Robustez y componente gigante de la red aeroportuaria de la República Mexicana mediante un análisis en Teoría de Grafos

==1 Introducción y relevancia==

La robustez es una cualidad deseada en cualquier sistema conectado en el cual las unidades interactúen entre sí y su funcionamiento global depende de esta comunicación. En un universo interconectado y en constante cambio, la capacidad de resistir perturbaciones, adaptarse a desafíos inesperados y mantener su funcionalidad esencial se convierte en un criterio fundamental para evaluar la eficacia y la viabilidad de diversos sistemas interconectados <span id='citeF-1'></span><span id='citeF-2'><span>[1,2].

Algunas de las áreas donde la robustez se constituye como una piedra angular para evaluar la estabilidad y la capacidad de respuesta incluyen la redes eléctricas y de transporte de energía <span id='citeF-3'></span>[3], los ecosistemas naturales (desde bosques hasta arrecifes de coral) <span id='citeF-4'></span>[4] así como las redes de transporte urbano <span id='citeF-5'></span>[5], por mencionar solo algunas. La evaluación de la robustez en estos contextos proporcionan un marco invaluable para comprender cómo estos sistemas pueden enfrentar y sobrellevar situaciones de estrés, identificando sus vulnerabilidades y fortalezas ante diferentes escenarios. En particular, el estudio de la robustez en las redes de transporte es fundamental para garantizar la eficiencia y la continuidad del servicio en caso de perturbaciones. Diversos trabajos han abordado este tema desde distintas perspectivas y en diferentes tipos de redes de transporte, proporcionando una base sólida para comprender cómo la estructura y las características topológicas influyen en su capacidad para resistir fallos y ataques.

En uno de estos trabajos, los autores examinan la robustez del sistema de metro de Madrid <span id='citeF-6'></span>[6], destacando la importancia de la teoría de redes para entender cómo la infraestructura responde a fallos y ataques . Su investigación revela que la robustez de la red puede variar significativamente dependiendo de la topología y las características específicas del sistema.

Por otro lado, en <span id='citeF-7'></span>[7] se ofrece un análisis completo sobre la red del metro de Nueva York, aportando una visión detallada sobre cómo el sistema mantiene su conectividad frente a diversas perturbaciones. Este estudio subraya la capacidad de la red para adaptarse y recuperarse de fallos, y proporciona una base para comparar con otros sistemas de transporte. La vulnerabilidad de las redes de transporte público que se estudia en <span id='citeF-8'></span>[8] realiza un análisis de comparación entre la robustez de las redes de metro y de autobuses, demostrando que cada tipo de red tiene características distintas que influyen en su resiliencia. Este enfoque comparativo es fundamental para comprender las ventajas y limitaciones de cada sistema de transporte en situaciones de crisis.

En el ámbito del transporte aéreo, como se menciona en <span id='citeF-9'></span>[9], es posible analizar la estabilidad de la red aeroportuaria global cuando enfrenta ataques a los aeropuertos de forma aleatorios y objetiva. Su investigación revela cómo la red global de aeropuertos puede verse afectada por perturbaciones en nodos clave, y proporciona una perspectiva importante sobre la gestión de redes complejas a nivel internacional. Finalmente, como se ha demostrado en <span id='citeF-10'></span>[10], se utiliza la teoría de grafos (''graph-theory'') y simulaciones para identificar las debilidades estructurales de la red ferroviaria de la ciudad de Londres y proponer mejoras para un funcionamiento más robusto y equilibrado de dicha red. Este enfoque es crucial para garantizar la continuidad del servicio ferroviario y minimizar los impactos de los fallos.

Inspirado por los estudios anteriores, este artículo se centra en analizar la robustez de la Red Aeroportuaria de la República Mexicana a través de grafos y redes complejas. Se utilizará el concepto de componente gigante, que es el subconjunto mayor de nodos que están conectados a través de enlaces o aristas, para estimar la reducción en el tamaño de la componente conectada principal de la red para entender la estructura topológica, vulnerabilidad y funcionalidad de la red y así evaluar estrategias para mejorar su capacidad de resistir perturbaciones, contribuyendo así a un sistema de transporte aéreo más eficiente y seguro.

==2 <span id='lb-2'></span>Metodología: Componente gigante y robustez <math display="inline">\mathcal{R}</math> de un grafo==

Una red o grafo, denotado como <math display="inline">G</math>, consiste en un conjunto de nodos <math display="inline">N</math>, los cuales están interconectados mediante un conjunto de enlaces <math display="inline">E</math>. La cantidad de enlaces que conectan a un nodo <math display="inline">n_{i}</math> se denota como <math display="inline">k_{i}</math>, lo cual representa el grado <math display="inline">k_i</math> del nodo <math display="inline">n_{i}</math> (con <math display="inline">i=1,2,3,\ldots ,N</math>). Cada conexión entre nodos representa una relación o interacción específica. Una red se puede representar formalmente mediante la notación <math display="inline">G=G(N,E)</math>. Asimismo vamos a considerar únicamente y exclusivamente redes no dirigidas (que todos sus enlaces son bidireccionales y no tienen orientación específica) y simples (que no formen conexiones directas desde un nodo hacia sí mismo).

La distribución de probabilidad de grado o distribución de grado, que la denotamos de la forma <math display="inline">p_{k}</math>, nos proporciona la probabilidad de que un nodo <math display="inline">n_{i}</math> seleccionado de forma aleatoria tenga grado <math display="inline">k_{i}</math> <span id='citeF-11'></span>[11]. Dado que <math display="inline">p_{k}</math> es una probabilidad, debe normalizarse, es decir

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\sum _{k=1}^{N-1} p_{k}=1 </math>
|}
|}

La distribución de probabilidad de grado <math display="inline">p_{k}</math> se expresa como la proporción de nodos con grado <math display="inline">k</math> en relación con el total de nodos <math display="inline">N</math> en la red. Por lo tanto:<span id="eq-2"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
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{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>p_{k}=\frac{N_{k}}{N} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2)
|}

indica la probabilidad de que un nodo seleccionado al azar tenga exactamente <math display="inline">k</math> conexiones. La distribución <math display="inline">p_{k}</math> nos ayuda a comprender la topología, estructura y conectividad de una red, lo cual nos permite identificar nodos de mayor relevancia.

Una forma de representar un grafo es a través de un arreglo matricial. La matriz asociada <math display="inline">A</math> de una red dada <math display="inline">G(N, E)</math> es de tamaño <math display="inline">N\times N</math> e indica si dos nodos <math display="inline">n_i</math> y <math display="inline">n_j</math> (con <math display="inline">i,j=1,2,3,\ldots ,N</math>) están conectados o no. Esto es, los elementos <math display="inline">a_{ij}</math> de la matriz de adyacencia

* <math display="inline">a_{ij}=1</math> si hay conexión simple entre los nodos <math display="inline">n_{i}</math> y <math display="inline">n_{j}</math>;
* <math display="inline">a_{ij}=0</math> en caso contrario.

Por consiguiente, <math display="inline">G(N, E)</math> lo podemos representar de la forma:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1N}\\         a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2N}\\         \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\         a_{N1} & a_{N2} & \cdots & a_{NN}     \end{pmatrix} </math>
|}
|}

Tal como se mencionó previamente este arreglo matricial es conocida como la matriz de adyacencia <span id='citeF-12'></span>[12]. En el caso de grafos no dirigidos,  la matriz de adyacencia es simétrica, es decir, <math display="inline">A=A^{T}</math> (por ser una red no dirigida).

Es posible calcular el grado <math display="inline">k_{i}</math> de cada nodo mediante la matriz de adyacencia  sumando los elementos de la fila o columna de <math display="inline">A</math> de la forma:<span id="eq-3"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>k_{i}=\sum _{j=1}^{N} A_{ij}=\sum _{j=1}^{N} A_{ji} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (3)
|}

El número de enlaces que posee la red lo podemos calcular utilizando <math display="inline">A</math> mediante:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>E=\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^{N} A_{ij} </math>
|}
|}

Teniendo presente los conceptos anteriores, en la Figura 1 podemos observar un ejemplo de una red <math display="inline">G(N,E)</math> con su respectiva distribución de probabilidad de grado <math display="inline">p_{k}</math> graficado de la forma <math display="inline">p_{k}</math> versus <math display="inline">k</math> 
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[File:Review_328945838334_2891_EjemploGrafo.png|600px|Red G(8,8) con sus respectiva pₖ]]
|- style="text-align: center; font-size: 100%;"
| colspan="1" | '''Figura 1:''' Red <math>G(8,8)</math> con sus respectiva <math>p_{k}</math>
|}
La Figura 1 provee la proporción de nodos cuyo grado es <math display="inline">k</math>.

La matriz de adyacencia <math display="inline">A</math> asociada al grafo <math display="inline">G</math> anterior es de la forma:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\         1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\         1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\         1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\         1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\         0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\         0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\         0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0     \end{pmatrix} </math>
|}
|}

Al calcular el grado del nodo <math display="inline">n_{2}</math> utilizando la ecuación (3) obtenemos:<span id="eq-4"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>k_{2}=\sum _{j=1}^{8} A_{2j}=3 </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4)
|}

Asimismo, es evidente notar que la red de la Figura 1 es no dirigida (<math display="inline">A=A^{T}</math> ) y es simple (<math display="inline">a_{ii}=0 \forall i=1,2,\ldots ,8 </math> ).

La distribución de probabilidad de grado la retomaremos más adelante para definir la existencia de la componente gigante en una red que es la parte esencial para analizar la  vulnerabilidad o resistencia de una red cuando enfrenta ataques a sus <math display="inline">N</math> nodos.

===2.1 Componente gigante y robustez de la red===
La componente gigante (que la denotamos como CG) de una red la podemos definir como el subconjunto mayor de nodos que se encuentran conectados por los enlaces, dicho de otra forma, es la componente conectada que contiene la mayor proporción o la mayor cantidad de nodos.

Denotemos con <math display="inline">u=1-\frac{N_{C}}{N}</math> la fracción de nodos que no están en la Componente Gigante, cuyo tamaño es <math display="inline">N_{C}</math>; y sea <math display="inline">p</math> la probabilidad de que un par de nodos estén conectados por un enlace. Si un nodo <math display="inline">n_{i}</math> forma parte de la CG, debe unirse a otro nodo <math display="inline">n_{j}</math>, que también debe de formar parte de la CG. Por ende, si <math display="inline">n_{i}</math> no es parte de la CG, podría suceder dos casos:

* No existe una conexión entre <math display="inline">n_{i}</math> y <math display="inline">n_{j}</math> (la probabilidad para esto es <math display="inline">1-p</math>).
* Existe una conexión entre <math display="inline">n_{i}</math> y <math display="inline">n_{j}</math>, pero <math display="inline">n_{j}</math> no es parte de CG (la probabilidad para esto es <math display="inline">pu</math>).

Por lo tanto, la probabilidad total de que <math display="inline">n_{i}</math> no sea parte de la CG a través del nodo <math display="inline">n_{j}</math> es <math display="inline">1-p+pu</math>. La probabilidad de que <math display="inline">n_{i}</math> no esté conectado a la CG a través de ningún otro nodo es <math display="inline">(1-p+pu)^{N-1} </math>, ya que hay <math display="inline">N-1</math> nodos que podrían servir como conexiones a la CG para el nodo <math display="inline">N-{i}</math>. Como <math display="inline">u</math> es la fracción de nodos que no pertenecen a la CG, para cualquier <math display="inline">N</math> y un valor <math display="inline">p</math> con <math display="inline">0< p \leq 1 </math> el modelo matemático

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>u=(1-p+pu)^{N-1} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (5)
|}

proporciona el tamaño de la CG mediante <math display="inline">N_{C}=N(1-u)</math>.

También podemos representar el tamaño de la CG de la siguiente forma. Denotemos con <math display="inline">\tilde{N}</math> el número de nodos que forman parte de la CG; y <math display="inline">Q=qN</math>  representa el número de nodos a eliminar o quitar de la red, cuya forma normalizada lo tomamos como <math display="inline">q=\frac{Q}{N}</math> (Más adelante explicamos las formas de eliminar <math display="inline">Q</math> nodos). En consecuencia, para cualquier <math display="inline">N</math> y <math display="inline">Q</math> (con <math display="inline">Q\leq N</math>) el modelo matemático:<span id="eq-6"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>s(Q)=\frac{\tilde{N}}{N} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (6)
|}

proporciona el tamaño de la componente gigante a través de la cantidad de nodos a eliminar de una red.

El criterio de Molloy-Reed nos garantiza la existencia de la CG dentro de una red <span id='citeF-13'></span>[13]. Sea:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\langle k\rangle =\frac{1}{N}\sum _{i=1}^{N} k_{i} = \sum _{k_{min}}^{k_{max}} kp_{k}</math>
|}
|}

el promedio de los grados de todos los nodos en una red, también conocido como el grado promedio; y

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\langle k^{2}\rangle =\frac{1}{N}\sum _{i=1}^{N} k_{i}^{2} = \sum _{k_{min}}^{k_{max}} k^{2}p_{k}</math>
|}
|}

el promedio del cuadrado de los grados de los nodos. Este último proporciona la dispersión o variabilidad de los grados en la red, mejor conocido como la varianza.

Por lo tanto, podemos determinar la existencia de la CG de la siguiente manera:<span id="eq-7"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\kappa = \frac{\langle k^{2}\rangle }{\langle k\rangle } </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (7)
|}

Si <math display="inline">\kappa{>2}</math>, entonces existe una CG. En caso contrario, la red carece de una CG.

Para entender mejor este concepto, mostraremos unos ejemplos de la CG. En la figura 2 (a) podemos observar una red conexa y en la figura 2 (b) visualizamos una red disconexa con varias componentes conectadas. Para ambos casos, aplicando la ecuación (7) tenemos como resultado que <math display="inline">\kappa \approx 2.75>2</math> para la red del inciso (a) y <math display="inline">\kappa \approx 2.64>2</math> para la red del inciso (b), es decir, existe una CG en ambas redes. De forma visual podemos identificar que en la red del inciso (a) la CG es toda la red y en la red del inciso (b) la CG es la componente conectada con el mayor número de nodos (ubicada en la parte izquierda). 
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Rosas_651090037-giant_C_ejemplo1.png|480px|Red conexa]]
|[[Image:Draft_Rosas_651090037-giant_C_ejemplo2.png|480px|Red disconexa]]
|- style="text-align: center; font-size: 100%;"
| (a) Red conexa
| (b) Red disconexa
|- style="text-align: center; font-size: 100%;"
| colspan="2" | '''Figura 2:''' Ejemplos de redes con existencia de la CG
|}
La CG será de interés para medir la robustez de la red debido a su importancia de conectividad y, en ocasiones, por su facilidad para romper dicha componente en componentes diminutas.

La robustez de la red  se refiere a la capacidad de dicha red para resistir y mantener su estructura y funcionalidad frente a la pérdida de nodos <span id='citeF-14'></span><span id='citeF-15'></span>[14,15]. Llamaremos <math display="inline">\mathcal{R}</math> a la medición de la robustez de la red, el cual se puede estimar mediante:<span id="eq-8"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\mathcal{R}=\frac{1}{N}\sum _{Q=0}^{N} s(Q) </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (8)
|}

Tengamos en cuenta que el posible rango de <math display="inline">\mathcal{R}</math> estará entre <math display="inline">1/N</math> y <math display="inline">0.5</math>, <math display="inline">0\leq s(Q) \leq 1</math> y <math display="inline">q=Q/N</math> es la forma normalizada de <math display="inline">Q</math> .

La eliminación de nodos de una red lo realizaremos uno por uno a través de dos tipos: fallas aleatorias y ataques objetivo.

<br />a) Fallas aleatorias

En este caso, eliminaremos de manera aleatoria y secuencial los nodos <math display="inline">Q</math> (con <math display="inline">Q\leq N </math> ) de una red. El nodo seleccionado para remover podría ser un nodo de grado bajo o de conectividad alta que forma parte de la CG, un nodo sin conectividad (nodo aislado) o incluso un nodo con conectividad que no forma parte de la CG.

<br />b) Ataques objetivo

En este tipo de eliminación, nos enfocaremos en atacar selectivamente los nodos de mayor a menor conectividad en la red, es decir, comenzaremos eliminando los nodos <math display="inline">n_{1}, n_{2}, n_{3},\ldots </math> donde <math display="inline">k_{n_{1}} \geq k_{n_{2}} \geq k_{n_{3}} \geq \ldots </math>. Los nodos con mayor conectividad son ideales para eliminar debido a su importancia en la red, ya que están altamente conectados con otros nodos. En esta ocasión, la eliminación de nodos se llevará a cabo de manera específica y selectiva.

Nuestro objetivo es analizar, a través de una gráfica q contra s(q), cómo se reduce el tamaño de la CG, que concentra la funcionalidad principal de la red. Si la reducción es lineal y constante, la red se considera robusta. En cambio, si la reducción es agresiva, es decir, si el tamaño de la CG tiende a cero o se acerca a s(q)=0 al atacar pocos nodos, la red se considera no robusta. No obstante, también es posible que la reducción no se ajuste completamente a ninguno de estos dos casos. En la siguiente sección examinaremos este comportamiento utilizando el residual de un ajuste lineal para argumentar sobre la posible robustez de la red.

===2.2 Fracción crítica de nodos eliminados y densidad de una red===

Al analizar la reducción en el tamaño de la CG de una red tras un ataque, ya sea aleatorio u objetivo, se observan variaciones significativas. Sin embargo, estas variaciones por sí solas no proporcionan suficiente información para determinar con claridad la robustez de la red. En este escenario, buscamos identificar la fracción crítica de nodos eliminados, denotada como <math display="inline">q^{*}</math>. Esta fracción se determina aplicando el residual de un ajuste lineal o una regresión lineal <span id='citeF-16'></span>[16]:

<span id="eq-9"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>re=|s(q_{i})-\tilde{s}(q_{i})|>15%  \forall i=1,2,\ldots ,N </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (9)
|}

donde <math display="inline">s(q_{i})</math> corresponde al valor de la función de reducción en el tamaño de la CG de una red y <math display="inline">\tilde{s}(q_{i})</math> corresponde al valor de la función de reducción (<math display="inline">s(q)=1-q</math>) en el tamaño de la CG de una red robusta. Con un error del <math display="inline">15%</math> en <math display="inline">re</math> encontraremos <math display="inline">q^{*}</math>, en caso contrario, <math display="inline">q^{*}=1</math>.

Para comprender el significado de <math display="inline">q^{*}</math>, en la figura 3 podemos observar dos reducciones en el tamaño de la CG de una red <math display="inline">G(100,175)</math> y de una red robusta bajo ataques aleatorios. Asimismo, observamos <math display="inline">q^{*}</math> que se obtuvo aplicando la ecuación (9). <div id='img-3'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Rosas_651090037-ejemploHallarq.png|600px|Identificación de q<sup>*</sup> en el análisis de la reducción en el tamaño de la CG de una red G(100,175)]]
|- style="text-align: center; font-size: 100%;"
| colspan="1" | '''Figura 3:''' Identificación de <math>q^{*}</math> en el análisis de la reducción en el tamaño de la CG de una red <math>G(100,175)</math>
|}
En caso de que <math display="inline">re\leq 15 \forall i=1,2,\ldots ,N </math>, es decir, no se identifica <math display="inline">q^{*}</math> en la reducción en el tamaño de la CG de una red similar a la de la figura 3, entonces se le asigna a esa red <math display="inline">q^{*}=1</math>.

Por otro lado, la densidad <math display="inline">\rho </math> de una red cuantifica la proporción de conexiones entre los nodos con respecto al máximo número posible de conexiones en la red. Una red es densa si el número de enlaces alcanza el máximo de enlaces posibles. En este caso, tenemos una red completa con <math display="inline">\rho=1</math>. En caso contrario, una red es vacía si no cuenta con enlaces, es decir, <math display="inline">\rho=0 </math> <span id='citeF-17'></span>[17].  La densidad de una red se define formalmente como:

<span id="eq-10"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\rho =\frac{E}{\begin{pmatrix}         N\\         2     \end{pmatrix}}=\frac{2L}{N(N-1)} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (10)
|}

donde <math display="inline">0\leq \rho \leq 1</math>. Para redes completas podemos calcular el número máximo de enlaces posibles de la forma:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>E_{max}=\frac{N(N-1)}{2} </math>
|}
|}

Dicho lo anterior, la robustez de la red se determina a través de la fracción crítica <math display="inline">q^{*}</math> y la densidad <math display="inline">\rho </math>, especialmente cuando la reducción en el tamaño de la componente gigante no sea de tipo decaimiento exponencial o de tipo reducción lineal similar a la red robusta de la figura 3.

==3 Aplicaciones a la red aeroportuaria de la República Mexicana==

En este trabajo analizaremos la conectividad aeroportuaria de la República Mexicana utilizando el formalismo anterior. Para ello utilizaremos una base de datos pública de siete aerolíneas mexicanas que corresponden al transporte aéreo local de pasajeros, es decir, vuelos comerciales y vuelos privados de pasajeros nacionales <span id='citeF-18'></span>[18].

===3.1 Red de tráfico aéreo de la República Mexicana===

Definamos <math display="inline">G</math> como a la red aeroportuaria de la República Mexicana (RARM), Los aeropuertos o terminales aéreas los denotaremos como los nodos <math display="inline">N</math> y los enlaces <math display="inline">E</math> corresponden a los vuelos directos comerciales y privados nacionales que brindan las siete aerolíneas mexicanas que están consideradas en la tabla 1.


{|  class="floating_tableSCP wikitable" style="text-align: center; margin: 1em auto;min-width:50%;"
|+ style="font-size: 100%;" |<span id='table-1'></span>Tabla. 1 Aerolíneas mexicanas que ofrecen transporte aéreo de pasajeros
|- style="border-top: 2px solid;"
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" |   
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | '''Aerolineas mexicanas'''
|- style="border-top: 2px solid;"
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" |  1 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Aeromar
|- style="border-top: 2px solid;"
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" |  2 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Calafia Airlines
|- style="border-top: 2px solid;"
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" |  3 
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La base de datos de los vuelos directos comerciales y privados lo podemos encontrar en las páginas web de cada una de las siete aerolíneas mexicanas de la forma: vuelos de ciudad a ciudad o vuelos directos entre dos ciudades y la vamos a guardar o almacenar en un programa o un sistema de gestión de bases de datos. Posteriormente con la programación de Python y NetworkX  podemos estructurar esa base de datos para darle forma de red.

Como resultado de este análisis, en la figura 4 visualizamos el tráfico aéreo de la RARM correspondiente a enero de 2023. <div id='img-4'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
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|[[Image:Draft_Rosas_651090037-RARM.png|600px|Red de tráfico aéreo de la República Mexicana. Los nodos indican los aeropuertos y los enlaces indican los vuelos directos]]
|- style="text-align: center; font-size: 100%;"
| colspan="1" | '''Figura 4:''' Red de tráfico aéreo de la República Mexicana. Los nodos indican los aeropuertos y los enlaces indican los vuelos directos
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La red consta de <math display="inline">N=60</math> aeropuertos que ofrecen <math display="inline">E=723</math> vuelos directos comerciales y privados nacionales. Como podemos observar, la RARM es no dirigida, es decir, cada vuelo es de ida y vuelta; y es simple, es decir, solamente contemplamos un vuelo entre cada par de aeropuertos.

===3.2 Robustez de la red aeroportuaria===

En esta sección nos dedicaremos a analizar la reducción en el tamaño de la CG y la robustez de la RARM cuando enfrenta ataques aleatorios y ataques objetivo a sus 60 aeropuertos.

Es importante considerar que al simular el ataque a un aeropuerto ya sea de forma aleatoria u objetiva, estamos representando situaciones en las que un aeropuerto interrumpe totalmente sus operaciones debido a diversos eventos, como desastres naturales, condiciones climatológicas adversas, mantenimiento, modernización de la terminal u otros escenarios que puedan suspender completamente su funcionamiento. Dicho lo anterior, en la figura 5 se muestran las gráficas de interés correspondientes a la reducción en el tamaño de la CG <math display="inline">s(q)</math> y la robustez de la red <math display="inline">\mathcal{R}</math>, donde se simularon fallas aleatorias. <div id='img-5'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
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|[[Image:Draft_Rosas_651090037-RobustezRARM_FA.png|600px|Reducción en el tamaño de la CG y robustez de la RARM bajo fallas aleatorias]]
|- style="text-align: center; font-size: 100%;"
| colspan="1" | '''Figura 5:''' Reducción en el tamaño de la CG y robustez de la RARM bajo fallas aleatorias
|}
Podemos analizar en la gráfica de la figura 5 que la reducción en el tamaño de la CG de la RARM no es significativa, es decir, reduce de forma lineal y casi se parece a la reducción de una red robusta a dicho ataque que es la función continua <math display="inline">s(q)=1-q</math>. En en caso de la robustez, vemos que la función discreta converge a la cota superior de la estimación de la robustez, es decir, al rango superior con valor cercano al 1/2. Esto quiere decir que la red es robusta. Por lo tanto, las dos gráficas de la figura 5 indican una robustez en la RARM bajo fallas aleatorias.

Ahora analizaremos el comportamiento de la reducción en el tamaño de la CG y la robustez de la RARM bajo ataques objetivo contra sus aeropuertos de mayor conectividad a menor conectividad destacando al Aeropuerto Internacional de la Ciudad de México, Benito Juárez; Aeropuerto Internacional de Tijuana, Gral. Abelardo Rodríguez y el Aeropuerto Internacional de Hermosillo, Gral. Ignacio Pesqueira García como los primeros para atacarlos. Por lo que, en la figura [[#img-6|6]] analizaremos lo dicho en este párrafo. 
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
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|[[Image:Draft_Rosas_651090037-RobustezRARM_AO.png|600px|Robustez de la red aeroportuaria de la República Mexicana bajo ataques objetivo]]
|- style="text-align: center; font-size: 100%;"
| colspan="1" | '''Figura 6:''' Robustez de la red aeroportuaria de la República Mexicana bajo ataques objetivo
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En la gráfica 6 vemos que su reducción en el tamaño de la CG tiene variaciones y pierde su parecido a la función de reducción de una red robusta. En la gráfica de la robustez, la función discreta no converge a la cota superior como en el caso de fallas aleatorias. Si la robustez de la RARM hubiese tenido una convergencia a la cota inferior, es decir, al valor 1/N que es cercano al valor 0, entonces la RARM hubiese sido no robusta. Sin embargo, no sucede eso y las dos gráficas de la figura 6 no nos dice nada sobre la robustez de la red. Por lo que, debemos de identificar la fracción crítica de nodos eliminados para decidir si la RARM es o no robusta bajo ataques objetivo.

Con base a la reducción en el tamaño de la CG de la RARM bajo ataques objetivo. En la figura 7 observamos la identificación de la fracción crítica de nodos eliminados <math display="inline">q^{*}</math>. Teniendo en cuenta esa fracción crítica cuyo valor en el eje <math display="inline">q</math> es de 0.37 y calculando la densidad <math display="inline">\rho </math> de la red aeroportuaria es de 0.408 podemos analizar la robustez de la RARM. 
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
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|[[Image:Draft_Rosas_651090037-IdentificaciónQcritico.png|600px|Identificación de q<sup>*</sup> en la reducción en el tamaño de la CG de la RARM bajo ataques objetivo]]
|- style="text-align: center; font-size: 100%;"
| colspan="1" | '''Figura 7:''' Identificación de <math>q^{*}</math> en la reducción en el tamaño de la CG de la RARM bajo ataques objetivo
|}
Para analizar la robustez de la RARM a través de su <math display="inline">q^{*}</math> y <math display="inline">\rho </math>, graficaremos <math display="inline">q^{*}</math> y <math display="inline">\rho </math> de diferentes redes aleatorias empleando el modelo de Gilbert <math display="inline">G(N,\zeta )</math> donde <math display="inline">0<\zeta \leq 1</math> es la probabilidad de que un par de nodos entre conectados por un enlace <span id='citeF-19'></span>[19]. La ventajas del modelo de Gilbert para crear diferentes redes aleatorias es por la coincidencia de <math display="inline">\zeta </math> y la densidad <math display="inline">\rho </math>, es decir, con una densidad <math display="inline">0<\rho \leq 1</math> podemos crear una red aleatoria <math display="inline">G(N,\zeta )</math> con <math display="inline">\zeta =\rho </math>. Dicho lo anterior, en la figura [[#img-8|8]] podemos observar la gráfica <math display="inline">\rho </math> contra <math display="inline">q^{*}</math> 
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
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|[[Image:Draft_Rosas_651090037-ComparaciónRobustez_RARM.png|600px|Análisis de la vulnerabilidad de la RARM bajo ataques objetivo empleando q<sup>*</sup>]]
|- style="text-align: center; font-size: 100%;"
| colspan="1" | '''Figura 8:''' Análisis de la vulnerabilidad de la RARM bajo ataques objetivo empleando <math>q^{*}</math>
|}
Notemos que se empleó un ajuste no lineal en la figura 8 a la nube de puntos <math display="inline">G(N,\zeta )</math> con la finalidad de encontrar el punto <math display="inline">q^{*}(\rho )=1</math> que está unidos con una línea vertical y esta línea nos permita separar a las redes que están ubicados en el lado izquierdo y a las redes que están ubicados en el lado derecho de dicha línea. Las redes de lado izquierdo y las redes de lado derecho son considerados redes no robustas y redes robustas a ataques objetivo, respectivamente. Como podemos observar, la RARM que es el punto de color rojo se ubica en la parte izquierda. Esto quiere decir, que es no robusta cuando enfrenta ataques objetivo.

==4 Conclusiones==

Al analizar la robustez en RARM, hemos obtenido resultados interesantes que nos permiten comprender mejor su conectividad, estructura y características.

Se ha demostrado que la RARM exhibe un alto nivel de robustez cuando enfrenta fallas o ataques de forma aleatoria a sus 60 aeropuertos. En estas condiciones, la red demuestra una capacidad notable para mantener su estructura y funcionamiento fundamental, como se refleja en la preservación de su CG incluso en presencia de fallas aleatorias.

Sin embargo, se ha observado que la RARM es no robusta cuando se somete a ataques de forma objetiva. Específicamente, cuando se atacan selectivamente los aeropuertos de mayor conectividad a menor conectividad. La red muestra diferentes variaciones en la disminución con el tamaño de su CG, lo que indica una mayor susceptibilidad y una mayor posibilidad de experimentar interrupciones significativas en la conectividad entre los aeropuertos, generando retrasos masivos y afectaciones en la operación regular de los vuelos, o inclusive, el sistema puede colapsar o deje de funcionar de forma inesperada ante este tipo de ataques focalizados.

A continuación, se presentan dos gráficas que refuerzan las conclusiones obtenidas en la robustez. En la gráfica de la figura 9, se comparó la reducción en el tamaño de la CG de la RARM, una red aleatoria y una red de escala libre <span id='citeF-20'></span>[20] cuando se atacaron a sus aeropuertos de forma aleatoria. Los resultados indican que tanto la red aleatoria como la RARM demostraron robustez, manteniendo la conectividad de su CG, mientras que la red de escala libre presentó variaciones a considerar en la reducción en el tamaño de su CG.
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
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|[[Image:Draft_Rosas_651090037-ComparacionesReduccionCG_FA.png|600px|Comparaciones s(q) de una red aleatoria, una red de escala libre y de la RARM bajo fallas aleatorias]]
|- style="text-align: center; font-size: 100%;"
| colspan="1" | '''Figura 9:''' Comparaciones <math>s(q)</math> de una red aleatoria, una red de escala libre y de la RARM bajo fallas aleatorias
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En la segunda gráfica de la figura 10, se analizó la reducción en el tamaño de la CG de las tres redes cuando se atacaron de manera objetiva, enfocándose en los nodos de mayor conectividad y los comparamos con una red robusta a dicho ataque. En este caso, la red de escala libre mostró una reducción significativa en el tamaño de su CG, lo que la hace especialmente no robusta. Por otro lado, tanto la RARM como la red aleatoria exhibieron cierta variabilidad cuando se ataca más del 20% de los nodos, demostrando que son más robusta que la red de escala libre, pero aún así no completamente robustas. 
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
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|[[Image:Draft_Rosas_651090037-ComparacionesReduccionCG_AO.png|600px|Comparaciones s(q) de una red aleatoria, una red de escala libre y de la RARM bajo ataques objetivo]]
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| colspan="1" | '''Figura 10:''' Comparaciones <math>s(q)</math> de una red aleatoria, una red de escala libre y de la RARM bajo ataques objetivo
|}

En consecuencia, estos hallazgos resaltan la importancia de la distribución de la conectividad del sistema aeroportuario mexicano. Si bien la red muestra robustez ante eventos aleatorios, se hace evidente la necesidad de implementar estrategias específicas para proteger y fortalecer los aeropuertos de mayor importancia y conectividad en la red. Estos resultados tienen implicaciones prácticas para el diseño y la gestión de la RARM, ya que podríamos comprender la importancia de la conectividad y la distribución de los aeropuertos y pueden ayudar a diseñar estrategias más efectivas para garantizar su funcionamiento óptimo y su resiliencia en situaciones adversas.

==Agradecimientos==

Omar Martínez Rosas agradece a la Universidad Autónoma de la Ciudad de México UACM-SLT por las oportunidades para realizar este trabajo y a los organizadores del Premio Mixbaal 2024 y a la Sociedad Mexicana de Computación Científica y sus Aplicaciones (SMCCA) por la invitación a escribir este artículo. Luis Agustín Olivares Quiroz desea expresar su agradecimiento al Colegio de Ciencia y Tecnología (CCyT) de la Universidad Autónoma de la Ciudad de México (UACM) y al Sistema Nacional de Investigadores SNII-CONAHCyT por el apoyo para la realización de este Proyecto.

<br/><div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;"></div>

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