Micromechanical modeling of the non-linear behaviour of angle-ply laminates under different plane-stress states



<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
'''Modelado micromecánico del comportamiento no lineal de laminados angle-ply ante diferentes estados de tensión plana'''</div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
S. Horta Muñoz<sup>1</sup>, M.C. Serna Moreno<sup>1</sup>, D. Garoz<sup>2,3</sup>, R.D.B. Sevenois<sup>2</sup>, W. Van Paepegem<sup>2</sup></div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<sup>1</sup>Universidad de Castilla-La Mancha, Escuela de Ingeniería Industrial y Aeroespacial de Toledo, Departamento de Mecánica Aplicada e Ingeniería de Proyectos, </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
Instituto de Investigación Aplicada a la Industria Aeronáutica, </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
Av. Carlos III, Real Fábrica de Armas, 45004 Toledo, España.</div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<sup>2</sup>Ghent University, Department of Material, Textile and Chemical Engineering,</div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
Technologiepark 46, 9052 Zwijnaarde, Belgium</div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<sup>3</sup>Universidad Politécnica de Madrid,  Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales</div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
Departamento de Ingeniería Energética, Instituto de Fusión Nuclear - "Guillermo Velarde".</div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
José Gutierrez Abascal 2, 28006 Madrid, España.</div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
'''RESUMEN'''</div>

El comportamiento no lineal que aparece en laminados angle-ply simétricos formados por capas unidireccionales de matriz polimérica reforzada con fibra de carbono (CFRP), conocido como pseudo-ductilidad, ha sido previamente estudiado numérica y experimentalmente bajo diferentes cargas uniaxiales, biaxiales y de flexión. Este fenómeno está asociado con diferentes mecanismos que afectan el comportamiento mecánico del material: grandes deformaciones permanentes, reorientación de fibras y agrietamiento de la matriz. El presente estudio se basa en un enfoque microescala mediante simulaciones basadas en el Método de los Elementos Finitos (FEM), con el objetivo de predecir la respuesta homogenizada de estos laminados sometidos a cargas multiaxiales en el plano. El modelo micromecánico se basa en un Elemento de Volumen Representativo (RVE) donde se aplican Condiciones de Contorno Periódicas (PBC), junto con un modelo material no lineal de la matriz y una interfaz cohesiva entre fibra y matriz. Además, la implementación del modelo es actualizada para poder reproducir cualquier estado de tensión plana en un laminado [+-45]<sub>S</sub>, sin necesidad de recurrir a otros modelos meso- o macroescala.

Keywords: Micromecánica; Pseudo-ductilidad; Método de los Elementos Finitos; laminado angle-ply; RVE

=1. Introducción =

Los materiales compuestos de matriz polimérica reforzados con fibra (FRP) han representado un importante avance en el diseño de estructuras con altos requisitos mecánicos, en situaciones en las que se requiere un conocimiento muy preciso del comportamiento, y en concreto de la aparición de daños con el fin de asegurar la seguridad estructural. En particular, los laminados formados mediante el apilado de capas con fibra unidireccional (UD) permiten optimizar las propiedades mecánicas en ciertas direcciones mediante la elección apropiada de la secuencia de apilamiento. La gran variación de las propiedades de estos materiales en función de su secuencia de laminado, el comportamiento micro-anisótropo, su heterogeneidad y la gran variedad de modos de fallo del material dificultan predecir su comportamiento en servicio. Cuando un material compuesto está sujeto a carga, la matriz puede desarrollar grietas, se pueden producir delaminaciones entre capas, o las fibras pueden separarse de la matriz y fallar. Estos mecanismos de daño conllevan a un fallo que puede ser localizado o global del material compuesto, lo que resulta en la necesidad de tomar diferentes medidas de inspección y/o reparación. El análisis, caracterización experimental y desarrollo de simulaciones numéricas de la propagación del daño y los modos de fallo es una parte fundamental del diseño de estructuras con FRP.

En aplicaciones como, por ejemplo, la aeroespacial o la construcción de aerogeneradores, ejemplos frecuentes del empleo de laminados, nos encontramos con estructuras sometidas a carga en diferentes direcciones, pero que, debido a la geometría y estado de cargas, se pueden reducir en numerosas ocasiones a un estado de tensión plana, donde las tensiones significativas son las dos tensiones normales y la tensión tangencial en el plano. Por tanto, se requiere un conocimiento del comportamiento mecánico ante cargas multiaxiales, o al menos biaxiales, para poder diseñar adecuadamente dichas estructuras.

En este tipo de material compuesto las láminas generalmente presentan un comportamiento ortótropo lineal elástico frágil en direcciones principales, mientras que los estados de tensión tangencial sobre la lámina promueven un comportamiento con grandes deformaciones angulares [1,2]. En este sentido, se ha demostrado que los laminados angle-ply exhiben el conocido fenómeno de la pseudo-ductilidad, que permite alcanzar grandes deformaciones antes del fallo final del laminado [3-6]. Dicho fenómeno es producido en presencia de componentes tangenciales de tensión ( <math display="inline">{\tau }_{12}</math>), promoviendo notables deformaciones permanentes de la matriz, lo que simultáneamente permite una reorientación de las fibras hacia las direcciones de carga.

Los estudios previos sobre este fenómeno no lineal [3-9] han detallado la presencia de este comportamiento pseudo-dúctil en laminados angle-ply con múltiples configuraciones bajo cargas de tracción y compresión uniaxial. Una de las conclusiones extraídas de estos trabajos es la mayor relevancia del efecto de la pseudo-ductilidad y de la rotación de las fibras en los laminados [±45°]<sub>nS</sub>. El reciente trabajo de Serna Moreno y Horta Muñoz [9] recoge en detalle la evolución no lineal en las tres etapas características del comportamiento pseudo-dúctil en laminados [±45]<sub>2S</sub> y [±45]<sub>2S</sub> ante cargas de tracción cíclica y compresión, respectivamente. De esta forma, los autores son capaces de evaluar la pérdida de rigidez del material con respecto a la energía elástica disipada en las diferentes etapas, proponiendo un modelo de daño que predice el cambio de rigidez del material, apoyando sus observaciones en los mapas de deformación obtenidos mediante correlación digital de imagen. No obstante, la última etapa tensión-deformación del material no se puede recoger con un modelo de daño progresivo basado en un parámetro aparente. Es necesario recurrir al estudio de los mecanismos que alteran el comportamiento micromecánico del material para cubrir completamente la respuesta, como se puede extraer del trabajo de otros autores como Chevalier et al. [10] y Sui et al. [11].

En el presente estudio se plantea el esquema de trabajo que se centrará en el desarrollo de modelos de micromécanica para predecir la iniciación y evolución del daño ante situaciones realistas de carga-descarga biaxiales y de cortadura en diferentes laminados angle-ply. Esta metodología además permitiría estimar la resistencia y rigidez residual en presencia de daño utilizando técnicas de homogeneización de tensiones y deformaciones en el RVE.

=2. Estudios experimentales y numéricos previos=

El material empleado durante este trabajo consiste en un preimpregnado de resina epoxi reforzado con fibra de carbono UD de alta resistencia de la compañía Hexcel®, con denominación comercial M21E/34%/UD268/IMA-12K, que ha sido aportado por la compañía Airbus Group, localizada en Illescas (Toledo).

Este material ha sido caracterizado mediante ensayos estandarizados en trabajos previos [7-9,12], recogiendo sus propiedades elásticas, así como los parámetros característicos de los constituyentes y la lámina, en la Tabla 1, diferenciando las propiedades a tracción y compresión con los superíndices ''t'' y ''c'' respectivamente.

Tabla 1. Propiedades de la lámina y constituyentes del preimpregnado M21E/IMA-12K [7-9,12].

{| style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;" 
|-
|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>{E}_{1}^{t}</math>

(GPa)
|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math display="inline">{E}_{2}^{t}</math>= <math display="inline">{E}_{3}^{t}</math>

(GPa)
|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>{\nu }_{12}^{t}={\nu }_{13}^{t}</math>
|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>{\nu }_{23}^{t}</math>
|  style="border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math display="inline">{G}_{12}</math>= <math display="inline">{G}_{13}</math>

(GPa)
|-
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|177.56
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|11.84
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|0.39
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|0.36
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|5.42
|-
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>{E}_{1}^{c}</math>

(GPa)
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math display="inline">{E}_{2}^{c}</math>= <math display="inline">{E}_{3}^{c}</math>

(GPa)
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>{\nu }_{12}^{c}={\nu }_{13}^{c}</math>
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>{\nu }_{23}^{c}</math>
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|<math>{G}_{23}</math>

(GPa)
|-
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|133.00
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|9.14
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|0.19
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|0.03
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|3.10
|-
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|Fracción de resina en peso
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|Gramaje de fibra (g/m<sup>2</sup>)
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|Densidad de la fibra (g/cm<sup>3</sup>)
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|Diámetro de fibra (µm)
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;"|Fracción volumétrica de fibra
|-
|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;"|34%
|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;"|268
|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;"|1.79
|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;"|5.1
|  style="border-top: 1pt solid black;text-align: center;"|58%
|}


Además, trabajos previos de los autores [7-9,13] han mostrado el potencial de distintas configuraciones de laminados angle-ply simétricos formados por capas de este material para soportar grandes deformaciones sin perder capacidad resistente, siendo las orientaciones de fibra a ±45º las que presentan mayor pseudo-ductilidad. Como ya se ha comentado, en el estudio [9] se ha analizado en detalle la respuesta no-lineal de laminados ±45º formados por capas de M21E/IMA12K ante cargas uniaxiales de tracción y de compresión. Cuando se ha estudiado la respuesta biaxial de laminados angle-ply mediante probetas cruciformes [8,13], se ha observado diferentes grados de no-linealidad en las diferentes regiones de la probeta cruciforme. Se considera por tanto de especial interés para una correcta determinación de la respuesta multiaxial, tanto de la lámina como de diferentes secuencias de laminado angle-ply, corroborar la influencia de posibles no linealidades registradas experimentalmente mediante simulaciones numéricas, empleando la combinación de simulaciones a diferente escala (Figura 1) para recoger adecuadamente el comportamiento altamente no lineal del material. La campaña experimental, que recoge ensayos de tracción/compresión uniaxial y biaxial queda descrita en [8,13].

[[Image:Review_552500695968-image1-c.png|600px]]

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
Figura 1. Esquema de ensayo biaxial y modelados numéricos con diferente enfoque.</div>

=3. Planteamiento del modelo micromecánico=

Los modelos numéricos basados en simulaciones micromecánicas mediante el Método de los Elementos Finitos (FEM) generalmente utilizan un elemento de volumen representativo (RVE) a nivel de capa que puede incluir una o varias fibras rodeadas por la matriz teniendo en cuenta las propiedades de ambos constituyentes y la posible decohesión de su interfaz. El RVE representa la microestructura de un material heterogéneo de forma que pueda ser considerado estadísticamente heterogéneo a nivel macroscópico [14], esto es, es el mínimo volumen necesario para capturar el comportamiento a microescala de un punto material. En literatura se pueden encontrar diferentes enfoques de RVE [15-20] en los que se varían la geometría, de forma que se modelan una o varias fibras, y se imponen diferentes tipos de condiciones de contorno en las superficies laterales. Dentro de estos enfoques, destaca el uso de RVEs geométricamente periódicos sometidos a condiciones de contorno periódicas (PBCs). Estas PBCs se implementan como ecuaciones que relacionan el desplazamiento entre nodos en las caras opuestas del RVE, de tal forma que se produzca una deformación periódica del elemento, lo que se define en la ecuación 1.

{| class="formulaSCP" style="width: 100%;border-collapse: collapse;width: 100%;text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center;vertical-align: top;margin:auto;width: 100%;"
|-
| <math>{u}_{j}^{i+}-{u}_{j}^{i-}={\epsilon }_{ij}^{H}\, {L}_{i}\,</math> 
|}
|  style="text-align: center;vertical-align: top;width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;"|(1)
|}


donde <math display="inline">{u}_{j}</math> representa el desplazamiento en el grado de libertad ''j'', ''i+'' e ''i-'' representan las caras opuestas del RVE cuya normal coincide con el eje ''i'', <math display="inline">{\epsilon }_{ij}^{H}</math> es la componente ''ij'' de deformación homogeneizada del RVE, <math display="inline">{L}_{i}</math> es la dimensión en la dirección ''i'', todas ellas para <math display="inline">i,j\, =</math><math>\, (x,y,z)</math>. La figura 2 permite comprender visualmente el significado de la anterior expresión, en la cual se han resaltado en rojo la superficie ''x+'', y en verde la ''y+''.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 [[Image:Review_552500695968-image2.png|186px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
Figura 2. Representación gráfica de un RVE de FRP, en el cual se destacan algunas de las superficies y dimensiones involucradas en la formulación de las PBCs.</div>

Utilizando técnicas de homogeneización de las tensiones y las deformaciones, estos modelos microescala se pueden emplear para estimar las propiedades equivalentes de una lámina (mesoescala) o incluso de todo el laminado (macroescala), siendo estos modelos utilizables para estudiar la respuesta ante estados de tensión plana.

Para llevar a cabo estos estudios, en el trabajo actual se emplea el software de simulación ABAQUS/Standard 2021 empleando la definición de PBCs sobre un RVE periódico, apoyándose de la capacidad de realizar estudios paramétricos mediante ABAQUS Scripting. Se analizarán en primer lugar los parámetros geométricos que puedan tener efecto sobre el resultado homogeneizado. Posteriormente, se emplearán modelos de daño progresivo (PDM), deformación permanente de la matriz polimérica, y modelos de separación de la interfaz fibra-matriz para recoger convenientemente la propagación de daños en diferentes modos. La Figura 3 recoge el resultado de un estudio preliminar, donde se observa la elevada deformación angular permanente que puede producirse en la matriz polimérica ante estados de carga como los mencionados anteriormente. Se observa como la deformación permanente se acumula principalmente en las zonas de resina comprendidas entre fibras cercanas (en color gris en la Figura 3).

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<big>''' [[Image:Review_552500695968-image3-c.png|198px]] '''</big></div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
Figura 3. Deformación permanente en lamina sometida a cargas de cortadura</div>

El modelado numérico estará apoyado por la extensa caracterización de la respuesta mecánica ante cargas uniaxiales tanto de la lámina como de diferentes secuencias de laminado, y servirá para corroborar los estados biaxiales de carga ya reproducidos experimentalmente, con el último fin de establecer un marco de simulación que permita la predicción del comportamiento mecánico ante cualquier estado de tensión plana sobre laminados angle-ply.

=4. Agradecimientos=

La publicación forma parte del proyecto PDC2021-121154-I00, financiado por MCIN/ AEI/ 10.13039/ 501100011033 y por la Unión Europea “NextGenerationEU/ PRTR”. Asimismo, debe agradecerse las subvenciones de la Junta de Castilla-La Mancha por el proyecto regional SBPLY/19/180501/0000170 y al Ministerio de Economía y Competitividad de España junto con el Fondo Europeo de Desarrollo Regional por el proyecto nacional DPI2016-77715-R. El primer autor también agradece el apoyo brindado por la Universidad de Castilla-La Mancha (UCLM) y el Fondo Europeo de Desarrollo Regional (FEDER) mediante la ayuda 2020/3771, así como la financiación recibida para la estancia realizada en la Universidad de Gante (Bélgica). Ambos autores quisieran agradecer a la empresa Airbus por proporcionar el material utilizado en la preparación de las probetas empleadas en la campaña experimental.

==Referencias==

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[20] D. Garoz, F.A. Gilabert, R.D.B. Sevenois, S.W.F. Spronk, W. Van Paepegem, Consistent application of periodic boundary conditions in implicit and explicit finite element simulations of damage in composites, Compos Part B 168, 254–266 (2019).