Procedimiento de extrapolación de leyes cohesivas de uniones adhesivas en modo I y II: validación numérica

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'''PROCEDIMIENTO DE EXTRAPOLACIÓN DE LEYES COHESIVAS DE UNIONES ADHESIVAS EN MODO I Y II: VALIDACIÓN NUMÉRICA'''</div>

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'''A. Arrese,  U. Garitaonaindia, I. Adarraga, F. Mujika'''</div>

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MECÁNICA DE MATERIALES Departamento de Ingeniería Mecánica. Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa Universidad del País Vasco (UPV/EHU)</div>

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Plaza Europa 1, 20018 Donostia-San Sebastián</div>

==RESUMEN==

En este trabajo se presenta y valida numéricamente un novedoso procedimiento de extrapolación para predecir las leyes cohesivas de uniones adhesivas en modo I y II.

En primer lugar, partiendo de los métodos de reducción de datos basados en la variación de la flexibilidad recientemente propuestos para extraer las leyes cohesivas, se definen nuevas expresiones factorizadas con respecto a la carga aplicada y a los espesores de adhesivo y adherente de la flexibilidad ('''C'''<sub>0i</sub>), la Integral–''J'' ('''J'''<sub>0i</sub>) y el desplazamiento de la punta de la grieta ('''Δ'''<sub>0i</sub>) para cada modo de fractura.

Suponiendo que todos los efectos asociados al daño se incluyen en la longitud de grieta equivalente, y de acuerdo con las expresiones polinómicas de '''J'''<sub>0i</sub>, '''C'''<sub>0i</sub> y '''Δ'''<sub>0i</sub> con respecto a la misma, se obtienen relaciones invariantes entre '''J'''<sub>0i</sub>-'''C'''<sub>0i </sub>y '''Δ'''<sub>0i</sub>-'''C'''<sub>0i</sub> para cualquier relación de espesores adhesivo-adherente de un sistema material y configuración de ensayo determinados, tanto en modo I como en modo II.

Por último, se presenta un procedimiento de extrapolación basado en las curvas calibradas '''J'''<sub>0i</sub>-'''C'''<sub>0i </sub>y '''Δ'''<sub>0i</sub>-'''C'''<sub>0i</sub>, que permite estimar las leyes cohesivas para un amplio rango de relación de espesores adhesivo-adherente de un sistema material dado procesando únicamente la curva carga-desplazamiento del ensayo.

'''PALABRAS CLAVE: '''Unión adhesiva; Ley cohesiva; Integral J, Modo I; Modo II
-->== '''RESUMEN''' ==
En este trabajo se presenta y valida numéricamente un novedoso procedimiento de extrapolación para predecir las leyes cohesivas de uniones adhesivas en modo I y II.

En primer lugar, partiendo de los métodos de reducción de datos basados en la variación de la flexibilidad recientemente propuestos para extraer las leyes cohesivas, se definen nuevas expresiones factorizadas con respecto a la carga aplicada y a los espesores de adhesivo y adherente de la flexibilidad ('''''C'''''<sub>0i</sub>), la Integral–''J'' ('''''J'''''<sub>0i</sub>) y el desplazamiento de la punta de la grieta ('''''Δ'''''<sub>0i</sub>) para cada modo de fractura.

Suponiendo que todos los efectos asociados al daño se incluyen en la longitud de grieta equivalente, y de acuerdo con las expresiones polinómicas de '''''J'''''<sub>0i</sub>, '''''C'''''<sub>0i</sub> y '''''Δ'''''<sub>0i</sub> con respecto a la misma, se obtienen relaciones invariantes entre '''''J'''''<sub>0i</sub>-'''''C'''''<sub>0i</sub> y '''''Δ'''''<sub>0i</sub>-'''''C'''''<sub>0i</sub> para cualquier relación de espesores adhesivo-adherente de un sistema material y configuración de ensayo determinados, tanto en modo I como en modo II.

Por último, se presenta un procedimiento de extrapolación basado en las curvas calibradas '''''J'''''<sub>0i</sub>-'''''C'''''<sub>0i</sub> y '''''Δ'''''<sub>0i</sub>-'''''C'''''<sub>0i</sub>, que permite estimar las leyes cohesivas para un amplio rango de relación de espesores adhesivo-adherente de un sistema material dado procesando únicamente la curva carga-desplazamiento del ensayo.

'''PALABRAS CLAVE:''' Unión adhesiva; Ley cohesiva; Integral J, Modo I; Modo II 

==ABSTRACT==

In this work, a novel extrapolation procedure to predict the cohesive laws of mode I and II adhesive bonds is presented and numerically validated.

First, starting from the recently proposed flexibility variation based data reduction methods to extract the cohesive laws, new factored expressions are defined with respect to the applied load and the adhesive and adherend thicknesses of the flexibility ('''C'''<sub>0i</sub>), the Integral-J ('''J'''<sub>0i</sub>) and the crack tip displacement ('''Δ<sub>0i</sub>''') for each fracture mode.

Assuming that every effect associated to the damage is included in the equivalent crack length and according to the polynomial expressions of '''J'''<sub>0i</sub>, '''C'''<sub>0i</sub> and '''Δ<sub>0i</sub>''' with respect to it, invariant relationships between '''J'''<sub>0i</sub> -''' C'''<sub>0i</sub> and '''Δ<sub>0i</sub>''' -''' C'''<sub>0i</sub> are obtained for any given adhesive-adhesive thickness ratio of a given material system and test configuration, both in mode I and mode II.

Finally, an extrapolation procedure based on the calibrated '''J'''<sub>0i</sub> -''' C'''<sub>0i</sub> and '''Δ<sub>0i</sub>''' -''' C'''<sub>0i</sub> curves is presented, which allows estimating the cohesive laws for a wide range of adhesive to adherend ratio of a given material system by processing only load-displacement curve.

'''KEYWORDS: '''Adhesive joints; Cohesive law; J-Integral; Mode I; Mode II.

==1 Introducción ==

Unir dos piezas y garantizar que esa unión va a funcionar perfectamente en el campo  y condiciones de operación del producto, con un proceso optimizado y viable técnica y económicamente, no es obvio.

Parte de esa complicación proviene de la creciente demanda de productos que van a trabajar en condiciones hostiles de todo tipo (ambientales, esfuerzos, ataques químicos, de ciclo de operación…) y con la necesidad de diversificar, reducir y abaratar materia prima y peso.

Las uniones adhesivas son cada vez más importantes para las industrias de automoción, eólica y aeroespacial [<span id='cite-1'></span>[[#1|1]],<span id='cite-2'></span>[[#2|2]]], ya que permiten la producción de estructuras livianas que combinan perfectamente aleaciones metálicas con compuestos de matriz polimérica.

El empleo de adhesivos estructurales en este tipo de uniones, en vez de los sistemas tradicionales, como soldadura, tornillos o remaches, no sólo implican una reducción de peso por la eliminación de estos elementos sino que supone una mejora en las características estructurales [<span id='cite-3'></span>[[#3|3]]].

El uso de materiales compuestos y la utilización cada vez más generalizada de adhesivos estructurales frente a otros procesos de unión tradicional implica la necesidad de un conocimiento específico del comportamiento de dichas uniones ante solicitaciones que provocan la separación de las piezas unidas.

Para mejorar los métodos de diseño y modelización de las uniones adhesivas, las propiedades de fractura de los adhesivos deben determinarse de manera confiable experimentalmente, para allanar el camino hacia el desarrollo de herramientas numéricas más precisas para el diseño crítico de dichas juntas.

En este trabajo se pretende desarrollar un nuevo método para la caracterización integral de las uniones adhesivas con la generación de Curvas Maestras (Key Curves) para fractura en modo I y II que permiten obtener las propiedades de los adhesivos con una única probeta para a continuación extrapolar los resultados de una manera sencilla y rápida utilizando únicamente los datos de carga y desplazamiento del ensayo.

==2 Metodología ==

<span id='_Ref2606677'></span><span id='_Ref2606714'></span>Recientemente se ha propuesto un método de reducción de datos basado en la flexibilidad que permite determinar la tasa de liberación de energía ''J'' y el desplazamiento relativo en la punta de grieta ''Δ ''tanto modo I y modo II [<span id='cite-4'></span>[[#4|4]], <span id='cite-5'></span>[[#5|5]]] en función del avance de grieta equivalente.

El método basado en la teoría de la viga supone que todos los efectos asociados al desarrollo del daño están incluidos en la longitud de grieta equivalente obtenida a partir de la variación de la flexibilidad.

Se han derivado expresiones analíticas para la flexibilidad ''C'', el desplazamiento relativo en la punta de grieta ''Δ'' y la J-Integral, todas ellas función de las propiedades elásticas de los adherentes, la configuración del ensayo, las dimensiones de la sección transversal de las probetas, la carga aplicada y la longitud de grieta  equivalente (''a''<sub>e</sub>).

Reescribiendo las expresiones de ''C'', la ''Δ'' y la J-Integral en forma de una multiplicación de funciones separadas, se definen nuevas expresiones factorizadas con respecto a la carga aplicada y a los espesores de adhesivo y adherente, de la flexibilidad ('''C'''<sub>0i</sub>), la Integral–''J'' ('''J'''<sub>0i</sub>) y el desplazamiento de la punta de la grieta ('''Δ'''<sub>0i</sub>) para cada modo de fractura.

Suponiendo que todos los efectos asociados al daño se incluyen en la longitud de grieta equivalente, y de acuerdo con las expresiones polinómicas de '''J'''<sub>0i</sub>, '''C'''<sub>0i</sub> y '''Δ'''<sub>0i</sub> con respecto a la misma, se obtienen relaciones invariantes entre '''J'''<sub>0i</sub>-'''C'''<sub>0i </sub>y '''Δ'''<sub>0i</sub>-'''C'''<sub>0i</sub> para cualquier relación de espesores adhesivo-adherente de un sistema material y configuración de ensayo determinados, tanto en modo I como en modo II.

Si las curvas invariantes se calibran para un sistema material y una configuración de ensayo determinados, entonces sería posible extrapolar la J y la Δ, y en consecuencia, la ley de cohesiva para diferentes espesores adhesivo-adherente del mismo sistema de materiales y configuración de ensayo procesando únicamente con la curva carga-desplazamiento tanto en modo I como en modo II.

==3 Verificación del método propuesto. ==

Se ha llevado a cabo un análisis de elementos finitos bidimensional para examinar la idoneidad del procedimiento de reducción de datos propuesto para extraer la ley de cohesiva para el ensayo ENF y DCB,

En el ensayo ENF, la luz entre apoyos es 2L = 120 mm y la anchura es w= 25 mm; en la configuración del ensayo DCB, la anchura también es w= 25 mm. En ambos las propiedades elásticas correspondientes al adherente se muestran en la '''Tabla 1'''.

==Tabla 1. Propiedades del adherente.==

{| style="width: 60%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;" 
|-
|  style="text-align: right;"|''E<sub>11</sub>''
|  style="text-align: center;"|144.7 GPa 
|  style="text-align: right;"|''E<sub>22</sub>=E<sub>33</sub>''
|  style="text-align: center;"|10.6 GPa
|  style="text-align: right;"|''G<sub>23</sub>''
|  style="text-align: center;"|2.8 GPa
|-
|  style="text-align: right;"|''G<sub>12</sub>=G<sub>13</sub>''
|  style="text-align: right;"|5.3 GPa
|  style="text-align: right;"|''ν<sub>12</sub>=ν<sub>13</sub>''
|  style="text-align: center;"|0.34 
|  style="text-align: right;"|''ν<sub>23</sub>''
|  style="text-align: center;"|0.4
|}


En el modelo desarrollado en ABAQUS se han utilizando elementos de deformación plana 2D de cuatro nodos (CPE4) para el adherente y elementos cohesivos de cuatro nodos (COH2D4) para simular el adhesivo. El efecto de los rodillos de carga y de apoyo no se ha tenido en cuenta en el modelo de ENF.

Debido a que el objetivo es verificar la idoneidad del procedimiento de extrapolación y la precisión de las leyes cohesivas extraídas, una vez calibradas las curvas maestras tanto para modo I como para modo II, se han simulado diferentes configuraciones de probeta, variando tanto el espesor del adherente como del adhesivo y variando a su vez las propiedades cohesivas del adhesivo.

En la''' Fig.1 '''se muestran las curvas '''J'''<sub>0i</sub>-'''C'''<sub>0i </sub>y '''Δ'''<sub>0i</sub>-'''C'''<sub>0i</sub> para diferentes ensayos en modo I, donde se mantienen las propiedades del adherente y variando tanto las dimensiones de la probeta como las propiedades cohesivas del adhesivo.

De acuerdo con la '''Fig. 1''', se puede validar numéricamente que las curvas '''J'''<sub>0I</sub>-'''C'''<sub>0I </sub>y '''Δ'''<sub>0I</sub>-'''C'''<sub>0I</sub> son invariantes para un sistema material y una configuración de ensayo determinados. Se han obtenido resultados similares en el caso del ensayo ENF.

[[Image:Draft_Arrese_189193530-image1.png|600px]]

Figura 1. Curvas J<sub>0I</sub>-C<sub>0I </sub>y Δ<sub>0I</sub>-C<sub>0I.</sub>enmodo I.

Asumiendo el carácter invariante de las curvas '''J'''<sub>0I</sub>-'''C'''<sub>0I </sub>y '''Δ'''<sub>0I</sub>-'''C'''<sub>0I</sub>, es posible extraer las ''Curvas Maestras'' tanto para modo I como para modo II a partir de los datos una única probeta siguiendo el diagrama de flujo que se muestra en la Fig. 2 .

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 [[Image:Draft_Arrese_189193530-image2-c.jpeg|366px]] </div>

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Figura 2. Diagrama de flujo para obtener las Curvas Maestras </div>

Como ejemplo, en la '''Fig. 3''' se muestran las curvas maestras para el ensayo en modo II.

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 [[Image:Draft_Arrese_189193530-image3.png|600px]] Figura 3. Curvas Maestras enmodo II. </div>

Una vez obtenidas las ''Curvas Maestras'' en modo I y Modo II, siguiendo el procedimiento de extrapolación que se muestra en la Fig. 4, se pueden extrapolar los resultados a diferentes configuraciones de probeta procesando únicamente la curva carga desplazamiento.

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 [[Image:Draft_Arrese_189193530-image4-c.jpeg|366px]] </div>

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Figura 4. Diagrama de flujo para extrapolar la ley cohesiva</div>

En las siguientes figuras se muestran los resultados obtenidos aplicando el procedimiento de extrapolación para los diferentes ensayos DCB y ENF.

En la '''Fig.5''' se muestran las leyes cohesivas en modo I extrapoladas variando el espesor del adherente desde 1,5 mm a 3,5mm, la tenacidad a la fractura en modo I entre 1000N/m y 5000N/m y la forma de la ley cohesiva.

[[Image:Draft_Arrese_189193530-image5.png|600px]]

Figura 5. Leyes cohesivas extrapoladas en modo I.

En la '''Fig. 6''' se muestran las leyes cohesivas en modo II extrapoladas variando el espesor del adherente desde 1,5 mm a 2,5mm, el espesor del adhesivo de 0 a 0,4 mm, la tenacidad a la fractura en modo II entre 5000N/m y 12000N/m y la forma de la ley cohesiva.

[[Image:Draft_Arrese_189193530-image6.png|600px]]

Figura 6. Leyes cohesivas extrapoladas en modo II.

Según la''' Figs. 5''' y '''6''', el procedimiento de extrapolación presentado permite estimar la ley cohesiva para un determinado sistema material variando los espesores del adhesivo y del adherente procesando únicamente la curva carga-desplazamiento, calibrando previamente las curvas maestras mediante los datos de ensayo de una única probeta.

==4 Conclusiones==

Se ha presentado un novedoso método de extrapolación para predecir las leyes cohesivas de modo I y II de uniones adhesivas que permite estimar las leyes cohesivas para un amplio rango de relación adhesivo/adherente de un sistema de materiales y una configuración de ensayo determinados.

==5 Agradecimientos==

Los autores agradecen a la Universidad del País Vasco (UPV/EHU) la financiación del Grupo de Investigación Mecánica de Materiales GIU 20/060.

==6 Referencias==

<div id="1"></div>
[[#cite-1|[1]]] Badwe, N., Mahajan, R., Sieradzki, K., 2016. Interfacial fracture strength and toughness of copper/epoxy-resin interfaces. Acta Materialia 103, 512–518. doi: 10. 1016/j.actamat.2015.10.009 .

<div id="2"></div>
[[#cite-2|[2]]] Banea, M.D., da Silva, L.F.M., 2009. Adhesively bonded joints in composite materials: an overview. J. Mater. Design Appl. 223 (1), 1–18. doi: 10.1243/14644207 .

<div id="3"></div>
[[#cite-3|[3]]] T.A Barnes, I.R. Pashby, ''Journal of Materials Processing Technology''. '''99,''' pág. 72-79 (2000). [https://doi.org/10.1016/S0924-0136 https://doi.org/10.1016/S0924-0136](99)00361-1

<div id="4"></div>
[[#cite-4|[4]]] A. Arrese, A. Boyano, J. de Gracia, F. Mujika, ''Composites Science and Technology,'' '''152''', pág. 76- 84, (2017) [https://doi.org/10.1016/j.compscitech.2017.09.012 https://doi.org/10.1016/j.compscitech.2017.09.012]

<div id="5"></div>
[[#cite-5|[5]]] A. Arrese, N. Insausti, F. Mujika, M. Perez-Galmés, J. Renart, ''Composites Science and Technology,'' '''170''', pág. 42–50, (2019) [https://doi.org/10.1016/j.compscitech.2018.11.031 https://doi.org/10.1016/j.compscitech.2018.11.031]