Analysis of the pure shear stress-strain state obtained by biaxial tension-compression test

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<big>'''Análisis del estado tensión-deformación de cortadura pura obtenido mediante el ensayo biaxial tracción-compresión'''</big></div>

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Sergio Horta Muñoz, María del Carmen Serna Moreno</div>

'''RESUMEN:''' La caracterización de las propiedades de cortadura en materiales compuestos con fibra unidireccional puede ser un proceso complejo debido a la dificultad de obtener estados de tensión-deformación tangencial uniformes y puros en el momento de la rotura. Esto limita el rango de aplicación de los métodos estandarizados más comúnmente utilizados, ya que se enfocan en pequeñas deformaciones. Por lo tanto, en este trabajo se propone una solución alternativa: el ensayo de tracción-compresión aplicado a probetas cruciformes con laminados simétricos a ±45° para la caracterización de las propiedades de cortadura en el plano de la lámina. Al utilizar un método de ensayo que proporciona estados de tensión-deformación tangencial uniformes y puros, se puede mejorar la precisión de los resultados y ampliar el rango de aplicación del método. El análisis se basa en ensayos experimentales, apoyados por simulaciones realizadas mediante el método de los elementos finitos. Se presta especial atención a la verificación del estado de cortadura alcanzado, y se compara la respuesta obtenida con ensayos estandarizados que generan estados de tensión-deformación tangencial no puros sobre las direcciones principales del material. Además, se utiliza la Correlación Digital de Imagen durante el ensayo para verificar la aparición de la respuesta no-lineal en las diferentes regiones de la probeta cruciforme, lo que permite garantizar la validez del ensayo.'' ''


'''ABSTRACT:''' Characterization of shear properties in unidirectional fibre composite materials can be a complex process due to the difficulty in obtaining uniform and pure shear stress-strain states at the moment of failure. This limits the range of application of the most commonly used standardized methods, as they focus on small deformations. Therefore, this work proposes an alternative solution: the tension-compression test applied to cruciform specimens with ±45° symmetric laminates for the characterization of lamina in-plane shear properties. By using a test method that provides uniform and pure shear stress-strain states, the accuracy of the results can be improved, and the range of application of the method can be expanded. The analysis is based on experimental tests, supported by simulations performed using the finite element method. Special attention is paid to verifying the achieved shear state, and the obtained response is compared with standardized tests that generate non-pure shear stress-strain states on the principal material directions. Additionally, Digital Image Correlation is used during the test to verify the appearance of nonlinear response in different regions of the cruciform specimen, which allows ensuring the validity of the test.

'''Keywords: '''CFRP, ensayo biaxial, probeta cruciforme, FEM, comportamiento no-lineal.
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==1. Introducción==

Con el fin de conseguir optimizar las aplicaciones estructurales de materiales compuestos de matriz polimérica reforzados con fibras continuas (FRP) es necesario realizar una caracterización detallada de su respuesta mecánica y adquirir con precisión los valores límite de tensión y deformación. En particular, la determinación de la respuesta de una lámina de FRP con fibra unidireccional cuando se somete a un estado de cortadura puro en las direcciones del material en el plano es de especial interés, por ejemplo, para su uso en estimaciones analíticas para fines de diseño o en simulaciones con el método de elementos finitos (FEM).

Realizar ensayos precisos en el laboratorio es crítico para determinar la respuesta mecánica de los FRP. Para la determinación de los parámetros de cortadura en el plano existen varios métodos normalizados de ensayo, entre los cuales algunos de los más utilizados son los estándares ASTM [1, 2, 3]. Además de estos ensayos estandarizados, en la literatura científica es posible encontrar otras modificaciones y desarrollos de probetas y métodos de ensayo para cortadura que tratan de resolver los inconvenientes originados por las metodologías estandarizadas [4,5]. En cuanto a la capacidad de caracterización de las propiedades, la mayoría de los métodos determinan adecuadamente la rigidez a cortadura, pero no estiman adecuadamente la resistencia última a cortante. En términos generales, la incertidumbre de medición podría provenir de la concentración de esfuerzos en probetas con entallas, la generación de estados de esfuerzo cortante no uniformes o la obtención de un estado de tensión/deformación no solo con componentes tangenciales sino también con componentes normales.

Diversos autores han analizado durante décadas la problemática de los ensayos de cortadura estandarizados en FRP desde diferentes puntos de vista [6-13]. Park y Choi [6] realizaron una revisión de un gran abanico de ensayos de certificación de materiales de matriz termoestable. En lo que respecta a los ensayos de cortadura en el plano destacaron, tras estudiar principalmente los ensayos de tracción con fibras orientadas a 10° y los estándares ASTM D3518 [1], ASTM D5379 [2] y ASTM D7078 [3], que no existe un solo ensayo de cizalladura que haya sido ampliamente aceptado por la comunidad científica como un método estándar que pueda proporcionar una condición de carga de cortadura pura, en la que las tensiones normales sean cero.

Detallando estas metodologías, el ensayo ASTM D3518, ampliamente utilizado por su sencillez al tratarse de un ensayo de tracción simple, plantea como inconveniente principal la aparición de tensiones normales de igual magnitud a la tangencial en las direcciones principales de la lámina. Además, se generan típicamente componentes de tensión no deseadas debido al desajuste del acoplamiento extensión-cortadura entre las láminas adyacentes a +45° y -45°. Por lo tanto, los modos de fallo obtenidos son modos mixtos con grietas de la matriz, rotación de fibras y delaminaciones, resultando en una gran dispersión en las propiedades obtenidas. Diversos autores [6,7,12] han señalado como ensayos más representativos el ASTM D5379 Iosipescu o el ASTM D7078, ambos basados en probetas con entallas simétricas en forma de V. Estas metodologías de ensayo reducen en gran medida las componentes normales en la dirección de la fibra en la zona de medición, habiéndose probado que permiten obtener valores de resistencia tangencial última significativamente más elevados que con la metodología ASTM D3518 [2]. No obstante, Odegard et al. [10] realizaron un estudio detallado del ensayo Iosipescu, que determinó que la aparición de daños intralaminares y las concentraciones de tensión en la punta de la entalla generaban modos de fallo no deseados, que resultaban en valores de resistencia inferiores a los esperables. El ensayo ASTM D7078 recoge las características más interesantes, con una región de medida significativamente mayor, lo que permite alejar las concentraciones de tensiones originadas por las entallas y obtener una mayor homogeneidad en los campos de tensión/deformación.

Recientemente la norma ISO 20337:2018 [13] ha desarrollado un procedimiento que permite lograr un estado de cortadura pura en el plano, aplicando cargas a través de un marco sobre una probeta con una región de medida sustancialmente mayor que las normativas previamente mencionadas, alcanzando niveles de deformación angular superiores. Según indica el estándar, los bordes de las probetas están sujetos uniformemente por el marco de cortadura durante todo el ensayo, evitando así los efectos de rotación de fibra y redistribución de carga. Esto permite obtener la resistencia última a cortadura de materiales con alta deformación de cortadura, incluso a deformaciones angulares ingenieriles superiores al 5%, lo cual es una limitación al utilizar otros estándares respecto a los métodos de ensayo de cortadura en el plano para materiales compuestos de plástico reforzado con fibras. Se indica que es posible aplicarlo a laminados de matriz termoplástica y termostables con capas unidireccionales tejidas y/o no tejidas, así como reforzados con fibra corta y larga. No obstante, se indica en la norma que a un 20% de deformación angular ingenieril el ensayo debe detenerse si no se ha producido la deformación última ya que, a causa de las grandes deformaciones, los términos no lineales o de segundo orden del tensor de deformación no pueden ignorarse.

Como alternativa a los ensayos anteriores, se plantea el interés de este trabajo sobre el ensayo biaxial tracción-compresión (TC) para la caracterización de láminas de materiales compuesto de matriz termoestable reforzados con fibra continua de carbono. Esta metodología fue presentada por Kennedy et al. [14], y consiste en la aplicación de dos pares de fuerzas de mismo módulo y signo opuesto en direcciones perpendiculares entre sí, aprovechando que un estado biaxial de tracción-compresión genera un estado de cortadura puro a 45° de las direcciones de carga. Marín y Barroso [15] analizaron la aplicación de este ensayo TC sobre laminados unidireccionales con fibras a 45°, obteniendo valores de resistencia inferiores a los esperados debido a la presencia de concentraciones de tensión en los redondeos entre brazos, sumado a la presencia de acoples extensión-cortadura al tener un laminado no balanceado. En el presente trabajo se parte de la dilatada experiencia de los autores en la línea de investigación de ensayos biaxiales [16-20], y en concreto de la metodología ya aplicada a material compuesto de matriz poliéster reforzada con fibra corta de vidrio [17], que está siendo objeto de un desarrollo de nueva normativa estandarizada, actualmente en forma de proyecto de especificación UNE 0074:2023 [21]. Esta comunicación se centra en detallar los resultados obtenidos mediante esta metodología. Para conseguir realizar la caracterización de la cortadura en direcciones principales del plano de la lámina, se emplean laminados simétricos angle-ply ±45°, y se analiza el estado de deformaciones en diferentes zonas de la probeta cruciforme mediante la aplicación de Correlación Digital de Imagen (DIC), en conjunto con simulaciones mediante el método de los elementos finitos (FEM).

==2. Procedimiento experimental==

El ensayo TC se lleva a cabo siguiendo la metodología experimental desarrollada en trabajos previos del grupo COMES (UCLM), señalando que esta metodología ya fue aplicada con éxito a material compuesto con respuesta cuasi-isótropa, obteniendo un estado de deformación angular pura contrastado experimental y numéricamente, y sin presencia de concentradores de tensión fuera de la región de estudio [17]. Se emplean probetas cruciformes con doble radios de acuerdo y con un rebaje en el espesor de la zona central, realizando un cajeado escalonado que permite obtener una región de medición de 22x22 mm<sup>2</sup>, en la cual se verificó numéricamente la obtención de un estado biaxial homogéneo. Los detalles referidos a la metodología de ensayo biaxial, el diseño de la probeta y resultados previos numéricos y experimentales se pueden consultar en los trabajos [16-22].

En esta región central, gracias a la presencia de una reducción en el espesor se alcanzan los niveles máximos de tensiones y, por lo tanto, la rotura del material se produce debido al estado de tensión tracción-compresión. Los ejes de carga son las direcciones de tensión principal, ya que únicamente se desarrollan componentes de tensión normal (ver <span id='cite-_Ref135402501'></span>[[#_Ref135402501|Figura 1]]). Si estas componentes normales son iguales en módulo y de signo contrario ( <math display="inline">{\sigma }_{xx}=-{\sigma }_{yy}</math>), el estado de tensión biaxial de tracción-compresión es equivalente a un estado de tensión tangencial pura ( <math display="inline">{\tau }_{12}</math>) en los planos orientados a 45° con respecto a los ejes de carga ortogonales.

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 [[Image:Draft_Horta Munoz_544118310-image1.png|342px]] </div>

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Figura 1. Esquema del estado tensional resultante sobre el laminado y las láminas durante el ensayo TC</div>

Respecto al material de estudio, se utilizó una lámina de matriz epoxi reforzada con fibra de carbono UD en forma de preimpregnado con designación comercial M21E/34%/UD268/IMA-12K (Hexcel™, EE. UU.). El espesor de capa curada es de 0,25 mm y la fracción de volumen de fibra es 58%. Las propiedades de la lámina, así como de los laminados [±45]<sub>nS</sub> han sido caracterizadas mediante ensayos tracción y compresión uniaxial en trabajos previos [19,23]. Cabe señalar que el laminado estudiado presenta, ante estados de carga de tracción y compresión uniaxial, un comportamiento altamente no-lineal descrito en la literatura como comportamiento pseudo-dúctil en la que la cortadura induce una gran deformación plástica de la matriz, permitiendo la reorientación de las fibras, seguida de delaminaciones entre capas [19,23]. Para la fabricación de las probetas cruciformes, se elige emplear un laminado [±45]<sub>4S</sub>, rebajado en la zona central de medida a un laminado [±45]<sub>S</sub>, siguiendo un factor 4 entre el espesor de brazo y de zona central, que aporta buena respuesta en términos de inestabilidad ante cargas de compresión según lo estudiado numéricamente en [18]. Las probetas son mecanizadas mediante fresado por control numérico a partir de una placa cuadrada fabricada mediante laminación manual y curado en prensa de platos calientes. Los extremos de los brazos son reforzados mediante end-tabs de laminado GFRP.

Respecto a la metodología de ensayo TC, los ensayos se realizan en una máquina triaxial electromecánica Microtest, con cuatro actuadores controlados mediante reguladores independientes, y equipados con células de carga de 50 kN, que se puede apreciar en la Figura <span id='cite-_Ref135393647'></span>[[#_Ref135393647|Figura 2]]a. El ensayo se realiza aplicando un esquema de control en fuerza de 20 N/s, que permite asegurar la ratio de tensión aplicada en las dos direcciones perpendiculares ( <math display="inline">{\sigma}_{xx}=-{\sigma}_{yy}</math>). Si bien la geometría de la probeta cruciforme es escogida para que no se produzca inestabilidad elástica por pandeo, es aconsejable el empleo de un útil [24] que evite el pandeo global de la probeta y mejore la alineación del sistema, a la vez que permite la medición de deformaciones en la zona central cargada biaxialmente, y que se muestra en la <span id='cite-_Ref135393647'></span>[[#_Ref135393647|Figura 2]]b.

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| [[Image:Draft_Horta Munoz_544118310-image2-c.jpeg|282px]]
| [[Image:Draft_Horta Munoz_544118310-image3-c.png|center|180px]]
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|(a)
|(b)
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Figura 2. (a) Montaje experimental del ensayo biaxial TC. (b) Dispositivo antipandeo para ensayos biaxiales con probetas cruciformes [24].
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Los valores de fuerza aplicadas son registrados y convertidos a tensión que alcanza la sección central de la probeta, mediante la aplicación de la ecuación <span id='cite-_Ref135393999'></span>[[#_Ref135393999|(1)]]:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;" 
|-
| 
{| style="border: 1pt solid black;margin:auto;width: 100%;"
|-
| <math>{\sigma }_{i}=f\, {F}_{i}/A</math>
|}
|  style="border: 1pt solid black;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref135393999'></span>(1)
|}


donde <math display="inline">{\sigma }_{i}</math> es la tensión obtenida en la zona de estudio (siendo el subíndice ''i'' correspondiente a las direcciones de carga ''x'' e ''y''), ''f'' es un factor dependiente principalmente de la geometría de la probeta, <math display="inline">{F}_{i}</math> la carga aplicada, y <math display="inline">A</math> el área de referencia tomada en la zona central, de dimensión rectangular con longitud 5 mm y ancho igual al espesor del laminado. En este trabajo, se ha determinado mediante simulación lineal estática con Abaqus/Standard que el factor <math display="inline">f=</math><math>3.67</math>.

El estado de deformaciones es monitorizado mediante galgas extensométricas y mediante DIC. En concreto, una roseta de galgas registra las deformaciones en la región donde se produce el estado biaxial, mientras que una galga uniaxial registra la deformación del brazo, para verificar la ausencia de efectos no lineales fuera de la zona central rebajada. Esta medición es completada por un sistema DIC 3D LaVision StrainMaster, que dispone de dos cámaras CCD y sistema de iluminación LED. Las imágenes capturadas son posprocesadas para la obtención de los campos de desplazamientos y deformaciones mediante el software Davis v8.4.0.

==3. Análisis de resultados y discusión==

Teniendo en cuenta que el estado tracción-compresión sobre el laminado [±45]<sub>S</sub> produce un estado de cortadura sobre las direcciones principales de la lámina, aplicando la correspondiente rotación de componentes de tensión y deformación entre las direcciones globales de carga y las locales, tomando el valor absoluto de las mismas, obtenemos las ecuaciones <span id='cite-_Ref135403678'></span>[[#_Ref135403678|(2)]] y <span id='cite-_Ref135403679'></span>[[#_Ref135403679|(3)]]:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;" 
|-
| 
{| style="border: 1pt solid black;margin:auto;width: 100%;"
|-
| <math>{\tau }_{12}=\, \frac{{\sigma }_{xx}-{\sigma }_{yy}}{2}</math>
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|  style="border: 1pt solid black;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref135403678'></span>(2)
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| 
{| style="border: 1pt solid black;vertical-align: top;margin:auto;width: 100%;"
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| <math>{\gamma }_{12}={\epsilon }_{xx}-{\epsilon }_{yy}</math>
|}
|  style="border: 1pt solid black;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span id='_Ref135403679'></span>(3)
|}


De esta forma, es posible obtener el módulo de cortadura de la lámina <math display="inline">{G}_{12}</math> como el cociente entre la tensión tangencial <math display="inline">{\tau }_{12}</math> y la deformación angular <math display="inline">{\gamma }_{12}</math> en la región elástica lineal. En la <span id='cite-_Ref135403672'></span>[[#_Ref135403672|Figura 3]] se recogen las curvas tensión-deformación, tanto en términos de las tensiones normales en la región central en la dirección traccionada (''X'') y en la comprimida (''Y''), como en componentes tangenciales en direcciones principales del material. Se observa que, después de una primera etapa lineal, se produce una evolución no lineal que alcanza deformaciones angulares ingenieriles cercanas al 40%, en caso de emplear el útil antipandeo. Aunque se ha comentado que la relación entre el espesor de los brazos y el de la sección central rebajada es teóricamente suficiente para evitar inestabilidades elásticas fuera de la región de interés, cualquier imperfección geométrica o desalineación de carga puede provocar un final prematuro del ensayo. Se comprueba además que, incluso en el caso de emplear el útil, las curvas tensión-deformación normal se separan cuando el material se encuentra experimentando el comportamiento no-lineal, en el que se observan tanto deformaciones plásticas como degradación de la rigidez del material. No obstante, si se compara la respuesta de los ensayos con y sin útil (<span id='cite-_Ref135403672'></span>[[#_Ref135403672|Figura 3]]b), se puede comprobar fácilmente cómo el uso del dispositivo mejora la eficacia del ensayo TC incluso en muestras con relaciones de grosor altas.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 
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| [[File:Fig3a.png|214x214px]]
|[[File:Fig3b.png|centre|218x218px|b)]]
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|(a)
|(b)
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Figura 3. Curvas tensión-deformación obtenidas mediante ensayos T-C. (a) Tensión-deformación estimada en la zona central para ensayo empleando útil antipandeo. (b) Tensión tangencial – deformación angular en direcciones principales del material.
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==4. Conclusiones==

Se ha demostrado que el ensayo TC con laminados angle-ply ±45° simétricos es una alternativa que aporta una mejora sustancial para determinar las propiedades de cortadura, ya que cumple con los requisitos de generar condiciones de cortadura pura, habiendo verificado mediante medición de deformaciones con DIC que las componentes normales de deformación en direcciones principales del material durante el ensayo son despreciables frente a la componente angular. Se llegan a alcanzar valores cercanos al 40% de deformación angular ingenieril en el momento de rotura de la probeta, por encima de los valores límite marcado por los estándares para ensayo de cortadura, pudiendo obtener así, además del valor del módulo de cortadura, un valor más preciso de la resistencia tangencial última. Cabe destacar que, en comparación con ensayos biaxiales previos realizados con otros estados de carga distinto del TC, no se aprecian efectos pseudo-dúctiles en los brazos de la muestra, lo que facilita la aplicación del ensayo. Como desventaja cabe indicar que las tensiones aplicadas y las registradas en la zona de interés difieren por un factor determinado mediante simulación. Además, se comprueba que la aplicación de un dispositivo antipandeo permite alcanzar mayores valores de fuerza aplicada antes del fallo, mejorando la repetibilidad del ensayo.

Los lectores interesados en este trabajo pueden consultar otros detalles del mismo en el artículo [25] recientemente publicado en esta línea de investigación.

==5. Agradecimientos==

El Ministerio de Economía y Competitividad y el Fondo Europeo de Desarrollo Regional han apoyado financieramente este trabajo bajo la subvención DPI2016-77715-R. La publicación forma parte del proyecto PDC2021-121154-I00, financiado por MCIN/AEI/10.13039/501100011033 y por la Unión Europea "NextGenerationEU/PRTR". Además, se debe agradecer a la Junta de Comunidades de Castilla-La Mancha por el proyecto regional SBPLY/19/180501/0000170. Los autores agradecen también el apoyo proporcionado por la Universidad de Castilla-La Mancha (UCLM) y el Fondo Europeo de Desarrollo Regional (ERDF) bajo la ayuda 2020/3771 y la 2023-GRIN-34105. Finalmente, los autores desean agradecer a la empresa Airbus por proporcionar el material utilizado en la preparación de las probetas de ensayo.

==Bibliografía==

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