Sobre los alcances del dominio de validez de los diagramas de Venn-Euler

==Sobre los alcances del dominio de validez de los diagramas de Venn-Euler==

'''Carlos Oscar Rodríguez Leal 

Universidad de Guadalajara. CUCEI.

==Resumen==

En este trabajo se muestra de forma rigurosa que los métodos de diagramas de Venn sí son procedimientos formales de demostración de las fórmulas de conjuntos para ciertos subconjuntos, determinándose de forma exacta la familia de conjuntos que cumplen con esta condición.

Cabe mencionar que en este trabajo solo se considera la teoría de conjuntos clásica que acepta la hipótesis del continuo, por lo que el dominio de validez de los diagramas de Venn que aquí se demuestra solo es aplicable a los conjuntos considerados bajo este supuesto.

==1 Introducción==

En la teoría de conjuntos es cuestionada la validez del uso de los diagramas de Venn-Euler como demostración formal de las fórmulas que ahí se presentan. Para muchos matemáticos e investigadores el método de diagramas de Venn representa una prueba informal de las fórmulas de conjuntos, por lo que según ellos solo deben ser usados como guía para ver si dichas fórmulas son ciertas o no, y en caso de superar el test de los diagramas deberán usarse los métodos convencionales deductivos-analíticos formales para demostrarlas. Sin embargo, en la actualidad existen muchos investigadores que consideran que los diagramas de Venn sí representan una demostración formal de tales fórmulas, esto debido a lo evidente e inobjetable  de sus pruebas.

Sin embargo, en este trabajo se demuestra de forma rigurosa que los métodos de diagramas de Venn sí son procedimientos formales de demostración de las fórmulas de conjuntos pero solo para ciertos conjuntos. Y más aún, se determinan de forma exacta el tipo de conjuntos que entran dentro de esta categoría, es decir, se establece la familia de conjuntos que cumplen con esta condición.

Cabe mencionar que en este trabajo solo se considera la teoría de conjuntos clásica que acepta la hipótesis del continuo, por lo que el dominio de validez de los diagramas de Venn que aquí se demuestra solo es aplicable a los conjuntos considerados bajo este supuesto.

==2 Demostración de teoremas previos==

En esta sección demostraremos ciertos teoremas que necesitaremos posteriormente.

Primeramente estableceremos el siguiente teorema.

Teorema 1: La cardinalidad del conjunto de puntos de un cuadrado abierto de longitud de arista igual a la unidad (el cuadrado sin su perímetro) es igual a la cardinalidad del continuo <math display="inline">c</math>.    <u>Demostración.</u> Pongamos primeramente al cuadrado <math display="inline">A</math> el el plano cartesiano, con su vértice inferior izquierdo coincidiendo con el origen, y con cada lado paralelo a algún eje coordenado, de tal forma que todo punto <math display="inline">(a,b)</math> en él ha de cumplir con la desigualdad <math display="inline">0 \leq a \leq 1,  0 \leq b \leq 1</math>. Entonces, para algún punto <math display="inline">(a,b) \in A</math> están asociadas dos sucesiones <math display="inline">(p_n): \mathbb{N} \rightarrow \{ 0,1\} ,  n \mapsto p_n</math> y <math display="inline">(q_n):\mathbb{N} \rightarrow \{ 0,1\} ,  n \mapsto = q_n</math>, donde <math display="inline">p_n</math> y <math display="inline">q_n</math> solo pueden ser cero o uno, para <math display="inline">n \in \mathbb{N}</math>, de tal forma que si definimos a las nuevas sucesiones <math display="inline">(P_n)</math> y <math display="inline">(Q_n)</math>, con <math display="inline">P_n = p_n 2^{-n}</math> y <math display="inline">Q_n = q_n 2^{-n}</math>, para <math display="inline">n \in \mathbb{N}</math>, entonces <math display="inline">(a,b) = (S_1, S_2)</math>, donde <math display="inline">S_1 = \sum P_n</math>, <math display="inline">S_2 = \sum Q_n</math>, es decir, las series generadas por las sucesiones <math display="inline">(P_n)</math> y <math display="inline">(Q_n)</math> convergen a <math display="inline">a</math> y <math display="inline">b</math> respectivamente. Por lo tanto, el par ordenado <math display="inline">(a,b)</math> se puede representar en código binario mediante el par ordenado <math display="inline">((P_n),(Q_n))</math>. Además es claro que a cada par <math display="inline">(a,b)</math> le corresponde un único par de números binarios mayores a cero y menores a uno, y viceversa, es decir que existe una relación biunínvoca entre los pares <math display="inline">(a,b)</math> y los pares de sucesiones <math display="inline">((P_n),(Q_n))</math>. De igual forma existe una biyección entre <math display="inline">(p_n)</math> y <math display="inline">(P_n)</math>, y, <math display="inline">(q_n)</math> y <math display="inline">(Q_n)</math>. Ahora, dadas las sucesiones <math display="inline">(p_n) = p_1, p_2, p_3, \ldots </math> y <math display="inline">(q_n) = q_1, q_2, q_3, \ldots</math> con <math display="inline">p_n, q_n \in \{ 0,1\} </math>, para <math display="inline">n \in \mathbb{N}</math>, entonces podemos generar una nueva sucesión definida como <math display="inline">(r_n) = p_1, q_1, p_2, q_2, p_3, q_3, \ldots </math>, es decir, alternando los elementos de ambas sucesiones, de tal forma que a cada par de sucesiones <math display="inline">((p_n),(q_n))</math> le corresponde una única sucesión <math display="inline">(r_n)</math> y cada sucesión <math display="inline">(r_n)</math> se puede desintegrar en un par único de sucesiones <math display="inline">(p_n)</math> y <math display="inline">(q_n)</math>, con <math display="inline">(r_n)</math> distinta de la sucesión compuesta por puros ceros y de la sucesión compuesta por puros unos. Es decir, existe una relación biunívoca entre los pares <math display="inline">((p_n),(q_n))</math> y el conjunto de las sucesiones <math display="inline">(r_n)</math>. Y si ahora definimos a la sucesión <math display="inline">(R_n)</math> como<math display="inline">R_n = r_n 2^{-n}</math>, para <math display="inline">n \in \mathbb{N}</math>, entonces nuevamente existe una biyección entre los conjuntos de sucesiones <math display="inline">(r_n)</math> y <math display="inline">(R_n)</math>. Por otro lado, cada serie <math display="inline">S_3 = \sum R(n)</math> representará un único número real <math display="inline">c</math>, con <math display="inline">0 < c < 1</math>, de tal forma que existe otra biyección entre los conjuntos de sucesiones <math display="inline">(R_n)</math> y el intervalo <math display="inline">(0,1)</math>. De todo lo anterior se puede concluir que existe una función biyectiva entre el conjunto de los pares ordenados de reales <math display="inline">C = \{ (a,b)| 0 < a < 1, 0 < b <1\} </math> y el intervalo <math display="inline">(0,1)</math>, i.e el cuadrado abierto de arista unitaria tiene cardinalidad <math display="inline">c</math> <span id='citeF-7'></span>[[#cite-7|[7]]].

Ahora demostraremos este segundo teorema.

Teorema 2: Todo cuadrado abierto de longitud de arista <math display="inline">l</math> tiene la cardinalidad del continuo.    <u>Demostración</u>    Primeramente coloquemos el cuadrado en el plano cartesiano, de tal forma que sus puntos <math display="inline">(c,d)</math> cumplan con las desigualdes <math display="inline">0 < c < l</math> y <math display="inline">0 < d < l</math>.    Definamos ahora la función biyectiva <math display="inline">f:(0,1) \rightarrow (0,l)</math> como <math display="inline">f(x) = l \cdot x</math>. Entonces tenemos que existe una correspondencia biunívoca entre los puntos <math display="inline">(a,b)</math> del cuadrado unitario y los puntos <math display="inline">(c,d)</math> del cuadrado de arista <math display="inline">l</math>, dada por la función biyectiva <math display="inline">g((a,b)) = (l \cdot a, l \cdot b)</math>, i.e. como ya se demostró que la cardinalidad del cuadrado unitario es <math display="inline">c</math>, eso significa que la cardinalidad del cuadrado de longitud <math display="inline">l</math> es también <math display="inline">c</math>.

Por último estableceremos este tercer teorema.

<span id='theorem-T3'></span>Teorema 3:     Un conjunto abierto acotado en el espacio normado <math display="inline">\mathbb{R}^2</math> poseé cardinalidad <math display="inline">c</math>.    <u>Demostración.</u> Dado un conjunto abierto acotado <math display="inline">B</math> en el espacio normado <math display="inline">\mathbb{R}^2</math>, es obvio que <math display="inline">B</math> puede ser contenido dentro de un cuadrado abierto de tamaño suficientemente grande y en consecuencia dicho conjunto abierto no puede poseer cardinalidad mayor a <math display="inline">c</math>. Por lo tanto bastará con demostrar que su cardinalidad no es menor a <math display="inline">c</math>. Para ello tomemos un punto <math display="inline">p</math> de <math display="inline">B</math>. Entonces, por ser <math display="inline">B</math> abierto, existe una bola abierta centrada en <math display="inline">p</math> y contenida en <math display="inline">B</math>. Mas debido a la equivalencia de todas las normas en <math display="inline">R^2</math> <span id='citeF-3'></span>[[#cite-3|[3]]], en particular podemos considerar la métrica del valor absoluto, por lo que existe un cuadrado abierto centrado en <math display="inline">p</math> y contenido en <math display="inline">B</math>. Por lo tanto <math display="inline">B</math> contiene un subconjuto de cardinalidad <math display="inline">c</math> y en consecuencia su cardinalidad no puede ser menor a <math display="inline">c</math>.

Ahora pasaremos a demostrar propiamente la validez de los diagraamas de Venn.

==3 Determinación precisa de la región de validez de los diagramas de Venn-Euler==

En esta sección se establecen las propiedades que deben de cumplir los conjuntos sobre los cuales se pueden aplicar los procedimientos de diagramas de Venn.

En primer lugar debemos definir nuestros diagramas de Venn como conjuntos abiertos acotados en el espacio normado <math display="inline">\mathbb{R}^2</math>, i.e. no debemos considerar la línea frontera en nuestros dibujos. Además nuestros conjuntos iniciales con los que comenzaremos a trabajar deben ser simplemente conexos <span id='citeF-5'></span>[[#cite-5|[5]]], para que así nuestras figuras concuerden con el tipo de figuras que se usan en los diagramas de Venn-Euler.

Así pues, las figuritas geométricas de los diagramas de Venn son conjuntos de puntos de cardinalida <math display="inline">c</math> de acuerdo al teorema [[#theorem-T3|3]], por lo que, dado un conjunto universo <math display="inline">U</math> también de cardinalidad <math display="inline">c</math>, éste se puede poner en correspondencia biunívoca con los puntos geométricos de un subconjunto <math display="inline">\tilde{U}</math> de un diagrama de Venn <math display="inline">\hat{U}</math> (abierto, acotado y simplemente conexo) de una infinidad de maneras, i.e. existen múltiples posibles funciones biyectivas entre el universo del discurso y alguna región abstracta del plano que representemos con un dibujito imperfecto e inpreciso en sus puntos frontera pero cuya abastracción que representa es ideal.

El mismo procedimiento se realiza en las demostraciones geométricas de la clásica geometría euclidiana, donde las demostraciones se hacen basándose en alguna figura geométrica ideal, pero que hemos representado con una figura particular e imperfecta, no obstante nos sirve de guía para poder hacer todas las construcciones y deducciones en nuestra mente abstracta, donde la figura es genérica e ideal.

Por lo tanto, si de ese conjunto universal tomamos una familia finita <math display="inline">\tau </math> de subconjuntos (finitos o infinitos) con los que habremos de trabajar, entonces a su vez a estos conjuntos les corresponden puntos dentro del diagrama de Venn, de tal forma que si los representamos con una familia de figuras abiertas <math display="inline">\tilde{\tau }</math> (sin la línea frontera), simplemente conexas, y contenidas dentro de <math display="inline">\hat{U}</math>, entonces mediante esa elección quedan excluidas muchas posibilidades de funciones biyectivas y solo sobrevivirán las que preserven la relación de algún subconjunto de <math display="inline">\tau </math> a alguna figura de <math display="inline">\tilde{\tau }</math> (las cuales siguen siendo una infinidad).

Ahora, en el caso de que nuestro conjunto <math display="inline">U</math> sea de cardinalidad <math display="inline">\aleph _0</math>, aún así tal conjunto queda expresado en un diagrama de Venn si solo conside-ramos una cantidad discreta de puntos para <math display="inline">\tilde{U} \subset \hat{U}</math>. Y las explicaciones dadas para el caso <math display="inline">\# U = c</math> siguen siendo aplicables a este caso por analogía.

Y como último caso, si <math display="inline">U</math> es finito, se aplica el mismo argumento, tomando solo una cantidad finita de puntos para <math display="inline">\tilde{U}</math> y considerando solo una familia <math display="inline">\tau </math> de subconjuntos finitos.

En consecuencia, los razonamientos abstractos tipo geométricos que hagamos con diagramas de Venn serán válidos para los conjuntos de pares <math display="inline">(U,\tau )</math> de universos de cardinalidad finita, <math display="inline">\aleph _0</math> o <math display="inline">c</math>, junto con sus respectivas familias “finitas” de subconjuntos <math display="inline">\tau </math> (ya que en las demostraciones con diagramas solo podemos trabajar con una familia <math display="inline">\tau </math> finita, por obvias razones). O por lo menos dichas demostraciones deben ser consideradas semiformales y no menos válidas que las hechas en geometría euclidiana (para la cual también es justo decir que existe la tendencia desde los tiempos de Descartes <span id='citeF-1'></span>[[#cite-1|[1]]] de transformarla en una ciencia analítica, y más modernamente en una ciencia puramente axiomica <span id='citeF-2'></span>[[#cite-2|[2]]], pero cuyos métodos gráficos de demostración en la actualidad todavía se siguen aceptando).

Y para conjutos de cardinalidad mayor a <math display="inline">c</math> evidentemente los métodos de diagramas de Venn ya no representan una demostración formal de las fórmulas propuestas, mas pueden seguir siendo en efecto un test para poner a prueba la validez de dichas fórmulas, de tal forma que si no pasan el test no hay elementos para considerar que se cumplan en los conjuntos de cardinalidad mayor a <math display="inline">c</math>, mas si lo pasan, eso nos ha de dar confianza para proseguir en la demostración de la validez o invalidez de tales expresiones en los conjuntos de cardinalidad mayor a <math display="inline">c</math> por los métodos formales tradicionales. No obstante, en la práctica no es tan común trabajar con conjuntos de cardinalidad mayor a <math display="inline">c</math>.

Por último he de mencionar que en este trabajo solo se considera la teoría de conjuntos clásica que acepta la hipótesis del continuo, por lo que el dominio de validez de los diagramas de Venn que aquí se demuestra también se restringe a los conjuntos considerados bajo este supuesto lógico.

==4 Conclusiones==

En este artículo se demostró mediante argumentos formales la validez de los diagramas de Venn-Euler para las demostraciones en teoría de conjuntos. A su vez se demostró que dicha validez se restringe a conjuntos cuya cardinalidad no es mayor a <math display="inline">c</math> y donde hemos aceptado la hipótesis del continuo.

La importancia de lo anterior radica en que nos indica en qué casos sí podemos considerar como válidas y formales las demostraciones en teoría de conjuntos mediante diagramas de Venn.

===BIBLIOGRAPHY===

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'''[[#citeF-1|[1]]]'''  C. H. Lehmann, ``Geometría Analítica", Primera edición, Limusa,  México, (1997). <div id="cite-2"></div>
'''[[#citeF-2|[2]]]'''  D. Hilbert, ``Fundamentos de la Geometría", Segunda edición, Consejo Superior de Investigaciones Científicas, España, (1996). <div id="cite-3"></div>
'''[[#citeF-3|[3]]]'''  E. Kreyszig, “Introductory Functional Analysis with Applications”, Segunda edición, Wiley, Estados Unidos de América, (1989). <div id="cite-4"></div>
'''[4]'''  G. Villalobos y E. Gósteva, ``Teoría de Conjuntos", Primera edición, amate editorial, México, (2000). <div id="cite-5"></div>
'''[[#citeF-5|[5]]]'''  I. Bronshtein y K. Semendiaev, ``Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes", Tercera reimpresión, Ediciones de Cultura Popular, México, (1977). <div id="cite-6"></div>
'''[6]'''  J. Wentworth y D. E. Smith, ``Geometría Plana y del Espacio", Vigésimocuarta edición, Editorial Porrua, México, (2003). <div id="cite-7"></div>
'''[[#citeF-7|[7]]]'''  S. Lipschutz, ``Topología General", Primera edición, Serie de compendios Schaum, México, (1970).