Two-plane bending test applied to unidirectional composite laminates

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<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<big>Ensayo de flexión de dos planos aplicado a laminados composites unidireccionales</big></div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
U. Garitaonaindia<sup>a</sup>, N. Carbajal<sup>a</sup>, M. Isasa<sup>a</sup>, F.Mujika<sup>a</sup></div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<span style="text-align: center; font-size: 75%;"><sup>a</sup>GRUPO MATERIALES + TECNOLOGÍAS / MECÁNICA DE MATERIALES</span></div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Departamento de Ingeniería Mecánica. Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa</span></div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Universidad del País Vasco (UPV/EHU) </span></div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<span style="text-align: center; font-size: 75%;">Plaza de Europa 1, 20018 Donostia - San Sebastián, España</span></div>

==RESUMEN==

En este trabajo se analiza el ensayo de flexión de dos planos para caracterizar el comportamiento de laminados composites unidireccionales. Este ensayo consiste en una placa plana apoyada en cuatro puntos al que se aplica una fuerza puntual en el centro. Actualmente esta configuración no está resuelta matemáticamente para materiales ortótropos.

Inicialmente, se ha analizado mediante simulación numérica y aproximación analítica los desplazamientos y los momentos flectores producidos en placas de material isótropo. Se han corroborado los resultados obtenidos con otros trabajos publicados en la literatura científica.

Posteriormente, se han aplicado los modelos numéricos y el desarrollo analítico a placas formadas con material ortótropo, en la configuración del ensayo de flexión de dos planos. Para ello se han analizado placas rectangulares con diferente relación de aspecto, con el fin de obtener distintas relaciones de tensiones a lo largo de la fibra y en dirección perpendicular a ésta.

Por último, se han comparado los resultados obtenidos tanto mediante la simulación numérica como mediante la aproximación analítica, con ensayos experimentales realizados sobre probetas de material composite unidireccional formadas por matriz epoxi y fibra de carbono.

==PALABRAS CLAVE==

Laminados unidireccionales, Ensayo de flexión, Simulación numérica, Aproximación analítica.

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<big>Two-plane bending test applied to unidirectional composite laminates</big></div>
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==ABSTRACT==

This paper analyses the two-plane bending test to characterise the behaviour of unidirectional composite laminates. This test consists of a flat plate supported at four points to which a point force is applied at the centre. Currently, this configuration is not mathematically solved for orthotropic materials.

Initially, the displacements and bending moments produced in plates of isotropic material have been analysed by means of numerical simulation and analytical approach. The results obtained have been corroborated with other works published in the scientific literature.

Subsequently, the numerical models and the analytical development have been applied to plates formed with orthotropic material, in the configuration of the two-plane bending test. For this purpose, rectangular plates with different aspect ratio have been analysed in order to obtain different stress ratios along the fibre and perpendicular to it.

Finally, the results obtained both by numerical simulation and by the analytical approach have been compared with experimental tests carried out on unidirectional composite specimens made of epoxy matrix and carbon fibre.

==KEYWORDS==

Unidirectional laminates, Bending test, Numerical method, Analytical approach.

==1 Introducción==

En una amplia gama de aplicaciones de ingeniería, las placas rectangulares delgadas que descansan sobre apoyos tienen una importancia considerable, ya que representan un elemento básico de varios elementos estructurales. Su flexión bajo cargas externas se convierte, por tanto, en un comportamiento mecánico de crucial importancia, y ha recibido suficiente atención durante muchos años. La investigación continúa porque algunas cuestiones críticas, que buscan soluciones analíticas, todavía no han sido investigadas. El modelo analítico no sólo aporta soluciones precisas, sino que también es muy útil para las directrices de diseño.

<span id='_Ref102152595'></span>Timoshenko y Woinowsky-Krieger [<span id='cite-1'></span>[[#1|1]]] analizaron el comportamiento a flexión de placas en diferentes configuraciones de carga y contorno.

<span id='_Ref102152539'></span>Recientemente, se ha desarrollado también diversos procedimientos matemáticos [<span id='cite-2'></span>[[#2|2]]-<span id='cite-3'></span>[[#3|3]]-<span id='cite-4'></span>[[#4|4]]] para analizar la flexión de placas con sus lados o vertices apoyados. De entre ellos, cabe destacar el análisis realizado por Li et al [<span id='cite-5'></span>[[#5|5]]] en el que se propone una solución analítica para problemas de flexión estática y de vibración libre de placas delgadas rectangulares.

Además, Mujika et al [<span id='cite-6'></span>[[#6|6]]] dedujeron el campo de desplazamiento de una probeta unidireccional sometido a un ensayo de flexión de tres puntos aplicando el segundo teorema de Castigliano y el método de la carga unitaria. También fue desarrollado por Mujika [<span id='cite-7'></span>[[#7|7]]] un nuevo enfoque para el ensayo de flexión en tres puntos de laminados multidireccionales utilizando la energía de deformación complementaria e incluyendo las fuerzas higrotérmicas.

Por otra parte, se han publicado muchos trabajos analizando los desplazamientos y tensiones producidas en placas de materiales compuestos con diferentes condiciones de carga y contorno mediante aproximaciones numéricas. La técnica más empleada es el Método de los Elementos Finitos (MEF) [<span id='cite-8'></span>[[#8|8]]-<span id='cite-9'></span>[[#9|9]]].

El objetivo de este trabajo es desarrollar un procedimiento analítico para el ensayo de flexión de dos planos. Este ensayo consiste en una placa apoyada en cuatro puntos al que se aplica una fuerza puntual en el centro. El procedimiento matemático para materiales ortótropos en esta configuración de ensayo no está resuelta actualmente. Con el fin de caracterizar el comportamiento de los laminados composites unidireccionales, se han analizado placas rectangulares de con diferente relación de aspecto. Se han utilizado métodos numéricos para constrastar los resultados analíticos y se han realizado ensayos experimentales sobre probetas de material composite unidireccional formadas por matriz epoxi y fibra de carbono.

==2 Aproximaciones analíticas==

===2.1 Placas de material isótropo con los cuatro lados apoyados===

En los artículos 34 y 35 de ''Theory of Plates and Shells'' [1] se describen los procedimientos matemáticos para el cálculo de desplazamientos en placas con los cuatro lados simplemente apoyados.

Para el caso en el que la fuerza puntual está aplicada en el centro de la placa, la ecuación (1) define el desplazamiento vertical w de los puntos de la placa contenidos en el eje de simetría x:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math display="inline">{\left( w\right) }_{y=0}=\frac{P{a}^{2}}{2{\pi }^{3}D}\sum _{m=1}^{\infty }\left( \mathrm{tanh}\,{\propto }_{m}-\, \frac{{\propto }_{m}}{{cosh}^{2}{\propto }_{m}}\right) \frac{\mathrm{sin}\,\frac{m\pi \xi }{a}\, \mathrm{sin}\,\frac{m\pi x}{a}}{{m}^{3}}</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (1)
|}


Mientras que la ecuación (2) define el momento flector M<sub>x</sub>, también el los puntos de la placa contenidos en el eje x:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math display="inline">{\left( {M}_{x}\right) }_{\mathit{\boldsymbol{y=0}}}=</math><math>\frac{\mathit{\boldsymbol{P}}}{\mathit{\boldsymbol{2}}\mathit{\boldsymbol{\pi }}}\sum _{\mathit{\boldsymbol{m=1}}}^{\mathit{\boldsymbol{\infty }}}\frac{\mathrm{\mathit{\boldsymbol{sin}}}\,\frac{\mathit{\boldsymbol{m\pi \xi }}}{\mathit{\boldsymbol{a}}}\mathit{\boldsymbol{~}}}{m}\left[ \left( 1+\mathit{\boldsymbol{\nu }}\right) \mathrm{\mathit{\boldsymbol{tanh}}}\,{\mathit{\boldsymbol{\propto }}}_{\mathit{\boldsymbol{m}}}\mathit{\boldsymbol{+}}\frac{\left( 1-\mathit{\boldsymbol{\nu }}\right) {\mathit{\boldsymbol{\propto }}}_{\mathit{\boldsymbol{m}}}}{{\mathit{\boldsymbol{~}}cosh}^{2}{\mathit{\boldsymbol{\propto }}}_{\mathit{\boldsymbol{m}}}}\right] \mathrm{\mathit{\boldsymbol{sin}}}\,\frac{\mathit{\boldsymbol{m\pi x}}}{\mathit{\boldsymbol{a}}}</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2)
|}


Donde,

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math display="inline">D=\, \frac{E{h}^{3}}{12\, \left( 1-\, {\nu }^{2}\right) }</math>   y        <math display="inline">{\propto }_{m}=</math><math>\, \frac{m\pi b}{2a}</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (3)
|}


Siendo ''E'' el módulo de elasticidad y ''&#x03bd;'' el coeficiente de Poisson.

Se ha aplicado este procedimiento en una placa cuadrada de lados ''a'' = ''b'' = 50 mm y espesor ''h'' = 2 mm, a la que se ha aplicado una fuerza puntual de 5320 N en el centro. Se ha considerado el material isótropo con un módulo de elasticidad E = 210 GPa y coeficiente de Poisson &#x03bd; = 0,3.

En la Tabla 1 se muestran los valores de los desplazamientos verticales w y los valores del momento flector M<sub>x</sub>, de los puntos situados en el eje x a una distancia de 1 mm y 25 mm del eje y.

{| style="width: 100%;margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;" 
|-
|  colspan='2'  style="border-bottom: 2pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|'''Tabla 1.'''
|  colspan='4'  style="border-bottom: 2pt solid black;text-align: center;"|Desplazamiento vertical (w) <sub>y=0</sub>
|  colspan='4'  style="border-bottom: 2pt solid black;text-align: center;vertical-align: top;"|Momento flector (M<sub>x</sub>) <sub>y=0</sub>
|-
|  style="border-top: 2pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|m
|  style="border-top: 2pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;border-right: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|α<sub>m</sub>
|  style="border-top: 2pt solid black;border-left: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: bottom;"|x =
|  style="border-top: 2pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|1 mm
|  style="border-top: 2pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|…
|  style="border-top: 2pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;border-right: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|25 mm
|  style="border-top: 2pt solid black;border-left: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: bottom;"|x =
|  style="border-top: 2pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|1 mm
|  style="border-top: 2pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|…
|  style="border-top: 2pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|25 mm
|-
|  style="border-top: 2pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|1
|  style="border-top: 2pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;border-right: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: bottom;"|1,5707
|  style="border-top: 2pt solid black;border-left: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: bottom;"|
|  style="border-top: 2pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: bottom;"|4,19E-02
|  style="border-top: 2pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|…
|  style="border-top: 2pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;border-right: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: bottom;"|6,68E-01
|  style="border-top: 2pt solid black;border-left: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: bottom;"|
|  style="border-top: 2pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: bottom;"|6,39E-02
|  style="border-top: 2pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|…
|  style="border-top: 2pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: bottom;"|1,02E+00
|-
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|2
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;border-right: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: bottom;"|3,1415
|  style="border-top: 1pt solid black;border-left: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: bottom;"|
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: bottom;"|1,87E-18
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|…
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;border-right: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: bottom;"|1,83E-33
|  style="border-top: 1pt solid black;border-left: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: bottom;"|
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: bottom;"|9,82E-18
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|…
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: bottom;"|9,60E-33
|-
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|⁞
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;border-right: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|⁞
|  style="border-top: 1pt solid black;border-left: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|⁞
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<math>\ddots</math> 
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;border-right: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|⁞
|  style="border-top: 1pt solid black;border-left: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|⁞
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|<math>\ddots</math> 
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|
|-
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|100
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;border-right: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|157,07
|  style="border-top: 1pt solid black;border-left: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|-2,40E-37
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|…
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;border-right: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: bottom;"|9,60E-37
|  style="border-top: 1pt solid black;border-left: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|-3,12E-33
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|…
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: bottom;"|1,25E-32
|-
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|101
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;border-right: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|158,65
|  style="border-top: 1pt solid black;border-left: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|6,09E-08
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|…
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;border-right: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: bottom;"|9,71E-07
|  style="border-top: 1pt solid black;border-left: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|8,08E-04
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|…
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: bottom;"|1,29E-02
|-
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;border-right: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: bottom;"|
|  style="border-top: 1pt solid black;border-left: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: bottom;"|Σ
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: bottom;"|3,67E-02
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|…
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;border-right: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: bottom;"|7,19E-01
|  style="border-top: 1pt solid black;border-left: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: bottom;"|Σ
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: bottom;"|2,40E-02
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|…
|  style="border-top: 1pt solid black;border-bottom: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: bottom;"|3,55E+00
|-
|  style="border-bottom: 2pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|
|  style="border-bottom: 2pt solid black;border-right: 1pt solid black;text-align: right;vertical-align: bottom;"|
|  style="border-left: 1pt solid black;border-bottom: 2pt solid black;text-align: right;vertical-align: bottom;"|(w) <sub>y = 0</sub> =
|  style="border-bottom: 2pt solid black;text-align: right;vertical-align: bottom;"|'''0,05113'''
|  style="border-bottom: 2pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|…
|  style="border-bottom: 2pt solid black;border-right: 1pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|'''1,00286'''
|  style="border-left: 1pt solid black;border-bottom: 2pt solid black;text-align: right;vertical-align: bottom;"|(M<sub>x</sub>) <sub>y = 0</sub> =
|  style="border-bottom: 2pt solid black;text-align: right;vertical-align: bottom;"|'''20,340'''
|  style="border-bottom: 2pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|…
|  style="border-bottom: 2pt solid black;text-align: center;vertical-align: bottom;"|'''3005,128'''
|}


===2.2 Placas de material isótropo con los cuatro vértices apoyados===

Por otra parte, Rui Li et al [<span id='cite-_Ref102152539'></span>[[#_Ref102152539|5]]] desarrollaron un procedimiento matemático para el cálculo de la flexión y los modos de vibración en placas rectangulares con los cuatro vertices simplemente apoyados.

En este caso se ha obtenido el valor de la flecha adimensional y el momento flector respecto al eje y dividido por el valor de la fuerza puntual aplicada en el centro de la placa mediante las siguientes expresiones matemáticas:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math display="inline">\frac{DW}{P{a}^{2}}\boldsymbol{=~}\frac{\mathit{\boldsymbol{E}}{\mathit{\boldsymbol{h}}}^{\boldsymbol{3}}W}{\boldsymbol{12~}\left( \boldsymbol{1-~}{\mathit{\boldsymbol{\nu }}}^{\boldsymbol{2}}\right) ~P{a}^{2}}</math>   y        <math display="inline">\frac{{M}_{y}}{P}</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4)
|}


Los resultados de la flecha y el momento flector se obtienen para los puntos contenidos en las líneas rectas azules indicadas en la Figura 1.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 [[Image:Draft_Garitaonaindia_820531945-image1.png|360px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<span style="text-align: center; font-size: 90%;">'''Figura 1.''' Posición de los ejes coordenados, parámetros geométricos de la placa y rectas en las que se obtienen los resultados. </span></div>

===2.3 Placas de material ortótropo apoyadas en cuatro puntos===

Por último, con el fin de analizar el comportamiento de laminados composites unidireccionales, en la Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa estamos diseñando un nuevo ensayo de flexión. En dicho ensayo las placas rectangulares se apoyan en cuantro puntos intermedios, con lo cual se consigue que la probeta esté sometida a flexión en dos planos.

Los parámetros geométricos y el sistema de referencia utilizados en esta configuración están mostrados en la Figura 2.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 [[Image:Draft_Garitaonaindia_820531945-image2.png|360px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<span style="text-align: center; font-size: 90%;">'''Figura 2.''' Posición de los ejes coordenados y parámetros geométricos del ensayo de flexión de dos planos.</span></div>

El procedimiento analítico desarrollado se basa en la energía de deformación. La ecuación (5) muestra la energía de deformación por unidad de volumen correspondiente a la flexión y torsión para un comportamiento elástico lineal:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math display="inline">{u}_{M}=\frac{1}{2}\left( {\sigma }_{x}{\epsilon }_{x}+{\sigma }_{y}{\epsilon }_{y}+\right. </math><math>\left. {\gamma }_{s}{\tau }_{s}\right)</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (5)
|}


Del mismo modo, la ecuación (6) representa la energía de deformación por unidad de volumen de la placa correspondiente al esfuerzo cortante, también en régimen elástico lineal:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math display="inline">{u}_{V}=\frac{1}{2}\left( {\tau }_{yz}{\gamma }_{yz}+{\tau }_{zx}{\gamma }_{zx}\right)</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (6)
|}


Aplicando el segundo teorema de Castigliano o el método de la carga unitaria, para cualquier punto de la placa la derivada parcial de la energía de deformación, expresada en función de las fuerzas externas, respecto a una de esas fuerzas es igual al desplazamiento de su punto de aplicación en la dirección de la fuerza:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: center;" 
|-
| 
{| style="text-align: center; margin:auto;" 
|-
| <math display="inline">\frac{\partial U}{\partial {P}_{k}}={\delta }_{k}</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (7)
|}


==3 Simulaciones numéricas==

Las simulaciones numéricas han sido realizadas con el software ABAQUS utilizando para el modelado elementos Shell S4R.

===3.1 Placas de material isótropo con los cuatro lados apoyados===

Se ha modelizado la misma placa cuadrada que la analizada analíticamente. En la Figura 3 se muestra el mapa de desplazamientos verticales en mm producidos en la placa bajo estas condiciones.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 [[Image:Draft_Garitaonaindia_820531945-image3-c.png|600x600px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<span style="text-align: center; font-size: 90%;">'''Figura 3.''' Mapa de desplazamientos verticales producido en la placa con los cuatro lados apoyados.</span></div>

===3.2 Placas de material isótropo con los cuatro vértices apoyados===

Al estar los resultados analíticos correspondiente a este caso parametrizados, se ha modelizado una placa con geometría, propiedad del material y valor de la fuerza igual que en el caso precedente. La diferencia ha sido la aplicación de las condiciones de contorno, en las que se han simulado condiciones de apoyo fijo a los cuatro vértices de la placa. En la Figura 4 se muestra en color rojo la línea de puntos correspondiente a Y = 0, y el mapa de desplazamientos verticales en mm que se utilizará para calcular la flecha adimensional DW/(Pa<sup>2</sup>).

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 [[Image:Draft_Garitaonaindia_820531945-image4-c.png|600x600px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<span style="text-align: center; font-size: 90%;">'''Figura 4.''' Mapa de desplazamientos verticales producido en la placa con los cuatro vértices apoyados.</span></div>

===3.3 Placas de material ortótropo apoyadas en cuatro puntos===

En este caso se ha realizado el modelizado de las nueve placas utilizando las propiedades del material composite T6T/F593 descrito por Carbajal et al [<span id='cite-10'></span>[[#10|10]]]: E<sub>L</sub> = 114 GPa, E<sub>T</sub> = 7 GPa, &#x03bd;<sub>LT</sub> = 0,3, G<sub>LT</sub> = 4 GPa.

La Figura 5 muestra el mapa de desplazamientos verticales en mm producidos en la muestra 1-40-2 al aplicar una fuerza en el centro de la placa.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 [[Image:Draft_Garitaonaindia_820531945-image5.png|503x503px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<span style="text-align: center; font-size: 90%;">'''Figura 5.''' Mapa de desplazamientos verticales producido en la placa de laminado unidierccional sometido a ensayo de flexión en dos planos.</span></div>


==4 Discusión==

===4.1 Placas de material isótropo con los cuatro lados apoyados===

Los resultados obtenidos mediante la aproximación analítica desarrollada por Timoshenko et al [<span id='cite-_Ref102152595'></span>[[#_Ref102152595|1]]] y los obtenidos mediante la simulación numérica desarrollada con ABAQUS coinciden tal y como puede observarse en el gráfico de la Figura 6.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 [[Image:Draft_Garitaonaindia_820531945-image6.png|658x658px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<span style="text-align: center; font-size: 90%;">'''Figura 6.''' Comparativa de resultados de desplazamiento vertical producido en los puntos de la placa situados en el eje x.</span></div>

Del mismo modo, los valores del momento flector M<sub>x</sub> obtenidos mediante la aproximación analítica y la simulación numérica también coinciden, tal y como se aprecia en la comparativa de resultados mostrada en el gráfico de la Figura 7.

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 [[Image:Draft_Garitaonaindia_820531945-image7.png|682x682px]] </div>

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<span style="text-align: center; font-size: 90%;">'''Figura 7.''' Comparativa de resultados del momento flector M<sub>x</sub> producido en los puntos de la placa situados en el eje x.</span></div>

===4.2 Placas de material isótropo con los cuatro vértices apoyados===

Los valores de flecha adimensional publicado por los autores R. Li et al [<span id='cite-_Ref102152539'></span>[[#_Ref102152539|5]]] y los obtenidos mediante la simulación numérica realizada con ABAQUS han resultado muy similares, siendo en todos ellos el error inferior al 2 %.

En cuanto respecta al valor del momento flector dividido por la fuerza, M<sub>y</sub>/P, entre los valores publicados por R. Li et al [<span id='cite-_Ref102152539'></span>[[#_Ref102152539|5]]] y los obtenidos mediante la simulación numérica realizada con ABAQUS la diferencia ha sido inferior al 5 %.

===4.3 Placas de material ortótropo apoyadas en cuatro puntos===

Los valores de desplazamiento vertical en mm obtenidos mediante la aproximación analítica y la simulación numérica para cada muestra también han dado resultados similares, siendo el error inferior al 4 %.

<span id='_GoBack'></span>Además, los resultados obtenidos tanto mediante aproximación analítica como mediante simulación numérica coinciden con los resultados obtenidos en los ensayos experimentales realizados sobre las nueve probetas de material composite unidireccional T6T/F593 formadas por matriz epoxi y fibra de carbono.

==5 Conclusiones==

Se presenta un nuevo procedimiento para caracterizar el comportamiento de laminados composites unidireccionales.

El ensayo de flexión de dos planos produce combinación de tensiones en las direcciones X e Y, por lo que proporciona ventajas respecto a otros tipos de ensayo.

Se ha comprobado que la innovadora aproximación matemática desarrollada se adecúa a los resultados obtenidos mediante simulación numérica y de forma experimental.

==Agradecimientos==

Los autores agradecen a la Universidad del País Vasco (UPV/EHU) la financiación del Grupo de Investigación Mecánica de Materiales GIU 20/060 en la convocatoria de 2020.

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[[#cite-1|[1]]] S.P. Timoshenko and S. Woinowsky-Krieger. Theory of plates and shells. McGraw-Hill, (1959).

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[[#cite-4|[4]]] R. Li, P.C. Wang, Y Tian, B. Wang, G. Li. A unified analytic solution approach to static bending and free vibration problems of rectangular thin plates. Scientific Reports, 5 (1), 1-12. (2015).

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[[#cite-7|[7]]]. F. Mujika. A novel approach for the three-point flexure test of multidirectional laminates. Journal of Composite Materials, 46, 259-274 (2012).

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[[#cite-10|[10]]] N. Carbajal, F. Mujika. Determination of compressive strength of unidirectional composites by three-point bending tests. Polymer Testing. 28, 150–156 (2009).