">{P}_{x})-n\acute{o}\, 12</math> - pórtico espacial - Thai e Kim.
+|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
+| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 12'''. Gráfico carga versus deslocamento horizontal (<math display="inline">{P}_{x})-n\acute{o}\, 12</math> - pórtico espacial - Thai e Kim
+|}
 ===3.3 Caso 3===
-Os resultados dos estudos, <span id='cite-_Ref4573319'></span>[[#_Ref4573319|'''Tabela 21''']] e <span id='cite-_Ref4573339'></span>[[#_Ref4573339|'''Figura 13''']], com as 3 (três) funções <math display="inline">{f}_{2},\, {f}_{3}\, e\, {f}_{1}\, \,</math> mostram que os resultados das cargas limites estão próximos de Argyris et al [12], visualmente, porque o valor exato não é apresentado. Do ponto de vista estatístico, a melhor solução seria a função <math display="inline">{f}_{2}</math>, depois <math display="inline">{f}_{3}</math> e por último <math display="inline">{f}_{1}</math>. Neste caso, a carga limite de <math display="inline">{f}_{3}</math> é a que realmente se aproxima melhor aos resultados de Argyris et al [12], visualmente. Porém, esta função não conseguiu avançar o caminho de deslocamento em relação aos demais. Se avaliarmos a trajetória de deslocamento, a função <math display="inline">{f}_{2}</math> será a melhor e corroborará com os resultados estatísticos. O número de elementos plastificados foram 6 (seis) para as funções <math display="inline">{f}_{1}</math> e <math display="inline">{f}_{2}</math> e a quantidade de rótulas 12 (doze). Já a função <math display="inline">{f}_{3}</math> foram 6 (seis) elementos e 6 (seis) rótulas. Os caminhos da formação das rótulas são apresentados na <span id='cite-_Ref4573319'></span>[[#_Ref4573319|'''Tabela 21''']].
+Os resultados dos estudos, <span id='cite-_Ref4573319'></span>[[#_Ref4573319|Tabela 21]] e <span id='cite-_Ref4573339'></span>[[#_Ref4573339|Figura 13]], com as 3 (três) funções <math display="inline">{f}_{2},\, {f}_{3}\, e\, {f}_{1}\, \,</math> mostram que os resultados das cargas limites estão próximos de Argyris et al [12], visualmente, porque o valor exato não é apresentado. Do ponto de vista estatístico, a melhor solução seria a função <math display="inline">{f}_{2}</math>, depois <math display="inline">{f}_{3}</math> e por último <math display="inline">{f}_{1}</math>. Neste caso, a carga limite de <math display="inline">{f}_{3}</math> é a que realmente se aproxima melhor aos resultados de Argyris et al [12], visualmente. Porém, esta função não conseguiu avançar o caminho de deslocamento em relação aos demais. Se avaliarmos a trajetória de deslocamento, a função <math display="inline">{f}_{2}</math> será a melhor e corroborará com os resultados estatísticos. O número de elementos plastificados foram 6 (seis) para as funções <math display="inline">{f}_{1}</math> e <math display="inline">{f}_{2}</math> e a quantidade de rótulas 12 (doze). Já a função <math display="inline">{f}_{3}</math> foram 6 (seis) elementos e 6 (seis) rótulas. Os caminhos da formação das rótulas são apresentados na <span id='cite-_Ref4573319'></span>[[#_Ref4573319|Tabela 21]].
-<span id='_Ref4573319'></span>'''Tabela 21''' - Rótulas plásticas – pórtico espacial - pórtico espacial - Argyris et al.
-{| style="width: 70%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;"
+<div class="center" style="font-size: 75%;">'''Tabela 21'''. Rótulas plásticas – pórtico espacial - pórtico espacial - Argyris et al.
+</div>
+<div id='tab-21'></div>
+{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;font-size:85%;width:auto;"
+|-style="text-align:center"
+!colspan="4" | '''Função''' <math display="inline">{f}_{1}</math>
 |-
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|
+!  '''Elemento''' !! '''Nó'''!! <math>\mathit{\boldsymbol{\lambda }}</math> !! '''Carga limite (kN)'''
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|
-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|função <math display="inline">{f}_{1}</math>
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 |-
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+{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;font-size:85%;width:auto;"
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+!colspan="4" | '''Função''' <math display="inline">{f}_{2}</math>
 |-
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+!  '''Elemento''' !! '''Nó'''!! <math>\mathit{\boldsymbol{\lambda }}</math> !! '''Carga limite (kN)'''
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-|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|função <math display="inline">{f}_{2}</math>
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+!colspan="4" | '''Função''' <math display="inline">{f}_{3}</math>
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+!  '''Elemento''' !! '''Nó'''!! <math>\mathit{\boldsymbol{\lambda }}</math> !! '''Carga limite (kN)'''
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 |-
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 |-
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-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">1</span>
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-|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<math>0,225236</math>
+|  style="text-align: center;vertical-align: center;"|<math>0,225236</math>
 |}
-<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
+{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
- [[Image:Draft_Vieira_908925676-image14-c.png|444px]] </div>
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+|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
+| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 13'''. Gráfico carga versus deslocamento horizontal (<math display="inline">{P}_{y})-n\acute{o}\, 1</math> - pórtico espacial - Argyris et al.
+|}
-<span id='_Ref4573339'></span>'''Figura 13''' - Gráfico carga versus deslocamento horizontal ( <math display="inline">{P}_{y})-n\acute{o}\, 1</math> - pórtico espacial - Argyris et al.
+==4. Conclusões==
-==4 CONCLUSÕES==
 '''* '''As superfícies de escoamento em resultantes de tensões aplicadas para pórticos planos e espaciais obtiveram resultados satisfatórios tendo em vista os exemplos apresentados;
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 '''* '''O processo de formação de rótulas plásticas foi similares para os casos 1 e 2, porém o caso 3 apresentou distinções entre as funções apresentadas com <math display="inline">{f}_{1}</math> e <math display="inline">{f}_{2}</math> similares e diferente para <math display="inline">{f}_{3}</math>. Isto impactou nos resultados das cargas limites e trajetória de deslocamento do caso 3.
-==AGRADECIMENTOS==
+==Agradecimentos==
 À UFOB, CIMNE/UPC, PECC/UnB e a CAPES.
-==REFERÊNCIAS==
+==Referências==
-==5 REFERÊNCIAS==
+<div class="auto" style="text-align: left;width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;font-size: 85%;">
 {| style="width: 100%;"
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-|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|[1]{{nb2}}
+|  style="text-align: left;vertical-align: top;"|[1]
-|  style="vertical-align: top;"|VIEIRA, P. C. S. '''Geração de Superfícies de Interação pelo Método da Regressão Linear Múltipla com o Modelo de Dano em Vigas de Timoshenko 3D. Pub. E.TD- 006A/04'''. Departamento de Engenharia Civil e Ambiental, Universidade de Brasília. Brasília. 2004.
+|  style="vertical-align: top;"|Vieira, P.C.S. Geração de superfícies de interação pelo método da regressão linear múltipla com o modelo de dano em vigas de Timoshenko 3D. Pub. E.TD- 006A/04. Departamento de Engenharia Civil e Ambiental, Universidade de Brasília, Brasília, 2004.
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-|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|[2]{{nb2}}
+|  style="text-align: left;vertical-align: top;"|[2]
-|  style="vertical-align: top;"|HANGANU, A. D. '''Metodologia de Evaluación del Deterioro en Estructuras de Hormigón Armado. Monografia CIMNE nº 39'''. CIMNE, UPC. Barcelona. 1997.
+|  style="vertical-align: top;"|Hanganu, A.D. Metodologia de evaluación del deterioro en estructuras de hormigón armado. Monografia CIMNE nº 39, CIMNE, Barcelona, 1997.
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-|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|[3]{{nb2}}
+|  style="text-align: left;vertical-align: top;"|[3]
-|  style="vertical-align: top;"|LUBLINER, J. '''Plasticity Theory'''. Nova Iorque: Macmillan Publishing Company, 1990.
+|  style="vertical-align: top;"|Lubliner, J. Plasticity theory. Macmillan Publishing Company, Nova Iorque, 1990.
 |-
-|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|[4]{{nb2}}
+|  style="text-align: left;vertical-align: top;"|[4]
-|  style="vertical-align: top;"|MRÁZIK, A.; ÉSKALOUD, M.; TOCHÁÉCEK, M. '''Plastic Design of Steel Structures'''. Nova Iorque: E. Horwood: Halsted Press, 1987.
+|  style="vertical-align: top;"|Mrázik A., Éskaloud M., Tocháécek M. Plastic design of steel structures. E. Horwood: Halsted Press, Nova Iorque, 1987.
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-|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|[5]{{nb2}}
+|  style="text-align: left;vertical-align: top;"|[5]
-|  style="vertical-align: top;"|CRISFIELD, M. A. A Consistent Co-rotational Formulation for Non-linear, Three-dimensional. '''Comp. Methods Appl. Mech. Engrg.''', v. 81, p. 131-150, 1990.
+|  style="vertical-align: top;"|Crisfield, M.A. A consistent co-rotational formulation for non-linear, three-dimensional. Comp. Methods Appl. Mech. Engrg., 81:131-150, 1990.
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-|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|[6]{{nb2}}
+|  style="text-align: left;vertical-align: top;"|[6]
-|  style="vertical-align: top;"|VIEIRA, P. C. S.; SILVA, W. T. M. Análise Elastoplástica de Estruturas Aporticadas com Superfícies de Interação Obtidas por Regressão Linear Múltipla. '''Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería''', v. 3, p. 175–187, 2013.
+|  style="vertical-align: top;"|Vieira P.C.S., Silva W.T.M. Análise elastoplástica de estruturas aporticadas com superfícies de interação obtidas por regressão linear múltipla. Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería, 3:175–187, 2013.
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-|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|[7]{{nb2}}
+|  style="text-align: left;vertical-align: top;"|[7]
-|  style="vertical-align: top;"|MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. '''Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros'''. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
+|  style="vertical-align: top;"|Montgomery D.C., Runger G.C. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. LTC, Rio de Janeiro, 2016.
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-|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|[8]{{nb2}}
+|  style="text-align: left;vertical-align: top;"|[8]
-|  style="vertical-align: top;"|HORNE, M. R. '''Plastic theory of structures'''. 2ª. ed. Oxford: Pergamon Press, 1972.
+|  style="vertical-align: top;"|Horne, M.R. Plastic theory of structures. 2ª ed., Pergamon Press, Oxford, 1972.
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-|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|[9]{{nb2}}
+|  style="text-align: left;vertical-align: top;"|[9]
-|  style="vertical-align: top;"|NEAL, B. G. '''The plastic methods of structural analysis'''. Inglaterra: Chapman and Hall, 1977.
+|  style="vertical-align: top;"|Neal, B.G. The plastic methods of structural analysis. Chapman and Hall, Inglaterra, 1977.
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-|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|[10]{{nb2}}
+|  style="text-align: left;vertical-align: top;"|[10]
-|  style="vertical-align: top;"|SILVA, W. T. M. '''Análise Elastoplástica de Pórticos Espaciais Utilizando o Conceito de Ró-'''. Métodos Computacionais em Engenharia. Lisboa: [s.n.]. 2004.
+|  style="vertical-align: top;"|Silva, W. T. M. Análise elastoplástica de pórticos espaciais utilizando o conceito de rótula plástica e o método de backward Euler. Métodos Computacionais em Engenharia, [s.n.], Lisboa, 2004.
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-|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|[11]{{nb2}}
+|  style="text-align: left;vertical-align: top;"|[11]
-|  style="vertical-align: top;"|THAI, H. T.; KIM, S. E. Nonlinear inelastic analysis of space frames. '''Journal of Constructional Steel Research''', v. 67, p. 585–592, 2011.
+|  style="vertical-align: top;"|Thai H.T., Kim S.E. Nonlinear inelastic analysis of space frames. Journal of Constructional Steel Research, 67:585–592, 2011.
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-|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|[12]{{nb2}}
+|  style="text-align: left;vertical-align: top;"|[12]
-|  style="vertical-align: top;"|ARGYRIS, J. H. et al. Finite Element Analysis of Two and Three-Dimensional Elasto-Plastic Frames - The Natural Approach. '''Comp. Method. in Applied Mechanics and Engineering''', v. 35, p. 221-248, 1982.
+|  style="vertical-align: top;"|Argyris, J.H. et al. Finite element analysis of two and three-dimensional elasto-plastic frames - the natural approach. Comp. Method. in Applied Mechanics and Engineering, 35:221-248, 1982.
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-|  style="text-align: right;vertical-align: top;"|[13]{{nb2}}
+|  style="text-align: left;vertical-align: top;"|[13]
-|  style="vertical-align: top;"|PARK, M. S.; LEE, B. C. Geometrically Non-Linear and Elastoplastic Three-Dimensional Shear Flexible Beam Element of Von-Mises-Type Hardening Material. '''International Journal for Numerical Methods in Engineering''', v. 39, p. 383-408, 1996.
+|  style="vertical-align: top;"|Park M.S., Lee B.C. Geometrically non-linear and elastoplastic three-dimensional shear flexible beam element of von-Mises-type hardening material. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 39:383-408, 1996.
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