A mathematical model of the formation of urine

==1 Introducción==

Junto al cerebro y el corazón, el riñón es un órgano fundamental en el sistema cardiovascular, ya que recibe aproximadamente el 20% de la sangre que el corazón expulsa hacia el organismo, en cada latido. Entre sus principales funciones se encuentran:  regular la presión arterial, eliminar los desechos tóxicos a través de la orina y producir la hormona que estimula la formación de los glóbulos rojos <span id='citeF-5'></span>[[#cite-5|[5]]]. 

Cuando no hay un adecuado funcionamiento del riñon, pueden presentarse  enfermedades renales  de diversas formas, desde infecciones y cálculos renales hasta enfermedades crónicas como la nefropatía diabética y la enfermedad renal crónica (ERC). Estos son un problema de salud cada vez más importante a nivel global, afectando no solo la vida de los pacientes, sino también generando una carga significativa para los sistemas de salud debido a su alta prevalencia y costos asociados. 

Los modelos hemodinámicos renales  proporcionan una comprensión profunda sobre los patrones y comportamientos del flujo sanguíneo renal, lo que  puede permitir detectar anomalías y disfunciones que de otra manera podrían pasar desapercibidas. Así también contribuyen a tener una perspectiva global e integral del problema, lo que coadyuva a  avanzar en el diagnóstico, tratamiento y prevención de las afecciones renales.

El torrente sanguíneo arrastra una gran cantidad de sustancias, muchas de la cuales entran al riñón y alguna proporción de estas pasa a formar parte de la orina. Sin embargo, la mayoría de los modelos nefrológicos consideran solo la concentración de una sustancia <span id='citeF-7'></span>[[#cite-7|[7]]]. Estos modelos se han utilizado con fines terapéuticos o tratamiento de enfermedades vía control (cantidad de medicamentos) <span id='citeF-1'></span>[[#cite-1|[1]]],   y  también con fines de diseño de riñones artificiales. En general el  modelado del proceso de hemodiálisis se basa en ecuaciones cinético-hemodinámicas <span id='citeF-3'></span>[[#cite-3|[3]]] o ecuaciones cinético-matemáticas <span id='citeF-2'></span>[[#cite-2|[2]]].  

<div id='img-1'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Dominguez Perez_785959114-imagenref.png|480px|'' Esquema de las etapas de la formación de la orina en la nefrona <span id='citeF-7'></span>[[#cite-7|[7]]]. '']]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 1:''' '' Esquema de las etapas de la formación de la orina en la nefrona <span id='citeF-7'></span>[[#cite-7|[7]]]. ''
|}
En este contexto,  el propósito de este trabajo es analizar la  hemodinámica renal modelando matemáticamente   los procesos básicos de la producción de la orina, siguiendo las ideas expuestas en  <span id='citeF-7'></span>[[#cite-7|[7]]].  Para esto se asumen varias cosas: que el tejido renal es homogéneo, que ciertos parámetros fisiológicos son constantes y que la anatomía del riñón es simple. Además, se supone que el flujo sanguíneo es uniforme, se simplifican las interacciones químicas y se asume la ausencia de patologías. Con estos supuestos, el modelo resultante se puede resolver al menos numéricamente.

==2 Formulación del modelo ==

La principal unidad operativa del riñón se llama nefrona, de la que hay aproximadamente un millón en cada riñón y cada nefrona es capaz de formar orina por sí misma. Es en esta donde se llevan acabo las 3 etapas para    la producción de la orina (ver figura [[#img-1|1]]).  En la primer etapa,  la etapa de  filtración glomerular,  el glomérulo filtra el agua y otras sustancias del torrente sanguíneo.

Cada nefrona tiene un glomérulo cuya  función es un  filtrado inicial de la sangre. El glomérulo consta de una   red de capilares envuelto por la cápsula de Bowman (una estructura en forma de copa). La presión arterial de la sangre en los capilares empuja el agua y los solutos pequeños hacia la cápsula de  Bowman, a través de una membrana de filtrado. Con esto inicia el proceso de formación de la orina <span id='citeF-7'></span>[[#cite-7|[7]]].   Aproximadamente  el 20%   de la sangre que entra a la nefrona, se filtra  hacia la cápsula de Bowman.  Tanto las  plaquetas como las proteínas  plasmáticas  y células  sanguíneas  son demasiado grandes para pasar por el filtro, por lo que  éstas  continúan por  la arteriola eferente, formando el  80% del líquido que no se filtró <span id='citeF-5'></span>[[#cite-5|[5]]].

===2.1 Modelo  para  la filtración glomerular.===

Para modelar matemáticamente  la dinámica  del filtrado glomerular <span id='citeF-7'></span>[[#cite-7|[7]]], suponemos que los capilares glomerulares se distribuyen en una región  en forma de un tubo unidimensional con flujo <math display="inline">q_1</math> y que la cápsula de Bowman que lo rodea  también tienen la misma forma y flujo <math display="inline">q_2</math> (ver figura [[#img-2|2]]). Suponemos que el filtrado glomerular se da a través de una pared capilar de logitud <math display="inline">L</math> (linea punteada de la figura [[#img-2|2]]). Dado que el flujo a través de los capilares glomerulares es proporcional a la diferencia de presión a través de la pared capilar, el modelo para la filtración glomerular es 
[[Image:Draft_Dominguez Perez_785959114-diagramanuevo.png|480px|Modelo tubular del glomérulo <span id='citeF-7'></span>[[#cite-7|[7]]].]]
 '''Figura 2:''' Modelo tubular del glomérulo <span id='citeF-7'></span>[[#cite-7|[7]]].

<span id="eq-1"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\left\{   \begin{array}{ll}\frac{dq_1}{dx}= K_f(P_2 - P_1 + \pi _i \frac{Q_i}{q_1}), \quad 0<x<L,  \\    q_1(0)= Q_i, \\    q_1(L)= Q_e,   \end{array}   \right.  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (1)
|}

junto con las relaciones

<span id="eq-2"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>P_a - R_aQ_i = P_1,  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2)
|}

<span id="eq-3"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>P_1 - P_e = R_eQ_e,  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (3)
|}

<span id="eq-4"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>P_2 -P_d = R_d Q_d,  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4)
|}

donde

* <math display="inline">P_1</math> y <math display="inline">P_2</math> son las presiones hidrostáticas del fluido en los tubos 1 y 2 respectivamente (como se muestra en la figura [[#img-2|2]], donde el tubo 1 esta en rojo y el tubo 2 en verde) y satisfacen las relaciones ([[#eq-2|2]]),([[#eq-3|3]]), ([[#eq-4|4]]), donde <math display="inline">P_{i}</math> representa las presiones, <math display="inline">R_{i}</math> las resistencias y <math display="inline">Q_{i}</math> los flujos. Aquí, <math display="inline">i=a,e,d </math> y <math display="inline">a</math> hace referencia a la arteriola aferente, <math display="inline">e</math> hace referencia a  la arteriola eferente y <math display="inline">d</math> hace referencia al túbulo descendente. <math display="inline">Q_i</math>  denota el flujo de entrada, es decir el flujo  en <math display="inline">x=0</math>. <math display="inline">Q_i</math> y <math display="inline">Q_e</math> son ambas desconocidas y deben determinarse. Esto hace que este problema esté bien definido y sea no  trivial.
* <math display="inline">K_f</math> es la tasa de filtración capilar.
* <math display="inline">\pi _i</math> es la presión osmótica tanto de las proteínas suspendidas  como de  otras sustancias de alto peso molecular y depende de <math display="inline">q_1</math>.

====2.1.1 Solución del modelo  para la filtración glomerular.====

====2.1.2 Solución analítica implícita====

Con unas simplificaciones algebraicas, la EDO en ([[#eq-1|1]]) se puede resolver por el método de  separación de variables. La  solución está definida implícitamente por

<span id="eq-5"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\frac{1}{ K_f(P_2-P_1)} \left[q_1- \frac{K_f Q_i \pi _i}{ K_f(P_2-P_1)} \ln \left( K_f(P_2-P_1) q_1+K_f Q_i \pi _i\right)\right]= x+ C.  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (5)
|}

Usando la condición inicial <math display="inline">q_1(0)= Q_i</math>  y la condición final <math display="inline"> q_1(L)= Q_e,</math> determinamos la constante de integración <math display="inline">C.</math> Usando propiedades de logaritmo y haciendo  algunas manipulaciones algebraicas (ver <span id='citeF-6'></span>[[#cite-6|[6]]]), se llega a  la siguiente  expresión

<span id="eq-6"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\frac{Q_e}{Q_i} + \alpha \ln \left[\frac{\frac{Q_e}{Q_i}- \alpha }{1- \alpha }\right]= 1- \frac{K_f\pi _i L}{\alpha Q_i},  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (6)
|}

donde <math display="inline">\alpha = \frac{\pi _i}{(P_1 - P_2)}.</math> 

En resumen, hasta ahora tenemos la solución implícita para <math display="inline">q_1</math> dada por ([[#eq-5|5]]) y  la de <math display="inline">Q_e, Q_i</math> dada por ([[#eq-6|6]]) y además tenemos la relación <math display="inline">Q_i=Q_e+ Q_d</math>.  Así que si damos un valor para <math display="inline">Q_d</math> podemos resolver ([[#eq-6|6]]) para <math display="inline">Q_e</math>  y obtener <math display="inline">Q_i</math> o de igual forma resolver ([[#eq-6|6]])  para <math display="inline">Q_i</math>  y obtener <math display="inline">Q_e</math>. También obtenemos <math display="inline">P_a</math>, vía la relación   ([[#eq-2|2]]). 

Aún con esto no podemos obtener una formula explícita para <math display="inline">q_1</math> pero sí podemos resolver numéricamente, como lo explicaremos en la siguiente sección.

====2.1.3 Solución numérica====

Los valores típicos de los parámetros son <math display="inline">P_1 = 60, P_2 = 18, P_a = 100, P_e = 18, P_d = 14 - 18, \pi _i = 25 mm Hg</math>, con <math display="inline">Q_i = 650, Q_d = Q_i - Q_e = 125 ml/min.</math> Estos valores corresponden a una dinámica estacionaria del riñón, donde los parámetros permanecen constantes. La solución del modelo con estos parámetros se ilustra en la figura [[#img-3|3]] (izquierda)   para <math display="inline">q_1</math> obtenida cuando <math display="inline">Q_d=125,</math> que se obtuvo dandole valor a <math display="inline">Q_d</math>,  a las resistencias <math display="inline">R_a,R_e</math> y a las presiones <math display="inline">P_e, P_d</math> y <math display="inline">\pi _i</math> especificadas y fijadas en niveles típicos.  Con esto, resolvemos ([[#eq-6|6]])   para <math display="inline">Q_i</math>  (utilizando un simple algoritmo de bisección) y <math display="inline"> Q_e,</math> a partir de ello, las presiones correspondientes <math display="inline"> P_1, P_2, P_a</math> se determinan con ayuda  de ([[#eq-2|2]])-([[#eq-4|4]]). Con los valores de <math display="inline">Q_e</math> y <math display="inline">Q_i</math> podemos darle solución la ecuación ([[#eq-5|5]]) por medio de bisección  para encontrar a <math display="inline">q_1</math> o bien aplicar un método como Runge Kutta para problemas de valor inicial. 

Si quisiéramos estudiar el funcionamiento del riñón en estado no estacionario, por ejemplo, en una situación donde variara la presión de la arteria aferente <math display="inline">P_a</math> entonces esto haría variar todos los demás parámetros. Los flujos y las presiones varían en función de la presión arterial. Para entender algo de esta variación, se dan valores para <math display="inline">Q_d</math> y para cada una de ellas se hace el procedimiento explicado anteriormente, obteniendo a <math display="inline">Q_i,Q_e, P_1, P_2, P_a</math>  correspondientes a cada <math display="inline">Q_d</math>  y  se grafican (como se muestran en la figura [[#img-3|3]] derecha) la tasa de flujo sanguíneo renal <math display="inline">Q_i</math> y la tasa de flujo de filtración glomerular <math display="inline">Q_e</math> como funciones de la presión arterial <math display="inline">P_a</math>.  Observamos que tanto <math display="inline">Q_i</math> como <math display="inline">Q_d</math>  crecen linealmente con respecto a <math display="inline">P_a</math>. Sin embargo, en la realidad (según los datos mostrados en la  figura [[#img-4|4]]), la tasa de filtración glomerular permanece relativamente constante incluso cuando la presión arterial varía entre 75 y 160 mmHg, lo que sugiere que existe cierta autorregulación en la tasa de filtración y por tanto en las tasas de flujo <math display="inline">Q_i.</math> Este fenómeno lo estudiaremos en la siguiente sección.

<div id='img-3'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Dominguez Perez_785959114-q1dex.png|330px|''Gráfica   de la  Curva q₁(x) correspondiente a Q<sub>d</sub>=125. Para  este caso, Q<sub>i</sub>=652.1 y Qₑ=527.1, x ퟄ[0,L] (izquierda).  Gráficas de  \fracQ<sub>i</sub>5 y Q<sub>d</sub> contra Pₐ (derecha).'']]
|[[Image:Draft_Dominguez Perez_785959114-filtrado.png|330px|]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| (3) ''Gráfica   de la  Curva <math>q_1(x)</math> correspondiente a <math>Q_d=125</math>. Para  este caso, <math>Q_i=652.1</math> y <math>Q_e=527.1</math>, <math>x \in [0,L]</math> (izquierda).  Gráficas de <math> \frac{Q_i}{5}</math> y <math>Q_d</math> contra <math>P_a</math> (derecha).''
|}
<div id='img-4'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Dominguez Perez_785959114-realqa.png|480px|'' Gráficas  reales del  flujo sanguíneo renal con autorregulación  y  de la tasa de filtración glomerular <span id='citeF-7'></span>[[#cite-7|[7]]]. '']]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 4:''' '' Gráficas  reales del  flujo sanguíneo renal con autorregulación  y  de la tasa de filtración glomerular <span id='citeF-7'></span>[[#cite-7|[7]]]. ''
|}

===2.2 Autorregulación===

En la   segunda etapa, que es la  reabsorción, algunos nutrientes y agua   del líquido filtrado que fluye por el túbulo renal se reincorporan al torrente sanguíneo (capilares peritubulares).   Lo que retorna son grandes cantidades de: aminoácidos, vitaminas, agua, glucosa, parte de la urea, los iones <math display="inline">K^+</math>, <math display="inline">Na^+</math>, <math display="inline">NaHCO_3</math> (bicarbonato), <math display="inline">Cl^-</math>, <math display="inline">HPO_4</math> (fosfato).

Por lo que se concluyó en la sección anterior, es claro que el riñón necesita regular la tasa de filtración glomerular.  La función principal del túbulo ascendente grueso es bombear iones de sodio <math display="inline">Na^+</math> fuera de éste hacia el espacio intersticial, siendo casi totalmente impermeable al agua. Si la velocidad de flujo  es lenta a través del túbulo, habrá una mayor reabsorción  y una concentración de <math display="inline">Cl^-</math> baja al final del túbulo que esta conectado con la  mácula densa y el glomérulo. Por otro lado, cuando la velocidad de flujo es alta, hay una baja reabsorción y se produce una mayor concentración de <math display="inline">Na^+</math> y <math display="inline">Cl^-</math> en la mácula densa. Esto se resume en la tabla [[#table-1|1]].


{|  class="floating_tableSCP wikitable" style="text-align: center; margin: 1em auto;min-width:50%;"
|+ style="font-size: 75%;" |<span id='table-1'></span>Tabla. 1 ''Relación del flujo, la reabsorción y la  concentración de cloro en el túbulo ascendente.''
|- style="border-top: 2px solid;"
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" |     Flujo del túbulo ascendente 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Reabsorción 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>C(L, \tau )</math>
|- style="border-top: 2px solid;"
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" |     Caso 1: lento
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Alta  
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Baja
|- style="border-top: 2px solid;border-bottom: 2px solid;"
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" |     Caso 2: rápido
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Baja  
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Alta

|}


{|  class="floating_tableSCP wikitable" style="text-align: center; margin: 1em auto;min-width:50%;"
|+ style="font-size: 75%;" |<span id='table-2'></span>Tabla. 2 ''Acciones que se deben tomar en las arteriolas para aumentar o disminuir  el flujo.''
|- style="border-top: 2px solid;"
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" |     Flujo <math display="inline">q_1</math> 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Filtración  
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>P_1</math>
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>R_a</math>
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | <math>R_e</math>
|- style="border-top: 2px solid;"
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" |     Caso 1: Aumentar
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Aumentar  
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Aumentar 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Disminuir 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Disminuir 
|- style="border-top: 2px solid;border-bottom: 2px solid;"
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" |     Caso 2: Disminuir
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Disminuir  
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Disminuir 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Disminuir 
| style="border-left: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Aumentar

|}

Para normalizar el flujo del  túbulo ascendente  ya sea porque este sea lento o rápido, las células de la mácula densa responden a la disminución de la concentración de NaCl (a través de un mecanismo no completamente conocido) liberando un vasodilatador que aumenta o disminuye la resistencia de las arteriolas aferentes. En el caso 1, es decir cuando el flujo es lento, las células yuxtaglomerulares liberan renina, una enzima que promueve la formación de angiotensina II, la cual constriñe las arteriolas eferentes. Esto resulta en un aumento simultáneo del flujo de filtrado a través del glomérulo. En cambio, en el caso 2, cuando el flujo es rápido, la concentración de NaCl en la mácula densa aumenta, se  disminuye la resistencia de la arteriola aferente y aumenta la resistencia de la arteriola eferente, lo que disminuye la tasa de filtración y el flujo a lo largo del túbulo. Esto se resume en la tabla [[#table-2|2]].

====2.2.1 <span id='lb-3.2.1'></span>Modelado de la concentración  de  <math display="inline">Cl^-</math>  para la autorregulación====

Un modelo sencillo de las oscilaciones tubuloglomerulares <span id='citeF-7'></span>[[#cite-7|[7]]], se centra en el papel de la concentración de cloruro en la rama ascendente gruesa. Para modelar matemáticamente  esta dinámica, suponemos que la rama ascendente gruesa tiene forma de un tubo unidimensional de longitud <math display="inline">L</math>  y radio constante, a través del cual el <math display="inline">Cl^-</math> es transportado y al mismo tiempo bombeado a través de las paredes del túbulo (es el <math display="inline">Na^+</math> el que se elimina activamente, pero como el <math display="inline">Cl^-</math> sigue pasivamente, el efecto es el mismo).  

Supondremos que  la concentración de cloruro es uniforme  en cada sección transversal. Si usamos una coordenada <math display="inline">y</math> para describir cada sección transversal del túbulo   y dado los supuestos  que hemos mencionado, denotamos por <math display="inline">C(y, \tau )</math> la concentración de <math display="inline">Cl^-</math> en la sección transversal asociada con <math display="inline">y</math> en el momento <math display="inline">\tau </math> y modelamos esa concentración con la siguiente ecuación diferencial parcial  de transporte

<span id="eq-7"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\frac{\partial C}{\partial \tau } + \phi (C(L,\tau -\overline{\tau }))\frac{\partial C}{\partial y}= -R(C),  \quad y \in (0,L) ,\tau  \in (0, \infty ),  C(0,\tau )=C_0\equiv cte,  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (7)
|}

donde <math display="inline">R(C)</math> representa la tasa de eliminación de <math display="inline">Cl^-</math> del tubo mediante el bombeo de <math display="inline">Na^+</math> y <math display="inline"> \phi \frac{\partial C}{\partial y}</math>  la tasa  de cloro que pasa a través de cada sección transversal.  Consideramos las expresiones siguientes

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math> \quad R(C)=r_c C, \quad  \phi (C)=F_{o} +  F_{\delta } \tanh (\alpha (\overline{C}-C)),</math>
|}
|}

con <math display="inline">\alpha </math> constante, <math display="inline">F_{\delta }</math> una diferencia de presiones, <math display="inline"> F_o</math> el flujo de referencia de una persona normal  y <math display="inline">\overline{C}</math>  la concentración de <math display="inline">Cl^-</math> para la cual <math display="inline">\phi </math> tiene un punto de inflexión, constante. A esta ecuación de transporte le  asociamos la condición inicial <math display="inline">C(0,\tau )=C_0\equiv cte</math>.

====2.2.2 Análisis cualitativo de la solución del modelo para la autorregulación====

Introducimos  el  cambio de variable <math display="inline"> y =Lx, \tau = \frac{L}{F_{o}} t, C(y,\tau )=C_0 c(x,t)</math> y definimos <math display="inline"> \overline{\tau }=\frac{L}{F_o}\overline{t}, K_1=\frac{F_{\delta }}{F_o}, K_2= C_0, \Omega = (0,1) \times (0,T)</math> donde <math display="inline"> \overline{t}</math>  es el periodo de retardo adimensional. 

De donde obtenemos  la ecuación diferencial parcial  retardada

<span id="eq-8"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{ll}\frac{\partial c}{\partial t}+ F(c(1,t-\overline{t})) \frac{\partial c}{ \partial x}= -\mu c , \forall (x,t) \in \Omega , \\   c(x,0)=0, \quad \forall \quad x \quad \in (0,1] \\   c(0,t)=1, \quad \forall \quad  t  \quad \in [0,T].   \end{array} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (8)
|}

con <math display="inline">F(c)=1+K_1 \tanh (K_2 (\overline{c}-c))</math> y <math display="inline">\mu = r_c \frac{L}{F_{o}}</math>.  Para iniciar el estudio de  la ecuación ([[#eq-8|8]]), vamos a obtener  las soluciones en estado estacionario.  Es decir le daremos solución a la ecuación

<span id="eq-9"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>F(s(1)) \frac{d s}{dx}=- \mu s,  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (9)
|}

con <math display="inline">s(0) = 1</math>. Claramente la solución de esta ecuación es

<span id="eq-10"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>s(x)= e^{-kx},  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (10)
|}

con <math display="inline">k=\frac{\mu }{F(s(1))}</math>. El valor de <math display="inline">k</math> debe ser determinado y tomando en cuenta que <math display="inline">s(1) =e^{-k},</math> el valor de <math display="inline">k</math> debe satisfacer

<span id="eq-11"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>kF(e^{-k})=\mu{.}  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (11)
|}

Dado que <math display="inline">F</math> es una función decreciente de <math display="inline">c</math>  ya que <math display="inline">F'(c)<0,</math> así existe un único valor de <math display="inline">k</math> para el cual se cumple ([[#eq-11|11]]) y  por tanto, una solución única en estado estacionario.

Al analizar la estabilidad de <math display="inline">s(x)</math> se presentan  oscilaciones en la concentración de <math display="inline">Cl^-</math> de la mácula densa, y por tanto en las demás variables como la tasa de flujo y la presión glomerular, estas podrían ser explicadas por un mecanismo similar al de  una bifurcación de Hopf. En este mecanismo, existen algunos parámetros que dentro de un rango producen soluciones oscilatorias que convergen al estado estacionario, mientras que para otro rango de valores de los parámetros resultan soluciones que oscilan sin acercarse, alrededor del estado estacionario. Podemos encontrar más sobre esto en <span id='citeF-6'></span>[[#cite-6|[6]]].

====2.2.3 <span id='lb-3.2.3'></span>Solución numérica de la concentración de   <math display="inline">Cl^-</math>  a través del tiempo====

Se realizó un programa para aproximar numéricamente la solución del problema  ([[#eq-8|8]]). Para ello realizamos los siguientes pasos:

<ol>

<li>  Discretizamos en <math display="inline">(M+1) \times (N+1)</math> nodos ((<math display="inline">M \times N</math>) rectángulos)  a <math display="inline">\Omega </math>.  Para esto, consideramos una partición <math display="inline">x_j</math> en <math display="inline">x</math>, donde    </li>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>  \begin{array}{ll}   hx=1/M,\\   x_j=j*hx, \quad j=0,1,...,M,  \\    x_0=0,    x_M=1,  \end{array} </math>
|}
|}

y una partición <math display="inline">t_i</math> en <math display="inline">t</math>,   donde

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{array}{ll}   ht=T/N, \\   t_i=i*ht, \quad i=0,1,...,N,\\   t_0=0,   t_N=T.  \end{array}   </math>
|}
|}

De lo anterior se tiene como resultado una  malla con nodos o vértices <math display="inline">n_{ij}=(x_j,t_i)</math>. Para cálculos posteriores necesitamos   enumerar cada  nodo <math display="inline">n_{ij}= (x_j, t_i)</math>  y esta numeración se hará  recorriendo las rectas horizontales de abajo hacia arriba y los nodos en cada recta horizontal recorridos de izquierda a derecha, numerando cada intersección entre ellas. Al nodo <math display="inline">n_{ij}</math> se le asocia el numero de nodo <math display="inline">k=(i-1)M+j, j=1,..,N</math> e <math display="inline">i=1,..,N.</math> Esto se muestra en la figura [[#img-5|5]].  <div id='img-5'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Dominguez Perez_785959114-malla.png|360px|''Resultado del paso 1: Malla computacional. '' ]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 5:''' ''Resultado del paso 1: Malla computacional. '' 
|}
<li>  Construimos una aproximación <math display="inline">c_{ij}</math> para <math display="inline">c(x_j, t_i)</math>, es decir, para la solución en cada nodo <math display="inline">n_{ij}= (x_j, t_i)</math>. De acuedo a las condiciones  de frontera   para toda <math display="inline">t</math> conocemos el valor de la función en <math display="inline">x=0,</math> entonces simplemente le asignamos a los nodos con esta característica el valor 1. Para todos los demás nodos se aproxima  la solución mediante  el método de Euler explícito, que se resume  en el siguiente esquema

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>

c_{ij}=\left(1-\frac{s}{\rho }\right) c_{(i-1)j}+ \frac{s}{\rho }  c_{(i-1)(j-1)},  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (12)
|}</li>

para <math display="inline">i=1,2,...,N</math> y <math display="inline">j=1,2,...,M</math>  con <math display="inline">\rho =(1/Nx)/(T/Nt)</math> y <math display="inline">s=F(c(1,t_i-\overline{t}))=F(c_{(i-itg)M}),</math>   donde <math display="inline">itg</math> es la parte entera de <math display="inline">\frac{\overline{t}}{Nt}</math>.
<li>  Finalmente construimos una función <math display="inline">\overline{c}</math>  continua por pedazos, a partir de los valores de aproximación obtenidos en lo anterior. Esta  función será la aproximación numérica de la solución para la ecuación ([[#eq-8|8]]) y graficándola  obtenemos gráficas dadas en las figuras [[#img-6|6]] y [[#img-7|7]] .   </li>

</ol>

Dado  el dominio <math display="inline">\Omega = (0, 1) \times (0, T),</math> con <math display="inline">F(z) =1+ k_1 tanh(k_2(\overline{c}-z))</math> y  los valores típicos de los parámetros <math display="inline">K_1=1, K_2=10, \overline{c}=e^{(-0.91)}, \mu=0.5,</math> con las ideas anteriores,  hicimos un programa  para encontrar las soluciones numéricas de la concentración de <math display="inline"> Cl^-</math> a través del tiempo y con los datos siguientes  para el caso estable <math display="inline">\gamma=0.1223,\overline{t}=0.2,\frac{k}{\mu }=1,</math> (ver  figura [[#img-6|6]]) y para el caso inestable <math display="inline">\gamma=3.1787, \overline{t}=0.2,\frac{k}{\mu }=1</math>  (ver  figura [[#img-7|7]]).  La concentración de <math display="inline">Cl^-</math> se representa en unidades adimensionales y  la concentración al inicio de la rama ascendente gruesa es 1. La variable <math display="inline">t</math> también es adimensional; para obtener segundos se debe  multiplicar por 15.5 . 

Una vez obtenida la concentración   de <math display="inline">Cl^-</math>   como función global es decir la superficie obtenida  para cada <math display="inline">x</math> y <math display="inline">t,</math> para nuestros propósitos  la grafíca de la concentración  de <math display="inline">Cl^-</math>   que nos interesa es cuando estamos al final del asa ascendente de Henle, es decir en este caso para <math display="inline">x=1,</math> gráficas a la derecha en las figuras  [[#img-6|6]] y [[#img-7|7]]. Esta será la concentración (en <math display="inline">x=1</math>) que vamos a monitorear para saber cuál debe ser la cantidad de flujo en la filtración glomerular <math display="inline">Q_d</math> (la variable <math display="inline">Q_d</math>  es adimensional, para hacerla dimensional se debe  multiplicar por <math display="inline">F_o=10</math>).   Si se da que  en cierto tiempo <math display="inline">c(1,t)>>s(1),</math> se tendría que acelerar el flujo, al  contrario, si en  cierto tiempo se da que <math display="inline">c(1,t)<<s(1)</math>  se tendría  que disminuir el flujo. Esto se  hace modificando las resistencias de las arteriolas aferente y eferente, lo cual tienen como efecto la modificación respectiva de la presión, del flujo y de la concentración.  A este efecto  le llamamos autorregulación. 

Con  las acciones que se hacen para los dos casos anteriores, se puede regular el flujo  para que a medida que la presión aumente, el flujo <math display="inline">Q_d</math> se vuelva casi constante, como se muestra en la figura [[#img-8|8]], que se obtuvo fijando la resistencia <math display="inline">R_a</math> y variando la resistencia <math display="inline">R_e</math>. Con esto observamos que   aunque la presión aumente, <math display="inline">Q_d</math> se puede mantener acotada variando adecuadamente las resistencias. <div id='img-6'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Dominguez Perez_785959114-ces-1.png|330px|''  Caso estable de las soluciones oscilatorias  del modelo de la concentración  de Cl^- para la autorregulación, a la  izquierda la superficie de la concentración  de Cl^- para cada x y t,  a la derecha la curva que pertenece a x=1 para toda t.'']]
|[[Image:Draft_Dominguez Perez_785959114-cestablecurva.png|330px|]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| (6) ''  Caso estable de las soluciones oscilatorias  del modelo de la concentración  de <math>Cl^-</math> para la autorregulación, a la  izquierda la superficie de la concentración  de <math>Cl^-</math> para cada <math>x</math> y <math>t</math>,  a la derecha la curva que pertenece a <math>x=1</math> para toda <math>t</math>.''
|}
<div id='img-7'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Dominguez Perez_785959114-cinestable1.png|432px|'' Caso inestable de las soluciones oscilatorias  del modelo  de la concentración  de Cl^- para la autorregulación, a la izquierda la superficie de la concentración  de Cl^- para cada x y t, a la derecha la curva que pertenece a x=1 para toda t. '']]
|[[Image:Draft_Dominguez Perez_785959114-cinestablecurva.png|330px|]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| (7) '' Caso inestable de las soluciones oscilatorias  del modelo  de la concentración  de <math>Cl^-</math> para la autorregulación, a la izquierda la superficie de la concentración  de <math>Cl^-</math> para cada <math>x</math> y <math>t</math>, a la derecha la curva que pertenece a <math>x=1</math> para toda <math>t</math>. ''
|}
<div id='img-8'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Dominguez Perez_785959114-qdauto.png|330px|''  Grafica del flujo Q<sub>d</sub> con el proceso de autorregulación.'']]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 8:''' ''  Grafica del flujo <math>Q_d</math> con el proceso de autorregulación.''
|}

===2.3 Modelado de la reabsorción y la secreción===

En esta etapa de secreción, se eliminan sustancias no deseadas hacia los túbulos renales, funcionando como un proceso inverso a la secreción. En la nefrona, el fluido dentro del asa de Henle fluye en direcciones opuestas en los segmentos ascendente y descendente, lo que permite la creación de un gradiente osmótico en la médula renal. Este gradiente facilita la reabsorción de agua. Además, debido a la conexión en el extremo inferior del asa de Henle, el flujo y la concentración de solutos que salen del tubo descendente deben coincidir con los que entran en el tubo ascendente. 

Siguiendo a <span id='citeF-7'></span>[[#cite-7|[7]]], consideramos que el asa de Henle consta de cuatro compartimentos: tres túbulos (rama descendente, rama ascendente y conducto colector (túbulo amarillo en la figura [[#img-1|1]]))  y un compartimento único para el intersticio y los capilares peritubulares (túbulo rojo en la figura [[#img-1|1]]). El lecho intersticial/capilar se trata como un tubo unidimensional que recibe líquido de los otros tres túbulos y lo entrega a las vénulas. En cada uno de estos compartimentos, seguimos el flujo de agua y la concentración de solutos. 

Suponemos que el flujo en cada uno de los tubos sigue un patrón simple (positivo en la dirección <math display="inline">x</math> positiva), con tasas de flujo <math display="inline">q_d, q_a, q_c, q_s</math> para los túbulos descendentes, ascendentes, colectores y los túbulos intersticiales, respectivamente. De igual manera, la concentración de soluto en cada uno de estos se representa como <math display="inline">c_d, c_a, c_c, c_s</math>. Se considera que los túbulos son unidimensionales, con el flujo del filtrado glomerular ingresando a la rama descendente en <math display="inline">x = 0</math>, pasando de la rama descendente a la ascendente en <math display="inline">x = L</math>, dirigiéndose desde la rama ascendente al conducto colector en <math display="inline">x = 0</math>, y finalmente saliendo del conducto colector en <math display="inline">x = L</math>. Se asume que el intersticio/compartimento capilar se vacía en <math display="inline">x = 0</math>, y que no hay flujo en <math display="inline">x = L</math>. Para una mejor comprensión de lo anterior, ver figura [[#img-9|9]].

<div id='img-9'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Dominguez Perez_785959114-asadehenle.png|360px|''Diagrama del modelo de cuatro compartimentos del asa de Henle <span id='citeF-7'></span>[[#cite-7|[7]]]. '']]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 9:''' ''Diagrama del modelo de cuatro compartimentos del asa de Henle <span id='citeF-7'></span>[[#cite-7|[7]]]. ''
|}

El sistema de ecuaciones que resultan en nuestra modelación de la actividad en el asa de Henle es:

<span id="eq-13"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\left\{  \begin{array}{ll}\frac{1}{k_d} \frac{dq_d}{dx}= P_s- \pi _s - P_d + 2RT(c_d - c_s), \quad q_d(0)=Q_i -Q_e, \\    \frac{d(q_d c_d)}{dx}= h_d (c_s - c_d), \quad c_d(0)= c_d0,\\     \frac{dq_a}{dx}=0, \quad q_a(L)=-q_d(L),\\    \frac{d(q_a c_a)}{dx}=-p, \quad c_a(L)=c_d(L), \\    \frac{1}{k_c} \frac{dq_c}{dx}= P_s- \pi _s - P_c + 2RT(c_c - c_s), \quad q_c(0)=-q_a(0), \\    \frac{d(q_c c_c)}{dx}= h_c (c_s - c_c), \quad c_c(0)=c_a(0), \\    \frac{dq_s}{dx}= - \frac{d}{dx}(q_d + q_a + q_c), \quad q_s(0)=q_c(L)-q_d(0), \\    \frac{d(q_s c_s)}{dx}=- \frac{d}{dx} (q_d c_d + q_a c_a + q_c c_c), \quad c_s(0)=c_c(L)-c_d(0),  \end{array}  \right. </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (13)
|}

====2.3.1 Solución del modelo para la reabsorción y secreción====

Con fines de simplificar la descripción de la solución del modelo, haremos una  adimensionalización al sistema de ecuaciones ([[#eq-13|13]]), normalizando los flujos y las concentraciones de solutos, con

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math> x= Ly, Q_j= \frac{q_j}{q_d(0)}, C_j= \frac{c_j}{c_d(0)}, j=d,a,c,s</math>
|}
|}

y los parámetros adimensionales <math display="inline">\rho _j= \frac{q_d(0)}{2LRT_cd(0)k_j}, \Delta P_j= \frac{P_j + \pi _s - P_s}{RT2c_d(0)}, H_j= \frac{Lhj}{q_d(0)}, j=d,c.</math> 

La versión adimensional de ([[#eq-13|13]]) es

<span id="eq-14"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\frac{dQ_d}{dy}= \frac{1}{\rho _d} \left[-  \Delta P_d  + (C_d - C_s)\right], \quad Q_d(0)=1, </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (14)
|}

<span id="eq-15"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\frac{d(Q_d C_d)}{dy}= -H_d (C_d -C _s), \quad C_d(0)= 1, </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (15)
|}

<span id="eq-16"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\frac{dQ_a}{dy}=0, \quad Q_a(0)=Q_a(L), </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (16)
|}

<span id="eq-17"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\frac{d(Q_a C_a)}{dy}=\frac{-pL}{q_a(0) c_d(0)}, \quad C_a(L)=C_d(L),  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (17)
|}

<span id="eq-18"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\frac{dQ_c}{dy}= \frac{1}{\rho _c} \left[-  \Delta P_c + (C_c - C_s)\right], \quad Q_c(0)=-Q_a(0), </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (18)
|}

<span id="eq-19"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\frac{d(Q_c C_c)}{dy}= -H_c (C_c - C_s), \quad C_c(0)=C_a(0), </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (19)
|}

<span id="eq-20"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\frac{dQ_s}{dy}= - \frac{d}{dy}(Q_d + Q_a + Q_c), \quad Q_s(0)=Q_c(L)-Q_d(0), </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (20)
|}

<span id="eq-21"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\frac{d(Q_s C_s)}{dy}=- \frac{d}{dy} (Q_d C_d + Q_a C_a + Q_c C_c), \quad C_s(0)=C_c(L)-C_d(0). </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (21)
|}

La ecuaciones ([[#eq-14|14]])- ([[#eq-21|21]]) tienen las siguientes soluciones implícitas, respectivamente

<span id="eq-22"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\rho _d (Q_d -1) + \frac{1}{H_d}(Q_dC_d -1)= - \Delta P_d y, </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (22)
|}

<span id="eq-23"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>C_d(y) =F_1(Q_d,y)= \frac{1}{Q_d}(1+ \rho _d H_d(1-Q_d)- \Delta P_d H_dy), </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (23)
|}

<span id="eq-24"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>Q_a(y)=Q_a(0)= Q_a(L)=Q_a, </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (24)
|}

<span id="eq-25"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>C_a(y)= \frac{\frac{-pL}{q_d(0) c_d(0)}y + Q_a(0) C_a(0)}{Q_a}, </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (25)
|}

<span id="eq-26"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\rho _c(Q_c - Q_c(0)) +  \frac{1}{H_c}(Q_c C_c- Q_c(0)C_c(0))= - \Delta P_c y, </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (26)
|}

<span id="eq-27"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>C_c(y) =F_2(Q_c,y)= \frac{1}{Q_c}( Q_c(0)C_c(0)+ \rho _c H_c( Q_c(0)C_c(0)-Q_c)- \Delta P_c H_cy), </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (27)
|}

<span id="eq-28"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>Q_s(y)= -(Q_d + Q_a + Q_c) (y)+Q_c(L),  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (28)
|}

<span id="eq-29"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>C_s(y)=F_3 (Q_d,Q_a,Q_c,y)=\frac{  -(Q_d C_d + Q_a  C_a + Q_c C_c )(y)+ Q_c(L) C_c(L)}{Q_s}. </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (29)
|}

La solución implícita del modelo  de 8 ecuaciones   ([[#eq-14|14]])- ([[#eq-21|21]]) dice que si conocemos <math display="inline">Q_d(y),</math> entonces <math display="inline">C_d</math> está determinada, <math display="inline">Q_a(y)</math> está determinada si conocemos <math display="inline">Q_a</math> y <math display="inline">C_a(y),</math> si conocemos <math display="inline">Q_a,</math> <math display="inline">Q_c(y),</math> entonces <math display="inline">C_c</math> está determinada y finalmente si conocemos <math display="inline">Q_d,Q_a,Q_c,</math> entonces <math display="inline">Q_s</math>  y <math display="inline">C_s</math> están determinadas. En resumen si <math display="inline">Q_d</math> y <math display="inline">Q_c</math> están determinadas, las seis  ecuaciones diferenciales restantes ([[#eq-15|15]]), ([[#eq-16|16]]),([[#eq-17|17]]),([[#eq-19|19]]),([[#eq-20|20]]) y ([[#eq-21|21]]) tienen solución y por lo tanto  el sistema original de ocho ecuaciones estaría resuelto. Así que lo que hace falta es resolver  el siguiente  sistema de dos ecuaciones de primer orden en dos incógnitas.

<span id="eq-30"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\left\{  \begin{array}{ll}\rho _d \frac{dQ_d}{dy}= - \Delta P_d + C_d - C_s,  \\   Q_d(0)= 1, \\   Q_d(1)= -Q_a(1)=-Q_a, \\  \end{array}  \right. </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (30)
|}

<span id="eq-31"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\left\{  \begin{array}{ll}\rho _c \frac{dQ_c}{dy}= - \Delta P_c + C_c - C_s,\\   Q_c(0)= -Q_a(0)=-Q_a, \\  \end{array}  \right. </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (31)
|}

donde <math display="inline">C_c, C_s</math> y <math display="inline">C_d</math> son funciones de <math display="inline">Q_d</math> y <math display="inline">Q_c</math>. Aunque hay tres condiciones iniciales para dos ecuaciones de primer orden, el número <math display="inline">Q_a</math> también es desconocido, por lo que este problema está bien planteado. Con esto  observamos que la solución del modelo completo  de 8 ecuaciones  se reduce a resolver  el modelo de <math display="inline">2 \times 2</math> que en general  es difícil de resolver  tanto analítica como numéricamente.

En las siguientes secciones estudiaremos un poco del comportamiento de la solución de esta ecuación, considerando un caso particular o un caso límite que es cuando se considera ausencia de ADH en la formación de orina.

====2.3.2 Solución del modelo en ausencia de ADH y de aldosterona====

La hormona antidiurética (ADH) regula la permeabilidad al agua en los riñones, mientras que la aldosterona controla la permeabilidad al sodio. La falta de ADH, como en la diabetes insípida central, provoca la producción de grandes cantidades de orina diluida. La aldosterona, producida en la corteza suprarrenal, modula la cantidad de canales de sodio y la actividad de la ATPasa <math display="inline">Na+/K+</math>, afectando la eliminación de sodio y potasio. Desórdenes como la enfermedad de Addison o el síndrome de Conn ilustran desequilibrios causados por niveles anormales de aldosterona.  Vamos a considerar un caso en particular, suponemos que no hay ADH presente,  entonces <math display="inline">\rho _c  =\infty </math> y que no hay aldosterona presente, <math display="inline">H_c = 0</math>. En este caso se deduce  que

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>Q_c = Q_c(0) = -Q_a, \quad \quad  C_c = C_c(0) = C_a(0).</math>
|}
|}

En otras palabras, no hay pérdida de agua o de <math display="inline">Na^+</math> en el conducto colector por lo que la ecuación para <math display="inline">Q_c,</math>  ([[#eq-31|31]]) ha sido reducida a una ecuación algebraica. Por lo que ahora, queda por determinar lo que ocurre en los túbulos descendente y ascendente. El flujo se rige por las siguientes ecuaciones

<span id="eq-32"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\left\{  \begin{array}{ll}\rho _d \frac{d Q_d}{dy}=f(Q_d, Q_a,y),\\    Q_d(0) = 1, \\   Q_d (1) = -Q_a, \\   Q_c(y)=-Q_a.\\  \end{array}  \right. </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (32)
|}

con <math display="inline">f(Q_d, Q_a,y)=C_d - C_s - \Delta P_d.</math> De las ecuaciones ([[#eq-22|22]]) y ([[#eq-27|27]]) se deduce que

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math> C_d= \frac{1}{Q_d}(1+ \rho _d H_d(1-Q_d)- \Delta P_d H_dy),\quad  C_s= \frac{(P+ \Delta P_d H_d)(1-y)}{Q_d + Q_a}- \rho _d H_d.</math>
|}
|}

Con <math display="inline">Q_a</math>  constante ya que el miembro ascendente es impermeable al agua y <math display="inline">C_a</math> una función linealmente decreciente de <math display="inline">y</math>. 

Observamos que  el problema  ([[#eq-32|32]]), tiene asociadas dos condiciones de frontera, pero una de ellas está en términos de un  parámetro desconocido <math display="inline">Q_a,</math> que se debe determinar como parte del problema.

En el caso que nos ocupa  (ausencia de ADH), adicionalmente consideraremos  que el túbulo descendente sea bastante permeable al agua. Lo cual implicaría que debemos  tomar <math display="inline">\rho _d</math>  pequeño en el problema ([[#eq-32|32]]). Pero entonces, la ecuación diferencial ([[#eq-32|32]]) es difícil de resolver tanto analítica como numéricamente ya que resulta ser  singular. Dado que <math display="inline">Q_d</math> es diferenciable e invertible, por el teorema de la función inversa, podemos  resolver este problema buscando una solución en la forma <math display="inline">y = y(Q_d, \rho _d)</math> que satisface la ecuación diferencial

<span id="eq-33"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\left\{  \begin{array}{ll}f(Q_d, Q_a,y) \frac{dy}{dQ_d}= \rho _d,\\   Q_d(0) = 1,Q_d (1) = -Q_a(0). \\  \end{array}  \right. </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (33)
|}

Para resolver este problema buscamos <math display="inline">y</math> en función de <math display="inline">Q_d</math> como serie de potencias de <math display="inline">\rho _d.</math>

<span id="eq-34"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>y = y_0 + \rho _d y_1 + \rho _d^2 y_2 + O(\rho _d^2 ), </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (34)
|}

sustituyendo en ([[#eq-33|33]]), igualando y  expandiendo en potencias de <math display="inline">\rho _d,</math> se tiene que

<span id="eq-35"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>y=1- \frac{Q_a + Q_d}{P Q_d - \Delta P_d H_d Q_a} \left[1- \Delta P_d (Q_d+H_d)\right]+ O(\rho _d). </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (35)
|}

Ahora determinamos <math display="inline">Q_a</math> haciendo <math display="inline">y = 0, Q_d = 1</math> en ([[#eq-35|35]]), y despejando <math display="inline">Q_a</math> para determinarla, obteniendo

<span id="eq-36"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>-Q_a=1- \frac{P+ H_d \Delta P_d}{1- \Delta P_d} +O(\rho _d). </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (36)
|}

Ahora podemos graficar <math display="inline">y</math> en función de <math display="inline">Q_d</math> y girar los ejes para ver <math display="inline">Q_d</math> en función de <math display="inline">y</math>. Esto se representa en las figuras [[#img-10|10]].  Una vez que se determina <math display="inline">Q_d</math> en función de <math display="inline">y</math>, podemos graficar la  concentración <math display="inline">C_d</math>  en función de <math display="inline">y</math>, dada en la figura [[#img-11|11]].

<div id='img-10'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Dominguez Perez_785959114-qdy.png|180px|]]
|[[Image:Draft_Dominguez Perez_785959114-yqd.png|180px|''Curva  del flujo Q<sub>d</sub>  (izquierda) y la curva de la función y (derecha) con los valores de los parámetros  con los valores de los parámetros: P=0.09,∆P<sub>d</sub>=0.15, H<sub>d</sub>=0.1,    ρ<sub>d</sub>=0.12, H<sub>c</sub>=0.'']]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="2" | '''Figura 10:''' ''Curva  del flujo <math>Q_d</math>  (izquierda) y la curva de la función <math>y</math> (derecha) con los valores de los parámetros  con los valores de los parámetros: <math>P=0.09,\Delta P_d=0.15, H_d=0.1,    \rho _d=0.12,</math> <math>H_c=0.</math>''
|}
<div id='img-11'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_Dominguez Perez_785959114-cd.png|180px|''  Curva de la concentración en el túbulo descendente C<sub>d</sub> con los valores de los parámetros: P=0.09,∆P<sub>d</sub>=0.15, H<sub>d</sub>=0.1,    ρ<sub>d</sub>=0.12, H<sub>c</sub>=0.'']]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 11:''' ''  Curva de la concentración en el túbulo descendente <math>C_d</math> con los valores de los parámetros: <math>P=0.09,\Delta P_d=0.15, H_d=0.1,    \rho _d=0.12,</math> <math>H_c=0.</math>''
|}
A partir de las gráficas anteriores observamos que la función <math display="inline">Q_d</math> es decreciente  ya que  hay  ausencia de ADH y  de aldosteorona en el tubo descendente, es decir no hay   regulación en el fujo de agua,  produciendo  una gran cantidad de orina diluída y un flujo rápido. En el caso de la función <math display="inline">C_d</math> es creciente  ya que no hay una adecuada reabsorción, quedando gran cantidad de sodio en el túbulo descendente.

==3 Conclusión ==

En este trabajo, se presenta un modelo para la hemodinámica renal, centrado en la producción de orina. El modelo se descompone en tres submodelos:

1. '''Filtración glomerular''': Se modela mediante una ecuación diferencial de primer orden con dos condiciones de frontera desconocidas, mostrando que el flujo resultante es lineal con respecto a la presión arterial, lo cual no es del todo preciso en la realidad debido a un proceso de autorregulación renal que mantiene constante el filtrado a pesar de variaciones en la presión.

2. '''Autorregulación''': Se utiliza una ecuación diferencial parcial de transporte con retardo para modelar la concentración de cloro <math display="inline">Cl^-</math> en el túbulo ascendente del asa de Henle. Se descubrió que, dependiendo de algunos rangos de parámetros, las oscilaciones en la concentración de <math display="inline">Cl^-</math> pueden llevar a soluciones que convergen rápidamente al estado estacionario o a soluciones casi periódicas, lo que sugiere la posibilidad de una bifurcación en el sistema.

3. '''Reabsorción y secreción''': Se aborda mediante un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias que modela el flujo de agua y sodio en el asa de Henle. Se demuestra que, en ausencia de ADH y aldosterona, se produce un flujo decreciente de agua, lo que resulta en una gran cantidad de orina diluida y un aumento en la concentración de cloro.

En conjunto, aunque el modelo presenta limitaciones, logra simular satisfactoriamente la dinámica de la eliminación de desechos metabólicos a través de la orina en situaciones específicas.

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'''[[#citeF-2|[2]]]'''  Baigent, S. Unwin, R.  Yeng, C. (2001). ''Mathematical Modelling of Profiled Hemodialysis: A Simplified Approach. Journal of Theoretical Medicine'', Vol 3(2), 143-160. https://doi.org/10.1080/10273660108833070.    <div id="cite-3"></div>
'''[[#citeF-3|[3]]]'''  Cavalcanti, S. Ciandrini, A.  Avanzolini, G. (2006). ''Mathematical  modeling of arterial pressure response to hemodialysis-induced hypovolemia.  Computers in Biology and Medicine'',  Vol 36(2), 128- 144. https://doi.org/10.1016/j.compbiomed.2004.08.00.

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