Método de Newton para búsquedas en Línea en el espacio de Hilbert (L^2)^3.

=1 Introducción=

En optimización, la estrategia de búsqueda en línea es uno de los enfoques iterativos básicos para encontrar un mínimo local <math display="inline">\displaystyle v^{*}</math> de una función objetivo <math display="inline">\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}</math>.  El enfoque de búsqueda en línea primero supone conocida una aproximación previa <math display="inline">u</math> para <math display="inline">v^*</math> y encuentra una dirección de descenso <math display="inline">w</math> a lo largo de la cual la función objetivo <math display="inline">\displaystyle f</math>  será minimizada y entonces esto  determinará qué tan lejos <math display="inline">u</math>  debe moverse a lo largo de esa dirección. Este tamaño de paso está asociado con un mínimo local de la restricción de <math display="inline">f</math> a la recta de búsqueda. Al problema de encontrar este tamaño de paso se le llama un problema de búsqueda en línea, es decir, es un problema de minimización con  restricciones de la forma


{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\left\{\begin{array}{c}Min\hbox{ }f(v) \\ \hbox{sujeto a } v =u -\rho w , \forall \rho  \in \mathbb{R};u ,w \in \mathbb{R}^{n} ,\end{array}\right. </math>
|}

|}

que también se puede escribir como

<span id="eq-1"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>Min_{\rho  \in \mathbb{R}}\hbox{ }f(u -\rho w) .  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (1)
|}

Aquí la recta de búsqueda es la recta que pasa por <math display="inline">u</math> y tiene (por conveniencia, para nuestras posteriores aplicaciones) la dirección <math display="inline">-w</math>.   Como ya se dijo, una de las áreas donde surgen problemas de búsqueda en línea son los métodos iterativos para minimizar localmente una función <math display="inline">f :\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}</math> sin restricciones. En cada iteración <math display="inline">i</math> debe resolverse un problema de búsqueda en línea de la forma ([[#eq-1|1]]), para <math display="inline">u</math> y <math display="inline">w</math> conocidos. Si denotamos con <math display="inline">\rho _{i}</math> a la solución del problema de búsqueda en línea de la iteración <math display="inline">i</math>, se toma a <math display="inline">v_{i} =u -\rho _{i}w</math> como la nueva aproximación para el mínimo de <math display="inline">f</math>. La solución de los problemas de búsqueda en línea se puede aproximar por una variedad de métodos numéricos <span id='citeF-1'></span>[[#cite-1|[1]]], entre ellos el método de Newton. Si definimos <math display="inline">g(\rho )=f(u -\rho w)</math> entonces la solución del problema ([[#eq-1|1]]) es equivalente a la solución del problema en <math display="inline">\mathbb{R}</math>


{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>Min_{\rho  \in \mathbb{R}}\hbox{ }g(\rho ) .  </math>
|}

|}

Para resolver este problema buscamos los valores donde la derivada de <math display="inline">g</math> se hace cero, es decir, resolvemos (por el método de Newton) la ecuación


{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>g'(\rho ^{*})=0 .  </math>
|}

|}

Tenemos que


{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>g'(\rho )=-Df(u-\rho w;w)=-\nabla f(u-\rho w)\cdot w ,  </math>
|}

|}

donde  <math display="inline">Df(v;w)</math>  denota la derivada direccional de <math display="inline">f</math> en <math display="inline">v</math> en la dirección de <math display="inline">w</math>. Así que por comodidad definimos


{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>H(\rho )=-g'(\rho )=Df(u-\rho w;w)=\nabla f(u-\rho w)\cdot w   </math>
|}

|}

y resolvemos la ecuación


{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>H(\rho ^{*})=0,   </math>
|}

|}

para lo cual, dada una aproximación inicial <math display="inline">\rho _{0}</math>, se construyen sucesivas aproximaciones de acuerdo a

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\rho _{i +1} =\rho _{i} -\frac{H(\rho _{i})}{H^{ \prime }(\rho _{i})} ,i =0 ,1 ,2 , . . . . </math>
|}

|}

En este trabajo extenderemos estas ideas para aplicar el método de Newton a un problema de búsqueda en línea pero donde los elementos <math display="inline">u</math> y <math display="inline">w</math> aunque conocidos, pertenecen al espacio de Hilbert <math display="inline">(L^{2})^3</math> y no a <math display="inline">\mathbb {R} ^{n}</math>. En este contexto, este artículo es una continuación o extensión de lo expuesto en <span id='citeF-2'></span>[[#cite-2|[2]]].

=2 Descripción del problema=

Los problemas de búsqueda en línea en que estamos interesados aquí son del tipo

<span id="eq-2"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\left\{ \begin{array}{c}\hbox{Encontrar }\mathbf{\rho ^*}\in \mathbb{R},\hbox{ tal que } \\  J(\mathbf{u}-\rho ^* \mathbf{w})\leq J(\mathbf{u}-\rho \mathbf{w}),\forall \rho \in \mathbb{R},\end{array}\right. </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2)
|}

con <math display="inline">\mathbf{u}</math> y <math display="inline">\mathbf{w}</math> fijos en <math display="inline">(L^{2} (0,T))^3</math>, y donde el funcional de nuestro interés <math display="inline">J:(L^{2} (0,T))^3 \longrightarrow \mathbb {R}</math>  es

<span id="eq-3"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>J(\mathbf{v})=\frac{\eta }{2}\int \limits _{0}^{T}\Vert \mathbf{v} \Vert ^{2} dt+\frac{k}{2}||\mathbf{y}(T)-\mathbf{y}_{T}||^{2},   </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (3)
|}

donde <math display="inline">k,\eta >0</math> y <math display="inline">||.||</math> la norma euclideana canónica, donde <math display="inline">\mathbf{v}</math> es una función vectorial, <math display="inline">\mathbf{v}=(v_1(t),v_2(t), v_3(t))^T</math>, <math display="inline">\Vert \mathbf{v}\Vert ^2=v_1^2+v_2^2+v_3^2</math> y la función vectorial <math display="inline">\mathbf{y}=( y_{1},y_{2},y_{3})^T </math> es la solución del siguiente problema de valor inicial que modela la dinámica de un circuito de tres juntas de Josephson acopladas inductivamente, <span id='citeF-3'></span>[[#cite-3|[3]]]:

<span id="eq-4"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\left\{ \begin{array}{c}\gamma _{1}\frac{dy_{1}}{dt}+\kappa _{1}(y_{1}-y_{2})+\sen y_{1}=i_{1}+v_{1},\hbox{ en }(0,T), \\  \gamma _{2}\frac{dy_{2}}{dt}+\kappa _{1}(y_{2}-y_{1})+\kappa  _{2}(y_{2}-y_{3})+\sen y_{2}=i_{2}+v_{2},\hbox{ en }(0,T), \\  \gamma _{3}\frac{dy_{3}}{dt}+\kappa _{2}(y_{3}-y_{2})+\sen y_{3}=i_{3}+v_{3},\hbox{ en }(0,T), \\  \mathbf{y}(0)=\mathbf{y}_{0}.\end{array}\right.   </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4)
|}

En ([[#eq-3|3]])-([[#eq-4|4]]), <math display="inline">\mathbf{y}_{0}</math> y <math display="inline">\mathbf{y}_{T}</math> son estados inicial y final conocidos, respectivamente. En <span id='citeF-3'></span>[[#cite-3|[3]]] y en <span id='citeF-4'></span>[[#cite-4|[4]]] se dan los siguientes valores factibles para los parámetros involucrados en este sistema y con los cuales se harán los experimentos numéricos mas adelante:


{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\gamma _{1} =0.7,\hbox{ }\gamma _{2}=1.1,\hbox{ }\gamma _{3}=0.7,\hbox{ }i_{1}=1,\hbox{  }i_{2}=0.8,\hbox{  }i_{3}=-1,  </math>

|-
| style="text-align: center;" | <math> \hbox{ }\kappa _{1} =\kappa _{2}=0.1.  </math>

|}
|}

===2.1 El problema de minimización global y el diferencial de J===

El problema de minimización global o sin restricciones asociado con los problemas de búsqueda en línea descritos es


{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\left\{ \begin{array}{c}\hbox{Encontrar }v^{*}\in (L^{2}(0,T))^{3}, \hbox{tal que }\\    J(v^{*})\leq J(v),\forall v\in (L^{2}(0,T))^{3},\end{array}\right.   </math>
|}

|}

el cual, (junto con ([[#eq-3|3]])-([[#eq-4|4]])) corresponde a un problema de control cuyo objetivo es llevar la dinámica del sistema del estado <math display="inline">\mathbf{y}_{0}</math> al estado <math display="inline">\mathbf{y}_{T}</math>. Este tipo de problemas de control pueden resolverse usando un algoritmo de gradiente conjugado como los discutidos en el Capítulo 2 de <span id='citeF-5'></span>[[#cite-5|[5]]]  y el Capítulo 3 de <span id='citeF-6'></span>[[#cite-6|[6]]], donde también se menciona el concepto de Frechet-diferenciabilidad adecuado para minimizar funcionales en espacios de Hilbert. A continuación damos una definción y un teorema básicos para resolver el problema que nos ocupa.

Definición. Sea <math display="inline">V</math> un espacio de Hilbert. Un funcional <math display="inline">J</math> sobre <math display="inline">V</math> es Frechet-diferenciable si, para todo <math display="inline">v,w \in V</math>, existe <math display="inline">DJ(v) \in V'</math>, la derivada o el diferencial de <math display="inline">J</math> en <math display="inline">v</math>, tal que


{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>J(v+w)-J(v)=\langle DJ(v),w\rangle + \Vert w \Vert \epsilon (v,w),  </math>
|}

|}

con <math display="inline">\langle . , . \rangle </math> denotando par de dualidad, y <math display="inline">\epsilon (v,w)</math> tendiendo a cero cuando <math display="inline">\Vert w \Vert </math> tiende a cero.

Teorema. Si <math display="inline">J</math> está definido como en ([[#eq-3|3]]) entonces  es Frechet-diferenciable y su diferencial <math display="inline">DJ(\mathbf{v})</math> es

<span id="eq-5"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>DJ(\mathbf{v})=\eta \mathbf{v}+\mathbf{p},  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (5)
|}

donde <math display="inline">\mathbf{p}</math> se obtiene al resolver el sistema (versión matricial de ([[#eq-4|4]])) :

<span id="eq-6"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\left\lbrace  \begin{array}{c}\Gamma \dfrac{d\mathbf{y}}{dt}+K\mathbf{y}+ \sen \mathbf{y}=\left( \begin{array}{ccc}i_1+v_1 \\ i_2+v_2 \\  i_3+v_3 \\ \end{array} \right)\hbox{ en } (0,T), \\  \mathbf{y}(0)=\mathbf{y}_0,                 \end{array} \right. </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (6)
|}

y después el sistema adjunto

<span id="eq-7"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\left\lbrace  \begin{array}{c}-\Gamma \dfrac{d\mathbf{p}}{dt}+K\mathbf{p}+ C(\mathbf{y}) \; \mathbf{p} =0 \hbox{ en } (0,T), \\  \Gamma \mathbf{p}(T)=k(\mathbf{y}(T)-\mathbf{y}_{T}),                 \end{array} \right.  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (7)
|}

donde <math display="inline">C(\mathbf{y})</math> es una matriz diagonal de 3x3 para la cual la entrada iésima de la diagonal es <math display="inline">cos(y_i)</math>.

De este teorema resulta que <math display="inline">DJ(\mathbf{u}-\rho \mathbf{w})=\eta (\mathbf{u}-\rho \mathbf{w})+\mathbf{p}</math>, con <math display="inline">\mathbf{p}</math> solución de ([[#eq-7|7]]) una vez que <math display="inline">\mathbf{y}(t)</math>  es solución del sistema ([[#eq-6|6]]) tomando <math display="inline">\mathbf{v}=\mathbf{u}-\rho \mathbf{w}</math>. 

La demostración de este teorema, y de los resultados que se mencionan a continuación pueden consultarse en <span id='citeF-7'></span>[[#cite-7|[7]]].

=3 Metodología de solución=

Para resolver por el método de Newton nuestro problema de búsqueda en línea ([[#eq-2|2]]) definimos

<span id="eq-8"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>g(\rho )=J(\mathbf{u}-\rho \mathbf{w}),  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (8)
|}

entonces el problema se reduce a encontrar raíces para <math display="inline">g'</math> (un problema de <math display="inline">\mathbb{R}</math> en <math display="inline">\mathbb{R}</math>), las cuales aproximaremos con la iteración de Newton

<math>\rho _{i+1}=\rho _i-\dfrac{g'(\rho _i)}{g''(\rho _i)} ;  g''(\rho _i)\neq 0, </math>

para lo cual debemos conocer <math display="inline">g'</math> y <math display="inline">g''</math>. Para describir <math display="inline">g'(\rho )</math> en términos de <math display="inline">DJ</math> necesitamos el siguiente teorema:

'''Teorema.''' Sea <math display="inline">J</math> un funcional Frechet-diferenciable sobre <math display="inline">V</math> y <math display="inline">g</math> como en ([[#eq-8|8]]). Entonces

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>g'(\rho )=\dfrac{d}{d\rho }J(\mathbf{u}-\rho \mathbf{w})=-\langle DJ (\mathbf{u}-\rho \mathbf{w}), \mathbf{w} \rangle{.} </math>
|}

|}

Así que la ecuación que tenemos que resolver para <math display="inline">\rho </math> es

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>g'(\rho )=-\langle DJ (\mathbf{u}-\rho \mathbf{w}), \mathbf{w} \rangle=0. </math>
|}

|}

Como la iteración de Newton es

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\rho _{i+1}=\rho _{i}-\dfrac{g'(\rho _{i})}{g''(\rho _{i})}, </math>
|}

|}

aún nos falta encontrar una expresión para <math display="inline">g''(\rho )</math>. Como estamos trabajando en <math display="inline">(L^2(0,T))^3</math>, los pares de dualidad coinciden con el producto interno gracias al teorema de representación de Riesz. Dado que ya conocemos el representante de la transformación <math display="inline">DJ(v)</math> (ver ([[#eq-5|5]])), podemos escribir

<span id="eq-9"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>g'(\rho )=-(\eta (\mathbf{u}-\rho \mathbf{w})+\mathbf{p}, \mathbf{w})=-\int _{0}^{T}(\eta (\mathbf{u}-\rho \mathbf{w})+\mathbf{p})\cdot \mathbf{w} \hbox{ dt},  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (9)
|}

donde <math display="inline">\mathbf{p}</math> se obtiene resolviendo

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\left\{ \begin{array}{c}\gamma _{1}\frac{d y_{1\rho }}{dt}+\kappa _{1}( y_{1\rho }-y_{2\rho })+ \sen y_{1\rho }=i_1+u_1-\rho w_1\hbox{ en }(0,T), \\  \gamma _{2}\frac{d  y_{2\rho }}{dt}+\kappa _{1}( y_{2\rho }- y_{1\rho })+\kappa  _{2}( y_{2\rho }- y_{3\rho })+\sen y_{2\rho }=i_2+ u_2-\rho w_2 \hbox{ en }(0,T), \\  \gamma _{3}\frac{d y_{3\rho }}{dt}+\kappa _{2}( y_{3\rho }- y_{2\rho })+ \sen y_{3\rho }=i_3+u_3-\rho w_3\hbox{ en }(0,T), \\  \mathbf{y}(0)=\mathbf{y}_0.\end{array}\right.   </math>
|}

|}

y luego el problema

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\left\lbrace  \begin{array}{c}-\Gamma \dfrac{d\mathbf{p}_{\rho }}{dt}+K\mathbf{p}_{\rho }+ \left( \begin{array}{ccc}\cos y_{1 \rho } & 0 & 0 \\ 0 & \cos y_{2 \rho } & 0 \\  0 &  0   & \cos y_{3 \rho } \\ \end{array} \right)\mathbf{p}_{\rho } =0 \hbox{ en } (0,T), \\  \Gamma \mathbf{p}_{\rho }(T)=k(\mathbf{y}_{\rho }(T)-\mathbf{y}_{T}).                  \end{array} \right. </math>
|}

|}

Para calcular <math display="inline">g''(\rho )=\dfrac{dg'}{d\rho }</math>, por la regla de Leibniz para la diferenciación bajo el signo integral tenemos, a partir de ([[#eq-9|9]]) que:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\frac{dg'(\rho )}{d\rho }=-\int _{0}^{T} \dfrac{\partial }{\partial \rho } (\eta (\mathbf{u}-\rho \mathbf{w})+\mathbf{p})\cdot \mathbf{w} \hbox{ dt },  </math>
|}

|}

lo cual nos da


{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>g''(\rho )=\int _{0}^{T} \left[\eta \mathbf{w}-\dot{\mathbf{p}}_{\rho } \right]\cdot \mathbf{w}\hbox{ dt },   </math>
|}

|}

que denotaremos como

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>g''(\rho )=\langle D^{2}J (\mathbf{u}-\rho \mathbf{w})\mathbf{w}, \mathbf{w} \rangle  </math>
|}

|}

y donde <math display="inline"> \dot{\mathbf{p}}_{\rho }</math> se obtiene resolviendo

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\left\lbrace  \begin{array}{c}\Gamma \dfrac{d\dot{\mathbf{y}}_{\rho }}{dt}+K\dot{\mathbf{y}}_{\rho }+ \left( \begin{array}{ccc}\cos y_{1 \rho } & 0 & 0 \\ 0 & \cos y_{2 \rho } & 0 \\  0 &  0   & \cos y_{3 \rho } \\ \end{array} \right)\dot{\mathbf{y}}_{\rho }= \left( \begin{array}{ccc}-w_1 \\ -w_2 \\  -w_3 \\ \end{array} \right) \hbox{ en } (0,T), \\  \dot{\mathbf{y}}_{\rho }(0)=0 \end{array} \right.  </math>
|}

|}

y  luego el problema

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\left\lbrace  \begin{array}{c}-\Gamma \dfrac{d\dot{\mathbf{p}}_{\rho }}{dt}+K\dot{\mathbf{p}}_{\rho }+ \left( \begin{array}{ccc}\cos y_{1 \rho } & 0 & 0 \\ 0 & \cos y_{2 \rho } & 0 \\  0 &  0   & \cos y_{3 \rho } \\ \end{array} \right)\dot{\mathbf{p}}_{\rho }= \\ \left( \begin{array}{ccc}\sen y_{1 \rho } \; \dot{y}_{1 \rho }  & 0 & 0 \\ 0 &  \sen y_{2 \rho } \; \dot{y}_{2 \rho } & 0 \\  0 &  0   &  \sen  y_{3 \rho } \; \dot{y}_{3 \rho } \\ \end{array} \right)\mathbf{p}_{\rho } \hbox{ en } (0,T), \\  \Gamma \dot{\mathbf{p}}_{\rho }(T)=k\dot{\mathbf{y}}_{\rho }(T).                  \end{array} \right. </math>
|}

|}

Con ésto el método de Newton para aproximar <math display="inline">\rho ^{*}</math> queda


{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\rho _{i+1}=\rho _{i}-\dfrac{g'(\rho _{i})}{g''(\rho _{i})}  </math>

|-
| style="text-align: center;" | <math> \rho _{i+1}=\rho _{i}-\dfrac{-\langle DJ (\mathbf{u}-\rho \mathbf{w}), \mathbf{w} \rangle }{\langle D^{2}J (\mathbf{u}-\rho \mathbf{w})\mathbf{w}, \mathbf{w} \rangle }</math>
|-
| style="text-align: center;" | <math> \rho _{i+1}=\rho _{i}+\dfrac{\langle DJ (\mathbf{u}-\rho \mathbf{w}), \mathbf{w} \rangle }{\langle D^{2}J (\mathbf{u}-\rho \mathbf{w})\mathbf{w}, \mathbf{w} \rangle }.  </math>
|}
|}

=4 Discretización del problema de búsqueda en línea=

La idea principal es sustituir el espacio <math display="inline">L^2(0,T)</math> por un espacio de funciones más práctico. A grandes rasgos este espacio será el de las funciones lineales por pedazos en (0,T), que además ofrecen la ventaja de poder ser representadas computacionalmente por eneadas de números.

Para describir esto con mayor precisión, comenzamos haciendo una partición uniforme del intervalo <math display="inline">(0,T)</math> con

* <math display="inline">N</math> número de subintervalos de la partición uniforme.
* <math display="inline">h=\frac{T}{N}</math>  tamaño de cada subintervalo.
* <math display="inline">tt</math> un vector de <math display="inline">N+1</math> puntos espaciados uniformemente en el intervalo <math display="inline">(0,T)</math> de la forma

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>tt=[0,\cdots ,tt_{N}].</math>
|}
|}

Con <math display="inline">tt_i=i*h, i=0,1,2,\cdots ,N</math>, esto significa que en el arreglo <math display="inline">tt</math> se almacena la partición en el tiempo. <p> 

</p>

Dada esta partición, una función <math display="inline">f(t)</math> en <math display="inline">L^2(0,T)</math> puede ser aproximada por la función lineal por pedazos <math display="inline">f_h(t)</math> cuyo valor en <math display="inline">t_i</math>  es <math display="inline">f_h(t_i)=f(t_i)</math>. En la figura [[#img-1|1]] se muestra una <math display="inline">f</math> y su aproximación lineal <math display="inline">f_h</math> por pedazos, con <math display="inline">N=10</math>. Note que entonces una función <math display="inline">f</math> puede ser representada computacionalmente por dos <math display="inline">(N+1)</math>-eadas:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>f\approx \left\lbrace  \begin{array}{c} (tt_0=0,\cdots , tti,\cdots ,tt_N) \\ (f(0),\cdots ,f(tt_i),\cdots ,f(tt_N)). \\ \end{array} \right.</math>
|}
|}

<div id='img-1'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_LOPEZ_975186036-funcionfyf_h.png|533px|Función f(t)=t \exp (-t) y fₕ(tt)=tt \exp (-tt), con N=10, T=5 y h=0.5.]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 1:''' Función <math>f(t)=t \exp (-t)</math> y <math>f_h(tt)=tt \exp (-tt),</math> con <math>N=10, T=5</math> y <math>h=0.5</math>.
|}

Con esto, está claro que podemos aproximar  las funciones <math display="inline">\mathbf{v}</math> en <math display="inline">(L^2(0,T))^3</math>  por triadas de funciones lineales por pedazos, es decir por matrices de la forma 

<math display="inline">\mathbf{v}(t)\approx (v_1,v_2,v_3)(tt)=\left( \begin{array}{ccc} v_1(0)&\cdots &v_1(tt_{N})  \\ v_2(0)&\cdots &v_2(tt_{N})    \\ v_3(0)&\cdots &v_3(tt_{N})   \\ \end{array} \right),</math>

mientras que las funciones <math display="inline">\mathbf{u}</math> de nuestra teoría quedarían aproximada o representadas por la matriz

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\mathbf{u}=\left( \begin{array}{ccc} u_1(0)&\cdots &u_1(tt_N)  \\ u_2(0)&\cdots &u_2(tt_N)    \\ u_3(0)&\cdots &u_3(tt_N)   \\ \end{array} \right),</math>
|}
|}

y las funciones <math display="inline">\mathbf{w}</math> de nuestra teoría quedarían aproximadas o representadas por la matriz

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\mathbf{w}=\left( \begin{array}{ccc} w_1(0)&\cdots &w_1(tt_N)  \\ w_2(0)&\cdots &w_2(tt_N)    \\ w_3(0)&\cdots &w_3(tt_N)   \\ \end{array} \right).</math>
|}
|}

También a partir de ahora, estaremos usando la notación <math display="inline">\mathbf{v}^n</math> para denotar el valor de la función <math display="inline">\mathbf{v}</math>, lineal por pedazos, en el tiempo <math display="inline">nh</math>. Esta notación también aplica para las funciones <math display="inline">\mathbf{y}</math> y <math display="inline">\mathbf{p}</math>, es decir, con <math display="inline">\mathbf{y}^n</math> denotamos el valor de la función <math display="inline">\mathbf{y}</math> en el tiempo <math display="inline">nh</math> y similarmente para <math display="inline">\mathbf{p}</math>. Esto se resume en decir que en este capítulo damos los valores de <math display="inline">\mathbf{u}</math> y <math display="inline">\mathbf{w}</math> en la partición <math display="inline">tt</math> y debemos minimizar una version discreta del funcional, para lo cual es necesario encontrar los valores aproximados  de

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\mathbf{y}\approx (y_1,y_2,y_3)(tt)=\left( \begin{array}{ccc} y_1(0)&\cdots &y_1(tt_N)  \\ y_2(0)&\cdots &y_2(tt_N)    \\ y_3(0)&\cdots &y_3(tt_N)   \\ \end{array} \right),</math>
|}
|}

y de

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\mathbf{p}\approx (p_1,p_2,y_3)(tt)=\left( \begin{array}{ccc} p_1(0)&\cdots &p_1(tt_N)  \\ p_2(0)&\cdots &p_2(tt_N)    \\ p_3(0)&\cdots &p_3(tt_N)   \\ \end{array} \right)</math>
|}
|}

en la partición <math display="inline">tt</math>. En lo que sigue detallamos cómo hacemos todas estas discretizaciones.

==4.1 Discretización del Funcional==

El funcional <math display="inline">J</math> de ([[#eq-3|3]]) lo aproximamos por

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>J^{h}(\mathbf{v})=\frac{\eta h}{2}\sum _{n=1}^{N}   ||\mathbf{v}^n ||^{2}+\frac{k}{2}||\mathbf{y}^N-\mathbf{y}_T||^{2},   </math>
|}

|}

con <math display="inline">|| \mathbf{v}^{n} ||^{2}=| v_{1}^{n} |^{2}+| v_{2}^{n} |^{2}+| v_{3}^{n}|^{2}</math>. Aquí <math display="inline">\mathbf{y}^N</math> es la aproximación de <math display="inline">\mathbf{y}</math> en el tiempo <math display="inline">N</math> <math display="inline">(tt_N=Nh)</math>, que mas adelante especificamos cómo calcular.

==4.2 Discretización del SEDO==

Aproximamos el sistema ([[#eq-6|6]]) por un esquema de Euler explícito que luce como sigue:

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\left\lbrace  \begin{array}{c}\hbox{Dado } \mathbf{y}^0=\mathbf{y}_0, \\ \\  \hbox{ para } n=0,...,N-1   \hbox{ resolver } \\ \\ \mathbf{y}^{n+1}= \mathbf{y}^{n}-h \Gamma ^{-1} K \mathbf{y}^{n}- h \Gamma ^{-1} \left( \begin{array}{ccc}\sen y_1^{n} \\ \sen y_2^{n} \\  \sen y_3^{n} \\ \end{array} \right)+ h \Gamma ^{-1} \left( \begin{array}{ccc}i_1+v_{1}^{n} \\ i_2+v_{2}^{n} \\ i_3+v_{3}^{n} \end{array} \right).     \end{array} \right. </math>
|}
|}

==4.3 Discretización del SEDO Adjunto==

El sistema adjunto ([[#eq-7|7]]) lo aproximamos por

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\left\lbrace  \begin{array}{c}\mathbf{p}^{N}=k \Gamma ^{-1} (\mathbf{y}^{N}-\mathbf{y}_T), \\ \\ \hbox{ para } n=N-1,...,0 \hbox{ resolver } \\ \\ \mathbf{p}^{n}=\mathbf{p}^{n+1}-h \Gamma ^{-1} K \mathbf{p}^{n+1}-h \Gamma ^{-1} \left( \begin{array}{ccc}\cos y_{1}^{n} & 0 & 0 \\ 0 & \cos y_{2}^{n} & 0 \\  0 & 0 & \cos y_{3}^{n} \\ \end{array} \right)\; \mathbf{p}^{n+1}. \\                 \end{array} \right. </math>
|}
|}

==4.4 Discretización del Producto interno==

Las discretizaciones mencionadas implican que estamos considerando el siguiente producto interno

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>(\mathbf{u},\mathbf{w})_{h}=h \sum _{n=1}^N \mathbf{u}^n \cdot \mathbf{w}^n, \forall \mathbf{u}, \mathbf{w} \in (\mathbb{R}^3)^N. </math>
|}
|}

==4.5 <span id='lb-5.5'></span>Discretización de g'(ρ) y g''(ρ)==

Para resolver la ecuación <math display="inline">g(\rho ^*)=0</math> con el método de Newton se requiere el conocimiento de <math display="inline">g'(\rho )</math> que estará dada en los nuevos espacios vectoriales por


{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>g'(\rho )=-h \eta \sum _{n=1}^{N}[\mathbf{u}^{n}-\rho \mathbf{w}^{n}+\mathbf{p}_{\rho }^{ n}]\cdot \mathbf{w}^{n},    </math>
|}

|}

donde <math display="inline">\mathbf{p}_{\rho }^{n}</math> se obtiene resolviendo

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\left\lbrace  \begin{array}{c}\hbox{Dado } \mathbf{y}_{\rho }^0=\mathbf{y}_{\rho }(0), \\ \\   \hbox{ para } n=0,...,N-1   \hbox{ resolver } \\ \\ \mathbf{y}_{\rho }^{n+1}= \mathbf{y}_{\rho }^{n}-h\Gamma ^{-1} K \mathbf{y}_{\rho }^{n}-h\Gamma ^{-1} \left( \begin{array}{ccc}\sen y_{\rho{1}}^{n} \\ \sen y_{\rho{2}}^{n} \\  \sen y_{\rho{3}}^{n} \\ \end{array} \right) +h\Gamma ^{-1} \left( \begin{array}{ccc}i_1+u_{1}^{n}-\rho w_{1}^{n}  \\ i_2+u_{2}^{n} -\rho w_{2}^{n}  \\  i_3+u_{3}^{n} -\rho w_{3}^{n}  \\ \end{array} \right). \\    \end{array} \right. </math>
|}
|}

y luego resolviendo

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\left\lbrace  \begin{array}{c}\mathbf{p}_{\rho }^{N}=k\Gamma ^{-1}(\mathbf{y}_{\rho }^{N}-\mathbf{y}_T), \\ \\ \hbox{ para } n=N-1,...,0 \hbox{ resolver } \\ \\ \mathbf{p}_{\rho }^{n}=\mathbf{p}_{\rho }^{n+1}-h\Gamma ^{-1} K \mathbf{p}_{\rho }^{n+1} -h\Gamma ^{-1} \left( \begin{array}{ccc}\cos y_{\rho{1}}^{n+1} & 0 & 0 \\ 0 & \cos y_{\rho{2}}^{n+1} & 0 \\  0 & 0 & \cos y_{\rho{3}}^{n+1}\\ \end{array} \right)\; \mathbf{p}_{\rho }^{n+1}. \\                 \end{array} \right. </math>
|}
|}

y para

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>g''(\rho )=h\sum _{n=1}^{N}[\eta \mathbf{w}^{n}-\overset{\cdot }{\mathbf{p}}_{\rho }^{n}] \cdot \mathbf{w}^{n},    </math>
|}

|}

con <math display="inline">\overset{\cdot }{\mathbf{p}}_{\rho }^{n},</math> obtenido al resolver

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\left\{ \begin{array}{c}\overset{\cdot }{\mathbf{y}}_{\rho }^{0}=\mathbf{0}, \\  \hbox{para } n=0,....,N-1 \hbox{ resolver} \\  \overset{\cdot }{\mathbf{y}}_{\rho }^{n+1}=\overset{\cdot }{\mathbf{y}^{n}}_{\rho }-h \Gamma ^{-1} K \overset{\cdot }{\mathbf{y}}_{\rho }{ n}-h\Gamma ^{-1}\left( \begin{array}{c}\cos y_{1\rho }^{n} \\  \cos y_{2\rho }^{n} \\  \cos y_{3\rho }^{n}\end{array}\right)\overset{\cdot }{\mathbf{y}^{n}}_{\rho }-h\Gamma ^{-1}\left( \begin{array}{c}w_{1}^{n} \\  w_{2}^{n}\\  w_{3}^{n}\end{array}\right),\end{array}\right.   </math>
|}

|}

y luego resolver

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\left\{ \begin{array}{c}\overset{\cdot }{\mathbf{p}}_{\rho }^{N}=k\Gamma ^{-1}\overset{\cdot }{\mathbf{y}}_{\rho }^{N}, \\ \hbox{para }n=N-1,....,0 \hbox{ resolver} \\  \overset{\cdot }{\mathbf{p}}_{\rho }^{n}=\overset{\cdot }{\mathbf{p}}_{\rho }^{n+1}+h \Gamma ^{-1} K \overset{\cdot }{\mathbf{p}}_{\rho }^{n+1} \\ \\ +h \Gamma ^{-1} \left( \begin{array}{ccc}\cos y_{1\rho }^{n}& 0 & 0 \\  0 & \cos y_{2\rho }^{n} & 0 \\  0 & 0 & \cos y_{3\rho }^{n}\end{array}\right)\overset{\cdot }{\mathbf{p}}_{\rho }^{n+1} \\ \\ -\left( \begin{array}{ccc}\overset{\cdot }{y}_{1\rho }^{n}\sen y_{1\rho }^{n} & 0 & 0 \\  0 & \overset{\cdot }{y}_{2\rho }^{n}\sen y_{2\rho }^{n} & 0 \\  0 & 0 & \overset{\cdot }{y}_{3\rho }^{n}\sen y_{3\rho }^{n}\end{array}\right)\mathbf{p}_{\rho }^{n+1}\mathbf{.}\end{array}\right.   </math>
|}

|}

Con esto podemos ya aplicar el método de Newton para resolver la versión discreta de <math display="inline">g'(\rho )=0</math>: Dado <math display="inline">\rho ^{0}</math>, iterar con

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\rho ^{m+1}=\rho ^{m}-\frac{g'(\rho ^{m})}{g''(\rho ^{m})}.  </math>
|}

|}

Usamos el criterio de paro <math display="inline">\dfrac{\vert \rho ^{m+1}-\rho ^{m}\vert }{\vert \rho ^{m+1}\vert }< \varepsilon </math>, para <math display="inline">\varepsilon </math> pequeño dado.

=5 Experimentación computacional=

==5.1 Ejemplo 1==

En este ejemplo tomamos <math display="inline">u_1(t)=t \exp (-t)</math>, <math display="inline">u_2(t)=t^3</math>, <math display="inline">u_3(t)=0</math> y <math display="inline">w_1(t)=\exp (-t)/10</math>, <math display="inline">w_2(t)=3t-t^3</math> y <math display="inline">w_3(t)=0</math>. Se tomaron los valores siguientes para los parámetros en la iteración de Newton y en la discretización de los problemas involucrados:

* <math display="inline">T=16</math>; <math display="inline">k=1.0e-3</math>; <math display="inline">\rho ^0=0</math>; <math display="inline">h=T/500</math>; <math display="inline">\eta=1</math>.
* <math display="inline">\mathbf{y}_{0}=[ 1.2514; 0.7456; -0.9753]</math>; <math display="inline">\mathbf{y}_{T}=[ 7.4207; 6.4958; -0.3236]</math>.

Dadas las funciones <math display="inline">\mathbf{u}=(t \exp (-t),t^3,0)</math> y <math display="inline">\mathbf{w}=(\exp (-t)/10,3t-t^3,0)</math>, minimizamos con el método de Newton el funcional <math display="inline">J(\mathbf{u}(t)-\rho \mathbf{w}(t))</math> sobre <math display="inline">\rho </math> y en 3 iteraciones se obtuvo el valor <math display="inline">\rho ^{*}=-1.017</math>. La gráfica del funcional <math display="inline">J</math> restringido a la recta <math display="inline">\mathbf{v}=\mathbf{u}-\rho \mathbf{w}</math> se muestra en la Figura [[#img-2|2]].

<div id='img-2'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_LOPEZ_975186036-J_eje2.png|533px|Funcional J(u(t)-ρw(t)) para las funciones u y w del ejemplo 1.]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 2:''' Funcional <math>J(\mathbf{u}(t)-\rho \mathbf{w}(t))</math> para las funciones <math>\mathbf{u}</math> y <math>\mathbf{w}</math> del ejemplo 1.
|}

==5.2 Ejemplo 2==

En este ejemplo tomamos <math display="inline">u_1(t)=-(t-2)\exp (-t)</math>, <math display="inline">u_2(t)=3t^2+1</math>, <math display="inline">u_3(t)=(t-1)^2+1</math> y <math display="inline">w_1(t)=t^3+t-1</math>, <math display="inline">w_2(t)=\dfrac{1}{3}t^3-t</math>, <math display="inline">w_3(t)=\exp (-t)/10</math>. Tanto para la discretización de los problemas involucrados como para las iteraciones de Newton se tomaron los valores siguientes:

* <math display="inline">T=12</math>; <math display="inline">k=1.0e-3</math>; <math display="inline">\rho ^0=0.5</math>; <math display="inline">h=T/500</math>; <math display="inline">\eta=1</math>.
* <math display="inline">\mathbf{y}_{0}=[0.1992; 0.1187; -0.1552]</math>; <math display="inline">\mathbf{y}_{T}=[0.1810; 0.0338; -0.0515]</math>.

Dadas las funciones <math display="inline">\mathbf{u}=(-(t-2)\exp (-t),3t^2+1,(t-1)^2+1)</math> y <math display="inline">\mathbf{w}=(t^3+t-1,\frac{1}{3}t^3-t,\exp (-t)/10)</math>, minimizamos con el método de Newton el funcional <math display="inline">J(\mathbf{u}(t)-\rho \mathbf{w}(t))</math> sobre <math display="inline">\rho </math> y en 6 iteraciones se obtuvo el valor <math display="inline">\rho ^{*}=0.084</math>. La gráfica del funcional <math display="inline">J</math> restringido a la recta <math display="inline">\mathbf{v}=\mathbf{u}-\rho \mathbf{w}</math> se muestra en la Figura [[#img-3|3]].

<div id='img-3'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
|-
|[[Image:Draft_LOPEZ_975186036-J_eje3.png|533px|Funcional J(u(t)-ρw(t)) para las funciones u y w del ejemplo 2.]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 3:''' Funcional <math>J(\mathbf{u}(t)-\rho \mathbf{w}(t))</math> para las funciones <math>\mathbf{u}</math> y <math>\mathbf{w}</math> del ejemplo 2.
|}

=6 Conclusiones=

No contamos con un ejemplo para el cual se conozca la solución exacta, así que nuestra validación se basa en el desempeño del método en ejemplos como los dos mostrados, dado que es posible tener una visualización suficientemente detallada del funcional <math display="inline">J</math> restringido a la "recta" que pasa por <math display="inline">\mathbf{u}</math> y tiene dirección <math display="inline">\mathbf{w}</math>. De acuerdo a estos ejemplos se puede concluir que el método de Newton produce resultados excelentes. En este trabajo el objetivo no es comparar el método de Newton con otros métodos, sino verificar que este tipo de problemas se pueden resolver aceptablemente utilizando el método de Newton; sin embargo en trabajos futuros esperamos considerar otros métodos y hacer tal comparación, por ejemplo, con los métodos que no utilizan derivadas. También podemos mencionar que los resultados presentados aquí se aplicarán próximamente para resolver el problema de minimización global asociado con el problema de control, el cual, como se conocen el estado inicial del que se parte y el estado final al que se quiere llegar, podrá considerarse como un caso de validación de la metodología expuesta en el presente trabajo.

==BIBLIOGRAFÍA==

<div id="cite-1"></div>
'''[[#citeF-1|[1]]]'''  R. P. Brent (2002) Algorithms for minimization without derivatives. New York: Courier Dover Publications.

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'''[[#citeF-2|[2]]]'''  J. López, L. H. Juárez (2019) Método de Newton para Problemas de Búsqueda en Línea en <math display="inline">L^2</math>. Journal of Basic Sciences. Vol. 5, Num. 13.

<div id="cite-3"></div>
'''[[#citeF-3|[3]]]'''  Y. Braiman, B. Neschke, N. Nair, N. Ima, and R. Glowinski. (2016) Memory States in Small Arrays of Josephson Junctions, PHYSICAL REVIEW E (94), 052223: 1-13.

<div id="cite-4"></div>
'''[[#citeF-4|[4]]]'''  J. D. Rezac, N. Imam and Y. Braiman, (2017) Parameter optimization for transitions between memory states in small arrays of Josephson junctions, PHYSICA A (474), 267-281.

<div id="cite-5"></div>
'''[[#citeF-5|[5]]]'''  R. Glowinski  (2015) Variational Methods for the Numerical Solution of Nonlinear Elliptic Problems,  Philadelphia: SIAM.

<div id="cite-6"></div>
'''[[#citeF-6|[6]]]'''  R. Glowinski  (2003) Finite element methods for incompressible viscous flow. In Handbook of Numerical Analysis, Vol. IX, P.G. Ciarlet & J.L. Lions, eds., 3-1176, Amsterdam: Elsevier.

<div id="cite-7"></div>
'''[[#citeF-7|[7]]]'''  C. N. Cortazar  (2020) Método de Newton para búsquedas en línea en el espacio <math display="inline">(L^2)^3</math>. Tesis de Maestría. Universidad Juárez Autónoma de Tabasco.