Application of generalized integral and conformal transforms on the solution of a problem of laminar forced convection inside annular sector ducts

==Resumo==

Este trabalho descreve uma solução híbrida analítico‐numérica aplicando a técnica da transformada integral generalizada (TTIG) na transferência de calor por convecção forçada de um escoamento laminar fluido dinamicamente desenvolvido e termicamente em desenvolvimento de um fluido ''Newtoniano''  em dutos de seção transversal com formato de setor de anel circular sob condições de contorno de ''Dirichlet'' , considerando um perfil de temperatura uniforme na entrada. Para facilitar o tratamento analítico e a aplicação das condições de contorno uma transformação conforme foi utilizada, visando alterar o domínio para um sistema de coordenadas mais apropriado. Feito isso, a TTIG foi aplicada na equação da energia para obtenção do campo de temperatura. Os resultados numéricos foram obtidos para parâmetros térmicos de interesse, tais como: temperatura média de mistura, números de ''Nusselt''  local e médio e comprimento de entrada térmica. Estes resultados foram comparados, quando possível, com os valores disponíveis na literatura e apresentaram uma ótima concordância.

==Abstract==

This work describes a hybrid analytical‐numerical solution employing the Generalized Integral Transform Technique (GITT) to forced convection heat transfer in hydrodynamically fully developed and thermally non‐developed Newtonian laminar flow inside annular sector ducts under Dirichlet boundary conditions, considering uniform temperature entrance profile. In order to facilitate the analytical treatment and the application of the boundary conditions, a Conformal Transform was utilized to change the domain into a more suitable coordinate system. Thereafter, the GITT was applied on the energy equation to obtain the temperature field. Numerical results were obtained for quantities of practical interest, such as bulk mean temperature, local and average Nusselt number, and thermal entry length. These results were compared, as much as possible, with the parameter values available in the literature and they presented a good agreement.

==Palavras‐chave==

Transformada integral ; Transformação conforme ; Convecção forçada ; Escoamento laminar ; Setor de anel circular

==Keywords==

Integral transform ; Conformal transform ; Forced convection ; Laminar flow ; Annular sector

==1. Introdução==

Processos de transferência de calor para escoamento interno de fluidos em dutos representam uma classe de problemas difusivo‐convectivos de grande interesse na engenharia. Na concepção de um equipamento, dutos de seção transversal circular são largamente empregados em razão da sua simplicidade construtiva. Desta forma, inúmeros trabalhos e investigações relacionados com esta classe de problemas já foram realizados e uma vasta documentação é encontrada na literatura [[#bib0165|[1]]] , [[#bib0170|[2]]]  and [[#bib0175|[3]]] . Por sua vez, o escoamento de fluidos em dutos que apresentam seção transversal de geometria não convencional encontra aplicações mais restritas, porém, do ponto de vista analítico‐numérico, estes problemas sempre despertam ampla atenção, pois, devido à sua maior complexidade, a busca de soluções fomenta o desenvolvimento de novas metodologias e a construção de novas ferramentas computacionais.      

Neste contexto, o presente trabalho trata do cálculo de parâmetros térmicos da transferência de calor por convecção forçada para o problema de escoamento laminar de fluidos ''Newtonianos''  em regime permanente, termicamente em desenvolvimento, com perfil de temperatura de entrada uniforme e submetido a condições de contorno do primeiro tipo (condições de ''Dirichlet'' ), em dutos de seção transversal com formato de setor de anel circular.      

Geralmente, problemas com essa geometria são resolvidos utilizando‐se do sistema de coordenadas cilíndricas. Entretanto, para facilitar o tratamento analítico, utiliza‐se uma transformação conforme apropriada, com o objetivo de transformar o domínio original em um retângulo no novo sistema de coordenadas. Além de facilitar a aplicação das condições de contorno, esta transformação permite escrever a equação diferencial da energia de forma mais simples. Para a obtenção do campo de temperatura do escoamento aplica‐se a técnica da transformada integral generalizada (TTIG) [[#bib0180|[4]]] , pois, para este caso, a equação diferencial parcial (EDP) da equação da energia é transformada em um sistema de equações diferenciais ordinárias (EDO) de primeira ordem, que é de fácil solução. Este procedimento vem sendo aplicado com sucesso para a obtenção da solução híbrida analítico‐numérica de problemas difusivos e difusivo‐convectivos com geometrias convencionais e não convencionais [[#bib0185|[5]]] , [[#bib0190|[6]]] , [[#bib0195|[7]]] , [[#bib0200|[8]]] , [[#bib0205|[9]]] , [[#bib0210|[10]]] , [[#bib0215|[11]]] , [[#bib0220|[12]]] , [[#bib0225|[13]]] , [[#bib0230|[14]]] , [[#bib0235|[15]]] , [[#bib0240|[16]]] , [[#bib0245|[17]]] , [[#bib0250|[18]]] , [[#bib0255|[19]]] , [[#bib0260|[20]]] , [[#bib0265|[21]]] , [[#bib0270|[22]]] , [[#bib0275|[23]]] , [[#bib0280|[24]]]  and [[#bib0285|[25]]] .      

==2. Modelagem matemática==

Para a formulação do problema considera‐se o escoamento laminar de fluidos ''Newtonianos''  em regime permanente, termicamente não desenvolvido, com perfil de temperatura de entrada uniforme e temperatura prescrita na parede. Além disso, considera‐se ainda que as propriedades do fluido permanecem constantes em todo o domínio e que os efeitos da dissipação viscosa e da condução axial são desprezíveis. Desta forma, a equação da energia é expressa por:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>\begin{array}{l}\displaystyle \rho c_pw\left(x,y\right)\frac{\partial T\left(x,y,z\right)}{\partial z}=k\left[\frac{\partial ^2T}{\partial x^2}\left(x,y,z\right)+\frac{\partial ^2T}{\partial y^2}\left(x,y,z\right)\right]\\\displaystyle \mbox{ }\left\{\left(x,y\right)\in \Omega ,\mbox{ }z>0\right\}\end{array}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 1)
|}

sendo que, ''ρ''  é a massa específica, ''c''<sub>''p''</sub>  é o calor específico a pressão constante, ''k''  é condutividade térmica, ''w''  é a velocidade, ''T''  é a temperatura e ''Γ''  e ''Ω''  são o contorno e o domínio, respectivamente, da seção transversal do duto analisado, conforme ilustrado na  [[#fig0005|figura 1]] .

<span id='fig0005'></span>

{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; max-width: 100%;" 
|-
|


[[Image:draft_Content_112439378-1-s2.0-S0213131515000577-gr1.jpg|center|263px|Geometria original do problema.]]


|-
| <span style="text-align: center; font-size: 75%;">

Figura 1.

Geometria original do problema.

</span>
|}

As condições de entrada e de contorno são dadas por:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>T\left(x,y,z\right)=T_0,\mbox{ }\left\{\left(x,y\right)\in \Omega ,\mbox{ }z=0\right\}\mbox{,}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 2)
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>T\left(x,y,z\right)=T_P,\mbox{ }\left\{\left(x,y\right)\in \Gamma ,\mbox{ }z>0\right\}\mbox{.}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 3)
|}

sendo que, ''T''<sub>0</sub>  é a temperatura da entrada e ''T''<sub>''P''</sub>  é a temperatura da parede do duto.      

O perfil de velocidade <math display="inline">w\left(x,y\right)</math>  do escoamento no interior do duto de setor de anel circular é obtido através da TTIG, conforme apresentado detalhadamente em [[#bib0290|[26]]] .      

===2.1. Adimensionalização===

O potencial temperatura e os demais parâmetros físicos e geométricos foram adimensionalizados por:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>\theta \left(X,Y,Z\right)=\frac{T\left(X,Y,Z\right)-T_P}{T_0-T_P}\mbox{,}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 4)
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>X=\frac{x}{D_h}\mbox{,}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 5)
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>Y=\frac{y}{D_h}\mbox{,}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 6)
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>Z=\frac{z}{D_hPe}\mbox{,}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 7)
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>D_h=\frac{4A_S}{Per}\mbox{,}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 8)
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>W\left(X,Y\right)=\frac{w\left(x,y\right)}{w_{m\acute{e}d}}\mbox{,}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 9)
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>Pe=\frac{\rho c_pw_{m\acute{e}d}D_h}{k}\mbox{.}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 10)
|}

sendo que, ''D''<sub>''h''</sub>  é o diâmetro hidráulico, ''Pe''  é o número de ''Pèclet'' , ''A''<sub>''S''</sub>  é a área da seção transversal, ''Per''  é o perímetro do contorno analisado e ''w''<sub>''méd''</sub>  é a velocidade média do fluido.      

Dessa forma, a equação da energia pode ser reescrita na forma adimensional, como:

<span id='eq0035'></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>W\left(X,Y\right)\frac{\partial \theta \left(X,Y,Z\right)}{\partial Z}=\frac{\partial ^2\theta \left(X,Y,Z\right)}{\partial X^2}+\frac{\partial ^2\theta \left(X,Y,Z\right)}{\partial Y^2}\mbox{,}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 11)
|}

E as condições de entrada e de contorno adimensionalizadas são:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>\theta \left(X,Y,Z\right)=1,\mbox{ }\left\{\left(X,Y\right)\in \Omega ,\mbox{ }Z=0\right\}\mbox{,}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 12)
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>\theta \left(X,Y,Z\right)=0,\mbox{ }\left\{\left(X,Y\right)\in \Gamma ,\mbox{ }Z>0\right\}\mbox{.}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 13)
|}

===2.2. Transformação de coordenadas===

Para facilitar o tratamento analítico do problema considera‐se a seguinte transformação conforme:

<span id='eq0050'></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>Z=R_ee^{i\omega }\mbox{,}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 14)
|}

sendo que, <math display="inline">R_e=r_e/D_h</math> , ''Z''  = ''X''  + ''iY  ''  e <math display="inline">\omega =u+iv</math> .      

Esta relação permite transformar o domínio do setor de anel circular no plano (''X'' ,''Y'' ) em um domínio retangular no plano (''u'' ,''v'' ) conforme ilustrado na  [[#fig0010|figura 2]] .

<span id='fig0010'></span>

{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; max-width: 100%;" 
|-
|


[[Image:draft_Content_112439378-1-s2.0-S0213131515000577-gr2.jpg|center|391px|Transformação do domínio de setor de anel circular no plano (X,Y) para o plano ...]]


|-
| <span style="text-align: center; font-size: 75%;">

Figura 2.

Transformação do domínio de setor de anel circular no plano (''X,Y'' ) para o plano (''u,v'' ).                  

</span>
|}

As relações de transformação de coordenadas são dadas por:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>X=R_ee^{-v}cos\left(u\right)\mbox{,}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 15)
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>Y=R_ee^{-v}sen\left(u\right)\mbox{.}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 16)
|}

A transformação conforme dada pela equação [[#eq0050|(14)]]  satisfaz as condições de ''Cauchy‐Riemann'' . Portanto, os coeficientes métricos ''h''<sub>''u''</sub> , ''h''<sub>''v''</sub>  e o Jacobiano ''J'' (''u,v'' ) desta transformação são dados por:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>h_u\left(u,v\right)=h_v\left(u,v\right)=\sqrt{\left(\frac{\partial X}{\partial u}\right)^2+\left(\frac{\partial Y}{\partial u}\right)^2}=R_ee^{-v}\mbox{,}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 17)
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>J\left(u,v\right)=\frac{\partial \left(X,Y\right)}{\partial \left(u,v\right)}=R_e^2e^{-2v}\mbox{.}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 18)
|}

Como pode ser observado, o arco externo do setor de anel é dado pela reta ''v''  = 0 no novo sistema de coordenadas e o arco interno pela reta ''v '' = ''v''<sub>0</sub> , com ''v''<sub>0</sub>  = ''ln''  (''r''<sub>''e''</sub> /''r''<sub>''i''</sub> ). A coordenada ''u''  corresponde com a definição dada para o ângulo '''Θ'''  do sistema de coordenadas cilíndricas.      

Com isso, a equação da energia, equação [[#eq0035|(11)]] , reescrita no novo sistema de coordenadas gerado pela transformação conforme é expressa por:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>H\left(u,v\right)\frac{\partial \theta \left(u,v,Z\right)}{\partial Z}=\frac{\partial ^2\theta \left(u,v,Z\right)}{\partial u^2}+\frac{\partial ^2\theta \left(u,v,Z\right)}{\partial v^2}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 19)
|}

sendo que,

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>H\left(u,v\right)=J\left(u,v\right)W\left(u,v\right)\mbox{.}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 20)
|}

As condições de entrada e de contorno neste novo sistema de coordenadas são dadas por:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>\theta \left(u,v,Z\right)=1,\mbox{ }\left\{\left(u,v\right)\in \Omega ,\mbox{ }Z=0\right\}\mbox{,}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 21)
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>\theta \left(u,v,Z\right)=0,\mbox{ }\left\{u=0,\mbox{ }0<v<v_0,\mbox{ }Z>0\right\}\mbox{,}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 22)
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>\theta \left(u,v,Z\right)=0,\mbox{ }\left\{u=u_0,\mbox{ }0<v<v_0,\mbox{ }Z>0\right\}\mbox{,}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 23)
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>\theta \left(u,v,Z\right)=0,\mbox{ }\left\{0<u<u_0,\mbox{ }v=0,\mbox{ }Z>0\right\}\mbox{,}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 24)
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>\theta \left(u,v,Z\right)=0,\mbox{ }\left\{0<u<u_0,\mbox{ }v=v_0,\mbox{ }Z>0\right\}\mbox{.}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 25)
|}

===2.3. Aplicação da técnica da transformada integral generalizada===

Para a solução da equação da energia no novo sistema de coordenadas aplica‐se a TTIG que, na sua essência, procederá à remoção das derivadas parciais de segunda ordem. Para esta finalidade, o potencial θ(''u,v,Z'' ) é escrito em termos de uma expansão em autofunções normalizadas obtidas de problemas auxiliares de autovalor para cada coordenada espacial. Neste sentido, consideram‐se os seguintes problemas auxiliares de autovalor:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>\frac{d^2\psi \left(u\right)}{du^2}+\mu ^2\psi \left(u\right)=0,\mbox{ }\left\{0\leq u\leq u_0\right\}\mbox{,}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 26)
|}

com:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>\psi \left(u\right)=0,\mbox{ }\left\{u=0\right\}\mbox{,}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 27)
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>\psi \left(u\right)=0,\mbox{ }\left\{u=u_o\right\}\mbox{.}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 28)
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>\frac{d^2\phi \left(v\right)}{dv^2}+\lambda ^2\phi \left(v\right)=0,\mbox{ }\left\{0\leq v\leq v_0\right\}\mbox{,}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 29)
|}

com:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>\phi \left(v\right)=0,\mbox{ }\left\{v=0\right\}\mbox{,}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 30)
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>\phi \left(v\right)=0,\mbox{ }\left\{v=v_0\right\}\mbox{.}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 31)
|}

Os autovalores e as autofunções associados a estes problemas são dados, respectivamente, por:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>\mu _i=\frac{i\pi }{u_0},\mbox{ }i=1,2,3...\mbox{,}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 32)
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>\psi _i\left(u\right)=sen\left(\mu _iu\right)\mbox{,}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 33)
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>\lambda _m=\frac{m\pi }{v_0},\mbox{ }m=1,2,3....\mbox{,}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 34)
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>\phi _m\left(v\right)=cos\left(\lambda _mv\right)\mbox{.}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 35)
|}

As autofunções acima definidas são ortogonais que permitem o desenvolvimento do seguinte par transformada‐inversa:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>\begin{array}{l}\displaystyle \tilde{\overline{\theta }}_{im}\left(Z\right)=\int _0^{v_0}\int _0^{u_0}K_i\left(u\right)Z_m\left(v\right)\theta \left(u,v,Z\right)du\mbox{ }dv\\\displaystyle \mbox{ }transformada\mbox{,}\end{array}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 36)
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>\theta \left(u,v,Z\right)=\sum_{i=1}^{\infty }\sum_{m=1}^{\infty }K_i\left(u\right)Z_m\left(v\right)\tilde{\overline{\theta }}_{im}\left(Z\right),\mbox{ }inversa\mbox{,}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 37)
|}

sendo que ''K''<sub>''i''</sub> (''u'' ) são as autofunções normalizadas dadas por:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>K_i\left(u\right)=\frac{\psi _i\left(u\right)}{\sqrt{N_i}}\mbox{,}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 38)
|}

com:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>N_i=\int_0^{u_0}\psi _i\left(u\right)^2du=\frac{u_0}{2}\mbox{.}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 39)
|}

sendo que ''Z''<sub>''m''</sub> (''v'' ) são as autofunções normalizadas dadas por:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>Z_m\left(v\right)=\frac{\phi _m\left(v\right)}{\sqrt{M_m}}\mbox{,}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 40)
|}

com:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>M_m=\int_0^{v_0}\phi _m\left(v\right)^2dv=\frac{v_0}{2}\mbox{.}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 41)
|}

Para a determinação do potencial transformado efetuando‐se o produto interno das autofunções normalizadas ''K''<sub>''i''</sub> (''u'' ) e ''Z''<sub>''m''</sub> (''v'' ) com a equação da energia, obtém‐se o seguinte sistema de EDO:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>\begin{array}{l}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }B_{ijnm}\frac{d\tilde{\overline{\theta }}_{jn}\left(Z\right)}{dZ}+\left(\mu _i^2+\lambda _m^2\right)\tilde{\overline{\theta }}_{im}\left(Z\right)=0,\mbox{ }j\\\displaystyle n=1,2,3...\mbox{,}\end{array}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 42)
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>B_{ijnm}=\int_0^{v_0}Z_m\left(v\right)Z_n\left(v\right)A_{ij}\left(v\right)dv\mbox{.}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 43)
|}

Os parâmetros ''B''<sub>''ijmn''</sub>  são integráveis e, consequentemente, conhecidos. A solução deste sistema de EDO permite a obtenção do potencial transformado, quando submetido à condição de entrada transformada dada por:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>\begin{array}{l}\displaystyle \tilde{\overline{\theta }}_{im}\left(0\right)=\int _0^{v_0}\int _0^{u_0}K_i\left(u\right)Z_m\left(v\right)\theta \left(u,v\right.\\\left.\displaystyle 0\right)du\mbox{ }dv=\int _0^{v_0}\int _0^{u_0}K_i\left(u\right)Z_m\left(v\right)du\mbox{ }dv\mbox{.}\end{array}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 44)
|}

Para fins computacionais, o potencial transformado pode ser determinado numericamente quando a expansão é truncada em uma dada ordem ''m = M''  e ''n = N'' . Portanto, utilizando‐se da fórmula de inversão, determina‐se o potencial temperatura adimensional:

<span id='eq0205'></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>\theta \left(u,v,Z\right)=\sum_{i=1}^N\sum_{m=1}^MK_i\left(u\right)Z_m\left(v\right)\tilde{\overline{\theta }}_{im}\left(Z\right)\mbox{.}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 45)
|}

Obviamente, quanto maior ''N''  e ''M''  maior será a precisão dos resultados, sendo que, do ponto de vista computacional, o duplo somatório poderia ser resolvido como proposto por  [[#bib0295|[27]]] , permitindo a redução deste custo através do reordenamento dos termos e substituição por um somatório simples. No entanto, pela simplicidade do problema em questão, isso não se torna necessário.      

===2.4. Parâmetros térmicos de interesse===

====2.4.1. Temperatura média de mistura====

A temperatura média de mistura em sua forma adimensional é expressa por:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>\theta _{m\acute{e}d}\left(Z\right)=\frac{T_{m\acute{e}d}\left(Z\right)-T_p}{T_0-T_p}=\frac{1}{A_S^\ast }\int_{\Omega }\frac{\theta \left(X,Y,Z\right)W\left(X,Y\right)d\Omega }{W_{m\acute{e}d}\left(X,Y\right)}\mbox{,}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 46)
|}

com:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>W_{m\acute{e}d}\left(X,Y\right)=\int_{\Omega }W\left(X,Y\right)d\Omega =1\mbox{,}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 47)
|}

sendo que, <math display="inline">A_S^{{_\ast}}=A_S/D_h^2</math>  é a área da seção transversal adimensional. Portanto, no plano (''u,v'' ), ''θ''<sub>''méd''</sub>  é dado por:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>\theta _{m\acute{e}d}\left(Z\right)=\frac{1}{A_S}\int_0^{u_0}\int_0^{v_0}\theta \left(u,v,Z\right)W\left(u,v\right)J\left(u,v\right)dv\mbox{ }du\mbox{.}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 48)
|}

====2.4.2. Número de ''Nusselt''====

Os números de ''Nusselt''  local e o médio podem ser definidos, respectivamente, por:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>Nu\left(Z\right)=-\frac{1}{4\theta _m\left(Z\right)}\frac{d\theta _{m\acute{e}d}\left(Z\right)}{dZ}\mbox{,}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 49)
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>Nu_{m\acute{e}d}\left(Z\right)=-\frac{1}{4Z}ln\theta _{m\acute{e}d}\left(Z\right)\mbox{.}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 50)
|}

====2.4.3. Comprimento de entrada térmica====

O comprimento de entrada térmica é definido como sendo a posição em que o número de ''Nusselt''  local é 5% maior que o número de ''Nusselt''  na região em que o fluido está termicamente desenvolvido  [[#bib0300|[28]]] . Dessa forma, tem‐se:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math>L_{th}=raiz\mbox{ }positiva\mbox{ }de\left\{1,05Nu\left(\infty \right)-Nu\left(Z\right)=0\right\}\mbox{.}</math>
|}
| style="text-align: right;" | ( 51)
|}

==3. Resultados e discussão==

Para a obtenção dos resultados numéricos, o método de quadratura de ''Gauss''  foi utilizado para o cálculo das integrais envolvida nos coeficientes ''B''<sub>''ijmn''</sub>  e nos parâmetros físicos de interesse. Desta forma, é necessária, também, a determinação das autofunções e do Jacobiano nestes pontos de quadratura. Feito isso, o sistema de equações diferenciais foi resolvido para a determinação dos coeficientes do potencial transformado utilizando‐se da rotina DIVPAG da biblioteca IMSL Fortran [[#bib0305|[29]]]  e do truncamento da expansão dada pela equação [[#eq0205|(45)]]  para diversas ordens ''M''  e ''N'' .      

Foi verificado, através de uma análise de convergência, que na região de entrada do escoamento, ''Z''  < 0,001, a convergência é relativamente lenta, sendo necessário considerar truncamentos da série com ordem ''M = N = '' 25 para a obtenção de, pelo menos, 3 dígitos de precisão. Para a região onde o escoamento já se encontra termicamente desenvolvido é observado que a série que determina o potencial temperatura converge mais rapidamente, sendo necessário considerar apenas 20 termos para cada direção para uma precisão em torno de 4 dígitos.      

Na [[#tbl0005|tabela 1]]  são apresentados os resultados obtidos para a análise de convergência da temperatura adimensional média de mistura, em função do ângulo Θ e da ordem ''N = M''  de truncamento da série, para uma razão de aspecto ''r''<sup>''*''</sup>  ='' r''<sub>''i''</sub>''/r''<sub>''e''</sub>  = 0,20 e para uma coordenada axial adimensionalizada ''Z '' = 0,001. A [[#tbl0010|tabela 2]]  mostra a convergência da temperatura adimensional média de mistura em função da razão de aspecto e da ordem ''N = M''  de truncamento da série para um ângulo Θ = 330° e para ''Z = '' 0,001.

<span id='tbl0005'></span>

{| class="wikitable" style="min-width: 60%;margin-left: auto; margin-right: auto;"
|+

Tabela 1.

Convergência da temperatura adimensional média de mistura, ''θ''<sub>''méd''</sub> (''Z'' ), considerando uma razão de aspecto ''r*''  = 0,20 em função da ordem de truncamento da série e do ângulo Θ para ''Z''  = 10<sup>−3</sup>

|-

! Θ
! colspan="6" | Ordem ''N''  ''=''  ''M''  de truncamento da série
|-

! 
! 10
! 15
! 20
! 25
! 30
! Valor convergido
|-

! 5°
| 0,9397
| 0,9403
| 0,9414
| 0,9416
| 0,9416
| 0,9416
|-

! 10°
| 0,9431
| 0,9436
| 0,9437
| 0,9433
| 0,9433
| 0,9433
|-

! 15°
| 0,9454
| 0,9455
| 0,9450
| 0,9440
| 0,9440
| 0,9440
|-

! 45°
| 0,9494
| 0,9478
| 0,9459
| 0,9444
| 0,9444
| 0,9444
|-

! 60°
| 0,9495
| 0,9475
| 0,9456
| 0,9444
| 0,9444
| 0,9444
|-

! 90°
| 0,9489
| 0,9464
| 0,9449
| 0,9441
| 0,9441
| 0,9441
|-

! 150°
| 0,9472
| 0,9446
| 0,9432
| 0,9426
| 0,9426
| 0,9426
|-

! 180°
| 0,9465
| 0,9438
| 0,9423
| 0,9417
| 0,9417
| 0,9417
|-

! 210°
| 0,9457
| 0,9431
| 0,9416
| 0,9409
| 0,9409
| 0,9409
|-

! 270°
| 0,9445
| 0,9420
| 0,9405
| 0,9396
| 0,9396
| 0,9396
|-

! 300°
| 0,9440
| 0,9416
| 0,9400
| 0,9390
| 0,9390
| 0,9390
|-

! 350°
| 0,9432
| 0,9409
| 0,9394
| 0,9382
| 0,9382
| 0,9382
|}

<span id='tbl0010'></span>

{| class="wikitable" style="min-width: 60%;margin-left: auto; margin-right: auto;"
|+

Tabela 2.

Convergência da temperatura adimensional média de mistura, ''θ''<sub>''méd''</sub> (''Z'' ), considerando um ângulo Θ = 330° em função da ordem de truncamento da série e da razão de aspecto ''r*''  para ''Z''  = 10<sup>−3</sup>

|-

! ''r*''
! colspan="6" | Ordem ''N''  ''=''  ''M''  de truncamento da série
|-

! 
! 10
! 15
! 20
! 25
! 30
! Valor convergido
|-

! 0,05
| 0,9507
| 0,9469
| 0,9433
| 0,9412
| 0,9412
| 0,9412
|-

! 0,10
| 0,9474
| 0,9439
| 0,9414
| 0,9401
| 0,9401
| 0,9401
|-

! 0,20
| 0,9435
| 0,9412
| 0,9396
| 0,9385
| 0,9385
| 0,9385
|-

! 0,30
| 0,9411
| 0,9395
| 0,9382
| 0,9371
| 0,9371
| 0,9371
|-

! 0,40
| 0,9377
| 0,9381
| 0,9370
| 0,9359
| 0,9359
| 0,9359
|-

! 0,50
| 0,9393
| 0,9368
| 0,9358
| 0,9349
| 0,9349
| 0,9349
|-

! 0,60
| 0,9361
| 0,9353
| 0,9346
| 0,9338
| 0,9338
| 0,9338
|-

! 0,70
| 0,9345
| 0,9339
| 0,9333
| 0,9327
| 0,9327
| 0,9327
|-

! 0,80
| 0,9329
| 0,9323
| 0,9319
| 0,9314
| 0,9314
| 0,9314
|-

! 0,90
| 0,9313
| 0,9308
| 0,9304
| 0,9300
| 0,9300
| 0,9300
|}

Nas [[#fig0015|Figura 3]] , [[#fig0020|Figura 4]]  and [[#fig0025|Figura 5]]  são apresentados os comportamentos da temperatura adimensional média de mistura, dos números de ''Nusselt''  local e médio, respectivamente, em função da razão de aspecto ''r''<sup>''*''</sup>  = ''r''<sub>''i''</sub>''/r''<sub>''e''</sub>  e para os diversos ângulos Θ (5°, 15°, 30°, 60°, 90°, 180°, 270° e 350°). Como esperado, os parâmetros térmicos de interesse decrescem com o aumento da coordenada axial adimensionalizada ''Z''  independentemente do ângulo Θ.

<span id='fig0015'></span>

{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; max-width: 100%;" 
|-
|


[[Image:draft_Content_112439378-1-s2.0-S0213131515000577-gr3.jpg|center|px|Comportamento da temperatura adimensional média de mistura para diversas ...]]


|-
| <span style="text-align: center; font-size: 75%;">

Figura 3.

Comportamento da temperatura adimensional média de mistura para diversas configurações dos dutos de setor de anel circular.

</span>
|}

<span id='fig0020'></span>

{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; max-width: 100%;" 
|-
|


[[Image:draft_Content_112439378-1-s2.0-S0213131515000577-gr4.jpg|center|px|Comportamento do número de Nusselt local para diversos dutos de setor de anel ...]]


|-
| <span style="text-align: center; font-size: 75%;">

Figura 4.

Comportamento do número de ''Nusselt''  local para diversos dutos de setor de anel circular.                  

</span>
|}

<span id='fig0025'></span>

{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; max-width: 100%;" 
|-
|


[[Image:draft_Content_112439378-1-s2.0-S0213131515000577-gr5.jpg|center|px|Comportamento do número de Nusselt médio para diversos dutos de setor de anel ...]]


|-
| <span style="text-align: center; font-size: 75%;">

Figura 5.

Comportamento do número de ''Nusselt''  médio para diversos dutos de setor de anel circular.                  

</span>
|}

Nas [[#tbl0015|Tabela 3]]  and [[#tbl0020|Tabela 4]] , são apresentados os resultados obtidos para o número de ''Nusselt''  limite (''Nu''<sub>''∞''</sub> ) e o comprimento de entrada térmica (''L''<sub>''th''</sub> ), respectivamente, considerando diversas configurações geométricas dos dutos de setor de anel circular.

<span id='tbl0015'></span>

{| class="wikitable" style="min-width: 60%;margin-left: auto; margin-right: auto;"
|+

Tabela 3.

Número de ''Nusselt''  limite, ''Nu''<sub>''∞''</sub> , para diversas configurações dos dutos analisados                  

|-

! ''r*''
! 5°
! 15°
! 30°
! 60°
! 90°
! 180°
! 270°
! 350°
|-

! 0,05
| 1,567
| 2,061
| 2,489
| 2,911
| 3,094
| 3,284
| 3,457
| 3,639
|-

! 0,10
| 1,715
| 2,219
| 2,626
| 2,979
| 3,102
| 3,308
| 3,604
| 3,875
|-

! 0,15
| 1,878
| 2,384
| 2,757
| 3,024
| 3,095
| 3,381
| 3,782
| 4,112
|-

! 0,20
| 2,055
| 2,553
| 2,879
| 3,043
| 3,090
| 3,492
| 3,978
| 4,348
|-

! 0,25
| 2,246
| 2,724
| 2,981
| 3,042
| 3,054
| 3,632
| 4,186
| 4,582
|-

! 0,30
| 2,453
| 2,891
| 3,055
| 3,032
| 3,133
| 3,798
| 4,403
| 4,812
|-

! 0,35
| 2,671
| 3,029
| 3,095
| 3,030
| 3,194
| 3,985
| 4,626
| 5,037
|-

! 0,40
| 2,901
| 3,180
| 3,098
| 3,045
| 3,287
| 4,191
| 4,852
| 5,257
|-

! 0,45
| 3,136
| 3,279
| 3,072
| 3,087
| 3,413
| 4,414
| 5,080
| 5,478
|-

! 0,50
| 3,372
| 3,330
| 3,033
| 3,162
| 3,573
| 4,652
| 5,312
| 5,685
|-

! 0,55
| 3,596
| 3,322
| 3,000
| 3,277
| 3,769
| 4,903
| 5,538
| 5,898
|-

! 0,60
| 3,790
| 3,258
| 2,991
| 3,437
| 4,005
| 5,165
| 5,779
| 6,106
|-

! 0,65
| 3,928
| 3,158
| 3,024
| 3,651
| 4,284
| 5,439
| 6,003
| 6,304
|-

! 0,70
| 3,978
| 3,056
| 3,118
| 3,937
| 4,607
| 5,727
| 6,223
| 6,493
|-

! 0,75
| 3,891
| 2,988
| 3,296
| 4,279
| 4,976
| 5,974
| 6,453
| 6,682
|-

! 0,80
| 3,649
| 3,004
| 3,596
| 4,718
| 5,401
| 6,316
| 6,683
| 6,857
|-

! 0,85
| 3,303
| 3,180
| 4,074
| 5,251
| 5,865
| 6,608
| 6,899
| 7,028
|-

! 0,90
| 3,009
| 3,673
| 4,817
| 5,924
| 6,378
| 6,914
| 7,105
| 7,192
|-

! 0,95
| 3,225
| 4,848
| 5,944
| 6,666
| 6,932
| 7,207
| 7,293
| 7,326
|-

! 1,00
| 7,619
| 7,619
| 7,619
| 7,619
| 7,619
| 7,619
| 7,619
| 7,619
|}

<span id='tbl0020'></span>

{| class="wikitable" style="min-width: 60%;margin-left: auto; margin-right: auto;"
|+

Tabela 4.

Comprimento de entrada térmica, ''L''<sub>''th''</sub> , para diversas configurações dos dutos analisados                  

|-

! ''r*''
! 5°
! 15°
! 30°
! 60°
! 90°
! 180°
! 270°
! 350°
|-

! 0,05
| 0,3309
| 0,1494
| 0,0774
| 0,0497
| 0,0458
| 0,0520
| 0,0599
| 0,0650
|-

! 0,10
| 0,3242
| 0,1372
| 0,0714
| 0,0481
| 0,0453
| 0,0530
| 0,0607
| 0,0646
|-

! 0,15
| 0,3096
| 0,1260
| 0,0675
| 0,0469
| 0,0452
| 0,0542
| 0,0613
| 0,0632
|-

! 0,20
| 0,2861
| 0,1163
| 0,0639
| 0,0458
| 0,0453
| 0,0554
| 0,0614
| 0,0607
|-

! 0,25
| 0,2648
| 0,1085
| 0,0610
| 0,0448
| 0,0458
| 0,0569
| 0,0607
| 0,0564
|-

! 0,30
| 0,2425
| 0,1015
| 0,0577
| 0,0444
| 0,0466
| 0,0581
| 0,0584
| 0,0511
|-

! 0,35
| 0,2237
| 0,0954
| 0,0537
| 0,0442
| 0,0478
| 0,0589
| 0,0548
| 0,0454
|-

! 0,40
| 0,2089
| 0,0901
| 0,0498
| 0,0446
| 0,0494
| 0,0584
| 0,0498
| 0,0394
|-

! 0,45
| 0,1914
| 0,0828
| 0,0468
| 0,0453
| 0,0512
| 0,0567
| 0,0442
| 0,0324
|-

! 0,50
| 0,1790
| 0,0727
| 0,0448
| 0,0467
| 0,0534
| 0,0532
| 0,0372
| 0,0277
|-

! 0,55
| 0,1689
| 0,0620
| 0,0439
| 0,0485
| 0,0559
| 0,0482
| 0,0316
| 0,0227
|-

! 0,60
| 0,1567
| 0,0546
| 0,0436
| 0,0511
| 0,0573
| 0,0416
| 0,0257
| 0,0193
|-

! 0,65
| 0,1421
| 0,0478
| 0,0441
| 0,0536
| 0,0568
| 0,0337
| 0,0215
| 0,0166
|-

! 0,70
| 0,1158
| 0,0448
| 0,0454
| 0,0554
| 0,0536
| 0,0256
| 0,0183
| 0,0143
|-

! 0,75
| 0,0823
| 0,0429
| 0,0484
| 0,0567
| 0,0462
| 0,0201
| 0,0149
| 0,0120
|-

! 0,80
| 0,0596
| 0,0423
| 0,0528
| 0,0514
| 0,0334
| 0,0165
| 0,0121
| 0,0105
|-

! 0,85
| 0,0491
| 0,0464
| 0,0567
| 0,0394
| 0,0228
| 0,0130
| 0,0101
| 0,0093
|-

! 0,90
| 0,0438
| 0,0538
| 0,0497
| 0,0205
| 0,0158
| 0,0100
| 0,0088
| 0,0084
|-

! 0,95
| 0,0473
| 0,0534
| 0,0213
| 0,0122
| 0,0093
| 0,0084
| 0,0081
| 0,0081
|-

! 1,00
| 0,0080
| 0,0080
| 0,0080
| 0,0080
| 0,0080
| 0,0080
| 0,0080
| 0,0080
|}

Os comportamento do número de ''Nusselt''  limite e do comprimento de entrada térmica, parametrizados em Θ, são mostrados nas  [[#fig0030|Figura 6]]  and [[#fig0035|Figura 7]] , respectivamente. Pode ser notado que os resultados obtidos para os diversos dutos de setor de anel circular convergem para um mesmo valor quando ''r*'' → 1, ''Nu''<sub>''∞''</sub>  ≈ 7,6 e ''L''<sub>''th''</sub>  = 0,0080, valores estes, correspondentes ao problema térmico do escoamento laminar em canais de placas planas paralelas com temperatura uniforme em ambas as placas  [[#bib0310|[30]]]  and [[#bib0315|[31]]] . É interessante ainda observar que, para pequenos ângulos (Θ < 30°), à medida que ''r*''  diminui a geometria do setor de anel circular vai se aproximando daquela correspondente à um duto de seção transversal quadrada, onde, por exemplo, o número de ''Nusselt''  limite passa por um mínimo local (Θ ≈ 30°). Ressalta‐se que, o número de ''Nusselt''  limite para ''r*'' → 0, corresponde à geometria do setor circular e os valores obtidos se aproximam daqueles referentes aos respectivos ângulos Θ  [[#bib0320|[32]]] .

<span id='fig0030'></span>

{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; max-width: 100%;" 
|-
|


[[Image:draft_Content_112439378-1-s2.0-S0213131515000577-gr6.jpg|center|373px|Comportamento do número de Nusselt limite para diversos formatos de setor de ...]]


|-
| <span style="text-align: center; font-size: 75%;">

Figura 6.

Comportamento do número de ''Nusselt''  limite para diversos formatos de setor de anel circular.                  

</span>
|}

<span id='fig0035'></span>

{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; max-width: 100%;" 
|-
|


[[Image:draft_Content_112439378-1-s2.0-S0213131515000577-gr7.jpg|center|372px|Comportamento do comprimento de entrada térmica para diversos formatos de setor ...]]


|-
| <span style="text-align: center; font-size: 75%;">

Figura 7.

Comportamento do comprimento de entrada térmica para diversos formatos de setor de anel circular.

</span>
|}

Finalmente, destaca‐se que os resultados obtidos para o número de ''Nusselt''  limite e apresentados na  [[#tbl0015|tabela 3]]  e na [[#fig0030|figura 6]] , quando comparados com os mostrados em [[#bib0320|[32]]]  apresentam uma ótima concordância, gerando uma diferença inferior a 1%.      

==4. Conclusões==

Para a solução do problema estudado, devido ao formato geométrico não convencional do duto, as dificuldades inerentes para a aplicação das condições de contorno foram removidas utilizando‐se uma transformação conforme adequada capaz de representar a geometria do duto de setor de anel circular em um domínio com contorno de formato retangular. A aplicação da TTIG sobre a equação da energia gerou um sistema acoplado e infinito de EDO para o potencial temperatura transformado que foi resolvido numericamente truncando‐se a expansão em um número finito de termos.

Observou‐se que a convergência do potencial temperatura é lenta na região de entrada do escoamento (''Z '' < 0,001), sendo necessária uma ordem de truncamento relativamente alta para o sistema de equações diferenciais do potencial transformado para a obtenção de, pelo menos, 3 dígitos de precisão.      

Parâmetros térmicos de interesse, tais como, temperatura média de mistura, números de ''Nusselt''  local e médio e comprimento de entrada térmica, foram calculados e comparados, quando possível, com os resultados disponíveis na literatura, para dutos de diversas configurações geométricas, tendo sido observada uma ótima concordância.      

Finamente, observa‐se que a TTIG é aplicada com sucesso para a obtenção de solução de problemas difusivos e difusivo‐convectivos multidimensionais, ressaltando‐se, aqui, o presente problema, o qual muitas vezes não admite solução pelas técnicas analíticas clássicas.

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