You do not have permission to edit this page, for the following reason:

You are not allowed to execute the action you have requested.


You can view and copy the source of this page.

x
 
1
<!--==Análisis de vigas sobre fundación flexible empleando funciones de Green  Analysis of beams on elastic foundations using Green's functions==
2
3
'''Juan Camilo Molina-Villegas<sup>a,b</sup>, Jorge Eliecer Ballesteros Ortega<sup>b</sup>, Andrés Camilo Quintero Toro<sup>a</sup>'''
4
-->
5
==Resumen==
6
7
Las vigas sobre fundación flexible representan un modelo básico dentro del análisis estructural, las cuales suelen emplearse para modelar vigas de cimentación, pilas, muros de contención y estructuras más complejas que tengan algún tipo de estos elementos. Para el análisis de estas, usualmente se emplea el método de elementos finitos <span id='citeF-1'></span>[[#cite-1|[1]]], el cual produce una solución aproximada del problema; y el método de rigidez con funciones de Green <span id='citeF-2'></span>[[#cite-2|[2]]], el cual produce una solución exacta del mismo.
8
9
En este artículo se presenta una metodología 100 % basada en el empleo de las funciones de Green (respuesta ante una fuerza puntual unitaria), para obtener la respuesta exacta de las vigas sobre fundación flexible. La principal ventaja de esta formulación es su menor costo computacional comparado con las citadas alternativas, además que la respuesta puede expresarse solo por medio de sumas e integrales, las cuales se pueden realizar fácilmente de forma numérica.
10
11
Por completez, también se presentan una gran variedad de funciones de Green para vigas sobre fundación flexible finitas e infinitas con diferentes condiciones de frontera, así como algunos ejemplos con la implementación de la metodología propuesta.
12
13
'''Palabras clave''': Funciones de Green, vigas sobre fundación flexible, pilas, campos de desplazamiento
14
15
==Abstract==
16
17
Beams on elastic foundation are basic elements within structural analysis, which are used to model foundation beams, foundation piles, retaining walls, and more complex structures that include some of these elements. For their analysis, the finite element method is usually used <span id='citeF-1'></span>[[#cite-1|[1]]], which produces an approximate solution of the problem; and the Green's function stiffness method <span id='citeF-2'></span>[[#cite-2|[2]]], which produces an exact solution. This article presents a methodology 100% based on the use of Green function's (response to a unit point force), to obtain the exact response of beams on elastic foundation. The main advantage of this formulation is its computational low cost compared to the aforementioned alternatives, and even for a large number of problems, it can be expressed only by means of sums and integrals, which can be easily performed numerically.
18
19
Also, a great variety of Green function's for finite and infinite beams on elastic foundations with different boundary conditions are also presented, as well as some examples with the implementation of the proposed methodology.
20
21
'''Keywords''': Green’s functions, beams on elastic foundation, piles, displacement field
22
23
==1. Introducción==
24
25
En mecánica, se define como función de Green, al campo de desplazamiento en un medio ante la acción de una fuerza puntual unitaria. En general, para casos tridimensionales, dicha fuerza unitaria puede estar ubicada en cualquier punto y dirección del medio, y el campo de desplazamiento será vectorial y tendrá también tres componentes escalares. El concepto de función de Green puede fácilmente extenderse a cualquier problema físico en el cual la fuerza puntual será reemplazada por una fuente o acción puntual unitaria, mientras que el campo de desplazamiento será reemplazado por el campo de la variable dependiente principal para el problema. Por ejemplo, en transferencia de calor, la función de Green será el campo de temperatura debido a la acción de una fuente de calor puntual unitaria.
26
27
Por si solas, las funciones de Green juegan un papel muy importante en la solución de problemas físicos, puesto que presentan la solución a problemas fundamentales. Por ejemplo, en el famoso problema de Boussinesq, la función de Green es el campo de desplazamiento en un semiespacio (espacio semi-infinito) tridimensional ante la acción de una fuerza puntual unitaria en su superficie. En textos como <span id='citeF-3'></span>[[#cite-3|[3,4,5]]], se presentan las principales funciones de Green empleadas en la física clásica, en <span id='citeF-6'></span>[[#cite-6|[6]]] se presenta un compendio de las principales funciones de Green empleadas en la geotecnia, para sismología y elastodinámica sus principales funciones de Green son presentadas en <span id='citeF-7'></span>[[#cite-7|[7]]], para transferencia de calor en <span id='citeF-8'></span>[[#cite-8|[8]]], mientras que aquellas propias de los problemas de difusión se presentan en <span id='citeF-9'></span>[[#cite-9|[9]]].
28
29
Además de lo anterior, las funciones de Green son la base de algunos métodos numéricos de contorno o frontera, los cuales permiten resolver problemas diferentes a aquellos para los cuales fueron definidas dichas funciones, es decir, problemas con diferentes condiciones de cargas o fuentes y de frontera. Entre estos métodos numéricos destacan el método directo de elementos de frontera  <span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10,11,12]]], el método indirecto de elementos de frontera <span id='citeF-13'></span>[[#cite-13|[13,14]]], y el método de rigidez con funciones de Green <span id='citeF-2'></span>[[#cite-2|[2]]].
30
31
Las vigas sobre fundación flexible representan un modelo básico dentro del análisis estructural, las cueles suelen emplearse para modelar vigas de cimentación, pilas, muros de contención y estructuras más complejas que tengan algún tipo de estos elementos. Pese a que en la actualidad existen diversos métodos para el análisis de estas estructuras, los cuales van desde soluciones tabuladas para gran cantidad de condiciones de frontera y carga <span id='citeF-15'></span>[[#cite-15|[15]]], la solución directa de los problemas de valor en la frontera gobernantes empleando métodos clásicos de ecuaciones diferenciales <span id='citeF-16'></span>[[#cite-16|[16]]], hasta el método de elementos finitos <span id='citeF-1'></span>[[#cite-1|[1]]] o de rigidez con funciones de Green <span id='citeF-2'></span>[[#cite-2|[2]]] e incluso hay sitios web para su análisis (https://www.buildingsguide.com/calculators/structural/BOEF), es posible empleando solo las funciones de Green obtener su solución.
32
33
En este artículo se presenta una metodología basada en las funciones de Green para el análisis de vigas sobre fundación flexible, en la cual el problema de valor en la frontera gobernante para cada problema es resuelto por medio de la superposición o suma de la respuesta ante cargas puntuales. Pese a que el presente procedimiento tiene similitudes conceptuales con aquel propuesto por Dinev <span id='citeF-17'></span>[[#cite-17|[17]]] los autores creen que la formulación en términos de funciones de Green es más ingenieril y además al presentarse gran variedad de estas funciones para diferentes condiciones de frontera, hace más fácil su implementación para vigas sobre fundación flexible de uno o varios tramos.
34
35
==2. Ecuación diferencial gobernante y convenciones==
36
37
La ecuación diferencial que gobierna el desplazamiento de una viga sobre fundación flexible ([[#img-1|Figura 1]]), formada por una viga de material elástico lineal homogéneo, de sección transversal constante y apoyada sobre un medio flexible con rigidez por unidad de longitud constante, es (ver <span id='citeF-2'></span>[[#cite-2|[2]]] para una deducción paso a paso):
38
39
<span id="eq-1"></span>
40
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
41
|-
42
| 
43
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
44
|-
45
| style="text-align: center;" | <math>EI\frac{d^4v}{dx^4}(x)+kv(x)=q(x) </math>
46
|}
47
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (1)
48
|}
49
50
donde:
51
52
<math display="inline">E</math>: Módulo de elasticidad del material de la viga.
53
54
<math display="inline">I</math>: Momento de inercia respecto al eje <math display="inline">z</math> de la sección transversal de la viga.
55
56
<math display="inline">k</math>: Constante de rigidez por unidad de longitud del suelo de soporte de la viga.
57
58
<math display="inline">v(x)</math>: Campo de desplazamiento en dirección del eje <math display="inline">y</math> de la viga.
59
60
<math display="inline">q(x)</math>: Fuerza externa por unidad de longitud en dirección del eje <math display="inline">y</math> que actúa sobre la viga. 
61
62
<div id='img-1'></div>
63
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
64
|-
65
|style="padding:10px;"| [[Image:Review_921349416580-Figura01.png|420px|Viga sobre fundación flexible sometida a carga externa distribuida.)]]
66
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
67
| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 1'''. Viga sobre fundación flexible sometida a carga externa distribuida 
68
|}
69
70
71
Por facilidad en su solución, es usual dividir [[#eq-1|(1)]] entre <math display="inline">EI</math>, obteniéndose:
72
73
<span id="eq-2"></span>
74
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
75
|-
76
| 
77
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
78
|-
79
| style="text-align: center;" | <math>\frac{d^4v}{dx^4}(x)+4\lambda ^4 v(x)=\frac{q(x)}{EI} </math>
80
|}
81
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2)
82
|}
83
84
donde <math display="inline">\lambda =\sqrt[4]{\dfrac{k}{4EI}}</math>.
85
86
Además de la fuerza externa por unidad de longitud <math display="inline">q(x)</math>, la viga también se encuentra sometida a la fuerza distribuida que el suelo ejerce sobre esta, la cual es proporcional al desplazamiento en cada de esta y se calcula como:
87
88
<span id="eq-3"></span>
89
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
90
|-
91
| 
92
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
93
|-
94
| style="text-align: center;" | <math>f_S(x)=-kv(x) </math>
95
|}
96
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (3)
97
|}
98
99
En este punto es importante resaltar que pese a que las ecuaciones [[#eq-1|(1)]] y [[#eq-2|(2)]] están escritas en términos de la fuerza externa por unidad de longitud <math display="inline">(q(x))</math> sobre la viga, es decir, una carga distribuida, incluso fuerzas y momentos puntuales se pueden expresar de esta manera. Como ejemplo, se tiene que la carga externa puntual aplicada a la viga sobre fundación flexible presentada en la [[#img-1|Figura 2a]]  se define por medio de la siguiente función:
100
101
<span id="eq-4"></span>
102
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
103
|-
104
| 
105
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
106
|-
107
| style="text-align: center;" | <math>q(x,\xi )=F\cdot \delta (x-\xi ) </math>
108
|}
109
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4)
110
|}
111
112
donde <math display="inline">\delta ()</math> es la función delta de Dirac, cuyas principales propiedades se presentan en <span id='citeF-4'></span>[[#cite-4|[4]]]. <div id='img-2b'></div>
113
114
<div id='img-2'></div>
115
<div id='img-2a'></div>
116
{| style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;max-width: auto;"
117
|-
118
|  style="text-align: center;padding:10px;"|[[Image:Review_921349416580-Figura02a.png|400px|Fuerza puntual.]]
119
|  style="text-align: center;padding:10px;"| [[Image:Review_921349416580-Figura02b.png|400px|Momento puntual.Vigas sobre fundación flexible sometidas a fuerzas y momentos puntuales.]]
120
|-
121
|  style="text-align: center;font-size: 75%;"|(a) 
122
|  style="text-align: center;font-size: 75%;"|(b) 
123
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
124
| colspan="2" style="padding:10px;"| '''Figura 2'''. Vigas sobre fundación flexible sometidas a fuerzas y momentos puntuales. (a) Fuerza puntual. (b) Momento puntual 
125
|}
126
127
<!--{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
128
|-
129
|[[Image:Review_921349416580-Figura02b.png|420px|Momento puntual.Vigas sobre fundación flexible sometidas a fuerzas y momentos puntuales.]]
130
|[[Image:Review_921349416580-Figura02a.png|420px|Fuerza puntual.]]
131
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
132
| (b) Momento puntual.
133
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
134
| colspan="2" | '''Figura a:''' Fuerza puntual.
135
|}-->
136
137
Mientras que para el caso del momento externo puntual presentado en la  [[#img-2b|Figura 2b]], la función <math display="inline">q(x)</math> se define a partir de [[#eq-4|(4)]] como (ver la  [[#img-3|Figura 3]] para una explicación):
138
139
<span id="eq-5"></span>
140
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
141
|-
142
| 
143
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
144
|-
145
| style="text-align: center;" | <math>q(x,\xi )=\lim _{\Delta \xi \rightarrow 0} \left[\dfrac{M}{\Delta \xi } \delta (x-\xi{-\Delta}\xi )  -\dfrac{M}{\Delta \xi } \delta (x-\xi ) \right]  = </math>
146
|-
147
| style="text-align: center;" | <math>\qquad \qquad \qquad \qquad  M \lim _{\Delta \xi \rightarrow 0} \dfrac{\delta (x-\xi{-\Delta}\xi )-\delta (x-\xi )}{\Delta \xi } = M\dfrac{\partial \delta (x-\xi )}{\partial \xi }  </math>
148
|}
149
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (5)
150
|}
151
152
<div id='img-3'></div>
153
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 50%;"
154
|-
155
|style="text-align: center;padding:10px;"|[[Image:Review_921349416580-Figura05.png|420px|Definición de un momento puntual como el caso límite de dos fuerzas puntuales muy cercanas entre si.)]]
156
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
157
| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 3'''. Definición de un momento puntual como el caso límite de dos fuerzas puntuales muy cercanas entre si
158
|}
159
160
De otra parte, a partir del campo de desplazamiento, es posible obtener los campos de fuerzas internas en la viga como: <span id="eq-6"></span>
161
162
<span id="eq-6.a"></span>
163
<span id="eq-6.b"></span>
164
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
165
|-
166
| 
167
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
168
|-
169
| style="text-align: center;" | <math>M(x)=EI \dfrac{d^2 v}{dx^2}(x) </math>
170
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (6a)
171
|-
172
| style="text-align: center;" | <math>  V(x)=-EI \dfrac{d^3 v}{dx^3}(x)   </math>
173
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (6b)
174
|}
175
|}
176
177
donde <math display="inline">M(x)</math> es el campo de momento flector y <math display="inline">V(x)</math> es el campo de fuerza cortante, cuya convención positiva se presenta en la [[#img-4|Figura 4]]. 
178
179
<div id='img-4'></div>
180
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;"
181
|-
182
|style="text-align: center;padding:10px;"| [[Image:Review_921349416580-Figura03.png|420px|Convención positiva de las fuerzas internas.]]
183
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
184
| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 4'''. Convención positiva de las fuerzas internas
185
|}
186
187
==3. Funciones de Green para vigas sobre fundación flexible==
188
189
===3.1 Fuerzas puntuales===
190
191
En las  [[#img-5|Figuras 5]] y [[#img-6|6]] se presentan los modelos de las vigas sobre fundación flexible finitas e infinitas para los cuales se definirán las funciones de Green a emplear en este artículo, todas las cuales son solución de la siguiente ecuación diferencial:
192
193
<span id="eq-7"></span>
194
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
195
|-
196
| 
197
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
198
|-
199
| style="text-align: center;" | <math>\frac{\partial ^4 G_{yy}}{\partial x^4}(x,\xi )+4\lambda ^4 G_{yy}(x,\xi )=\frac{\delta (x-\xi )}{EI} </math>
200
|}
201
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (7)
202
|}
203
204
donde <math display="inline">G_{yy}(x,\xi )</math> es la función de Green del problema en particular, es decir, el desplazamiento en dirección <math display="inline">y</math> del punto <math display="inline">x</math>, debido a la aplicación de una fuerza puntual unitaria en dirección <math display="inline">y</math> en el punto <math display="inline">\xi </math>.
205
206
La ecuación [[#eq-7|(7)]] es un caso particular de [[#eq-2|(2)]], en la cual en lugar de <math display="inline">v(x,\xi )</math> se ha empleado <math display="inline">G_{yy}(x,\xi )</math> y para definir la función de la carga externa se ha empleado la ecuación [[#eq-4|(4)]] con <math display="inline">F=1</math>. 
207
208
<div id='img-5a'></div>
209
<div id='img-5b'></div>
210
<div id='img-5c'></div>
211
<div id='img-5d'></div>
212
<div id='img-5'></div>
213
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;"
214
|-
215
|style="padding:10px;"| [[Image:Review_921349416580-FigGyyLibreLibre.png|400px|Libre - libre.]]
216
|style="padding:10px;"| [[Image:Review_921349416580-FigGyySimplementeApoyada.png|400px|Simplemente apoyada.]]
217
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
218
| (a) Libre - libre
219
| (b) Simplemente apoyada
220
|-
221
|style="padding:10px;"| [[Image:Review_921349416580-FigGyyEmpotradaLibre.png|400px|Empotrada - libre.]]
222
|style="padding:10px;"| [[Image:Review_921349416580-FigGyyEmpotradaEmpotrada.png|400px|Empotrada - empotrada.]]
223
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
224
| (c) Empotrada - libre
225
| (d) Empotrada - empotrada
226
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
227
| colspan="2" style="padding:10px;"| '''Figura 5'''. Vigas sobre fundación flexible finitas con diferentes condiciones de frontera y sometidas a fuerzas puntuales unitarias transversales
228
|}
229
230
<div id='img-6'></div>
231
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;"
232
|-
233
|style="padding:10px;"|[[Image:Review_921349416580-FigGyyInfinita.png|400px]]
234
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
235
| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 6'''. Viga sobre fundación flexible infinita sometida a una fuerza puntual unitaria
236
|}
237
238
====3.1.1 Viga sobre fundación flexible finita libre - libre====
239
240
La función de Green para la viga sobre fundación flexible finita, con ambos extremos libres y presentada en la [[#img-5a|Figura 5a]], es la solución del siguiente problema de valor en la frontera:
241
242
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
243
|-
244
| 
245
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
246
|-
247
| style="text-align: center;" | <math>\frac{\partial ^4 G_{yy}^{LL}}{\partial x^4}(x,\xi )+4\lambda ^4 G_{yy}^{LL}(x,\xi )=\frac{\delta (x-\xi )}{EI} </math>
248
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (8a)
249
|-
250
| style="text-align: center;padding-top:5px;" | <math>  EI \dfrac{\partial ^2 G_{yy}^{LL}}{\partial x^2}(0,\xi )=0 </math>
251
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (8b)
252
|-
253
| style="text-align: center;padding-top:5px" | <math>  -EI \dfrac{\partial ^3 G_{yy}^{LL}}{\partial x^2}(0,\xi )=0 </math>
254
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (8c)
255
|-
256
| style="text-align: center;padding-top:5px" | <math>  EI \dfrac{\partial ^2 G_{yy}^{LL}}{\partial x^2}(L,\xi )=0 </math>
257
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (8d)
258
|-
259
| style="text-align: center;padding-top:5px" | <math>  -EI \dfrac{\partial ^3 G_{yy}^{LL}}{\partial x^3}(L,\xi )=0  </math>
260
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (8e)
261
|}
262
|}
263
264
donde las dos <math display="inline">L</math> que acompañan al nombre de la función de Green hacen referencia a que cada uno de los extremos es <math display="inline">L</math>ibre.
265
266
Cada uno de los tramos de esta función de Green se definen como:
267
268
<span id="eq-9"></span>
269
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
270
|-
271
| 
272
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
273
|-
274
| style="text-align: center;" | <math>G_{yy}^{LL}(x,\xi )=  \begin{cases}G_{yy}^{LL1} (x,\xi ) & 0 < x \leq \xi \\   G_{yy}^{LL2}(x,\xi ) \qquad & \xi \leq x < L  \end{cases} </math>
275
|}
276
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (9)
277
|}
278
279
donde
280
281
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
282
|-
283
| 
284
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
285
|-
286
| style="text-align: center;" | <math>G_{yy}^{LL1}(x,\xi )=\dfrac{A(x,\xi )}{4EI\lambda ^3\left[\sin ^2(\lambda L)-\sinh ^2(\lambda L)\right]} </math>
287
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (10a)
288
|-
289
| style="text-align: center;" | <math>  G_{yy}^{LL2}(x,\xi )=\dfrac{B(x,\xi )}{4EI\lambda ^3\left[\sin ^2(\lambda L)-\sinh ^2(\lambda L)\right]}  </math>
290
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (10b)
291
|}
292
|}
293
294
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
295
|-
296
| 
297
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
298
|-
299
| style="text-align: center;" | <math>A(x,\xi )=2A_1(\xi )\cos (\lambda x)\cosh (\lambda x)+A_2(\xi )\left[\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x)+\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x)\right] </math>
300
|}
301
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (11)
302
|}
303
304
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
305
|-
306
| 
307
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
308
|-
309
| style="text-align: center;" | <math>A_1(\xi )=\sin (\lambda L)\cosh (\lambda \xi )\cos[\lambda(L-\xi)]  -\sinh (\lambda L)\cos (\lambda \xi )\cosh[\lambda(L-\xi)] </math>
310
|}
311
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (12)
312
|}
313
314
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
315
|-
316
| 
317
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
318
|-
319
| style="text-align: center;" | <math>A_2(\xi )=\sin (\lambda L)\left\{\cosh (\lambda \xi )\sin[\lambda(L-\xi)]  -\sinh (\lambda \xi )\cos[\lambda(L-\xi)]\right\}</math>
320
|-
321
| style="text-align: center;" | <math>  +\sinh (\lambda L)\left\{\cos (\lambda \xi )\sinh[\lambda(L-\xi)](\lambda \xi )\cosh[\lambda(L-\xi)]\right\} </math>
322
|}
323
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (13)
324
|}
325
326
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
327
|-
328
| 
329
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
330
|-
331
| style="text-align: center;" | <math>B(x,\xi )=A(\xi ,x) </math>
332
|}
333
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (14)
334
|}
335
336
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
337
|-
338
| 
339
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
340
|-
341
| style="text-align: center;" | <math>G_{yy}^{LL2}(x,\xi )=G_{yy}^{LL1}(\xi ,x) </math>
342
|}
343
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (15)
344
|}
345
346
====3.1.2 Viga sobre fundación flexible finita simplemente apoyada====
347
348
La función de Green para la viga sobre fundación flexible finita con ambos extremos con apoyos simples, presentada en la  [[#img-5b|Figura 5b]], es la solución del siguiente problema de valor en la frontera:
349
350
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
351
|-
352
| 
353
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
354
|-
355
| style="text-align: center;" | <math>\frac{\partial ^4 G_{yy}^{SS}}{\partial x^4}(x,\xi )+4\lambda ^4 G_{yy}^{SS}(x,\xi )=\frac{\delta (x-\xi )}{EI} </math>
356
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (16a)
357
|-
358
| style="text-align: center;padding-top:7px;" | <math>  G_{yy}^{SS}(0,\xi )=0 </math>
359
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (16b)
360
|-
361
| style="text-align: center;padding-top:7px;" | <math>  EI \dfrac{\partial ^2 G_{yy}^{SS}}{\partial x^2}(0,\xi )=0 </math>
362
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (16c)
363
|-
364
| style="text-align: center;padding-top:7px;" | <math>  G_{yy}^{SS}(L,\xi )=0 </math>
365
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (16d)
366
|-
367
| style="text-align: center;padding-top:7px;" | <math>  EI \dfrac{\partial ^2 G_{yy}^{SS}}{\partial x^2}(L,\xi )=0  </math>
368
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (16e)
369
|}
370
|}
371
372
donde las dos <math display="inline">S</math> que acompañan al nombre de la función de Green hacen referencia a que cada uno de los extremos es un apoyo <math display="inline">S</math>imple.
373
374
Cada uno de los tramos de esta función de Green se definen como:
375
376
<span id="eq-17"></span>
377
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
378
|-
379
| 
380
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
381
|-
382
| style="text-align: center;" | <math>G_{yy}^{SS}(x,\xi )=  \begin{cases}G_{yy}^{SS1} (x,\xi ) & 0 < x \leq \xi \\   G_{yy}^{SS2}(x,\xi ) \qquad & \xi \leq x < L  \end{cases} </math>
383
|}
384
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (17)
385
|}
386
387
donde
388
389
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
390
|-
391
| 
392
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
393
|-
394
| style="text-align: center;" | <math>G_{yy}^{SS1}(x,\xi )=\dfrac{C(x,\xi )}{4EI\lambda ^3\left[\cos (2\lambda L)-\cosh (2\lambda L) \right]} </math>
395
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (18a)
396
|-
397
| style="text-align: center;padding-top:7px;" | <math>  G_{yy}^{SS2}(x,\xi )=\dfrac{D(x,\xi )}{4EI\lambda ^3\left[\cos (2\lambda L)-\cosh (2\lambda L) \right]}   </math>
398
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (18b)
399
|}
400
|}
401
402
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
403
|-
404
| 
405
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
406
|-
407
| style="text-align: center;" | <math>C(x,\xi )=  \left\{\sin[\lambda(2L-\xi)]\sinh (\lambda \xi )-\sinh[\lambda(2L-\xi)]\sin (\lambda \xi )\right\}  \left[\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x)+\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x)\right]</math>
408
|-
409
| style="text-align: center;padding-top:5px;" | <math>  +\left\{\cosh[\lambda(2L-\xi)]\cos (\lambda \xi )-\cos[\lambda(2L-\xi)]\cosh (\lambda \xi )\right\}  \left[\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x)-\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x)\right] </math>
410
|}
411
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (19)
412
|}
413
414
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
415
|-
416
| 
417
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
418
|-
419
| style="text-align: center;" | <math>D(x,\xi )=C(\xi ,x) </math>
420
|}
421
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (20)
422
|}
423
424
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
425
|-
426
| 
427
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
428
|-
429
| style="text-align: center;" | <math>G_{yy}^{SS2}(x,\xi )=G_{yy}^{SS1}(\xi ,x) </math>
430
|}
431
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (21)
432
|}
433
434
====3.1.3 Viga sobre fundación flexible finita empotrada - libre====
435
436
La función de Green para la viga sobre fundación flexible finita con su extremo inicial <math display="inline">(x=0)</math> empotrado y su extremo final <math display="inline">(x=L)</math> libre, presentada en la  [[#img-5c|Figura 5c]], es la solución del siguiente problema de valor en la frontera:
437
438
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
439
|-
440
| 
441
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
442
|-
443
| style="text-align: center;" | <math>\frac{\partial ^4 G_{yy}^{EL}}{\partial x^4}(x,\xi )+4\lambda ^4 G_{yy}^{EL}(x,\xi )=\frac{\delta (x-\xi )}{EI} </math>
444
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (22a)
445
|-
446
| style="text-align: center;padding-top:7px;" | <math>  G_{yy}^{EL}(0,\xi )=0 </math>
447
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (22b)
448
|-
449
| style="text-align: center;padding-top:7px;" | <math>  \dfrac{\partial G_{yy}^{EL}}{\partial x}(0,\xi )=0 </math>
450
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (22c)
451
|-
452
| style="text-align: center;padding-top:7px;" | <math>  EI \dfrac{\partial ^2 G_{yy}^{EL}}{\partial x^2}(L,\xi )=0 </math>
453
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (22d)
454
|-
455
| style="text-align: center;padding-top:7px;" | <math>  -EI \dfrac{\partial ^3 G_{yy}^{EL}}{\partial x^3}(L,\xi )=0  </math>
456
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (22e)
457
|}
458
|}
459
460
donde la <math display="inline">E</math> del primer supeindice del nombre hace referencia a que el extremo inicial es <math display="inline">E</math>mpotrado y la <math display="inline">L</math> a que el extremo final es <math display="inline">L</math>ibre.
461
462
Cada uno de los tramos de esta función de Green se definen como:
463
464
<span id="eq-23"></span>
465
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
466
|-
467
| 
468
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
469
|-
470
| style="text-align: center;" | <math>G_{yy}^{EL}(x,\xi )=  \begin{cases}G_{yy}^{EL1}(x,\xi ) & 0 < x \leq \xi \\   G_{yy}^{EL2}(x,\xi ) \qquad & \xi \leq x < L  \end{cases} </math>
471
|}
472
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (23)
473
|}
474
475
Donde:
476
477
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
478
|-
479
| 
480
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
481
|-
482
| style="text-align: center;" | <math>G_{yy}^{EL1}(x,\xi )=\dfrac{E(x,\xi )}{4EI\lambda ^3\left[\cos ^2(\lambda L)+\cosh ^2(\lambda L)\right]} </math>
483
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (24a)
484
|-
485
| style="text-align: center;padding-top:7px;" | <math>  G_{yy}^{EL2}(x,\xi )=\dfrac{F(x,\xi )}{4EI\lambda ^3\left[\cos ^2(\lambda L)+\cosh ^2(\lambda L)\right]}  </math>
486
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (24b)
487
|}
488
|}
489
490
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
491
|-
492
| 
493
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
494
|-
495
| style="text-align: center;" | <math>E(x,\xi )=2E_1(\xi )\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x)+E_2(\xi )\left[\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x)-\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x)\right] </math>
496
|}
497
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (25)
498
|}
499
500
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
501
|-
502
| 
503
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
504
|-
505
| style="text-align: center;" | <math>E_1(\xi )=\sinh (\lambda L)\sin (\lambda \xi )\sinh[\lambda(L-\xi)]  -\sin (\lambda L)\sinh (\lambda \xi )\sin[\lambda (L-\xi)]</math>
506
|-
507
| style="text-align: center;padding-top:7px;" | <math>  +\sin (\lambda \xi )\cosh (\lambda \xi )+\cos (\lambda \xi )\sinh (\lambda \xi ) </math>
508
|}
509
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (26)
510
|}
511
512
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
513
|-
514
| 
515
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
516
|-
517
| style="text-align: center;" | <math>E_2(\xi )=\sin (\lambda L)\left\{\cosh (\lambda \xi )\sin[\lambda (L-\xi)+\sinh(\lambda \xi )\cos[\lambda (L-\xi)]  \right\}</math>
518
|-
519
| style="text-align: center;padding-top:7px;" | <math>   -\sinh (\lambda L) \left\{\sin (\lambda \xi )\cosh[\lambda (L-\xi)]+\cos(\lambda \xi )\sinh[\lambda(L-\xi)]\right\}  -2\cos (\lambda \xi )\cosh (\lambda \xi ) </math>
520
|}
521
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (27)
522
|}
523
524
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
525
|-
526
| 
527
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
528
|-
529
| style="text-align: center;" | <math>F(x,\xi )=E(\xi ,x) </math>
530
|}
531
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (28)
532
|}
533
534
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
535
|-
536
| 
537
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
538
|-
539
| style="text-align: center;" | <math>G_{yy}^{EL2}(x,\xi )=G_{yy}^{EL1}(\xi ,x) </math>
540
|}
541
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (29)
542
|}
543
544
====3.1.4 Viga sobre fundación flexible finita doblemente empotrada====
545
546
La función de Green para la viga sobre fundación flexible finita doblemente empotrada presentada en la  [[#img-5d|Figura 5d]], es la solución del siguiente problema de valor en la frontera:
547
548
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
549
|-
550
| 
551
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
552
|-
553
| style="text-align: center;" | <math>\frac{\partial ^4 G_{yy}^{EE}}{\partial x^4}(x,\xi )+4\lambda ^4 G_{yy}^{EE}(x,\xi )=\frac{\delta (x-\xi )}{EI} </math>
554
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (30a)
555
|-
556
| style="text-align: center;padding-top:7px;" | <math>  G_{yy}^{EE}(0,\xi )=0 </math>
557
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (30b)
558
|-
559
| style="text-align: center;padding-top:7px;" | <math>  \dfrac{\partial G_{yy}^{EE}}{\partial x}(0,\xi )=0 </math>
560
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (30c)
561
|-
562
| style="text-align: center;padding-top:7px;" | <math>  G_{yy}^{EE}(L,\xi )=0 </math>
563
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (30d)
564
|-
565
| style="text-align: center;padding-top:7px;" | <math>  \dfrac{\partial G_{yy}^{EE}}{\partial x}(L,\xi )=0 </math>
566
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (30e)
567
|}
568
|}
569
570
donde las dos <math display="inline">E</math> que acompañan al nombre de la función de Green hacen referencia a que cada uno de los extremos es un apoyo <math display="inline">E</math>mpotrado.
571
572
Cada uno de los tramos de esta función de Green se definen como:
573
574
<span id="eq-31"></span>
575
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
576
|-
577
| 
578
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
579
|-
580
| style="text-align: center;" | <math>G_{yy}^{EE}(x,\xi )=  \begin{cases}G_{yy}^{EE1}(x,\xi ) & 0 < x \leq \xi \\   G_{yy}^{EE2}(x,\xi ) \qquad & \xi \leq x < L  \end{cases} </math>
581
|}
582
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (31)
583
|}
584
585
donde
586
587
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
588
|-
589
| 
590
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
591
|-
592
| style="text-align: center;" | <math>G_{yy}^{EE1}(x,\xi )=\dfrac{H(x,\xi )}{4EI \lambda ^3 [\sin ^2(\lambda L)-\sinh ^2(\lambda L)]} </math>
593
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (32a)
594
|-
595
| style="text-align: center;padding-top:7px;" | <math>  G_{yy}^{EE2}(x,\xi )=\dfrac{J(x,\xi )}{4EI \lambda ^3 [\sin ^2(\lambda L)-\sinh ^2(\lambda L)]}  </math>
596
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (32b)
597
|}
598
|}
599
600
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
601
|-
602
| 
603
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
604
|-
605
| style="text-align: center;" | <math>H(\xi )=2\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x)H_1(\xi )+[\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x)-\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x)]H_2(\xi ) </math>
606
|}
607
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (33)
608
|}
609
610
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
611
|-
612
| 
613
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
614
|-
615
| style="text-align: center;" | <math>H_1(\xi )=\sin (\lambda L)\sinh (\lambda \xi )\sin[\lambda (L-\xi)]-\sin(\lambda \xi )\sinh (\lambda L)\sinh[\lambda (L-\xi)] </math>
616
|}
617
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (34)
618
|}
619
620
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
621
|-
622
| 
623
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
624
|-
625
| style="text-align: center;" | <math>H_2(\xi )=-\sin (\lambda L)\{ \cosh (\lambda \xi )\sin[\lambda (L-\xi)]+\sinh(\lambda \xi )\cos[\lambda (L-\xi)]\} </math>
626
|-
627
| style="text-align: center;" | <math>  +\sinh (\lambda L)\{ \sin (\lambda \xi )\cosh[\lambda (L-\xi)]+\cos(\lambda \xi )\sinh[\lambda (L-\xi)]\}  </math>
628
|}
629
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (35)
630
|}
631
632
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
633
|-
634
| 
635
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
636
|-
637
| style="text-align: center;" | <math>J(x,\xi )=H(\xi ,x) </math>
638
|}
639
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (36)
640
|}
641
642
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
643
|-
644
| 
645
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
646
|-
647
| style="text-align: center;" | <math>G_{yy}^{EE2}(x,\xi )=G_{yy}^{EE1}(\xi ,x) </math>
648
|}
649
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (37)
650
|}
651
652
====3.1.5 Viga sobre fundación flexible infinita====
653
654
La función de Green para la viga sobre fundación flexible infinita presentada en la  [[#img-6|Figura 6]], se define como:
655
656
<span id="eq-38"></span>
657
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
658
|-
659
| 
660
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
661
|-
662
| style="text-align: center;" | <math>G_{yy}(x,\xi )=  \begin{cases}G_{yy}^1(x,\xi ) & -\infty < x \leq \xi \\[.3cm]   G_{yy}^2(x,\xi ) \qquad & \xi \leq x < +\infty   \end{cases} </math>
663
|}
664
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (38)
665
|}
666
667
Donde:
668
669
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
670
|-
671
| 
672
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
673
|-
674
| style="text-align: center;" | <math>G_{yy}^1(x,\xi )=\dfrac{\exp[+\lambda (x-\xi)]\{ \cos[\lambda (x-\xi)]-\sin[\lambda(x-\xi)] \}}{8EI\lambda ^3} </math>
675
|}
676
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (39)
677
|}
678
679
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
680
|-
681
| 
682
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
683
|-
684
| style="text-align: center;" | <math>G_{yy}^2(x,\xi )=\dfrac{\exp[-\lambda (x-\xi)]\{ \cos[\lambda (x-\xi)]+\sin[\lambda(x-\xi)]\} }{8EI\lambda ^3} </math>
685
|}
686
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (40)
687
|}
688
689
La cual se puede escribir en un solo tramo desde <math display="inline">x=-\infty </math> a <math display="inline">x=+\infty </math> como:
690
691
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
692
|-
693
| 
694
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
695
|-
696
| style="text-align: center;" | <math>G_{yy}(x,\xi )=\dfrac{\exp (-\lambda |x-\xi |)[ \cos (\lambda |x-\xi |)+\sin (\lambda |x-\xi |)]}{8EI\lambda ^3}  \qquad -\infty{<}x<+\infty  </math>
697
|}
698
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (41)
699
|}
700
701
===3.2 Momentos puntuales===
702
703
En las  [[#img-7|Figuras 7]] y [[#img-8|8]] se presentan las vigas sobre fundación flexible finitas e infinitas para las cuales se definirán las funciones de Green debidas a la aplicación de un momento puntual unitario, todas las cuales se pueden obtener directamente a partir de sus contrapartes debidas a fuerzas puntuales unitarias presentadas en la sección [[#3.1 Fuerzas puntuales|3.1]] empleando la representación de un momento como el limite de dos fuerzas puntuales muy cercanas presentado anteriormente. 
704
<div id='img-7a'></div>
705
<div id='img-7b'></div>
706
<div id='img-7c'></div>
707
<div id='img-7d'></div>
708
<div id='img-7'></div>
709
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;"
710
|-
711
|style="padding:10px;"| [[Image:Review_921349416580-FigGyqLibreLibre.png|400px|Libre - libre finita.]]
712
|style="padding:10px;"| [[Image:Review_921349416580-FigGyqSimplementeApoyada.png|400px|Simplemente apoyada.]]
713
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
714
| (a) Libre - libre finita
715
| (b) Simplemente apoyada
716
|-
717
|style="padding:10px;"| [[Image:Review_921349416580-FigGyqEmpotradaLibre.png|400px|Empotrada - libre.]]
718
|style="padding:10px;"| [[Image:Review_921349416580-FigGyqEmpotradaEmpotrada.png|400px|Empotrada - libre infinita.]]
719
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
720
| (c) Empotrada - libre
721
| (d) Empotrada - libre infinita
722
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
723
| colspan="2" style="padding:10px;" | '''Figura 7'''. Vigas sobre fundación flexible finitas con diferentes condiciones de frontera y sometidas a momentos puntuales unitarios
724
|}
725
726
<div id='img-8'></div>
727
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;"
728
|-
729
|[[Image:Review_921349416580-FigGyqInfinita.png|400px|Viga sobre fundación flexible infinita sometida a un momento puntual unitario.]]
730
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
731
| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 8'''. Viga sobre fundación flexible infinita sometida a un momento puntual unitario
732
|}
733
734
====3.2.1 Viga sobre fundación flexible finita libre - libre====
735
736
A partir de la ecuación [[#eq-9|(9)]], la función de Green para la viga sobre fundación flexible finita con ambos extremos libres presentada en la  [[#img-7a|Figura 7a]], se define como:
737
738
<span id="eq-42"></span>
739
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
740
|-
741
| 
742
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
743
|-
744
| style="text-align: center;" | <math>G_{y \theta }^{LL}(x,\xi )=\dfrac{G_{yy}^{LL}}{\partial \xi }(x,\xi ) </math>
745
|}
746
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (42)
747
|}
748
749
Y sus tramos se definen como:
750
751
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
752
|-
753
| 
754
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
755
|-
756
| style="text-align: center;" | <math>G_{y\theta }^{LL}(x,\xi )=  \begin{cases}G_{y\theta }^{LL1}(x,\xi )=\dfrac{G_{yy}^{LL1}}{\partial \xi }(x,\xi ) & 0 < x \leq \xi \\[0.3cm]   G_{y\theta }^{LL2}(x,\xi )=\dfrac{G_{yy}^{LL2}}{\partial \xi }(x,\xi ) \qquad & \xi \leq x < L  \end{cases} </math>
757
|}
758
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (43)
759
|}
760
761
====3.2.2 Viga sobre fundación flexible finita simplemente apoyada====
762
763
A partir de la ecuación [[#eq-17|(17)]], la función de Green para la viga sobre fundación flexible finita simplemente apoyada presentada en la  [[#img-7b|Figura 7b]], se define como:
764
765
<span id="eq-44"></span>
766
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
767
|-
768
| 
769
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
770
|-
771
| style="text-align: center;" | <math>G_{y \theta }^{SS}(x,\xi )=\dfrac{G_{yy}^{SS}}{\partial \xi }(x,\xi ) </math>
772
|}
773
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (44)
774
|}
775
776
Y sus tramos se definen como:
777
778
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
779
|-
780
| 
781
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
782
|-
783
| style="text-align: center;" | <math>G_{y\theta }^{SS}(x,\xi )=  \begin{cases}G_{y\theta }^{SS1}(x,\xi )=\dfrac{G_{yy}^{SS1}}{\partial \xi }(x,\xi ) & 0 < x \leq \xi \\[0.3cm]   G_{y\theta }^{SS2}(x,\xi )=\dfrac{G_{yy}^{SS2}}{\partial \xi }(x,\xi ) \qquad & \xi \leq x < L  \end{cases} </math>
784
|}
785
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (45)
786
|}
787
788
====3.2.3 Viga sobre fundación flexible finita empotrada - libre====
789
790
A partir de la ecuación [[#eq-23|(23)]], la función de Green para la viga sobre fundación flexible finita simplemente apoyada presentada en la  [[#img-7c|Figura 7c]], se define como:
791
792
<span id="eq-46"></span>
793
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
794
|-
795
| 
796
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
797
|-
798
| style="text-align: center;" | <math>G_{y \theta }^{EL}(x,\xi )=\dfrac{G_{yy}^{EL}}{\partial \xi }(x,\xi ) </math>
799
|}
800
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (46)
801
|}
802
803
Y sus tramos se definen como:
804
805
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
806
|-
807
| 
808
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
809
|-
810
| style="text-align: center;" | <math>G_{y\theta }^{EL}(x,\xi )=  \begin{cases}G_{y\theta }^{EL1}(x,\xi )=\dfrac{G_{yy}^{EL1}}{\partial \xi }(x,\xi ) & 0 < x \leq \xi \\[0.3cm]   G_{y\theta }^{EL2}(x,\xi )=\dfrac{G_{yy}^{EL2}}{\partial \xi }(x,\xi ) \qquad & \xi \leq x < L  \end{cases} </math>
811
|}
812
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (47)
813
|}
814
815
====3.2.4 Viga sobre fundación flexible finita doblemente empotrada====
816
817
A partir de la ecuación [[#eq-31|(31)]], la función de Green para la viga sobre fundación flexible finita simplemente apoyada presentada en la [[#img-7d|Figura 7d]], se define como:
818
819
<span id="eq-48"></span>
820
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
821
|-
822
| 
823
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
824
|-
825
| style="text-align: center;" | <math>G_{y \theta }^{EE}(x,\xi )=\dfrac{G_{yy}^{EE}}{\partial \xi }(x,\xi ) </math>
826
|}
827
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (48)
828
|}
829
830
Y sus tramos se definen como:
831
832
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
833
|-
834
| 
835
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
836
|-
837
| style="text-align: center;" | <math>G_{y\theta }^{EE}(x,\xi )=  \begin{cases}G_{y\theta }^{EE1}(x,\xi )=\dfrac{G_{yy}^{EE1}}{\partial \xi }(x,\xi ) & 0 < x \leq \xi \\[0.3cm]   G_{y\theta }^{EE2}(x,\xi )=\dfrac{G_{yy}^{EE2}}{\partial \xi }(x,\xi ) \qquad & \xi \leq x < L  \end{cases} </math>
838
|}
839
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (49)
840
|}
841
842
====3.2.5 Viga sobre fundación flexible infinita====
843
844
A partir de la ecuación [[#eq-38|(38)]], la función de Green para la viga sobre fundación flexible finita simplemente apoyada presentada en la [[#img-8|Figura 8]], se define como:
845
846
<span id="eq-50"></span>
847
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
848
|-
849
| 
850
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
851
|-
852
| style="text-align: center;" | <math>G_{y \theta }(x,\xi )=\dfrac{G_{yy}}{\partial \xi }(x,\xi ) </math>
853
|}
854
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (50)
855
|}
856
857
Y sus tramos se definen como:
858
859
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
860
|-
861
| 
862
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
863
|-
864
| style="text-align: center;" | <math>G_{y\theta }(x,\xi )=  \begin{cases}G_{y\theta }^1(x,\xi )=\dfrac{G_{yy}^1}{\partial \xi }(x,\xi ) & 0 < x \leq \xi \\[0.3cm]   G_{y\theta }^2(x,\xi )=\dfrac{G_{yy}^2}{\partial \xi }(x,\xi ) \qquad & \xi \leq x < L  \end{cases} </math>
865
|}
866
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (51)
867
|}
868
869
==4. Solución de vigas sobre fundación flexible empleando funciones de Green==
870
871
Antes de comenzar con la explicación de esta metodología es necesario tener claro que todas las cargas externas aplicadas en una viga sobre fundación flexible pueden obtenerse como un operador lineal de cargas puntuales unitarias, en particular sumas, integrales o derivadas ponderadas por un número o función. Para facilitar la explicación de este concepto, se empleará como ejemplo la viga sobre fundación flexible presentada en la  [[#img-9|Figura 9]]. 
872
<div id='img-9'></div>
873
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;"
874
|-
875
|style="padding:10px;"| [[Image:Review_921349416580-Figura06.png|400px|Viga sobre fundación flexible sometida a cargas externas distribuidas y puntuales.]]
876
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
877
| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 9'''. Viga sobre fundación flexible sometida a cargas externas distribuidas y puntuales
878
|}
879
880
881
La carga puntual <math display="inline">F</math> se expresa como el producto de una fuerza puntual unitaria por el factor <math display="inline">F</math>, es decir, se encuentra definida por la siguiente función (ver la ecuación [[#eq-4|(4)]] para una explicación):
882
883
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
884
|-
885
| 
886
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
887
|-
888
| style="text-align: center;" | <math>q_1(\xi )=F \cdot \delta (\xi{-}x_4) </math>
889
|}
890
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (52)
891
|}
892
893
Algo similar ocurre con las fuerzas puntuales debidas a las reacciones verticales que ocurren en los puntos 1 y 2, las cuales se definen respectivamente como:
894
895
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
896
|-
897
| 
898
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
899
|-
900
| style="text-align: center;" | <math>q_2(\xi )=FY_1 \cdot \delta (\xi ) </math>
901
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (53a)
902
|-
903
| style="text-align: center;padding-top:7px;"| " | <math>  q_3(\xi )=FY_2 \cdot \delta (\xi{-}x_2) </math>
904
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (53b)
905
|}
906
|}
907
908
donde <math display="inline">FY_1</math> y <math display="inline">FY_2</math> son respectivamente los valores de las reacciones en los puntos 1 y 2, las cuales son positivas en dirección del eje <math display="inline">y</math>.
909
910
Por su parte, los momentos puntuales debidos al momento externo <math display="inline">M</math> y la reacción a momento en el punto 1, se expresan respectivamente como:
911
912
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
913
|-
914
| 
915
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
916
|-
917
| style="text-align: center;" | <math>q_4(\xi )=M \cdot \dfrac{\partial \delta (\xi{-}r)}{\partial r}(r=x_5) </math>
918
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (54a)
919
|-
920
| style="text-align: center;padding-top:7px;" | <math>  q_5(\xi )=M_1 \cdot \dfrac{\partial \delta (\xi{-}r)}{\partial r}(r=0) </math>
921
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (54b)
922
|}
923
|}
924
925
donde <math display="inline">M_1</math> es la reacción a momento en el punto 1 y <math display="inline">r</math> es una variable auxiliar muda o temporal.
926
927
Mientras que la carga distribuida se expresa como:
928
929
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
930
|-
931
| 
932
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
933
|-
934
| style="text-align: center;" | <math>q(\xi )=\int _{x_1}^{x_3} q(x)\delta (x-\xi )dx </math>
935
|}
936
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (55)
937
|}
938
939
Ahora que es claro que cualquier carga puntual o distribuida puede expresarse como un operador lineal de cargas puntuales, se debe seleccionar una función de Green cuya viga sobre fundación flexible cumpla o pueda cumplir, por medio de la aplicación de fuerzas o momentos puntuales, todas condiciones de frontera y compatibilidad de la viga sobre fundación flexible en estudio. Para este problema la función de Green que más se acomoda es aquella de la viga empotrada libre presentada en la  [[#img-5c|Figura 5c]]. Una vez seleccionada la función de Green, la viga que la define debe hacerse equivalente a aquella en estudio, lo cual se logra a partir de la aplicación de cargas distribuidas y/o puntuales (todas ellas expresables como un operador lineal de cargas puntuales) y del cumplimiento de condiciones de frontera y/o compatibilidad. En este caso es claro que para que la estructura presentada en la  [[#img-5c|Figura 5c]] sea equivalente a aquella de la  [[#img-9|Figura 9]] debe cumplirse que el desplazamiento en el punto 2 sea cero, es decir, <math display="inline">v_2=v(x_2)=0</math>, condición de compatibilidad empleada para obtener el valor de la reacción <math display="inline">FY_2</math> que es desconocido, la cual se expresa en términos de las funciones de Green <math display="inline">G^{EL}_{yy}(z,\xi )</math> y <math display="inline">G^{EL}_{y\theta }(z,\xi )</math>, así como empleando el principio de superposición, como:
940
941
<span id="eq-56"></span>
942
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
943
|-
944
| 
945
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
946
|-
947
| style="text-align: center;" | <math>v_2=v(x_2)=0=FY_2 \cdot G_{yy}^{EL1}(x_2,x_2)+F \cdot G_{yy}^{EL1}(x_2,x_4)+M \cdot G_{y\theta }^{EL1}(x_2,x_5) </math>
948
|-
949
| style="text-align: center;padding-top:7px;" | <math>  +\int _{x_1}^{x_2} q(\xi )G_{yy}^{EL2}(x_2,\xi )d\xi{+\int}_{x_2}^{x_3} q(\xi )G_{yy}^{EL1}(x_2,\xi )d\xi  </math>
950
|}
951
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (56)
952
|}
953
954
Cuyos términos se explican a continuación:<br>
955
956
957
<math display="inline">FY_2 \cdot G_{yy}^{EL1}(x_2,x_2)</math>: Desplazamiento en <math display="inline">x=x_2</math> debido a la fuerza puntual <math display="inline">FY_2</math> ubicada en <math display="inline">x=x_2</math>.
958
959
<math display="inline">F \cdot G_{yy}^{EL1}(x_2,x_4)</math>: Desplazamiento en <math display="inline">x=x_2</math> debido a la fuerza puntual <math display="inline">F</math> ubicada en <math display="inline">x=x_4</math>.
960
961
<math display="inline">M_2 \cdot G_{y\theta }^{EL1}(x_2,x_5)</math>: Desplazamiento en <math display="inline">x=x_2</math> debido al momento puntual <math display="inline">M</math> ubicado en <math display="inline">x=x_5</math>.
962
963
<math display="inline">\int _{x_1}^{x_2} q(\xi )G_{yy}^{EL2}(x_2,\xi )d\xi </math>: Desplazamiento en <math display="inline">x=x_2</math> debido a la carga distribuida <math display="inline">q(\xi )</math> ubicada entre <math display="inline">x=x_1</math> y <math display="inline">x=x_2</math>.
964
965
<math display="inline">\int _{x_2}^{x_3} q(\xi )G_{yy}^{EL1}(x_2,\xi )d\xi </math>: Desplazamiento en <math display="inline">x=x_2</math> debido a la carga distribuida <math display="inline">q(\xi )</math> ubicada entre <math display="inline">x=x_2</math> y <math display="inline">x=x_3</math>.
966
967
<br>
968
En este punto, es importante recordarle al lector que <math display="inline">G_{yy}^{EL1}(x,\xi )</math> corresponde al desplazamiento antes de la fuerza puntual unitaria, mientras que <math display="inline">G_{yy}^{EL2}(x,\xi )</math> corresponde a aquel después de esta.
969
970
Como siguiente paso, una vez obtenidas todas las condiciones de compatibilidad, se resuelve el sistema lineal de ecuaciones que ellas forman, de lo cual se obtiene el valor de aquellas reacciones puntuales diferentes a aquellas que también ocurrirían en la viga sobre fundación flexible empleada para definir la función de Green ([[#img-10|Figura 10]]). En este ejemplo esto equivale a obtener el único valor de <math display="inline">FY_2</math> que cumple [[#eq-56|(56)]]. 
971
972
<div id='img-10'></div>
973
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 60%;"
974
|-
975
|style="padding:10px;"|[[Image:Review_921349416580-Figura07.png|400px|Aplicación de las cargas externas de la viga sobre fundación flexible a analizar sobre aquella empleada para la definición de la función de Green empleada en la solución.]]
976
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
977
| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 10'''. Aplicación de las cargas externas de la viga sobre fundación flexible a analizar sobre aquella empleada para la definición de la función de Green empleada en la solución
978
|}
979
980
981
Una vez obtenidas las reacciones que hacen que se cumplan las condiciones de compatibilidad y/o frontera, es necesario calcular el campo de desplazamiento en cada uno de los tramos de la viga sobre fundación flexible, lo cual se realiza de nuevo empleando el principio de superposición. Para este ejemplo el campo de desplazamiento tiene 6 tramos y se define como:
982
983
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
984
|-
985
| 
986
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
987
|-
988
| style="text-align: center;" | <math>v(x)=  \begin{cases}v_1(x) & 0<x \leq x_1 \\   v_2(x) & x_1 \leq x \leq x_2 \\   v_3(x) & x_2 \leq x \leq x_3 \\      v_4(x) & x_3 \leq x \leq x_4 \\   v_5(x) & x_4 \leq x \leq x_5  \\   v_6(x) & x_5 \leq x < L  \end{cases} </math>
989
|}
990
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (57)
991
|}
992
993
Mientras que cada uno de sus valores se calcula como:
994
995
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
996
|-
997
| 
998
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
999
|-
1000
| style="text-align: center;" | <math>v_1(x)=FY_2 \cdot G_{yy}^{EL1}(x,x_2)+F \cdot G_{yy}^{EL1}(x,x_4)+M \cdot G_{y\theta }^{EL1}(x,x_5)  +\int _{x_1}^{x_3} q(\xi )G_{yy}^{EL1}(x,\xi )d\xi  </math>
1001
|}
1002
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (58)
1003
|}
1004
1005
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1006
|-
1007
| 
1008
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1009
|-
1010
| style="text-align: center;" | <math>v_2(x)=FY_2 \cdot G_{yy}^{EL1}(x,x_2)+F \cdot G_{yy}^{EL1}(x,x_4)+M \cdot G_{y\theta }^{EL1}(x,x_5) </math>
1011
|-
1012
| style="text-align: center;padding:7px;" | <math>  +\int _{x_1}^{x} q(\xi )G_{yy}^{EL2}(x,\xi )d\xi{+\int}_{x}^{x_3} q(\xi )G_{yy}^{EL1}(x,\xi )d\xi  </math>
1013
|}
1014
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (59)
1015
|}
1016
1017
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1018
|-
1019
| 
1020
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1021
|-
1022
| style="text-align: center;" | <math>v_3(x)=FY_2 \cdot G_{yy}^{EL2}(x,x_2)+F \cdot G_{yy}^{EL1}(x,x_4)+M \cdot G_{y\theta }^{EL1}(x,x_5) </math>
1023
|-
1024
| style="text-align: center;padding:7px;" | <math>  +\int _{x_1}^{x} q(\xi )G_{yy}^{EL2}(x,\xi )d\xi{+\int}_{x}^{x_3} q(\xi )G_{yy}^{EL1}(x,\xi )d\xi  </math>
1025
|}
1026
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (60)
1027
|}
1028
1029
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1030
|-
1031
| 
1032
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1033
|-
1034
| style="text-align: center;" | <math>v_4(x)=FY_2 \cdot G_{yy}^{EL2}(x,x_2)+F \cdot G_{yy}^{EL1}(x,x_4)+M \cdot G_{y\theta }^{EL1}(x,x_5)  +\int _{x_1}^{x_3} q(\xi )G_{yy}^{EL2}(x,\xi )d\xi  </math>
1035
|}
1036
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (61)
1037
|}
1038
1039
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1040
|-
1041
| 
1042
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1043
|-
1044
| style="text-align: center;" | <math>v_5(x)=FY_2 \cdot G_{yy}^{EL2}(x,x_2)+F \cdot G_{yy}^{EL2}(x,x_4)+M \cdot G_{y\theta }^{EL1}(x,x_5)  +\int _{x_1}^{x_3} q(\xi )G_{yy}^{EL2}(x,\xi )d\xi  </math>
1045
|}
1046
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (62)
1047
|}
1048
1049
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1050
|-
1051
| 
1052
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1053
|-
1054
| style="text-align: center;" | <math>v_6(x)=FY_2 \cdot G_{yy}^{EL2}(x,x_2)+F \cdot G_{yy}^{EL2}(x,x_4)+M \cdot G_{y\theta }^{EL2}(x,x_5)  +\int _{x_1}^{x_3} q(\xi )G_{yy}^{EL2}(x,\xi )d\xi  </math>
1055
|}
1056
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (63)
1057
|}
1058
1059
Por último, a partir del campo de desplazamiento calculado anteriormente y empleando las ecuaciones [[#eq-3|(3)]] y [[#eq-6|(6)]] se calculan los campos de la fuerza que el suelo ejerce sobre la viga, de momento flector y fuerza cortante respectivamente como:
1060
1061
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1062
|-
1063
| 
1064
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1065
|-
1066
| style="text-align: center;" | <math>f_S(x)=  \begin{cases}f_S^1(x)=-kv_1(x) & 0<x \leq x_1 \\   f_S^2(x)=-kv_2(x) & x_1 \leq x \leq x_2 \\   f_S^3(x)=-kv_3(x) & x_2 \leq x \leq x_3 \\       f_S^4(x)=-kv_4(x) & x_3 \leq x \leq x_4 \\   f_S^5(x)=-kv_5(x) & x_4 \leq x \leq x_5  \\   f_S^6(x)=-kv_6(x) \qquad & x_5 \leq x < L  \end{cases} </math>
1067
|}
1068
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (64)
1069
|}
1070
1071
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1072
|-
1073
| 
1074
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1075
|-
1076
| style="text-align: center;" | <math>M(x)=EI\dfrac{d^2 v}{dx^2}(x)=  \begin{cases}M_1(x)=EI\dfrac{d^2 v_1}{dx^2}(x) & 0<x \leq x_1 \\[0.2cm]   M_2(x)=EI\dfrac{d^2 v_2}{dx^2}(x) & x_1 \leq x \leq x_2 \\[0.2cm]   M_3(x)=EI\dfrac{d^2 v_3}{dx^2}(x) & x_2 \leq x \leq x_3 \\[0.2cm]    M_4(x)=EI\dfrac{d^2 v_4}{dx^2}(x) & x_3 \leq x \leq x_4 \\[0.2cm]   M_5(x)=EI\dfrac{d^2 v_5}{dx^2}(x) & x_4 \leq x \leq x_5 \\[0.2cm]   M_6(x)=EI\dfrac{d^2 v_6}{dx^2}(x) \qquad & x_5 \leq x < L  \end{cases} </math>
1077
|}
1078
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (65)
1079
|}
1080
1081
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1082
|-
1083
| 
1084
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1085
|-
1086
| style="text-align: center;" | <math>V(x)=-EI\dfrac{d^3 v}{dx^3}(x)=  \begin{cases}V_1(x)=-EI\dfrac{d^3 v_1}{dx^3}(x) & 0<x \leq x_1 \\[0.2cm]   V_2(x)=-EI\dfrac{d^3 v_2}{dx^3}(x) & x_1 \leq x \leq x_2 \\[0.2cm]   V_3(x)=-EI\dfrac{d^3 v_3}{dx^3}(x) & x_2 \leq x \leq x_3 \\[0.2cm]    V_4(x)=-EI\dfrac{d^3 v_4}{dx^3}(x) & x_3 \leq x \leq x_4 \\[0.2cm]   V_5(x)=-EI\dfrac{d^3 v_5}{dx^3}(x) & x_4 \leq x \leq x_5 \\[0.2cm]   V_6(x)=-EI\dfrac{d^3 v_6}{dx^3}(x) \qquad & x_5 \leq x < L  \end{cases} </math>
1087
|}
1088
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (66)
1089
|}
1090
1091
==5. Ejemplos==
1092
1093
===5.1 Viga sobre fundación flexible simplemente apoyada sometida a una carga externa sinusoidal===
1094
1095
Resolver la viga sobre fundación flexible presentada en la  [[#img-11|Figura 11]] empleando la función de Green de la [[#img-5b|Figura 5b]]. 
1096
1097
<div id='img-11'></div>
1098
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 50%;"
1099
|-
1100
|style="padding:10px;"|[[Image:Review_921349416580-FiguraEjemplo1.png|420px|Viga sobre fundación flexible simplemente apoyada sometida a una carga externa sinusoidal.]]
1101
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
1102
| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 11'''. Viga sobre fundación flexible simplemente apoyada sometida a una carga externa sinusoidal
1103
|}
1104
1105
1106
===<u>Solución</u>===
1107
1108
====Funciones de Green a emplear====
1109
1110
Como se indicó en el enunciado, la función de Green a emplear en la solución de este problema es <math display="inline">G_{yy}^{SS}(x,\xi )</math>, la cual se presenta en la ecuación [[#eq-17|(17)]].
1111
1112
====Cálculo del campo de desplazamiento====
1113
1114
La carga externa distribuida sobre la viga está definida por medio de la siguiente función:
1115
1116
<span id="eq-67"></span>
1117
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1118
|-
1119
| 
1120
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1121
|-
1122
| style="text-align: center;" | <math>q(x)=-Q\sin \left(\pi \dfrac{x}{L} \right)\qquad 0<x<L </math>
1123
|}
1124
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (67)
1125
|}
1126
1127
Ahora, debido a que la viga sobre fundación flexible empleada para la función de Green tiene los mismos tramos, condiciones de frontera y de continuidad que aquella a analizar, su campo de desplazamiento se obtiene de forma inmediata solo mediante la siguiente integral:
1128
1129
<span id="eq-68"></span>
1130
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1131
|-
1132
| 
1133
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1134
|-
1135
| style="text-align: center;" | <math>v(x)=\int _0^L G_{yy}^{SS}(x,\xi )q(\xi )d\xi   =\int _0^x G_{yy}^{SS2}(x,\xi )q(\xi )d\xi{+\int}_x^L G_{yy}^{SS1}(x,\xi )q(\xi )d\xi </math>
1136
|-
1137
| style="text-align: center;" | <math>  =-\dfrac{QL^4}{EI}\dfrac{1}{4(\lambda L)^4+\pi ^4}\sin \left(\pi \dfrac{x}{L} \right)\qquad 0<x<L  </math>
1138
|}
1139
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (68)
1140
|}
1141
1142
La cual se puede entender como el cálculo del desplazamiento en un punto <math display="inline">x</math> de la viga sobre fundación flexible como la suma del desplazamiento en dicho punto debido a la carga externa <math display="inline">q(\xi )</math> aplicada en cada uno de sus puntos <math display="inline">(0<\xi{<}L)</math>.
1143
1144
====Cálculo del campo de la fuerza que el suelo ejerce sobre la viga y de fuerzas internas====
1145
1146
A partir de las ecuaciones [[#eq-3|(3)]] y [[#eq-6|(6)]], la fuerza que el suelo ejerce sobre la viga y las fuerzas internas en esta se calculan respectivamente como:
1147
1148
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1149
|-
1150
| 
1151
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1152
|-
1153
| style="text-align: center;" | <math>f_S(x)=-kv(x)=\dfrac{kQL^4}{EI}\dfrac{1}{4(\lambda L)^4+\pi ^4}\sin \left(\pi \dfrac{x}{L} \right) \qquad 0<x<L  </math>
1154
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (69a)
1155
|-
1156
| style="text-align: center;padding:7px;" | <math>  M(x)=EI\dfrac{d^2 v}{dx^2}(x)=QL^2\dfrac{\pi ^2}{4(\lambda L)^4+\pi ^4}\sin \left(\pi \dfrac{x}{L} \right) \qquad 0<x<L </math>
1157
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (69b)
1158
|-
1159
| style="text-align: center;padding:7px;" | <math>  V(x)=-EI\dfrac{d^3 v}{dx^3}(x)=-QL\dfrac{\pi ^3}{4(\lambda L)^4+\pi ^4}\cos \left(\pi \dfrac{x}{L} \right) \qquad 0<x<L </math>
1160
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (69c)
1161
|}
1162
|}
1163
1164
Desde el siguiente enlace se puede descargar el código de Python con la solución de este ejemplo:
1165
1166
https://drive.google.com/file/d/18ee0fR2uzRQFk79DYxLziZwbhIHquAgS
1167
1168
===5.2 Viga sobre fundación flexible empotrada - libre sometida a una carga distribuida constante===
1169
1170
Resolver la viga sobre fundación flexible presentada en la  [[#img-12|Figura 12]] empleando: a) la función de Green empotrada libre presentada en la sección [[#3.1.3 Viga sobre fundación flexible finita empotrada - libre|3.1.3]] y b) la función de Green de libre-libre presentada en la sección [[#3.1.1 Viga sobre fundación flexible finita libre - libre|3.1.1]].  
1171
1172
<div id='img-12'></div>
1173
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 40%;"
1174
|-
1175
|style="padding:10px;"| [[Image:Review_921349416580-Figura3Ejemplo2.png|360px|Viga sobre fundación flexible empotrada-libre sometida a una carga externa distribuida constante.]]
1176
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
1177
| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 12'''. Viga sobre fundación flexible empotrada-libre sometida a una carga externa distribuida constante
1178
|}
1179
1180
===<u>'''Solución'''</u>===
1181
1182
====Definición de la carga externa====
1183
1184
La carga externa que actúa sobre la viga está definida por la siguiente función:
1185
1186
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1187
|-
1188
| 
1189
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1190
|-
1191
| style="text-align: center;" | <math>q(x)=-Q \qquad 0<x<L </math>
1192
|}
1193
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (70)
1194
|}
1195
1196
====5.2.1 Solución empleando la función de Green de la viga sobre fundación flexible empotrada libre ([[#img-5c|Figura 5c]])====
1197
1198
====Funciones de Green a emplear====
1199
1200
Para esta alternativa la función de Green a emplear es <math display="inline">G_{yy}^{EL}(x,\xi )</math>, la cual se presenta en la ecuación [[#eq-23|(23)]].
1201
1202
====Cálculo del campo de desplazamiento====
1203
1204
Debido a que la viga de la función de Green que a emplear tienen las mismas condiciones de frontera que aquella a analizar, su campo de desplazamiento se calcula como:
1205
1206
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1207
|-
1208
| 
1209
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1210
|-
1211
| style="text-align: center;" | <math>v(x)=\int _0^L G_{yy}^{EL}(x,\xi )q(\xi )d\xi   =\int _0^{x} G_{yy}^{EL2}(x,\xi )q(\xi )d\xi{+\int}_x^L G_{yy}^{EL1}(x,\xi ) q(\xi )d\xi </math>
1212
|-
1213
| style="text-align: center;" | <math>  =-Q\left[\int _0^{x} G_{yy}^{EL2}(x,\xi )d\xi{+\int}_x^L G_{yy}^{EL1}(x,\xi ) d\xi  \right] </math>
1214
|}
1215
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (71)
1216
|}
1217
1218
El cual luego de realizar las integrales respectivas, da como resultado:
1219
1220
<span id="eq-72"></span>
1221
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1222
|-
1223
| 
1224
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1225
|-
1226
| style="text-align: center;" | <math>v(x)=-\dfrac{Q}{4EI\lambda ^4} \dfrac{f(x)}{\cos (2\lambda L)+\cosh (2\lambda L)+2} \qquad 0<x<L </math>
1227
|}
1228
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (72)
1229
|}
1230
1231
donde
1232
1233
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1234
|-
1235
| 
1236
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1237
|-
1238
| style="text-align: center;" | <math>f(x)=\sin (\lambda x)\sinh[\lambda(2L-x)]-\sin[\lambda(2L-x)]\sinh (\lambda x)+2\cos (\lambda x)\cosh (\lambda x)+\cos (\lambda x)\cosh[\lambda (2L-x)]  </math>
1239
|-
1240
| style="text-align: center;padding-top:7px;" | <math>+\cos[\lambda(2L-x)]\cosh (\lambda x)-2-\cos (2\lambda L)-\cosh (2\lambda L) </math>
1241
|}
1242
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (73)
1243
|}
1244
1245
====Cálculo del campo de la fuerza que el suelo ejerce sobre la viga y de fuerzas internas====
1246
1247
A partir de la ecuación [[#eq-3|(3)]] y empleando la ecuación [[#eq-72|(72)]] se tiene que la fuerza que el suelo hace sobre la viga es:
1248
1249
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1250
|-
1251
| 
1252
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1253
|-
1254
| style="text-align: center;" | <math>f_S(x)=\dfrac{Q \cdot k}{4EI\lambda ^4} \dfrac{f(x)}{\cos (2\lambda L)+\cosh (2\lambda L)+2} \qquad 0<x<L </math>
1255
|}
1256
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (74)
1257
|}
1258
1259
Mientras que, reemplazando la ecuación [[#eq-72|(72)]] en la ecuación [[#eq-6|(6)]], se obtiene que los campos de momento flector y fuerza cortante son respectivamente:
1260
1261
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1262
|-
1263
| 
1264
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1265
|-
1266
| style="text-align: center;" | <math>M(x)=\dfrac{g(x)}{2\lambda ^2[\cos (2\lambda L)+\cosh (2\lambda L)+2]}  0<x<L </math>
1267
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (75.a)
1268
|-
1269
| style="text-align: center;" | <math>  V(x)=\dfrac{h(x)}{\lambda [\cos (2\lambda L)+\cosh (2\lambda L)+2]}  0<x<L  </math>
1270
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (75.b)
1271
|}
1272
|}
1273
1274
donde
1275
1276
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1277
|-
1278
| 
1279
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1280
|-
1281
| style="text-align: center;" | <math>g(x)=Q \{ 2\sin (\lambda L)\sin[\lambda(L-x)]\cosh (\lambda x)  -2\sin (\lambda L)\cos[\lambda (L-x)]\sinh (\lambda x)+3\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x)</math>
1282
|-
1283
| style="text-align: center;" | <math>  -\sin (\lambda x)\sinh[\lambda (2L-x)]-\cos(\lambda x)\cosh (\lambda x)  +\cos (\lambda x)\cosh[\lambda (2L-x)]\}   </math>
1284
|}
1285
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (76)
1286
|}
1287
1288
y
1289
1290
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1291
|-
1292
| 
1293
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1294
|-
1295
| style="text-align: center;" | <math>h(x)=Q\{ -\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x)+\sin[\lambda(2L-x)]\cosh (\lambda x)-\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x)  +\cos (\lambda x)\sinh[\lambda (2L-x)] \} </math>
1296
|}
1297
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (77)
1298
|}
1299
1300
====5.2.2 Solución empleando la función de Green de la viga sobre fundación flexible libre libre ([[#img-5a|Figura 5a]])====
1301
1302
====Funciones de Green a emplear====
1303
1304
Para la solución de este problema se emplearán las siguientes funciones de Green:
1305
1306
1307
<math display="inline">G_{yy}^{LL}(x,\xi )</math>: Campo de desplazamientos de la viga sobre fundación flexible libre-libre sometida a una carga puntual unitaria presentada en la  [[#img-5a|Figura 5a]] y cuyo valor se presenta en la ecuación [[#eq-17|(17)]].
1308
1309
<math display="inline">G_{y\theta }^{LL}(x,\xi )</math>: Campo de desplazamientos de la viga sobre fundación flexible libre-libre sometida a un momento puntual unitario presentada en la  [[#img-7a|Figura 7a]] y cuyo valor se presenta en la ecuación [[#eq-44|(44)]].
1310
1311
<math display="inline">G_{\theta y}^{LL}(x,\xi )</math>: Campo de rotaciones de la viga sobre fundación flexible libre-libre sometida a una carga puntual unitaria presentada en la  [[#img-5a|Figura 5a]].
1312
1313
<math display="inline">G_{\theta \theta }(x,\xi )</math>: Campo de rotaciones de la viga sobre fundación flexible libre-libre sometida a un momento puntual unitario presentada en la  [[#img-7a|Figura 7a]].
1314
1315
1316
En este punto es importante resaltar que debido a que <math display="inline">G_{\theta y}^{LL}(x,\xi )</math>, <math display="inline">G_{y\theta }^{LL}(x,\xi )</math> y <math display="inline">G_{\theta \theta }^{LL}(x,\xi )</math> son derivadas de <math display="inline">G_{yy}^{LL}(x,\xi )</math>, en realidad es posible indicar que lo es necesario emplear está última, mientras que los tramos de las primeras se definen como:
1317
1318
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1319
|-
1320
| 
1321
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1322
|-
1323
| style="text-align: center;" | <math>G_{\theta y}^{LL}(x,\xi )=\dfrac{\partial G_{yy}^{LL}}{\partial x}(x,\xi )=  \begin{cases}G_{\theta y}^{LL1}(x,\xi )   (x,\xi ) & 0 < x \leq \xi \\[.25cm]   G_{\theta y}^{LL2}(x,\xi )(x,\xi ) \qquad & \xi \leq x < L  \end{cases} </math>
1324
|}
1325
|}
1326
1327
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1328
|-
1329
| 
1330
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1331
|-
1332
| style="text-align: center;" | <math>G_{y\theta }^{LL}(x,\xi )=\dfrac{\partial G_{yy}^{LL}}{\partial \xi }(x,\xi )=  \begin{cases}G_{y\theta }^{LL1}(x,\xi ) & 0 < x \leq \xi \\[.25cm]   G_{y\theta }^{LL2}(x,\xi ) \qquad & \xi \leq x < L  \end{cases} </math>
1333
|}
1334
|}
1335
1336
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1337
|-
1338
| 
1339
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1340
|-
1341
| style="text-align: center;" | <math>G_{\theta \theta }^{LL}(x,\xi )=\dfrac{\partial ^2 G_{yy}^{LL}}{\partial x \partial \xi }(x,\xi )=  \begin{cases}G_{\theta \theta }^{LL1}(x,\xi ) & 0 < x \leq \xi \\[.25cm]   G_{\theta \theta }^{LL2}(x,\xi ) \qquad & \xi \leq x < L  \end{cases} </math>
1342
|}
1343
|}
1344
1345
Para resolver este problema se debe tener en cuenta que solo integrando la función de Green libre-libre multiplicada por la carga externa que actúa sobre la viga, se obtiene una solución que cumplirá las mismas condiciones de frontera homogéneas que la función de Green posee, es decir:
1346
1347
<ol>
1348
1349
<li>Segunda derivada derivada (o momento flector) igual a cero en <math display="inline">x=0</math>.  </li>
1350
<li>Tercera derivada (o fuerza cortante) igual a cero en <math display="inline">x=0</math>.  </li>
1351
<li>Segunda derivada derivada (o momento flector) igual a cero en <math display="inline">x=L</math>.  </li>
1352
<li>Tercera derivada (o fuerza cortante) igual a cero en <math display="inline">x=L</math>. </li>
1353
</ol>
1354
1355
1356
Las cuales cuales no coinciden con aquellas que posee la viga sobre fundación flexible a estudiar ([[#img-12|Figura 12]]).
1357
1358
====Cálculo del campo de desplazamiento====
1359
1360
Para poder hacer cumplir las condiciones de frontera del problema real, a la viga sobre fundación flexible libre-libre no solo se le debe agregar el efecto de la carga distribuida sino también aquel del momento y fuerza puntuales debidos al empotramiento en el extremo izquierdo de esta, así como el cumplimiento de las condiciones de desplazamiento y rotaciones nulos en <math display="inline">x=0</math> ([[#img-13|Figura 13]]). 
1361
1362
<div id='img-13'></div>
1363
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 50%;"
1364
|-
1365
|style="padding:10px;"|[[Image:Review_921349416580-Figura4Ejemplo2.png|360px|Viga sobre fundación flexible en voladizo sometida a una carga externa distribuida constante.]]
1366
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
1367
| colspan="1" style="padding:10px;"|  '''Figura 13'''. Viga sobre fundación flexible en voladizo sometida a una carga externa distribuida constante.
1368
|}
1369
1370
1371
Con base en lo anterior, las dos ecuaciones a emplear para obtener el valor de las reacciones de la viga sobre fundación flexible son:
1372
1373
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1374
|-
1375
| 
1376
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1377
|-
1378
| style="text-align: center;" | <math>v(0)=0=FY_1G_{yy}^{LL2}(0,0)+M_1G_{y\theta }^{LL2}(0,0)-Q\int _0^L G_{yy}^{LL1}(0,\xi )d\xi </math>
1379
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (78a)
1380
|-
1381
| style="text-align: center;padding-top:7px;" | <math>  \dfrac{dv}{dx}(0)=0=FY_1G_{\theta y}^{LL2}(0,0)+M_1G_{\theta \theta }^{LL2}(0,0)-Q\int _0^L G_{\theta y}^{LL1}(0,\xi )d\xi  </math>
1382
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (78b)
1383
|}
1384
|}
1385
1386
De cuya solución se obtiene: <span id="eq-79"></span>
1387
1388
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1389
|-
1390
| 
1391
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1392
|-
1393
| style="text-align: center;" | <math>FY_1=-\dfrac{Q}{\lambda } \dfrac{\sin (2\lambda L)+\sinh (2\lambda L)}{\cos (2\lambda L)+\cosh (2\lambda L)+2} </math>
1394
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (79a)
1395
|-
1396
| style="text-align: center;padding-top:7px;" | <math>  M_1=\dfrac{Q}{2\lambda ^2} \dfrac{\cos (2\lambda L)-\cosh (2\lambda L)}{\cos (2\lambda L)+\cosh (2\lambda L)+2} </math>
1397
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (79b)
1398
|}
1399
|}
1400
1401
Con lo cual, se tiene que el campo de desplazamiento ahora se calcula como:
1402
1403
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1404
|-
1405
| 
1406
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1407
|-
1408
| style="text-align: center;" | <math>v(x)=FY_1G_{yy}^{LL2}(x,0)+M_1G_{y\theta }^{LL2}(x,0)-Q\left[\int _0^x G_{yy}^{LL2}(0,\xi )d\xi{+\int}_x^L G_{yy}^{LL1}(0,\xi )d\xi \right] </math>
1409
|}
1410
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (80)
1411
|}
1412
1413
El cual luego de realizar las integrales y usando la ecuación [[#eq-79|(79)]], da como resultado:
1414
1415
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1416
|-
1417
| 
1418
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1419
|-
1420
| style="text-align: center;" | <math>v(x)=-\dfrac{Q}{4EI\lambda ^4} \dfrac{f(x)}{\cos (2\lambda L)+\cosh (2\lambda L)+2} \qquad 0<x<L </math>
1421
|}
1422
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (81)
1423
|}
1424
1425
donde
1426
1427
<span id="eq-82"></span>
1428
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1429
|-
1430
| 
1431
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1432
|-
1433
| style="text-align: center;" | <math>f(x)=\sin (\lambda x)\sinh[\lambda(2L-x)]-\sin[\lambda(2L-x)]\sinh (\lambda x)+2\cos (\lambda x)\cosh (\lambda x)+\cos (\lambda x)\cosh[\lambda (2L-x)]  </math>
1434
|-
1435
| style="text-align: center;" | <math>+\cos[\lambda(2L-x)]\cosh (\lambda x)-2-\cos (2\lambda L)-\cosh (2\lambda L) </math>
1436
|}
1437
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (82)
1438
|}
1439
1440
====Cálculo del campo de la fuerza que el suelo ejerce sobre la viga y de fuerzas internas====
1441
1442
Dado que el campo de desplazamiento presentado en la ecuación [[#eq-82|(82)]] es igual al presentado en la ecuación [[#eq-72|(72)]] la fuerza que el suelo ejerce sobre la viga y las fuerzas internas en esta serán también iguales con ambas alternativas.
1443
1444
Desde el siguiente enlace se puede descargar el código de Python con la solución de este ejemplo:
1445
1446
https://drive.google.com/file/d/1_i-gzT1M8_PfHonABU7wzhmksbqhUeIi
1447
1448
===5.3 Viga sobre fundación flexible libre - libre sometida a cargas puntuales y distribuidas así como a momento puntual===
1449
1450
Resolver la viga sobre fundación flexible presentada en la [[#img-14|Figura 14]] empleando la función de Green libre-libre presentada en la sección [[#3.1.1 Viga sobre fundación flexible finita libre - libre|3.1.1]]. 
1451
1452
<div id='img-14'></div>
1453
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 55%;"
1454
|-
1455
|style="padding:10px;"|[[Image:Review_921349416580-Figura1Ejemplo3.png|420px|Viga sobre fundación flexible simplemente libre libre sometida a cargas puntuales y distribuidas así como a momento puntual.]]
1456
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
1457
| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 14'''. Viga sobre fundación flexible simplemente libre libre sometida a cargas puntuales y distribuidas, así como a momento puntual
1458
|}
1459
1460
1461
====Funciones de Green a emplear====
1462
1463
Para la solución de este ejercicio se emplearán las funciones de Green <math display="inline">G_{yy}^{LL}(x,\xi )</math> y <math display="inline">G_{y\theta }^{LL}(x,\xi )</math>, las cuales se presentan en las ecuaciones [[#eq-9|(9)]] y [[#eq-42|(42)]], respectivamente.
1464
1465
====Cálculo del campo de desplazamiento====
1466
1467
El campo de desplazamiento de la viga sobre fundación flexible tiene 4 tramos, los cuales se definen como:
1468
1469
<span id="eq-83"></span>
1470
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1471
|-
1472
| 
1473
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1474
|-
1475
| style="text-align: center;" | <math>v(x)=  \begin{cases}v_1(x) & 0 < x \leq 1\hbox{ m} \\   v_2(x) & 1\hbox{ m} \leq x \leq 4\hbox{ m} \\     v_3(x) & 4\hbox{ m} \leq x \leq 5\hbox{ m} \\   v_4(x) & 5\hbox{ m} \leq x < 10\hbox{ m}      \end{cases} </math>
1476
|}
1477
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (83)
1478
|}
1479
1480
Donde cada uno de estos se calcula como:
1481
1482
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1483
|-
1484
| 
1485
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1486
|-
1487
| style="text-align: center;" | <math>v_1(x)=-250G_{yy}^{LL1}(x,1)-100G_{y\theta }^{LL1}(x,4)-200\int _5^{10}G_{yy}^{LL1}(x,\xi )d\xi  </math>
1488
|}
1489
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (84)
1490
|}
1491
1492
<span id="eq-85"></span>
1493
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1494
|-
1495
| 
1496
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1497
|-
1498
| style="text-align: center;" | <math>v_1(x)=3.399293\times 10^{-4}\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x)+3.399293\times 10^{-4}\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x)</math>
1499
|-
1500
| style="text-align: center;" | <math>  -1.716465\times 10^{-3}\cos (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>
1501
|}
1502
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (85)
1503
|}
1504
1505
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1506
|-
1507
| 
1508
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1509
|-
1510
| style="text-align: center;" | <math>v_2(x)=-250G_{yy}^{LL2}(x,1)-100G_{y\theta }^{LL1}(x,4)-200\int _5^{10}G_{yy}^{LL1}(x,\xi )d\xi  </math>
1511
|}
1512
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (86)
1513
|}
1514
1515
<span id="eq-87"></span>
1516
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1517
|-
1518
| 
1519
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1520
|-
1521
| style="text-align: center;" | <math>v_2(x)=1.815758\times 10^{-3}\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x)-2.085686\times 10^{-3}\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x)</math>
1522
|-
1523
| style="text-align: center;" | <math>  +1.952791\times 10^{-3}\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) -1.595276\times 10^{-3}\cos (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>
1524
|}
1525
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (87)
1526
|}
1527
1528
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1529
|-
1530
| 
1531
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1532
|-
1533
| style="text-align: center;" | <math>v_3(x)=-250G_{yy}^{LL2}(x,1)-100G_{y\theta }^{LL2}(x,4)-200\int _5^{10}G_{yy}^{LL1}(x,\xi )d\xi  </math>
1534
|}
1535
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (88)
1536
|}
1537
1538
<span id="eq-89"></span>
1539
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1540
|-
1541
| 
1542
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1543
|-
1544
| style="text-align: center;" | <math>v_3(x)=1.331976\times 10^{-3}\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x)-1.628203\times 10^{-3}\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x)</math>
1545
|-
1546
| style="text-align: center;" | <math>  -2.305245\times 10^{-4}\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) +4.693530\times 10^{-4}\cos (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>
1547
|}
1548
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (89)
1549
|}
1550
1551
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1552
|-
1553
| 
1554
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1555
|-
1556
| style="text-align: center;" | <math>v_4(x)=-250G_{yy}^{LL2}(x,1)-100G_{y\theta }^{LL2}(x,4)-200\int _5^{x}G_{yy}^{LL2}(x,\xi )d\xi   -200\int _x^{10}G_{yy}^{LL1}(x,\xi )d\xi  </math>
1557
|}
1558
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (90)
1559
|}
1560
1561
<span id="eq-91"></span>
1562
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1563
|-
1564
| 
1565
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1566
|-
1567
| style="text-align: center;" | <math>v_4(x)=-9.182279\times 10^{-5} \sin [\lambda (x-5)] \sinh[\lambda (x-5)]  +4.461867\times 10^{-5} \sin[\lambda (x-5)]\cosh[\lambda (x-5)]</math>
1568
|-
1569
| style="text-align: center;" | <math>  -1.632428\times 10^{-3} \cos[\lambda (x-5)]\sinh[\lambda (x-5)]   +1.708853\times 10^{-3} \cos[\lambda (x-5)]\cosh[\lambda (x-5)]</math>
1570
|-
1571
| style="text-align: center;" | <math>  -3.636363\times 10^{-3} </math>
1572
|}
1573
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (91)
1574
|}
1575
1576
Como resumen de lo anterior, en la [[#img-15|Figura 15]] se presenta la gráfica del campo de desplazamiento en toda la viga. 
1577
1578
<div id='img-15a'></div>
1579
<div id='img-15b'></div>
1580
<div id='img-15'></div>
1581
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
1582
|-
1583
|style="padding:10px;"|[[Image:Review_921349416580-CampoDesplazamientoDefinitivoEjemplo3.png|400px|Campo de desplazamiento.]]
1584
|style="padding:10px;"|[[Image:Review_921349416580-CampoFuerzaSueloVigaDefinitivoEjemplo3.png|400px|Campo de la fuerza que el suelo le ejerce a la viga.]]
1585
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
1586
| (a) Campo de desplazamiento
1587
| (b) Campo de la fuerza que el suelo le ejerce a la viga
1588
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
1589
| colspan="2" style="padding:10px;"| '''Figura 15'''. Campos de desplazamiento y fuerza que el suelo ejerce sobre la viga
1590
|}
1591
1592
1593
====Cálculo de la fuerza distribuida que el suelo realiza sobre la viga===
1594
1595
A partir del campo de desplazamiento es fácil calcular la fuerza que el suelo le hace a la viga como <math display="inline">-kv(x)</math>, es decir:
1596
1597
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1598
|-
1599
| 
1600
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1601
|-
1602
| style="text-align: center;" | <math>f_S(x)=-kv(x)=  \begin{cases}f_S^1(x) & 0 < x \leq 1\hbox{ m} \\   f_S^2(x) & 1\hbox{ m} \leq x \leq 4\hbox{ m} \\        f_S^3(x) & 4\hbox{ m} \leq x \leq 5\hbox{ m} \\   f_S^4(x) & 5\hbox{ m} \leq x < 10\hbox{ m}      \end{cases} </math>
1603
|}
1604
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (92)
1605
|}
1606
1607
donde
1608
1609
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1610
|-
1611
| 
1612
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1613
|-
1614
| style="text-align: center;" | <math>f_S^1(x)=- 18.696111\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x)-18.696111\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x)   +94.405583\cos (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>
1615
|}
1616
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (93)
1617
|}
1618
1619
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1620
|-
1621
| 
1622
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1623
|-
1624
| style="text-align: center;" | <math>f_S^2(x)= -99.866674\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x)+114.712745\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x)</math>
1625
|-
1626
| style="text-align: center;" | <math>  -107.403483\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x)+87.740186\cos (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>
1627
|}
1628
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (94)
1629
|}
1630
1631
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1632
|-
1633
| 
1634
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1635
|-
1636
| style="text-align: center;" | <math>f_S^3(x)=-73.258680\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x)+89.551174\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>
1637
|-
1638
| style="text-align: center;" | <math>  +12.678850\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x)-25.814414\cos (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>
1639
|}
1640
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (95)
1641
|}
1642
1643
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1644
|-
1645
| 
1646
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1647
|-
1648
| style="text-align: center;" | <math>f_S^4(x)=5.050253\sin [\lambda (x-5)] \sinh[\lambda (x-5)]-2.454027\sin[\lambda (x-5)]\cosh[\lambda (x-5)]</math>
1649
|-
1650
| style="text-align: center;" | <math>  +89.783516\cos[\lambda (x-5)]\sinh[\lambda (x-5)]-93.986929\cos[\lambda (x-5)]\cosh[\lambda (x-5)]+ 200 </math>
1651
|}
1652
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (96)
1653
|}
1654
1655
Como revisión de los anteriores resultados a continuación se realizará la revisión del equilibrio vertical y rotacional respecto al nodo 1 de toda la viga:
1656
1657
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1658
|-
1659
| 
1660
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1661
|-
1662
| style="text-align: center;" | <math>\sum FY =-250-200 \cdot 5+\int _0^{10} f_S(x)dx \approx 0</math>
1663
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (97a)
1664
|-
1665
| style="text-align: center;padding-top:7px;" | <math>  \sum M_1=-250 \cdot 1-100-200 \cdot 7.5+\int _0^{10} f_S(x)\cdot x dx \approx 0 </math>
1666
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (97b)
1667
|}
1668
|}
1669
1670
==Cálculo de los campos de fuerzas internas==
1671
1672
A continuación se calculan las fuerzas internas en la viga a partir de su campo de desplazamiento.
1673
1674
<u>Campo de momento flector</u>
1675
1676
A partir del campo de desplazamiento y empleando [[#eq-6.a|(6.a)]], el campo de momento flector se calcula como:
1677
1678
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1679
|-
1680
| 
1681
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1682
|-
1683
| style="text-align: center;" | <math>M(x)=EI\dfrac{d^2 v}{dx^2}(x)=  \begin{cases}M_1(x) & 0 < x \leq 1\hbox{ m} \\   M_2(x) & 1\hbox{ m} \leq x < 4\hbox{ m} \\       M_3(x) & 4\hbox{ m} < x \leq 5\hbox{ m} \\   M_4(x) & 5\hbox{ m} \leq x < 10\hbox{ m}      \end{cases} </math>
1684
|}
1685
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (98)
1686
|}
1687
1688
Donde:
1689
1690
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1691
|-
1692
| 
1693
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1694
|-
1695
| style="text-align: center;" | <math>M_1(x)=236.013957\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) - 46.740277\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) + 46.740277\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) </math>
1696
|}
1697
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (99)
1698
|}
1699
1700
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1701
|-
1702
| 
1703
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1704
|-
1705
| style="text-align: center;" | <math>M_2(x)=219.350465\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) - 268.508707\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) - 286.781862\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) </math>
1706
|-
1707
| style="text-align: center;" | <math>  +249.66668430318\cos (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>
1708
|}
1709
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (100)
1710
|}
1711
1712
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1713
|-
1714
| 
1715
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1716
|-
1717
| style="text-align: center;" | <math>M_3(x)=-64.536036\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) + 31.697125\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) - 223.877936\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) </math>
1718
|-
1719
| style="text-align: center;" | <math>  +183.146701\cos (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>
1720
|}
1721
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (101)
1722
|}
1723
1724
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1725
|-
1726
| 
1727
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1728
|-
1729
| style="text-align: center;" | <math>M_4(x)=-234.967314\sin=[\lambda (x-5)]\sinh[\lambda (x-5)]  +224.458790\sin[\lambda (x-5)]\cosh[\lambda (x-5)]</math>
1730
|-
1731
| style="text-align: center;" | <math>  +6.135067\cos[\lambda (x-5)]\sinh[\lambda (x-5)]  -12.625633\cos[\lambda (x-5)]\cosh[\lambda (x-5)] </math>
1732
|}
1733
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (102)
1734
|}
1735
1736
De forma gráfica, el campo de momento flector se presenta en la figura [[#img-16|16]]FigMomentoFlector.
1737
1738
<u>Campo de fuerza cortante</u>
1739
1740
Mientras que el campo de fuerza cortante se calcula a partir del campo de desplazamiento como (ver [[#eq-6.b|(6.b)]]):
1741
1742
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1743
|-
1744
| 
1745
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1746
|-
1747
| style="text-align: center;" | <math>V(x)=-EI\dfrac{d^3 v}{dx^3}(x)=  \begin{cases}V_1(x) & 0 < x < 1\hbox{ m} \\   V_2(x) & 1\hbox{ m} < x \leq 4\hbox{ m} \\     V_3(x) & 4\hbox{ m} \leq x \leq 5\hbox{ m} \\   V_4(x) & 5\hbox{ m} \leq x < 10\hbox{ m}      \end{cases} </math>
1748
|}
1749
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (103)
1750
|}
1751
1752
Donde:
1753
1754
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1755
|-
1756
| 
1757
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1758
|-
1759
| style="text-align: center;" | <math>V_1(x)=41.805775\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) - 105.548650\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) - 105.548650\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x)  </math>
1760
|}
1761
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (104)
1762
|}
1763
1764
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1765
|-
1766
| 
1767
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1768
|-
1769
| style="text-align: center;" | <math>V_2(x)=-8.172003\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) + 13.557825\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) - 209.750846\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) </math>
1770
|-
1771
| style="text-align: center;" | <math>  + 248.333492\cos (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>
1772
|}
1773
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (105)
1774
|}
1775
1776
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1777
|-
1778
| 
1779
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1780
|-
1781
| style="text-align: center;" | <math>V_3(x)=-114.296642\sin (\lambda x)\sinh (\lambda x) + 110.767087\sin (\lambda x)\cosh (\lambda x) - 53.044302\cos (\lambda x)\sinh (\lambda x) </math>
1782
|-
1783
| style="text-align: center;" | <math>  + 85.945872\cos (\lambda x)\cosh (\lambda x) </math>
1784
|}
1785
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (106)
1786
|}
1787
1788
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1789
|-
1790
| 
1791
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1792
|-
1793
| style="text-align: center;" | <math>V_4(x)=-97.637337\sin[\lambda (x-5)]\sinh[\lambda (x-5)]  + 99.434222\sin[\lambda (x-5)]\cosh[\lambda (x-5)]</math>
1794
|-
1795
| style="text-align: center;" | <math>  +110.72693z\cos[\lambda (x-5)]\sinh[\lambda (x-5)]  -103.124708\cos[\lambda (x-5)]\cosh[\lambda (x-5)] </math>
1796
|}
1797
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (107)
1798
|}
1799
1800
Como resumen de los anteriores resultados, en la figura [[#img-16|16]]FigFuerzaCortante se presenta de forma gráfica el campo de fuerza cortante en toda la viga. <div id='img-16a'></div>
1801
<div id='img-16b'></div>
1802
<div id='img-16'></div>
1803
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
1804
|-
1805
|[[Image:Review_921349416580-CampoMomentoFlectorDefinitivoEjemplo3.png|450px|Momento flector.]]
1806
|[[Image:Review_921349416580-CampoCortanteDefinitivoEjemplo3.png|450px|Fuerza cortante.]]
1807
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
1808
| (a) Momento flector.
1809
| (b) Fuerza cortante.
1810
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
1811
| colspan="2" | '''Figura 16:''' Campos de fuerzas internas.
1812
|}
1813
Desde el siguiente enlace se puede descargar el código de Python con la solución de este ejemplo:
1814
1815
https://drive.google.com/file/d/1OVWDyO10_n7tHrZyyISo-OOYUmVrB8bn
1816
1817
==6 Conclusiones==
1818
1819
Las principales conclusiones de este artículo son:
1820
1821
<ol>
1822
1823
<li>Se presenta una metodología basada 100% en las funciones de Green para el análisis de vigas sobre fundación flexible, con la cual se pueden calcular de forma exacta los campos de desplazamiento, momento flector, fuerza cortante y fuerza que el suelo ejerce sobre la viga.  </li>
1824
<li>Una vez implementado de forma numérica, el procedimiento presentado permite analizar de forma muy eficiente vigas sobre fundación flexible.  </li>
1825
<li>Pese a que las funciones de Green más eficientes para resolver un determinado problema son aquellas que comparten las mismas condiciones de frontera (homogéneas) del problema en estudio, es posible su empleo para resolver problemas con diferentes condiciones de frontera. Esto se demuestra en el ejemplo [[#5.2.2 Solución empleando la función de Green de la viga sobre fundación flexible libre libre (figura [[#img-5a|5a]])|5.2.2]] y le da mucha generalidad al procedimiento.  </li>
1826
<li>Se presentan varias funciones de Green para vigas sobre fundación flexible finitas e infinitas con diferentes condiciones de frontera, lo cual permite la implementación del método propuesto para gran cantidad e vigas sobre fundación flexible.  </li>
1827
<li>Se presentan tres ejemplos con la solución de igual número de vigas sobre fundación flexible empleando la metodología presentada en este artículo, las cuales son la respuesta exacta de cada problema pues cumplen sus ecuaciones diferenciales gobernantes (equilibrio de cada punto), condiciones de frontera y equilibrio de toda la viga. </li>
1828
1829
</ol>
1830
1831
===BIBLIOGRAFÍA===
1832
1833
<div id="cite-1"></div>
1834
'''[[#citeF-1|[1]]]''' Reddy, JN. (2004) "An introduction to the finite element method", Volume 1221. McGraw-Hill New York
1835
1836
<div id="cite-2"></div>
1837
'''[[#citeF-2|[2]]]''' Molina-Villegas, Juan Camilo and Giraldo, Harold Nolberto Diaz and Ochoa, Andrés Felipe Acosta. (2020) "Analytical formulation of the stiffness method for 2D reticular structures using Green functions", Volume 36. Revista Internacional de Metodos Numericos para Calculo y Diseno en Ingenieria 3
1838
1839
<div id="cite-3"></div>
1840
'''[[#citeF-3|[3]]]''' Stakgold, Ivar and Holst, Michael J. (2011) "Green's functions and boundary value problems", Volume 99. John Wiley & Sons
1841
1842
<div id="cite-4"></div>
1843
'''[[#citeF-4|[4]]]''' Duffy, Dean G. (2015) "Green's functions with applications". CRC Press
1844
1845
<div id="cite-5"></div>
1846
'''[[#citeF-5|[5]]]''' Rother, Tom. (2017) "Green's Functions in Classical Physics", Volume 938. Springer
1847
1848
<div id="cite-6"></div>
1849
'''[[#citeF-6|[6]]]''' Podio-Guidugli, Paolo and Favata, Antonino. (2014) "Elasticity for Geotechnicians: A Modern Exposition of Kelvin, Boussinesq, Flamant, Cerruti, Melan, and Mindlin Problems", Volume 204. Springer
1850
1851
<div id="cite-7"></div>
1852
'''[[#citeF-7|[7]]]''' Kausel, Eduardo. (2006) "Fundamental solutions in elastodynamics: a compendium". Cambridge University Press
1853
1854
<div id="cite-8"></div>
1855
'''[[#citeF-8|[8]]]''' Cole, Kevin and Beck, James and Haji-Sheikh, A and Litkouhi, Bahman. (2010) "Heat Conduction Using Greens Functions". CRC Press
1856
1857
<div id="cite-9"></div>
1858
'''[[#citeF-9|[9]]]''' Mandelis, Andreas. (2013) "Diffusion-wave fields: mathematical methods and Green functions". Springer Science & Business Media
1859
1860
<div id="cite-10"></div>
1861
'''[[#citeF-10|[10]]]''' Beer, Gernot. (2000) "Programming the boundary element method". John Wiley & Sons, Inc.
1862
1863
<div id="cite-11"></div>
1864
'''[[#citeF-11|[11]]]''' Brebbia, Carlos Alberto and Dominguez, Jose. (1994) "Boundary elements: an introductory course". WIT press
1865
1866
<div id="cite-12"></div>
1867
'''[[#citeF-12|[12]]]''' Katsikadelis, John T. (2002) "Boundary elements: theory and applications". Elsevier
1868
1869
<div id="cite-13"></div>
1870
'''[[#citeF-13|[13]]]''' Rodriguez-Castellanos, Alejandro and Flores, E and Sánchez-Sesma, Francisco José and Ortiz-Aleman, Carlos and Nava-Flores, Mauricio and Martin, Roland. (2011) "Indirect Boundary Element Method applied to fluid&#8211;solid interfaces", Volume 31. Elsevier. Soil Dynamics and Earthquake Engineering 3 470&#8211;477
1871
1872
<div id="cite-14"></div>
1873
'''[[#citeF-14|[14]]]''' Sánchez-Sesma, FJ and Ramos-Martinez, J and Campillo, M. (1993) "An indirect boundary element method applied to simulate the seismic response of alluvial valleys for incident P, S and Rayleigh waves", Volume 22. Wiley Online Library. Earthquake engineering & structural dynamics 4 279&#8211;295
1874
1875
<div id="cite-15"></div>
1876
'''[[#citeF-15|[15]]]''' Young, Warren C and Budynas, Richard G and Sadegh, Ali M. (2012) "Roark's formulas for stress and strain". McGraw-Hill Education
1877
1878
<div id="cite-16"></div>
1879
'''[[#citeF-16|[16]]]''' Hetényi, Miklós. (1971) "Beams on elastic foundation: theory with applications in the fields of civil and mechanical engineering". University of Michigan
1880
1881
<div id="cite-17"></div>
1882
'''[[#citeF-17|[17]]]''' Dinev, Dobromir. (2012) "Analytical solution of beam on elastic foundation by singularity functions", Volume 19. Engineering Mechanics 6 381&#8211;392
1883

Return to Molina-Villegas et al 2021b.

Back to Top

Document information

Published on 29/06/21
Accepted on 29/06/21
Submitted on 25/01/21

Volume 37, Issue 2, 2021
DOI: 10.23967/j.rimni.2021.06.002
Licence: CC BY-NC-SA license

Document Score

0

Views 296
Recommendations 0

Share this document

claim authorship

Are you one of the authors of this document?