Control law for a robot network formation using static diffusive coupling

<small>Received: 13/12/2016<br />
Accepted: 06/05/2017<br />
Published: 01/07/2017</small>

==Resumen==

En este artículo se describe una propuesta de control para un objetivo de formación de una red de robots en trabajo colaborativo con acoplamiento difusivo estático utilizando herramientas derivadas de la teoría de grafos. Dicha propuesta se garantiza mediante la teoría de estabilidad de Lyapunov y se valida con resultados en simulación y en experimentación. Como parte importante de este trabajo, se detalla a manera de tutorial el procedimiento para la formulación de la red de robots abordada y también se propone una ley de control de formación con procedimiento para la no colisión entre los robots que forman la red utilizando la misma topología de red.

''Palabras clave'': Formación de redes de robots, acoplamiento difusivo estático, teoría de estabilidad de Lyapunov, validación experimental, no colisión.

==Abstract==

This article describes a control proposal for a formation objective of a robot network in collaborative work with static diffusive coupling using tools derived from graph theory. This proposal is guaranteed by the stability theory of Lyapunov and it is validated with results in simulation and experimentation. As an important part of this work, it is detailed like a tutorial the procedure for the formulation of the robot network addressed and also it is proposed a formation control law with procedure for non-collision between the robots that form the network using the same network topology.


==1. Introducción==

Desde principios del presente siglo se han incrementado notablemente los esfuerzos por coordinar y sincronizar grupos de robots que forman redes para el trabajo colaborativo. Estas ''Redes de Robots'' (RR´s) se justifican en misiones que no son posibles llevarlas a cabo con robots actuando de forma individual por razones de su propia capacidad. Entre los aspectos de estudio de mayor interés destaca la propuesta de ''leyes de control'' que gobiernen el comportamiento colectivo.  Para muchas misiones de estas RR´s, la etapa primaria es su ''formación'' con un patrón geométrico o una distribución determinada [1]. La formación consiste en un posicionamiento relativo espacial con respecto a una o más referencias, fijas o móviles, para cada uno de los robots que forman parte de la red [2]. Para este problema de formación se han utilizado distintas metodologías [2-8]. La mayor parte de estas metodologías se fundamenta en la teoría de grafos cuyos inicios están documentados desde el siglo XVIII y que en la década de 1960 se extiende para aplicaciones en redes complejas [9-15]. Mediante la teoría de grafos es posible expresar interacciones entre sistemas dinámicos de manera general y organizada, facilitando la formulación de leyes de control para gobernar el comportamiento entero de una red.

Dentro del campo de la teoría de grafos y redes complejas, el ''acoplamiento difusivo estático'' es una estrategia ampliamente utilizada para realizar la interconexión entre los nodos (robots) de la red [16,17]. El principio de acoplamiento difusivo estático es un esquema de retroalimentación constante [17] entre los robots que forman parte de la red, pudiendo ser esta conectividad global o parcial (respectivamente: todos los robots se conectan con el resto de robots o sólo parte de ellos). La retroalimentación consiste en insertar como parte de la entrada del sistema dinámico del robot una señal que es la diferencia entre las variables de salida del robot de interés y las variables de salida del resto de robots en la red [18]. De este tipo de acoplamiento se han derivado distintas metodologías con el propósito de forzar una respuesta deseada en los robots, denominada estado de ''sincronía''[14]; ó bien, una respuesta de sincronía natural, denominada ''consenso'' [19-21]. Una modalidad de estrategia de control que destaca para redes de gran dimensión es el control ''pinning ''(líderes referentes), que propone una acción de control en sólo un reducido número de sistemas dinámicos de la red y que inducen a la red entera hacia un estado de sincronía [11,14-15,22]. Estas estrategias se pueden llevar a cabo tanto mediante el control centralizado como con el control distribuido [23]. Con el control centralizado el procesamiento reside en un procesador que se encarga de monitorear las variables de estado de cada robot y de comunicar las acciones de control necesarias para alcanzar el objetivo de movimiento. Con el control distribuido el procesamiento reside en dos o más procesadores con acceso total o parcial a la información de variables de estado de la red; típicamente los robots llevan sus controladores a bordo.

La formación de robots es aún un problema abierto [3-5], especialmente para RR´s de gran dimensión y RR´s heterogéneas. Las redes heterogéneas de robots están integradas por robots con distintos modelos dinámicos, con distintas dimensiones de vectores de variables de estado, con distinta dimensión de variables de salida o una combinación de las condiciones anteriores [16,17]. Las soluciones propuestas aún son parciales y requieren una integración para resolver problemas íntimamente relacionados. Tales problemas, además de los ya mencionados, son la evasión de obstáculos, la no colisión entre robots, las saturaciones en los accionamientos para el control, la diversidad de escenarios y las limitaciones en los enlaces de comunicación para el control[14-15].

Las contribuciones del presente trabajo se aplican en la ''formación ''de una RR´s utilizando herramientas derivadas de la teoría de grafos. Estas contribuciones son: (i) un tutorial para la formulación de RR´s mediante el acoplamiento difusivo estático en el que se describen de manera detallada los elementos y variables que intervienen en la red, (ii) una ley de control para una formación deseada de la RR´s bajo esta formulación y (iii) un procedimiento para la no colisión entre los robots que forman la red utilizando la misma topología de la RR´s. La metodología desarrollada se ejemplifica con simulaciones y experimentos mediante la construcción de una red de ''Robots Móviles Terrestres a base de Ruedas ''(RMTR’s).

El resto de este documento está organizado como sigue. En la sección 2 se expone un tutorial que describe paso a paso la la formulación de una RR´s basado en el modelo para cada <math display="inline">i</math>-ésimo robot que forma parte de la red y la estrategia de acoplamiento difusivo estático. En la sección 3 se propone la ley de control para la formación de una red de robots construida con robots tipo uniciclo. La efectividad de la ley de control se demuestra utilizando la teoría de estabilidad de Lyapunov. En la sección 4 se presentan los resultados de simulación y experimentación. En la sección 5 se describe un procedimiento para evitar las colisiones entre robots de la red ejemplificada en la sección 4 y se presentan resultados de simulación y experimentación. Finalmente, en la sección 6 se presentan las conclusiones generales.

==2. Formulación de una red de robots==

En esta sección se describe a manera de tutorial una metodología para la formulación de una RR´s.  En la sección 2.1 se presenta el modelo de ''un robot individual''. En la sección 2.2 se describe el modelo del <math display="inline">i</math>-ésimo robot <math display="inline">{R}_{i}</math> en una red de robots considerando la contribución de todos los robots que pertenecen a la red sobre las entradas de dicho robot. En la sección 2.3 se muestra un esquema de red general de robots. En la sección 2.4 se explican los elementos necesarios para la formulación de una red de robots mediante el acoplamiento difusivo estático y la sección 2.5 expone un ejemplo detallado para la formulación de una red de robots con la estrategia descrita.

===2.1 Modelo de un robot individual===

El modelo de un robot individual resulta por lo general en una o más ecuaciones diferenciales no lineales que pueden expresarse de la forma

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\overset{\cdot}{\mathit{\boldsymbol{x}}}=\mathit{\boldsymbol{f}}(t,\mathit{\boldsymbol{x}} ,\mathit{\boldsymbol{u}})</math>,
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |
|-
| style="text-align: center;" | <math> \mathit{\boldsymbol{y}}=\mathit{\boldsymbol{h}}(t,\mathit{\boldsymbol{x}},\mathit{\boldsymbol{u}})</math>,
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(1)
|}
|}

donde <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{x}}\in \, {\mathit{\mathbb{R}}}^{r}</math> es el vector de variables de estado, <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{y\, \in \, }}{\mathit{\mathbb{R}}}^{s}</math> es el vector de variables de salida, <math display="inline">t</math> denota la variable tiempo continuo, <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{u}}\in \, {\mathit{\mathbb{R}}}^{p}</math> es el vector de variables de entrada. <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{f}}:\mathit{\mathbb{R}}\times {\mathit{\mathbb{R}}}^{r}\times {\mathit{\mathbb{R}}}^{p}\rightarrow {\mathit{\mathbb{R}}}^{r}</math> y <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{h}}:\mathit{\boldsymbol{\, }}\mathit{\mathbb{R}}\times {\mathit{\mathbb{R}}}^{r}\times {\mathit{\mathbb{R}}}^{p}\rightarrow {\mathit{\mathbb{R}}}^{s}</math> son funciones continuas. En la Figura 1 se muestra el diagrama a bloques de un robot individual en correspondencia con (1).

<div id='img-1'></div>
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
| [[Image:draft_Aparicio Nogué_723966060-image1.jpeg|300px]] [[Image:draft_Aparicio Nogué_723966060-image2.jpeg|96px]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 1:''' (a) Diagrama a bloques de un robot individual, (b) Representación simplificada
|}

===2.2 Modelo del <math display="inline">i</math>-ésimo robot en una red de robots===
Para un robot <math display="inline">{R}_{i}</math> que pertenece a una red se puede proponer un nuevo vector de entrada <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{\vartheta }}}_{i}\mathit{\boldsymbol{\in \, }}{\mathit{\mathbb{R}}}^{{p}_{{\vartheta }_{i}}}</math>, de manera que su modelo quedaría como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
|
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\overset{\cdot}{\mathit{\boldsymbol{x}}}}_{i}={\mathit{\boldsymbol{f}}}_{i}(t,{\mathit{\boldsymbol{x}}}_{i},{\mathit{\boldsymbol{u}}}_{i}),</math> 
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\mathit{\boldsymbol{y}}}_{i}={\mathit{\boldsymbol{h}}}_{i}(t,{\mathit{\boldsymbol{x}}}_{i},{\mathit{\boldsymbol{u}}}_{i}),</math> 
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\mathit{\boldsymbol{u}}}_{i}={\mathit{\boldsymbol{\Upsilon }}}_{i}\left( t,\mathit{\boldsymbol{y}},{\mathit{\boldsymbol{\vartheta }}}_{i}\right),</math>
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(2)
|}
|}

donde <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{\Upsilon }}}_{i}:\mathit{\boldsymbol{\, }}\mathit{\mathbb{R}}\times {\mathit{\mathbb{R}}}^{s}\times {\mathit{\mathbb{R}}}^{{p}_{{\vartheta }_{i}}}\rightarrow {\mathit{\mathbb{R}}}^{{p}_{i}}</math> es un mapeo de <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{y}}</math> y <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{\vartheta }}}_{i}</math> hacia el vector de excitación <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{u}}}_{i}</math> con <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{y}}</math> la concatenación de vectores de variables de salida de cada robot de la red, <math display="inline">s=</math><math>\sum _{i=1}^{N}{s}_{i}</math> y <math display="inline">N</math> la cantidad de robots que integran la red. La Figura 2 muestra el modelo de (2) de manera simplificada.

<div id='img-2'></div>
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
| [[Image:draft_Aparicio Nogué_723966060-image3.jpeg|150px]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 2:''' Modelo de un <math display="inline">i</math>-ésimo robot que pertenece a una red.
|}

===2.3 Modelo de una red de robots===

En consecuencia, de acuerdo a (2), la Figura 3 muestra el diagrama a bloques de una red de robots.

<div id='img-3'></div>
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
| [[Image:draft_Aparicio Nogué_723966060-image4.jpeg|306px]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 3:''' Diagrama a bloques de una red de robots.
|}

===2.4 Estrategia de acoplamiento difusivo estático===

Una red de robots también puede ser expresada mediante el conjunto de robots y de conexiones que la conforman mediante

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">G=(R,\varepsilon )</math>,
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |(3)
|}
|}

donde <math display="inline">R=</math><math>\left\{ {R}_{i}:i=1,2,\ldots ,N\right\}</math> es el conjunto de <math display="inline">N</math> robots y <math display="inline">\varepsilon=</math><math>\left\{ {\varepsilon}_{ij}({\mathit{\boldsymbol{y}}}_{j}):i,j=1,2,\ldots ,N\right\}</math> es el conjunto de <math display="inline">NxN</math> conexiones dirigidas de la red. Una conexión dirigida <math display="inline">\, {\varepsilon}_{ij}({\mathit{\boldsymbol{y}}}_{j})\in {\mathit{\mathbb{R}}}^{{p}_{i}}</math> es una función que corresponde a un par de robots <math display="inline">({R}_{i},{R}_{j})</math> siendo la salida <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{y}}}_{j}\in {\mathit{\mathbb{R}}}^{{s}_{j}}</math> (salida del robot <math display="inline">{R}_{j}</math>) el vector de información que se transfiere al robot <math display="inline">{R}_{i}</math> mediante una transformación <math display="inline">{\varepsilon}_{ij}:\, {\mathit{\mathbb{R}}}^{{s}_{j}}\rightarrow {\mathit{\mathbb{R}}}^{{p}_{i}}</math>. La Figura 4 muestra las conexiones dirigidas de manera generalizada para un par de robots <math display="inline">{R}_{i}</math> y <math display="inline">{R}_{j}</math>.

<div id='img-4'></div>
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
| [[Image:draft_Aparicio Nogué_723966060-image5.jpeg|336px]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 4:''' Grafo o esquema generalizado de conexiones dirigidas en los robots <math display="inline">{R}_{i}</math> y <math display="inline">{R}_{j}</math> de una red.
|}

De esta forma, una estrategia común para la construcción de la función <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{\Upsilon }}}_{i}</math> relacionada con (2) [11,15-17], corresponde a un sistema lineal de acoplamiento difusivo estático donde el conjunto de conexiones de todos los robots respecto al robot <math display="inline">{R}_{i}</math> se expresa como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{\varepsilon}}}_{i}(\mathit{\boldsymbol{y}})=c\sum _{j=1}^{N}{\mathit{\boldsymbol{\varepsilon}}}_{ij}({\mathit{\boldsymbol{y}}}_{j})</math>
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |(4)
|}
|}

donde <math display="inline">c>0</math> es la denominada fuerza global de acoplamiento, <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{\varepsilon}}}_{ij}({\mathit{\boldsymbol{y}}}_{j})=</math><math>{g}_{ij}{\mathit{\boldsymbol{\Gamma }}}_{ij}{\mathit{\boldsymbol{y}}}_{j}</math>, con <math display="inline">{g}_{ij}</math> elemento de la matriz de configuración externa de red <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{\, G}}\in {\mathit{\mathbb{R}}}^{NxN}</math> obtenida mediante

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{G}}=\mathit{\boldsymbol{\cal A}}-{\Delta }_{ent}</math>
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |(5)
|}
|}

donde <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{\cal A}}{\mathit{\boldsymbol{\, \, }}\in \mathit{\mathbb{R}}}^{NxN}</math> es la matriz de adyacencia ponderada con sus elementos <math display="inline">{a}_{ij}>0</math> si existe una conexión entre el robot <math display="inline">{R}_{i}</math> y el robot <math display="inline">{R}_{j}</math> y <math display="inline">{a}_{ij}=</math><math>0</math> si no existe la conexión (<math display="inline">{a}_{ij}</math> es la magnitud de la conexión y en particular <math display="inline">{a}_{ii}=</math><math>0</math>); <math display="inline">{\Delta }_{ent}=</math><math>diag\lbrace {d}_{ii}\rbrace {\mathit{\boldsymbol{\, \, }}\in \mathit{\mathbb{R}}}^{NxN}</math> es la matriz de grado de entrada con <math display="inline">{d}_{ii}=</math><math>\sum _{j=1}^{N}{a}_{ij}</math> la suma de los pesos de las conexiones que ingresan a cada robot <math display="inline">{R}_{i}</math> (note que de esta forma <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{G}}</math> es difundida puesto que la suma de sus elementos por renglón es nula); y <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{\Gamma }}}_{ij}\in {\mathit{\mathbb{R}}}^{{p}_{i}x{s}_{j}}</math> es la matriz de configuración interna que expresa las proporciones de contribución de las variables de salida <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{y}}}_{j}</math> hacia <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{u}}}_{i}</math> y en consecuencia, define la relación interna entre las variables del robot <math display="inline">{R}_{j}</math> hacia las variables del robot <math display="inline">{R}_{i}</math>.

De esta manera el acoplamiento difusivo estático para generar <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{u}}}_{i}</math> es

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{u}}}_{i}=c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit{\boldsymbol{\Gamma }}}_{ij}{\mathit{\boldsymbol{y}}}_{j}+</math><math>{\mathit{\boldsymbol{\vartheta }}}_{i},\quad i=1,2,\ldots ,N</math>
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |(6)
|}
|}

donde se ha considerado en forma aditiva la nueva entrada de control <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{\vartheta }}}_{i}</math>. La Figura 5 muestra el diagrama a bloques para una red formulada utilizando la estrategia (6), mientras que la Figura 6 presenta el esquema generalizado de conexiones dirigidas equivalente.

<div id='img-5'></div>
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
| [[Image:draft_Aparicio Nogué_723966060-image6.jpeg|600px]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 5:''' Diagrama a bloques para una red <math display="inline">G</math> de robots con acoplamiento difusivo estático.
|}

<div id='img-6'></div>
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
| [[Image:draft_Aparicio Nogué_723966060-image7.jpeg|426px]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 6:''' Esquema generalizado de conexiones dirigidas equivalente al diagrama a bloques de la Figura 5.
|}

===2.5 Ejemplo de formulación de una RR´s con acoplamiento difusivo estático===

''Ejemplo 2.1'': Considérese la topología descrita en el grafo de la Figura 7 con los 4 robots distintos (red heterogénea) mostrados en la Figura 8.

<div id='img-7'></div>
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
| [[Image:draft_Aparicio Nogué_723966060-image8.jpeg|174px]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 7:''' Grafo para el ejemplo de formulación de red de robots. Observe que las autoconexiones en cada robot no son mostradas.
|}

<div id='img-8'></div>
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
| [[Image:draft_Aparicio Nogué_723966060-image9.jpeg|234px]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 8:''' Detalle de los <math display="inline">N=</math><math>4</math> robots distintos para el ejemplo de formulación de red.
|}

Considere las siguientes magnitudes de conexión: <math display="inline">{a}_{12}=</math><math>3</math>, <math display="inline">{a}_{23}=</math><math>4</math>, <math display="inline">{a}_{31}=</math><math>2</math>, <math display="inline">{a}_{42}=</math><math>5</math> y <math display="inline">{a}_{43}=</math><math>1</math>; tal que

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{A=}}\left[ \begin{matrix}0\\0\\2\\0\end{matrix}\, \, \begin{matrix}3\\0\\0\\5\end{matrix}\, \, \begin{matrix}0\\4\\0\\1\end{matrix}\, \, \begin{matrix}0\\0\\0\\0\end{matrix}\right]</math>, y <math display="inline">{\Delta }_{ent}=</math><math>diag\lbrace 3,4,2,6\rbrace</math>
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |
|}
|}

De este modo, según (5), la matriz de conexión externa resulta

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{G}}=\left[ \begin{matrix}{g}_{11}\\0\\{g}_{31}\\0\end{matrix}\, \, \begin{matrix}{g}_{12}\\{g}_{22}\\0\\{g}_{42}\end{matrix}\, \, \begin{matrix}0\\{g}_{23}\\{g}_{33}\\{g}_{43}\end{matrix}\, \, \begin{matrix}0\\0\\0\\{g}_{44}\end{matrix}\right] =\left[ \begin{matrix}-3\\0\\2\\0\end{matrix}\, \, \begin{matrix}3\\-4\\0\\5\end{matrix}\, \, \begin{matrix}0\\4\\-2\\1\end{matrix}\, \, \begin{matrix}0\\0\\0\\-6\end{matrix}\right]</math>
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(7)
|}
|}

Ahora bien, la matriz de matrices de configuración interna debe ser

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{\Gamma }}=\left[ \begin{matrix}{\mathit{\boldsymbol{\Gamma }}}_{11}\\\mathit{\boldsymbol{0}}\\{\mathit{\boldsymbol{\Gamma }}}_{31}\\\mathit{\boldsymbol{0}}\end{matrix}\, \, \begin{matrix}{\mathit{\boldsymbol{\Gamma }}}_{12}\\{\mathit{\boldsymbol{\Gamma }}}_{22}\\\mathit{\boldsymbol{0}}\\{\mathit{\boldsymbol{\Gamma }}}_{42}\end{matrix}\, \, \begin{matrix}\mathit{\boldsymbol{0}}\\{\mathit{\boldsymbol{\Gamma }}}_{23}\\{\mathit{\boldsymbol{\Gamma }}}_{33}\\{\mathit{\boldsymbol{\Gamma }}}_{43}\end{matrix}\, \, \begin{matrix}\mathit{\boldsymbol{0}}\\\mathit{\boldsymbol{0}}\\\mathit{\boldsymbol{0}}\\{\mathit{\boldsymbol{\Gamma }}}_{44}\end{matrix}\right]</math>
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |(8)
|}
|}

con <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{\Gamma }}}_{ij}{\mathit{\boldsymbol{\, \, }}\in \mathit{\mathbb{R}}}^{{r}_{i}x{s}_{j}}</math> cada matriz de configuración interna y con <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{0}}</math> una matriz cero de dimensión adecuada; es decir


{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{\Gamma }}=\left[ \begin{matrix}\left[ \begin{matrix}{\gamma }_{11,11}\\{\gamma }_{11,21}\end{matrix}\, \, \begin{matrix}{\gamma }_{11,12}\\{\gamma }_{11,22}\end{matrix}\, \, \begin{matrix}{\gamma }_{11,13}\\{\gamma }_{11,23}\end{matrix}\right] \\\left[ \quad 0\quad \quad \, \, 0\quad \quad \, \, 0\quad \right] \\\left[ \begin{matrix}{\gamma }_{31,11}\\{\gamma }_{31,21}\end{matrix}\, \, \begin{matrix}{\gamma }_{31,12}\\{\gamma }_{31,22}\end{matrix}\, \, \begin{matrix}{\gamma }_{31,13}\\{\gamma }_{31,23}\end{matrix}\right] \\\left[ \quad \begin{matrix}0\\0\end{matrix}\quad \quad \, \, \begin{matrix}0\\0\end{matrix}\quad \quad \, \, \begin{matrix}0\\0\end{matrix}\quad \right] \end{matrix}\, \, \begin{matrix}\left[ \begin{matrix}{\gamma }_{12,11}\\{\gamma }_{12,21}\end{matrix}\, \, \begin{matrix}{\gamma }_{12,12}\\{\gamma }_{12,22}\end{matrix}\right] \\\left[ {\gamma }_{22,11}\, \, {\gamma }_{22,12}\right] \\\left[ \quad \begin{matrix}0\\0\end{matrix}\quad \quad \, \, \begin{matrix}0\\0\end{matrix}\quad \right] \\\left[ \begin{matrix}{\gamma }_{42,11}\\{\gamma }_{42,21}\end{matrix}\, \, \begin{matrix}{\gamma }_{42,12}\\{\gamma }_{42,22}\end{matrix}\right] \end{matrix}\, \, \begin{matrix}\left[ \quad \begin{matrix}0\\0\end{matrix}\quad \quad \, \, \begin{matrix}0\\0\end{matrix}\quad \right] \\\left[ {\gamma }_{23,11}\, \, {\gamma }_{23,12}\right] \\\left[ \begin{matrix}{\gamma }_{33,11}\\{\gamma }_{33,21}\end{matrix}\, \, \begin{matrix}{\gamma }_{33,12}\\{\gamma }_{33,22}\end{matrix}\right] \\\left[ \begin{matrix}{\gamma }_{34,11}\\{\gamma }_{34,21}\end{matrix}\, \, \begin{matrix}{\gamma }_{34,12}\\{\gamma }_{34,22}\end{matrix}\right] \end{matrix}\, \, \begin{matrix}\left[ \quad \begin{matrix}0\\0\end{matrix}\quad \right] \\\left[ \quad 0\quad \right] \\\left[ \quad \begin{matrix}0\\0\end{matrix}\quad \right] \\\left[ \begin{matrix}{\gamma }_{44,11}\\{\gamma }_{44,21}\end{matrix}\right] \end{matrix}\right]</math>
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |(9)
|}
|}

con cada <math display="inline">{\gamma }_{ij,kl}\geq 0</math> según la proporción de contribución de las variables <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{y}}}_{j}</math> hacia <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{u}}}_{i}</math>.

De esta manera, se completa (6) para la red de la Figuras 7 y 9 muestra su diagrama a bloques equivalente

<div id='img-9'></div>
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
| [[Image:draft_Aparicio Nogué_723966060-image10.jpeg|600px]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 9:''' Diagrama a bloques equivalente para el ejemplo de red heterogénea con 4 robots.
|}

==3. Formación de una red de robots==

En esta sección se presenta la propuesta para la formación de una red de robots construida con RMTR’s tipo uniciclo de tracción diferencial como el que se muestra en la Figura 10. Los robots se han modelado para expresar la cinemática de un punto objetivo <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{q}}=</math><math>{[{q}_{x}\, {q}_{y}]}^{T}\, \in \, \mathit{\mathbb{R}}^{2}</math> colocado en la parte superior del robot, centrado en referencia al eje que une sus ruedas en el punto <math display="inline">\bar{O}</math> pero desplazado una distancia <math display="inline">l</math> en dirección perpendicular a dicho eje (ver Figura 10). La cinemática de tal punto objetivo puede expresarse como [24]

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">\overset{\cdot}\mathit{\boldsymbol{q}}=\left[ \begin{matrix}cos{(\theta }_{R})&-lsen{(\theta }_{R})\\sen{(\theta }_{R})&lcos{(\theta }_{R})\end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix}{v}_{R}\\{\omega }_{R}\end{matrix}\right]</math> ,
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{\quad }}=\mathit{\boldsymbol{\Lambda }}{(\theta }_{R})\left[ \begin{matrix}{v}_{R}\\{\omega }_{R}\end{matrix}\right]</math>
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(10)
|}
|}

donde <math display="inline">{\theta }_{R}</math> denota la orientación del robot en referencia al marco global <math display="inline">{\Sigma }_{W}</math>,<math display="inline">{v}_{R}</math> es la variable de entrada correspondiente a la velocidad lineal del robot y <math display="inline">{\omega }_{R}</math> su otra variable de entrada correspondiente a su velocidad angular. Note que <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{\Lambda }}{(\theta }_{R})</math> es invertible si <math display="inline">l\not =0</math>, de manera que si esto se cumple (10) en forma simplificada quedaría

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">\overset{\cdot}\mathit{\boldsymbol{q}}=\mathit{\boldsymbol{u}}</math>
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(11)
|}
|}

donde <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{u}}=</math><math>{[{u}_{x}\, \, {u}_{y}]}^{T}=\mathit{\boldsymbol{\Lambda }}{(\theta }_{R}){[{v}_{R}\, \, {\omega }_{R}]}^{T}</math> representa el vector de entrada correspondiente a las velocidades lineales en direcciones <math display="inline">{W}_{x}</math> y <math display="inline">{W}_{y}</math> como se muestra en la Figura 10(b). La ecuación (11) es el modelo de nuestro robot individual, significando que en relación a (1): <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{x}}=</math><math>\mathit{\boldsymbol{q}}</math>, <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{f}}\left( t,\mathit{\boldsymbol{x}},\mathit{\boldsymbol{u}}\right) =</math><math>\mathit{\boldsymbol{u}}</math>, <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{y}}=</math><math>\mathit{\boldsymbol{q}}</math> y <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{h}}\left( t,\mathit{\boldsymbol{x}},\mathit{\boldsymbol{u}}\right) =</math><math>\mathit{\boldsymbol{x}}=\mathit{\boldsymbol{q}}</math>.

<div id='img-10'></div>
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
| [[Image:draft_Aparicio Nogué_723966060-image11.jpeg|270px]] [[Image:draft_Aparicio Nogué_723966060-image12.jpeg|222px]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 10:''' (a) Robot tipo uniciclo de tracción diferencial, (b) Vista superior del robot.
|}

Ahora, considérense <math display="inline">N</math> robots en red con acoplamiento difusivo estático con dinámica (11), de tal modo que para el <math display="inline">i</math>-ésimo robot sería

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">\overset{\cdot}\mathit{\boldsymbol{q}}_{\mathit{\boldsymbol{i}}}=</math><math>{\mathit{\boldsymbol{u}}}_{\mathit{\boldsymbol{i}}}</math>
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(12)
|}
|}

y de acuerdo a (6)
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{u}}}_{i}=c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit{\boldsymbol{q}}}_{j}{+\mathit{\boldsymbol{\vartheta }}}_{i},\quad i=</math><math>1,2,\ldots ,N</math>
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(13)
|}
|}

donde se ha sustituido <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{y}}=</math><math>\mathit{\boldsymbol{q}}</math> y <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{\Gamma }}}_{ij}=</math><math>{\mathit{\boldsymbol{I}}}_{2}</math> por ser una red homogénea.

El objetivo de formación se propone como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">\text{lim}_{t\rightarrow\infty}\,\|\mathit{\boldsymbol{e}}_{i}(t)\|=0,\quad i=</math><math>1,2,\ldots ,N</math>
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(14)
|}
|}

donde <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{i}=</math><math>{[{e}_{ix}\, {e}_{iy}]}^{T}={\mathit{\boldsymbol{q}}}_{i}-\mathit{\boldsymbol{s}}-</math><math>{\mathit{\boldsymbol{\varphi }}}_{i}</math>es el error de formación y se ha insertado un líder virtual (sistema de referencia de red) con sistema dinámico <math display="inline">\overset{\cdot}{\mathit{\boldsymbol{s}}}=</math><math>\mathit{\boldsymbol{f}}(\mathit{\boldsymbol{s}})</math> y un vector de posiciones finales deseadas constantes <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{\varphi }}}_{i}=</math><math>{[{\varphi }_{ix}\, \, {\varphi }_{iy}]}^{T}\, \in \, {\mathit{\mathbb{R}}}^{2}</math> para cada <math display="inline">{R}_{i}</math>-ésimo robot respecto al líder. El vector <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{s}}=</math><math>{[{s}_{x}\, \, {s}_{y}]}^{T}</math> puede ser un punto fijo o una trayectoria [11]. La derivada de <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{i}</math> es <math display="inline">\overset{\cdot}{{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{i\cdot}}=</math> <math>{\overset{\cdot}{\mathit{\boldsymbol{q}}}}_{i}-\overset{\cdot}{\mathit{\boldsymbol{s}}}</math> o bien sustituyéndole (12)

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">\overset{\cdot}{{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{i\cdot}}={\mathit{\boldsymbol{u}}}_{i}-</math><math>\overset{\cdot}{\mathit{\boldsymbol{s}}}</math>
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(15)
|}
|}

===3.1 Ley de control propuesta===

La ley de control propuesta para el objetivo de formación es

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{\vartheta }}}_{i}=-c{d}_{i}{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{i}-</math><math>c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit{\boldsymbol{\varphi }}}_{j}+\overset{\cdot}{\mathit{\boldsymbol{s}}},\quad i=</math><math>1,2,\ldots ,N</math>
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(16)
|}
|}

donde <math display="inline">{d}_{i}</math> es la ganancia del controlador para el <math display="inline">{R}_{i}</math>-ésimo robot. Así (13), luego de sustituirle (16) resulta

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{u}}}_{i}=c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit{\boldsymbol{q}}}_{j}-</math><math>c{d}_{i}{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{i}-c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit{\boldsymbol{\varphi }}}_{j}+</math><math>\overset{\cdot}{\mathit{\boldsymbol{s}}},\quad i=1,2,\ldots ,N</math>
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(17)
|}
|}

Ya que <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{q}}}_{j}=</math><math>{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{j}+\mathit{\boldsymbol{s}}+{\mathit{\boldsymbol{\varphi }}}_{j}</math> y que la matriz <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{G}}</math> es difundida, la dinámica (15) del error <math display="inline">\overset{\cdot}{{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{i}}</math> resulta

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">\overset{\cdot}{{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{\overset{\cdot}{i}}}=</math><math>c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{j}-c{d}_{i}{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{i},\quad i=</math><math>1,2,\ldots ,N</math>
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(18)
|}
|}

y en forma matricial (ver Apéndice A)

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">\overset{\cdot}{\mathit{\boldsymbol{e}}}=-\mathit{\boldsymbol{Fe}}</math>
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(19)
|}
|}

donde <math display="inline">\overset{\cdot}{\mathit{\boldsymbol{e}}}=</math><math>{[{\overset{\cdot}{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{1}^{T}\, \, {\overset{\cdot}{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{2}^{T}\, \ldots \, {\overset{\cdot}{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{N}^{T}]}^{T}</math>, <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{F}}=</math><math>c\left( \mathit{\boldsymbol{D}}-\mathit{\boldsymbol{G}}\right) \otimes {\mathit{\boldsymbol{I}}}_{2}</math>, <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{D}}=</math><math>diag\lbrace {d}_{1},\, {d}_{2},\, \ldots ,\, {d}_{N}\rbrace</math>  y <math display="inline">\otimes</math>  expresa el producto Kronecker [26].

===3.2 Punto de equilibrio y prueba de estabilidad===

Para demostrar el cumplimiento del objetivo de formación (14) con la ley de control (16) en el sistema expresado por (13)-(12), considérense los siguientes lemas:

''Lema 1'' [25]. Un sistema homogéneo <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{A}}y=</math><math>0</math>, donde <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{A}}\in {\mathit{\mathbb{R}}}^{rxr}</math>, posee una solución única (la solución trivial <math display="inline">y=</math><math>0</math>) si y sólo si el <math display="inline">rank\left( \mathit{\boldsymbol{A}}\right) =</math><math>r</math>.

''Lema 2'' [26]. Sea <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{A}}\in {\mathit{\mathbb{R}}}^{mxn}</math> con valores característicos <math display="inline">{\sigma }_{1}\geq \ldots \geq {\sigma }_{r}>0</math> y <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{B}}\in {\mathit{\mathbb{R}}}^{pxq}</math> con valores característicos <math display="inline">{\delta }_{1}\geq \ldots \geq {\delta }_{s}>0</math>. Entonces <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{A}}\otimes \mathit{\boldsymbol{B}}</math> (ó <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{B}}\otimes \mathit{\boldsymbol{A}}</math>) tiene <math display="inline">rs</math> valores característicos <math display="inline">{\sigma }_{1}{\delta }_{1}\geq \ldots \geq {\sigma }_{r}{\delta }_{s}>0</math> y <math display="inline">rank\left( \mathit{\boldsymbol{A}}\otimes \mathit{\boldsymbol{B}}\right) =</math><math>rank\left( \mathit{\boldsymbol{B}}\otimes \mathit{\boldsymbol{A}}\right) =</math><math>rank\left( \mathit{\boldsymbol{A}}\right) rank\mathit{\boldsymbol{(B)}}</math>.

''Lema 3'' [27]. Sea <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{P}}\in {\mathit{\mathbb{R}}}^{NxN}</math> una matriz cuadrada y haciendo <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{A}}=</math><math>\frac{1}{2}[\mathit{\boldsymbol{P}}+{\mathit{\boldsymbol{P}}}^{T}]</math>,  el Teorema de Silvester establece que <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{P}}</math> es definida positiva (<math display="inline">\mathit{\boldsymbol{P}}>0</math>) si y sólo si:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">\mathrm{{\Delta }_{1}=det}\,\left[ {a}_{11}\right] >0,\, \, {\Delta }_{2}=</math><math>det\left[ \begin{matrix}{a}_{11}&{a}_{12}\\{a}_{21}&{a}_{22}\end{matrix}\right] >0,\ldots ,\mathrm{{\Delta }_{N}=det}\,\left[ \mathit{\boldsymbol{A}}\right] >0</math>
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|
|}
|}

NOTA: Si <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{P}}</math> es definida positiva (<math display="inline">\mathit{\boldsymbol{P}}>0</math>) entonces <math display="inline">-</math><math>\mathit{\boldsymbol{P}}</math> es definida negativa (<math display="inline">-</math><math>\mathit{\boldsymbol{P}}<0</math>). Si <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{P}}</math> es semidefinida positiva (<math display="inline">\mathit{\boldsymbol{P}}\geq 0</math>) entonces <math display="inline">-</math><math>\mathit{\boldsymbol{P}}</math> es semidefinida negativa (<math display="inline">-</math><math>\mathit{\boldsymbol{P}}\leq 0</math>).

''Lema 4 ''[28]. Sean <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{P}}\in {\mathit{\mathbb{R}}}^{NxN}</math> y <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{\Gamma }}\in {\mathit{\mathbb{R}}}^{nxn}</math> matrices definidas (semidefinidas) positivas, entonces <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{P}}\otimes \mathit{\boldsymbol{\Gamma }}\in {\mathit{\mathbb{R}}}^{NnxNn}</math> es una matriz definida (semidefinida) positiva.

Ahora, supóngase que <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{e}}=</math><math>0</math> es un punto de equilibrio de (19) y, para el análisis de su estabilidad, considérese la siguiente función candidata de Lyapunov

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{V}}=\frac{1}{2}{\mathit{\boldsymbol{e}}}^{T}\mathit{\boldsymbol{e}}>0\, \forall \, \mathit{\boldsymbol{e}}\not =0</math>
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(20)
|}
|}

por lo que la derivada temporal de <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{V}}</math> es

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">\overset{\cdot}{\mathit{\boldsymbol{V}}}={\mathit{\boldsymbol{e}}}^{T}\overset{\cdot}{\mathit{\boldsymbol{e}}}\mathit{\boldsymbol{\cdot}}</math>
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(21)
|}
|}

Tomando <math display="inline">\overset{\cdot}{\mathit{\boldsymbol{e}}}</math>  de (19) y sustituyendo en (21) se tiene

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">\overset{\cdot}{\mathit{\boldsymbol{V}}}=-{\mathit{\boldsymbol{e}}}^{T}\mathit{\boldsymbol{Fe}}</math>
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(22)
|}
|}

De manera que si <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{F}}>0</math> entonces <math display="inline">\overset{\cdot}{\mathit{\boldsymbol{V}}}\mathit{\boldsymbol{<}}0</math> <math display="inline">\forall \, e\not =0</math>, significando que <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{e}}=</math><math>0</math> es un punto de equilibrio asintóticamente estable y con esto queda demostrado el cumplimiento del objetivo de formación (14).

Como ejemplos considérense las siguientes topologías típicas para una red con <math display="inline">N</math> robots.

''Ejemplo 3.1'': La red direccionada y no ponderada (magnitud de conexión unitaria) de la Figura 11 en configuración estrella con el robot <math display="inline">{R}_{1}</math> en la raíz. Su matriz de configuración externa resulta

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{G}}=\left[ \begin{matrix}0\\1\\1\\\, \\1\end{matrix}\quad \begin{matrix}0\\-1\\0\\\vdots \\0\end{matrix}\quad \begin{matrix}0\\0\\-1\\\, \\0\end{matrix}\quad \begin{matrix}\, \\\ldots \\\, \\\ddots \\\ldots \end{matrix}\quad \begin{matrix}0\\0\\0\\\vdots \\-1\end{matrix}\right]</math>
|  style="text-align: right;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(23)
|}
|}

Propóngase

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{D}}-\mathit{\boldsymbol{G}}=\left[ \begin{matrix}{d}_{1}\\-1\\-1\\\, \\-1\end{matrix}\quad \begin{matrix}0\\1\\0\\\vdots \\0\end{matrix}\quad \begin{matrix}0\\0\\1\\\, \\0\end{matrix}\quad \begin{matrix}\, \\\cdots \\\, \\\ddots \\\ldots \end{matrix}\quad \begin{matrix}0\\0\\0\\\vdots \\1\end{matrix}\right]</math>
|  style="text-align: right;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(24)
|}
|}

<div id='img-11'></div>
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
| [[Image:draft_Aparicio Nogué_723966060-image13.jpeg|216px]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 11:''' Una red de <math display="inline">N</math> robots con Topología Estrella.
|}

Se ha considerado <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{D}}=</math><math>diag\lbrace {d}_{1},0,\ldots ,0\rbrace</math>  ya que el robot en la raíz (<math display="inline">{R}_{1}</math>) de la red es el único viable para ser líder, pues es el único que mantiene conexiones direccionadas con el resto de los robots. Obsérvese que (24) es una matriz triangular, por lo que si <math display="inline">{d}_{1}\not =0</math>su rango es completo (<math display="inline">rank(\mathit{\boldsymbol{D}}-</math><math>\mathit{\boldsymbol{G}})=N</math>). De esta manera, si <math display="inline">{d}_{1}\not =0</math>y apoyándonos en los ''Lemas 1'' y'' 2'' , <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{e}}=</math><math>0</math>es el único punto de equilibrio de (19).

Ahora, partiendo de (24) y aplicando el'' Lema 3 ''con <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{A}}=</math><math>\left[ \left( \mathit{\boldsymbol{D-G}}\right) {+\left( \mathit{\boldsymbol{D-G}}\right) }^{T}\right] /2</math>se tiene

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{A}}=\left[ \begin{matrix}{d}_{1}\\-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\\\, \\-\frac{1}{2}\end{matrix}\quad \begin{matrix}-\frac{1}{2}\\1\\0\\\vdots \\0\end{matrix}\quad \begin{matrix}-\frac{1}{2}\\0\\1\\\, \\0\end{matrix}\quad \begin{matrix}\, \\\cdots \\\, \\\ddots \\\ldots \end{matrix}\quad \begin{matrix}-\frac{1}{2}\\0\\0\\\vdots \\1\end{matrix}\right]</math>
|  style="text-align: right;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(25)
|}
|}

de forma que <math display="inline">{\Delta }_{1}=</math><math>{d}_{1}</math> (<<math display="inline">{\Delta }_{1}>0</math> si <math display="inline">{d}_{1}>0</math>), <math display="inline">{\Delta }_{2}=</math><math>{d}_{1}-\frac{1}{4}</math> (<math display="inline">{\Delta }_{2}>0</math> si <math display="inline">{d}_{1}>\frac{1}{4)}</math>,…, <math display="inline">{\Delta }_{i}=</math><math>{d}_{1}-\frac{[i-1]}{4}</math> (<math display="inline">{\Delta }_{i}>0</math> si <math display="inline">{d}_{1}>\frac{[i-1]}{4}</math>),…, <math display="inline">{\Delta }_{N}=</math><math>{d}_{1}-\frac{[N-1]}{4}</math> (<math display="inline">{\Delta }_{N}>0</math> si <math display="inline">{d}_{1}>\frac{[N-1]}{4}</math>).

De manera que apoyándonos en el ''Lema 4'', entonces si

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">{d}_{1}>\frac{[N-1]}{4}</math>
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(26)
|}
|}

entonces <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{F}}>0</math>; cumpliéndose el objetivo de formación (14) de forma global.

''Ejemplo 3.2'': La red direccionada y no ponderada de la Figura 12 en configuración anillo. Su matriz de configuración externa resulta

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{G}}=\left[ \begin{matrix}-1\\1\\0\\\vdots \\0\\0\\0\end{matrix}\, \, \begin{matrix}0\\-1\\1\\\, \\0\\0\\0\end{matrix}\, \, \begin{matrix}0\\0\\-1\\\, \\0\\0\\0\end{matrix}\, \, \begin{matrix}\ldots \\\, \\\, \\\ddots \\\, \\\, \\\ldots \end{matrix}\, \, \begin{matrix}0\\0\\0\\\, \\-1\\1\\0\end{matrix}\, \, \begin{matrix}0\\0\\0\\\, \\0\\-1\\1\end{matrix}\, \, \begin{matrix}1\\0\\0\\\vdots \\0\\0\\-1\end{matrix}\, \, \right]</math>
|  style="text-align: right;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(27)
|}
|}

Propóngase

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{D}}-\mathit{\boldsymbol{G}}=\left[ \begin{matrix}1+{d}_{1}\\-1\\0\\\vdots \\0\\0\\0\end{matrix}\, \, \begin{matrix}0\\1+{d}_{2}\\-1\\\, \\0\\0\\0\end{matrix}\, \, \begin{matrix}0\\0\\1+{d}_{3}\\\, \\0\\0\\0\end{matrix}\, \, \begin{matrix}\ldots \\\, \\\, \\\ddots \\\, \\\, \\\ldots \end{matrix}\quad \begin{matrix}0\\0\\0\\\, \\1+{d}_{N-2}\\-1\\0\end{matrix}\quad \begin{matrix}0\\0\\0\\\, \\0\\1+{d}_{N-1}\\-1\end{matrix}\, \, \begin{matrix}-1\\0\\0\\\vdots \\0\\0\\1+{d}_{N}\end{matrix}\right]</math>
|  style="text-align: right;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(28)
|}
|}

<div id='img-12'></div>
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
| [[Image:draft_Aparicio Nogué_723966060-image14.jpeg|150px]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 12:''' Una red de <math display="inline">N</math> robots con Topología Anillo.
|}

Nótese que <math display="inline">rank(\mathit{\boldsymbol{G}})=N-</math><math>1</math> (lo cual puede comprobarse directamente al aplicar el procedimiento de eliminación de Gauss). Para que <math display="inline">rank\left( \mathit{\boldsymbol{D-G}}\right)</math>  sea completo, por la simetría de la topología, resulta suficiente cualquier <math display="inline">{d}_{i}\not =0</math>. Supóngase <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{D=}}diag\mathit{\boldsymbol{\lbrace }}{d}_{1}\mathit{\boldsymbol{,\, }}0,\ldots ,0\rbrace</math>  de manera que si <math display="inline">{d}_{1}\not =0</math> y apoyándose en los ''Lemas 1'' y ''2'', <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{e}}=</math><math>0</math> es el único punto de equilibrio de (19).

Ahora, sustituyendo la <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{D}}</math> supuesta en (28) y aplicando el'' Lema 3 ''con <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{A}}=</math><math>\left[ \left( \mathit{\boldsymbol{D-G}}\right) {+\left( \mathit{\boldsymbol{D-G}}\right) }^{T}\right] /2</math>se tiene

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{A}}=\left[ \begin{matrix}1+{d}_{1}\\-\frac{1}{2}\\0\\\vdots \\0\\0\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\, \, \begin{matrix}-\frac{1}{2}\\1\\-\frac{1}{2}\\\, \\0\\0\\0\end{matrix}\, \, \begin{matrix}0\\-\frac{1}{2}\\1\\\, \\0\\0\\0\end{matrix}\, \, \begin{matrix}\ldots \\\, \\\, \\\ddots \\\, \\\, \\\ldots \end{matrix}\quad \begin{matrix}0\\0\\0\\\, \\1\\-\frac{1}{2}\\0\end{matrix}\quad \begin{matrix}0\\0\\0\\\, \\-\frac{1}{2}\\1\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\, \, \begin{matrix}-\frac{1}{2}\\0\\0\\\vdots \\0\\-\frac{1}{2}\\1\end{matrix}\right]</math>
|  style="text-align: right;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(29)
|}
|}

de forma que <math display="inline">{\Delta }_{i}=</math><math>a{d}_{1}+b</math>, donde <math display="inline">a=</math><math>\frac{i}{{2}^{i-1}}</math> para <math display="inline">i=</math><math>1,2,\ldots ,N</math>, <math display="inline">b=</math><math>\frac{(i+1)}{{2}^{i}}</math> para <math display="inline">i=1,2,\ldots ,N-</math><math>1</math> y <math display="inline">b=</math><math>0</math> para <math display="inline">i=</math><math>N</math>, siendo cada <math display="inline">{\Delta }_{i}>0</math> si <math display="inline">{d}_{1}>0</math>. Por lo tanto, apoyándonos en el ''Lema 4'', entonces si <math display="inline">{d}_{1}>0</math> se cumple que <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{F}}>0</math> y el objetivo de formación (14) es satisfecho de forma global.

''Ejemplo 3.3'': La red direccionada y no ponderada de la Figura 13 en configuración malla. Su matriz de configuración externa resulta

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{G}}=\left[ \begin{matrix}N-1\\-1\\\vdots \\-1\end{matrix}\quad \begin{matrix}-1\\N-1\\\, \\-1\end{matrix}\quad \begin{matrix}\ldots \\\, \\\ddots \\\ldots \end{matrix}\quad \begin{matrix}-1\\-1\\\vdots \\N-1\end{matrix}\right]</math>
|  style="text-align: right;vertical-align: center;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(30)
|}
|}

Propóngase

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{D}}-\mathit{\boldsymbol{G}}=\left[ \begin{matrix}N-1+{d}_{1}\\-1\\\, \\-1\end{matrix}\quad \begin{matrix}-1\\N-1+{d}_{2}\\\, \\-1\end{matrix}\quad \begin{matrix}\ldots \\\, \\\ddots \\\ldots \end{matrix}\quad \begin{matrix}-1\\-1\\\vdots \\N-1+{d}_{N}\end{matrix}\right]</math>
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |(31)
|}
|}

<div id='img-13'></div>
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
| [[Image:draft_Aparicio Nogué_723966060-image15.jpeg|180px]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 13:''' Una red de <math display="inline">N</math> robots con Topología Malla.
|}

Nótese que <math display="inline">rank(\mathit{\boldsymbol{G}})=N-</math><math>1</math> (lo cual puede comprobarse al aplicar el procedimiento de eliminación de Gauss). Para que <math display="inline">rank\left( \mathit{\boldsymbol{D-G}}\right)</math>  sea completo''' '''resulta suficiente cualquier <math display="inline">{d}_{i}\not =0</math>. Supóngase <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{D=}}diag\mathit{\boldsymbol{\lbrace }}{d}_{1}\mathit{\boldsymbol{,\, }}0,\ldots ,0\rbrace</math>  de manera que si <math display="inline">{d}_{1}\not =0</math> y apoyándose en los ''Lemas 1'' y ''2,'' <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{e}}=</math><math>0</math> es el único punto de equilibrio de (19).

Ahora, sustituyendo la <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{D}}</math> supuesta en (31) y aplicando el'' Lema 3 ''con <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{A}}=</math><math>\left[ \left( \mathit{\boldsymbol{D-G}}\right) {+\left( \mathit{\boldsymbol{D-G}}\right) }^{T}\right] /2</math> se tiene

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{D}}-\mathit{\boldsymbol{G}}=\left[ \begin{matrix}N-1+{d}_{1}\\-1\\\, \\-1\end{matrix}\quad \begin{matrix}-1\\N-1\\\, \\-1\end{matrix}\quad \begin{matrix}\ldots \\\, \\\ddots \\\ldots \end{matrix}\quad \begin{matrix}-1\\-1\\\vdots \\N-1\end{matrix}\right]</math>
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |(32)
|}
|}

donde <math display="inline">{{\Delta }_{i}=(N}^{i-1}-</math><math>\left( i-1\right) {N}^{i-2}){d}_{1}+{N}^{i}-i{N}^{i-1},\quad i=1,2,\ldots ,N</math>. De manera que para que cada <math display="inline">{\Delta }_{i}>0</math>, <math display="inline">{d}_{1}>\frac{(i{N}^{i-1}-{N}^{i})}{\left( {N}^{i-1}-\left( i-1\right) {N}^{i-2}\right) =N(i-N)/(N-i+1)}</math> para <math display="inline">i=</math><math>1,2,\ldots ,N</math>, es decir, <math display="inline">{d}_{1}>0</math>. Por lo tanto, apoyándonos en el ''Lema 4'', entonces si <math display="inline">{d}_{1}>0</math> se cumple que <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{F}}>0</math> y el objetivo de formación (14) es satisfecho de forma global.

==4. Simulación y experimento==

===4.1. Caso particular de una red con 5 robots tipo uniciclo===

La Figura 14 muestra una RR’s direccionada, no típica y no ponderada, compuesta por cinco robots tipo uniciclo con dinámica de sus puntos objetivo (12) y para la cual resulta su matriz de configuración externa

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{G}}=\left[ \begin{matrix}0\\{g}_{21}\\{g}_{31}\\0\\0\end{matrix}\quad \begin{matrix}0\\{g}_{22}\\0\\{g}_{42}\\0\end{matrix}\quad \begin{matrix}0\\0\\{g}_{33}\\{g}_{43}\\{g}_{53}\end{matrix}\quad \begin{matrix}0\\0\\{g}_{34}\\{g}_{44}\\0\end{matrix}\quad \begin{matrix}0\\0\\0\\0\\{g}_{55}\end{matrix}\right]</math>
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{\quad \, \, }}=\left[ \begin{matrix}0\\1\\1\\0\\0\end{matrix}\quad \begin{matrix}0\\-1\\0\\1\\0\end{matrix}\quad \begin{matrix}0\\0\\-2\\1\\1\end{matrix}\quad \begin{matrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{matrix}\quad \begin{matrix}0\\0\\0\\0\\-1\end{matrix}\right]</math>
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(33)
|}
|}

<div id='img-14'></div>
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
| [[Image:draft_Aparicio Nogué_723966060-image16.jpeg|162px]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 14:''' Topología externa de una RR´s no típica con 5 robots tipo uniciclo de tracción diferencial.
|}

Nótese que <math display="inline">rank(\mathit{\boldsymbol{G}})=N-</math><math>1</math> ya que su renglón 1 es nulo. Se propone la matriz <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{D=}}diag\mathit{\boldsymbol{\lbrace }}{d}_{1}\mathit{\boldsymbol{,\, }}0,\ldots ,0\rbrace</math>  debido a que <math display="inline">{R}_{1}</math> tiene trayectorias direccionadas hacia el resto de los robots. Para que <math display="inline">rank\left( \mathit{\boldsymbol{D-G}}\right)</math>  sea completo resulta suficiente <math display="inline">{d}_{1}\not =0</math> (lo que se comprueba con el procedimiento de eliminación de Gauss) y apoyándose en los ''Lemas 1'' y ''2'', <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{e}}=</math><math>0</math> es el único punto de equilibrio de (19).

Ahora, aplicando el'' Lema 3 ''en <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{D-G}}</math> con <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{A}}=</math><math>\left[ \left( \mathit{\boldsymbol{D-G}}\right) {+\left( \mathit{\boldsymbol{D-G}}\right) }^{T}\right] /2</math> se tiene

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{A=}}\left[ \begin{matrix}{d}_{1}\\-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\\0\\0\end{matrix}\quad \begin{matrix}-\frac{1}{2}\\1\\0\\-\frac{1}{2}\\0\end{matrix}\quad \begin{matrix}-\frac{1}{2}\\0\\2\\-1\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\quad \begin{matrix}0\\-\frac{1}{2}\\-1\\2\\0\end{matrix}\quad \begin{matrix}0\\0\\-\frac{1}{2}\\0\\1\end{matrix}\right]</math>
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |(34)
|}
|}

donde resulta

<math display="inline">{\Delta }_{1}={d}_{1}</math> (<math display="inline">{\Delta }_{1}>0</math> si <math display="inline">{d}_{1}>0</math>), <math display="inline">{\Delta }_{2}=</math><math>{d}_{1}-\frac{1}{4}</math> (<math display="inline">{\Delta }_{2}>0</math> si <math display="inline">{d}_{1}>\frac{1}{4}</math>), <math display="inline">{\Delta }_{3}=</math><math>2{d}_{1}-\frac{3}{4}</math>, (<math display="inline">{\Delta }_{3}>0</math> si <math display="inline">{d}_{1}>\frac{3}{8}</math>), <math display="inline">{\Delta }_{4}=</math><math>\frac{5}{2}{d}_{1}-\frac{23}{16}</math> (<math display="inline">{\Delta }_{4}>0</math> si <math display="inline">{d}_{1}>\frac{23}{40}</math>) y <math display="inline">{\Delta }_{5}=</math><math>\frac{33}{16}{d}_{1}-\frac{21}{16}</math> (<math display="inline">{\Delta }_{5}>0</math> si <math display="inline">{d}_{1}>\frac{21}{33}</math>).

Por lo tanto, apoyándonos en el ''Lema 4'', entonces si <math display="inline">{d}_{1}>\frac{21}{33}</math> se cumple que <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{F}}>0</math> y el objetivo de formación (14) es satisfecho de forma global.

===4.2. Simulación y experimento===

Para la simulación de la red formada por cinco robots se utilizó MATLAB R2011b. El experimento se realizó con cinco robots tipo uniciclo modelo YSR-A de la empresa Yujin que reciben las consignas de velocidad mediante módulos de comunicación inalámbrica operando a 418 MHz y a una tasa de 19.2 Kbps. Los módulos de comunicación se conectan a un procesador central vía puerto serie. Este procesador central ejecuta una aplicación de tiempo real en ambiente RTLinux, auxiliado de una tarjeta de video Leonardo de la empresa Arvoo y con programación basada en [33]. Para efectos de identificar la postura de los robots se colocaron dos puntos marca sobre cada robot, uno para la posición objetivo y el otro como auxiliar para el cálculo de su orientación. Las imágenes se registran mediante una cámara UF-1000CL de la empresa UNIQ cuyo eje óptico apunta perpendicularmente al plano de movimiento de los robots (ver Figura 10). La cámara es de alta velocidad y se configuró a razón de 200 cuadros por segundo, obteniéndose un periodo estricto de muestreo en los experimentos de 0.005 s.

En la Tabla 1 se muestran las condiciones iniciales y posiciones finales deseadas para el control de formación de la red de la Figura 14; utilizando un líder virtual con dinámica <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{s}}\cdot=</math><math>0</math> y con condición inicial <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{s}}(0)=</math><math>{[0\, \, 0]}^{T}m</math>, una fuerza global de acoplamiento <math display="inline">c=</math><math>1.8</math>, ganancias <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{D}}=</math><math>diag\lbrace 2\, \, 0\, \, 0\, \, 0\, \, 0\rbrace</math>  y una distancia <math display="inline">l=</math><math>0.036</math> m entre marcas sobre cada robot. Obsérvese que se desea una formación en línea recta con un ángulo de
<math display="inline">\pi /4</math> rad respecto al marco global <math display="inline">{\Sigma }_{W}</math>.

<span style="font-size: 75%; text-align: center;">'''Tabla 1'''. Condiciones de simulación y experimentación para la RR´s de la Figura 14.</span>

{| style="border-collapse: collapse; width: 80%; margin: 0 auto; text-align: center;" 
|-
|  style="border: 1pt solid black;vertical-align: top; width: 25px"| <math>i</math>
|  style="border: 1pt solid black;vertical-align: top;"| <math display="inline">{q}_{ix}(0)</math> [m]
|  style="border: 1pt solid black;vertical-align: top;"| <math display="inline">{q}_{iy}(0)</math> [m]
|  style="border: 1pt solid black;vertical-align: top;"| <math display="inline">{\theta }_{i}(0)</math> [rad]
|  style="border: 1pt solid black;vertical-align: top;"| <math display="inline">{\varphi }_{ix}</math> [m]
|  style="border: 1pt solid black;vertical-align: top;"| <math display="inline">{\varphi }_{iy}</math> [m]
|-
|  style="border: 1pt solid black;vertical-align: top;"|1
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0.1511
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0.2286
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-1.1802
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0.30
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0.30
|-
|  style="border: 1pt solid black;vertical-align: top;"|2
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0.4243
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0.0891
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-1.1310
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0.15
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0.15
|-
|  style="border: 1pt solid black;vertical-align: top;"|3
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0.2135
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0.0247
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0.7598
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0
|-
|  style="border: 1pt solid black;vertical-align: top;"|4
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0.0496
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0.0717
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0.3286
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0.15
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0.15
|-
|  style="border: 1pt solid black;vertical-align: top;"|5
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0.1259
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0.2499
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|2.8198
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0.30
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0.30
|}

La Figura 15(a) muestra la evolución de los errores en simulación, los cuales tienden a cero a medida que el tiempo transcurre. Una apreciación visual simple destaca que es suficiente <math display="inline">t\approx 5</math> s para que el error pueda considerarse prácticamente cero. En la Figura 15(b) se presentan las gráficas de los errores en el experimento. Cabe destacar que el umbral de reacción de los robots se encuentra por encima de 0.0156 m/s de manera que debajo de dicho valor no hay movimiento del robot. Lo anterior es lo que justifica que en el experimento exista un error en estado estacionario, es decir, cuando la ley de control demanda velocidades pequeñas (pues el robot está cerca del objetivo) se cae dentro del umbral de no reacción del robot deteniendo su movimiento. La norma de error más grande lo presenta <math display="inline">{R}_{5}</math> con <math display="inline">\left\| {e}_{5}\right\| =</math><math>0.0105</math> m.


<div id='img-15'></div>
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
| [[Image:draft_Aparicio Nogué_723966060-image17.png|312px]] [[Image:draft_Aparicio Nogué_723966060-image18.png|318px]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 15:''' Evolución de los errores: (a) En simulación, (b) En experimento.
|}

La Figura 16 muestra las trayectorias seguidas por los robots. Las trayectorias experimentales descritas difieren un tanto de las trayectorias simuladas, esto debido a factores no modelados, como deslizamientos, derrapes y umbrales de reacción. El objetivo final, sin embargo, se alcanza satisfactoriamente.

<div id='img-16'></div>
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
| [[Image:draft_Aparicio Nogué_723966060-image19.png|372px]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 16:''' Trayectorias para la formación en línea recta en el marco global <math display="inline">{\Sigma }_{W}</math>.
|}

Las gráficas en las Figuras 17 y 18 muestran respectivamente la evolución de las velocidades lineales (<math display="inline">{v}_{{R}_{i}}</math>) y angulares (<math display="inline">{\omega }_{{R}_{i}}</math>) de los robots en simulación (17(a) y 18(a)) y en experimentación (17(b) y 18(b)). Las trayectorias experimentales muestran que luego de <math display="inline">t\approx 4</math> s permanece un pequeño valor constante <math display="inline">{v}_{{R}_{i}}</math> y un pequeño valor oscilatorio <math display="inline">{\omega }_{{R}_{i}}</math> incapaces de causar movimiento práctico en los robots.

<div id='img-17'></div>
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
| [[Image:draft_Aparicio Nogué_723966060-image20.png|312px]] [[Image:draft_Aparicio Nogué_723966060-image21.png|312px]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 17:''' Gráficas de velocidades lineales de los robots: (a) Simulación, (b) Experimento.
|}

<div id='img-18'></div>
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
| [[Image:draft_Aparicio Nogué_723966060-image22.png|312px]] [[Image:draft_Aparicio Nogué_723966060-image23.png|312px]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 18:''' Gráficas de velocidades angulares de los robots: (a) Simulación, (b) Experimento.
|}

==5. Ley de control con procedimiento para evitar colisiones==

La evasión de obstáculos y la no colisión entre los robots de una red aún es un problema abierto, especialmente cuando se tiene un número elevado de robots en áreas reducidas. En la literatura pueden encontrarse estudios que abordan esta problemática [24,29-32].

===5.1. Ley de control===

Se propone que la ley de control (16) contenga además, en forma aditiva, una acción de repulsión <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{u}}}_{ri}\, \in \, {\mathit{\mathbb{R}}}^{2}</math>como procedimiento para evitar colisiones entre los robots. Para el planteamiento formulado en la Sección 3, la propuesta, inspirada en [31], es la siguiente (la cual incluye el vector adicional de acciones de control <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{U}}}_{r}=</math><math>{[{\mathit{\boldsymbol{u}}}_{r1}^{T}\, {\mathit{\boldsymbol{u}}}_{r2}^{T}\ldots {\mathit{\boldsymbol{u}}}_{rN}^{T}]}^{T}\in \, {\mathit{\mathbb{R}}}^{2N}</math>):

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{\vartheta }}}_{i}=-c{d}_{i}{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{i}-</math><math>c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit{\boldsymbol{\varphi }}}_{j}+\overset{\cdot}{\mathit{\boldsymbol{s}}}+</math><math>{\mathit{\boldsymbol{u}}}_{ri}</math>, <math display="inline">i=</math><math>1,2,\ldots N</math>
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |(35)
|}
|}

donde <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{u}}}_{ri}=</math><math>{h}_{i}{[-{e}_{iy}\, \, {e}_{ix}]}^{T}</math>con <math display="inline">{h}_{i}\, \in \, \mathit{\mathbb{R}}</math>un factor de repulsión. De esta manera (13) resulta

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{u}}}_{i}=c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit{\boldsymbol{q}}}_{j}-</math><math>c{d}_{i}{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{i}-c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit{\boldsymbol{\varphi }}}_{j}+</math><math>\overset{\cdot}{\mathit{\boldsymbol{s}}}+{h}_{i}{\left[ -{e}_{iy}\, \, {e}_{ix}\right] }^{T},\quad i=</math><math>1,2,\ldots N</math>
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |(36)
|}
|}

Manteniendo como objetivo el control de formación expresado por (14), la derivada del error es

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">\overset{\cdot}{{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{i\cdot}}=</math><math>c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{j}-c{d}_{i}{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{i}+</math><math>{h}_{i}{\left[ -{e}_{iy}\, \, {e}_{ix}\right] }^{T},\quad i=1,2,\ldots N</math>
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |(37)
|}
|}

Obsérvese que <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{i}=</math><math>0</math> sigue siendo un punto de equilibrio. Ahora, considérese la función candidata de Lyapunov (20) y su derivada (21), entonces para este caso <math display="inline">\overset{\cdot}{\mathit{\boldsymbol{V}}}</math> puede escribirse como 

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">\overset{\cdot}{\mathit{\boldsymbol{V}}}=-c{\mathit{\boldsymbol{e}}}^{T}\lbrace [\mathit{\boldsymbol{D-G}}]\otimes {\mathit{\boldsymbol{I}}}_{2}\rbrace \mathit{\boldsymbol{e}}+</math><math>c{\mathit{\boldsymbol{e}}}^{T}[\mathit{\boldsymbol{H}}\otimes {\mathit{\boldsymbol{I}}}_{2}]{\mathit{\boldsymbol{e}}}^{\bot}</math>
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |(38)
|}
|}

donde <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{\, H}}=</math><math>diag\lbrace {h}_{1},{h}_{2},\ldots {h}_{N}\rbrace</math>  y <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{e}}}^{\bot}=</math><math>{[-{e}_{1y}\, \, {e}_{1x}\, \, -{e}_{2y}\, \, {e}_{2x}\ldots \, -{e}_{Ny}\, \, {e}_{Nx}]}^{T}</math>.

La contribución<math display="inline">c\mathit{\boldsymbol{e}}^{T}[\mathit{\boldsymbol{H}}\otimes \mathit{\boldsymbol{I}}_{2}]\mathit{\boldsymbol{e}}^{\bot}</math> en (38) es

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>c{\mathit{\boldsymbol{e}}}^{T}[\mathit{\boldsymbol{H}}\otimes {\mathit{\boldsymbol{I}}}_{2}]{\mathit{\boldsymbol{e}}}^{\bot}</math> <math display="inline">=c{\left[ {e}_{1x}\, \, {e}_{1y}\, \, {e}_{2x}\, \, {e}_{2y}\ldots \, {e}_{Nx}\, \, {e}_{Ny}\right] }^{T}\left[ \begin{matrix}{h}_{1}\\0\\0\\0\\\vdots \\0\\0\end{matrix}\, \, \begin{matrix}0\\{h}_{1}\\0\\0\\\vdots \\0\\0\end{matrix}\, \, \begin{matrix}0\\0\\{h}_{2}\\0\\\vdots \\0\\0\end{matrix}\, \, \begin{matrix}0\\0\\0\\{h}_{2}\\\vdots \\0\\0\end{matrix}\, \, \begin{matrix}\ldots \\\ldots \\\ldots \\\ldots \\\ddots \\0\\0\end{matrix}\, \, \begin{matrix}0\\0\\0\\0\\\vdots \\{h}_{N}\\0\end{matrix}\, \, \begin{matrix}0\\0\\0\\0\\\vdots \\0\\{h}_{N}\end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix}-{e}_{1y}\\{e}_{1x}\\-{e}_{2y}\\{e}_{2x}\\\vdots \\-{e}_{Ny}\\{e}_{Nx}\end{matrix}\right]</math> , 
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |
|-
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">=c\lbrace -{h}_{1}{e}_{1x}{e}_{1y}+{h}_{1}{e}_{1x}{e}_{1y}-</math><math>{h}_{2}{e}_{2x}{e}_{2y}+{h}_{2}{e}_{2x}{e}_{2y}\ldots -{h}_{N}{e}_{Nx}{e}_{Ny}+{h}_{N}{e}_{Nx}{e}_{Ny}\rbrace</math> ,
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">=0</math>,
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(39)
|}
|}

y (38) resulta equivalente a (22). Con esto se demuestra que el objetivo de formación (14) se sigue satisfaciendo.

===5.2. Cálculo de la matriz de repulsión <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{H}}</math>===

Considérese la Figura 19 en la que se representa el plano <math display="inline">{\Sigma }_{W}</math> de movimiento de los robots. Obsérvese la posición final deseada <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{\varphi }}}_{i}</math> para el punto objetivo <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{q}}}_{i}</math> del robot <math display="inline">{R}_{i}</math>, y obsérvese el punto objetivo  <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{q}}}_{j}</math> del robot <math display="inline">{R}_{j}</math>. El espacio físico que ocupa cada robot se delimita por un círculo de radio <math display="inline">r</math>. Ahora note el punto <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{O}}}_{ij}\in \, {\mathit{\mathbb{R}}}^{2}</math> a una distancia <math display="inline">2r</math> de la posición del robot <math display="inline">{R}_{j}</math> sobre la línea que une los puntos <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{q}}}_{i}</math> y <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{q}}}_{j}</math>, el cual expresa la mínima distancia permitida al robot <math display="inline">{R}_{i}</math>para no colisionar con el robot <math display="inline">{R}_{j}</math>; es decir

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{O}}}_{ij}={\mathit{\boldsymbol{q}}}_{j}+</math><math>2r\frac{{\mathit{\boldsymbol{q}}}_{i}-{\mathit{\boldsymbol{q}}}_{j}}{\left\| {\mathit{\boldsymbol{q}}}_{i}-{\mathit{\boldsymbol{q}}}_{j}\right\| }</math>
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |(40)
|}
|}

<div id='img-19'></div>
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
| [[Image:draft_Aparicio Nogué_723966060-image24.png|246px]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 19:''' Esquema para la evasión de obstáculos.
|}

Considérese además una matriz <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{H}}}_{r}\in \, {\mathit{\mathbb{R}}}^{NxN}</math> con componentes del factor de repulsión <math display="inline">{h}_{ij}>0</math>(para <math display="inline">i,j=</math><math>1,2,\ldots ,N</math> con <math display="inline">i\not =j</math>) si existe una trayectoria direccionada desde <math display="inline">{R}_{j}</math> hasta <math display="inline">{R}_{i}</math>, tal que el robot <math display="inline">{R}_{i}</math> disponga de la información de las variables de salida del robot <math display="inline">{R}_{j}</math> de forma directa o a través de otro robot en dicha trayectoria; <math display="inline">{h}_{ij}=</math><math>0</math> en caso contrario. Los elementos <math display="inline">{h}_{ii}=</math><math>0</math> (los componentes del factor de repulsión en la diagonal de <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{H}}}_{r}</math> son nulos). De esta manera, los componentes no nulos del factor de repulsión estarían dados por

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">{h}_{ij}=\frac{\alpha \mathrm{tanh}\,(\lambda \lbrace {q}_{iy}-L({q}_{ix})\rbrace \lbrace {\varphi }_{ix}-{q}_{jx}\rbrace )}{\left\| {q}_{i}-{O}_{ij}\right\| +\sigma }</math>
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |(41)
|}
|}

donde <math display="inline">\alpha ,\lambda >0\,</math> son ganancias para ponderar la magnitud de la repulsión, <math display="inline">\sigma</math>  es un escalar positivo (muy pequeño sólo para evitar singularidades) y <math display="inline">L({q}_{ix})</math> es la evaluación en el punto <math display="inline">{q}_{ix}</math>de la ecuación de la línea recta que une los puntos <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{\varphi }}}_{i}</math>y <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{q}}}_{j}</math>; es decir

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">L\left( {q}_{ix}\right) =\frac{{\varphi }_{iy}-{q}_{jy}}{{\varphi }_{ix}-{q}_{jx}}\left( {q}_{ix}-\right. </math><math>\left. {q}_{jx}\right) +{q}_{jy}</math>
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |(42)
|}
|}

Finalmente, los elementos de la diagonal en la matriz <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{H}}</math> son <math display="inline">{h}_{i}=</math><math>\sum _{j=1}^{N}{h}_{ij}\,</math>  para <math display="inline">i=</math><math>1,2,\ldots ,N</math>.

===5.3. Simulación y experimento considerando el procedimiento para evitar colisiones===

Considérese la red mostrada en la Figura 14 y descrita en la Sección 4.2, de tal forma que su matriz de componentes del factor de repulsión es

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{H}}}_{r}\, =\left[ \begin{matrix}0\\{h}_{21}\\{h}_{31}\\{h}_{41}\\{h}_{51}\end{matrix}\, \, \begin{matrix}0\\0\\{h}_{32}\\{h}_{42}\\{h}_{52}\end{matrix}\, \, \begin{matrix}0\\0\\0\\{h}_{43}\\{h}_{53}\end{matrix}\, \, \begin{matrix}0\\0\\{h}_{34}\\0\\{h}_{54}\end{matrix}\, \, \begin{matrix}0\\0\\0\\0\\0\end{matrix}\right]</math>
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |(43)
|}
|}

Por lo que la matriz <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{H=}}diag\lbrace 0,{h}_{2},{h}_{3},{h}_{4},{h}_{5}\rbrace</math>  donde <math display="inline">{h}_{2}=</math><math>{h}_{21}</math>, <math display="inline">{h}_{3}=</math><math>{h}_{31}+{h}_{32}+{h}_{34}</math>, <math display="inline">{h}_{4}=</math><math>{h}_{41}+{h}_{42}+{h}_{43}</math> y <math display="inline">{h}_{5}=</math><math>{h}_{51}+{h}_{52}+{h}_{53}+{h}_{54}</math>.

En la Tabla 2 se muestran las condiciones iniciales y posiciones finales deseadas. Para el control de esta red se utilizó  un líder virtual fijo en el origen del marco global, una fuerza global de acoplamiento <math display="inline">c=</math><math>1.25</math>, ganancia <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{D}}=</math><math>diag\lbrace 1\, \, 0\, \, 0\, \, 0\, \, 0\rbrace</math>, <math display="inline">\alpha =</math><math>0.25,\, \, \lambda =12</math> y <math display="inline">\sigma =</math><math>0.001</math>.  El radio de delimitación <math display="inline">r</math> fue igual a <math display="inline">0.1</math> m, el cual incluye una tolerancia de <math display="inline">0.02</math> m.

Tabla 2. Condiciones de simulación y experimentación para la RR´s de la Figura 14 que incluye la ley con procedimiento para la no colisión.

{| style="border-collapse: collapse;" 
|-
|  style="border: 1pt solid black;vertical-align: top;"| <math>i</math>
|  style="border: 1pt solid black;vertical-align: top;"| <math display="inline">{q}_{ix}(0)</math> [m]
|  style="border: 1pt solid black;vertical-align: top;"| <math display="inline">{q}_{iy}(0)</math> [m]
|  style="border: 1pt solid black;vertical-align: top;"| <math display="inline">{\theta }_{i}(0)</math> [rad]
|  style="border: 1pt solid black;vertical-align: top;"| <math display="inline">{\varphi }_{ix}</math> [m]
|  style="border: 1pt solid black;vertical-align: top;"| <math display="inline">{\varphi }_{iy}</math> [m]
|-
|  style="border: 1pt solid black;vertical-align: top;"|1
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0.1955
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0.1706
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0.0568
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0
|-
|  style="border: 1pt solid black;vertical-align: top;"|2
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0.0390
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0.0020
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0.0267
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0.3
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0.3
|-
|  style="border: 1pt solid black;vertical-align: top;"|3
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0.1620
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0.3492
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-3.0882
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0.3
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0.3
|-
|  style="border: 1pt solid black;vertical-align: top;"|4
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0.1135
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0.3512
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|3.0847
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0.3
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0.3
|-
|  style="border: 1pt solid black;vertical-align: top;"|5
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0.0261
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0.1846
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0.0542
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|0.3
|  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|-0.3
|}

En el proceso de simulación y experimentación se han calculado las normas de separación <math display="inline">{N}_{ij}=</math><math>\left\| {q}_{i}-{q}_{j}\right\|</math> entre todos los robots con la finalidad de apreciar el desempeño del procedimiento para evitar colisiones en conjunto con la ley para la formación. La Figura 20 presenta las magnitudes de las normas <math display="inline">{N}_{ij}</math> de separación. Debe esperarse que ninguna norma resulte menor a <math display="inline">2\left( r-\right. </math><math>\left. 0.02\right) =0.16</math> m. En la Figura 20(a), obtenida mediante simulación sin incluir el procedimiento para evitar colisiones, se muestra que existe un conflicto de colisión entre los robots <math display="inline">{R}_{1}</math> y <math display="inline">{R}_{2}</math> (en algún momento <math display="inline">{N}_{21}<0.16</math> m). La Figura 20(b), también mediante simulación, muestra que este conflicto se elimina al incluir la acción para la no colisión. Nótese además que entre <math display="inline">{R}_{1}</math> y <math display="inline">{R}_{3}</math> existe una condición inicial cercana a <math display="inline">2(r-</math><math>0.02)</math> sin causar colisión en la evolución de las trayectorias de los robots.  La Figura 20(c), obtenida mediante el experimento, muestra que con las ganancias utilizadas se resuelve la colisión entre <math display="inline">{R}_{1}</math> y <math display="inline">{R}_{2}</math> y no se genera ninguna otra colisión.


<div id='img-20'></div>
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
| [[Image:draft_Aparicio Nogué_723966060-image25.png|312px]] [[Image:draft_Aparicio Nogué_723966060-image26.png|312px]]  [[Image:draft_Aparicio Nogué_723966060-image27.png|312px]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 20:''' Normas <math display="inline">\left\| {q}_{i}-\right. </math><math>\left. {q}_{j}\right\|</math> : (a) Simulada sin incluir el procedimiento para evitar colisiones, (b) Simulada incluyendo el procedimiento para evitar colisiones y (c) Experimento incluyendo el procedimiento para evitar colisiones.
|}

La Figura 21 grafica la evolución de los errores de formación. La Figura 21(a) muestra el comportamiento de la evolución de los errores en simulación y sugiere un tiempo de <math display="inline">t\approx</math> 8 s para alcanzar prácticamente el objetivo de formación fijado. La Figura 21(b) presenta la gráfica obtenida mediante el experimento.

<div id='img-21'></div>
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
| [[Image:draft_Aparicio Nogué_723966060-image28.png|312px]] [[Image:draft_Aparicio Nogué_723966060-image29.png|312px]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 21:''' Evolución de los errores: (a) En simulación, (b) En el experimento.
|}

En la Figura 22 se observan las posiciones iniciales y finales para cada robot; así como las trayectorias seguidas por cada uno de ellos. En la Figura 22(a) se muestran las trayectorias en simulación sin incluir la ley para la no colisión. En la Figura 22(b) se presentan las trayectorias de los robots cuando se incluye la ley para la no colisión, obsérvese que en el experimento el robot <math display="inline">{R}_{1}</math> no sigue una línea recta (como en la simulación) debido a que se hace presente la acción para no colisionar con el robot <math display="inline">{R}_{3}</math>, mismo que describe una trayectoria en arco para evitar colisionar tanto con el robot <math display="inline">{R}_{1}</math> como con el robot <math display="inline">{R}_{2}</math>. El movimiento inicial del robot <math display="inline">{R}_{2}</math> en dirección opuesta a su posición final deseada se debe a la dependencia con los estados de <math display="inline">{R}_{1}</math>, que al acercarse a <math display="inline">{R}_{2}</math> incrementa la acción de no colisión en este último. En general, las trayectorias de los cinco robots han sufrido cambios con la ley de no colisión en virtud de la naturaleza de la repulsión entre todos ellos. Para las trayectorias de este experimento y de igual manera que para las de la Figura 16, es notable el logro en una medida satisfactoria del objetivo propuesto.

<div id='img-22'></div>
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
| [[Image:draft_Aparicio Nogué_723966060-image30.png|318px]] [[Image:draft_Aparicio Nogué_723966060-image31.png|318px]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 22:''' (a) Trayectorias para la formación simuladas sin incluir  el procedimiento para evitar colisiones, (b) Trayectorias para la formación en simulación y experimentación incluyendo  el procedimiento para evitar colisiones.
|}

==6. Conclusiones==

Se ha presentado un tutorial para formular una red de robots mediante la estrategia de acoplamiento difusivo estático, típica en teoría de grafos. Se ha propuesto una ley de control para lograr el objetivo de formación de una red homogénea de robots utilizando la metodología descrita. Se ha realizado la experimentación para demostrar la validez de la ley de control propuesta y se ha demostrado el cumplimiento del objetivo de formación mediante la teoría de estabilidad de Lyapunov. Se ha particularizado en la inserción de la ganancia de control en tan solo un robot que recibe la información de estados de un líder virtual con la condición de que exista una trayectoria direccionada desde tal robot hacia todos los robots restantes de la red. Finalmente, utilizando la misma topología externa de la red se ha propuesto y validado experimentalmente el objetivo de formación con procedimiento para evitar colisiones entre los robots.

==Apéndice A==

'''Detalle de la forma matricial de''' <math display="inline">\overset{\cdot}{\mathit{\boldsymbol{e}}}</math>

Para <math display="inline">i=</math><math>1,2,\ldots ,N</math> y de acuerdo a (15) se tiene

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">\overset{\cdot}{{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{i\cdot}}={\mathit{\boldsymbol{u}}}_{i}-</math><math>\overset{\cdot}{\mathit{\boldsymbol{s}}}</math>
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |
|}
|}

y considerando (13)

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">\overset{\cdot}{{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{i\cdot}}=c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit{\boldsymbol{q}}}_{j}+</math><math>{\mathit{\boldsymbol{\vartheta }}}_{i}-\overset{\cdot}{\mathit{\boldsymbol{s}}}</math>
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |
|}
|}

Ahora, sustituyéndole la ley de control propuesta (16) tenemos (note que <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{q}}}_{j}=</math><math>{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{j}+\mathit{\boldsymbol{s}}+{\mathit{\boldsymbol{\varphi }}}_{j}</math>)

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" |<math>\overset{\cdot}{{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{i\cdot}}</math><math display="inline">=c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit{\boldsymbol{q}}}_{j}-</math><math>c{d}_{i}{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{i}-c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit{\boldsymbol{\varphi }}}_{j}+</math><math>\overset{\cdot}{\mathit{\boldsymbol{s}}}-\overset{\cdot}{\mathit{\boldsymbol{s}}}</math>,
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |
|-
|-
| style="text-align: center;" |<math display="inline">=c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}({\mathit{\boldsymbol{e}}}_{j}+\mathit{\boldsymbol{s}}+{\mathit{\boldsymbol{\varphi }}}_{j})-</math><math>c{d}_{i}{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{i}-c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit{\boldsymbol{\varphi }}}_{j}</math>,
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">=c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{j}+c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}\mathit{\boldsymbol{s}}+</math><math>c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit{\boldsymbol{\varphi }}}_{j}-c{d}_{i}{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{i}-</math><math>c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit{\boldsymbol{\varphi }}}_{j}</math>,
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">=c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{j}+c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}\mathit{\boldsymbol{s}}-</math><math>c{d}_{i}{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{i}</math>.
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |
|}
|}

Dado que <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{G}}</math> es difundida

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">\overset{\cdot}{{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{\overset{\cdot}{i}}}=</math><math>c\sum _{j=1}^{N}{g}_{ij}{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{j}-c{d}_{i}{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{i}</math>
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |
|}
|}

El desarrollo de <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{e\cdot}}}_{i}</math> para <math display="inline">i=</math><math>1,2,\ldots ,N</math> es

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" |<math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{e\cdot}}}_{1}=c\left\{ {g}_{11}{e}_{1}+\right. </math><math>\left. {g}_{12}{e}_{2}+\ldots +{g}_{1N}{e}_{N}\right\} -c{d}_{1}{e}_{1}</math>,
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |
|-
|-
| style="text-align: center;" |<math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{e\cdot}}}_{2}=c\left\{ {g}_{21}{e}_{1}+\right. </math><math>\left. {g}_{22}{e}_{2}+\ldots +{g}_{2N}{e}_{N}\right\} -c{d}_{2}{e}_{2}</math>,
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |
|-
| style="text-align: center;" | <math>\vdots</math> 
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{e\cdot}}}_{N}=c\left\{ {g}_{N1}{e}_{1}+\right. </math><math>\left. {g}_{N2}{e}_{2}+\ldots +{g}_{NN}{e}_{N}\right\} -c{d}_{N}{e}_{N}</math>,
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |
|}
|}

ó bien en forma matricial

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">\left[ \begin{matrix}{\overset{\cdot}{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{1}\\{\overset{\cdot}{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{2}\\\vdots \\{\overset{\cdot}{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_{N}\end{matrix}\right] =</math><math>c\left[ \begin{matrix}{g}_{11}\\{g}_{21}\\\vdots \\{g}_{N1}\end{matrix}\quad \begin{matrix}{g}_{12}\\{g}_{22}\\\vdots \\{g}_{N2}\end{matrix}\quad \begin{matrix}\ldots \\\ldots \\\ddots \\\ldots \end{matrix}\quad \begin{matrix}{g}_{1N}\\{g}_{2N}\\\vdots \\{g}_{NN}\end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix}{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{1}\\{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{2}\\\vdots \\{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{N}\end{matrix}\right] -</math><math>c\left[ \begin{matrix}{d}_{1}\\0\\\vdots \\0\end{matrix}\quad \begin{matrix}0\\{d}_{2}\\\vdots \\0\end{matrix}\quad \begin{matrix}\ldots \\\ldots \\\ddots \\\ldots \end{matrix}\quad \begin{matrix}0\\0\\\vdots \\{d}_{N}\end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix}{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{1}\\{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{2}\\\vdots \\{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{N}\end{matrix}\right]</math>,
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |
|-
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">=c\left( \left[ \begin{matrix}{g}_{11}\\{g}_{21}\\\vdots \\{g}_{N1}\end{matrix}\quad \begin{matrix}{g}_{12}\\{g}_{22}\\\vdots \\{g}_{N2}\end{matrix}\quad \begin{matrix}\ldots \\\ldots \\\ddots \\\ldots \end{matrix}\quad \begin{matrix}{g}_{1N}\\{g}_{2N}\\\vdots \\{g}_{NN}\end{matrix}\right] -\right. </math><math>\left. \left[ \begin{matrix}{d}_{1}\\0\\\vdots \\0\end{matrix}\quad \begin{matrix}0\\{d}_{2}\\\vdots \\0\end{matrix}\quad \begin{matrix}\ldots \\\ldots \\\ddots \\\ldots \end{matrix}\quad \begin{matrix}0\\0\\\vdots \\{d}_{N}\end{matrix}\right] \right) \left[ \begin{matrix}{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{1}\\{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{2}\\\vdots \\{\mathit{\boldsymbol{e}}}_{N}\end{matrix}\right]</math>,
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |
|}
|}

y dado que el acoplamiento corresponde a una red homogénea con <math display="inline">{\mathit{\boldsymbol{\Gamma }}}_{ij}=</math><math>{I}_{2}</math> para <math display="inline">i,j=</math><math>1,2,\ldots ,N</math>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">\left[ \begin{matrix}{\overset{\cdot}{e}}_{11}\\{\overset{\cdot}{e}}_{12}\\{\overset{\cdot}{e}}_{21}\\\vdots \\{\overset{\cdot}{e}}_{N2}\end{matrix}\right] =</math><math>c\left( \left[ \begin{matrix}{g}_{11}{I}_{2}\\{g}_{21}{I}_{2}\\\vdots \\{g}_{N1}{I}_{2}\end{matrix}\quad \begin{matrix}{g}_{12}{I}_{2}\\{g}_{22}{I}_{2}\\\vdots \\{g}_{N2}{I}_{2}\end{matrix}\quad \begin{matrix}\ldots \\\ldots \\\ddots \\\ldots \end{matrix}\quad \begin{matrix}{g}_{1N}{I}_{2}\\{g}_{2N}{I}_{2}\\\vdots \\{g}_{NN}{I}_{2}\end{matrix}\right] -\right. </math><math>\left. \left[ \begin{matrix}{d}_{1}{I}_{2}\\0{I}_{2}\\\vdots \\0{I}_{2}\end{matrix}\quad \begin{matrix}0{I}_{2}\\{d}_{2}{I}_{2}\\\vdots \\0{I}_{2}\end{matrix}\quad \begin{matrix}\ldots \\\ldots \\\ddots \\\ldots \end{matrix}\quad \begin{matrix}0{I}_{2}\\0{I}_{2}\\\vdots \\{d}_{N}{I}_{2}\end{matrix}\right] \right) \left[ \begin{matrix}{e}_{11}\\{e}_{12}\\{e}_{21}\\\vdots \\{e}_{N2}\end{matrix}\right]</math>,
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |
|}
|}

o bien

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">\left[ \begin{matrix}{\overset{\cdot}{e}}_{11}\\{\overset{\cdot}{e}}_{12}\\{\overset{\cdot}{e}}_{21}\\\vdots \\{\overset{\cdot}{e}}_{N2}\end{matrix}\right] =</math><math>c\left( \left( \left[ \begin{matrix}{g}_{11}\\{g}_{21}\\\vdots \\{g}_{N1}\end{matrix}\quad \begin{matrix}{g}_{12}\\{g}_{22}\\\vdots \\{g}_{N2}\end{matrix}\quad \begin{matrix}\ldots \\\ldots \\\ddots \\\ldots \end{matrix}\quad \begin{matrix}{g}_{1N}\\{g}_{2N}\\\vdots \\{g}_{NN}\end{matrix}\right] -\right. \right. </math><math>\left. \left. \left[ \begin{matrix}{d}_{1}\\0\\\vdots \\0\end{matrix}\quad \begin{matrix}0\\{d}_{2}\\\vdots \\0\end{matrix}\quad \begin{matrix}\ldots \\\ldots \\\ddots \\\ldots \end{matrix}\quad \begin{matrix}0\\0\\\vdots \\{d}_{N}\end{matrix}\right] \right) \otimes {I}_{2}\right) \left[ \begin{matrix}{e}_{11}\\{e}_{12}\\{e}_{21}\\\vdots \\{e}_{N2}\end{matrix}\right]</math>,
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |
|}
|}

que resulta en

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math display="inline">\mathit{\boldsymbol{e}}\mathit{\boldsymbol{\cdot=}}c\left( \left( \mathit{\boldsymbol{G}}-\right. \right. </math><math>\left. \left. \mathit{\boldsymbol{D}}\right) \otimes {\mathit{\boldsymbol{I}}}_{2}\right) \mathit{\boldsymbol{e}}</math>,
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |
|}
|}

es decir

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\overset{\cdot}{\mathit{\boldsymbol{e}}}</math><math display="inline">\mathit{\boldsymbol{=-}}c\left( \left( \mathit{\boldsymbol{D}}-\right. \right. </math><math>\left. \left. \mathit{\boldsymbol{G}}\right) \otimes {\mathit{\boldsymbol{I}}}_{2}\right) \mathit{\boldsymbol{e}}</math>,

<math display="inline">\mathit{\boldsymbol{=-F}}\mathit{\boldsymbol{e}}</math>. ■
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" |
|}
|}

==Agradecimientos==

Se agradece el apoyo financiero del Tecnológico Nacional de México, del Instituto Tecnológico de Ensenada, del PRODEP y del CONACYT (Proyecto 166654).

==Referencias==

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