Bayesian Estimation of the Basic Reproductive Number in a Chikungunya Outbreak in Acapulco, Guerrero

==1 Introducción==

La fiebre chikungunya es una enfermedad viral transmitida a los humanos por mosquitos del género ''Aedes'' <span id='citeF-1'></span>[[#cite-1|[1]]]. El virus, que da nombre a la enfermedad, se describió en humanos por primera vez en 1952 en Tanzania, África, donde entre el 60% y el 80% de la población presentó síntomas de artralgia, fiebre y erupciones cutáneas. Muchas personas, tras el periodo agudo de la enfermedad, continuaron experimentando dolores articulares durante meses <span id='citeF-2'></span>[[#cite-2|[2]]].

Entre 1960 y 1990, hubo brotes de fiebre chikungunya en varios países africanos, como República Democrática del Congo, Uganda, Angola, Sudáfrica y Nigeria <span id='citeF-3'></span>[[#cite-3|[3]]].  En América, el primer caso se reportó en la isla de San Martín ubicada en el Caribe} en 2013, y para diciembre de 2014, la enfermedad se había extendido a 17 países sudamericanos. Actualmente, se ha identificado en 45 países en el Caribe, América del Norte, América del Sur y América Central  <span id='citeF-3'></span>[[#cite-3|[3]]].

En México, el primer caso importado de fiebre chikungunya se presentó en mayo de 2014 <span id='citeF-4'></span>[[#cite-4|[4]]]. A finales de ese año, se reportaron 155 casos en los estados de Chiapas, Guerrero, Oaxaca, Sonora y Sinaloa. Para la semana epidemiológica 40, en 2015 se habían contabilizado 8,668 casos confirmados, siendo Guerrero el estado con la mayor cantidad de infectados, con el 18.38% <span id='citeF-5'></span>[[#cite-5|[5]]]. Al final de ese año, se confirmaron un total de 12,588 casos de chikungunya en México <span id='citeF-6'></span>[[#cite-6|[6]]].

Cuando una persona es picada por un mosquito infectado, los síntomas suelen comenzar entre 3 y 7 días después del período de incubación.  Durante este tiempo, el virus se multiplica en el organismo del infectado, pero la persona no presenta síntomas ni es contagiosa para otros. Los síntomas incluyen dolor intenso en las articulaciones, fiebre superior a 39°C, dolor muscular y, ocasionalmente, náuseas, vómitos y erupciones cutáneas. El dolor articular puede ser tan intenso que resulta debilitante o incapacitante <span id='citeF-2'></span>[[#cite-2|[2]]]. Tras una semana, la mayoría de los pacientes experimenta una notable mejora: la fiebre, el cansancio y la artralgia disminuyen significativamente en 1 o 2 semanas, aunque frecuentemente se produce una recaída <span id='citeF-7'></span>[[#cite-7|[7]]]. Actualmente, no existe un tratamiento específico para la infección por chikungunya; el manejo se limita a aliviar los síntomas con medicación analgésica y antiinflamatoria  <span id='citeF-2'></span>[[#cite-2|[2]]].

Se ha reportado el fenómeno de recaída en las infecciones por chikungunya <span id='citeF-8'></span><span id='citeF-9'></span><span id='citeF-10'></span>[[#cite-8|[8,9,10]]]. La recaída se define como la reaparición de artralgia debido a la persistencia del virus en las células del tejido musculoesquelético después de un período sin síntomas de al menos una semana <span id='citeF-8'></span>[[#cite-8|[8]]] o después de un mes <span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]]. En un estudio de cohortes realizado en Francia, basado en datos de un sistema de vigilancia de laboratorio, se confirmó la infección inicial mediante una prueba de anticuerpos o PCR (reacción en cadena de la polimerasa). En ese estudio, se reportaron recaídas de artralgia en el 72% de los pacientes; el número promedio de recaídas fue de 4 y el tiempo promedio entre dos recaídas fue de 8 semanas <span id='citeF-8'></span>[[#cite-8|[8]]]. Por otro lado, un estudio transversal realizado en Acapulco, Guerrero, en diciembre de 2015, encontró que el 66% de la población (3,531 de 5,870 personas) autoreportó haber estado infectada; el 31.1% de las personas que sufrieron chikungunya (1,098 de 3,531) reportaron al menos una recaída después de un mes de recuperarse de la enfermedad. De estos, el 13% experimentó una recaída, el 12% tuvo dos recaídas, el 4% reportó tres recaídas y solo el 2% mencionó más de cuatro recaídas <span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]]. 

La edad como factor de riesgo es común en las enfermedades infecciosas transmitidas por vectores. En el caso del chikungunya, un estudio de seropositividad reportó la frecuencia de positivos al virus en los siguientes grupos etarios: 33% en el grupo de 0 a 19 años, 62% en el de 20 a 39 años, 67.4% en el de 40 a 49 años, 75% en el de 50 a 59 años, 59% en el de 60 a 69 años, 25% en el de 70 a 79 años y 33% en el de 80 años y más <span id='citeF-11'></span>[[#cite-11|[11]]], lo que muestra una variabilidad en la susceptibilidad al virus.

La variabilidad en el período de recaídas y en la susceptibilidad al virus del chikungunya motivó a Vázquez-Peña, Vargas-De-León y Velázquez-Castro <span id='citeF-12'></span>[[#cite-12|[12]]] a desarrollar un modelo hospedero-vector que considera tanto la edad cronológica como la edad de la infección asintomática. Este modelo se presentará en la Sección 2.

A partir de este modelo hospedero-vector con dos estructuras de edad, obtendremos un modelo en ecuaciones diferenciales ordinarias para el virus del chikungunya, tal como fue propuesto por Vázquez-Peña et al. <span id='citeF-13'></span>[[#cite-13|[13]]], el cual se discutirá en la Sección 3.

En este trabajo, se propone estimar los parámetros y el número reproductivo básico utilizando un enfoque Bayesiano con los datos del brote de chikungunya en Acapulco, Guerrero <span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]]. Para ello, emplearemos el modelo hospedero-vector presentado en la Sección 3. La metodología del enfoque Bayesiano se describirá en la Sección 4, mientras que la estimación Bayesiana de los parámetros y del número reproductivo básico ([[#eq-12|12]]) se presentará en la Sección 5. Finalmente, en la Sección 6, se realizarán algunos comentarios finales.

==2 Modelo hospedero-vector con dos estructura de edades==


Denotamos por <math display="inline">N_h</math> y <math display="inline">N_v</math>$ el número total de hospederos y vectores, respectivamente. Las poblaciones de hospederos y vectores se dividen en clases disjuntas según su estado epidemiológico. Para los hospederos, consideramos cuatro grupos: susceptibles (<math display="inline">S_h(t, \tau)</math>), infectados (<math display="inline">I_h(t, \tau)</math>), asintomáticos (<math display="inline">A_h(t, \omega)</math>) y recuperados (<math display="inline">R_h(t, \tau)</math>). En contraste, los vectores se dividen únicamente en susceptibles (<math display="inline">S_v(t)</math>) e infectados (<math display="inline">I_v(t)</math>).

La edad cronológica se denota por <math display="inline">\tau </math>, de manera que <math display="inline">s_h(t, \tau )</math> representa la cantidad de hospederos susceptibles con edad cronológica <math display="inline">\tau </math> en el tiempo  <math display="inline">t</math>. Entonces, el total de hospederos susceptibles está dado por 


<span id="eq-9"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>S_h(t) = \int _0^\infty s_h(t,\tau )d\tau ,  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (1)
|}

Suponemos que la probabilidad de transmisión del vector al hospedero depende de la edad del hospedero, lo cual se denota por <math display="inline">\beta _h(\tau )</math>.


La tasa de transmisión del vector infectado al hospedero susceptible está definida por <math display="inline">\frac{b}{N_h} \beta _h(\tau ) s_h(t, \tau ) I_v(t)</math>, donde <math display="inline">b</math> es el promedio de picaduras por unidad de tiempo y <math display="inline">\frac{b}{N_h}</math> representa el número promedio de picaduras por unidad de tiempo por cada hospedero. Esto significa que se está distribuyendo el número total de picaduras entre el total de hospedero. Al mismo tiempo, la clase de hospederos susceptibles disminuye debido a la muerte natural a una tasa <math display="inline">\mu_h</math> y a alguna estrategia de prevención, como la vacunación, enfocada únicamente a ciertos grupos de edad, la cual será modelada por el parámetro <math display="inline">\rho (\tau )</math>. Por lo tanto, definimos <math display="inline">\varepsilon (\tau ) = \mu _h + \rho (\tau )</math>.

Bajo estas hipótesis, se formula la primera ecuación del modelo:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math> \frac{\partial s_h(t,\tau )}{\partial t} + \frac{\partial s_h(t,\tau )}{\partial \tau } = -\frac{b}{N_h}\beta _h(\tau )s_h(t,\tau )I_v(t)-\varepsilon _h(\tau )s_h(t,\tau{).} </math>
|}
|}

Suponemos que todos los individuos nacen susceptibles a una tasa <math display="inline">\mu _{h} N_{h}</math>, de manera que obtenemos la condición de frontera:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math> s_h(t,0) = \mu _{h} N_{h}. </math>
|}
|}

Una vez que un hospedero se ha infectado, permanece en dicha clase hasta que los síntomas desaparecen a una tasa <math display="inline">\gamma</math> o por muerte por causas naturales a una tasa <math display="inline">\mu _h</math>. Consideramos que una fracción <math display="inline">p</math> no se recuperará y pasará a la fase asintomática durante un tiempo <math display="inline">\omega</math>, que representa la edad de la infección asintomática. La clase de hospederos asintomáticos se representa por <math display="inline">a_h(t, \omega)</math>, donde 
<span id="eq-8"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>A_h(t) = \int _0^\infty a_h(t,\omega )d\omega ,  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2)
|}
es el total de hospederos asintomáticos. Además, la tasa en que los síntomas de la enfermedad vuelven a manifestarse depende de la edad de la infección asintomática; por ende, los hospederos asintomáticos retornan a la clase de hospederos infectados en un tiempo <math display="inline">1/\delta_h(\omega)</math>. Con esto, se propone la segunda ecuación del modelo.

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math> \frac{dI_h(t)}{dt} = \frac{b}{N_h} \int _0^\infty \beta _h(\tau )s_h(t,\tau )I_v(t) d\tau - (\mu _h+\gamma )I_h(t) + \int _0^\infty \delta _h(\omega ) a_h(t,\omega ) d\omega{.} </math>
|}
|}

La clase de hospederos asintomáticos se reduce cuando los síntomas vuelven a manifestarse o por muerte por causas naturales, lo que da lugar a la siguiente ecuación del modelo:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>  \frac{\partial a_h(t,\omega )}{\partial t} + \frac{\partial a_h(t,\omega )}{\partial \omega } =  - (\mu _h+\delta _h(\omega ))a_h(t,\omega{).} </math>
|}
|}

Los hospederos infectados entran en la clase asintomática a una tasa <math display="inline">p\gamma </math>, comenzando el conteo de la edad de la infección asintomática, lo que se traduce en la condición de frontera

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>  a_h(t,0)  =  p\gamma I_h(t). </math>
|}
|}

Los hospederos infectados se recuperan de manera permanente a una tasa <math display="inline">(1-p)\gamma </math> y permanecen en esa clase hasta la muerte por causas naturales a una tasa <math display="inline">\mu _h</math>, lo que se representa en la cuarta ecuación diferencial del modelo

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>  \frac{dR_h(t)}{dt} =  (1-p)\gamma I_{h}(t)-\mu _{h} R_{h}(t). </math>
|}
|}

En cuanto a los vectores, suponemos que nacen y mueren a la misma tasa <math display="inline">\mu _v</math>. Un vector nace susceptible y se infecta al picar a una persona con el virus, ya sea un hospedador infectado o un hospedador asintomático. De manera análoga al caso de los hospedadores, la tasa de transmisión <math display="inline">\frac{\beta _{v}b}{N_{h}}S_{v}(t)I_{h}(t)</math> depende de la probabilidad de que el contacto entre un hospedador infectado y un vector susceptible sea efectivo. Esta probabilidad se modela con el producto de la probabilidad de transmisión del virus <math display="inline">\beta _v</math> y el número promedio de picaduras por unidad de tiempo por cada hospedero <math display="inline">\frac{b}{N_h}</math>. Adicionalmente, se introduce el parámetro <math display="inline">\kappa</math> para tener en cuenta que la probabilidad de transmisión de un hospedero infectado a un vector es mayor que la tasa de transmisión de un hospedero asintomático a un vector. Por lo tanto, se considera que <math display="inline">0 \leq \kappa \leq 1</math>. Bajo estas suposiciones, obtenemos la quinta ecuación del modelo:


{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>  \frac{dS_v(t)}{dt} = \mu _{v}N_{v}-\frac{\beta _{v}b}{N_{h}}S_{v}(t)I_{h}(t)-\frac{\kappa \beta _{v}b}{N_{h}}S_{v}(t) \int _0^\infty  a_h(t,\omega ) d\omega{-\mu}_{v}S_{v}(t). </math>
|}
|}

Después de que el vector se infecta de la forma descrita, permanece en esa clase hasta morir, lo que se modela en la última ecuación del modelo:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>  \frac{dI_v(t)}{dt} = \frac{\beta _{v}b}{N_{h}}S_{v}(t)I_{h}(t)+\frac{\kappa \beta _{v}b}{N_{h}}S_{v}(t) \int _0^\infty  a_h(t,\omega ) d\omega{-\mu}_{v}I_{v}(t). </math>
|}
|}

Por lo que se obtiene el siguiente sistema integro-diferencial recientemente propuesto por Vázquez-Peña, Vargas-De-León y Velázquez-Castro para el virus de chikungunya <span id='citeF-12'></span>[[#cite-12|[12]]].

<span id="eq-1"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{align}\frac{\partial s_h(t,\tau)}{\partial t} + \frac{\partial s_h(t,\tau)}{\partial \tau} &= -\frac{b}{N_h}\beta_h(\tau)s_h(t,\tau)I_v(t)-\varepsilon_h(\tau)s_h(t,\tau),\\
   s_h(t,0) &= \mu_{h} N_{h},\\
   \frac{dI_h(t)}{dt} &= \frac{b}{N_h} \int_0^\infty \beta_h(\tau)s_h(t,\tau)I_v(t) d\tau - (\mu_h+\gamma)I_h(t) + \int_0^\infty \delta_h(\omega) a_h(t,\omega) d\omega ,\\
   \frac{\partial a_h(t,\omega)}{\partial t} + \frac{\partial a_h(t,\omega)}{\partial \omega} &= - (\mu_h+\delta_h(\omega))a_h(t,\omega), \\
   a_h(t,0) & = p\gamma I_h(t),\\
   \frac{dR_h(t)}{dt} & = (1-p)\gamma I_{h}(t)-\mu_{h} R_{h}(t),\\
   \frac{dS_v(t)}{dt} & = \mu_{v}N_{v}-\frac{\beta_{v}b}{N_{h}}S_{v}(t)I_{h}(t)-\frac{\kappa\beta_{v}b}{N_{h}}S_{v}(t) \int_0^\infty  a_h(t,\omega) d\omega-\mu_{v}S_{v}(t),\\
   \frac{dI_v(t)}{dt} & = \frac{\beta_{v}b}{N_{h}}S_{v}(t)I_{h}(t)+\frac{\kappa\beta_{v}b}{N_{h}}S_{v}(t) \int_0^\infty  a_h(t,\omega) d\omega-\mu_{v}I_{v}(t). \end{align} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (3)
|}

Si consideramos que el tamaño de la población de vectores se mantiene constante en el tiempo, <math display="inline">N_v = S_v(t) + I_v(t)</math>, y observamos que la variable <math display="inline">R(t)</math> no esta acoplada en las demás ecuaciones, el modelo se reduce a

<span id="eq-2"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{align}\frac{\partial s_h(t,\tau )}{\partial t} + \frac{\partial s_h(t,\tau )}{\partial \tau } &= -\frac{b}{N_h}\beta _h(\tau )s_h(t,\tau )I_v(t)-\varepsilon _h(\tau )s_h(t,\tau ),\\    s_h(t,0) &= \mu _{h} N_{h},\\    \frac{dI_h(t)}{dt} &= \frac{b}{N_h}\int _0^\infty \beta _h(\tau )s_h(t,\tau )I_v(t) d\tau - (\mu _h+\gamma )I_h(t) + \int _0^\infty \delta _h(\omega ) a_h(t,\omega ) d\omega ,\\    \frac{\partial a_h(t,\omega )}{\partial t} + \frac{\partial a_h(t,\omega )}{\partial \omega } &=  - \alpha (\omega )a_h(t,\omega ), \hbox{ con }  \alpha (\omega )=\mu _h+\delta _h(\omega ),\\    a_h(t,0) & =  p\gamma I_h(t),\\    \frac{d I_v(t)}{dt} &= \frac{\beta _v b}{N_h}(N_v-I_v(t))\left(I_h(t)+\kappa \int _0^\infty  a_h(t,\omega ) d\omega \right)-\mu _vI_v(t). \end{align} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4)
|}

Las condiciones iniciales están dadas por

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>s_h (0,\tau ) = s_{h0}(\tau ),   I_h(0) = I_{h0},   a_h (0,\omega ) = a_{h0}(\omega ),  I_v(0) = I_{v0}. </math>
|}
|}

Donde <math display="inline">s_{h0}(\tau )</math> y <math display="inline">a_{h0}(\omega )</math> representan la distribución inicial de los huéspedes susceptibles y de los hospederos asintomáticos con edad cronológica y edad de infección asintomática, respectivamente. <math display="inline">I_{h0}</math> e <math display="inline">I_{v0}</math> son el número inicial de hospederos y de vectores infectados, respectivamente.

===2.1 Propiedades del sistema===

El número reproductivo básico para el modelo ([[#eq-4|4]]) fue obtenido en  <span id='citeF-12'></span>[[#cite-12|[12]]]

<span id="eq-3"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>R_0(\tau ,\omega ) = \frac{\eta p \gamma N_h + D \beta _v b N_v}{N_h(\mu _h+\gamma )} , </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (5)
|}

donde <math display="inline">D</math> está dada por

<span id="eq-4"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>D=\frac{b}{\mu _v N_h} \int _0^\infty s_h^0(\tau )\beta _h(\tau )d\tau , </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (6)
|}

y <math display="inline">\eta </math> por

<span id="eq-5"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\eta = \int _0 ^\infty \left[\delta _h(v)+\frac{\beta _{v} b N_v\kappa }{N_h}D\right]\exp{\left(-\int _0^v \alpha (\phi )d\phi \right)dv}.   </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (7)
|}

El punto de equilibrio libre de la enfermedad <math display="inline">E^0</math> del sistema integro-diferencial  ([[#eq-4|4]]) se obtiene al considerar <math display="inline">I_h(t)</math>, <math display="inline">a_h(t,\omega)</math> e <math display="inline">I_v(t)</math> iguales a cero simultáneamente, lo que resulta en <math display="inline">E^0 = (s_h^0(\tau), 0, 0, 0)</math>, donde

<span id="eq-6"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>s_h^0(\tau ) = \mu _{h} N_{h} \exp{\left(-\int _0^\tau \varepsilon _h(\phi )d\phi \right)}. </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (8)
|}

En  <span id='citeF-12'></span>[[#cite-12|[12]]], se utiliza una estrategia geométrica para demostrar la existencia del punto de equilibrio endémico <math display="inline">E^*=(s_h^*(\tau ), I_h^*, a_h^*(\omega ), I_m^*)</math> cuando <math display="inline">R_0(\tau ,\omega ) >1</math>.

Las propiedades de las soluciones a tiempos largos se resumen en el siguiente teorema:

<span id='theorem-TeoEndemico'></span>Teorema 1:  (Ver <span id='citeF-12'></span>[[#cite-12|[12]]])  

i)  Si <math display="inline">R_0(\tau ,\omega )\leq{1}</math>, el punto de equilibrio libre de la enfermedad <math display="inline">E^0</math> del sistema integro-diferencial ([[#eq-4|4]]) es global asintóticamente estable.   

ii) Si <math display="inline">R_0(\tau ,\omega )>1</math>, existe un único punto de equilibrio endémico <math display="inline">E^*</math> del sistema ([[#eq-4|4]]) y es global asintóticamente estable.


El ítem i) del Teorema [[#theorem-TeoEndemico|1]] se demostró utilizando el segundo método de Lyapunov. Se construyó el siguiente funcional de Lyapunov <math display="inline"> W(t)</math>, que es una combinación de una funcional tipo Volterra <math display="inline">f(x) = x - 1 - \ln{x}</math> y funcionales lineales

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>W(t) = \int _0^\infty s_h^0(\tau )f\left(\frac{s_h(t,\tau )}{s_h^0(\tau )}\right)d\tau +I_h(t)</math>
|-
| style="text-align: center;" | <math>+  \int _0^\infty g_0 (\omega )a(t,\omega )d\omega + \frac{b}{\mu _v N_h} I_v(t)\int _0^\infty s_h^0(\tau )\beta _h(\tau )d\tau , </math>
|}
|}

donde <math display="inline">g_0 (w)</math> es la siguiente función auxiliar:

<span id="eq-7"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>g_0 (w)=\int _w ^\infty \left[\delta _h(v)+\frac{\beta _{v} b N_v\kappa }{N_h}D\right]\exp{\left(-\int _w^v \alpha (\phi )d\phi \right)dv}>0 </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (9)
|}

para todo <math display="inline">w\geq{0}</math>.

El ítem ii) del Teorema [[#theorem-TeoEndemico|1]] se demostró usando una funcional de Lyapunov <math display="inline">L(t)</math>, que es una combinación de funcionales tipo Volterra <math display="inline">f(x) = x - 1 - \ln{x}</math>, definida por

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>L(t)   =  \frac{\mu _vN_h}{I_v^*b}\int _0^\infty s_h^*(\tau ) f\left(\frac{s_h(t,\tau )}{s_h^*(\tau )}\right)d\tau + \frac{I_h^*\mu _vN_h}{I_v^*b}f\left(\frac{I_h(t)}{I_h^*}\right)</math>
|-
| style="text-align: center;" | <math>      +\frac{\mu _vN_h}{I_v^*b}\int _0^\infty a_h^*(\omega ) g_{e} (\omega ) f\left(\frac{a_h(t,\omega )}{a_h^*(\omega )}\right)d\omega +  f\left(\frac{I_v(t)}{I_v^*}\right)\int _0^\infty \beta _h(\tau )s_h^*(\tau )d\tau , </math>
|}
|}

donde <math display="inline">g_{e}(w)</math> es la siguiente función auxiliar:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>g_{e}(w)=\int _w ^\infty \left[\delta _h(v)+\frac{\beta _{v} b^{2} (N_v-I_v^*)\kappa }{\mu _{v} N^{2}_{h}}\int _0^\infty \beta _h(\tau )s_h^*(\tau )d\tau \right]\exp{\left(-\int _w^v \alpha (\phi )d\phi \right)dv}>0 </math>
|}
|}

para todo <math display="inline">w\geq{0}</math>.

La estrategia de construcción de funcionales de Lyapunov tipo Volterra ha sido ampliamente utilizada en epidemiología matemática  <span id='citeF-14'></span><span id='citeF-15'></span><span id='citeF-16'></span><span id='citeF-17'></span><span id='citeF-18'></span><span id='citeF-19'></span><span id='citeF-20'></span>[[#cite-14|[14,15,16,17,18,19,20]]].

==3 Modelo hospedero-vector independientemente de las edades==

Usando las siguientes tranformaciones ([[#eq-1|1]]) y ([[#eq-2|2]]) donde <math display="inline">S_h(t)</math> es el total de hospederos susceptibles de cualquier edad cronológica y <math display="inline">A_h(t)</math> es el total de hospederos asintomáticos con cualquier edad de la infección asintomática. Además, para simplificar la complejidad del modelo, proponemos que las funciones dependientes de la edad se definan como constantes: <math display="inline">\delta_h(\omega)=\delta_h</math>, <math display="inline">\beta_h(\tau)=\beta_h</math>, y <math display="inline">\varepsilon_h(\tau)=\mu_h</math>. Al integrar la primera ecuación del sistema ([[#eq-3|3]]) con respecto de <math display="inline">\tau</math> y la cuarta ecuación de ([[#eq-3|3]]) con respecto de <math display="inline">\omega</math> utilizando las respectivas condiciones de frontera, el sistema integro-diferencial ([[#eq-3|3]]) se reduce a un modelo en ecuaciones diferenciales ordinarias para el virus de chikungunya que ha sido estudiado por Vázquez-Peña et al.  <span id='citeF-13'></span>[[#cite-13|[13]]].

<span id="eq-10"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{align} \frac{dS_{h}}{dt}& = \mu_{h}N_{h}-\frac{\beta_{h}b}{N_{h}}S_{h}I_{v}-\mu_{h}S_{h},\\ 
 \frac{dI_{h}}{dt}& = \frac{\beta_{h}b}{N_{h}}S_{h}I_{v}-(\mu_{h}+\gamma)I_{h}+\delta_{h} A_{h},\\
 \frac{dA_{h}}{dt}& = p\gamma I_{h}-(\mu_{h}+\delta_{h})A_{h},\\
 \frac{dR_{h}}{dt}& = (1-p)\gamma I_{h}-\mu_{h} R_{h},\\
\frac{dS_{v}}{dt}& = \mu_{v}N_{v}-\frac{\beta_{v}b}{N_{h}}S_{v}I_{h}-\frac{\kappa\beta_{v}b}{N_{h}}S_{v}A_{h}-\mu_{v}S_{v},\\
 \frac{dI_{v}}{dt}& = \frac{\beta_{v}b}{N_{h}}S_{v}I_{h}+\frac{\kappa\beta_{v}b}{N_{h}}S_{v}A_{h}-\mu_{v}I_{v}. \end{align} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (10)
|}


Considerando ambas poblaciones constantes <math display="inline">N_h = S_h + I_h + A_h + R_h</math> y <math display="inline">N_v = S_v + I_v</math> el sistema se reduce a

<span id="eq-11"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{align} \frac{dS_{h}}{dt}& = \mu_{h}N_{h}-\frac{\beta_{h}b}{N_{h}}S_{h}I_{v}-\mu_{h}S_{h},\\
\frac{dI_{h}}{dt}& = \frac{\beta_{h}b}{N_{h}}S_{h}I_{v}-(\mu_{h}+\gamma)I_{h}+\delta_{h} A_{h},\\
 \frac{dA_{h}}{dt}& = p\gamma I_{h}-(\mu_{h}+\delta_{h})A_{h},\\
 \frac{dI_{v}}{dt}& = \frac{\beta_{v}b}{N_{h}}(N_{v}-I_{v})(I_{h}+\kappa A_{h})-\mu_{v}I_{v}. \end{align} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (11)
|}

Las condiciones iniciales del sistema ([[#eq-11|11]]) están dadas por

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>S_h (0) = S_{h0},   I_h(0) = I_{h0},   A_h (0) = A_{h0},   I_v(0) = I_{v0}. </math>
|}
|}

Donde <math display="inline">I_{h0}</math> e <math display="inline">I_{v0}</math> no son cero simultáneamente.

La región factible de las soluciones del modelo ([[#eq-11|11]]) es

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\Delta = \left\{ (S_{h}, I_{h}, A_{h}, I_{v}) \in \mathbb{R}_{+}^{4} : S_{h} + I_{h} + A_{h} \leq N_{h}, I_{v} \leq N_{v} \right\}. </math>
|}
|}

===3.1 Número reproductivo básico===
Para calcular el número reproductivo básico, Vázquez-Peña et al. <span id='citeF-13'></span>[[#cite-13|[13]]] utilizaron el método de la matriz de la siguiente generación <span id='citeF-21'></span>[[#cite-21|[21]]]. Separaron las ecuaciones en  <math display="inline">\boldsymbol{\mathcal{F}}</math>, que contiene los términos asociados a nuevas infecciones, y <math display="inline">\boldsymbol{\mathcal{V}}</math>, que incluye los términos de transiciones individuales en cada clase, es decir,

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math> \boldsymbol{\mathcal{F}} = \left( \frac{\beta_h b}{N_h} S_hI_v, 0, \frac{\beta_v b}{N_h}(N_v-I_v)(I_h + \kappa A_h)
 \right)^T </math>
|}
|}

y

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math> \boldsymbol{\mathcal{V}} = \left( 
\left(\mu_h+\gamma\right)I_h - \delta_hA_h, -p\gamma I_h + \left(\mu_h+\delta_h\right)A_h, \mu_vI_v
 \right)^T. </math>
|}
|}

Tras calcular las matrices Jacobianas de <math display="inline">\boldsymbol{\mathcal{F}}</math> y <math display="inline">\boldsymbol{\mathcal{V}}</math> y evaluarlas en el punto de equilibrio libre de la enfermedad <math display="inline">E^0 = (N_h,0,0,0)</math> se obtienen, respectivamente, una matriz no negativa <math display="inline">\boldsymbol{\mathcal{F}}</math> y una <math display="inline">M</math>-matriz <math display="inline">\boldsymbol{\mathcal{V}}</math>.

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\boldsymbol{F}= \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & \beta_hb  \\ 0 & 0 & 0  \\ \frac{\beta_vbN_v}{N_h} & \frac{\kappa\beta_vbN_v}{N_h} & 0 \\ \end{array} \right) \quad\text{ y }\quad \boldsymbol{\mathcal{V}}= \left( \begin{array}{ccc} \mu_h+\gamma & -\delta_h & 0 \\ -p\gamma & \mu_h+\delta_h & 0  \\ 0 & 0 & \mu_v \\ \end{array} \right). </math>
|}
|}

Entonces, el número reproductivo básico está dado por el radio espectral de la matriz <math display="inline">\boldsymbol{\mathcal{F}}\boldsymbol{\mathcal{V}}^{-1}</math>, es decir

<span id="eq-12"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>R_0=\sqrt{\hat{R}_0}, </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (12)
|}

donde

<span id="eq-13"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\hat{R}_{0}= \frac{\beta_h\beta_vb^2N_v(\kappa p\gamma+\mu_h+\delta_h)}{N_h\mu_v[(\mu_h+\gamma)(\mu_h+\delta_h)-\delta_hp\gamma]}, </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (13)
|}

<math display="inline">R_0</math> denota el número promedio de casos secundarios que produce un individuo infectado al introducirlo a una población totalmente susceptible. Esto se puede entender de la siguiente manera: un mosquito infectado distribuye picaduras en la población humana durante el resto de su vida, y una proporción <math display="inline"> \frac{\beta_h b N_v}{\mu_v N_h} </math> de estas picaduras se convierte en nuevas infecciones. Por otro lado, el número de nuevas infecciones en los mosquitos por parte de hospederos infectados y asintomáticos durante el periodo infeccioso está dado por <math display="inline"> \beta_v b\frac{\kappa p \gamma + \mu_h + \delta_h}{(\mu_h + \gamma)(\mu_h + \delta_h) - \delta_h p \gamma}</math>, respectivamente. La media geométrica de estas dos cantidades, que es igual a <math display="inline"> R_0</math>, proporciona el número promedio de infecciones secundarias. En el contexto de enfermedades transmitidas por vectores, como el chikungunya, un <math display="inline">R_0 > 1</math> sugiere que la enfermedad se propagará en la población, mientras que un <math display="inline">R_0 < 1</math> indica que la enfermedad eventualmente se extinguirá.

===3.2 Puntos de equilibrio y su estabilidad global===

Además del punto de equilibrio libre de la enfermedad <math display="inline">E^0</math>, el modelo ([[#eq-11|11]]) tiene un punto de equilibrio endémico <math display="inline">E^*=(S_h^*, I_h^*, A_h^*, I_v^*)</math>, con

<span id="eq-14"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{align}& S^*_h=\frac{N_h(N_hN_v^{-1}\mu_h \hat{R}_0+\beta_hb)}{\hat{R}_0(N_hN_v^{-1}\mu_h+\beta_hb)},\\
        & I^*_h=\left(\frac{\mu_hN_h(\mu_h+\delta_h)\beta_hb}{(\mu_h+\gamma)(\mu_h+\delta_h)-\delta_hp\gamma}\right)\left(\frac{\hat{R}_0-1}{\hat{R}_0(N_hN_v^{-1}\mu_h+\beta_hb)}\right),\\
        & A^*_h=\left(\frac{\mu_hN_h\beta_hbp\gamma}{(\mu_h+\gamma)(\mu_h+\delta_h)-\delta_hp\gamma}\right)\left(\frac{\hat{R}_0-1}{\hat{R}_0(N_hN_v^{-1}\mu_h+\beta_hb)}\right),\\
        & I^*_v=\frac{\mu_hN_h(\hat{R}_0-1)}{N_hN_v^{-1}\mu_h \hat{R}_0+\beta_hb}.     \end{align} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (14)
|}

Dado que el sistema ([[#eq-11|11]]) es un caso particular del sistema integro-diferencial ([[#eq-4|4]]), obtenemos el siguiente corolario derivado del Teorema [[#theorem-TeoEndemico|1]].

Corolario 1: i) Cuando <math display="inline">R_0\leq1</math> entonces el punto de equilibrio libre de la enfermedad <math display="inline">E_0</math> del sistema ([[#eq-11|11]]) es global asintóticamente estable. 
ii) Cuando <math display="inline">R_0>1</math> entonces el punto de equilibrio endémico <math display="inline">E^*</math>  del sistema ([[#eq-11|11]]) es global asintóticamente estable.

==4 Estimación Bayesiana==

===4.1 Brote de chikungunya en Acapulco===

En 2015, Acapulco, Guerrero, experimentó un brote de chikungunya. En <span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]] se realizó un estudio transversal para caracterizar dicho brote epidémico, que incluyó encuestas en 1,305 viviendas distribuidas en ocho conglomerados urbanos considerados representativos de Acapulco. En total, se administraron 5,870 cuestionarios, identificando 3,531 casos de chikungunya entre enero y diciembre de 2015. Para asegurar la representatividad en el estudio  <span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]], se realizó un muestreo intencional que buscaba reflejar las condiciones urbanas promedio de Acapulco, lo cual es clave en contextos donde no se puede utilizar un muestreo probabilístico. 

Para reducir el impacto de las fluctuaciones aleatorias o ruido en los datos reportados de los casos de chikungunya  <span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]], se aplica el método  de suavizamiento exponencial:
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>F_{t+1}=\alpha Y_{t}+(1-\alpha ) F_{t},</math>
|}
|}

 donde <math display="inline">F_{t+1}</math> es el pronóstico de casos de chikungunya para el tiempo <math display="inline">t+1</math> de la serie de tiempo, donde <math display="inline">Y_{t}</math> representa el valor observado de casos de chikungunya en el tiempo <math display="inline">t</math>, <math display="inline">F_{t}</math> es el pronóstico de casos de chikungunya para el tiempo <math display="inline">t</math>, y <math display="inline">\alpha</math> es la constante de suavizamiento (<math display="inline">0 < \alpha < 1</math>). Se supone que el pronóstico inicial <math display="inline">F_0</math> de casos de chikungunya es igual al primer valor observado <math display="inline">Y_0</math>. Con el suavizado, logramos obtener valores con menor variabilidad, lo que permite observar mejor la evolución de la serie temporal. La estimación Bayesiana se realizará con <math display="inline">F_{t+1}</math>.

Utilizando los datos recabados por <span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]] sobre los casos mensuales autoinformados de chikungunya y el método de suavizamiento exponencial con un valor de <math display="inline">\alpha = 0.7</math>, se ajustará la curva de los humanos infectados $I_h$ para estimar de manera puntual y por intervalo los parámetros y el número reproductivo básico <math display="inline">R_0</math> ([[#eq-12|12]]) del modelo ([[#eq-11|11]]).





{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-ajusteIh.png|540px|Modelo ajustado usando la media como estimador puntual.]]
|[[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-ajusteSIAI.png|540px|]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| (1) Modelo ajustado usando la media como estimador puntual.
|}

===4.2 Modelo estadístico===

Para <math display="inline">\mathbf{y}=(y_1(t_1)</math>, <math display="inline">y_2(t_2),\dots , y_n (t_n) )</math> el vector de <math display="inline">n</math> observaciones del número de humanos infectados (<math display="inline">I_h (t)</math>) en el tiempo, considere el siguiente modelo estadístico:

<span id="eq-15"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>y_{i}(t_i)=G( \mathcal{M}(t_i, \boldsymbol{\theta }))+\varepsilon (t_i), \quad    i=1,2,\dots ,n    </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (17)
|}

donde:

* <math display="inline">y_{i}(t_i)</math> es la variables respuesta del modelo y representa el número de humanos infectados (<math display="inline">I_h (t)</math>) en el tiempo <math display="inline">t_i</math>.
* <math display="inline">\boldsymbol{\theta }</math> es vector de parámetros en la estimación Bayesiana.
* <math display="inline">G( \mathcal{M}(t_i, \boldsymbol{\theta }))</math> es la solución numérica del modelo <math display="inline">\mathcal{M}</math> ([[#eq-11|11]]) con el método <math display="inline">G</math>. En este caso se usó el método numérico de Runge-Kutta de orden 4.
* <math display="inline">\varepsilon (t_i)</math> es el error aleatorio en el tiempo <math display="inline">t_i</math>, los errores son independientes para cada tiempo, normalmente distribuidos con media cero y varianza <math display="inline">\sigma ^2</math>.

===4.3 Función de verosimilitud===

Considerando el supuesto de normalidad <math display="inline">\varepsilon (t_i) \sim N(0, \sigma ^2)</math>, entonces se tiene que <math display="inline">y_{i}(t_i) \sim N\left(G(\mathcal{M}(t_i, \boldsymbol{\theta })), \sigma ^2\right)</math>. Por tal razón, la función de verosimilitud de <math display="inline">\boldsymbol{\theta }</math> basada en <math display="inline">\mathbf{y}</math> está dada por la ecuación ([[#eq-16|16]]):

<span id="eq-16"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>L(\boldsymbol{\theta } \mid \mathbf{y}) = \prod _{i=1}^{n} \left(\sigma ^2\right)^{-\frac{1}{2}} \exp \left\{-\frac{(y_{i}(t_i) - G(\mathcal{M}(t_i, \boldsymbol{\theta })))^2}{2 \sigma ^2} \right\}  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (18)
|}

===4.4 Distribución a priori y a posteriori===

La estadística Bayesiana permite incorporar información o conocimiento de los parámetros al proceso de inferencia, esta información la especifica el investigador por medio de una ''distribución previa'', frecuentemente se le denomina ''distribución a priori'' y la denotamos por <math display="inline"> P(\boldsymbol{\theta })</math>, la distribución a priori puede restringir la inferencia de los parámetros a un intervalo de interés y asignar mayor probabilidad un subconjunto de los valores. Para proponer la distribución a prior de <math display="inline">\boldsymbol{\theta }</math> se investigó en la literatura los valores que se han reportado y se muestran en la Tabla [[#table-1|1]].


{|  class="floating_tableSCP wikitable" style="text-align: center; margin: 1em auto;min-width:50%;"
|+ style="font-size: 75%;" |<span id='table-1'></span>Tabla. 1 Distribuciones a priori seleccionadas con base en los valores reportados en la literatura. En las distribuciones Beta <math>Beta(\alpha ,\beta )</math>, <math>\alpha </math> y <math>\beta </math> son parámetros de forma mientras que en las distribuciones uniformes <math>U(a,b)</math>, <math>a</math> y <math>b</math> son los valores mínimo y máximo.
|- style="border-top: 2px solid;"
| colspan='1' | Parámetro
| colspan='1' | Descripción
| colspan='1' | Referencia
| colspan='1' | Valor medio o rango de valores
| colspan='1' | Distribución a priori
|- style="border-top: 2px solid;"
| rowspan='4' | <math>\beta _h</math>
| rowspan='4' | Probabilidad de transmisión de vector a humano
| <span id='citeF-22'></span>[[#cite-22|[22]]] 
| 0.99 [0.6,1] 
| rowspan='4' | <math>Beta(5,2)</math>
|-
| <span id='citeF-23'></span>[[#cite-23|[23]]] 
| 0.37 
|-
| <span id='citeF-24'></span>[[#cite-24|[24]]] 
| [0.5, 0.8] 
|-
| <span id='citeF-25'></span>[[#cite-25|[25]]] 
| 0.67 [0.26, 1] 
|- style="border-top: 2px solid;"
| rowspan='3' | <math>\beta _v</math>
| rowspan='3' | Probabilidad de transmisión de humano a vector
| <span id='citeF-22'></span>[[#cite-22|[22]]] 
| 0.6 [0.6,1] 
| rowspan='3' | <math>Beta(5,2)</math>
|-
| <span id='citeF-23'></span>[[#cite-23|[23]]] 
| 0.375 
|-
| <span id='citeF-24'></span>[[#cite-24|[24]]] 
| 0.37 
|- style="border-top: 2px solid;"
| rowspan='3' | <math>b</math>
| rowspan='3' | Número de picaduras
| <span id='citeF-22'></span>[[#cite-22|[22]]] 
| 2.46 [1,3] 
| rowspan='3' | <math>U(0,4)</math>
|-
| <span id='citeF-23'></span>[[#cite-23|[23]]] 
| 1 
|-
| <span id='citeF-24'></span>[[#cite-24|[24]]] 
| 0.5 or 1 
|- style="border-top: 2px solid;"
| rowspan='3' | <math>\mu _v</math>
| rowspan='3' | Tasa de muerte y nacimiento de vectores <math>[\hbox{mes}^{-1}]</math> 
| <span id='citeF-23'></span>[[#cite-23|[23]]] 
| 2.72 
| rowspan='3' | <math>U(2,4.5)</math>
|-
| <span id='citeF-24'></span>[[#cite-24|[24]]] 
| 4.28 
|-
| <span id='citeF-26'></span>[[#cite-26|[26]]] 
| 2.14 
|- style="border-top: 2px solid;"
| rowspan='3' | <math>\gamma </math>
| rowspan='3' | Tasa de recuperación <math>[\hbox{mes}^{-1}]</math> 
| <span id='citeF-22'></span>[[#cite-22|[22]]] 
| [3.7,4.5] 
| rowspan='3' | <math>U(2.5,7.5)</math>
|-
| 
| 
|-
| <span id='citeF-26'></span>[[#cite-26|[26]]] 
| [2,6] 
|- style="border-top: 2px solid;"
| <math display="inline">p</math> 
| Fracción de infectados que se vuelven asintomáticos 
| 
| Supuesto 
| <math>U(0,1)</math>
|- style="border-top: 2px solid;"
| rowspan='2' | <math>\delta _h</math>
| rowspan='2' | Tasa de recaída <math>[\hbox{mes}^{-1}]</math> 
| <span id='citeF-8'></span>[[#cite-8|[8]]] 
| 0.5 
| rowspan='2' | <math>U(0,1)</math>
|-
| <span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]] 
| 0.66 
|- style="border-top: 2px solid;"
| <math display="inline">\kappa </math> 
| Fracción de transmisión de humano asintomático a vector 
| Supuesto 
| 
| <math>Beta(2,5)</math>
|- style="border-top: 2px solid;"
| <math display="inline">N_v</math> 
| Número total de vectores 
| Supuesto  
| 2 a 4.5 veces el número total de humanos
| <math>U(11740, 26415)</math>
|- style="border-top: 2px solid;"
| <math display="inline">\mu _h</math> 
| Tasa de muerte y nacimiento de humanos <math display="inline">[\hbox{mes}^{-1}]</math> 
| <span id='citeF-27'></span>[[#cite-27|[27]]] 
| <math>\frac{1}{75\times{12}}\approx{0.0011}</math>
| Valor fijo
|- style="border-top: 2px solid;border-bottom: 2px solid;"
| <math display="inline">N_h</math> 
| Número total de humanos 
| <span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]] 
| 5870 
| Valor fijo

|}

El resultado de la inferencia Bayesiana es la llamada ''distribución  a posteriori'', por el teorema de Bayes la distribución a posteriori esta definida por ([[#eq-17|17]]):

<span id="eq-17"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>P(\boldsymbol{\theta }  \mid \mathbf{y})=\frac{P(\mathbf{y}  \mid \boldsymbol{\theta }) P(\boldsymbol{\theta })}{P\left(\mathbf{y} \right)}  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (19)
|}

donde

* <math display="inline">P(\boldsymbol{\theta }  \mid \mathbf{y})</math>  es la probabilidad a posteriori de <math display="inline">\boldsymbol{\theta }</math> dada un conjunto de observaciones <math display="inline">Y</math>.
* <math display="inline">P(\mathbf{y}  \mid \boldsymbol{\theta })</math> es la probabilidad de las observaciones <math display="inline">Y</math> para un valor específico del vector <math display="inline">\boldsymbol{\theta }</math>.
* <math display="inline"> P(\boldsymbol{\theta })</math>  distribución a priori.
* <math display="inline">P(\mathbf{y})</math> es un constante de normalización <math display="inline">\int _p P(\mathbf{y}  \mid \boldsymbol{\theta }) P(\boldsymbol{\theta }) d \boldsymbol{\theta } </math>.

Note que la expresión ([[#eq-17|17]]) esta bien definida si <math display="inline">P(\mathbf{y} )\neq{0} </math>. <math display="inline">P(\mathbf{y})</math> es constante, por tanto podemos reescribir ([[#eq-17|17]]) como ([[#eq-18|18]]):

<span id="eq-18"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>P(\boldsymbol{\theta }  \mid \mathbf{y})\propto P(\mathbf{y}  \mid \boldsymbol{\theta }) P (\boldsymbol{\theta }).   </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (20)
|}

En el proceso de inferencia, el objetivo es obtener analíticamente el valor medio de la distribución posterior de los parámetros. Para ello, es necesario marginalizar dicha distribución a posteriori.

<span id="eq-19"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>E[ \boldsymbol{\theta } \mid \boldsymbol{y} ] = \int _{}^{} \cdots  \int _{}^{} \boldsymbol{\theta } P(\boldsymbol{\theta }  \mid \boldsymbol{y}) \, d \boldsymbol{\theta }.   </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (21)
|}

Sin embargo, en la gran mayoría de los casos, la integral de la marginalización ([[#eq-19|19]]) no puede resolverse de forma analítica debido a la alta dimensionalidad de <math display="inline">P\left(\boldsymbol{\theta } \mid \boldsymbol{y}\right)</math>. En la práctica, se utiliza el método de Markov Chain Monte Carlo (MCMC) para realizar un muestreo aproximado de los elementos que conforman el vector de parámetros <math display="inline">\boldsymbol{\theta }</math> <span id='citeF-28'></span>[[#cite-28|[28]]]. El MCMC emplea muestreadores como el algoritmo de Metropolis-Hastings, el algoritmo t-walk, el muestreador de Gibbs y el Hamiltoniano Monte Carlo (HMC).

El método MCMC construye una cadena de Markov a partir de los valores muestreados. Cada estado de la cadena corresponde a un valor de la distribución objetivo, y cada iteración del muestreo genera un nuevo estado que depende del estado anterior. Este proceso estocástico iterativo se continúa hasta que la cadena muestra convergencia. Es común que durante un período inicial los valores muestreados estén alejados del valor verdadero, por lo que se recomienda descartar este período inicial. A este período se le conoce como “periodo de quemado”.

Una vez obtenida la muestra de los parámetros de interés, para realizar inferencias se utiliza el estimador de Bayes <math display="inline">T^B</math>, definido como la solución de [[#eq-20|20]].

<span id="eq-20"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>T^B=\min _T E[L(T, \boldsymbol{\theta })]=\min _T[\int L(T, \boldsymbol{\theta }) f( \boldsymbol{\theta }) d \boldsymbol{\theta }].  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (22)
|}

con <math display="inline">L(T, \boldsymbol{\theta })=(T-\boldsymbol{\theta })^2</math> la función de pérdida cuadrática, se obtiene el mínimo en <math display="inline">T=E\left[\boldsymbol{\theta } \right]</math>, es decir el estimador obtenido es el valor medio <math display="inline">T^B=E(\boldsymbol{\theta })</math>. Utilizamos este estimador para hacer inferencias en las densidades a posteriori.

Para la estimación por intervalo se utilizó el método de intervalos de alta densidad a posteriori (HPD, por sus siglas en inglés Highest Posterior Density). Se prefieren los intervalos HPD sobre el método de percentiles debido a que los HPD son los intervalos de menor longitud entre todos los posibles intervalos de probabilidad para un nivel de credibilidad deseado.

===4.5 Método Hamiltoniano de Monte Carlo===

El método de Hamiltoniano Monte Carlo (HMC) ha demostrado ser un muestreador más eficiente que los tradicionales. Su tasa de aceptación es aproximadamente el doble de la tasa de aceptación del algoritmo de Metropolis-Hastings <span id='citeF-29'></span>[[#cite-29|[29]]]. Esta técnica de muestreo se basa en la mecánica Hamiltoniana para explorar distribuciones de alta dimensionalidad. El estudio detallado de esta técnica avanzada está fuera del alcance de este trabajo; para una comprensión más profunda de HMC, se recomienda consultar el trabajo de Betancourt <span id='citeF-30'></span>[[#cite-30|[30]]].

===4.6 Convergencia de Cadenas===

* Método de inspección visual: Este método se basa en la observación empírica de las cadenas de Markov para verificar que sus trazas estén adecuadamente mezcladas. Es común que esta mezcla produzca visualmente una figura similar a una “oruga”.

* Diagnóstico de Gelman-Rubin: Este diagnóstico es uno de los más populares para determinar la convergencia de las cadenas de Markov. Se basa en comparar la varianza dentro de las cadenas con la varianza entre cadenas utilizando el cociente <math display="inline">\hat{R}</math> <span id='citeF-31'></span>[[#cite-31|[31]]]. En la práctica, se considera que las cadenas convergen si <math display="inline">\hat{R} \leq 1.1</math>, mientras que si <math display="inline">\hat{R} \geq 1.1</math>, al menos una de las cadenas aún no ha convergido.

===4.7 Software estadístico===

En este trabajo se utilizó el lenguaje de programación Julia <span id='citeF-32'></span>[[#cite-32|[32]]] con el paquete de análisis Bayesiano Turing.jl <span id='citeF-33'></span>[[#cite-33|[33]]] para estimar los parámetros. Se ejecutaron tres cadenas de Markov, cada una inicializada de manera aleatoria y con 20,000 iteraciones. Las primeras 1,000 iteraciones de cada cadena se descartaron como periodo de quemado, resultando en una muestra final de 19,000 valores por cadena. El diagnóstico de convergencia de Gelman-Rubin se realizó por defecto utilizando el paquete Turing.

Se utilizo la paquetería MCMChains.jl <span id='citeF-34'></span>[[#cite-34|[34]]] para estimar los intervalos de HPD al 95%

==5 Resultados==

En la Tabla [[#table-2|2]], se presentan los resultados de la estimación Bayesiana para los parámetros del modelo, así como para el número reproductivo básico <math display="inline">R_0</math>. La Tabla [[#table-2|2]] muestra los valores de media, mediana, intervalos de HPD del 95% y los valores de Rhat para cada parámetro.

Las probabilidades de transmisión de vector a humano <math display="inline">\beta _h</math> y de humano a vector <math display="inline">\beta _v</math> tienen medias de 0.72 y 0.75, respectivamente, con intervalos de credibilidad del 95% de (0.46, 0.97) y (0.49, 0.98). Esto representa probabilidades altas de transmisión.

El promedio del número de picaduras <math display="inline">b</math> de los vectores es de 3.13, con un intervalo de credibilidad del 95% de (2.29, 4.00). La media de la tasa de muerte y nacimiento de vectores <math display="inline">\mu _v</math> es de 3.41 <math display="inline">\hbox{mes}^{-1}</math>, con un intervalo de credibilidad del 95% de (2.08, 4.44), lo que equivale a un periodo de vida de los vectores de 6.7 a 14.4 <math display="inline">\hbox{dias}</math>.  Se estima una media del número total de vectores <math display="inline">N_v</math> de 19,18, con un intervalo de credibilidad del 95% de (12,58, 26,35).

La tasa de recuperación <math display="inline">\gamma </math> tiene una media de 4.44, con un intervalo de credibilidad del 95% de (2.50, 6.63), lo que corresponde a un periodo de recuperación de 4.5 a 12 <math display="inline">\hbox{dias}</math>. La tasa de recaídas <math display="inline">\delta _h</math> muestra una media de 0.75 <math display="inline">\hbox{mes}^{-1}</math>, con un intervalo de credibilidad del 95% de (0.38, 1.00), lo que equivale a un periodo de recaída de 30 a 77.7 <math display="inline">\hbox{dias}</math>.

La media de la fracción de infectados que se vuelven asintomáticos <math display="inline">p</math> es 0.65, con un intervalo de credibilidad del 95% que varía entre una fracción baja de 0.41 y una alta de 0.84.  La media de la fracción de transmisión de humano asintomático a vector <math display="inline">\kappa </math> es 0.24, con un intervalo de credibilidad del 95% de (0.01, 0.52), que va de una fracción casi nula a moderada.

Finalmente, el número reproductivo básico <math display="inline">R_0</math> fue de 2.61, con un intervalo de credibilidad del 95% de (1.66, 3.80). En <span id='citeF-35'></span>[[#cite-35|[35]]] estiman que el <math display="inline">R_0</math> es de 4.1 (intervalo de confianza del 95% de 1.5 a 6.6) para los vectores ''Aedes aegypti'', lo que sugiere que el chikungunya podría propagarse rápidamente. Nuestras estimaciones son consistentes con lo publicado en <span id='citeF-35'></span>[[#cite-35|[35]]].

En la Tabla [[#table-2|2]] los valores de <math display="inline">\hat{R}</math> son menores a 1.1, por lo cual todas las cadenas presentadas son convergentes. Las trazas de los parámetros <math display="inline">\boldsymbol{\theta }</math> se muestran en la Tabla 3.

En la Figura [[#img-1|1]] se muestra el ajuste del modelo a la curva de humanos infectados con chikungunya, así como la simulación de las cuatro clases: hospederos susceptibles <math display="inline">S_h</math>, hospederos infectados <math display="inline">I_h</math>, hospederos asintomáticos <math display="inline">A_h</math> y vectores infectados <math display="inline">I_v</math>. Los puntos sólidos representan los datos  obtenidos por <span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]] que se han suavizado por el modelo de suavizamiento exponencial con <math display="inline">\alpha=0.7</math>.


{|  class="floating_tableSCP wikitable" style="text-align: center; margin: 1em auto;min-width:50%;"
|+ style="font-size: 75%;" |<span id='table-2'></span>Tabla. 2 Resultados de la estimación Bayesiana.
|- style="border-top: 2px solid;"
| style="text-align: left;border-left: 2px solid;" |  Parámetro 
| Media 
| Mediana 
| Intervalos de HPD del 95%
| style="text-align: right;border-right: 2px solid;" | Rhat
|- style="border-top: 2px solid;"
| style="text-align: left;border-left: 2px solid;" | <math display="inline">\beta _h</math> 
| 0.72 
| 0.74 
| (0.46, 0.97) 
| style="text-align: right;border-right: 2px solid;" | 1.00
|-
| style="text-align: left;border-left: 2px solid;" | <math>\beta _v</math>
| 0.75 
| 0.76 
| (0.49, 0.98) 
| style="text-align: right;border-right: 2px solid;" | 1.00
|-
| style="text-align: left;border-left: 2px solid;" | <math>b</math>
| 3.13 
| 3.15 
| (2.29, 4.00) 
| style="text-align: right;border-right: 2px solid;" | 1.00
|-
| style="text-align: left;border-left: 2px solid;" | <math>\mu _v</math><math display="inline">[\hbox{mes}^{-1}]</math> 
| 3.42 
| 3.49 
| (2.08, 4.44) 
| style="text-align: right;border-right: 2px solid;" | 1.00
|-
| style="text-align: left;border-left: 2px solid;" | <math>\gamma </math><math display="inline">[\hbox{mes}^{-1}]</math> 
| 4.44 
| 4.32 
| (2.50, 6.63) 
| style="text-align: right;border-right: 2px solid;" | 1.00
|-
| style="text-align: left;border-left: 2px solid;" | <math>p</math>
| 0.65 
| 0.66 
| (0.41, 0.84) 
| style="text-align: right;border-right: 2px solid;" | 1.00
|-
| style="text-align: left;border-left: 2px solid;" | <math>\delta _h</math><math display="inline">[\hbox{mes}^{-1}]</math>
| 0.75 
| 0.79 
| (0.38, 1.00) 
| style="text-align: right;border-right: 2px solid;" | 1.00
|-
| style="text-align: left;border-left: 2px solid;" | <math>\kappa </math>
| 0.24 
| 0.21 
| (0.01, 0.52) 
| style="text-align: right;border-right: 2px solid;" | 1.00
|-
| style="text-align: left;border-left: 2px solid;" | <math>N_v</math>
| 19183 
| 19179 
| (12589, 26358) 
| style="text-align: right;border-right: 2px solid;" | 1.00
|- style="border-bottom: 2px solid;"
| style="text-align: left;border-left: 2px solid;" | <math>R_0</math>
| 2.61 
| 2.46 
| (1.66, 3.80) 
| style="text-align: right;border-right: 2px solid;" | 1.00 

|}


{|  class="floating_tableSCP" style="text-align: left; margin: 1em auto;border-top: 2px solid;border-bottom: 2px solid;min-width:50%;"
|+ style="font-size: 75%;" |<span id='table-3'></span>'''Tabla. 3''' A la izquierda, se muestran las trazas, y a la derecha, las distribuciones a posteriori de los parámetros del modelo hospedero-vector para chikungunya ([[#eq-11|11]]).
|-
|    
| style="text-align: right;" |   
|   
|-
| 
|  [[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-cadenabetah.png|300px|cadenabetah.pdf]]
|
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-cadenabetah.png|300px|]]
|}
[[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-densitybetah.png|300px|densitybetah.pdf]]
|-
|
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-densitybetah.png|300px|]]
|}

|  [[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-cadenabetav.png|300px|cadenabetav.pdf]]
|
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-cadenabetav.png|300px|]]
|}
[[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-densitybetav.png|300px|densitybetav.pdf]]
|-
|
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-densitybetav.png|300px|]]
|}

|  [[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-cadenab.png|300px|cadenab.pdf]]
|
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-cadenab.png|300px|]]
|}
[[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-densityb.png|300px|densityb.pdf]]
|-
|
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-densityb.png|300px|]]
|}

|  [[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-cadenamuv.png|300px|cadenamuv.pdf]]
|
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-cadenamuv.png|300px|]]
|}
[[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-densitymuv.png|300px|densitymuv.pdf]]
|-
|
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-densitymuv.png|300px|]]
|}

|  [[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-cadenagamma.png|300px|cadenagamma.pdf]]
|
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-cadenagamma.png|300px|]]
|}
[[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-densitygamma.png|300px|densitygamma.pdf]]
|-
|
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-densitygamma.png|300px|]]
|}

|  [[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-cadenap.png|300px|cadenap.pdf]]
|
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-cadenap.png|300px|]]
|}
[[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-densityp.png|300px|densityp.pdf]]
|-
|
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-densityp.png|300px|]]
|}

|  [[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-cadenadeltah.png|300px|cadenadeltah.pdf]]
|
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-cadenadeltah.png|300px|]]
|}
[[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-densitydeltah.png|300px|densitydeltah.pdf]]
|-
|
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-densitydeltah.png|300px|]]
|}

|  [[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-cadenasigma.png|300px|cadenasigma.pdf]]
|
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-cadenasigma.png|300px|]]
|}
[[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-densitysigma.png|300px|densitysigma.pdf]]
|-
|
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-densitysigma.png|300px|]]
|}

|  [[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-cadenaNv.png|300px|cadenaNv.pdf]]
|
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-cadenaNv.png|300px|]]
|}
[[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-densityNv.png|300px|densityNv.pdf]]
|-
|
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-densityNv.png|300px|]]
|}

|  [[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-chainR0.png|300px|chainR0.pdf]]
|
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-chainR0.png|300px|]]
|}
[[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-densityR0.png|300px|densityR0.pdf]]
|-
|
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-densityR0.png|300px|]]
|}

|  [[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-cadenasigmavar.png|300px|cadenasigmavar.pdf]]
|
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-cadenasigmavar.png|300px|]]
|}
[[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-densitysigmavar.png|300px|densitysigmavar.pdf]]
|-
|
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Vargas-De-Leon_400593385-densitysigmavar.png|300px|]]
|}
|}

==6 Conclusiones==

En este trabajo, presentamos una revisión de modelos recientemente desarrollados para el virus del chikungunya. Uno de estos modelos incorpora dos estructuras de edad, mientras que el otro es un caso particular, independiente de la edad. Para este último modelo, se estimó el número reproductivo básico <math display="inline">R_0</math>del brote de chikungunya en Acapulco, con el que alcanzamos el objetivo planteado en este trabajo.

El valor estimado de <math display="inline">R_0</math>mostró la capacidad del virus para expandirse rápidamente, lo cual fue consistente con estudios previos que indicaron una rápida expansión del chikungunya. La fracción de transmisión de humanos asintomáticos a vectores varió de baja a moderada, lo que podría haber sugerido que esta fracción no desempeñó un papel relevante en la propagación de la enfermedad. La estimación de los parámetros del brote en Acapulco sugirió que la transmisión del virus fue alta tanto de vectores a humanos como de humanos a vectores, lo que indicó un alto riesgo de propagación. El elevado número de picaduras contribuyó a la propagación continua del virus.

Estos resultados subrayan la importancia de implementar medidas de control y prevención contra las picaduras de mosquitos. Para ello, se recomienda eliminar las aguas estancadas, realizar fumigaciones y utilizar mosquiteros en zonas residenciales. De este modo, se puede evitar la reproducción de estos mosquitos, el contagio de la enfermedad y la propagación del virus.

El enfoque Bayesiano ofrece ventajas en el trabajo: permite incorporar información previa mediante distribuciones a priori, lo que mejora la precisión de las estimaciones. Además, facilita la obtención de intervalos de credibilidad, proporcionando no solo valores puntuales, sino también un rango de valores en el cual se encuentra un parámetro con una cierta probabilidad.

===BIBLIOGRAFÍA===

<div id="cite-1"></div>
'''[[#citeF-1|[1]]]''' Agusto, Folashade B and Easley, Shamise and Freeman, Kenneth and Thomas, Madison. (2016) "Mathematical model of three age-structured transmission dynamics of chikungunya virus", Volume 2016. Wiley Online Library. Computational and mathematical methods in medicine 1 4320514

<div id="cite-2"></div>
'''[[#citeF-2|[2]]]''' Vu, David M and Jungkind, Donald and LaBeaud, Angelle Desiree. (2017) "Chikungunya virus", Volume 37. Elsevier. Clinics in laboratory medicine 2 371&#8211;382

<div id="cite-3"></div>
'''[[#citeF-3|[3]]]''' Wahid, Braira and Ali, Amjad and Rafique, Shazia and Idrees, Muhammad. (2017) "Global expansion of chikungunya virus: mapping the 64-year history", Volume 58. Elsevier. International Journal of Infectious Diseases 69&#8211;76

<div id="cite-4"></div>
'''[[#citeF-4|[4]]]''' Rivera-Ávila, Roberto Carlos. (2014) "Fiebre chikungunya en México: caso confirmado y apuntes para la respuesta epidemiológica", Volume 56. SciELO Public Health. Salud pública de México 4 402&#8211;404

<div id="cite-5"></div>
'''[[#citeF-5|[5]]]''' Garay-Morán, Carolina and Román-Pedroza, Juan Francisco and López-Martínez, Irma and Rodríguez-Martínez, José Cruz and Ruiz-Matus, Cuitláhuac and Kuri-Morales, Pablo and Díaz-Quiñonez, José Alberto. (2017) "Caracterización clínica y epidemiológica de fiebre Chikungunya en México", Volume 41. SciELO Public Health. Revista Panamericana de Salud Pública e58

<div id="cite-6"></div>
'''[[#citeF-6|[6]]]''' Méndez, Nina and Baeza-Herrera, Luis and Ojeda-Baranda, Rafael and Huchim-Lara, Oswaldo and Gómez-Carro, Salvador. (2018) "Perfil clinicoepidemiológico de la infección por Chikungunya en casos hospitalarios atendidos en 2015 en Mérida, México", Volume 41. SciELO Public Health. Revista Panamericana de Salud Pública e91

<div id="cite-7"></div>
'''[[#citeF-7|[7]]]''' Simon, Fabrice and Javelle, Emilie and Oliver, Manuela and Leparc-Goffart, Isabelle and Marimoutou, Catherine. (2011) "Chikungunya virus infection", Volume 13. Springer. Current infectious disease reports 218&#8211;228

<div id="cite-8"></div>
'''[[#citeF-8|[8]]]''' Couturier, Elisabeth and Guillemin, Francis and Mura, Marie and Léon, Lucie and Virion, Jean-Marc and Letort, Marie-José and De Valk, Henriette and Simon, Fabrice and Vaillant, Véronique. (2012) "Impaired quality of life after Chikungunya virus infection: a 2-year follow-up study", Volume 51. Oxford University Press. Rheumatology 7 1315&#8211;1322

<div id="cite-9"></div>
'''[[#citeF-9|[9]]]''' Staikowsky, Frederik and Le Roux, Karin and Schuffenecker, Isabelle and Laurent, Philippe and Grivard, Philippe and Develay, A and Michault, Alain. (2008) "Retrospective survey of Chikungunya disease in Reunion Island hospital staff", Volume 136. Cambridge University Press. Epidemiology & Infection 2 196&#8211;206

<div id="cite-10"></div>
'''[[#citeF-10|[10]]]''' de La Cruz-Castro, Ixtac Xochitl and Nava-Aguilera, Elizabeth and Morales-Pérez, Arcadio and Betanzos-Reyes, Ángel Francisco and Flores-Moreno, Miguel and Morales-Nava, Liliana and Balanzar-Martínez, Alejandro and Serrano-de Los Santos, Felipe René and Andersson, Neil. (2020) "Factors associated with chikungunya relapse in Acapulco, Mexico: a cross-sectional study", Volume 20. Mary Ann Liebert, Inc., publishers 140 Huguenot Street, 3rd Floor New&nbsp;…. Vector-Borne and Zoonotic Diseases 10 782&#8211;787

<div id="cite-11"></div>
'''[[#citeF-11|[11]]]''' Mac, P. A. and Airiohuodion, P. E. and Velayudhan, R. and others. (2023) "Antibody seropositivity and endemicity of chikungunya and Zika viruses in Nigeria", Volume 3. Animal Diseases 7

<div id="cite-12"></div>
'''[[#citeF-12|[12]]]''' Vázquez-Peña, María Guadalupe and Vargas-De-León, Cruz and Velázquez-Castro, Jorge. (2024) "Global stability for a mosquito-borne disease model with continuous-time age-structure in the susceptible and relapsed host classes". Submitted to Mathematical Biosciences and Engineering

<div id="cite-13"></div>
'''[[#citeF-13|[13]]]''' Vázquez-Peña, María Guadalupe and Vargas-De-León, Cruz and Camacho-Pérez, Jorge Fernando and Velázquez-Castro, Jorge. (2023) "Analysis and Bayesian estimation of a model for Chikungunya dynamics with relapse: An outbreak in Acapulco, Mexico", Volume 20. Mathematical Biosciences and Engineering 10 18123&#8211;18145

<div id="cite-14"></div>
'''[[#citeF-14|[14]]]''' Korobeinikov, A. (2004) "Lyapunov functions and global properties for SEIR and SEIS epidemic models", Volume 21. Mathematical Medicine and Biology 2 75&#8211;83

<div id="cite-15"></div>
'''[[#citeF-15|[15]]]''' Korobeinikov, A. (2004) "Global properties of basic virus dynamics models", Volume 66. Bulletin of Mathematical Biology 4 879&#8211;883

<div id="cite-16"></div>
'''[[#citeF-16|[16]]]''' Vargas-De-León, C. and Castro-Hernández, J. A. (2008) "Local and global stability of host-vector disease models", Volume 25. Foro-Red-Mat: Revista Electrónica de Contenido Matemático 1&#8211;9

<div id="cite-17"></div>
'''[[#citeF-17|[17]]]''' Vargas-De-León, C. (2012) "Global analysis of a delayed vector-bias model for malaria transmission with incubation period in mosquitoes", Volume 9. Mathematical Biosciences and Engineering 1 165&#8211;174

<div id="cite-18"></div>
'''[[#citeF-18|[18]]]''' Vargas-De-León, Cruz. (2014) "On the global stability of infectious diseases models with relapse", Volume 9. Abstraction and Application Magazine

<div id="cite-19"></div>
'''[[#citeF-19|[19]]]''' Vargas-De-León, Cruz and Esteva, Lourdes and Korobeinikov, Andrei. (2014) "Age-dependency in host-vector models: The global analysis", Volume 243. Elsevier. Applied Mathematics and Computation 969&#8211;981

<div id="cite-20"></div>
'''[[#citeF-20|[20]]]''' Vargas-De-León, Cruz. (2016) "Global stability properties of age-dependent epidemic models with varying rates of recurrence", Volume 39. Wiley Online Library. Mathematical Methods in the Applied Sciences 8 2057&#8211;2064

<div id="cite-21"></div>
'''[[#citeF-21|[21]]]''' Van den Driessche, Pauline and Watmough, James. (2002) "Reproduction numbers and sub-threshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission", Volume 180. Elsevier. Mathematical biosciences 1-2 29&#8211;48

<div id="cite-22"></div>
'''[[#citeF-22|[22]]]''' Abboubakar, Hamadjam and Guidzavaï, Albert Kouchéré and Yangla, Joseph and Damakoa, Irépran and Mouangue, Ruben. (2021) "Mathematical modeling and projections of a vector-borne disease with optimal control strategies: A case study of the Chikungunya in Chad", Volume 150. Elsevier. Chaos, Solitons & Fractals 111197

<div id="cite-23"></div>
'''[[#citeF-23|[23]]]''' Dumont, Yves and Chiroleu, Frederic. (2010) "Vector control for the Chikungunya disease", Volume 7. Mathematical Biosciences & Engineering. Mathematical Biosciences & Engineering 2 313&#8211;345

<div id="cite-24"></div>
'''[[#citeF-24|[24]]]''' Dumont, Yves and Chiroleu, Frédéric and Domerg, Caroline. (2008) "On a temporal model for the Chikungunya disease: modeling, theory and numerics", Volume 213. Elsevier. Mathematical biosciences 1 80&#8211;91

<div id="cite-25"></div>
'''[[#citeF-25|[25]]]''' Ruiz-Moreno, Diego and Vargas, Irma Sanchez and Olson, Ken E and Harrington, Laura C. (2012) "Modeling dynamic introduction of Chikungunya virus in the United States", Volume 6. Public Library of Science San Francisco, USA. PLoS Neglected Tropical Diseases 11 e1918

<div id="cite-26"></div>
'''[[#citeF-26|[26]]]''' González-Parra, Gilberto C and Aranda, Diego F and Chen-Charpentier, Benito and Díaz-Rodríguez, Miguel and Castellanos, Jaime E. (2019) "Mathematical modeling and characterization of the spread of chikungunya in Colombia", Volume 24. MDPI. Mathematical and Computational Applications 1 6

<div id="cite-27"></div>
'''[[#citeF-27|[27]]]''' Consejo Nacional de Población. (2022) "Indicadores demográficos de México de 1950 a 2050 (Spanish) [National Population Council, Demographic Indicators of Mexico from 1950 to 2050]"

<div id="cite-28"></div>
'''[[#citeF-28|[28]]]''' Gelman, Andrew and Carlin, John B. and Stern, Hal S. and Rubin, Donald B. (1995) "Bayesian Data Analysis". Chapman and Hall/CRC

<div id="cite-29"></div> 
'''[[#citeF-29|[29]]]''' Kruschke, John K.  (2015) "Doing Bayesian Data Analysis: A Tutorial with R, JAGS, and Stan". Academic Press.

<div id="cite-30"></div>
'''[[#citeF-30|[30]]]''' Rodríguez-Parra, M. A. and Vargas-De-León, C. and Godinez-Jaimes, F. and Martinez-Lázaro, C. (2023) "Bayesian estimation of parameters in viral dynamics models with antiviral effect of interferons in a cell culture", Volume 20. Mathematical Biosciences and Engineering 11033&#8211;11062

<div id="cite-31"></div>
'''[[#citeF-31|[31]]]''' Betancourt, Michael. (2017) "A Conceptual Introduction to Hamiltonian Monte Carlo", arXiv

<div id="cite-32"></div>
'''[[#citeF-32|[32]]]''' Vehtari, Aki and Gelman, Andrew and Simpson, Daniel and Carpenter, Bob and Bürkner, Paul-Christian. (2021) "Rank-Normalization, Folding, and Localization: An Improved Rˆ for Assessing Convergence of MCMC (with Discussion)", Volume 16. Bayesian Analysis 1&#8211;70

<div id="cite-33"></div>
'''[[#citeF-33|[33]]]''' Bezanson, Jeff and Edelman, Alan and Karpinski, Stefan and Shah, Viral B. (2017) "Julia: A Fresh Approach to Numerical Computing", Volume 59. SIAM Review 65&#8211;98

<div id="cite-34"></div>
'''[[#citeF-34|[34]]]''' Ge, He and Xu, Kun and Ghahramani, Zoubin. (2018) "Turing: a language for flexible probabilistic inference". International Conference on Artificial Intelligence and Statistics. PMLR 1682&#8211;1690

<div id="cite-35"></div>
'''[[#citeF-35|[35]]]''' Cameron Pfiffer and David Widmann and Martin Trapp and Rob J Goedman and Michael Krabbe Borregaard and Rik Huijzer and Seth Axen and Hong Ge and Kai Xu and dfish and Tor Erlend Fjelde and Andreas Noack and PaulinaMartin96 and Chris Elrod and Jeremiah and Julia TagBot and Matt Karikomi and Hessam Mehr and Xianda Sun and Will Tebbutt. (2024) "TuringLang/MCMCChains.jl: v6.0.6", Volume v6.0.6. Zenodo

<div id="cite-36"></div>
'''[[#citeF-36|[36]]]''' Alvarado-Castro, Víctor Manuel and Vargas-De-León, Cruz and Paredes-Solis, Sergio and Li-Martin, Alian and Nava-Aguilera, Elizabeth and Morales-Pérez, Arcadio and Legorreta-Soberanis, José and Sánchez-Gervacio, Belén Madeline and Cockcroft, Anne and Andersson, Neil. (2024) "The influence of gender and temephos exposure on community participation in dengue prevention: a compartmental mathematical model", BMC Infectious Diseases, 24(1)&#8211;463.

<div id="cite-37"></div> 
'''[[#citeF-37|[37]]]''' Gill, Graham V. and Beeching, Nick (2014) "Tropical Medicine: Lecture Notes". Wiley, Oxford, 7th edition

<div id="cite-38"></div>
'''[[#citeF-38|[38]]]''' Haider, N. and Vairo, F. and Ippolito, G. and Zumla, A. and Kock, R. A. (2020) "Basic reproduction number of Chikungunya virus transmitted by Aedes mosquitoes", Volume 26. Emerging Infectious Diseases 10 2429&#8211;2431