​

'''J Pereda Méndez, L Olivares Quiroz'''

​

==Resumen==

​

En este trabajo presentamos un análisis del flujo vehicular para un conjunto de <math display="inline">32</math> ejes viales principales dentro la Ciudad de México basado en la implementación de un proceso estocástico de cadenas de Markov discretas (CMD) definido sobre el grafo <math display="inline">\mathcal{G}</math> de la red vial que constituyen los ejes viales y sus intersecciones. En particular, y basados en información estadística del INEGI determinamos la matriz de probabilidad de transición <math display="inline">\bold{P}</math>, la matriz de primer visita promedio (mean first passage time) <math display="inline">\bold{M}</math> y la constante de Kemeny <math display="inline">K</math>, las cuales nos permiten establecer un análisis cuantitativo de la dinámica de la red. Con base en esta información, analizaremos el promedio del flujo vehicular tanto en la red completa como en los ejes viales principales. Asimismo, utilizaremos este formalismo para explorar el impacto que tiene el cierre de un eje vial particular <math display="inline">n^{\dagger }</math> dentro de la red sobre el flujo en los demás ejes viales y sobre el flujo vehicular global.

​

Estudiante del Posgrado en Ciencias de la Complejidad,  Universidad Autónoma de la Ciudad de México UACM, 

​

C.P 03100 Ciudad de México, México

​

Corresponding author: luis.olivares@uacm.edu.mx Departamento de Fisica and Posgrado en Ciencias de la Complejidad.

​

Universidad Autonoma de la Ciudad de Mexico  UACM-SLT 

​

C.P. 09760 Mexico City 

​

Centro de Ciencias de la Complejidad C3. UNAM. Circuito Mario de la Cueva 20. CP 04510 Mexico City

​

'''Keywords:''' Teoría de Grafos, matriz de probabilidad de transición, vector de distribución de probabilidad estacionaria, matriz de primer visita promedio, constante de Kemeny .

​

==1 Introducción==

​

El tráfico vehicular es uno de los problemas más importantes que enfrentan actualmente las grandes urbes en función del número creciente de vehículos que circulan y del limitado espacio existente <span id='citeF-1'></span>[[#cite-1|[1]]]. Los efectos producidos por el incremento del flujo vehicular van más alla del impacto económico, alcanzando la esfera social, el medio ambiente y la calidad de vida de los habitantes en sí misma <span id='citeF-2'></span>[[#cite-2|[2]]]. Por tanto, cada vez es más necesario contar con herramientas formales y cuantitativas que permitan el diseño de redes de flujo vehicular (avenidas, ciclovías, sistemas de transporte público) que permitan una comunicación más eficiente y efectiva entre los distintos puntos de una ciudad <span id='citeF-3'></span>[[#cite-3|[3]]]. Ésta no es una preocupación reciente. Los primeros estudios sobre el tráfico vehicular se remontan a la década de 1930-1940 con los trabajos de B D Greenshield, quien aplicó por primera vez métodos fotográficos y matemáticos para la medición de diferentes variables relacionadas con el tráfico vehicular y la descripción de su comportamiento <span id='citeF-4'></span>[[#cite-4|[4]]].

​

Diferentes modelos matemáticos se han aplicado para analizar el problema del transporte eficiente y del flujo vehicular en redes urbanas.  Dependiendo del nivel de detalle, los modelos de tráfico vehicular generalmente se clasifican como microscópicos, mesoscópicos y macroscópicos <span id='citeF-5'></span>[[#cite-5|[5]]]. Existen modelos matemáticos basados en ecuaciones diferenciales parciales (EDP) <span id='citeF-6'></span>[[#cite-6|[6]]], autómatas celulares (AC) <span id='citeF-7'></span>[[#cite-7|[7]]], modelos basados en agentes <span id='citeF-8'></span>[[#cite-8|[8]]], ecuaciones diferenciales estocásticas, entre otros. En este trabajo abordaremos el análisis del flujo vehicular mediante el formalismo de los procesos estocásticos en tiempo discreto. Más específicamente, definiremos una cadena de Markov discreta ( CMD) sobre un grafo dual <math display="inline">\mathcal{G}</math> el cual representará la dinámica del flujo vehicular a tiempo discreto sobre un conjunto de nodos <math display="inline">\{ n_j \} </math> y enlaces <math display="inline">\{ e_j \} </math> los cuales representan a los ejes viales y sus intersecciones. Basaremos este análisis en el trabajo de Crisostomi ''et al'' <span id='citeF-9'></span>[[#cite-9|[9]]], en donde se discute ampliamente las ventajas del enfoque Markoviano para este tipo de análisis. Tal como mostraremos en este trabajo, el enfoque estocástico mediante CMD nos permitirá extraer información relevante de conectividad y flujo dentro de la red <span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]] <span id='citeF-11'></span>[[#cite-11|[11]]].

​

En este trabajo se analizará el conjunto de 32 ejes viales principales de la Ciudad de México, el cual en conjunto con sus intersecciones conforma un grafo dual <math display="inline">\mathcal{G}</math>. A partir de este grafo dual, definimos un proceso estocástico de tipo cadena de Markov a tiempo discreto con matriz de probabilidad <math display="inline">\bold{P}</math>. Para determinar los elementos <math display="inline">p_{ij}</math> de la matriz <math display="inline">\bold{P}</math> utilizaremos información estadística obtenida a partir de las matrices origen destino (OD) del INEGI y la Secretaría de Movilidad de la Ciudad de México <span id='citeF-12'></span>[[#cite-12|[12]]]. Con esta información evaluaremos tanto el vector de distribución de probabilidad estacionaria <math display="inline">\vec{\pi }</math> de la cadena de Markov como la matriz de primer visita promedio <math display="inline">\bold{M}</math> y la constante de Kemeny <math display="inline">K</math>. Las cadenas de Markov constituyen uno de los formalismos estocásticos más utilizados en la modelación de un proceso probabilístico<span id='citeF-13'></span>[[#cite-13|[13]]]. En esencia, este tipo de procesos estocásticos establece que el estado actual del proceso sólo depende del resultado ''inmediato anterior'' y no del conjunto de estados previos <span id='citeF-14'></span>[[#cite-14|[14]]]. La propiedad de Markov menciona que la distribución de probabilidad del valor futuro de una variable aleatoria depende únicamente de su valor presente, siendo independiente de la historia de dicha variable, por lo que podemos expresarla como:

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>P \left(X _{n+1}|X _{n}\right) </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (1)

|}

​

es decir, sólo depende del valor de la variable estocástica en el paso inmediato anterior. Tal proceso se denomina proceso de Markov o cadena de Markov discreta (CMD) y fue propuesto por  Andrei Markov .

​

Este trabajo se presenta  de la siguiente manera. En la Sección II discutiremos los elementos básicos de la teoría de los procesos de Markov discretos. A continuación presentaremos la aplicación de estos resultados a la red de 32 ejes viales principales de la Ciudad de México. Posteriormente efectuaremos un análisis cuantitativo detallado de las cantidades mencionadas previamente y analizaremos el impacto del cierre de un eje vial dado a la circulación mediante el uso del bloqueo de un eje vial <math display="inline">n^{\dagger }</math> dentro de la red y el cálculo de este efecto en las cantidades anteriomente descritas. Finalmente presentaremos un conjunto de conclusiones y perspectivas que pueden considerarse en un análisis posterior a futuro de este trabajo.

​

==2 Cadenas de Markov discretas. Un proceso estocástico clásico ==

​

En este trabajo representaremos la conectividad de los ejes viales bajo consideración y el tráfico vehicular dentro de la Ciudad de México mediante una cadena de Markov discreta (CMD).  Una CMD representa un proceso estocástico discreto definido por  un conjunto de estados <math display="inline"> \{ S_i \} </math>, para los cuales existe una probabilidad de transición <math display="inline">p _{ij}</math> de pasar del estado <math display="inline">S _{i}</math>  al estado <math display="inline">S _{j}</math>. Esta probabilidad <math display="inline">p_{ij}</math> cumple la propiedad de Markov la cual establece que si el estado <math display="inline">S_n</math> al tiempo <math display="inline">n</math> y el conjunto de estados discretos a tiempos previos <math display="inline">S _{1}, ..., S _{n-1}</math> son conocidos, la probabilidad del estado futuro <math display="inline">S _{n+1}</math> no depende de los estados anteriores <math display="inline">S _{1}, ..., S _{n-1}</math>, sino solo depende del estado actual <math display="inline">S _{n}</math>. Esto es, <span id='citeF-15'></span>[[#cite-15|[15]]]:

​

<span id="eq-2"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>P\left(S _{n+1} = s _{n+1}|S _{1} = s _{1}, S _{2} = s _{2}, ..., S _{n} = s _{n} \right)     </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2)

|}

​

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>= P \left(S _{n+1} = s _{n+1}|S _{n}= s _{n}\right)</math>

|}

|}

​

la Figura [[#img-1|(1)]] muestra una representación de una cadena de Markov discreta con un cojunto de estados dado por el conjunto <math display="inline">\{ S_1, S_2, S_3, S_4\} </math> con probabilidades de transición <math display="inline">p_{ij}</math> determinadas. Una CMD está por tanto determinada por una matriz de tamaño <math display="inline">N \times N</math> llamada matriz de probabilidades de transición <math display="inline">\bold{P}</math> cuyas entradas <math display="inline">p_{ij} </math> denotan la probabilidad de pasar del estado <math display="inline"> S_i </math> al estado <math display="inline"> S_j </math> en una unidad de tiempo dada. Esto es,

​

<div id='img-1'></div>

{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"

|-

|[[Image:Review_635848621558-Ejemplocadena.png|600px|Representación de una cadena de Markov con espacio de estados S₁, S₂, S₃ y S₄ para los cuales existe una probabilida de transición probabilidad p <sub>ij</sub> de que el estado S<sub>i</sub> pueda pasar al estado S <sub>j</sub>. Adicionalmente, dentro de una cadena de Markov pueden existir ''loops'' en los cuales puede existir una probabilidad de transición p<sub>ii</sub> \neq 0, tal como se muestra en la representación. ]]

|- style="text-align: center; font-size: 75%;"

| colspan="1" | '''Figura 1:''' Representación de una cadena de Markov con espacio de estados <math>S_1, S_2, S_3</math> y <math>S_4</math> para los cuales existe una probabilida de transición probabilidad <math>p _{ij}</math> de que el estado <math>S_i</math> pueda pasar al estado <math>S _{j}</math>. Adicionalmente, dentro de una cadena de Markov pueden existir ''loops'' en los cuales puede existir una probabilidad de transición <math>p_{ii} \neq 0</math>, tal como se muestra en la representación. 

|}

​

<span id="eq-3"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>\bold{P}= \left( \begin{matrix}p _{11} & p _{12} & p _{13} & \ldots \\  p _{21} & p _{22} & p _{23} & \ldots \\  p _{31} & p _{32} & p _{33} & \ldots \\  \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{matrix} \right)    </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (3)

|}

​

Los elementos <math display="inline">p_{ij}</math> satisfacen que <math display="inline">p _{ij}\geq 0</math> y <math display="inline">\sum _{j} p _{ij} = 1</math>. Es decir, las filas de la matriz <math display="inline">\bold{P}</math> suman la unidad.

​

Dada la matriz de probabilidades estacionarias <math display="inline">\bold{P}</math> determinaremos el vector <math display="inline">\vec{\pi }</math> de distribución de probabilidad estacionaria, <math display="inline">\vec{\pi }=\lbrace \pi _{1},..., \pi _{N} \rbrace </math> el cual es  una distribución de probabilidad invariante para una cadena de Markov con matriz de probabilidades de transición <math display="inline">\bold{P}= \lbrace p _{ij}\rbrace </math> si cumple que <span id='citeF-16'></span>[[#cite-16|[16]]]:

​

<span id="eq-4"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>\vec{\pi } _{j}=\sum _{i} \pi _{i} p _{ij}    </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4)

|}

​

Lo anterior es equivalente a <math display="inline">\vec{\pi } = \vec{\pi } \cdot \bold{P}</math> y significa que si una variable aleatoria inicial <math display="inline">X_{0}</math> tiene una distribución <math display="inline">\pi </math> entonces la distribución de <math display="inline">X_{n}</math> también es <math display="inline">\pi </math>, es decir, esta distribución no cambia con el paso del tiempo <span id='citeF-17'></span>[[#cite-17|[17]]]. Para CMD ergódicas, i.e, aquellas en las que es posible alcanzar cualquier estado <math display="inline">S_k</math> en un número finito de pasos, determinamos la matriz <math display="inline">\bold{W}</math> y la matriz fundamental <math display="inline">\bold{Z}</math> dadas por

​

<span id="eq-5"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>\lim \limits _{n\to \infty } \bold{P}^{n} = \bold{W}    </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (5)

|}

​

donde <math display="inline">\bold{W} </math> es una matriz con todas sus filas idénticas al vector de distribución de probabilidad estacionaria <math display="inline">\vec{\pi } </math> discutido anteriormente. La matriz fundamental <math display="inline">\bold{Z}</math> de esta CMD ergódica está dada por <span id='citeF-18'></span>[[#cite-18|[18]]]

​

<span id="eq-6"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>\bold{Z} = \left(\bold{I} - \bold{P} + \bold{W} \right)^{-1}    </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (6)

|}

​

donde <math display="inline">\bold{I}</math> es la matriz identidad, <math display="inline">\bold{P}</math> la matriz de probabilidades de transición y <math display="inline">\bold{W}</math> la matriz discutida anteriormente. Es importante mencionar que la  matriz fundamental <math display="inline">\bold{Z}</math> para cadenas ergódicas desempeña un papel muy importante, pues puede usarse para identificar un conjunto de parámetros relevantes, como la matriz de primer visita promedio (''mean first passage time matrix'', en inglés) <span id='citeF-20'></span>[[#cite-20|[20]]], la cual nos será fundamental en este trabajo como una cantidad relevante para calcular la relevancia de los distintos ejes viales de la Ciudad de México.

​

La matriz de primer visita promedio, en inglés (MFPT) denotada como <math display="inline">\bold{M}_{ij}</math>, es el número promedio de pasos para llegar ''por primera vez'' al estado <math display="inline">S_{j}</math> partiendo de <math display="inline">S_{i}</math>.  Se puede calcular de acuerdo con la siguiente expresión:

​

<span id="eq-7"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>\bold{M}_{ij}=\dfrac{\bold{Z}_{jj} - \bold{Z}_{ij}}{\vec{\pi } _{j}},   \qquad i \neq j   </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (7)

|}

​

donde la diagonal <math display="inline">\bold{M}_{ii}=0</math> con <math display="inline">i=1, \ldots ,N</math> de acuerdo a la definición dada. Sin embargo, es posible extender esta definición para incluir los elementos diagonales de <math display="inline">\bold{M}</math>. Con esa generalización, los elementos diagonales son inversamente proporcionales a los tiempos de recurrencia <math display="inline">r_{i}</math>. Esto es, <math display="inline">M_{ii}= r_{i}^{-1} </math> <span id='citeF-21'></span>[[#cite-21|[21]]]. Finalmente, en este trabajo calcularemos también la constante de Kemeny, la cual nos permite cuantificar la eficiencia de flujo de información dentro de la red, de acuerdo a  <span id='citeF-22'></span>[[#cite-22|[22]]]:

​

<span id="eq-8"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>K=\sum _{j=1}^{n} \bold{M}_{ij}\vec{\pi } _{j}   </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (8)

|}

​

donde hemos tomando la convención de <math display="inline"> \bold{M}_{ii} = 0</math>, la constante <math display="inline">K</math> es la suma de las entradas del vector de tamaño <math display="inline">32 \times 1</math> que resulta del producto de la matriz <math display="inline">\bold{M}_{ij}</math> por el vector de distribución de probabilidad estacionaria <math display="inline">\vec{\pi } _{j}</math>. La constante de Kemeny proporciona una cantidad interesante para las cadenas finitas de Markov ergódicas, que es independiente del estado inicial de la cadena de Markov como se puede ver en <span id='citeF-22'></span>[[#cite-22|[22]]]. Por lo tanto, la constante de Kemeny es una medida intrínseca para este proceso estocástico, y si la matriz de transición <math display="inline">\bold{P}</math> tiene valores propios <math display="inline"> \lambda _{1}=1, \lambda _{2},\lambda _{3},...,\lambda _{n} </math> entonces otra forma de calcular <math display="inline">K</math> es:

​

<span id="eq-9"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>K=\sum _{j=2}^{N} \dfrac{1}{1-\lambda _{j}}  </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (9)

|}

​

donde la suma inicia en el índice <math display="inline">j=2</math>. La ecuación [[#eq-9|(9)]] enfatiza el hecho de que <math display="inline"> K </math> solo depende en realidad de <math display="inline">\bold{P}</math> y que aumenta si uno o más valores propios de <math display="inline">\bold{P}</math> es real y cercano a 1. <span id='citeF-22'></span>[[#cite-22|[22]]].

​

==3 Aplicaciones a redes de transporte. Caso de la Ciudad de México==

​

Con base en las herramientas anteriores, definiremos una cadena de Markov discreta (CMD) para analizar cuantitativamente las propiedades del flujo de tráfico dentro de un conjunto de ejes viales de la Ciudad de México. Para ello, seleccionaremos un conjunto de avenidas o ejes viales principales y sus respectivos puntos de cruce como los elementos del grafo <math display="inline">G</math>. En esta representación <math display="inline">G</math>, a la cual definimos como ''grafo primario'', las intersecciones son los nodos de la red y los enlaces son los ejes viales mismos. Para este grafo <math display="inline">G</math> se define el grafo dual <math display="inline">\mathcal{G}</math> como aquel en el cual los nodos serán ahora los ejes viales y las intersecciones de los ejes viales corresponden a los enlaces del grafo <math display="inline">\mathcal{G}</math>. Esto es, los enlaces <math display="inline">e_j</math> y los nodos <math display="inline">n_j</math> intercambian su papel <span id='citeF-23'></span>[[#cite-23|[23]]]. La Figura  [[#img-2|(2)]] muestra la red de ejes viales de la Ciudad de México que analizaremos en este trabajo, la cual consta de  los 32 principales ejes viales de la Ciudad de México <span id='citeF-24'></span>[[#cite-24|[24]]].

​

<div id='img-2'></div>

{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"

|-

|[[Image:Review_635848621558-EjesViales.png|600px|Mapa vial de la Ciudad de México en donde se muestra los 32 principales ejes viales de la ciudad. ]]

|- style="text-align: center; font-size: 75%;"

| colspan="1" | '''Figura 2:''' Mapa vial de la Ciudad de México en donde se muestra los 32 principales ejes viales de la ciudad. 

|}

​

El flujo vehicular, es decir, el número de vehículos que circulan en los ejes principales es información no fácilmente accesible. Sin embargo, es factible conocer datos estadísticos a partir de la información en las bases de datos del INEGI (Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática) <span id='citeF-25'></span>[[#cite-25|[25]]]. Para determinar la matriz <math display="inline">\bold{P}</math> se requiere conocer el número total de viajes <math display="inline">V_{ij}</math> que parten  del eje vial <math display="inline">E_i</math> y se dirigen al eje vial <math display="inline">E_j</math>. Esto es una cantidad compleja de determinar, sin embargo, se considerará la información disponible para una ventana de tiempo y espacio restringido. En este caso, consideraremos inicialmente un día en particular de la semana durante un lapso de tiempo de 2 horas, especificamente consideramos una ventana temporal entre  8 y 10 horas de la mañana. Por tanto entonces, la probabilidad <math display="inline">p_{ij}</math> se determina por

​

<span id="eq-10"></span>

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 

|-

| 

{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 

|-

| style="text-align: center;" | <math>p_{ij}=\dfrac{V_{ij}}{\sum _{j=1}^{n} V_{ij}}  </math>

|}

| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (10)

|}

​

donde <math display="inline">p_{ij}</math> son las entradas de la matriz de probabilidad de transición. Con esta información es posible determinar <math display="inline">\bold{P}</math> y el grafo correspondiente, el cual se muestra en la Figura [[#img-3|(3)]].

​

<div id='img-3a'></div>

<div id='img-3b'></div>

<div id='img-3'></div>

{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"

|-

|[[Image:Review_635848621558-GCDMX.png|600px|]]

|[[Image:Review_635848621558-Tabla.png|300px|]]

|- style="text-align: center; font-size: 75%;"

| (a) 

| (b) 

|- style="text-align: center; font-size: 75%;"

| colspan="2" | '''Figura 3:''' Representación del grafo dual <math>\mathcal{G}</math> para el conjunto de <math>32</math> ejes viales principales y sus intersecciones en la Ciudad de México. En el lado izquierdo se muestra la representación de <math>G^{\prime }</math> asociado a la matriz de adyacencia correspondiente. En la parte derecha se muestra una tabla de referencia que permite identificar el número del nodo <math>n_j</math>  con el eje vial correspondiente. 

|}

​

A partir de esta información, determinamos el vector de distribución de probabilidad estacionaria <math display="inline">\vec{\pi }</math>, el cual nos indica el estado de equilibrio de la cadena de Markov definida sobre la red. La figura [[#img-4|(4)]] muestra el vector de distribución de probabilidad estacionaria <math display="inline">\vec{\pi }</math> en función del nodo, es decir, de los ejes viales considerados. El vector de distribución de probabilidad estacionaria <math display="inline">\vec{\pi }</math> indica aquellos ejes viales con mayor probabilidad de ocupación para un día particular de la semana, en un horario de 8 a 10 horas de la mañana. Los ejes viales que muestran una mayor probabilidad de ocupación, ''a tiempos largos de evolución de la CMD'' son los correspondientes a los ejes viales 1, 22, 4, 30 y 2, correspondientes al eje Central, eje 2 sur, eje 3 oriente, eje 8 sur y eje 1 oriente.

​

<div id='img-4'></div>

{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"

|-

|[[Image:Review_635848621558-PI034.png|600px|Vector de distribución de probabilidad estacionaria correspondiente \vecπ de la red de ejes viales de la CDMX calculada  mediante la ecuación [[#eq-4|(4)]] en donde \vecπ = π⋅P, contiene información de la probabilidad de ocupación de cada eje vial. ]]

|- style="text-align: center; font-size: 75%;"

| colspan="1" | '''Figura 4:''' Vector de distribución de probabilidad estacionaria correspondiente <math>\vec{\pi }</math> de la red de ejes viales de la CDMX calculada  mediante la ecuación [[#eq-4|(4)]] en donde <math>\vec{\pi } = \pi \cdot \bold{P}</math>, contiene información de la probabilidad de ocupación de cada eje vial. 

|}

​

Uno de los objetivos centrales de este trabajo es determinar la matriz de primer visita promedio, (''mean first passage time'') <math display="inline">\bold{M}= \{ M_{ij} \} </math> la cual nos indica, en promedio, el número de pasos requerido para pasar de un nodo <math display="inline">n_i</math> a un nodo <math display="inline">n_j</math> dentro de la red. En este caso, dado que el conjunto de nodos <math display="inline">{ n_k}</math> se refiere a los ejes viales en cuestión, el elemento <math display="inline">M_{ij}</math> se refiere al tiempo promedio, considerando todas las rutas posibles, en el cual partiendo del eje vial <math display="inline">i</math> se alcanza el eje vial <math display="inline">j</math> por ''primera vez''. Es fundamental considerar que este tiempo (o número de pasos) se refiere a la primera vez que se alcanza el nodo <math display="inline">n_j</math> dentro de la red. En principio es perfectamente posible construir trayectorias que lleguen a <math display="inline">n_j</math> muchas más de una vez, pero no son las que se consideran en el proceso estocástico aquí descrito. En la Tabla (1) se muestra la matriz <math display="inline">\bold{M}</math> que se ha determinado para este caso.

​

​

{|  class="floating_tableSCP wikitable" style="text-align: center; margin: 1em auto;min-width:50%;"

|+ style="font-size: 75%;" |<span id='table-1'></span>Tabla. 1 Entradas de la matriz de primer visita promedio <math>\bold{M}_{ij}</math>

|-

|   0. 

|  18.7 

|  25. 

|  15.3 

|  106. 

|  33. 

|  34.4 

|  25.1 

|  30.9 

|  41.9 

|  218. 

|  25.4 

|  90.9 

|  160. 

|  86. 

|  66.2 

|  60.2 

|  68.4 

|  73.4 

|  41.9 

|  93.9 

|  17.9 

|  26.7 

|  77.8 

|  65.2 

|  140. 

|     62.7 

|  60.3 

|  32.8 

|  11.7 

|  37.7 

|  44. 

|-

|   11.9 

|  0. 

|  25.8 

|  19.5 

|  104. 

|  34.6 

|  33.2 

|  22.6 

|  29.2 

|  41.3 

|  218. 

|  27.2 

|  88.1 

|  167. 

|  82.7 

|  64.6 

|  56.1 

|  69.2 

|  73.2 

|  42. 

|  99.4 

|  18.3 

|  27.5 

|  67.4 

|  65.9 

|  133. 

|     63.4 

|  54.2 

|  26.6 

|  20.7 

|  32.5 

|  36.5 

|-

|   9.3 

|  20.4 

|  0. 

|  15.5 

|  107. 

|  35.6 

|  34.7 

|  23.1 

|  29.2 

|  39.8 

|  217. 

|  27.8 

|  91.9 

|  168. 

|  86.6 

|  55.5 

|  56.5 

|  68.7 

|  68.8 

|  43.2 

|  94.3 

|  16.5 

|  15.7 

|  79.2 

|  65.3 

|  141. 

|     61.7 

|  62.2 

|  35.1 

|  19.1 

|  34.5 

|  45.2 

|-

|   8.12 

|  21. 

|  25.7 

|  0. 

|  103. 

|  31.4 

|  35.7 

|  25.1 

|  29.9 

|  38.8 

|  210. 

|  21.9 

|  90.7 

|  167. 

|  83.8 

|  68.3 

|  62.5 

|  70.7 

|  68.1 

|  42. 

|  98.5 

|  14.5 

|  26.8 

|  78.4 

|  63.1 

|  139. 

|     53.3 

|  62.6 

|  35.1 

|  17.1 

|  40.4 

|  47.6 

|-

|   9.71 

|  20.8 

|  22.8 

|  16.5 

|  0. 

|  27.5 

|  36. 

|  27. 

|  32.4 

|  42.4 

|  218. 

|  6.27 

|  84.3 

|  169. 

|  79.4 

|  67.3 

|  62.4 

|  71.9 

|  74. 

|  45. 

|  98.9 

|  19.4 

|  27.1 

|  76.6 

|  57. 

|  139. 

|     62.6 

|  63.4 

|  35.9 

|  18.2 

|  40.1 

|  47.6 

|-

|   9.88 

|  20.7 

|  23.5 

|  17. 

|  94.8 

|  0. 

|  35.5 

|  26.8 

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|  42.7 

|  213. 

|  11.8 

|  86.5 

|  169. 

|  86.4 

|  67.4 

|  62.1 

|  71.3 

|  74.3 

|  45. 

|  98.9 

|  19.4 

|  27.3 

|  71.7 

|  59.3 

|  130. 

|     57.8 

|  62.6 

|  35.2 

|  15.8 

|  39.8 

|  47. 

|-

|   10.3 

|  19.7 

|  27.3 

|  16.4 

|  107. 

|  36.5 

|  0. 

|  20.9 

|  23.9 

|  37.5 

|  220. 

|  28.5 

|  92.4 

|  169. 

|  68. 

|  68.9 

|  62. 

|  73.1 

|  71.2 

|  37.6 

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|  14.6 

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|  141. 

|     64.3 

|  61.2 

|  33.7 

|  19.8 

|  39.5 

|  47.5 

|-

|   11.6 

|  22. 

|  29.8 

|  18.3 

|  108. 

|  37.8 

|  25.9 

|  0. 

|  13.5 

|  33.9 

|  221. 

|  29.9 

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|  82.8 

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|  79.4 

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|  141. 

|     66.1 

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|  32.3 

|  20.8 

|  40.8 

|  49.4 

|-

|   11.9 

|  21. 

|  29.6 

|  18.3 

|  107. 

|  37.4 

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|  16.1 

|  0. 

|  30.9 

|  221. 

|  29.7 

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|  170. 

|  85.7 

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|  59.3 

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|  71.5 

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|  99.7 

|  12.2 

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|  141. 

|     65.9 

|  56. 

|  28.3 

|  20.7 

|  39.6 

|  48.8 

|-

|   11.4 

|  21.7 

|  29. 

|  17.6 

|  104. 

|  35.4 

|  33.2 

|  22.1 

|  21.7 

|  0. 

|  221. 

|  28.2 

|  94.6 

|  170. 

|  86.2 

|  70.1 

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|  74.3 

|  60.2 

|  40.1 

|  99.8 

|  10.3 

|  25.9 

|  75.3 

|  44.3 

|  142. 

|     65.2 

|  61.5 

|  33.9 

|  19.3 

|  41.4 

|  49.2 

|-

|   11.9 

|  17.6 

|  22.1 

|  18.4 

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|  30.4 

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|  26.6 

|  32. 

|  42.8 

|  0. 

|  22.5 

|  78.8 

|  170. 

|  86.7 

|  64.8 

|  60.9 

|  34.2 

|  72.7 

|  45.7 

|  100. 

|  20.2 

|  27.1 

|  76.8 

|  65.2 

|  101. 

|     47.9 

|  62.5 

|  35.1 

|  20.7 

|  38.8 

|  46.3 

|-

|   8.22 

|  20. 

|  21. 

|  15.8 

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|  25.2 

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|  26.4 

|  32. 

|  42.5 

|  217. 

|  0. 

|  81. 

|  167. 

|  86.2 

|  65.9 

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|  73.5 

|  44.5 

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|  19. 

|  26.1 

|  76.9 

|  63.8 

|  138. 

|     61.4 

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|  39. 

|  46.5 

|-

|   11.1 

|  11.3 

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|  18.7 

|  100. 

|  31.3 

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|  218. 

|  15.6 

|  0. 

|  168. 

|  85.5 

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|  65.3 

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|  19.7 

|  27.6 

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|  137.    

|  63.5 

|  59.5 

|  32. 

|  20. 

|  36.8 

|  42.7 

|-

|   9.91 

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|  27.7 

|  89.8 

|  0. 

|  84.5 

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|  58.1 

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|  74.3 

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|  19.2 

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|  136. 

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|  34.8 

|  39.4 

|-

|   10.9 

|  16. 

|  23.7 

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|  106. 

|  34.8 

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|  26.5 

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|  0. 

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|     60.5 

|  61. 

|  33.5 

|  19.9 

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|  45.3 

|-

|   11.7 

|  16.8 

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|  37.6 

|  33.8 

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|  29.5 

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|  0. 

|  30.8 

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|  77.8 

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|  141. 

|     66.6 

|  59.3 

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|  21.3 

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|  44.2 

|-

|   13.4 

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|  30.3 

|  21. 

|  110. 

|  39. 

|  31. 

|  11.6 

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|  31.3 

|  93.6 

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|  86. 

|  43.2 

|  0. 

|  67.8 

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|  43.3 

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|  27.7 

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|  142. 

|  67.9    

|  58.1 

|  33.5 

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|  11.6 

|  44.9 

|-

|   10.7 

|  13.4 

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|  0. 

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|  25.4 

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|     63.6 

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|  20.1 

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|  43.3 

|-

|   11.7 

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|  15.1 

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|  72.6 

|  0. 

|  42. 

|  100. 

|  14.1 

|  27.3 

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|  140. 

|     63.1 

|  61.2 

|  33.6 

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|-

|   5.8 

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|  93.6 

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|  0. 

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|     64.7 

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|  40.3 

|  47.3 

|-

|   9.53 

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|  28. 

|  90.9 

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|  63.5 

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|  73. 

|  43.2 

|  0. 

|  18.6 

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|     63.8 

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|  31.5 

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|-

|   8.88 

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|  28.9 

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|  32.2 

|  220. 

|  28.4 

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|  168. 

|  86.1 

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|  71.4 

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|  98.5 

|  0. 

|  23.7 

|  78.9 

|  59.6 

|  142. 

|     64.7 

|  61.7 

|  34.1 

|  18.5 

|  41.1 

|  48.7 

|-

|   6.69 

|  21.4 

|  27.2 

|  10. 

|  106. 

|  34.1 

|  34.1 

|  24.8 

|  29.6 

|  39.4 

|  216. 

|  25.7 

|  92.6 

|  166. 

|  85.3 

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|  62.8 

|  71.6 

|  71.6 

|  41.2 

|  97.5 

|  13.7 

|  0. 

|  79.2 

|  64.1 

|  141. 

|     60.1 

|  62.6 

|  35.1 

|  16.7 

|  40.6 

|  47.6 

|-

|   11.6 

|  15.7 

|  27.6 

|  18.4 

|  104. 

|  32.5 

|  20.4 

|  23.1 

|  27.3 

|  38. 

|  219. 

|  26.8 

|  91.7 

|  169. 

|  78.4 

|  68.7 

|  61.5 

|  72.9 

|  72.7