Application of the Discrete Elements Method for the simulation of a beam-column connection based on a self-centering system.

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==APLICACIÓN DEL MÉTODO DE ELEMENTOS DISCRETOS PARA LA SIMULACIÓN DE UNA CONEXIÓN VIGA-COLUMNA BASADA EN UN SISTEMA AUTO-CENTRANTE.==

Juan Álvarez R.<sup>1a</sup>,Sergio Gallegos C.<sup>1b</sup>, Raymundo Cordero C.<sup>1c</sup>, Aldo I. Ramírez O.<sup>1d</sup>, José F. Zarate A.<sup>2</sup>, Sergio A. Díaz<sup>3</sup>

1: Departamento de Ingeniería Civil, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Monterrey, Av. Eugenio Garza Sada No. 2501 Sur, Col. Tecnológico, Monterrey, N.L, C.P. 64849, México.

e-mail: [mailto:juann.alvarezz@tec.mx juann.alvarezz@tec.mx] <sup>1a</sup>

e-mail: [mailto:sergio.gallegos@tec.mx sergio.gallegos@tec.mx] <sup>1b</sup>

e-mail: [mailto:rcordero@tec.mx rcordero@tec.mx] <sup>1c</sup>

e-mail: [mailto:aldo.ramirez@tec.mx aldo.ramirez@tec.mx] <sup>1d</sup>

2: Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental, Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería, Universidad Politécnica de Cataluña, Edifici C1 Campus Nord UPC C/ Gran Capità, S/N 08034 Barcelona, España.

e-mail: [mailto:zarate@cimne.upc.edu zarate@cimne.upc.edu]

3: División Académica de Ingeniería y Arquitectura, Universidad Juárez Autónoma de Tabasco. Av. Universidad s/n, Zona de la Cultura, Col. Magisterial, Centro, Tabasco, C.P. 86040, México.

e-mail: [mailto:alberto.diaz@ujat.mx alberto.diaz@ujat.mx]
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==Abstract==

At present, the beam-column connection system through a self-centering post-tensioned connection is currently an alternative to improve the seismic behavior in reinforced concrete buildings; by allowing its elements to have a linear behavior (no damage) in the face of displacements produced by seismic actions. This paper deals with the numerical modeling of the seismic behavior for a self-centering connection based on the Discrete Element Method (MED) is presented, with the aim of validating the hysterical response of the numerical model with an experimental test of the literature. The results demonstrated the horizontal distortions in the column, which are the product of the numerical simulation of the model subjected to a load that increases over time with 4 different stiffness coefficients. In addition, the hysteretic graph is presented as a result of the numerical simulation of the model, with an adequate stiffness coefficient and normal damping, subject to a cyclic load that is reversed as a function of time. The movement of the connection is controlled by the horizontal distortions of the column, achieving an approximate reproduction of the hysterical behavior expected in this type of connection. With the results shown, a simple bilinear hysteresis law is proposed, which allows its simplified use for its application in the modeling of reinforced concrete buildings with self-centering connections.

'''Keywords: '''<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Discrete Element Method, self-centering, post-tensioning, numerical simulation, cable elements, hysteretic graph.</span>

==Resumen==

<span id='_GoBack'>El sistema de conexión viga-columna mediante una conexión postensada auto-centrante es una alternativa en la actualidad para mejorar el comportamiento sísmico en edificios de hormigón armado; al permitir que sus elementos tengan un comportamiento lineal (sin daño) ante los desplazamientos producidos por acciones sísmica. En el presente trabajo se presenta la simulación numérica del comportamiento sísmico para una conexión auto-centrante con base en el Método de Elementos Discretos (MED), con el objetivo de validar la respuesta histerética del modelo numérico con una prueba experimental de la literatura. Los resultados demuestran las distorsiones horizontales en la columna, las cuales son producto de la simulación numérica del modelo sujeto a una carga que se incrementa con el paso del tiempo con 4 coeficientes de rigidez diferentes. Se presenta la gráfica histerética como resultado de la simulación numérica del modelo, con un coeficiente de rigidez y amortiguamiento normal adecuado, sujeto a una carga cíclica que se invierte en función al tiempo. El movimiento de la conexión es controlado por las distorsiones horizontales de la columna, logrando reproducir de forma aproximada el comportamiento histérico esperado en este tipo de conexiones.  Con los resultados mostrados se propone una sencilla ley de histéresis bilineal, que permita su uso simplificado para su aplicación en el modelado de edificios de hormigón armado con conexiones auto-centrantes. </span>

==Palabras clave==

Método de Elementos Discretos, sistemas de auto-centrado, postensado, simulación, elementos tipo cable, grafica histerética.

=1. Introducción=

La formulación de los elementos discretos fue introducida por Cundall [1-3] utilizando elementos esféricos para modelar materiales granulares. Desde su implementación, se ha desarrollado una gran cantidad de aplicaciones en distintas áreas, así como metodologías que permiten una gran precisión y rapidez en el procesamiento de los datos.

Las aplicaciones del MED en problemas de ingeniería que involucran comportamiento dinámico son muy variadas, estos van desde la simulación tradicional de flujo de partículas hasta la representación de estructuras sólidas interactuando [4].

Una de las mayores ventajas que ofrece el MED en el estudio de estructuras sólidas, es que permite el libre movimiento de partículas como cuerpos rígidos para simular fenómenos que con los métodos analíticos tradiciones resulta complejo su estudio.  Además, es utilizado para estudiar la estabilidad de sistemas estructurales, en donde los elementos son sometidos a cargas dinámicas y monitoreados en función del tiempo.

Las estructuras auto-centrantes son sistemas especiales que al ser sometidos a desplazamientos laterales presentan muy poca distorsión residual, por lo que el sistema regresa a su posición inicial una vez terminado el ciclo de movimientos.

La pieza principal de estos sistemas auto-centrantes se encuentra en la unión entre la columna y viga, la cual debe mantenerse siempre sin daño con un comportamiento elástico.

En los últimos años, la idea del auto-centrado ha adquirido gran atención. Se ha revisado y aplicado este concepto en conexiones viga-columna ([5-9]), además se ha extendido a las conexiones a momentos en estructuras de acero ([10-12]); muros de hormigón prefabricado ([13-17] [14]); así como en columnas de puentes ([18-23] [19] [20]).

La carga dinámica más critica que se analiza para un sistema auto-centrante es la sísmica, debido a las fuerzas dinámicas que se presentan en las uniones de los elementos. Para reducir los daños ocasionados por sismos y disipar la energía durante el evento, se desarrollan estos sistemas que devuelven la estructura a una posición vertical (auto-centrado), después de haber ocurrido el fenómeno [24].

Después de los eventos sísmicos ocurridos en la región de Christchurch en 2010, se reconstruyeron una serie de edificios basados en sistemas estructurales postensado en combinación de materiales mixtos (madera, hormigón y acero), con el objetivo de reducir los efectos de las cargas laterales por sismo [25]. En la Figura 1 se ilustra uno de los edificios que se reconstruyeron en la zona con columnas de hormigón y vigas postensadas de madera. Este ejemplo nos da una introducción a las estructuras reales que utilizan sistemas continuos postensados por viga-columna que resisten cargas laterales.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 [[Image:Draft_Alvarez_917375397-image1.png|600px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Figura 1. Edificio ‘St. Elmo Courts’, construido en Christchurch: (a) estructura auto-centrada de columnas de hormigón armado y vigas de madera postensada, (b) sección típica de la viga de madera postensada en la construcción. En base a la referencia [25]</span></div>

El objetivo de este artículo es demostrar una formulación con elementos discretos que permita predecir el comportamiento que adquieren los sistemas auto-centrantes sometidos a movimientos en su base, así como la obtención de resultados sobre relaciones mecánicas de cada material. La modelación numérica es realizada con el programa de cómputo Scilab 5.5.2. [26] con la implementación del MED a un nivel macroscópico permitiendo el modelado de partículas que representen sistemas estructurales auto-centrantes.

=2. Cuestiones clave de simulación con MED=

La metodología para lograr la simulación de un sistema auto-centrante, mediante el Método de Elementos Discretos, consta de la implementación de las ecuaciones de movimiento considerando las condiciones y fuerzas de contacto entre partículas. La integración del tiempo se realizará por medio del método de la segunda diferencia central, partiendo de las variables de posición hasta llegar a la aceleración con expresiones recursivas, obteniendo así los parámetros de posición, velocidad y aceleración.

==2.1. Ecuaciones de movimiento==

El movimiento de las partículas en el espacio está dado por un sistema de ecuaciones dinámico no lineal para cuerpos rígidos, como se muestra a continuación:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%;width: 100%;text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center;vertical-align: top;margin:auto;width: 100%;"
|-
| <math>M{\ddot{u}}_{k}+C{\overset{\cdot}{u}}_{k}+K{u}_{k}={F}_{k}</math>
|}
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">(1)</span>
|}

donde ''M'' es la masa, <math display="inline">\ddot{u}</math>es la aceleración, ''C'' es el coeficiente de amortiguamiento, <math display="inline">\overset{\cdot}{u}</math>es la velocidad, ''K'' es el coeficiente de rigidez, <math display="inline">u</math>es el desplazamiento y ''F'' es la fuerza externa en el sistema. El subíndice k indica el paso en el tiempo.

Para obtener las fuerzas que actúan en el sistema podemos dividir la ecuación (1) en los siguientes términos:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%;width: 100%;text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center;vertical-align: top;margin:auto;width: 100%;"
|-
| <math>{F}_{\mathrm{int}\,erna}=K{u}_{k}</math>
|}
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">(2)</span>
|-
| 
{| style="text-align: center;vertical-align: top;margin:auto;width: 100%;"
|-
| <math>{F}_{ex\mathrm{t}\,erna}={F}_{k}</math>
|}
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">(3)</span>
|}

Considerando la simplificación, la fuerza resultante queda establecida de la siguiente manera:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%;width: 100%;text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center;vertical-align: top;margin:auto;width: 100%;"
|-
| <math>{F}_{neta}={F}_{externa}-{F}_{\mathrm{int}\,erna}</math>
|}
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">(4)</span>
|}

La fuerza externa es obtenida de las acciones externas sobre el cuerpo y de la interacción con las otras partículas:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%;width: 100%;text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center;vertical-align: top;margin:auto;width: 100%;"
|-
| <math>{F}_{ex\mathrm{t}\,erna}={F}_{cuerpo}+{F}_{contacto}</math>
|}
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">(5)</span>
|}

Las fuerzas de interacción normal y tangencial entre partículas están dadas por la siguiente ecuación:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%;width: 100%;text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center;vertical-align: top;margin:auto;width: 100%;"
|-
| <math>{F}_{contacto}=Ku+C\overset{\cdot}{u}</math>
|}
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">(6)</span>
|}

Las fuerzas de cuerpo consideran el peso del elemento:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%;width: 100%;text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center;vertical-align: top;margin:auto;width: 100%;"
|-
| <math>{F}_{cuerpo}=-W</math>
|}
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">(7)</span>
|}

Las ecuaciones de movimiento traslacional para cada partícula quedan expresadas como:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%;width: 100%;text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center;vertical-align: top;margin:auto;width: 100%;"
|-
| <math>{\ddot{u}}_{k}+\frac{C{\overset{\cdot}{u}}_{k}}{M}=\frac{{F}_{neta}}{M}</math>
|}
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">(8)</span>
|}

Y para el movimiento rotacional queda:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%;width: 100%;text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center;vertical-align: top;margin:auto;width: 100%;"
|-
| <math>{\ddot{\theta }}_{k}+C{\overset{\cdot}{\theta }}_{k}=\frac{Mom}{I}</math>
|}
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">(9)</span>
|}

donde <math display="inline">{\ddot{\theta }}_{k}</math>es la aceleración angular, <math display="inline">{\overset{\cdot}{\theta }}_{k}</math>es la velocidad angular, ''Mom'' son las componentes del momento resultante aplicada a la partícula y ''I'' es el momento de inercia principal de la partícula. 

==2.2. Condiciones de contacto==

La forma en que interactúan las partículas se relaciona con las magnitudes y direcciones de las fuerzas de contacto entre ellas. Al momento en que dos partículas entran en contacto, se genera un par de fuerzas en direcciones opuestas, tal como lo establece la Tercera Ley de Newton. La magnitud de la fuerza depende directamente de la penetración de una partícula sobre otra y de la rigidez de los materiales. Mientras que la dirección de la fuerza depende de la ubicación del contacto generado entre las partículas  [27].

El criterio empleado para simular los efectos de interacción entre las partículas es a partir de la suposición de resortes, definidos por la rigidez de los materiales, y de coeficientes de amortiguamiento, tanto en la dirección vertical como en la dirección horizontal de las superficies. En la Figura 2 se puede observar la configuración de los resortes y amortiguadores durante el choque, generando fuerzas normales y tangenciales al entrar en contacto.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 [[Image:Draft_Alvarez_917375397-image2.png|384px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Figura 2. Condiciones de interacción al contacto. Esquema de fuerzas normales tipo resorte (</span> <math display="inline">{K}_{n}</math><span style="text-align: center; font-size: 75%;">) y tipo amortiguador (</span> <math display="inline">{C}_{n}</math><span style="text-align: center; font-size: 75%;">),<br/>así como las fuerzas tangenciales tipo resorte (</span> <math display="inline">{K}_{t}</math><span style="text-align: center; font-size: 75%;">) y tipo amortiguador (</span> <math display="inline">{C}_{t}</math><span style="text-align: center; font-size: 75%;">) entre dos partículas.</span></div>

==2.3. Fuerzas de contacto==

En cada uno de los contactos presentes, se producen fuerza en la dirección perpendicular a la superficie de contacto llamadas “fuerzas normales”, además de fuerzas paralelas a la superficie llamadas “fuerzas tangenciales”. Su magnitud depende del ángulo de inclinación y de la rotación de las partículas en ese paso de tiempo.

Para generar las fuerzas de contacto se emplea el criterio llamado método de castigo “penalty method” en donde la fuerza queda definida por la magnitud de la penetración de una partícula sobre otra y un valor de la rigidez establecido dependiendo de los materiales.

La Figura 3 muestra los parámetros utilizados para calcular las fuerzas normales y tangenciales en la interacción de partículas circulares y cuadrilaterales.

Las fuerzas normales quedan establecidas asumiendo una ley lineal de fuerza-desplazamiento:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%;width: 100%;text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center;vertical-align: top;margin:auto;width: 100%;"
|-
| <math>{F}_{n}={K}_{n}{\delta }_{n}</math>
|}
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">(17)</span>
|}

donde <math display="inline">{\delta }_{n}</math>es la penetración normal y <math display="inline">{K}_{n}</math>es la rigidez normal del material.

Las fuerzas tangenciales se calculan incrementalmente y consisten en la sumatoria de los desplazamientos horizontales para cada intervalo.

{| class="formulaSCP" style="width: 100%;width: 100%;text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center;vertical-align: top;margin:auto;width: 100%;"
|-
| <math>\Delta {F}_{t}={K}_{t}\Delta {\delta }_{t}</math>
|}
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">(18)</span>
|-
| 
{| style="text-align: center;vertical-align: top;margin:auto;width: 100%;"
|-
| <math>{F}_{t}={F}_{t}^{old}+\Delta {F}_{t}</math>
|}
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">(19)</span>
|}

donde <math display="inline">\Delta {\delta }_{t}</math>es la penetración horizontal en el paso de tiempo y <math display="inline">{K}_{t}</math>es la rigidez tangencial del material.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 [[Image:Draft_Alvarez_917375397-image3.png|348px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Figura 3. Partículas circulares: (a) fuerzas normales, (b) fuerzas tangenciales. Partículas rectangulares: (a) fuerzas normales, (b) fuerzas tangenciales.</span></div>

==2.4. Fuerza de fricción==

El valor de la fricción queda limitado con respecto a la fuerza normal. En el modelo se establece que sí, en cualquier momento del análisis, el valor de la fuerza tangencial <math display="inline">{F}_{t}</math>excede el parámetro <math display="inline">{F}_{n}\mathrm{tan}\,\phi</math>se presenta un deslizamiento del objeto, y la fuerza tangencial asume ese valor límite:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%;width: 100%;text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center;vertical-align: top;margin:auto;width: 100%;"
|-
| <math>{F}_{t}\leq {F}_{n}\mathrm{tan}\,\phi</math> 
|}
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">(20)</span>
|}

La Figura 4 muestra el comportamiento de la fuerza tangencial cuando se tiene un cuerpo al que se le aplica una fuerza instantánea. Se puede ver como la fuerza llega a un valor máximo y después permanece constante hasta que se reduce gradualmente a un valor de cero cuando el objeto se ha detenido.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 [[Image:Draft_Alvarez_917375397-image4.png|384px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Figura 4. Gráfica que muestra el comportamiento de la fuerza tangencial al deslizarse un cuerpo.</span></div>

==2.5. Fuerzas de amortiguamiento==

Para el efecto del amortiguamiento normal y tangencial se emplea un modelo resorte-amortiguador [28] que involucra un factor de amortiguamiento viscoso <math display="inline">C</math>, el valor de la rigidez normal <math display="inline">{K}_{n}</math>y tangencial <math display="inline">{K}_{t}</math>, y la velocidad normal <math display="inline">{\overset{\cdot}{u}}_{n}</math>y tangencial <math display="inline">{\overset{\cdot}{u}}_{t}</math>en ese instante.

Por lo tanto, el valor de la fuerza normal y tangencial es calculado de la siguiente manera:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%;width: 100%;text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center;vertical-align: top;margin:auto;width: 100%;"
|-
| <math>{F}_{n}={K}_{n}{\delta }_{n}+{C}_{n}{K}_{n}{\overset{\cdot}{u}}_{n}</math>
|}
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">(21)</span>
|}


{| class="formulaSCP" style="width: 100%;width: 100%;text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center;vertical-align: top;margin:auto;width: 100%;"
|-
| <math>\Delta {F}_{t}={K}_{t}\Delta {\delta }_{t}+{C}_{t}{K}_{t}\Delta {\overset{\cdot}{u}}_{t}</math>
|}
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">(22)</span>
|-
|  style="vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|
|}

=3. Validación y aplicación de MED a sistemas auto-centrantes=

La pieza más importante en un sistema estructural auto-centrante se encuentra en la conexión entra la viga y la columna, la cual al ser sometida a cargas laterales debe conservar un nivel muy bajo o nulo de distorsiones residuales en el sistema.

Varios comportamientos histeréticos de auto-centrado han sido observados en estudios experimentales. Todos esos modelos tienen el propósito de que la estructura presente el menor daño posible debido a grandes distorsiones laterales. Algunos ejemplos de modelos histeréticos para sistemas de auto-centrado se pueden observar en estudios experimentales previos, como en el caso de las referencias de Christopoulos et al.[29] y Watkins et al. [30].

El problema es que el conocimiento actual de las demandas sísmicas que tienen los sistemas estructurales auto-centrantes sigue siendo muy limitado. Particularmente es necesario una mejor comprensión y caracterización de varios tipos de demanda sísmica, así como nuevos sistemas de auto-centrado que resistan estas demandas sin tener distorsiones residuales considerables.

Dentro del sistema auto-centrante existen una gran cantidad de variables generadas por los comportamientos dinámicos de la conexión que no son tomadas en cuenta mediante los métodos numéricos tradicionales. Debido a lo anterior, es de vital importancia desarrollar una metodología que permita su estudio involucrando los parámetros dinámicos que se describirán en las subsecciones posteriores.

En consecuencia, en este trabajo se propone una metodología basada en los elementos discretos, que trata de predecir el comportamiento que tienen los sistemas auto-centrantes cuando se encuentran sometidos a diferentes condiciones de cargas dinámicas en su base.

==3.1. Comportamiento de la conexión en sistemas de auto-centrado.==

El sistema consta de marcos prefabricados de hormigón (vigas y columnas) montadas en campo mediante un cable que permite postensar los elementos estructurales, como se muestra en la Figura 5.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 [[Image:Draft_Alvarez_917375397-image5.png|468px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Figura 5. Sistema estructural con columnas y vigas prefabricadas con conexiones postensadas.</span></div>

La función del cable postensado es la de darle capacidad a corte a la conexión (fricción), aumentar la capacidad a flexión (a momento) de la conexión, así como introducir una función de “auto-centrado” que disminuya las deformaciones laterales permanentes, haciendo que la estructura vuelva a su lugar de origen, tras los desplazamientos producidos por la carga dinámica. Algunas pruebas experimentales y estudios analíticos han mostrado que la conexión tiene un excelente comportamiento ante cargas laterales ( [6-8]). En la Figura 6 se aprecia a detalle la conexión viga-columna, unida por el cable postensado y las fuerzas que se ejercen dentro de la estructura, en donde el cable postensado genera una fuerza de tensión recibiendo como respuesta una fuerza en compresión por parte de la viga hacia la columna.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 [[Image:Draft_Alvarez_917375397-image6.png|336px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Figura 6. Detalle de una conexión exterior postensada propuesta con viga de un solo lado.</span></div>

La principal condición consiste en que la deformación del acero postensado siempre permanezca en un rango elástico. Al cumplir con esta condición, se asegurará un comportamiento auto-centrante sin desplazamientos residuales después de la acción dinámica. Otra condición que se busca cumplir es que el hormigón debe permanecer sin daño durante y después del movimiento.

La geometría típica del sistema auto-centrante, así como su conexión postensada en el sistema viga-columna se muestra en la Figura 7. Los procedimientos para determinar la resistencia de las conexiones para este tipo de sistemas consisten en parámetros geométricos que toman en cuenta los niveles de desplazamientos laterales (distorsiones), además de algunas suposiciones para simplificar el proceso de análisis. Algunas de estas suposiciones son las siguientes:

:# Las rotaciones en las uniones son obtenidas por medio de la distorsión en los entrepisos usando la geometría del sistema.
:# Las vigas son de sección transversal constante.
:# Todo el acero postensado se encuentra a lo largo de la viga. 
:# El acero postensado está desadherido a través de las columnas. 
:# El acero postensado está anclado en la cara exterior de la primera y última columna.
:# El centroide del acero de postensado está localizado a la mitad de la sección transversal de la viga.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 [[Image:Draft_Alvarez_917375397-image7.png|372px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Figura 7. Configuración típica de una conexión.</span></div>

La Figura 8 muestra una visualización de las fuerzas actuantes ante una carga lateral. Al recibir las cargas dinámicas, dentro de la conexión se empiezan a desplazar las piezas del sistema generando fuerzas de acción y reacción entre sí. La columna tiende a realizar movimientos desde su base y las vigas empiezan a separarse formando un ángulo de apertura (<math display="inline">\theta</math>), en donde la conexión empieza a hacer contacto entre los vértices de la viga y la columna, generando en estos puntos fuerzas por compresión debido a la tensión que ejerce el cable de postensado para devolver a la estructura a su forma original.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 [[Image:Draft_Alvarez_917375397-image8.png|354px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Figura 8. Fuerzas en la conexión en el desplazamiento.</span></div>

El ángulo de giro es fundamental dentro del movimiento rotacional que el sistema realiza al aplicarle una carga dinámica, ocasionando momentos al hacer contacto la conexión viga-columna, esto debido al desplazamiento del cable postensado por la distorsión de la columna, formando un ángulo en la unión, hasta llegar a un máximo en donde la viga solo hace contacto con la columna a través de sus vértices, este proceso se ilustra en la Figura 9.

Para la apertura del ángulo, es necesario aplicar una fuerza significativa (fuerza inicial provocada por una carga lateral) que ocasione, primeramente, una deformación del cable, esto a su vez inicia un desplazamiento en el sistema, de manera que la viga empieza a desplazarse junto con el cable, en un proceso de colisión contra el movimiento en diagonal de la columna, hasta el punto en donde el ángulo, una vez ya realizada su apertura, incrementa con más facilidad, ocasionando una mayor distorsión entre la conexión.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 [[Image:Draft_Alvarez_917375397-image9.png|360px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Figura 9. Desplazamientos.</span></div>

==3.2. Fuerzas en el cable==

La finalidad del cable es generar una fuerza de unión entre los elementos de la conexión. Dicha fuerza proporciona una restricción al movimiento vertical debido a la fricción generada tanto en la columna como en la viga. Para el modelo numérico, la fuerza está ubicada en la cara externa de las columnas (Figura 10).

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 [[Image:Draft_Alvarez_917375397-image10.png|384px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Figura 10. Geometría de marco (viga-columna) con cable postensado.</span></div>

Para simular el efecto del cable se considera que éste se encuentra en una etapa elástica. Por lo tanto, se utilizan los criterios de linealidad del material como se muestra en las siguientes ecuaciones, primeramente, calculando el estiramiento del cable (ver Figura 11).

{| class="formulaSCP" style="width: 100%;width: 100%;text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center;vertical-align: top;margin:auto;width: 100%;"
|-
| <math>{\Delta }_{c}={L}_{F}+{L}_{I}</math>
|}
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">(23)</span>
|}

Donde <math display="inline">\Delta</math>es la deformación del cable que puede ser negativa (en tal caso se optará por una fuerza de presfuerzo igual a la aplicada inicialmente),<math display="inline">{L}_{F}</math>es la longitud al final del paso del cable y <math display="inline">{L}_{I}</math>es la longitud en el paso cero del cable de presfuerzo.

La deformación unitaria del módulo de Young, <math display="inline">\epsilon</math> , se calcula:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%;width: 100%;text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center;vertical-align: top;margin:auto;width: 100%;"
|-
| <math>{\epsilon }_{c}={L}_{F}+{L}_{I}</math>
|}
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">(24)</span>
|}

El esfuerzo en el cable es:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%;width: 100%;text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center;vertical-align: top;margin:auto;width: 100%;"
|-
| <math>{\sigma }_{c}={\epsilon }_{c}\ast {E}_{c}</math>
|}
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">(25)</span>
|}

Donde <math display="inline">{\sigma }_{c}</math>es el esfuerzo en el cable, <math display="inline">{\epsilon }_{c}</math>es la deformación unitaria y <math display="inline">{E}_{c}</math>es el módulo de elasticidad del cable postensado.

La fuerza del cable en el paso que se trate se calcula como:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%;width: 100%;text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center;vertical-align: top;margin:auto;width: 100%;"
|-
| <math>{F}_{C}={A}_{C}\ast {\sigma }_{c}</math>
|}
|  style="text-align: right;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">(26)</span>
|}

Donde <math display="inline">{F}_{C}</math>es la fuerza de tensión en el cable y <math display="inline">{A}_{C}</math>es el área transversal del cable postensado.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 [[Image:Draft_Alvarez_917375397-image11.png|396px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Figura 11. Diagrama que representa el comportamiento del cable &#x0394; = &#x0394;1 + &#x0394;2.</span></div>

Los desplazamientos que se generan en el marco debido a los movimientos laterales ocasionan que el cable se extienda y se contraiga, por lo que se tendrá una fuerza de tensión variable a lo largo de la prueba. Estos desplazamientos se ilustran dentro del sistema auto-centrante en la Figura 12, en donde la columna se distorsiona, debido a las cargas dinámicas, provocando las deformaciones en el cable en cada una de las uniones de la viga y columna.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 [[Image:Draft_Alvarez_917375397-image12.png|600px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Figura 12. Marco sometido a una carga dinámica.</span></div>

==3.3. Modelo experimental==

Para conocer el comportamiento que tiene una conexión auto-centrante se realiza una validación sobre el modelo experimental de Ozden y Ertas [31] que permita realizar una simulación del mismo para formar la gráfica histerética y comparar los resultados. El espécimen consiste en una viga y columna con conexión auto-centrante como se observa en la Figura 13; esta permite el libre movimiento de la conexión. El espécimen fue modelado como juntas exteriores de un edificio de varios niveles, siendo éstos escalados a aproximadamente la mitad de la geometría original. La viga se compone de 6 tendones postensados de 13 mm de diámetros, colocados al centro de la sección transversal de la viga y 4 varillas de refuerzo de 20 mm de diámetro; mientras que la columna cuenta con 10 varillas de refuerzo del mismo diámetro. Ambas diseñadas de acuerdo con los requisitos para zonas de alta sismicidad. La columna se diseña con una conexión articulada en su base, mientras que la viga, en su extremo derecho, se diseña con un rodillo como apoyo. Las propiedades y parámetros de los materiales del modelo se indican en la Tabla 1.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 [[Image:Draft_Alvarez_917375397-image13.png|408px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Figura 13. Detalle de conexión auto-centrante. a) Esquema de conexión viga-columna y ubicación de apoyos y cargas. b) Sección transversal de columna. c) Sección transversal de viga.</span></div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Tabla 1. Datos del Conexión auto-centrante.</span></div>

{| style="width: 40%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;" 
|-
|  colspan='2'  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''Acero de presfuerzo'''</span>
|-
|  style="border-left: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;border-right: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Cantidad de tendones</span>
|  style="border-bottom: 1pt solid black;border-right: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">6</span>
|-
|  style="border-left: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;border-right: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Diámetro (mm)</span>
|  style="border-bottom: 1pt solid black;border-right: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">13</span>
|-
|  style="border-left: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;border-right: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Fuerza efectiva de post-tensado (MPa)</span>
|  style="border-bottom: 1pt solid black;border-right: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">3</span>
|-
|  style="border-left: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;border-right: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Resistencia ultima (MPa)</span>
|  style="border-bottom: 1pt solid black;border-right: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">1860</span>
|-
|  colspan='2'  style="border: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">'''Elementos de hormigón prefabricado'''</span>
|-
|  style="border-left: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;border-right: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Resistencia a la compresión (MPa)</span>
|  style="border-bottom: 1pt solid black;border-right: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<span style="text-align: center; font-size: 75%;">60</span>
|}

Dentro del modelo experimental de Ozden y Ertas [31] se aplica una carga lateral variable que se invierte en la parte superior de la columna según el patrón de carga de la Figura 14, siguiendo lo recomendado en ACI T1.1 [32]. De esta manera por cada nivel de desplazamiento se aplican 3 ciclos de desplazamiento completos, siendo un total de 39 ciclos de carga; teniendo así desde el nivel de desplazamiento de 0.15% hasta 4%. Se aplica simultáneamente una carga vertical constante en la columna equivalente al 10% de su capacidad a compresión con un ariete hidráulico y un marco cerrado. Para medir el desplazamiento del entrepiso, la rotación de la unión, abertura entre viga y columna, curvatura y desplazamiento de la viga se usaron transductores de desplazamiento lineal variable (LVDTs).

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 [[Image:Draft_Alvarez_917375397-image14.png|348px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Figura 14. Historia de carga, de acuerdo con lo recomendado por el ACI T1.1.[31].</span></div>

Los resultados experimentales, se basaron en el comportamiento de especímenes de prueba, los cuales fueron considerados como juntas exteriores de un edificio de varios pisos. Las muestras de prueba fueron comparadas con una conexión tradicional monolítica viga-columna de hormigón armado (M), en donde visualmente (Figura 15) se observa la diferencia de daño, comparada con el sistema que uso una conexión viga-columna con hormigón armado con cable postensado (PTM0) [30].

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 [[Image:Draft_Alvarez_917375397-image15.png|378px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Figura 15.</span> <span style="text-align: center; font-size: 75%;">Daños a la conexión después del procedimiento de carga cíclica inversa. a) Espécimen M diseñado de acuerdo con los requisitos de alta actividad sísmica, usando hormigón armado, presenta un alto daño. B) Espécimen PTM0 conexión de hormigón armado con cable postensado, con las geometría y propiedades presentadas en la subsección, daño mínimo[31].</span></div>

==3.4. Parámetros de amortiguamiento y comparación de parámetros de rigidez==

En esta etapa se realiza una calibración de los parámetros involucrados en el sistema, los cuales son aplicados a nuestro modelo numérico por MED, dentro de las fuerzas del sistema, de contacto y de amortiguamiento. De esta manera los parámetros como la rigidez y amortiguamiento se establecen a través de pruebas básicas que involucran comparaciones entre gráficas histeréticas del experimento y el modelo numérico.

Previamente a la simulación del experimento de Ozden y Ertas [31], con la misma estructura y conexión, se plantearon diferentes parámetros de rigidez normal para observar el comportamiento de la simulación. El coeficiente de amortiguamiento normal utilizado en todas las pruebas es de 0.4, mientras que la carga se incrementa con una razón de 100 kN/s, con la diferencia de que no se detiene tal incremento en la dirección horizontal.

Las curvas de fuerza contra desplazamiento resultantes se observan en la Figura 16. Las cinco curvas tienen en común que empiezan con una pendiente alta y continua, posterior a ello se observa una desestabilización de la curva correspondiente al periodo en que la cara de la viga se separa de la columna para solo mantener contacto con sus dos vértices superiores. Tras la desestabilización, la curva se estabiliza de nuevo con una pendiente inferior a la inicial.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">


{|
|-
| [[Image:Draft_Alvarez_917375397-image16.png|center|0px]]
| [[Image:Draft_Alvarez_917375397-image17-c.png|center|390px]]
|}
</div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Figura 16. Gráfica de Fuerza vs. Desplazamiento en la parte superior de la columna. Se muestran la simulación del modelo con cuatro coeficientes de rigidez distintos. La rigidez de 15 kN fue elegida con base a la fuerza obtenida por una distorsión de 4%, en donde es similar a los 92 kN de fuerza obtenido en el experimento de Ozden y Ertas [31].</span></div>

Para llegar a la distorsión de 4% en la columna, se requieren fuerzas de 80, 90, 120, 140 y 165 kN respectivamente para las simulaciones con coeficientes de rigidez normal de 10, 15, 20, 30 y 40 kN/mm, de modo que se muestra que una conexión genera más rigidez conforme se incrementa el coeficiente de rigidez. De este modo se prevé que con una rigidez normal de 15 kN/mm se pueda obtener una gráfica histerética (con la historia de carga aplicada en el modelo) tal que sea más aproximada a la del experimento, en donde la fuerza aproximada al llegar a la distorsión de 4% es de 92 kN [31], comparada con los 90 kN con el coeficiente de rigidez de 15 Kn/mm.

==3.5. Simulación del modelo experimental==

El modelo matemático tridimensional (Figura 17) fue generado a través de Scilab 5.5.2 [26]. para verificar finalmente la relación de los resultados entre el experimento y la simulación. Para la simulación del apoyo tipo articulación (localizado en la parte inferior de la columna) se realiza una restricción traslacional (X, Y y Z) y rotacional (X y Z). Para el apoyo tipo rodillo, el movimiento traslacional (Y y Z) y rotacional (X, Y y Z) es restringido. Se aplicarán cargas externas en la parte superior de la columna, de manera lateral, de acuerdo con la historia de carga presentada previamente.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 [[Image:Draft_Alvarez_917375397-image18.png|396px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Figura 17. Modelo 3D para la simulación, generado con Scilab 5.5.2 [26].</span></div>

Para la simulación se pueden emplear parámetros distintos de interacción entre los vértices de las partículas, siendo la rigidez y amortiguamiento los utilizados en la simulación con un coeficiente de rigidez normal de 15 kN/mm y un coeficiente de amortiguamiento normal de 0.4. El incremento de la carga lateral es constante en el tiempo, siendo de 100 kN/s. En la Figura 18 se muestra el movimiento que sigue la columna debido a la aplicación de la historia de carga.

<div id="_Hlk97220220" class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 [[Image:Draft_Alvarez_917375397-image19.png|600px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Figura 18. Esquema de comportamiento de conexión con sistema auto-centrante, se muestra un ciclo de aplicación de la historia de carga.</span></div>

=4. Resultados=

Tras la simulación numérica se obtiene un trazado histerético de carga vs distorsión de la columna, el cual se compara con el obtenido en el experimento (Figura 19). Inicialmente se puede observar un comportamiento de la simulación similar al típico en una conexión real, con forma de “S”, teniendo en la parte más central un comportamiento en donde los cuatro vértices de la cara unidos a la columna aún se mantienen unidos. Tras llegar a distorsiones mayores, se disminuye la pendiente en la gráfica, lo cual sucede cuando solamente 2 vértices de la cara de la viga (superior o inferior) se encuentran en contacto con la columna, generando así mayor fuerza en el cable postensado debido al incremento en su longitud.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 [[Image:Draft_Alvarez_917375397-image20.jpeg|600px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Figura 19. Gráfica histerética de Carga vs historia de desplazamiento. Comparación de los resultados experimentales de Ozden y Ertas [31] (en azul) contra los de la simulación con MED (en color rojo). Se observa un diagrama de histéresis bilineal en base a la rigidez aplicada en la simulación.</span></div>

<span id='_Hlk97220404'></span>

La gráfica describe un diagrama de histéresis bilineal utilizando el modelo de Takeda [33], en donde se involucran fuerzas aplicadas a la simulación durante los 39 ciclos de carga hasta un nivel de desplazamiento del 4%, en cada uno de los ciclos existe una rigidez inicial, conforme incrementa la carga, el sistema empieza a desplazarse formando una pendiente de carga, sin embargo esta llega a un punto donde los desplazamientos aumentan exponencialmente, este punto es un factor <math display="inline">\alpha</math>de descarga que permite dentro de la simulación desplazamientos más altos, con menos nivel de carga, llegando a un rigidez de descarga a fuerzas negativas con desplazamientos pequeños, para que posteriormente de manera exponencial disminuya en un punto donde un factor <math display="inline">\beta</math>de recarga incremente las fuerzas completando el ciclo. Según las observaciones experimentales realizadas por Otani [34], lo factores recomendados para obtener un comportamiento similar a los resultados experimentales de Ozden y Ertas [31] en la simulación con MED, para un factor <math display="inline">\alpha</math>de descarga es 0.1 y un factor <math display="inline">\beta</math>de recarga de 0.1.

Como se observa en la Figura 19, hay una diferencia entre los resultados experimentales y analíticos, la carga lateral máxima de avance en la simulación fue de aproximadamente 80 kN, mientras que en el experimento fue de 92 kN (15% de diferencia), además, la carga lateral de retroceso para la simulación fue de -75 kN y en el experimento fue de -89 kN (18% de diferencia). Se muestran diferencias bajas y un comportamiento similar de forma general entre ambas gráficas, al comparar los resultados simulados con el modelo experimental, se obtuvo un error cuadrático medio del 11.60%, en donde el mayor error se encuentra en los cambios de pendiente de carga y descarga durante los 39 ciclos.

Dentro de simulación se utilizaron todos los parámetros que intervienen en el sistema auto-centrante ante una carga dinámica en la base. Los parámetros deben ser analizados dentro de la simulación para mejorar los resultados, como los son el coeficiente de rigidez, el coeficiente de amortiguamiento y las condiciones de contacto y fricción. La cantidad de ciclos fue simulada de manera que se representen los ciclos dentro de la gráfica por cada curva histerética.

=5. Conclusiones=

En este artículo, se realizó la simulación de un prototipo con conexión auto-centrante con un cable postensado en la viga por medio del Método de Elementos Discretos (MED). Este método se comprueba al comparar la historia en el tiempo de la fuerza vs distorsión de la columna, cuya comparación se trató en la sección 3.5. Las conclusiones obtenidas a través de los resultados se pueden resumir en lo siguiente:
* Los resultados de la simulación con MED muestran un buen nivel de consistencia con los resultados del experimento de la conexión auto-centrante al que se sometió el espécimen, lo que indica el potencial y la utilidad de este método para la modelación de estructuras con características auto-centrantes.
* Se encontró una relación entre el modelo experimental y la simulación en los parámetros para una ley de histerisis bilineal, con pendientes de carga y descarga dentro de cada ciclo, formando pendientes en relación con la rigidez y obteniendo resultados de distorsión y fuerzas aplicadas similares entre ambas gráficas.
* Las diferencias observadas entre las gráficas de la modelación numérica y la experimental se deben principalmente al efecto de estabilidad que las partículas muestran cuando se les aplica fuerzas externas, además de las magnitudes de los parámetros que conforman las ecuaciones de interacción y movimiento.
* Es de vital importancia llevar a cabo la etapa de calibración de los parámetros de rigidez y amortiguamiento para así obtener un comportamiento adecuado y que no se presenten problemas de estabilidad en el sistema. Se recomienda que esta calibración se base en los resultados de las gráficas histeréticas experimentales para mayor precisión.
* La comparación del comportamiento del modelo ante distintos coeficientes de rigidez demuestra que puede calibrarse variando parámetros que afectan la interacción entre partículas, tales como el coeficiente de rigidez y de amortiguamiento para los vértices. 
<span id="_Hlk97227982"></span>

Con base en los resultados, podemos resaltar que se requiere de una gran cantidad de fuerza para que la conexión alcance la máxima distorsión dentro de la simulación, por lo que este tipo de estructuras cumplen con el objetivo de resistir fuerzas dinámicas ocasionadas por un sismo, presentando el menor daño posible.

Considerando los buenos resultados obtenidos en este artículo, se alienta a futuras investigaciones en este rubro para la modelación con técnicas perfeccionadas que puedan incluirse con ayuda del Método de Elementos Discretos y diferentes herramientas informáticas.

Es esencial llevar a cabo estudios detallados de los rangos numéricos ideales de los parámetros que forman el sistema, llevando a cabo pruebas experimentales para que se comparen con los resultados numéricos. Con lo anterior se busca tener parámetros de rigidez y amortiguamiento ideales para cada tipo de prueba a realizar, y tras esto, el modelado de conexiones más avanzadas, tales como aquellas que usan elementos de acero reforzado reemplazables para amortiguamiento, elementos amortiguadores por medio de fricción, la simulación con cables pretensados dispuestos a alturas variables de la sección transversal, entre otras variantes para el empleo de estructuras auto-centrantes.

=6. Agradecimientos=

Los autores agradecen al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) del gobierno de México por el apoyo financiero provisto, al Tecnológico de Monterrey y al Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería (CIMNE) por el apoyo recibido.

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