Analytical approach for two-plane bending applied to unidirectional composite plates

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<big>'''Aproximación analítica para el cálculo a flexión en dos planos aplicado a placas de composite unidireccional'''</big></div>

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Ugutz Garitaonaindia, Neftalí Carbajal, Miren Isasa, Faustino Mujika</div>

'''RESUMEN:''' En este trabajo se desarrolla un nuevo procedimiento analítico para obtener el campo de desplazamientos de una placa de composite unidireccional sometida a flexión en dos planos. La configuración analizada consiste en una placa plana apoyada en cuatro puntos al que se aplica una fuerza puntual en el centro.

El procedimiento de cálculo está basado en la energía de deformación. Se han considerado tanto los efectos creados por los momentos flectores, los momentos torsores y los esfuerzos cortantes en la placa.

Los resultados obtenidos analíticamente han sido validados comparándolos con la bibliografía existente y con simulaciones numéricas realizadas con el software de elementos finitos ABAQUS. Se han obtenido altas correlaciones para los valores correspondientes a los desplazamientos verticales en diferentes alineaciones de puntos pertenecientes a la placa, sin embargo, no ha ocurrido lo mismo con la distribución de momentos.
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==1. Introducción==

En una amplia gama de aplicaciones de ingeniería, las placas rectangulares delgadas que descansan sobre apoyos tienen una importancia considerable, ya que representan un elemento básico de varios elementos estructurales. Su flexión bajo cargas externas se convierte, por tanto, en un comportamiento mecánico de crucial importancia y, en consecuencia, ha recibido suficiente atención durante muchos años. La investigación continúa porque algunas cuestiones críticas, que buscan soluciones analíticas, todavía no han sido investigadas. El modelo analítico no sólo aporta soluciones precisas, sino que también es muy útil para las directrices de diseño.

Timoshenko y Woinowsky-Krieger [1] analizaron el comportamiento a flexión de placas en diferentes configuraciones de carga y condiciones de contorno.

Recientemente, se han desarrollado también diversos procedimientos matemáticos [2, 3, 4] para analizar la flexión de placas con sus lados o vértices apoyados. De entre ellos, cabe destacar el análisis realizado por Li et al [5] en el que se propone una solución analítica para problemas de flexión estática y de vibración libre de placas delgadas rectangulares.

Además, Mujika et al [6] dedujeron el campo de desplazamiento de una probeta unidireccional sometido a un ensayo de flexión de tres puntos aplicando el segundo teorema de Castigliano y el método de la carga unidad. También fue desarrollado por Mujika [7] un nuevo enfoque para el ensayo de flexión en tres puntos de laminados multidireccionales utilizando la energía de deformación complementaria e incluyendo las fuerzas higrotérmicas.

Por otra parte, se han publicado muchos trabajos analizando los desplazamientos y las tensiones producidas en placas de materiales compuestos con diferentes estados de carga y condiciones de contorno mediante aproximaciones numéricas. La técnica más empleada es el Método de los Elementos Finitos (MEF) [8, 9].

El objetivo de este trabajo es desarrollar un procedimiento analítico para el ensayo de flexión de dos planos, el cual considere los efectos creados por los momentos flectores, los momentos torsores y los esfuerzos cortantes. Este ensayo consiste en una placa apoyada en cuatro puntos al que se aplica una fuerza puntual en el centro. El procedimiento matemático para materiales ortótropos en esta configuración de ensayo no está resuelta actualmente. Se han realizado simulaciones numéricas con el software de elementos finitos ABAQUS para constrastar los resultados analíticos obtenidos.

==2. Configuración del ensayo de flexión en dos planos==

La Figura 1 muestra la configuración del ensayo de flexión en dos planos con una placa rectangular delgada apoyada en cuatro puntos y sometida a una fuerza puntual aplicada en el punto central de la superficie superior de la placa. En verde se muestran los parámetros geométricos correspondientes a las dimensiones de la placa y la distancia entre apoyos, mientras que en rojo se muestran los ejes coordenados, en los que el plano xy coincide con la superficie intermedia de la placa, estando el origen del sistema de coordenadas ubicado en la vertical de un apoyo. La orientación de las fibras del laminado compuesto unidireccional es paralela al eje x.

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 [[Image:Draft_Garitaonaindia_617131291-image1.png|401px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
Figura 1. Configuración del ensayo de flexión de dos planos, dimensiones y sistema coordenado</div>

La Figura 2 muestra el convenio de signos adoptada para los esfuerzos cortantes internos V<sub>q</sub> y V<sub>r</sub> por unidad de longitud, y los momentos de torsión internos M<sub>s</sub> o de flexión M<sub>x</sub> y M<sub>y</sub> por unidad de longitud, en la placa rectangular. La notación utilizada para denotar la fuerza cortante y el momento torsor corresponde a Daniel e Ishai [10], donde el subíndice q corresponde a yz, el subíndice r a zx y el subíndice s a xy.

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 [[Image:Draft_Garitaonaindia_617131291-image2.png|324px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
Figura 2. Convenio de signos utilizado para las fuerzas y momentos internos</div>

El estado general de tensiones en un punto de la placa puede representarse mediante las 9 componentes de tensión que actúan sobre las caras de un cubo elemental con caras perpendiculares a los ejes x, y ''y'' z del sistema de coordenadas mostrado en la Figura 3.

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 [[Image:Draft_Garitaonaindia_617131291-image3.png|306px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
Figura 3. Estado general de tensiones en torno a un punto</div>

Las componentes &#x03c3;<sub>x</sub> y &#x03c3;<sub>y</sub> se denominan tensiones normales en el plano, y &#x03c3;<sub>z </sub>tensión normal fuera del plano. Las tensiones cortantes que actúan en planos perpendiculares se consideran iguales; &#x03c4;<sub>yz</sub> = &#x03c4;<sub>zy</sub> y &#x03c4;<sub>zx</sub> = &#x03c4;<sub>xz</sub>, que se denominan tensiones fuera del plano, mientras que &#x03c4;<sub>xy</sub> = &#x03c4;<sub>yx</sub>= &#x03c4;<sub>s</sub> es la tensión cortante dentro del plano.

==3. Relaciones deformación-tensión==

En la teoría de placas laminadas, se supone &#x03c3;<sub>z</sub> = 0 y &#x03b5;<sub>z</sub> se considera despreciable. La relación entre las deformaciones y las tensiones se puede definir utilizando la siguiente notación matricial:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;" 
|-
| 
{| style="border: 1pt solid black;margin:auto;width: 100%;"
|-
| <math>\left\{ \begin{matrix}{\epsilon }_{x}\\{\epsilon }_{y}\\{\gamma }_{s}\\-\\{\gamma }_{yz}\\{\gamma }_{zx}\end{matrix}\right\} =</math><math>\left[ \begin{matrix}{S}_{11\, \, }\\{S}_{21\, \, }\\0\\-\\0\\0\end{matrix}\begin{matrix}{S}_{12\, \, }\\{S}_{22\, \, }\\0\\-\\0\\0\end{matrix}\begin{matrix}0\\0\, \\{S}_{66}\, \\-\\0\\0\end{matrix}\begin{matrix}\vert \\\vert \\\vert \\\vert \\\vert \\\vert \end{matrix}\begin{matrix}0\\0\\0\\-\\{S}_{44}\\0\end{matrix}\begin{matrix}0\\0\\0\\-\\0\\{S}_{55\, \, }\end{matrix}\right] \left\{ \begin{matrix}{\sigma }_{x}\\{\sigma }_{y}\\{\tau }_{s}\\-\\{\tau }_{yz}\\{\tau }_{zx}\end{matrix}\right\}</math> 
|}
|  style="border: 1pt solid black;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(1)
|}


Donde los coeficientes de flexibilidad en las direcciones principales de la lámina son:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;" 
|-
| 
{| style="border: 1pt solid black;margin:auto;width: 100%;"
|-
| <math>{S}_{11}=\frac{1}{{E}_{1}}\, ;\, {S}_{22}=\frac{1}{{E}_{2}}\, ;\, {S}_{12}={S}_{21}=</math><math>-\frac{{\nu }_{12}}{{E}_{1}}\, ;{S}_{44}=\frac{1}{{G}_{23}}\, ;\, {S}_{55}=\frac{1}{{G}_{13}}\, ;\, {S}_{66}=</math><math>\frac{1}{{G}_{12}}\,</math> 
|}
|  style="border: 1pt solid black;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(2)
|}


==4. Relaciones de las tensiones con los momentos y las fuerzas internas==

La relación entre las tensiones y los momentos flectores y torsores para un material compuesto unidireccional, están recogidas en la ecuación (3).

{| class="formulaSCP" style="width: 100%;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;" 
|-
| 
{| style="border: 1pt solid black;margin:auto;width: 100%;"
|-
| <math>\left\{ \begin{matrix}{\sigma }_{x}\\{\sigma }_{y}\\{\tau }_{s}\end{matrix}\right\} =</math><math>z\frac{12}{{h}^{3}}\left\{ \begin{matrix}{M}_{x}\\{M}_{y}\\{M}_{s}\end{matrix}\right\}</math> 
|}
|  style="border: 1pt solid black;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(3)
|}


Por otra parte, en la ecuación (4) se recogen las relaciones entre las tensiones tangenciales fuera del plano y las fuerzas cortantes:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;" 
|-
| 
{| style="border: 1pt solid black;margin:auto;width: 100%;"
|-
| <math>\left\{ \begin{matrix}{\tau }_{yz}\\{\tau }_{zx}\end{matrix}\right\} =\frac{12}{{h}^{3}}I(z)\left\{ \begin{matrix}{V}_{q}\\{V}_{r}\end{matrix}\right\}</math> 
|}
|  style="border: 1pt solid black;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(4)
|}


Donde ''I(z)'' está definida con la siguiente ecuación:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;" 
|-
| 
{| style="border: 1pt solid black;margin:auto;width: 100%;"
|-
| <math>I(z)=\int_{z}^{h/2}z\, dz=\, \frac{1}{2}\, \left( \frac{{h}^{2}}{4}-{z}^{2}\right)</math> 
|}
|  style="border: 1pt solid black;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(5)
|}


==5. Energía de deformación==

===5.1. Energía de deformación debida al momento flector y al momento torsor===

La energía de deformación debida a los momentos de flectores y torsores es:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;" 
|-
| 
{| style="border: 1pt solid black;margin:auto;width: 100%;"
|-
| <math>{U}_{M}=\frac{12}{{h}^{3}}\, \left[ \begin{matrix}2{S}_{11}\int_{0}^{{L}_{x1}}\int_{{L}_{y1}-{L}_{y1}^{'}}^{{L}_{y1}}{M}_{x}^{2}\, dx\, dy\, +\\2{S}_{22}\int_{{L}_{x1}-{L}_{x1}^{'}}^{{L}_{x1}}\int_{0}^{{L}_{y1}}{M}_{y}^{2}\, dx\, dy\, +\\2{S}_{66}\int_{0}^{{L}_{x1}}\int_{0}^{{L}_{y1}}{M}_{s}^{2}\, dx\, dy\, +\\2{S}_{12}\int_{0}^{{L}_{x1}}\int_{0}^{{L}_{y1}}{M}_{x}{M}_{y}\, dx\, dy\, \end{matrix}\right]</math> 
|}
|  style="border: 1pt solid black;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(6)
|}


Donde se han utilizado las siguientes notaciones:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;" 
|-
| 
{| style="border: 1pt solid black;margin:auto;width: 100%;"
|-
| <math>{L}_{x1}=\frac{{L}_{x}}{2};\, {L}_{y1}=\frac{{L}_{y}}{2};{L}_{x1}^{'}=\frac{{L}_{x1}^{'}}{2};{L}_{y1}^{'}=</math><math>\frac{{L}_{y1}^{'}}{2}\,</math> 
|}
|  style="border: 1pt solid black;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(7)
|}


===5.2. Energía de deformación debida al esfuerzo cortante===

La energía de deformación debida al esfuerzo cortante fuera del plano es:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;" 
|-
| 
{| style="border: 1pt solid black;margin:auto;width: 100%;"
|-
| <math>{U}_{V}=\frac{6}{5\, h}\, \left[ {2S}_{44}\int_{{L}_{x1}-{L}_{x1}^{'}}^{{L}_{x1}}\int_{0}^{{L}_{y1}}{V}_{q}^{2}\, dx\, dy\, +\right. </math><math>\left. {2S}_{55}\int_{0}^{{L}_{x1}}\int_{{L}_{y1}-{L}_{y1}^{'}}^{{L}_{y1}}{V}_{r}^{2}\, dx\, dy\, \right]</math> 
|}
|  style="border: 1pt solid black;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(8)
|}


==6. Segundo teorema de Castigliano y método de la carga unidad==

Se supone que la placa forma un cuerpo elástico lineal sobre el que actúa un sistema de cargas concentradas independientes P1,...,Pn, mantenido en equilibrio por los cuatro apoyos. Según el segundo teorema de Castigliano, la componente de desplazamiento generalizada &#x03b4;<sub>k</sub> en el punto de aplicación de la carga generalizada P<sub>k</sub> en la dirección de dicha carga es [11]:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;" 
|-
| 
{| style="border: 1pt solid black;margin:auto;width: 100%;"
|-
| <math>\frac{\partial U}{\partial {P}_{k}}={\delta }_{k}</math>
|}
|  style="border: 1pt solid black;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(9)
|}


Utilizando la ecuación (15), la derivada con respecto a P<sub>k</sub> de la energía de deformación debida a la flexión y a la torsión es:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;" 
|-
| 
{| style="border: 1pt solid black;margin:auto;width: 100%;"
|-
| <math>{\delta }_{k}=\frac{\partial {U}_{M}}{\partial {P}_{k}}=\frac{12}{{h}^{3}}\left[ \begin{matrix}4{S}_{11}\int_{0}^{{L}_{x1}}\int_{{L}_{y1}-{L}_{y1}^{'}}^{{L}_{y1}}{M}_{x}\frac{\partial {M}_{x}}{\partial {P}_{k}}dxdy\, +\\4{S}_{22}\int_{{L}_{x1}-{L}_{x1}^{'}}^{{L}_{x1}}\int_{0}^{{L}_{y1}}{M}_{y}\frac{\partial {M}_{y}}{\partial {P}_{k}}dxdy\, +\\4{S}_{66}\int_{0}^{{L}_{x1}}\int_{0}^{{L}_{y1}}{M}_{s}\frac{\partial {M}_{s}}{\partial {P}_{k}}dxdy\, +\\4{S}_{12}\int_{0}^{{L}_{x1}}\int_{0}^{{L}_{y1}}\left( {\frac{\partial {M}_{x}}{\partial {P}_{k}}M}_{y}+{M}_{x}\frac{\partial {M}_{y}}{\partial {P}_{k}}\right) dxdy\, \end{matrix}\right]</math> 
|}
|  style="border: 1pt solid black;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(10)
|}


Análogamente, basándonos en la ecuación (8) la derivada de la energía de deformación debida al esfuerzo cortante fuera del plano con respecto a la carga generalizada P<sub>k</sub> es:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;" 
|-
| 
{| style="border: 1pt solid black;margin:auto;width: 100%;"
|-
| <math>{\delta }_{k}=\frac{\partial {U}_{V}}{\partial {P}_{k}}=\frac{6}{5h}\left[ \begin{matrix}4{S}_{44}\int_{{L}_{x1}-{L}_{x1}^{'}}^{{L}_{x1}}\int_{0}^{{L}_{y1}}{V}_{q}\frac{\partial {V}_{q}}{\partial {P}_{k}}dxdy+\\4{S}_{55}\int_{0}^{{L}_{x1}}\int_{{L}_{y1}-{L}_{y1}^{'}}^{{L}_{y1}}{V}_{r}\frac{\partial {V}_{r}}{\partial {P}_{k}}dxdy\, \end{matrix}\right]</math> 
|}
|  style="border: 1pt solid black;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(11)
|}


La placa rectangular apoyada en cuatro soportes es una estructura hiperestática. Para determinar las fuerzas de reacción que se producen en los apoyos al aplicar la carga unidad, se hará de tal forma que sea posible deducir las fuerzas de reacción producidas en los apoyos aplicando simetría. Cada fuerza estará situada a la misma distancia variable x<sub>1</sub> e y<sub>1</sub> con respecto a su apoyo más próximo.

Aplicando el método de la carga unidad se obtiene la expresión para calcular el desplazamiento vertical de cualquier punto de la placa debida a momentos flectores y torsores:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;" 
|-
| 
{| style="border: 1pt solid black;margin:auto;width: 100%;"
|-
| <math>{w}_{M1}\left( {x}_{1},{y}_{1}\right) =\frac{P}{{h}^{3}}\left[ \frac{1}{{E}_{1}\, {L}_{y}^{'}}\left[ 3\, {\, L}_{x1}^{2}{\, x}_{1}-\right. \right. </math><math>\left. \left. {x}_{1}^{3}\right] +\frac{1}{{E}_{2}\, {L}_{x}^{'}}\left[ 3\, {\, L}_{y1}^{2}{\, y}_{1}-\right. \right. </math><math>\left. \left. {y}_{1}^{3}\right] \right] -</math>

<math>\frac{3\, P\, {\nu }_{12}}{{h}^{3}{\, E}_{1}{\, L}_{x}^{'}\, {L}_{y}^{'}}\left[ {L}_{x1}^{2}\, \left[ 2\, {L}_{y1}{\, y}_{1}-\right. \right. </math><math>\left. \left. {y}_{1}^{2}\right] +{L}_{y1}^{2}\, \left[ 2\, {L}_{x1}{\, x}_{1}-{x}_{1}^{2}\right] \right]</math> 
|}
|  style="border: 1pt solid black;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(12)
|}


Análogamente, se obtiene la expresión para determinar el desplazamiento vertical debido a los esfuerzos cortantes fuera del plano:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;" 
|-
| 
{| style="border: 1pt solid black;margin:auto;width: 100%;"
|-
| <math>{w}_{V1}\left( {x}_{1},{y}_{1}\right) =\frac{3\, P}{5\, h}\left[ \frac{{y}_{1}}{{G}_{23}{\, L}_{x}^{'}}+\right. </math><math>\left. \frac{{x}_{1}}{{G}_{12}\, {L}_{y}^{'}}\right]</math> 
|}
|  style="border: 1pt solid black;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(13)
|}


Con el fin de analizar la posibilidad de obtener unos valores de desplazamientos más próximos a los valores obtenidos mediante simulación numérica y trabajos similares publicados en la literatura científica, se han calculado unas nuevas expresiones de momentos flectores internos utilizando para ello la curvatura de la placa en direcciones x e y. Obteniendo la siguiente expresión para el desplazamiento vertical de cualquier punto de la placa debido a momentos flectores y torsores:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;" 
|-
| 
{| style="border: 1pt solid black;margin:auto;width: 100%;"
|-
| <math>{w}_{M2}\left( x,y\right) =\frac{6}{{h}^{3}}\frac{P~f}{{E}_{x}~{L}_{x}^{'}~{L}_{y}^{'}}\left[ \left( -1+\right. \right. </math><math>\left. \left. {\nu }_{xy}{\nu }_{yx}\frac{{L}_{y}}{{L}_{y}^{'}}\right) \frac{{L}_{x}^{'}}{6}{\left( {x}_{1}\right) }^{3}+\right. </math><math>\left. \left( \frac{1}{8}{\nu }_{xy}{\left( {L}_{y}^{'}\right) }^{2}-\frac{1}{4}{\nu }_{xy}{L}_{y}^{'}{L}_{y}+\right. \right. </math><math>\left. \left. \frac{1}{4}{\nu }_{xy}{L}_{y}^{2}+\frac{1}{8}{\nu }_{xy}{{\nu }_{yx}L}_{x}^{2}-\right. \right. </math><math>\left. \left. \frac{1}{8}{\nu }_{xy}^{2}{\nu }_{yx}\frac{{L}_{y}^{3}}{{L}_{y}^{'}}-\right. \right. </math><math>\left. \left. \frac{1}{8}{\nu }_{xy}{\nu }_{yx}\frac{{L}_{x}^{2}~{L}_{y}}{{L}_{y}^{'}}\right) {\left( {x}_{1}\right) }^{2}+\right. </math><math>\left. \left( -\frac{1}{8}{\nu }_{xy}~{L}_{x}{\left( {L}_{y}^{'}\right) }^{2}+\frac{1}{4}{\nu }_{xy}~{L}_{x}~{L}_{y}{~L}_{y}^{'}-\right. \right. </math><math>\left. \left. \frac{1}{4}{\nu }_{xy}~{L}_{x}{~L}_{y}^{2}-\frac{1}{8}{\nu }_{xy}{{\nu }_{yx}L}_{x}^{3}+\right. \right. </math><math>\left. \left. \frac{1}{8}{~L}_{x}^{'}{~L}_{x}^{2}-\frac{1}{8}{\nu }_{xy}{\nu }_{yx}\frac{{~L}_{x}^{'}~{~L}_{x}^{2}~{L}_{y}}{{L}_{y}^{'}}+\right. \right. </math><math>\left. \left. \frac{1}{8}{\nu }_{xy}^{2}{\nu }_{yx}\frac{{L}_{y}^{3}{L}_{x}}{{L}_{y}^{'}}+\right. \right. </math><math>\left. \left. \frac{1}{8}{\nu }_{xy}{\nu }_{yx}\frac{{~L}_{x}^{3}~{L}_{y}}{{L}_{y}^{'}}\right) {x}_{1}+\right. </math><math>\left. \left( -\frac{1}{{\nu }_{yx}}+{\nu }_{xy}\frac{{L}_{x}}{{L}_{x}^{'}}\right) \frac{{\nu }_{xy}~{L}_{y}^{'}}{6}{\left( {y}_{1}\right) }^{3}+\right. </math><math>\left. \left( \frac{1}{8}{\nu }_{xy}{\left( {L}_{x}^{'}\right) }^{2}-\frac{1}{4}{\nu }_{xy}{{L}_{x}~L}_{x}^{'}+\right. \right. </math><math>\left. \left. \frac{1}{8}{\nu }_{xy}^{2}{L}_{y}^{2}+\frac{1}{4}{\nu }_{xy}{L}_{x}^{2}-\right. \right. </math><math>\left. \left. \frac{1}{8}{\nu }_{xy}^{2}\frac{{L}_{y}^{2}~{L}_{x}}{{L}_{x}^{'}}-\right. \right. </math><math>\left. \left. \frac{1}{8}{\nu }_{xy}^{2}~{\nu }_{yx}\frac{{L}_{x}^{3}~}{{L}_{x}^{'}}\right) {\left( {y}_{1}\right) }^{2}+\right. </math><math>\left. \left( \frac{1}{8}\frac{{\nu }_{xy}}{{\nu }_{yx}}~{~L}_{y}^{'}~{~L}_{y}^{2}-\right. \right. </math><math>\left. \left. \frac{1}{8}{\nu }_{xy}~{\left( {L}_{x}^{'}\right) }^{2}{L}_{y}+\frac{1}{4}{\nu }_{xy}~{~L}_{x}^{'}~{L}_{x}~{L}_{y}-\right. \right. </math><math>\left. \left. \frac{1}{8}~{\nu }_{xy}^{2}~{L}_{y}^{3}-\frac{1}{4}{\nu }_{xy}{~L}_{x}^{2}~{L}_{y}-\right. \right. </math><math>\left. \left. \frac{1}{8}{\nu }_{xy}^{2}\frac{{~L}_{y}^{'}~~{L}_{x}{~L}_{y}^{2}}{{L}_{x}^{'}}+\right. \right. </math><math>\left. \left. \frac{1}{8}{\nu }_{xy}^{2}\frac{{L}_{y}^{3}{L}_{x}}{{L}_{x}^{'}}+\frac{1}{8}{\nu }_{xy}^{2}{\nu }_{yx}\frac{{~L}_{x}^{3}~{L}_{y}}{{L}_{x}^{'}}\right) {y}_{1}\right]</math> 
|}
|  style="border: 1pt solid black;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(14)
|}


==7. Discusión==

Utilizando las expresiones matemáticas obtenidas en los apartados anteriores, se han calculado los desplazamientos verticales en alineaciones de la placa en direcciones paralelas al eje x, coincidente con la dirección de la fibra, y también en alineaciones paralelas al eje y, es decir, en dirección perpendicular a la fibra.

Por otra parte, se ha modelizado dicha placa con dimensiones de L’<sub>x</sub>=L’<sub>y</sub>=50 mm de lado y h=2 mm de espesor, en el que se han modelizado 12 capas, con el programa de elementos finitos ABAQUS, utilizando elementos Shell del tipo S4R, con un tamaño de elemento de 1/50 del lado de la placa. Los apoyos se encuentran a una distancia de L<sub>x</sub>=L<sub>y</sub>=40 mm y el material composite unidireccional utilizado ha sido AS4/3501-6 [10], con las siguientes propiedades: E<sub>1</sub>=147 GPa, E<sub>2</sub>= E<sub>3</sub>=10,3 GPa, G<sub>12</sub>= G<sub>13</sub>=7 GPa, G<sub>23</sub>=3,7 GPa, &#x03bd;<sub>12</sub>= &#x03bd;<sub>13</sub>=0,27 y &#x03bd;<sub>23</sub>=0,54.

En la Figura 4 se muestra la distribución de desplazamientos verticales en la alineación paralela al eje x a una distancia y=0,2Ly.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 [[Image:Draft_Garitaonaindia_617131291-image4.png|438px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
Figura 4. Distribución de desplazamiento vertical en una alineación paralela al eje x, a distancia y = 0,2Ly</div>

En la <span id='cite-_Ref121504574'></span>[[#_Ref121504574|Tabla 1]] se incluyen los valores numéricos del desplazamiento en la alineación y=0,2Ly cada 5 milímetros para la mitad de la placa, obtenidos mediante simulación numérica y mediante las dos aproximaciones analíticas deducidas. En las dos últimas columnas se indica el error existente entre los resultados obtenidos mediante Abaqus y la segunda aproximación analítica y entre ambas aproximaciones analíticas.

{| style="width: 88%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;" 
|-
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|Posición x (mm)
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|Abaqus (mm)
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|Analítico w1 (mm)
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|Analítico w2 (mm)
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|Err. (Ab-w2) (%)
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|Err. (w2-w1) (%)
|-
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-5
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0,755707
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0,738913
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0,750243
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0,73%
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|1,51%
|-
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0,779639
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0,766705
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0,777874
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0,23%
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|1,44%
|-
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|5
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0,80444
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0,796426
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0,807595
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0,39%
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|1,38%
|-
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|10
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0,826388
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0,823611
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0,834870
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|1,02%
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|1,35%
|-
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|15
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0,841422
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0,843795
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0,855161
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|1,61%
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|1,33%
|-
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|20
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0,846727
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0,852515
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|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|1,99%
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|1,32%
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<div id="_Ref121504574" class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
Tabla 1. Valores numéricos del desplazamiento vertical en la alineación y=0,2Ly</div>

Analizando la distribución de desplazamientos representada en la Figura 4 y los resultados mostrados en la Tabla 1, se observa una alta correlación entre los desplazamientos obtenidos por aproximaciones analíticas y simulaciones numéricas.

Por el contrario, tras analizar la distribución de los momentos flectores mediante aproximación analítica y por simulación numérica, éstas no han reproducido la similitud obtenida con los desplazamientos.

==8. Conclusiones==

Se ha desarrollado un nuevo procedimiento para caracterizar el comportamiento de laminados composites unidireccionales.

La correlación entre los resultados obtenidos para los desplazamientos verticales de forma analítica y numérica ha sido alta, aunque la segunda iteración realizada para obtener nuevos valores de desplazamiento no ha mostrado resultados significativamente mejores que aquellos obtenidos en la primera iteración.

En lo que respecta a la distribución y valores obtenidos para los momentos flectores, aunque en cierto caso exista buena correlación entre los valores obtenidos mediante aproximación analítica y simulación numérica, no se reproduce para todas las alineaciones.

==Agradecimientos==

Los autores agradecen a la Universidad del País Vasco (UPV/EHU) la financiación del Grupo de Investigación Mecánica de Materiales GIU 21/015 en la convocatoria de 2021.

==Bibliografía==

{| style="width: 100%;" 
|-
|  style="vertical-align: top;"|[1] 
|  style="vertical-align: top;"|S. Timoshenko y S. Woinowsky-Krieger, Theory of plates and shells, New York: McGraw-Hill, 1959. 
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|  style="vertical-align: top;"|[2] 
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|  style="vertical-align: top;"|[3] 
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|  style="vertical-align: top;"|[4] 
|  style="vertical-align: top;"|R. Li, P. Wang, Y. Tian, B. Wang y G. Li, «A unified analytic solution approach to static bendig and free vibration problems of rectangular thin plates,» ''Scientific Reports, ''nº 5, pp. 1-12, 2015. 
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|  style="vertical-align: top;"|R. Li, Y. Zhong y B. Tian, «On new symplectic superposition method for exact bending solutions of rectangular cantilever thin plates,» ''Mech. Res. Commun., ''nº 38, pp. 111-116, 2011. 
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|  style="vertical-align: top;"|[6] 
|  style="vertical-align: top;"|F. Mujika y I. Mondragon, «On the displacement field for unidirectional off-axis composites in 3-point flexure - Part 1: Analytical approach,» ''Journal of Composite Materials, ''nº 37, pp. 1041-1066, 2003. 
|-
|  style="vertical-align: top;"|[7] 
|  style="vertical-align: top;"|F. Mujika, «A novel approach for the three-point flexure test of multidirectional laminates,» ''Journal of Composite Materials, ''nº 46, pp. 259-274, 2012. 
|-
|  style="vertical-align: top;"|[8] 
|  style="vertical-align: top;"|J. Zhang, S. Liu, S. Ullah y Y. Gao, «Analytical bending solutions of thin plates with two adjacent edges free and the others clamped or simply supported using finite integral transform method,» ''Computational & Applied Mathematics, ''vol. 39, nº 4, p. 266, 2020. 
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|  style="vertical-align: top;"|[9] 
|  style="vertical-align: top;"|X. Zheng, Z. Ni, D. Xu, Z. Wang, M. Liu, Y. Li, J. Du y R. Li, «New analytic buckling solutions of non-Levy-type cylindrical panels within the symplectic framework,» ''Applied Mathematical Modelling, ''vol. 98, pp. 398-514, 2021. 
|-
|  style="vertical-align: top;"|[10] 
|  style="vertical-align: top;"|I. Daniel y O. Ishai, Engineering mechanics of composite materials, New York: Oxford University Press, 2006. 
|-
|  style="vertical-align: top;"|[11] 
|  style="vertical-align: top;"|I. H. Shames y C. L. Dym, Energy and Finite Element Methods in Structural Mechanics, New York: Taylor & Francis, 2017. 
|}