Simulação numérica do escoamento superficial por meio do método do reticulado de Boltzmann utilizando junção de sub-bacias

==Resumo==

Investigou-se o escoamento superficial em bacia hidrográfica por meio da simulação numérica unidimensional utilizando o método do reticulado de Boltzmann (LBM). Desenvolveu-se um modelo computacional onde a bacia hidrográfica é representada pela junção de nove sub-bacias. Para isto, foram estabelecidas duas funções de distribuição de equilíbrio obtidas por meio da expansão de Chapmann-Enskog e utilizando o reticulado D1Q5, uma adequada para o escoamento na superfície da bacia e outra para o canal principal, obtendo a profundidade da água na superfície da bacia e a área da seção transversal nos canais. Além disso, estabeleceu-se a condição de contorno na passagem de fluxo de uma sub-bacia para outra, levando em consideração a conservação da massa e, para se obter uma simulação mais próxima da realidade, considerou-se uma vazão inicial que ocorre no rio (escoamento de base), em cada trecho de canal.  Os resultados numéricos obtidos pelo LBM foram comparados com dados medidos em campo.

<!--Vanderlei Galina   
Departamento de Matemática, Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) 
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Jocelaine Cargnelutti Coordenação do Curso de Matemática, Universidade Tecnológica  Federal do Paraná (UTFPR) - Toledo PR, Brasil
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Liliana Madalena Gramani (In memoriam) Departamento de Matemática, Universidade Federal do Paraná (UFPR) - Curitiba PR, Brasil
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Adilandri Mércio Lobeiro Departamento de Matemática Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) - Campo Mourão PR, Brasil
e-mail: adilandri@gmail.com-->
'''Palavras-chaves''': Método do reticulado de Boltzmann, escoamento em bacias hidrográficas, escoamento superficial, modelo onda cinemática, junção de sub-bacias

==Abstract==

The watershed surface runoff was investigated through the one-dimensional numerical simulation using the Lattice Boltzmann Method (LBM). A computational model was developed where the watershed is represented by the junction of nine sub-basins. For this, two equilibrium distribution functions were established through the Chapman-Enskog Expansion on a D1Q5 lattice, one suitable for flow on the basin surface and another for the main channel, obtaining the water depth on the basin surface and the channels cross-sectional area. In addition, the boundary condition was established in the flow passage from one sub-basin to another, taking into account the mass conservation and, in order to obtain a simulation closer to reality, it was considered an initial river flow (baseflow) of each channel stretch. The numerical results obtained by the LBM were compared with data measured in field.

'''Keywords''': Lattice Boltzmann method, runoff in watersheds, overland flow, kinematic wave model, sub-basin junction

==1. Introdução==

O comportamento do escoamento de um fluido pode ser, satisfatoriamente, avaliado por meio de métodos numéricos. Simulações numéricas, análises teóricas, técnicas experimentais e dados coletados, são ferramentais que se complementam na resolução de problemas em hidrodinâmica <span id='citeF-1'></span>[[#cite-1|[1]]]. Em particular, o LBM se destaca por capturar as características físicas de problemas, até mesmo detalhes microscópicos, e as apresenta de forma macroscópica <span id='citeF-2'></span>[[#cite-2|[2]]]. A abordagem do LBM é diferenciada quando comparada aos métodos numéricos tradicionais, pois fornece uma maneira indireta para a solução das equações governantes do escoamento. O LBM não utiliza discretização das equações macroscópicas, o método baseia-se em modelos microscópicos e equações que governam a cinética em um nível mesoscópico. No LBM a dinâmica macroscópica de um fluido é resultado do comportamento coletivo de partículas microscópicas e não se altera com os detalhes subjacentes referentes as interações moleculares do fluido <span id='citeF-3'></span>[[#cite-3|[3]]]. O método tem sido aplicado nas mais diversas áreas de pesquisa e tornou-se de grande potencial no estudo da dinâmica de fluidos computacional. Escoamentos envolvendo águas rasas <span id='citeF-2'></span><span id='citeF-4'></span><span id='citeF-5'></span><span id='citeF-6'></span><span id='citeF-7'></span><span id='citeF-8'></span><span id='citeF-9'></span><span id='citeF-10'></span><span id='citeF-11'></span><span id='citeF-12'></span><span id='citeF-13'></span><span id='citeF-14'></span><span id='citeF-15'></span><span id='citeF-16'></span><span id='citeF-17'></span><span id='citeF-18'></span><span id='citeF-19'></span><span id='citeF-20'></span>[[#cite-2|[2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20]]], o modelo onda cinemática <span id='citeF-6'></span><span id='citeF-21'></span><span id='citeF-22'></span><span id='citeF-23'></span><span id='citeF-25'></span><span id='citeF-24'></span>[[#cite-6|[6,21,22,23,25,24]]] e várias outras aplicações como em meios porosos <span id='citeF-26'></span><span id='citeF-30'></span><span id='citeF-27'></span><span id='citeF-28'></span><span id='citeF-29'></span>[[#cite-26|[26,30,27,28,29]]] foram abrangidos pelo LBM e as simulações apresentaram resultados satisfatórios.

As equações de Saint-Venant governam o escoamento em superfície livre. Porém, para sua resolução, elaboradas técnicas numéricas e uma grande quantidade de informações hidráulicas são necessárias. Na busca em reduzir a quantidade de dados necessários e a dificuldade numérica de resolução das equações diferenciais, são empregadas simplificações das equações de Saint-Venant como o modelo onda cinemática, também denominado modelo hidráulico de propagação de ondas de cheias  <span id='citeF-31'></span>[[#cite-31|[31]]].

O modelo onda cinemática é aplicado para descrever escoamentos superficiais em bacias hidrográficas e cursos de água naturais. Foco de interesse neste estudo, as bacias hidrográficas são um sistema natural que exige monitoramento no sentido de prever seu comportamento em ações como precipitações extremas, cheias, estiagens, entre outros. Com a análise destes eventos, é possível gerenciar os recursos hídricos e evitar a degradação do solo, oferecendo assim planejamento adequado para o espaço rural e urbano <span id='citeF-1'></span>[[#cite-1|[1]]].

Utilizando o LBM com aperador de colisão BGK, a proposta deste estudo é obter a simulação numérica do escoamento superficial na bacia do rio Chopim, representado pelas equações do modelo onda cinemática. A bacia do rio Chopim abrange uma área de <math display="inline">7.500</math> km<math display="inline">^2</math> e está localizada dentro da bacia do rio Iguaçu, a qual tem grande importância na geração de energia por meio de usinas hidrelétricas e pela grande demanda de recursos hídricos. Considera-se, nesse estudo, um trecho do rio Chopim com comprimento de aproximadamente <math display="inline">281</math> km com área de drenagem em torno de <math display="inline">3.205</math> km<math display="inline">^2</math> na superfície da bacia.

Lembramos que um artigo, publicado em 2018, dos mesmos autores deste artigo, fornece um estudo menos amplo que o apresentado aqui. No artigo <span id='citeF-24'></span>[[#cite-24|[24]]] obteve-se a simulação numérica unidimensional do escoamento superficial em uma bacia hidrográfica natural, por meio do LBM. De acordo com as caractrísticas da bacia hidrográfica estudada, foi possivel obter bons resultados na simulação considerando no modelo computacional a superfície da bacia segmentada em apenas dois planos laterais e um canal principal. No novo artigo que estamos apresentando, analizamos outra bacia hidrográfica, que devido as suas características, foi necessário segmentá-la em 9 sub-bacias. Com esta nova configuração, foi necessário estabelecer condições de contorno na passagem de fluxo de uma sub-bacia para outra, levando em consideração a conservação da massa. No artigo <span id='citeF-24'></span>[[#cite-24|[24]]] determinou-se duas funções de distribuição de equilíbrio obtidas por meio da expansão de Chapmann-Enskog em escalas de tempo e utilizando o reticulado D1Q3. Neste novo artigo, as funções de equilíbrio foram determinadas para o reticulado D1Q5. Além destas novas contribuições, para se obter uma simulação mais próxima da realidade, considerou-se uma vazão inicial que ocorre no rio (escoamento de base), em cada trecho de canal, antes de ocorrer a precipitação.

As quatro principais contribuições deste artigo são: 1) Aplicação do LBM para obter a simulação numérica do escoamento superficial da bacia do rio Chopim representada pela junção de nove sub-bacias formadas por planos laterais e um segmento de canal. Em cada sub-bacia, a água que escoa dos planos entra no canal sob a forma de contribuição lateral. Na saída de cada sub-bacia, obtém-se um hidrograma, que foi utilizado para ajustar as condições de contorno na junção de dois segmentos de canal. A simulação produziu o hidrograma total o qual fornece a variação da vazão em relação ao tempo correspondente a resposta da bacia hidrográfica após a precipitação efetiva do evento simulado; 2) Determinação de duas funções de distribuição de equilíbrio obtidas por meio da expansão de Chapmann-Enskog em escalas de tempo e utilizando o reticulado D1Q5, uma adequada para o escoamento na superfície da bacia e outra para o canal principal, obtendo a profundidade da água na superfície da bacia e área da seção transversal nos canais; 3) Determinação de condição de contorno na passagem de fluxo de uma sub-bacia para outra, levando em consideração a conservação da massa; 4) Para se obter uma simulação mais próxima da realidade, considerou-se uma vazão inicial que ocorre no rio (escoamento de base), em cada trecho de canal, antes de ocorrer a precipitação. Essa vazão entra no modelo computacional como uma condição inicial. Também é considerada como uma condição de contorno ao ser adicionada na contribuição lateral dos planos, em cada passo de tempo.

Este artigo está estruturado da seguinte forma. Na seção [[#2 Equações de escoamento|2]] tem-se as equações governantes do escoamento. Em seguida, na seção [[#3 Método do Reticulado de Boltzmann|3]], apresenta-se o método numérico que será utilizado e os quatro elementos principais que o caracterizam: Equação do LBM e o operador de colisão BGK, o reticulado D1Q5, a expensão multi-escala e as funções distribuição de equilíbrio. Tem-se, também, nesta seção informações sobre condições de contorno e estabilidade. O estudo de caso é apresentado na seção [[#4 Estudo de caso: Escoamento em uma bacia hidrográfica|4]] considerando as características da bacia do rio Chopim, resultados da simulação e discussões. Em seguida, na seção [[#6 Conclusão|6]], apresentam-se as conclusões deste trabalho.

==2. Equações de escoamento==

As equações de Saint-Venant unidimensionais formam um sistema de equações não-lineares composto pelas equações da continuidade [[#eq-1|(1)]] e da quantidade de movimento [[#eq-2|(2)]]. Elas governam o escoamento onde há superfície livre, com a suposição de que a componente vertical e transversal da velocidade do escoamento pode ser desprezada em relação aos componentes longitudinais <span id='citeF-32'></span>[[#cite-32|[32]]],

<span id="eq-1"></span>
<span id="eq-2"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} + \frac{{\partial A}}{{\partial t}} = {0}  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (1)
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>  \frac{{\partial Q}}{{\partial t}} + \frac{\partial }{{\partial x}}\left({\frac{{{Q^2}}}{A}} \right)+ gA\frac{{\partial h}}{{\partial x}} = gA({S_o} - {S_f}),   </math>
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2)
|}
|}

onde <math display="inline">Q</math> é a vazão, <math display="inline">A</math> é a área da seção transversal, <math display="inline">h</math> é a profundidade do escoamento, <math display="inline">g</math> é a aceleração da gravidade, <math display="inline">t</math> é o tempo, <math display="inline">x</math> é a coordenada espacial, <math display="inline">S_0</math> é a declividade do fundo e <math display="inline">S_f</math> representa a declividade da linha de energia.

No escoamento em bacias hidrográficas utiliza-se o modelo onda cinemática como simplificação das equações de Saint-Venant. Este modelo, considera a equação da continuidade e a equação da quantidade de movimento, desprezando os termos de pressão e inércia. Dessa forma, a equação da quantidade de movimento resulta <span id='citeF-33'></span>[[#cite-33|[33]]],

<span id="eq-3"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>S_0=S_f  . </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (3)
|}

O modelo onda cinemática baseia-se, principalmente, na equação da continuidade e faz-se uma aproximação da equação da quantidade de movimento por uma fórmula de fluxo uniforme. Definindo a declividade da linha de energia <math display="inline">S_f</math>, com uma fórmula de fluxo uniforme, a equação [[#eq-3|(3)]] pode ser representada para o escoamento em canal ou em escoamento superficial por uma relação de potência da forma <span id='citeF-34'></span>[[#cite-34|[34]]],

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>Q = {\alpha }{A^{\lambda }}, </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4)
|}

em que <math display="inline">\alpha </math> e <math display="inline">\lambda </math> são coeficientes determinados pelas características do escoamento. Este modelo não-linear considera a variabilidade dos parâmetros de acordo com a vazão. Assim, o escoamento em trechos de canais da bacia é dado pelas equações,

<span id="eq-5"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\frac{{\partial A}}{{\partial t}} + \frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = {q_l}\quad ; </math> <math> \quad   Q = {\beta _c}{A^{{m_c}}}     , </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (5)
|}

onde <math display="inline">q_l</math> é a contribuição lateral, <math display="inline">\beta _c</math> e <math display="inline">m _c</math> são parâmetros a serem determinados.

As condições iniciais e de contorno nos canais são determinadas por hidrogramas de vazão resultantes do escoamento na superfície e em  trechos de canais a montante. A superfície da bacia é aproximada por planos, dessa forma, considerando que a equação da continuidade [[#eq-1|(1)]] descreva o escoamento em um canal prismático e retangular, as equações de escoamento para os planos que descrevem a superfície da bacia são as seguintes,

<span id="eq-6"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\frac{{\partial h}}{{\partial t}} + \frac{{\partial q}}{{\partial x}} = {i_e}\quad ; </math> <math> \quad   q = {\beta _s}{h^{{m_s}}}, </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (6)
|}

onde <math display="inline">q</math> é a vazão por unidade de largura, <math display="inline">i_e</math> é a precipitação efetiva e <math display="inline">\beta _s</math> e <math display="inline">m _s</math> são parâmetros a serem determinados.

As condições iniciais e de contorno são representadas por,

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>h(0,t) = 0, \quad t > 0</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (7)
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>  h(x,0) = 0, \quad 0 \le x \le L </math>
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (8)
|}
|}

onde <math display="inline">L</math> é o comprimento de declive.

A aplicação do modelo onda cinemática em escoamento superficial difere da sua aplicação em rios, apenas pelo meio onde ocorre o escoamento. Quanto a rugosidade, utiliza-se a resistência hidráulica de Manning, assim <math display="inline">\beta _c = \beta _s = \sqrt{S_0} /n_r</math> e <math display="inline">m_c = m_s = 5/3</math>, onde <math display="inline">n_r</math> é o coeficiente de rugosidade de Manning.

==3. Método do reticulado de Boltzmann==

De acordo com Chen and Doolen <span id='citeF-3'></span>[[#cite-3|[3]]], o LBM é um esquema numérico baseado em equações cinéticas formuladas em uma escala mesoscópica que simula a dinâmica do fluido em uma escala macroscópica. A dinâmica deste método é dada pela equação do reticulado de Boltzmann, a qual mostra como ocorrem as distribuições das micropartículas.

O LBM considera uma dinâmica molecular de partículas fictícias em que o espaço, o tempo e as velocidades são discretas. Essas partículas viajam de um ponto ao outro na malha em tempos discretos, se encontrando nestes pontos ao final de cada passo de tempo e trocam quantidade de movimento e energia. No que se refere aos módulos de velocidades, eles assumem valores contínuos. Por outro lado, o LBM pode ser visto como uma forma simplificada da equação cinética de Boltzmann, em que somente são mantidos os detalhes moleculares essenciais para se recuperar o comportamento macroscópico correto <span id='citeF-35'></span>[[#cite-35|[35]]].

Quatro elementos principais caracterizam o LBM: a equação governante, o operador de colisão, o reticulado e a função distribuição de equilíbrio <span id='citeF-2'></span>[[#cite-2|[2]]].

===3.1 Equação do LBM e o operador BGK===

Inicialmente apresenta-se em equação [[#eq-9|(9)]], a equação governante do LBM com aperador de colisão BGK, denominada equação do reticulado de Boltzmann. A forma do operador de colisão foi determinada por Bhatnagar et al. <span id='citeF-36'></span>[[#cite-36|[36]]], com o objetivo de simplificar a equação cinética de Boltzmann.  A equação do reticulado de Boltzmann, possui as etapas de propagação e colisão. Na etapa de propagação, as partículas se movem de um nó da malha para um dos seus nós vizinhos, com direção dada pela velocidade. Na etapa de colisão, as partículas que chegam no mesmo nó interagem entre si e mudam suas direções conforme as diretrizes do operador de colisão <span id='citeF-37'></span>[[#cite-37|[37]]]
<span id="eq-9"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{f_\alpha }(\vec x + {{\vec e}_\alpha }\Delta t,t + \Delta t) - {f_\alpha }(\vec x,t) = \Omega _{\alpha }   + {(\Delta t)^2}{g_\alpha }(\vec x,t),   </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (9)
|}

<span id="eq-10"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\Omega _{\alpha } = -\dfrac{1}{\tau } \left[{{f_\alpha }(\vec x,t) - f_\alpha ^{eq}(\vec x,t)} \right],   </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (10)
|}

onde <math display="inline">\Omega _{\alpha }</math> é o operador de colisão, <math display="inline">f_\alpha </math> é a função distribuição de partículas e representa a probabilidade de uma partícula seguir determinada direção, <math display="inline">f_\alpha ^{eq}</math> é a função distribuição de equilíbrio, <math display="inline">\vec x</math> é o posição do nó na malha, <math display="inline">\Delta t</math>  é o incremento no tempo, <math display="inline">\vec {{e_\alpha }}</math> são as possíveis direções de movimento na malha, <math display="inline">{(\Delta t)^2}{g_\alpha }</math> é o termo de força e <math display="inline">\tau </math> é o parâmetro de relaxamento.

===3.2 Reticulado D1Q5===

No LBM o reticulado tem a função de representar os pontos da malha e determinar as direções de movimento das partículas. As direções finitas e determinadas para o movimento das partículas definem num modelo microscópico para a dinâmica molecular. Na escolha do reticulado a ser utilizado é essencial observar a sua simetria. Ela é necessária para que o reticulado possa representar as equações macroscópicas <span id='citeF-2'></span>[[#cite-2|[2]]].

Encontra-se em Qian ''et al.'' <span id='citeF-30'></span>[[#cite-30|[30]]], uma família de reticulados denominada <math display="inline">DkQm</math>, onde <math display="inline">k</math> indica o espaço <math display="inline">k</math>-dimensional e <math display="inline">m</math> as direções de movimento para as distribuições de partículas. O modelo de reticulado D1Q5 é unidimensional com quatro direções de velocidades não nulas e uma para velocidade nula. As partículas do fluido se movimentam para dois nós vizinhos a esquerda e dois nós vizinhos a direita. A  [[#img-1|Figura 1]] mostra o reticulado D1Q5 com velocidades <math display="inline">\vec e_0=0</math>, <math display="inline">\vec e_1=-e</math>, <math display="inline">\vec e_2=-2e</math>, <math display="inline">\vec e_3=e</math> e <math display="inline">\vec e_4=2e</math>, sendo <math display="inline">e=\Delta x / \Delta t</math> a velocidade no reticulado, em que <math display="inline">\Delta x</math> é o espaçamento da malha.

<div id='img-1'></div>
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
|-
|style="padding:10px;"| [[Image:Draft_Galina_237452870-Reticulado_D1Q5.png|360px|Reticulado D1Q5]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 1'''. Reticulado D1Q5
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" style="padding-bottom:10px;"| '''Fonte:''' Zhang e Yan <span id='citeF-38'></span>[[#cite-38|[38]]]
|}

===3.3 Expansão multi-escala===

Uma expansão multi-escala deve ser aplicada para fazer a ligação entre a escala mesoscópica, onde se insere o LBM, e a escala macroscópica das equações governantes. A expansão mais utilizada é a expansão de Chapmann-Enskog <span id='citeF-39'></span>[[#cite-39|[39]]], a qual considera escalas de tempo e espaço para que a partir da equação do reticulado de Boltzmann seja derivada e equação governante do escoamento.

Para que não hajam funções de distribuição negativas associadas a equação de onda cinemática, o que contraria as leis da física, deve-se atribuir a expansão multi-escala apenas a coordenada de tempo <span id='citeF-22'></span>[[#cite-22|[22]]]. Dessa forma, aplicando-se cinco escalas a coordenada temporal, as formas diferenciais para as coordenadas de espaço e tempo são como seguem,

<span id="eq-11"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{align}& \dfrac{\partial }{{\partial t}} = \dfrac{\partial }{{\partial {t_0}}} + \varepsilon \dfrac{\partial }{{\partial {t_1}}} + {\varepsilon ^2}\dfrac{\partial }{{\partial {t_2}}} + {\varepsilon ^3}\dfrac{\partial }{{\partial {t_3}}} + {\varepsilon ^4}\dfrac{\partial }{{\partial {t_4}}} + O({\varepsilon ^5}),\\
& \dfrac{\partial }{{\partial x}} = \dfrac{\partial }{{\partial x}} + O(\varepsilon ),\end{align}     </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (11)
|}

em que <math display="inline">t_0, \,t_1, \,t_2, \,t_3</math> e <math display="inline">t_4</math> são escalas de tempo e <math display="inline">\varepsilon </math> é o número de Knudsen. O número de Knudsen é uma medida adimensional definido como a razão entre o comprimento do caminho livre médio molecular e uma escala de comprimento fisicamente representativa.

Expandindo <math display="inline">f_\alpha </math> em torno da função de distribuição de equilíbrio <math display="inline">f^{eq}_\alpha </math> com <math display="inline">\varepsilon </math> pequeno, tem-se,

<span id="eq-12"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{f_\alpha } = f_\alpha ^{(0)} + \varepsilon f_\alpha ^{(1)} + {\varepsilon ^2}f_\alpha ^{(2)} + {\varepsilon ^3}f_\alpha ^{(3)} + {\varepsilon ^4}f_\alpha ^{(4)} + O({\varepsilon ^5})  , </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (12)
|}

em que <math display="inline">f_\alpha ^{(0)}</math> é função distribuição de equilíbrio,

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>f_\alpha ^{(0)}=f_\alpha ^{eq}, </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (13)
|}

e, a função distribuição de não equilíbrio é descrita na forma,

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>f_\alpha ^{neq}=\varepsilon f_\alpha ^{(1)} + {\varepsilon ^2}f_\alpha ^{(2)} + {\varepsilon ^3}f_\alpha ^{(3)} + {\varepsilon ^4}f_\alpha ^{(4)} + O({\varepsilon ^5}). </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (14)
|}

A expansão de <math display="inline">{f_\alpha }(\vec x + {{\vec e}_\alpha }\Delta t,\,t + \Delta t)</math> em série de Taylor de quinta ordem, considerando <math display="inline">\Delta t = \varepsilon </math>, comparada com a equação [[#eq-9|(9)]] de evolução do LBM, resulta em,

<span id="eq-15"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\varepsilon {\Delta }{f_\alpha } + \frac{{{\varepsilon ^2}}}{2}{\Delta ^2}{f_\alpha } + \frac{{{\varepsilon ^3}}}{6}{\Delta ^3}{f_\alpha } </math><math>+ \frac{{{\varepsilon ^4}}}{24}{\Delta ^4}{f_\alpha } = - \frac{1}{\tau }\left({{f_\alpha } - f_\alpha ^{eq}} \right)+ {\varepsilon ^2}{g_\alpha }, </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (15)
|}

em que,

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\Delta  \equiv \frac{\partial }{{\partial {t_0}}} + {{\vec e}_\alpha }\frac{\partial }{{\partial x}}. </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (16)
|}

Com base nas escalas de tempo e na expansão de <math display="inline">f_\alpha </math>, equações [[#eq-11|(11)]] e [[#eq-12|(12)]], respectivamente, e comparando todas as ordens de <math display="inline">\varepsilon </math>, determinam-se as equações discretas do reticulado de Boltzmann de diferentes ordens de magnitude,

<span id="eq-17"></span>
<span id="eq-18"></span>
<span id="eq-19"></span>
<span id="eq-20"></span>
<span id="eq-21"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>O({\varepsilon ^0}) : f_\alpha ^{(0)} = f_\alpha ^{eq}   ,</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (17)
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>  O({\varepsilon ^1}) : \Delta \,f_\alpha ^{(0)} =  - \frac{1}{\tau }f_\alpha ^{(1)}   ,</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (18)
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>  O({\varepsilon ^2}) : \frac{{\partial f_\alpha ^{(0)}}}{{\partial {t_1}}} + {p}_{2}{\Delta ^2}f_\alpha ^{(0)} =  - \frac{1}{\tau }f_\alpha ^{(2)} + {g_\alpha }  ,</math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (19)
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>  O({\varepsilon ^3}) : \frac{{\partial f_\alpha ^{(0)}}}{{\partial {t_2}}} + p_{3} {\Delta ^3}f_\alpha ^{(0)} + 2p_2 \Delta \frac{{\partial f_\alpha ^{(0)}}}{{\partial {t_1}}} =  - \frac{1}{\tau }f_\alpha ^{(3)} -\tau \Delta {g_\alpha },  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (20)
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>  O({\varepsilon ^4}): \frac{{\partial f_\alpha ^{(0)}}}{{\partial {t_3}}} + p_{4} {\Delta ^4}f_\alpha ^{(0)} + 3p_{3} {\Delta ^2}\frac{{\partial f_\alpha ^{(0)}}}{{\partial {t_1}}} + 2p_2 \Delta \frac{{\partial f_\alpha ^{(0)}}}{{\partial {t_2}}} </math>
|-
| style="text-align: center;" | <math> + p_{2} \frac{{\partial ^2 f_\alpha ^{(0)}}}{{\partial t_1^{2}}} =  - \frac{1}{\tau }f_\alpha ^{(4)}  + p_2 \tau \Delta ^2 {g_\alpha } - \tau \frac{{\partial g_\alpha }}{{\partial {t_1}}},    </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (21)
|}

em que <math display="inline">p_1, \,p_2, \,p_3</math> e <math display="inline">p_4</math> são polinômios em relação ao parâmetro de relaxamento <math display="inline">\tau </math>, descritos por,

<span id="eq-22"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{align} & {p_1}(\tau ) = \tau , \\
& {p_2}(\tau ) = \frac{1}{2} - \tau , \\ 
&   {p_3}(\tau ) = {\tau ^2} - \tau  + \frac{1}{6}, \\
& {p_4}(\tau ) =  - {\tau ^3} + \frac{3}{2}{\tau ^2} - \frac{7}{{12}}\tau  + \frac{1}{{24}}.\end{align}       </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (22)
|}

Por meio das equações [[#eq-17|(17)]], [[#eq-18|(18)]], [[#eq-19|(19)]], [[#eq-20|(20)]] e [[#eq-21|(21)]] determinam-se os momentos da função distribuição de equilíbrio, e a partir das equações geradas da expansão dos momentos sobre o reticulado, determinam-se as expressões da função distribuição de equilíbrio nas direções do reticulado.

===3.4 Função distribuição de equilíbrio===

A função distribuição de equilíbrio juntamente com a equação do Reticulado de Boltzmann [[#eq-9|(9)]] desempenham um papel essencial que é recuperar a equação macroscópica do fluido. A seguir, recupera-se a equação da onda cinemática unidimensional [[#eq-5|(5)]] e determina-se a sua função distribuição de equilíbrio.

A equação da onda cinemática é um caso especial da equação de Burgers. A equação de Burgers é uma equação de convecção-difusão não-linear que representa um modelo simplificado das equações de Navier-Stokes. É utilizada para testar a eficiência de vários esquemas numéricos e para descrever o escoamento por meio de uma onda de choque que viaja em um fluido viscoso <span id='citeF-40'></span>[[#cite-40|[40]]].

A equação de Burgers unidimensional pode ser escrita da seguinte forma <span id='citeF-22'></span><span id='citeF-40'></span>[[#cite-22|[22,40]]],

<span id="eq-23"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\frac{{\partial v}}{{\partial t}} + \frac{\partial }{{\partial x}}\left({\beta {v^m}} \right)= \gamma \frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial x^2}} + F , </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (23)
|}

onde <math display="inline">v(\vec x,t)</math> é uma função que pode representar uma quantidade real como a altura, a vazão ou a área da seção transversal, <math display="inline">\gamma </math> é o coeficiente de difusão, <math display="inline">\beta </math> e <math display="inline">m</math> são parâmetros a serem determinados, e <math display="inline">F</math> representa  o efeito externo ou força externa. Assume-se <math display="inline">\gamma </math> nulo para obter a equação da onda cinemática, modelo no qual não é considerada a difusão.

Assumindo que a função distribuição <math display="inline">f_\alpha </math> está próxima do equilíbrio localmente, devem ocorrer as seguintes condições de conservação,

<span id="eq-24"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\sum \limits _\alpha  {\vec e_\alpha ^{\,n}} {f_\alpha } = \sum \limits _\alpha  {\vec e_\alpha ^{\,n}} f_\alpha ^{(eq)}, \quad n=0,1,2,3,4,   </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (24)
|}

em consequência, as somas sobre a função distribuição de não equilíbrio têm as seguintes restrições,
<span id="eq-25"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\sum \limits _\alpha {\vec e_\alpha ^{\,n}}  f_\alpha ^{(i)} = 0, \, i=1,2,3,4, \, n=0,1,2,3,4.   </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (25)
|}

Combinando as equações [[#eq-17|(17)]] a [[#eq-21|(21)]], obedecendo as restrições em [[#eq-24|(24)]] e [[#eq-25|(25)]], em vista das diferentes escalas de tempo e da equação de Burgers, equação [[#eq-23|(23)]], determinam-se os momentos da função distribuição de equilíbrio de zero a quarta ordem, descritos na equação [[#eq-26|(26)]]. Neste artigo, assume-se que a força externa não varia no espaço e no tempo, portanto são nulas as derivadas nos termos que envolvem <math display="inline">g_\alpha </math> do lado direito das equações [[#eq-20|(20)]] e [[#eq-21|(21)]]

<span id="eq-26"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{align} & \sum \nolimits _\alpha  {f_\alpha ^{(0)}}   = v, \\    & \sum \nolimits _\alpha  {{{\vec e}_\alpha }f_\alpha ^{(0)}}  = \beta {v^m }, \\	   
&  \sum \nolimits _\alpha  {\vec e_\alpha ^{\,2} f_\alpha ^{(0)}}   = \dfrac{{{\beta ^2}{m^2}}}{{2m - 1}}{v^{2m - 1}}, \\	   
&  \sum \nolimits _\alpha  {\vec e_\alpha ^{\,3} f_\alpha ^{(0)}}  = \dfrac{{{\beta ^3}{m^3}}}{{3m - 2}}{v^{3m - 2}}, \\	   
&  \sum \nolimits _\alpha  {\vec e_\alpha ^{\,4} f_\alpha ^{(0)}}  = \dfrac{{{\beta ^4}{m^4}}}{{4m - 3}}{v^{4m - 3}}.  \end{align}   </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (26)
|}

Desenvolvendo as equações em [[#eq-26|(26)]] nas direções das velocidades do reticulado D1Q5, obtém-se,
<span id="eq-27"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{bmatrix}1 & 1    & 1     & 1   & 1    \\    0 & -e   & -2e   & e   & 2e   \\    0 & e^2  & 4e^2  & e^2 & 4e^2 \\    0 & -e^3 & -8e^3 & e^3 & 8e^3 \\    0 & e^4  & 16e^4 & e^4 & 16e^4  \end{bmatrix}  \begin{bmatrix}f_0\\    f_1\\    f_2\\    f_3\\   f_4  \end{bmatrix}  =  \begin{bmatrix}v\\    \beta v^m\\    \dfrac{{{\beta ^2}{m^2}}}{{2m - 1}}{v^{2m - 1}} \\    \dfrac{{{\beta ^3}{m^3}}}{{3m - 2}}{v^{3m - 2}} \\    \dfrac{{{\beta ^4}{m^4}}}{{4m - 3}}{v^{4m - 3}}  \end{bmatrix}   </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (27)
|}

A resolução do sistema formado pelas equações em [[#eq-27|(27)]] determina a função distribuição de equilíbrio,

<span id="eq-28"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{align} & f_1^{eq} = \frac{1}{6}\left({ - 4{C_1} + 4{C_2} + {C_3} - {C_4}} \right), \\
& f_2^{eq} = \frac{1}{{24}}\left({2{C_1} - {C_2} - 2{C_3} + {C_4}} \right), \\
&  f_3^{eq} = \frac{1}{6}\left({4{C_1} + 4{C_2} - {C_3} - {C_4}} \right), \\
& f_4^{eq} = \frac{1}{{24}}\left({ - 2{C_1} - {C_2} + 2{C_3} + {C_4}} \right), \\
&  f_0^{eq} = v - \left({f_1^{eq} + f_2^{eq} + f_3^{eq} + f_4^{eq}} \right), \end{align}    </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (28)
|}

onde,

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{C_j} = {\left({\frac{{\beta m}}{e}} \right)^j}\frac{{{v^{jm - (j - 1)}}}}{{jm - (j - 1)}},\,\,\,\,\,j = 1,2,3,4. </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (29)
|}

Tomando o valor médio de <math display="inline">F</math> em cada direção de velocidade do reticulado D1Q5, o termo de força é determinado pela expressão,

<span id="eq-30"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>g_\alpha = \frac{F}{{5\varepsilon }}, \quad \alpha  = 0,1,2,3,4,   </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (30)
|}

em que <math display="inline">F</math> pode representar a precipitação quando se trata do escoamento na superfície da bacia, ou representar a contribuição lateral quando se trata do escoamento em canais.

===3.5 Condições de contorno===

A representação adequada das características físicas do problema, por meio das condições iniciais e de contorno, é um fator crucial para a estabilidade e precisão das simulações. A  [[#img-2|Figura 2]] ilustra uma malha unidimensional, com as direções de velocidade do reticulado D1Q5, para discretização do domínio que representa o escoamento na superfície e nos canais da bacia hidrográfica.

<div id='img-2'></div>
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
|-
|style="padding:10px;"| [[Image:Draft_Galina_237452870-Malha_D1Q5_fd.png|420px|Malha computacional]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 2'''. Malha computacional
|}

As condições de contorno macroscópicas para ambos o escoamento superficial e o escoamento em canal são conhecidas na fronteira esquerda, porém desconhecidas na fronteira direita. O comportamento macroscópico nas fronteiras é alcançado pela correta aplicação das funções de distribuição de partículas. Com esse objetivo, as funções de distribuição de equilíbrio são utilizadas na fronteira esquerda, e para a fronteira direita, as funções de distribuição são determinadas por extrapolação <span id='citeF-22'></span>[[#cite-22|[22]]].

No reticulado D1Q5 são aplicadas condições de contorno nos dois primeiros e nos dois últimos nós da malha <span id='citeF-21'></span>[[#cite-21|[21]]]. Na fronteira esquerda, tem-se,

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{align} & \bar{\bar{f_0}}(x_0) = f_0^{eq}(x_0), \\
& \bar{\bar{f_1}}(x_0) = f_1^{eq}(x_0), \\
&  \bar{\bar{f_2}}(x_0) = f_2^{eq}(x_0),\\
& \bar{\bar{f_3}}(x_0) = f_3^{eq}(x_0), \\
&   \bar{\bar{f_4}}(x_0) = {v^*} -  (\bar{\bar{f_0}}(x_0)+\bar{\bar{f_1}}(x_0)+\bar{\bar{f_2}}(x_0)+\bar{\bar{f_3}}(x_0)), \end{align}    </math>
|}
|}

<span id="eq-31"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{align} &\bar{\bar{f_0}}(x_1) = \bar{f_0}(x_1), \\
&   \bar{\bar{f_1}}(x_1) = \bar{f_1}(x_2), \\
& \bar{\bar{f_2}}(x_1) = \bar{f_2}(x_3), \\
&  \bar{\bar{f_3}}(x_1) = \bar{f_3}(x_0), \\
&  \bar{\bar{f_4}}(x_1) = 2\bar{\bar{f_4}}(x_2)-\bar{\bar{f_4}}(x_3).        \end{align}    </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (31)
|}

Na fronteira direita, aplica-se,

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{align} &\bar{\bar{f_0}}(x_{n-1}) = \bar{f_0}(x_{n-1}), \\
&\bar{\bar{f_3}}(x_{n-1}) = \bar{f_3}(x_{n-2}), \\
& \bar{\bar{f_4}}(x_{n-1}) = \bar{f_4}(x_{n-3}), \\
&\bar{\bar{f_1}}(x_{n-1}) = \bar{f_1}(x_n),\\
& \bar{\bar{f_2}}(x_{n-1}) = 2\bar{\bar{f_2}}(x_{n-2})-\bar{\bar{f_2}}(x_{n-3}),   \end{align}  </math>
|}
|}

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\begin{align} &\bar{\bar{f_0}}(x_n) = \bar{f_0}(x_n), \\
&  \bar{\bar{f_3}}(x_n) = \bar{f_3}(x_{n-1}), \\
&  \bar{\bar{f_4}}(x_n) = \bar{f_4}(x_{n-2}), \\
& \bar{\bar{f_1}}(x_n) = 2\bar{\bar{f_1}}(x_{n-1})-\bar{\bar{f_1}}(x_{n-2}), \\
& \bar{\bar{f_2}}(x_n) = 2\bar{\bar{f_2}}(x_{n-1})-\bar{\bar{f_2}}(x_{n-2}),  \end{align}    </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (32)
|}

em que <math display="inline">\bar{\bar{f}}</math> é a função distribuição de velocidade das partículas depois da propagação, <math display="inline">\bar{f}</math> é a função distribuição de velocidade das partículas antes da propagação, <math display="inline">v^*</math> é a variável macroscópica na fronteira, podendo ser substituída pela profundidade do escoamento <math display="inline">h</math> ou pela área da seção transversal <math display="inline">A</math>.

No modelo computacional, as características físicas em cada trecho de canal são mantidas constantes durante a simulação, isto é, não são alterados os valores do comprimento, largura, declividade e coeficiente de Manning do segmento de canal. O que pode implicar em seções transversais diferentes na junção dos canais, levando a necessidade de implementação de condição de contorno. Para que haja a conservação de massa, a vazão de um segmento de canal a montante para um segmento a jusante deve permanecer a mesma. Considerando a  [[#img-3|Figura 3]], e o cálculo da vazão em uma seção transversal dada pela fórmula de Manning, a vazão no início do canal 2 é determinada por,

<span id="eq-33"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{Q_2} = \frac{{{S_0}_2}^{1/2}}{{ {n_r}_2 P_2^{2/3}}}A_2^{5/3},   </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (33)
|}

em que <math display="inline">P=b+2h</math> é o perímetro molhado do canal retangular de largura <math display="inline">b</math>.

<div id='img-3'></div>
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
|-
|style="padding:10px;"|[[Image:Draft_Galina_237452870-juncao_canais.png|309px|Junção de canais das sub-bacias]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" style="padding:10px;" | '''Figura 3'''. Junção de canais das sub-bacias
|}

Escrevendo o perímetro molhado em termos da área molhada e da largura do canal, e substituindo na equação [[#eq-33|(33)]], tem-se,

<span id="eq-34"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{Q_2}\frac{ {n_r}_2 }{ {{S_0}_2}^{1/2} }{\left({{b_2} + 2\frac{{{A_2}}}{{{b_2}}}} \right)^{2/3}} - A_2^{5/3} = 0.   </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (34)
|}

O valor de <math display="inline">A_2</math> é calculado pelo método iterativo de Newton-Raphson e considerado no LBM por meio da condição de contorno da equação [[#eq-31|(31)]], onde substitui-se <math display="inline">v^*</math> por <math display="inline">A_2</math>. Utiliza-se a variável área ao invés da vazão, pois a função distribuição de equilíbrio é dependente da área, e por meio da área obtém-se a vazão em uma seção transversal. Quanto ao escoamento na superfície da bacia, <math display="inline">v^*</math> é sempre nula para cumprir a condição de contorno <math display="inline">h(0,t)=0</math> em todos os passos de tempo.

===3.6 Estabilidade===

De acordo com Sterling e Chen (1996) <span id='citeF-41'></span>[[#cite-41|[41]]], não é possível garantir a estabilidade do LBM e isto ocorre devido a grande quantidade de parâmetros que impedem a sua caracterização completa. No entanto, pode-se seguir algumas condições necessárias, que, se forem satisfeitas simultaneamente, obtém-se a estabilidade da simulação <span id='citeF-2'></span>[[#cite-2|[2]]].  A primeira expressão de [[#eq-35|(35)]] relaciona o parâmetro de relaxamento <math display="inline">\tau </math> e a viscosidade cinemática <math display="inline">\nu </math>, dessa relação resulta <math display="inline">\tau > 1/2</math> <span id='citeF-41'></span>[[#cite-41|[41]]]. A magnitude da velocidade física <math display="inline">\vec v</math> resultante do fluido deve ser menor do que a velocidade no reticulado, conforme a segunda expressão. Na terceira expressão tem-se a condição para celeridade e na quarta a restrição para escoamentos subcríticos <span id='citeF-2'></span>[[#cite-2|[2]]]

<span id="eq-35"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\frac{{\Delta t}}{{\Delta {x^2}}} = \frac{{2\tau  - 1}}{{6\nu }},\,\,\,\frac{{{{\left|{\vec {v}} \right|}^2}}}{{{e^2}}} < 1,\,\,\,\frac{{gh}}{{{e^2}}} < 1,\,\,\,\frac{{{{\left|{\vec v} \right|}^2}}}{{gh}} < 1  . </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (35)
|}

Como o LBM é um método intrinsecamente viscoso <span id='citeF-42'></span>[[#cite-42|[42]]], utiliza-se com frequência, na simulação numérica, uma viscosidade mais elevada do que a viscosidade cinemática do fluido e os resultados estão em concordância com as simulações disponíveis na literatura <span id='citeF-2'></span><span id='citeF-5'></span><span id='citeF-42'></span><span id='citeF-43'></span>[[#cite-2|[2,5,42,43]]].

==4. Estudo de caso: Escoamento em uma bacia hidrográfica==

A bacia hidrográfica consiste em uma área bem definida de captação natural da água de precipitação que faz convergir o escoamento até um curso de água. Na bacia hidrográfica, o escoamento é dividido em superficial e em canal. No escoamento superficial a água desloca-se pela superfície da bacia até encontrar um curso de água. Este deslocamento ocorre como resultado da água precipitada que não foi interceptada pela cobertura vegetal e pela parte que não infiltrou no solo. Devido a grande heterogeneidade espacial, a superfície da bacia é representada por planos onde ocorre o escoamento superficial de pouca profundidade. A contribuição lateral nos canais é dada principalmente pela precipitação que ocorre sobre cada plano <span id='citeF-33'></span>[[#cite-33|[33]]].

Dependendo do tamanho e das características da bacia hidrográfica, pode-se representá-la por uma forma em “V”, segmentada por dois planos e um segmento de canal, como mostra a  [[#img-4|Figura 4]]. Neste estudo, utilizam-se várias destas formas para representar as sub-bacias que compõem a superfície da bacia hidrográfica.

<div id='img-4'></div>
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
|-
|style="padding:10px;"| [[Image:Draft_Galina_237452870-esc_dois_planos.png|390px|Representação de uma sub-bacia]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" style="padding:10px;" | '''Figura 4'''. Representação de uma sub-bacia
|}

===4.1 Escoamento na bacia hidrográfica do rio Chopim===

A bacia do rio Iguaçu ([[#img-5|Figura 5]]), com superfície aproximada de <math display="inline">70.800</math> km<math display="inline">^2</math>,  tem grande importância na geração de energia por meio de usinas hidrelétricas e pela grande demanda de recursos hídricos no abastecimento público, industrial e agrícola. A região ainda é caracterizada por um grande número de Unidades de Conservação Ambiental, e abriga importantes corredores de biodiversidade <span id='citeF-44'></span>[[#cite-44|[44]]].

<div id='img-5'></div>
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
|-
|style="padding:10px;"| [[Image:Draft_Galina_237452870-localizacao_relevo_bacia_iguacu.png|420px|Localização da bacia hidrográfica do rio Iguaçu]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 5'''. Localização da bacia hidrográfica do rio Iguaçu
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" style="padding-bottom:10px;" | '''Fonte:''' Franco (2017) <span id='citeF-45'></span>[[#cite-45|[45]]]
|}

Dentro da bacia do rio Iguaçu está localizada a Bacia do rio Chopim que abrange uma área de <math display="inline">7.500</math> km<math display="inline">^2</math> e desenvolve-se basicamente no sentido sudoeste-noroeste,  aproximadamente entre os paralelos <math display="inline">25\,^{\circ }30'</math> e <math display="inline">26\,^{\circ }40'</math> de latitude sul e os meridianos <math display="inline">51\,^{\circ }30'</math> e <math display="inline">53\,^{\circ }20'</math> de longitude oeste. Seus limites estão entre as bacias do rio Uruguai ao sul e com bacias de afluentes do rio Iguaçu nas outras direções <span id='citeF-46'></span>[[#cite-46|[46]]].

O rio Chopim é o mais importante afluente da bacia do baixo rio Iguaçu. Suas nascentes estão localizadas em altitudes que superam os 1.200 m. A extensão total do curso principal do rio é da ordem de 450 km. Da nascente do rio até em torno do km 209 a inclinação do leito é de aproximadamente 2,9 m/km, e desde este ponto até a foz, a inclinação é de aproximadamente 1,1 m/km <span id='citeF-47'></span>[[#cite-47|[47]]].

Considera-se nesse estudo, um trecho do rio Chopim localizado entre suas nascentes no município de Palmas, passando pela estação pluviométrica Salto Claudelino até a estação fluviométrica Porto Palmeirinha. Este trecho do rio tem comprimento de aproximadamente <math display="inline">281</math> km com área de drenagem na superfície da bacia em torno de <math display="inline">3.205</math> km<math display="inline">^2</math>. As características das estações estão listadas na  [[#table-A|Tabela A]].

A  [[#img-6|Figura 6]] ilustra os principais rios da bacia do rio Iguaçu, suas estações pluviométricas, meteorológicas e fluviométricas, e destaca a localizacão da bacia do rio Chopim.

<div id='img-6'></div>
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 60%;"
|-
|style="padding:10px;"| [[Image:Draft_Galina_237452870-bacia_iguaçu_estacoes2.png|500px|Localização das estações pluviométricas, meteorológicas e fluviométricas da bacia hidrográfica do rio Iguaçu]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" style="padding-left:10px;padding-right:10px;" | '''Figura 6'''. Localização das estações pluviométricas, meteorológicas e fluviométricas da bacia hidrográfica do rio Iguaçu
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" style="padding-bottom:10px;" | '''Fonte:''' Adaptado de Uda (2016) <span id='citeF-48'></span>[[#cite-48|[48]]]
|}

A  [[#img-7|Figura 7]] mostra a bacia do rio Chopim com as divisões de sub-bacias conforme Kaviski e Gonçalves (1996) <span id='citeF-49'></span>[[#cite-49|[49]]] definidas de acordo com as características físicas da bacia.

<div id='img-7'></div>
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
|-
|style="padding:10px;"| [[Image:Draft_Galina_237452870-Bacia_chopim_com_subbacias.png|450px|Bacia hidrográfica do rio Chopim]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" | '''Figura 7'''. Bacia hidrográfica do rio Chopim
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" style="padding-bottom:10px;" | '''Fonte:''' Adaptado de Kaviski e Gonçalves (1996) <span id='citeF-49'></span>[[#cite-49|[49]]]
|}

==5. Resultados e discussões==

Levando-se em conta a delimitação das sub-bacias e os trechos de canais apresentados na  [[#img-7|Figura 7]], fez-se a segmentação da bacia do rio Chopim em nove sub-bacias até a estação Porto Palmeirinha. Cada sub-bacia é composta por um trecho de canal e dois planos laterais de escoamento, com exceção da primeira sub-bacia que é representada por apenas um plano lateral. A numeração das sub-bacias foi mantida a mesma que a utilizada na sequência para os trechos de canais. Essa numeração indica o início do escoamento até a estação fluviométrica Porto Palmeirinha. Os dados das características físicas da segmentação da bacia são apresentados na  [[#table-B|Tabela B]] para os segmentos planos, e na  [[#table-C|Tabela C]] para os segmentos de canais.

Nos trechos de canais não são conhecidos os valores da declividade e do coeficiente de Manning. Para complementar a descrição das características físicas das sub-bacias hidrográficas, listam-se na  [[#table-C|Tabela C]] os parâmetros <math display="inline">\bar{\alpha }</math> e <math display="inline">\bar{\beta }</math>, que descrevem as curvas de descarga. De acordo com Kaviski e Gonçalves (1996) <span id='citeF-49'></span>[[#cite-49|[49]]], a relação entre área da seção transversal e vazão é descrita pela equação,

<span id="eq-36"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>A = \bar{\alpha } Q^{\bar{\beta }}  , </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (36)
|}

onde, <math display="inline">\bar{\alpha }</math> e <math display="inline">\bar{\beta }</math> são estimados pelo método dos mínimos quadrados utilizando valores do nível da água e da descarga, e também da elevação do fundo do canal e a área, medidos em seções transversais.

Ao reescrever a equação [[#eq-36|(36)]] como vazão em função da área, tem-se,

<span id="eq-37"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>Q = \frac{1}{{{\bar{\alpha } ^{1/\bar{\beta } }}}}{A^{1/\bar{\beta } }}  , </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (37)
|}

dessa forma, os parâmetros <math display="inline">\beta _c</math> e <math display="inline">m_c</math> da equação [[#eq-5|(5)]] são determinados por,

<span id="eq-38"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{\beta _c} = \dfrac{1}{{{\bar{\alpha } ^{1/\bar{\beta } }}}}\qquad,\qquad {m_c} = \dfrac{1}{\bar{\beta } }.   </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (38)
|}

Na junção de segmentos de canais ([[#img-3|Figura 3]]), a área da seção transversal é encontrada diretamente pela equação [[#eq-36|(36)]].

Por não estarem disponíveis os dados de declividade e coeficiente de Manning dos trechos de canais da bacia do rio Chopim, houve a necessidade de adaptar o modelo para utilizar os parâmetros <math display="inline">\bar{\alpha }</math> e <math display="inline">\bar{\beta }</math>. A vantagem em utilizar esses parâmetros é a de aplicar o LBM em um canal com seção transversal estimada pelas características físicas naturais do rio.

Os parâmetros da simulação no LBM para os planos são <math display="inline">\Delta x = 10</math> m, <math display="inline">\Delta t = 10</math> s e velocidade na malha <math display="inline">e=1</math> m/s. Com relação aos canais, <math display="inline">\Delta x = 50</math> m, <math display="inline">\Delta t = 10</math> s e velocidade na malha <math display="inline">e=5</math> m/s. Em ambos, o parâmetro de relaxamento utilizado é <math display="inline">\tau=12</math>. O número de iterações realizadas foi de <math display="inline">90.000</math>, o que corresponde a um tempo de simulação de <math display="inline">250</math> horas ou <math display="inline">10,42</math> dias.

O período de chuva analisado na bacia é dado no mês 07 de 1987 nos dias 07 e 08.  Neste mês não houve chuva além dos dias citados. A  [[#table-D|Tabela D]] contém a intensidade média de precipitação em cada sub-bacia. Para se obter uma simulação mais próxima da realidade, considerou-se uma vazão inicial que ocorre no rio (escoamento de base), em cada trecho de canal, antes de ocorrer a precipitação. Essa vazão entra no modelo computacional como uma condição inicial. Também é considerada como uma condição de contorno ao ser adicionada na contribuição lateral dos planos, em cada passo de tempo. A  [[#table-E|Tabela E]], lista as vazões iniciais na seção transversal a montante e a jusante em cada trecho de canal. Utilizou-se interpolação linear para determinar os valores de vazões iniciais a cada <math display="inline">\Delta x = 50</math> m no comprimento dos canais no instante inicial da simulação. Nos demais passos de tempo, o escoamento de base é incluído pela equação [[#eq-39|(39)]],

<span id="eq-39"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>{q_{base}} = \frac{{{Q_j} - {Q_m}}}{L},   </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (39)
|}

em que <math display="inline">Q_j</math> e <math display="inline">Q_m</math> são, respectivamente, a vazão a jusante e a vazão a montante em um segmento de canal de comprimento <math display="inline">L</math>. A quantidade <math display="inline">q_{base}</math> é somada a contribuição lateral e uniformemente distribuída no comprimento do canal.

Os resultados obtidos pelo LBM são comparados com dados observados nas duas estações pertencentes ao trecho analisado. Nas  [[#img-8|Figuras 8]] e [[#img-9|9]], tem-se os hidrogramas simulado e observado nas estações Salto Claudelino e Porto Palmeirinha referentes a precipitação ocorrida no mês 07/1987.

<div id='img-8'></div>
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
|-
|style="padding:10px;"| [[Image:Draft_Galina_237452870-Hidro_sub5.png|450px|Hidrograma na sub-bacia 5 - Estação Salto Claudelino]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" style="padding:10px;" | '''Figura 8'''. Hidrograma na sub-bacia 5 - Estação Salto Claudelino
|}

<div id='img-9'></div>
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
|-
|style="padding:10px;"| [[Image:Draft_Galina_237452870-Hidro_sub9.png|450px|Hidrograma na sub-bacia 9 - Estação Porto Palmeirinha]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" style="padding:10px;" | '''Figura 9'''. Hidrograma na sub-bacia 9 - Estação Porto Palmeirinha
|}

Os resultados obtidos mostram boa concordância entre a simulação por meio do LBM e os dados observados nas estações, tendo em vista que os dados observados foram coletados a cada 12 horas por leitura feita de forma visual em réguas ou escalas linimétricas fixadas nas margens dos rios para registro das variações no nível da água. Essas leituras são normalmente realizadas por moradores da região. Ainda, assume-se que a precipitação é igualmente distribuída nas últimas 12 horas.

Para quantificar a concordância entre os valores observados e simulados pelo LBM, considerou-se o coeficiente de correlação linear de Pearson <math display="inline">r</math> <span id='citeF-50'></span>[[#cite-50|[50]]],

{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>r = \dfrac{{n\sum \limits _{i = 1}^n {{X_i}{Y_i} - \sum \limits _{i = 1}^n {{X_i}} \sum \limits _{i = 1}^n {{Y_i}} } }}{{\sqrt{\left[{n\sum \limits _{i = 1}^n {X_i^2 - {{\left({\sum \limits _{i = 1}^n {{X_i}} } \right)}^2}} } \right]\left[{n\sum \limits _{i = 1}^n {Y_i^2 - {{\left({\sum \limits _{i = 1}^n {{Y_i}} } \right)}^2}} } \right]} }}, </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (40)
|}

onde X e Y são as variáveis em estudo, respectivamente, vazão observada e vazão simulada, <math display="inline">n</math> é o número de pares das observações.

O coeficiente de correlação linear <math display="inline">r</math> é adimensional e tem variação no intervalo <math display="inline">[-1, 1]</math>. Se <math display="inline">r=-1</math> tem-se a correlação linear negativa perfeita, enquanto que se <math display="inline">r=1</math>, tem-se a correlação linear positiva perfeita. Para <math display="inline">r=0</math> não há correlação linear entre as variáveis. Esse coeficiente pode ser avaliado quantitativamente como descrito na  [[#table-1|Tabela 1]].

<div class="center" style="font-size: 75%;">'''Tabela 1'''. Classificação do coeficiente linear de Pearson</div>

<div id='table-1'></div>
{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;font-size:85%;width:auto;" 
|-style="text-align:center"
!Intervalo   !! style="text-align:left;" | Classificação
|- 
| style="text-align: center;" | <math display="inline">0 < |r| < 0,3</math>   
| style="text-align: left;" | Existe fraca correlação linear       
|-
| style="text-align: center;"|  <math>0,3 < |r| < 0,6</math>
| style="text-align: left;" | Existe moderada correlação linear    
|-
| style="text-align: center;" | <math>0,6 < |r| < 0,9</math>
| style="text-align: left;" | Existe forte correlação linear       
|- 
| style="text-align: center;" | <math>0,9 < |r| < 1,0</math>
| style="text-align: left;" | Existe correlação linear muito forte 
|}
<div class="center" style="font-size: 75%;text-align: center;">'''Fonte''': Marques e Marques <span id='citeF-50'></span>[[#cite-50|[50]]]   </div>


As [[#img-10|Figuras 10]] e [[#img-11|11]] mostram os gráficos de dispersão das vazões observadas pelas vazões simuladas pelo LBM. A reta tracejada, em ambos os gráficos, representa o ajuste perfeito com coeficiente <math display="inline">r=1</math>.

<div id='img-10'></div>
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
|-
|style="padding-top:10px;"| [[Image:Draft_Galina_237452870-Dispersao_sub5.png|450px|Dispersão das vazões observadas e simuladas na sub-bacia 5 - Estação Salto Claudelino]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 10'''. Dispersão das vazões observadas e simuladas na sub-bacia 5 - Estação Salto Claudelino
|}

<div id='img-11'></div>
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
|-
|style="padding-top:10px;"| [[Image:Draft_Galina_237452870-Dispersao_sub9.png|450px|Dispersão das vazões observadas e simuladas na sub-bacia 9 - Estação Porto Palmeirinha]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 11'''. Dispersão das vazões observadas e simuladas na sub-bacia 9 - Estação Porto Palmeirinha
|}

O coeficiente de correlação linear de Pearson calculado na sub-bacia 5 foi de <math display="inline">r=0,88</math> e na sub-bacia 9, de <math display="inline">r=0,97</math>. Conforme a  [[#table-1|Tabela 1]], existe forte correlação linear entre as variáveis na sub-bacia 5 e correlação linear muito forte para a sub-bacia 9. Conclui-se que há boa concordância entre as vazões observadas e simuladas. Nota-se na  [[#img-10|Figura 10]] que um ponto está distante da reta, o que faz o coeficiente <math display="inline">r</math> ser um pouco menor.

Para fazer a verificação da significância estatística, foi aplicado o teste de hipóteses com a distribuição ''t'' de Student, supondo que os desvios padrões populacionais são desconhecidos e com variâncias equivalentes. A hipótese a ser testada é <math display="inline">H_0: \mu _1 - \mu _2 = 0</math>, isto é, não existe diferença significativa entre as médias populacionais das vazões observadas e simuladas. Os resultados obtidos, para as sub-bacias 5 e 9, estão resumidos na  [[#table-F|Tabela F]].

Os testes realizados mostram que a estatística do teste <math display="inline">t</math> é menor do que o valor do crítico bi-caudal, portanto aceita-se a hipótese <math display="inline">H_0</math>, ou seja, não existe diferença significativa, ao nível de significância de <math display="inline">5%</math> entre as vazões observadas e vazões simuladas.

==6. Conclusão==

Esta pesquisa utilizou o LBM com aperador de colisão BGK para obter a simulação numérica do escoamento superficial da bacia do rio Chopim. Computacionalmente a bacia foi representada pela junção de nove sub-bacias dadas por planos laterais e um segmento de canal. A simulação produziu o hidrograma total o qual fornece a variação da vazão em relação ao tempo correspondente a resposta da bacia hidrográfica após a precipitação efetiva do evento simulado. Para que este resultado fosse alcançado, determinou-se duas funções de distribuição de equilíbrio obtidas por meio da expansão de Chapmann-Enskog em escalas de tempo e utilizando o reticulado D1Q5, uma adequada para o escoamento na superfície da bacia e outra para o canal principal, obtendo a profundidade da água na superfície da bacia e área da seção transversal nos canais. Também foi necessário determinar a condição de contorno na passagem de fluxo de um a sub-bacia para outra, levando em consideração a conservação da massa.

Obteve-se uma simulação mais próxima da realidade com a consideração de escoamento de base, em cada trecho de canal, antes que ocorra a precipitação. Essa vazão entra no modelo computacional como uma condição inicial. Também é considerada como uma condição de contorno ao ser adicionada na contribuição lateral dos planos, em cada passo de tempo. Utilizou-se interpolação linear para determinar os valores de vazões iniciais a cada 50 m no comprimento dos canais no instante inicial da simulação. Nos demais passos de tempo, o escoamento de base é incluído como uma condição de contorno. Os resultados obtidos pelo LBM foram comparados com dados observados nas duas estações pertencentes ao trecho analisado e mostram boa concordância, tendo em vista que os dados observados foram coletados a cada 12 horas por leituras feitas de forma visual em réguas fixadas nas margens dos rios para registro das variações no nível da água. Ainda, considera-se que a precipitação é igualmente distribuída nas últimas 12 horas.

Verificou-se que LBM é adequado e preciso na simulação do escoamento em uma bacia hidrográfica representado pelas equações de onda cinemática. Além disso, as condições iniciais e de contorno são de fácil implementação.

==Referências==
<div class="auto" style="text-align: left;width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;font-size: 85%;">

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<div id="cite-2"></div>
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<div id="cite-7"></div>
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[[#citeF-18|[18]]]  Cargnelutti J., Galina V., Kaviski E., Gramani L.M.,  Lobeiro A.M. Two-dimensional numerical simulation of channel flow with submerged obstacles using the lattice Boltzmann method. Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería, 34(1), 20, 2018.

<div id="cite-19"></div>
[[#citeF-19|[19]]]  Cargnelutti J., Galina V., Kaviski E., Gramani L.M.,  Lobeiro A.M. Simulation of the two-dimensional flow of the initiation channel of the Itaipu hydroelectric power plant by the lattice Boltzmann method. Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería, 34(1), 25, 2018.

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[[#citeF-21|[21]]]   Zhang X.,  Feng J.,  Zhang D.,  Liu N. Comparison of lattice Boltzmann method and preissmann implicit difference method in application to overland flow. Nongye Jixie Xuebao/Transactions of the Chinese Society of Agricultural Machinery, 2014.

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[[#citeF-22|[22]]]   Zhang X.,  Feng J.,  Yang T. Lattice Boltzmann method for overland flow studies and its Eeperimental validation. Journal of Hydraulic Research, 53(5):561-575, 2015.

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[[#citeF-23|[23]]]   Liu N. The numerical simulation of one-dimensional overland flow by lattice Boltzmann method. In: 5th International Conference on Advanced Design and Manufacturing Engineeringe, China, 2015.

<div id="cite-24"></div>
[[#citeF-24|[24]]]  Galina V.,  Cargnelutti J.,  Kaviski E.,  Gramani L.M.,  Lobeiro A.M. Application of lattice Boltzmann method for surface runoff in watershed. Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería, 34(1), 10, 2018.

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[[#citeF-25|[25]]]   Liu H.,  Wang H.,  Liu S.,  Hu C.,  Ding Y.,  Zhang J. Lattice Boltzmann method for the Saint-Venant equations. Journal of Hydrology, 524:411-416, 2015.

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[[#citeF-28|[28]]]   Sobieski W. Numerical investigations of tortuosity in randomly generated pore structures. Mathematics and Computers in Simulation, 166:1-20, 2019.

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[[#citeF-29|[29]]]   Andaluz M.E.,  Galarza V.V.,  Vera A.R. On hydraulic tortuosity variations due to morphological considerations in 2d porous media by using the lattice Boltzmann method. Mathematics and Computers in Simulation, 169:74-87, 2020.

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[[#citeF-31|[31]]]   Porto R.M. Hidráulica básica. 4th Edition, EESC-USP, São Carlos, 2006.

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[[#citeF-32|[32]]]   Chaudhry M.H. Open-channel flow. Springer, New York, USA, 2008.

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[[#citeF-33|[33]]]   Tucci C.E.M. Modelos hidrológicos. Editora da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS - Brasil, 1998.

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[[#citeF-34|[34]]]   Miller J.E. Basic concepts of kinematic-wave models. United States Government Printing office, Washington, 1984.

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[[#citeF-35|[35]]]   Golbert D.R. Método de lattice Boltzmann em hemodinâmica computacional: interações fluido-estrutura e modelos acoplados 1D-3D. Ph.D. Thesis,  Laboratório Nacional de Computação Científica, Petrópolis, RJ - Brasil, 2013.

<div id="cite-36"></div>
[[#citeF-36|[36]]]   Bhatnagar P.L.,  Gross E.P.,  Krook M. A model for collision processes in gases. I. Small amplitude processes in charged and neutral one-component systems. Physical Review, 94(3):511-525, 1954.

<div id="cite-37"></div>
[[#citeF-37|[37]]]   Guo Z.,  Zheng C.,  Shi B. Discrete lattice effects on the forcing term in the lattice Boltzmann method. Physical Review E, 65(4):1-6, 2002.

<div id="cite-38"></div>
[[#citeF-37|[38]]]   Zhang J.,  Yan G. Lattice Boltzmann method for one and two-dimensional burgers equation. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 387(19–20):4771-4786, 2008.

<div id="cite-39"></div>
[[#citeF-39|[39]]]  Chapman S.,  Cowling T.G. The mathematical theory of non-uniform gases. An account of the kinetic theory of viscosity, thermal conduction and diffusion in gases. 3rd Edition, Cambridge University Press, London, 1970.

<div id="cite-40"></div>
[[#citeF-40|[40]]]   Zhang J.,  Yan G. A lattice Boltzmann model for the Burgers-Fisher equation. Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science,  20:023129, 2010.

<div id="cite-41"></div>
[[#citeF-41|[41]]]   Sterling J.D.,  Chen S. Stability analysis of lattice Boltzmann methods. Journal of Computational Physics, 123:196-206, 1996.

<div id="cite-42"></div>
[[#citeF-42|[42]]]   La Rocca M.,  Adduce C.,  Sciortino G. Development of a lattice Boltzmann method for two-layered shallow-water flow. International Journal for Numerical Methods in Fluids, 70:1048-1072, 2012.

<div id="cite-43"></div>
[[#citeF-43|[43]]]   Zhou J.G.,  Liu H. Determination of bed elevation in the enhanced lattice Boltzmann method for the shallow-water equations. Physical Review E, 88(2):1-6, 2013.

<div id="cite-44"></div>
[[#citeF-44|[44]]]  Secretaria de Estado do Meio Ambiente e Recursos Hídricos SEMA, Bacias hidrográficas do Paraná, Brasil, 2010.

<div id="cite-45"></div>
[45]   Franco A.C.L. Calibração do modelo swat com evapotranspiração proveniente de sensoriamento remoto e vazão observada. Master's thesis, Florianópolis - SC, 2017.

<div id="cite-46"></div>
[[#citeF-46|[46]]]   Chavasse D.I.,  Seoane R.S. Assessing and predicting the impact of el Nino Southern Oscillation (ENSO) events on runoff from the Chopim river basin, Brazil. Hydrological Processes, 23(22):3261-3266, 2009.

<div id="cite-47"></div>
[[#citeF-47|[47]]]   Burian P.P. Do estudo de impacto embiental à avaliação ambiental estratégica - ambivalências do processo de licenciamento ambiental do setor elétrico. Ph.D. Thesis, Universidade Estadual de Campinas, Campinas, SP - Brasil, Fevereiro 2006.

<div id="cite-48"></div>
[[#citeF-37|[48]]]   Uda P.K. Evapotranspiração real da bacia do rio iguaçu por meio do modelo metric. Ph.D. Thesis, Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2016.

<div id="cite-49"></div>
[[#citeF-49|[49]]]   Kaviski E.,  Gonçalves L.F.A. Análise hidrológica e matemática de operação de reservatórios tech. rep. Centro de Hidráulica e Hidrologia Professor Parigot de Souza - CEHPAR, Curitiba - PR, 1996.

<div id="cite-50"></div>
[[#citeF-50|[50]]]   Marques J.M.,  Marques M.A.M. Estatística básica para os cursos de engenharia. Domínio do Saber, 2005.
</div>

==Apêndice==

<div class="center" style="font-size: 75%;">'''Tabela A'''. A estações hidrométricas no rio Chopim</div>
<div id='table-A'></div>
{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;font-size:85%;width:auto;" 
|-style="text-align:center"
!  Nome !! Código !! Município !! Latitude !! Longitude !! Altitude <br> (m) !! Área de contribuição <br> (km<math display="inline">^2</math>)
|-style="text-align:center"
| style="text-align:left" | Porto <br> Palmeirinha
|  65927000 
| Coronel Vivida
| -26,03 
|  -52,63 
|  501 
|  3.390 
|- style="text-align:center"
|  style="text-align:left" | Salto <br>  Claudelino
|  65925000 
| Clevelândia 
|  -26,28 
|  -52,30 
|  797 
|  1.660 
|}

<div class="center" style="font-size: 75%;"> '''Fonte''': Franco  <span id='citeF-45'></span>[[#cite-45|[45]]]</div>


<div class="center" style="font-size: 75%;">'''Tabela B'''. Caracterização física dos planos das 9 sub-bacias do rio Chopim - pd e pe são, respectivamente, os planos do lado direito e do lado esquerdo no sentido do escoamento</div>

<div id='table-B'></div>
{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;font-size:85%;width:auto;" 
|-style="text-align:center"
!Sub-Bacia !! Plano !! Comprimento <br> <math>L</math> (m) !! Largura <br> <math>b</math> (m) !! Declividade <br> <math>S_0</math> (m/m)!! Manning <br> <math>n_r</math> (m<math>^{-1/3}</math>s) !! Área <br>  (km<math>^2</math>)
|- style="text-align:center"
| rowspan='2' | 1
|  pd 
|  -
|  -
|  -
| -
| -
|-style="text-align:center"
|  pe 
|  6.940 
|  26.830 
| 0,0065 
|  0,1200 
|  186,20  
|- style="text-align:center"
| rowspan='2'  | 2
|  pd 
|  3.080 
| 47.500 
| 0,0266 
|  0,0840 
| 146,30  
|-style="text-align:center"
|  pe 
|  6.940 
|  47.500 
|  0,0065 
|  0,1200 
|  329,65  
|- style="text-align:center"
| rowspan='2'  | 3
|  pd 
|  3.300 
|  30.170 
|  0,0146 
|  0,1044 
|  99,56  
|-style="text-align:center"
| pe 
|  6.940 
|  30.170 
|  0,0065 
|  0,1200 
| 209,38  
|- style="text-align:center"
| rowspan='2' | 4
| pd 
|  2.800 
|  26.580 
|  0,0102 
|  0,2832 
| 74,42  
|-style="text-align:center"
| pe 
|  9.250 
|  26.580 
|  0,0129 
|  0,2832 
| 245,87  
|- style="text-align:center"
| rowspan='2' | 5
| pd 
|  2.800 
|  41.670 
|  0,0102 
|  0,2832 
| 116,68  
|-style="text-align:center"
| pe 
|  6.780 
|  41.670 
|  0,0022 
|  0,1020 
| 282,52  
|- style="text-align:center"
| rowspan='2' | 6
| pd 
|  2.800 
|  13.000 
|  0,0102 
|  0,2832 
| 36,40  
|-style="text-align:center"
| pe 
|  6.780 
|  13.000 
|  0,0022 
|  0,1020 
| 88,14  
|- style="text-align:center"
| rowspan='2' | 7
| pd 
|  5.180 
|  65.000 
|  0,0170 
|  0,0972 
| 336,70  
|-style="text-align:center"
| pe 
|  9.670 
|  65.000 
|  0,0085 
|  0,0972 
| 628,55  
|- style="text-align:center"
| rowspan='2' | 8
| pd 
|  10.120 
|  22.000 
|  0,0113 
|  0,0984 
| 222,64  
|-style="text-align:center"
| pe 
|  4.870 
|  22.000 
|  0,0129 
|  0,1020 
| 107,14  
|- style="text-align:center"
| rowspan='2' | 9
| pd 
|  6.720 
|  8.180 
|  0,0127 
|  0,1032 
| 54,97  
|- style="text-align:center"
| pe 
|  4.870 
|  8.180 
|  0,0129 
|  0,1020 
| 39,84  
|}

<div class="center" style="font-size: 75%;">'''Fonte''': Kaviski e Gonçalves  <span id='citeF-49'></span>[[#cite-49|[49]]]</div>


<div class="center" style="font-size: 75%;">'''Tabela C'''. Caracterização física dos canais das 9 sub-bacias do rio Chopim</div>

<div id='table-C'></div>
{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;font-size:85%;width:auto;" 
|-style="text-align:center"
!Sub-Bacia !! Comprimento do canal <br> <math>L</math> (m) !! Parâmetro <br> <math>\bar{\alpha }</math>  !! Parâmetro <br> <math>\bar{\beta }</math> !! Área de drenagem <br> (km<math>^2</math>) !! Área de drenagem acumulada <br>  (km<math>^2</math>)
|- style="text-align:center"
|    1  
|  26.830 
|  0,04113596 
|  1,59495580 
|  186,21 
| 186,21  
|- style="text-align:center"
|    2  
|  47.500 
|  0,85500771 
|  0,87796837 
|  475,86 
| 662,07  
|- style="text-align:center"
|    3  
|  30.170 
|  1,01710784 
|  0,86807752 
|  308,94 
| 971,01  
|- style="text-align:center"
|    4  
|  26.580 
|  1,45162356 
|  0,83154649 
|  320,33 
| 1.291,34  
|- style="text-align:center"
|    5  
|  41.670 
|  2,55791569 
|  0,76867062 
|  399,15 
| 1.690,49  
|- style="text-align:center"
|    6  
|  13.000 
|  2,47863913 
|  0,77061510 
|  124,52 
| 1.815,01  
|- style="text-align:center"
|    7  
|  65.000 
|  2,32144856 
|  0,77466167 
|  965,27 
| 2.780,28  
|- style="text-align:center"
|    8  
|  22.000 
|  2,14755607 
|  0,77947050 
|  329,82 
| 3.110,10  
|- style="text-align:center"
|    9  
|  8.180  
|  2,09342670 
|  0,78104723 
|  94,78 
| 3.204,88  
|}

<div class="center" style="font-size: 75%;">'''Fonte''': Kaviski e Gonçalves  <span id='citeF-49'></span>[[#cite-49|[49]]]</div>


<div class="center" style="font-size: 75%;">'''Tabela D'''. Intensidade média de precipitação no rio Chopim, mês 07/1987 - pd e pe são, respectivamente, os planos do lado direito e do lado esquerdo no sentido do escoamento</div>

<div id='table-D'></div>
{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;font-size:85%;width:auto;" 
|-style="text-align:center"
!rowspan='2' | Sub-Bacia !! rowspan='2' |Plano !! colspan='2' | 07/07/1987 <br> (m/h) <math>\cdot </math> 10<math>^{-3}</math> !! colspan='2' | 08/07/1987 <br>  (m/h) <math>\cdot </math> 10<math>^{-3}</math>
|-style="text-align:center"
|  7h
|  19h
| 7h
|  19h
|- style="text-align:center"
| rowspan='2' | 1
|  pd 
|  -
|  -
| -
| -
|-style="text-align:center"
|  pe 
|  0 
|  0 
|  1,47400098
| 0,00174585    
|- style="text-align:center"
| rowspan='2' | 2
|  pd 
|  0 
|  0,65031194 
|  2,24260054
| 0,00242411  
|-style="text-align:center"
|  pe 
|  0 
|  0 
|  1,47400098
| 0,00174585    
|- style="text-align:center"
| rowspan='2' | 3
|  pd 
|  0 
|  0 
|  1,67223974
| 0             
|-style="text-align:center"
|  pe 
|  0 
|  0 
|  1,47400098
| 0,00174585    
|- style="text-align:center"
| rowspan='2' | 4
|  pd 
|  0 
|  0 
|  0,87767508
| 0             
|-style="text-align:center"
|  pe 
|  0 
|  0 
|  1,15756772
| 0             
|- style="text-align:center"
| rowspan='2' | 5
|  pd 
|  0 
|  0 
|  0,87767508
| 0             
|-style="text-align:center"
|  pe 
|  0 
|  0 
|  0,99927618
| 0             
|- style="text-align:center"
| rowspan='2' | 6
|  pd 
|  0 
|  0 
|  0,87767508
| 0             
|-style="text-align:center"
|  pe 
|  0 
|  0 
|  0,99927618
| 0             
|- style="text-align:center"
| rowspan='2' | 7
|  pd 
|  0 
|  0 
|  0,90541231
| 0             
|-style="text-align:center"
|  pe 
|  0 
|  0 
|  1,15131540
| 0             
|- style="text-align:center"
| rowspan='2' | 8
|  pd 
|  0 
|  0 
|  1,08201453
| 0             
|-style="text-align:center"
|  pe 
|  0 
|  0 
|  1,26797648
| 0,00923398    
|- style="text-align:center"
| rowspan='2' | 9
|  pd 
|  0 
|  0,72930031 
|  1,47131551
| 0,02406490 
|- style="text-align:center"
|  pe 
|  0 
|  0 
|  1,26797648
| 0,00923398         
|}

<div class="center" style="font-size: 75%;">'''Fonte''': Kaviski e Gonçalves  <span id='citeF-49'></span>[[#cite-49|[49]]]</div>


<div class="center" style="font-size: 75%;">'''Tabela E'''. Vazões iniciais e coeficientes de interpolação da vazão nos trechos de canais do rio Chopim, mês 07/1987</div>

<div id='table-D'></div>
{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 0.1em auto;border-collapse: collapse;font-size:85%;width:auto;" 
|-style="text-align:center"
! rowspan='2' | Canal !!  colspan='2' | Vazão inicial na  seção <br>  tranversal  (m<math>^3</math>/s) !! colspan='2' | Coeficientes da interpolação  <br>  linear <math>Q(x)=ax+b</math> !! rowspan='2' style="vertical-align:top;"| Vazão inicial como contribuição  <br> lateral (m<math>^2</math>/s) <math>\cdot </math> 10<math>^{-4}</math>
|-style="text-align:center"
| Montante
|  Jusante
|  <math>a\, \cdot 10^{-4}</math>
|  <math>b</math>
|- style="text-align:center"
|  1 
| 0 
| 4,91134977 
| 1,83054408 
| 0 
| 1,83054408                      
|- style="text-align:center"
|    2 
| 4,91134977 
| 17,46209717 
| 2,64226261 
| 4,91134977 
| 2,64226261 
|- style="text-align:center"
|    3 
| 17,46209717 
| 25,61030197 
| 2,70076394 
| 17,46209717 
| 2,70076394 
|- style="text-align:center"
|    4 
| 25,61030197 
| 34,05889511 
| 3,17855272 
| 25,61030197 
| 3,17855272 
|- style="text-align:center"
|    5 
| 34,05889511 
| 44,58636093 
| 2,52638969 
| 34,05889510 
| 2,52638969 
|- style="text-align:center"
|    6 
| 44,58636093 
| 48,07283783 
| 2,68190530 
| 44,58636093 
| 2,68190530 
|- style="text-align:center"
|    7 
| 48,07283783 
| 75,09886169 
| 4,15784983 
| 48,07283783 
| 4,15784983 
|- style="text-align:center"
|    8 
| 75,09886169 
| 84,33335876 
| 4,19749867 
| 75,09886168 
| 4,19749867 
|- style="text-align:center"
|    9 
| 84,33335876 
| 86,98714447 
| 3,24423681 
| 84,33335877 
| 3,24423681
|}

<div class="center" style="font-size: 75%;">'''Fonte''': Kaviski e Gonçalves  <span id='citeF-49'></span>[[#cite-49|[49]]]</div>



{|  class="floating_tableSCP wikitable" style="text-align: center; margin: 1em auto;min-width:50%;"
|+ style="font-size: 75%;" |<span id='table-F'></span>Tabela. F Teste ''t'' de Student para as sub-bacias no rio Chopim
|- style="border-top: 2px solid;"
| rowspan='2' colspan='1' style="text-align: left;border-right: 2px solid;border-right: 2px solid;" | Quantidades estatísticas
| colspan='2' style="border-right: 2px solid;border-left: 2px solid;" | 
{|  style="text-align: center; margin: 1em auto;min-width:50%;"
|-
| Sub-bacia 5
|-
| Salto Claudelino
|}

| colspan='2' style="border-left: 2px solid;" | 
{|  style="text-align: center; margin: 1em auto;min-width:50%;"
|-
| Sub-Bacia 9
|-
| Porto Palmeirinha
|}

|-
| style="border-left: 2px solid;" | Observado                                     
| style="border-right: 2px solid;" | Simulado                                   
| colspan='1' style="text-align: left;border-left: 2px solid;" | Observado
| colspan='1' style="text-align: left;" | Simulado
|- style="border-top: 2px solid;"
| style="text-align: left;border-right: 2px solid;" |    Média                                                           
| style="border-left: 2px solid;" | 80,04                                         
| style="border-right: 2px solid;" | 76,58                                       
| style="border-left: 2px solid;" | 142,12                                        
| 139,02                                       
|-
| style="text-align: left;border-right: 2px solid;" | Variância                                                       
| style="border-left: 2px solid;" | 1.493,98                                      
| style="border-right: 2px solid;" | 3.021,13                                    
| style="border-left: 2px solid;" | 3.376,02                                      
| 4.864,39                                     
|-
| style="text-align: left;border-right: 2px solid;" | Número de observações                                                     
| colspan='2' style="border-right: 2px solid;border-left: 2px solid;" | 21
| colspan='2' style="border-left: 2px solid;" | 21
|-
| style="text-align: left;border-right: 2px solid;" | Graus de liberdade                                              
| colspan='2' style="border-right: 2px solid;border-left: 2px solid;" | 40
| colspan='2' style="border-left: 2px solid;" | 40
|-
| style="text-align: left;border-right: 2px solid;" | Estatística do teste                                           
| colspan='2' style="border-right: 2px solid;border-left: 2px solid;" | 0,2361
| colspan='2' style="border-left: 2px solid;" | 0,1567
|-
| style="text-align: left;border-right: 2px solid;" | ''t'' bi-caudal                   
| colspan='2' style="border-right: 2px solid;border-left: 2px solid;" | 2,0211
| colspan='2' style="border-left: 2px solid;" | 2,0211
|- style="border-bottom: 2px solid;"
| style="text-align: left;border-right: 2px solid;" | Nível de significância                                          
| colspan='2' style="border-right: 2px solid;border-left: 2px solid;" | <math>5%</math>
| colspan='2' style="border-left: 2px solid;" | <math>5%</math>

|}