Mathematical Formulation and Numerical Validation of Uncertainty Costs for Controllable Loads

==Resumen==
Este documento presenta el desarrollo de una nueva formulación matemática para definir, a través de enfoques probabilísticos, el costo que puede generarse si existiera un mercado eléctrico diversificado, con participación activa de la demanda. Para ello, se considera que la demanda eléctrica en un instante de tiempo sigue una distribución determinada de probabilidad y es controlable por el operador del sistema. El estudio muestra un desarrollo matemático del costo de incertidumbre de la demanda a partir del cálculo del costo esperado de suplir el valor de demanda más conveniente para el sistema de potencia. La validación de la fórmula analítica se realiza a través del método de Monte Carlo, que permitió comparar los costos de penalización asociados con la subestimación o sobreestimación de la demanda de energía eléctrica.

'''Palabras Clave''': Cargas controlables, costos de incertidumbre, estudios probabilísticos, simulaciones de Monte Carlo

==Abstract==

This document presents an analysis and development of a new mathematical formulation to determine, through probabilistic approaches, the cost that can appear in a diversified electricity market with active load participation. In our approach, we consider that power demand follows a specific probability distribution and its control is performed through system's operator actions. The cost of uncertainty of demand is mathematically developed by calculating the expected cost of supplying the most convenient demand value for the power system. The validation of the analytical formula is done through the Monte Carlo method, that allowed us to compare the penalty costs in the case of underestimating or overestimating the demand for electrical energy.

'''Keywords''': Controllable demand, electric market, uncertainty costs, probabilistic studies, Monte Carlo simulation

==1. Introducción==

Existen formas de calcular los costos de la energía eléctrica cuando se utilizan fuentes alternativas para su producción. Algunos de estos costos están asociados al tipo de tecnología utilizada para la conversión de otros tipos de energía, en energía eléctrica <span id='citeF-1'></span><span id='citeF-2'></span><span id='citeF-3'></span>[[#cite-1|[1,2,3]]]. En Siriariyaporn et al. <span id='citeF-1'></span>[[#cite-1|[1]]] se muestran los diversos componentes que afectan los costos de la energía en un sistema eléctrico. Entre estos costos aparecen como representativos el obtenido al generar con medios no convencionales y el creado al presentarse una variación en la demanda. Este último ha llegado a ser una parte importante en la toma de decisiones ya que crea incertidumbre en los costos del sistema, cuando la demanda se comporta activamente en el mercado <span id='citeF-2'></span>[[#cite-2|[2]]].

En los sistemas modernos, la incorporación de cargas controlables en la red ha aumentado los niveles de incertidumbre. El comportamiento de estos elementos se puede describir probabilísticamente a través del modelado matemático de los patrones de consumo. De esta manera, es posible obtener una estimación de los costos asociados con la incertidumbre de estos agentes energéticos, que se representa a través del valor esperado de una función de costo de incertidumbre. El concepto de estas funciones se exploró primero para la generación con energía eólica en Hetzer et al. <span id='citeF-4'></span>[[#cite-4|[4]]]. Las primeras cargas controlables que se estudiaron con respecto al costo de incertidumbre fueron los vehículos eléctricos (PEVs). En Zhao et al. <span id='citeF-5'></span>[[#cite-5|[5]]] se presenta el estudio combinado de energía eólica y PEVs. Una aplicación del concepto de costo de incertidumbre se presenta para energía eólica y solar en Zhao et al. <span id='citeF-6'></span>[[#cite-6|[6]]].

En los estudios mencionados en Hetzer et al. <span id='citeF-4'></span>[[#cite-4|[4]]], Surender et al. [5] y  Zhao et al. <span id='citeF-6'></span>[[#cite-6|[6]]], se muestra la necesidad de ampliar el análisis de los costos de incertidumbre que se generan cuando el pronóstico de la demanda es estocástico para diferentes horas del día. Esta demanda se modela a través de funciones de distribución de probabilidad y el costo de penalización aparece cuando se requiere conectar generación distribuida a la red para suplir demanda o cuando no se tiene como suplir la misma <span id='citeF-5'></span>[[#cite-5|[5]]]. Lo que resulta en extración de energía de la red, debido a que la generación distribuida no tiene como definir su operación en términos de energía firme, debido a la dificultad que se presenta al pronosticar cuándo y cómo será la participación para suplir la demanda. En Santos et al. <span id='citeF-2'></span>[[#cite-2|[2]]] se presenta el costo de incertidumbre asociado al suplir energía a una demanda fija .

En Santos et al. <span id='citeF-2'></span>[[#cite-2|[2]]] se muestra el proceso de modelamiento para la conexión de diferentes tecnologías a la red. Además, se listan las consideraciones previas que se deben definir para realizar un análisis que permita comparar los resultados, que se presentan con la generación hidráulica y térmica. En estos casos se tienen costos de incertidumbre producidos por la cantidad de agua que se puede almacenar y el tiempo de calentamiento en las calderas de las plantas, respectivamente. Una de las limitantes encontrada en Hetzer et al. <span id='citeF-4'></span>[[#cite-4|[4]]], Surender et al. [5] y  Zhao et al. <span id='citeF-6'></span>[[#cite-6|[6]]] fue la ausencia de un marco regulatorio que defina las tarifas para el pago por inyección de energía y uso de la red por parte de los autogeneradores, en países en vía de desarrollo.

De esta manera en Santos et al. <span id='citeF-2'></span>[[#cite-2|[2]]], primero se definen los comportamientos de la generación distribuida en términos de la capacidad de energía que es capaz de satisfacer a través de cada tecnología, y se definen límites de sobrestimación y subestimación de la demanda a suplir. A partir de estos dos parámetros es posible modelar estáticamente la capacidad de generación a través de funciones de distribución de probabilidad '''(FDP)''', con lo cual, podemos realizar un análisis estocástico del comportamiento para el caso de generación fotovoltaica '''(GF)''', generación eólica '''(GE)''', y conexión de vehículos eléctricos a la red '''(VE)'''. Para este último caso, se observa una mayor incertidumbre debido al comportamiento híbrido de carga y descarga de los mismos <span id='citeF-2'></span>[[#cite-2|[2]]]. El antecedente mas reciente de costos de incertidumbre se refiere a centrales hidroeléctricas presentado en Molina et al. <span id='citeF-7'></span>[[#cite-7|[7]]].

==2. Estado del arte y antecedentes==

===2.1 Costos de incertidumbre y su validación númerica===

Para realizar la formulación de los costos de incertidumbre, primero hay que encontrar datos históricos del comportamiento de la fuente primaria y patrones de consumo que se utilizará para la transformación en energía eléctrica <span id='citeF-2'></span>[[#cite-2|[2]]]-<span id='citeF-6'></span>[[#cite-6|[6]]]. De acuerdo a las investigaciones realizadas con respecto a los costos de incertidumbre en generación renovable, es necesario determinar la conducta de la generación en diferentes instantes de tiempo, considerando el clima de la región donde se ubica la planta de generación. Este procedimiento se hace para encontrar los puntos máximos y mínimos de generación para cualquier fuente de energía renovable no convencional. Está metodología se conoce en la literatura técnica como subestimar y sobreestimar la potencia generada por plantas las cuales dependen de factores externos como el clima, el viento, la temperatura ambiente y el caudal de los ríos <span id='citeF-2'></span>[[#cite-2|[2]]]-<span id='citeF-7'></span>[[#cite-7|[7]]]. Estos antecedentes se centran en la generación, y en este articulo se extenderá a las demandas eléctricas controlables.

La validación númerica de los costos de incertidumbre se realiza mediante simulaciones de Monte Carlo. Donde el objetivo es comparar el costo esperado de la subestimación y sobreestimación dada por los escenarios de Monte Carlo y el costo esperado analítico. Las simulaciones de Monte Carlo son apropiadas para analizar la variabilidad de la energía solar, eólica y de vehículos eléctricos, ya que estos recursos pueden ser modelados por funciones de probabilidad conocidas <span id='citeF-2'></span>[[#cite-2|[2,7]]]. La novedad del enfoque propuesto es una formulación analítica para el costo de incertidumbre. Con esta formulación, es posible una evaluación determinística, a través del costo esperado para ser incluido en un despacho económico (por ejemplo, en un despacho de una microred, como en <span id='citeF-8'></span>[[#cite-8|[8,9]]],  que considere las distribuciones de probabilidad de la velocidad del viento, irradiación solar y patrones de conducción y consumo.

En este documento, las simulaciones de Monte Carlo se utilizan para simular varios escenarios de la energía inyectada o consumida de las fuentes de energía primaria mencionadas. En cada escenario se calcula un costo de penalización y, finalmente, el valor esperado del costo de penalización se obtiene utilizando el valor medio del histograma del coste de penalización. Para la demanda se supone conocida la distribución de los patrones de consumo.

===2.2 Demandas controlables y su necesidad en los nuevos sistemas de potencia===

Las plantas térmicas en este momento producen gases de efecto invernadero los cuales emiten en el medio ambiente partículas que generan enfermedades y contribuyen al cambio climático, por lo cual, es necesario utilizar nuevas fuentes de generación de energía eléctrica, cómo las fuentes renovables no convencionales. Para permitir la penetración de estas nuevas tecnologías y bajar los niveles de contaminación, se necesita programar los despachos de energía de las nuevas formas de generación, con esto, se debe realizar un análisis profundo para el despacho de las fuentes renovables. Sin embargo, esto no resulta ser siempre suficiente debido al  papel que juega la demanda en el balance de energía y en el despacho óptimo <span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]].

La dependencia de recursos naturales como irradiancia solar, velocidad del viento, temperatura almacenada, entre otras de las Fuentes Renovables de Energía (FRE), las muestran como fuentes de generación con alta variación en los niveles de generación. Una de las fuentes que presenta mayor variabilidad, por lo tanto, mayor incertidumbre, es la generación eólica, esto conlleva a la difícil incorporación de esta fuente de energía en los mercados eléctricos <span id='citeF-11'></span>[[#cite-11|[11]]]. Existen dos formas para que la participación de la generación eólica sea eficiente en el desarrollo de los mercados eléctricos, la primera es hacer programable el despacho de las plantas eólicas, el segundo es la no programación del despacho para estas plantas. Una de las formas de atacar esta intermitencia es mediante la gestión de la demanda.

La respuesta de la demanda ha sido una de las soluciones propuestas para mantener el balance entre la demanda y la generación, sin embargo, algunas de estas soluciones no están directamente ligadas a las transferencias de energía, ni a la atención de la demanda, sino al mercado financiero de intercambios de energía <span id='citeF-11'></span>[[#cite-11|[11]]]. Por lo tanto, la forma en la que se tranza la energía ha dado al sistema una manera de controlar el balance de energía, haciendo que los precios en los mercados reflejen de manera real las posiciones de los generadores y la demanda.

Para predecir el comportamiento de la demanda se debe tener en cuenta tanto la situación económica del país como la ubicación geográfica y su desarrollo industrial. Algunos de los estudios para determinar estos comportamientos se basan en realizar o utilizar modelos de regresión lineal, sin embargo, esto no es suficiente para determinar el comportamiento. En varios países el clima afecta directamente el consumo de energía eléctrica, y debido a la alta dependencia de la generación hidráulica los precios pueden aumentar en épocas de sequía, y la demanda puede presentar comportamientos erráticos como los vistos en zonas donde existen estaciones climáticas. Por lo tanto, se deben encontrar algunos patrones que permitan definir algunos límites en la conducta que tiene la demanda <span id='citeF-12'></span>[[#cite-12|[12]]].

De esta manera una solución viable para operar los nuevos sistemas de potencia que tienen alta penetración de energía renovable es también utilizando demandas controlables. Estas son demandas capaces de adaptar lo que necesitan de la red en un instante de tiempo determinado <span id='citeF-13'></span>[[#cite-13|[13,14]]]. Para ello deben contar con un respaldo capaz de suplir la energía restante, en caso que el operador de red suministre en el nodo de demanda menos de lo que se necesita. De igual forma el respaldo también debe ser capaz de almacenar energía en caso que el operador de red suministre más de lo que necesita.

==3. Formulación para costos de incertidumbre en demanda controlable==

Para definir el comportamiento de la demanda en términos de funciones de distribución de probabilidad se tiene la función normal <span id='citeF-13'></span>[[#cite-13|[13]]] y la función beta <span id='citeF-14'></span>[[#cite-14|[14]]], además se presenta la formulación analítica correspondiente para determinar los costos de penalización para cada caso <span id='citeF-15'></span>[[#cite-15|[15]]]:

* '''Costo de penalización debido a subestimar'''

Este costo de penalización se presenta por subestimar la potencia que es capaz de demandar el usuario, en otras palabras el generador de energía eléctrica no es capaz de suplir la cantidad de energía que el usuario necesita, por lo tanto, se debe aplicar una penalización por no atender toda la demanda. Sin embargo, puede ocurrir un segundo escenario, el cual representaría un contrato entre el generador de energía eléctrica y la demanda, donde esta última se compromete a no sobrepasar un límite de potencia, potencia contratada. Este caso es el que vamos a abordar debido a que se necesita realizar un análisis donde la demanda o el usuario no cumple con los contratos de energía bilaterales, entonces se debe penalizar a la demanda y por esto se debe encontrar el costo de penalización asociado.<p>

En términos de la potencia demandada, tenemos el costo por subestimar representado como:

<span id="eq-1"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>

W_{s,i}<W_{c,d}  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (1)
|}

donde <math display="inline">W_{s,i}</math> es la potencia programada por el modelo del despacho económico y <math display="inline">W_{c,d}</math> es la potencia contratada por la demanda.

</p>
* '''Costo de penalización debido a sobrestimar'''

Este costo de penalización se presenta por  sobrestimar la demanda de energía eléctrica, por lo tanto, cuando se realiza el despacho de energía, al generador que suple esa carga puede sobrarle enegía ya que la demanda o el usuario no fue capaz de preveer la cantidad real de energía que se prentendía consumir y por la cual se realizó el contrato.<p>

En términos de la potencia demandada, tenemos el costo por sobrestimar representado como:

<span id="eq-2"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>

W_{c,d}<W_{s,i}  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2)
|}

donde <math display="inline">W_{s,i}</math> es la potencia programada por el modelo del despacho económico y <math display="inline">W_{c,d}</math> es la potencia contratada por la demanda.


* '''Formulación Matemática de los Costos por Subestimar'''

Se realiza una aproximación a través de una función lineal para calcular los costos de penalización por subestimar la demanda de energía eléctrica.

<span id="eq-3"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>

C_{u,i}(W_{s,i},W_{c,d}) = C_{u,i}(W_{c,d}-W_{s,i})  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (3)
|}

donde:

* <math display="inline">C_{u,i}</math> se tiene como coeficiente del costo de penalización por subestimar.
* <math display="inline">C_{u,i}(W_{s,i},W_{c,d})</math> se denomina función de costo debido a subestimar.


A través de estos términos se puede determinar el costo de penalización como:

<span id="eq-4"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>

E[C_{u,i}(W_{s,i},W_{c,d})] = \int _{W_{s,i}}^{W_{\infty ,i}} C_{u,i}(W_{c,d}-W_{s,i}) \cdot f_W (W_{c,d}) \cdot dW_{c,d}    </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4)
|}

donde:

* <math display="inline">E[C_{u,i}(W_{s,i},W_{c,d})]</math> es el valor esperado de los costos por subestimar.
* <math display="inline">f_W (W_{c,d})</math> es la FDP que determina el comportamiento de la demanda.
* <math display="inline">{W_{\infty ,i}}</math> es la potencia máxima suministrada por el generador <math display="inline">i</math>.


* '''Formulación Matemática de los Costos por Sobrestimar'''

Se realiza una aproximación a través de una función lineal para calcular los costos de penalización por sobrestimar la demanda de energía eléctrica.

<span id="eq-5"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>

C_{o,i}(W_{s,i},W_{c,d}) = C_{o,i}(W_{s,i}-W_{c,d})  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (5)
|}

donde:

* <math display="inline">C_{o,i}</math> se tiene como coeficiente del costo de penalización por sobrestimar.
* <math display="inline">C_{o,i}(W_{s,i},W_{c,d})</math> se denomina función de costo debido a sobrestimar.

A través de estos términos se puede determinar el costo de penalización como:

<span id="eq-6"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>

E[C_{o,i}(W_{s,i},W_{c,d})] = \int _{W_{min,i}}^{W_{s,i}} C_{o,i}(W_{s,i}-W_{c,d}) \cdot f_W (W_{c,d}) \cdot dW_{c,d}    </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (6)
|}

donde:

* <math display="inline">E[C_{o,i}(W_{s,i},W_{c,d})]</math> es el valor esperado de los costos por sobrestimar.
* <math display="inline">f_W (W_{c,d})</math> es la FDP que determina el comportamiento de la demanda.
* <math display="inline">{W_{\infty ,i}}</math> es la potencia mínima suministrada por el generador <math display="inline">i</math>.

===3.1 Desarrollo analítico de los costos para la demanda (FDP normal)===

El comportamiento de la demanda de energía eléctrica en la red se puede representar a través de FDP con una función normal, que se presenta a continuación:

<span id="eq-7"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>f_{Pe}(Pe) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \phi ^2}} * e^{\bigg(\frac{P_{e}-\mu }{\sqrt {2} \phi }\bigg)^2}  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (7)
|}

donde <math display="inline">f_{Pe}</math> es la FDP de la demanda, <math display="inline">P_{e}</math> representa la potencia demandada, <math display="inline">\mu </math> y <math display="inline">\phi </math> son la media y la desviación estándar respectivamente del comportamiento probabilístico.

Se desarrolla la siguiente integral para relacionar el costo de penalización debido a subestimar la demanda con su respectiva FDP.

* '''Costo de penalidad por subestimar la demanda de energía eléctrica'''

<span id="eq-8"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>

E [C_{e,u,i}(P_{e,i},P_{e,s,i})] = \int _{P_{e,s,i}}^{P_{e,\infty }} C_{e,u,i} \cdot (P_{e,i}-P_{e,s,i}) \cdot f_{P_{e}} (P_{e}) \cdot dP_{e,i}  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (8)
|}

donde:

* <math display="inline">E [C_{e,u,i}(P_{e,i},P_{e,s,i})]</math> es el valor esperado para el costo de penalidad debido a la subestimación en la demanda.
* <math display="inline">f_{P_{e}}(P_{e}) </math> Es la FDP de la potencia de la demanda en el nodo <math display="inline">i</math>.
* <math display="inline">C_{e,u,i}</math> Es el coeficiente del costo de penalidad a través de la subestimación en la demanda en el nodo <math display="inline">i</math>.
* <math display="inline">{P_{e,\infty }}</math> Es la potencia máxima de salida causada por la demanda en el nodo <math display="inline">i</math>.
* <math display="inline">P_{e,s,i}</math> Es la potencia programada para modelar la demanda en el nodo <math display="inline">i</math>.
* <math display="inline">P_{e,i}</math> Es la potencia entregada por un generador en el nodo <math display="inline">i</math>.


Para determinar el costo de penalización reemplazamos [[#eq-7|(7)]] en la ecuación [[#eq-8|(8)]] y comenzamos con el desarrollo de la integral:

<span id="eq-9"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>

E[C_{e,u,i}(P_{e,i},P_{e,s,i}] = \int _{P_{e,s,i}}^{P_{e,\infty }} C_{e,u,i}(P_{e,i}-P_{e,s,i}) \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi \phi ^2}} \cdot e^{-\bigg(\frac{P_{e}-\mu }{\sqrt {2} \cdot \phi }\bigg)^2} \cdot dP_{e,i}  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (9)
|}

Para el desarrollo, primero utilizamos el teorema de cambio de variable para reducir la integral:

<span id="eq-10"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>

U = \frac{P_{e,i} - \mu }{\sqrt{2} \cdot \phi } \longrightarrow P_{e,i} = U \cdot \sqrt{2} \cdot \phi + \mu   </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (10)
|}

<span id="eq-11"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>

dU = \frac{dP_{e,i}}{\sqrt{2} \cdot \phi } \longrightarrow dP_{e,i} = dU \cdot \sqrt{2} \cdot \phi   </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (11)
|}

Debido al cambio de variable se hace necesario cambiar los límites de integración a las nuevas variables:

<span id="eq-12"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>

P_{e,i} = P_{e,s,i} \longrightarrow U_{a} = \frac{P_{e,s,i} - \mu }{\sqrt{2} \cdot \phi }  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (12)
|}

<span id="eq-13"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>P_{e,i} = \infty ^+ \longrightarrow U_{b} = \frac{\infty ^+ - \mu }{\sqrt{2} \cdot \phi }  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (13)
|}

A través del cambio de variable se procede a desarrollar la ecuación [[#eq-9|(9)]].

<span id="eq-14"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math> E[C_{e,u,i}(P_{e,i},P_{e,s,i})] = \int _{U_{a}}^{U_{b}} C_{e,u,i}(U \cdot  \sqrt{2} \cdot \phi + \mu - P_{e,s,i}) \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }\phi } \cdot e^{-U^2} \cdot \sqrt{2} \cdot \phi \cdot dU  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (14)
|}

<span id="eq-15"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad= \int _{U_{a}}^{U_{b}} C_{e,u,i} \bigg(\frac{\sqrt{2}\cdot \phi }{\sqrt{\pi }} \cdot Ue^{-U^2} \cdot dU \bigg)+ \int _{U_{a}}^{U_{b}} C_{e,u,i} \frac{(\mu - P_{e,s,i})}{\sqrt{\pi }} \cdot e^{-U^2} \cdot dU  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (15)
|}

Para la primera parte de la integral se tiene el siguiente resultado:

<span id="eq-16"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>E[C_{e,u,i}(P_{e,i},P_{e,s,i})] = C_{e,u,i} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi }} \cdot \phi \cdot \frac{1}{2} \cdot \bigg(e^{-U_{a}^2} - e^{-U_{b}^2} \bigg)  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (16)
|}

Para el caso del desarrollo de la función <math display="inline">e^{-U^2}</math> de la segunda parte de la integral utilizamos la función error, con la cual se puede resolver esta parte de la ecuación.

Entonces:

<span id="eq-17"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>e^{-U^2} = \frac{\sqrt{\pi }}{2} \cdot erf(x) + C  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (17)
|}

Al reemplazar en la segunda parte de la integral, tenemos:

<span id="eq-18"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>E[C_{e,u,i}(P_{e,i},P_{e,s,i})] = C_{e,u,i} \frac{(\mu - P_{e,s,i})}{\sqrt{2}} \cdot \bigg(erf (U_{b}) - erf (U_{a}) \bigg)  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (18)
|}

Al final el resultado de la ecuación [[#eq-15|(15)]] realizando el cambio de variable, es:

<span id="eq-19"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>E[C_{e,u,i}(P_{e,i},P_{e,s,i})] = C_{e,u,i} \cdot (\mu - P_{e,s,i}) \cdot \bigg(1 + erf \bigg(\frac{\mu - P_{e,s,i}}{\sqrt{2}\cdot \phi } \bigg)\bigg)+ \frac{C_{e,u,i}\cdot \phi }{\sqrt{2\pi }} \cdot e^{-\bigg(\frac{\mu{-}P_{e,s,i}}{\sqrt {2} \cdot \phi }\bigg)^2}  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (19)
|}

* '''Costo de penalidad por sobrestimar la demanda de energía eléctrica'''

<span id="eq-20"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>E [C_{e,o,i}(P_{e,i},P_{e,s,i})] = \int _{0}^{P_{e,s,i}} C_{e,o,i} \cdot (P_{e,s,i}-P_{e,i}) \cdot f_{P_{e}} (P_{e}) \cdot dP_{e,i}  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (20)
|}

donde:

* <math display="inline">E [C_{e,o,i}(P_{e,i},P_{e,s,i})]</math> es el valor esperado para el costo de penalidad debido a la sobrestimación en la demanda.
* <math display="inline">f_{P_{e}} (P_{e}) </math> Es la FDP de la potencia de la demanda en el nodo <math display="inline">i</math>.
* <math display="inline">C_{e,u,i}</math> Es el coeficiente del costo de penalidad a través de la subestimación en la demanda en el nodo <math display="inline">i</math>.
* <math display="inline">P_{e,s,i}</math> Es la potencia programada para modelar la demanda en el nodo <math display="inline">i</math>.
* <math display="inline">P_{e,i}</math> Es la potencia entregada por un generador en el nodo <math display="inline">i</math>.


Para determinar el costo de penalización reemplazamos [[#eq-7|(7)]] en la ecuación [[#eq-20|(20)]] y comenzamos con el desarrollo de la integral:

<span id="eq-21"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>E[C_{e,o,i}(P_{e,i},P_{e,s,i}] = \int _{0}^{P_{e,s,i}} C_{e,o,i}(P_{e,s,i}-P_{e,i}) \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi \phi ^2}} \cdot e^{-\bigg(\frac{P_{e,i}-\mu }{\sqrt {2} \cdot \phi }\bigg)^2} \cdot dP_{e,i}  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (21)
|}

Para el desarrollo, primero utilizamos el teorema de cambio de variable para reducir la integral:

<span id="eq-22"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>U = \frac{P_{e,i} - \mu }{\sqrt{2} \cdot \phi } \longrightarrow P_{e,i} = U \cdot \sqrt{2} \cdot \phi + \mu   </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (22)
|}

<span id="eq-23"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>dU = \frac{dP_{e,i}}{\sqrt{2} \cdot \phi } \longrightarrow dP_{e,i} = dU \cdot \sqrt{2} \cdot \phi   </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (23)
|}

Debido al cambio de variable se hace necesario cambiar los límites de integración a las nuevas variables:

<span id="eq-24"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>P_{e,i} = 0 \longrightarrow U_{a} = \frac{0 - \mu }{\sqrt{2} \cdot \phi }  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (24)
|}

<span id="eq-25"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>P_{e,i} = P_{e,s,i} \longrightarrow U_{b} = \frac{P_{e,s,i} - \mu }{\sqrt{2} \cdot \phi }  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (25)
|}

A través del cambio de variable se procede a desarrollar la ecuación [[#eq-21|(21)]]

<span id="eq-26"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>E[C_{e,o,i}(P_{e,i},P_{e,s,i})] = \int _{U_{a}}^{U_{b}} C_{e,o,i}(P_{e,s,i} - U \cdot  \sqrt{2} \cdot \phi - \mu ) \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }\phi } \cdot e^{-U^2} \cdot \sqrt{2} \cdot \phi \cdot dU  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (26)
|}
<span id="eq-27"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math> \qquad\qquad\qquad\qquad \qquad\qquad =\int _{U_{a}}^{U_{b}} C_{e,o,i} \frac{(P_{e,s,i}-\mu )}{\sqrt{\pi }} \cdot e^{-U^2} \cdot dU - \int _{U_{a}}^{U_{b}} C_{e,o,i} \bigg(\frac{\sqrt{2}\cdot \phi }{\sqrt{\pi }} \cdot Ue^{-U^2} \cdot dU \bigg)  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (27)
|}

Para el caso del desarrollo de la función <math display="inline">e^{-U^2}</math> de la primera parte de la integral utilizamos la función error, con la cual se puede resolver esta parte de la ecuación. Entonces:

<span id="eq-28"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>e^{-U^2} = \frac{\sqrt{\pi }}{2} \cdot erf(x) + C  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (28)
|}

Al reemplazar en la primera parte de la integral, tenemos:

<span id="eq-29"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>E[C_{e,o,i}(P_{e,i},P_{e,s,i})] = C_{e,o,i} \frac{(P_{e,s,i}-\mu )}{2} \cdot \bigg(erf (U_{b}) - erf (U_{a}) \bigg)  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (29)
|}

Para la segunda parte de la integral se tiene el siguiente resultado:

<span id="eq-30"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>E[C_{e,o,i}(P_{e,i},P_{e,s,i})] = -  C_{e,o,i} \frac{\phi }{\sqrt{2\pi }} \cdot \bigg(e^{-U_{a}^2} - e^{-U_{b}^2} \bigg)  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (30)
|}

Al final el resultado de la ecuación [[#eq-27|(27)]] realizando el cambio de variable, es:

<span id="eq-31"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>E[C_{e,o,i}(P_{e,i},P_{e,s,i})] = </math>
|-
| style="text-align: center;" | <math>  = C_{e,o,i} \cdot \frac{(P_{e,s,i}-\mu )}{2} \cdot \bigg(erf \bigg(\frac{\mu }{\sqrt{2} \cdot \phi }\bigg)- erf \bigg(\frac{\mu - P_{e,s,i}}{\sqrt{2} \cdot \phi }\bigg)\bigg)</math>
|-
| style="text-align: center;" | <math>  + C_{e,o,i}\cdot \frac{\phi }{\sqrt{2\pi }} \cdot \bigg(e^{-\bigg(\frac{P_{e,s,i} - \mu }{\sqrt{2} \cdot \phi }\bigg)^2} -e^{\bigg(-\frac{\mu }{\sqrt{2} \cdot \phi }\bigg)}\bigg) </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (31)
|}

Por lo tanto, es posible obtener el costo de incertidumbre para el caso de la demanda como la suma de [[#eq-19|(19)]] y [[#eq-31|(31)]].

===3.2 Desarrollo analítico de los costos para la cemanda (FDP beta)===

El comportamiento de la demanda de energía eléctrica en la red se puede representar a través de FDP con una función beta, que se presenta a continuación:

<span id="eq-32"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>f_{Pe}(Pe) = \frac{\Gamma (\alpha{-\beta})}{\Gamma (\alpha ) \cdot \Gamma (\beta )} \cdot (P_{e,i})^{\alpha{-1}} \cdot (1-P_{e,i})^{\beta{-1}}  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (32)
|}

donde <math display="inline">\Gamma </math> representa la función gama, <math display="inline">\alpha </math> y <math display="inline">\beta </math> son dos parámetros que varían entre 0 y 1, y <math display="inline">P_{e,i}</math> es la potencia demandada.

Se desarrolla la siguiente integral para relacionar el costo de penalización debido a subestimar la demanda con su respectiva FDP.

* '''Costo de penalidad por subestimar la demanda de energía eléctrica'''

<span id="eq-33"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>E [C_{e,u,i}(P_{e,i},P_{e,s,i})] = \int _{P_{e,s,i}}^{P_{e,\infty }} C_{e,u,i} \cdot (P_{e,i}-P_{e,s,i}) \cdot f_{P_{e}} (P_{e}) \cdot dP_{e,i}  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (33)
|}

donde:

* <math display="inline">E [C_{e,u,i}(P_{e,i},P_{e,s,i})]</math> es el valor esperado para el costo de penalidad debido a la subestimación en la demanda.
* <math display="inline">f_{P_{e}} (P_{e}) </math> Es la FDP de la potencia de la demanda en el nodo <math display="inline">i</math>.
* <math display="inline">C_{e,u,i}</math> Es el coeficiente del costo de penalidad a través de la subestimación en la demanda en el nodo <math display="inline">i</math>.
* <math display="inline">{P_{e,\infty }}</math> Es la potencia máxima de salida causada por la demanda en el nodo <math display="inline">i</math>.
* <math display="inline">P_{e,s,i}</math> Es la potencia programada para modelar la demanda en el nodo <math display="inline">i</math>.
* <math display="inline">P_{e,i}</math> Es la potencia entregada por un generador en el nodo <math display="inline">i</math>.


Para determinar el costo de penalización reemplazamos [[#eq-32|(32)]] en la ecuación [[#eq-33|(33)]] y comenzamos con el desarrollo de la integral:<p>

Forma general:

<span id="eq-34"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>E [C_{e,u,i}(P_{e,i},P_{e,s,i})] = \int _{P_{e,s,i}}^{P_{e,\infty }} C_{e,u,i} \cdot (P_{e,i}-P_{e,s,i}) \cdot \frac{\Gamma (\alpha{-\beta})}{\Gamma (\alpha ) \cdot \Gamma (\beta )} \cdot (P_{e,i})^{\alpha{-1}} \cdot (1-P_{e,i})^{\beta{-1}} \cdot dP_{e,i}  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (34)
|}

Desarrollando se tiene una forma generalizada de la función hipergeométrica con la cual se aproxima el resultado:

<span id="eq-35"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>

\frac{C_{k+1}}{C_{k}} = \frac{P(k)}{Q(k)} = \frac{(k+a_{1})(k+a_{2})...(k+a_{p})}{(k+b_{1})(k+b_{2})...(k+b_{q})(k+1)}\cdot x.     </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (35)
|}

El factor de <math display="inline">k+1</math> en el denominador se presenta como razón de notación histórica.

La función <math display="inline">2f_{1} (a,b;c;x)</math> correspondiente a <math display="inline">p = 2</math>, <math display="inline">q = 1</math> es la primera función hipergeométrica que se estudiará, debido a que es la más frecuente en problemas físicos.

Las funciones hipergeométricas son soluciones de la ecuación diferencial hipergeométrica, la cual tiene un punto regular singular en el origen. Para derivar la función hipergeométrica de la ecuación diferencial hipergeométrica se tiene:

<span id="eq-36"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>

z(1-z) y'' + [c-(a+b+1)z] y' -aby = 0  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (36)
|}

''El método de Frobenius permite crear una solución en serie de potencias de esa ecuación diferencial, con <math>p(z)</math> y <math>q(z)</math> analíticas en 0 o, siendo analíticas, si sus límites en 0 existen (si son finitos).''

Se usa el método de Frobenius para reducir la expresión:

<span id="eq-37"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>

\sum _{n=0}^{\infty } \bigg[(n+1) \cdot (n+c) A_{n+1} - \bigg[n^2 + (a+b) n + a\cdot b \bigg]A_{n}\bigg]\cdot z^n = 0  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (37)
|}

Teniendo la ecuación inicial:

<span id="eq-38"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>

A_{n+1} = \frac{(n+a)(n+b)}{(n+1)(n+c)} \cdot A_{n}  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (38)
|}

Utilizando la solución de series de potencia:

<span id="eq-39"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>

y = \sum _{n=0}^{\infty } A_{z} \cdot z^n  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (39)
|}

Entonces tenemos la solución:

<span id="eq-40"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>

y = A_{0} \cdot \bigg[1+ \frac{a \cdot b}{1! \cdot c} \cdot z + \frac{a\cdot (a+1)b\cdot (b+1)}{2!\cdot c\cdot (c+1)}\cdot z^2 + ...\bigg].      </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (40)
|}

Esta es la llamada solución regular, denotada como:

<span id="eq-41"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>F_{1}(a,b;c;z) = 1+ \frac{a \cdot b}{1! \cdot c} \cdot z + \frac{a\cdot (a+1)b\cdot (b+1)}{2!\cdot c\cdot (c+1)}\cdot z^2 + ...</math>
|-
| style="text-align: center;" | <math>  = \sum _{n=0}^{\infty } \frac{(a)_{n}\cdot (b)_{n}}{(c)_{n}} \cdot \frac{z^n}{n!} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (41)
|}

La cual converge si c no es un entero negativo (1) para todo <math display="inline">\mid z \mid < 1</math> y (2) en el circulo unitario <math display="inline">\mid z \mid = 1 </math> si <math display="inline"> R [c-a-b]>0</math>. Aquí, <math display="inline">(a)_{n}</math> es un símbolo de Pochhammer. ''El simbolo de Pochhammer introducido por Leo August Pochhammer es la notación <math>(x)_{n}</math> donde n es un entero no negativo''.

Por lo tanto el resultado final de la expresión es:

<span id="eq-42"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\int _{P_{e,s,i}}^{P_{e,\infty }} C_{e,u,i} \cdot (P_{e,i}-P_{e,s,i}) \cdot \frac{\Gamma (\alpha{-\beta})}{\Gamma (\alpha ) \cdot \Gamma (\beta )} \cdot (P_{e,i})^{\alpha{-1}} \cdot (1-P_{e,i})^{\beta{-1}} \cdot dP_{e,i}</math>
|-
| style="text-align: center;" | <math>  = -\frac{(P_{e,i})^\alpha \cdot ((1+\alpha )\cdot P_{e,s,i}\cdot Hypergeometric 2F1 [a,-b,1+a,x]}{\alpha \cdot (1+\alpha )}  +</math>
|-
| style="text-align: center;" | <math>  \frac{\alpha \cdot (-1+P_{e,s,i})\cdot x \cdot Hypergeometric 2F1 [a,-b,1+a,x]}{\alpha \cdot (1+\alpha )} </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (42)
|}

El cual representa el costo por subestimar la demanda con la función de distribución de probabilidad beta.

</p>
* '''Costo de penalidad por sobrestimar la demanda de energía eléctrica'''

<span id="eq-43"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>

E [C_{e,o,i}(P_{e,i},P_{e,s,i})] = \int _{0}^{P_{e,s,i}} C_{e,o,i} \cdot (P_{e,s,i}-P_{e,i}) \cdot f_{P_{e}} \cdot (P_{e}) \cdot dP_{e,i}  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (43)
|}

donde:

* <math display="inline">E [C_{e,o,i}(P_{e,i},P_{e,s,i})]</math> es el valor esperado para el costo de penalidad debido a la sobrestimación en la demanda.
* <math display="inline">f_{P_{e}} (P_{e}) </math> Es la FDP de la potencia de la demanda en el nodo <math display="inline">i</math>.
* <math display="inline">C_{e,u,i}</math> Es el coeficiente del costo de penalidad a través de la subestimación en la demanda en el nodo <math display="inline">i</math>.
* <math display="inline">P_{e,s,i}</math> Es la potencia programada para modelar la demanda en el nodo <math display="inline">i</math>.
* <math display="inline">P_{e,i}</math> Es la potencia entregada por un generador en el nodo <math display="inline">i</math>.


Para determinar el costo de penalización reemplazamos [[#eq-32|(32)]] en la ecuación [[#eq-43|(43)]] y comenzamos con el desarrollo de la integral:

Forma general:

<span id="eq-44"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>E [C_{e,o,i}(P_{e,i},P_{e,s,i})] = \int _0 ^{P_{e,s,i}}  C_{e,o,i} \cdot (P_{e,s,i}-P_{e,i}) \cdot \frac{\Gamma (\alpha{-\beta})}{\Gamma (\alpha ) \cdot \Gamma (\beta )} \cdot (P_{e,i})^{\alpha{-1}} \cdot (1-P_{e,i})^{\beta{-1}} \cdot dP_{e,i}  </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (44)
|}

Se utilizan las ecuaciones presentadas para el análisis de la función hipergeométrica desde la ecuación [[#eq-35|(35)]] hasta la ecuación [[#eq-41|(41)]].

Finalmente el costo por subestimar la demanda con la función de distibución beta es:

<span id="eq-45"></span>
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
|-
| 
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
|-
| style="text-align: center;" | <math>\int _{P_{e,s,i}}^{P_{e,\infty }} C_{e,u,i} \cdot (P_{e,i}-P_{e,s,i}) \cdot \frac{\Gamma (\alpha{-\beta})}{\Gamma (\alpha ) \cdot \Gamma (\beta )} \cdot (P_{e,i})^{\alpha{-1}} \cdot (1-P_{e,i})^{\beta{-1}} \cdot dP_{e,i}</math>
|-
| style="text-align: center;" | <math>  = (P_{e,i})^\alpha \cdot \bigg[-\frac{P_{e,s,i}\cdot Hypergeometric 2F1 [a,-b,1+a,x]}{\alpha }  +</math>
|-
| style="text-align: center;" | <math>  \frac{(-1+P_{e,s,i})\cdot x \cdot Hypergeometric 2F1 [a,-b,1+a,x]}{(1+\alpha )}\bigg]    </math>
|}
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (45)
|}

==4. Validación númerica con simulación de Monte Carlo==

En la Figura 1 se presenta la metodología con la cual se desarrollo la validación de los resultados reportados a continuación (subsecciones siguientes). Para este caso se realizarón un total de 25 simulaciones para encontrar el error para un caso en particular con cada función de distribución de probabilidad.

<div id='img-1'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;"
|-
|style="padding:10px;"|[[Image:Review_691124104615-TFM.png|453px|Diagrama de flujo para la validación de resultados]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" style="padding-bottom:10px;"| '''Figura 1:''' Diagrama de flujo para la validación de resultados
|}

===4.1 Función de distribución normal===

* '''Caso 1''': El costo de incertidumbre hallado analíticamente fue de $317.5790. En este caso se supone que la demanda tiene un valor medio (<math display="inline">\mu </math>) de 19.54 MW y un desviación estandar (<math display="inline">\phi </math>) de 0.54 MW. La potencia programada (<math display="inline">P_{e,s}</math>) es 18.5 MW. En la Tabla [[#img-1|1]] se presentan los 25 casos simulados, y en la Figura [[#img-2|2]] se muestra la comparación entre el método analítico y la simulación de Monte Carlo.


<div class="center" style="font-size: 75%;">'''Tabla 1'''. Resultados simulación caso 1. Distribución normal</div>

{|  class="floating_tableSCP wikitable" style="text-align: center; margin: 1em auto;min-width:50%;font-size:85%;"
|- style="border-top: 2px solid;border-bottom: 2px solid; text-align:center;"
| colspan='1' style="border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"| '''Simulación''' 
| colspan='1'  style="border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"| '''Monte Carlo'''
| colspan='1'  style="border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"| '''Simulación'''
| colspan='1'  style="border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"| '''Monte Carlo'''
|-style="text-align:center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
|    1 
| 318.2913 
| 14 
|  318.0775
|-style="text-align:center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
|       2 
|  317.9161 
|  15 
| 317.3798
|-style="text-align:center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
| 3 
| 318.4017 
| 16 
| 318.9341
|-style="text-align:center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
| 4 
| 317.3396 
| 17 
| 317.4439
|-style="text-align:center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
| 5 
| 317.5135 
| 18 
| 317.4791
|-style="text-align:center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
| 6 
| 317.2197 
| 19 
| 317.2286
|-style="text-align:center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
| 7 
| 317.9858 
| 20 
| 317.6289
|-style="text-align:center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
| 8 
| 318.7582 
| 21 
| 317.5556
|-style="text-align:center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
| 9 
| 316.8641 
| 22 
| 318.3687
|-style="text-align:center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
| 10 
| 317.9871 
| 23 
| 317.6681
|-style="text-align:center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
| 11 
| 317.3757 
| 24 
| 317.3042
|-style="text-align:center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
| 12 
| 317.3007 
| 25 
| 318.2144
|-style="text-align:center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;border-bottom:2px solid;"
| 13 
| 318.7174 
| 
| 
|}


<div id='img-2'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;"
|-
|style="padding:10px;"|[[Image:Review_691124104615-NC1.png|440px|Comparación Costos para el Caso 1, Distribución Normal]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" style="padding:10px;"| '''Figura 2'''. Comparación costos para el caso 1. Distribución normal
|}


En la Tabla [[#table-2|2]] se muestra el error porcentual en los 25 casos, y en la Tabla [[#table-3|3]] el análisis estadístico.

<div class="center" style="font-size: 75%;">'''Tabla 2'''. Error calculado, caso 1. Distribución normal</div>

{|  class="floating_tableSCP wikitable" style="text-align: center; margin: 1em auto;min-width:50%;font-size:85%;"
|-
| style="text-align: center;border-top: 2px solid;border-bottom: 2px solid;" |      '''Simulación''' 
| colspan='1' style="text-align: center;border-top: 2px solid;border-bottom: 2px solid;" | '''Error (%)'''
| colspan='1' style="text-align: center;border-top: 2px solid;border-bottom: 2px solid;" | '''Simulación'''
| colspan='1' style="text-align: center;border-top: 2px solid;border-bottom: 2px solid;" | '''Error (%)'''
|- style="border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
| style="text-align: center;" |      1 
| style="text-align: center;" | 0.223789 
| style="text-align: center;" | 14 
| style="text-align: center;" | 0.156723
|-style="border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
| style="text-align: center;" |      2 
| style="text-align: center;" | 0.106034 
| style="text-align: center;" | 15 
| style="text-align: center;" | 0.062764
|-style="border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
| style="text-align: center;" |      3 
| style="text-align: center;" | 0.258384 
| style="text-align: center;" | 16 
| style="text-align: center;" | 0.424884
|-style="border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
| style="text-align: center;" |      4 
| style="text-align: center;" | 0.075440 
| style="text-align: center;" | 17 
| style="text-align: center;" | 0.042559
|-style="border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
| style="text-align: center;" |      5 
| style="text-align: center;" | 0.020629 
| style="text-align: center;" | 18 
| style="text-align: center;" | 0.031467
|-style="border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
| style="text-align: center;" |      6 
| style="text-align: center;" | 0.113265 
| style="text-align: center;" | 19 
| style="text-align: center;" | 0.110457
|-style="border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
| style="text-align: center;" |      7 
| style="text-align: center;" | 0.127930 
| style="text-align: center;" | 20 
| style="text-align: center;" | 0.015710
|-style="border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
| style="text-align: center;" |      8 
| style="text-align: center;" | 0.369936 
| style="text-align: center;" | 21 
| style="text-align: center;" | 0.007369
|-style="border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
| style="text-align: center;" |      9 
| style="text-align: center;" | 0.225617 
| style="text-align: center;" | 22 
| style="text-align: center;" | 0.248046
|-style="border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
| style="text-align: center;" |      10 
| style="text-align: center;" | 0.128339 
| style="text-align: center;" | 23 
| style="text-align: center;" | 0.028048
|-style="border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
| style="text-align: center;" |      11 
| style="text-align: center;" | 0.064057 
| style="text-align: center;" | 24 
| style="text-align: center;" | 0.086605
|-style="border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
| style="text-align: center;" |      12 
| style="text-align: center;" | 0.087709 
| style="text-align: center;" | 25 
| style="text-align: center;" | 0.199677
|-style="border-bottom: 2px solid;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
| style="text-align: center;" |      13 
| style="text-align: center;" | 0.357182 
| style="text-align: center;" | 
| style="text-align: center;" |
|}


<div class="center" style="font-size: 75%;">'''Tabla 3'''. Datos estadísticos, error calculado caso 1. Distribución normal</div>
{|  class="floating_tableSCP wikitable" style="text-align: center; margin: 1em auto;min-width:40%;font-size:85%;"
|-style="border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
| style="text-align: center;border-top: 2px solid;" |      Varianza 
| style="text-align: center;border-top: 2px solid;" | 0.013770
|-style="border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
| style="text-align: center;" |      Media 
| style="text-align: center;" | 0.094694
|-style="border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
| style="text-align: center;" |      Promedio 
| style="text-align: center;" | 0.142905
|-style="border-bottom: 2px solid;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
| style="text-align: center;" |      Desviación Estándar 
| style="text-align: center;" | 0.117344
|}


Las Figuras [[#img-3|3]] y [[#img-4|4]] presentan los histogramas de los escenarios simulados de Monte Carlo.

<div id='img-3'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;"
|-
|style="padding:10px;"| [[Image:Review_691124104615-1S1N.png|400px|Escenarios para la potencia, costos de subestimación y sobrestimación, Caso 1, Función Normal.]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" style="padding:10px;"|  '''Figura 3'''. Escenarios para la potencia, costos de subestimación y sobrestimación, caso 1. Función normal
|}

<div id='img-4'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;"
|-
|style="padding:10px;"| [[Image:Review_691124104615-2S1N.png|400px|Costo de incertidumbre (UCF), bajo los parámetros de simulación, Caso 1, Función Normal.]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" style="padding:10px;"|  '''Figura 4'''. Costo de incertidumbre (UCF) bajo los parámetros de simulación, caso 1. Función normal
|}

===4.2 Función de distribución beta===

* '''Caso 1''': El costo de incertidumbre hallado analíticamente fue de $ 181.4107.  En este caso se supone que la demanda puede variar entre 0 y 1 MW; y los parametrs de la disribuci´n beta son: <math display="inline">\alpha </math>=2  y <math display="inline">\beta </math>=1.5. La potencia programada (<math display="inline">P_{e,s}</math>) es 0.9 MW. En la Tabla [[#table-4|4]] se presentan los 25 casos simulados, y en la Figura [[#img-5|5]] se muestra la comparación entre el método analítico y la simulación de Monte Carlo.


<div class="center" style="font-size: 75%;">'''Tabla 4'''. Resultados simulación caso 1. Distribución beta</div>

{|  class="floating_tableSCP wikitable" style="text-align: center; margin: 1em auto;min-width:50%;font-size:85%;"
|- style="border-top: 2px solid;border-bottom: 2px solid; text-align:center;"
| colspan='1' style="border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"| '''Simulación''' 
| colspan='1'  style="border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"| '''Monte Carlo'''
| colspan='1'  style="border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"| '''Simulación'''
| colspan='1'  style="border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"| '''Monte Carlo'''
|-style="text-align: center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
|       1 
|  181.4460 
|  14 
|  181.4098
|-style="text-align: center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
|       2 
|  181.4191 
|  15 
|  181.4099
|-style="text-align: center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
|       3 
|  181.3914 
|  16 
|  181.3515
|-style="text-align: center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
|       4 
|  181.3818 
|  17 
|  181.3818
|-style="text-align: center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
|       5 
|  181.4180 
|  18 
|  181.4601
|-style="text-align: center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
|       6 
|  181.4480 
|  19 
|  181.4114
|-style="text-align: center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
|       7 
|  181.4148 
|  20 
|  181.4097
|-style="text-align: center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
|       8 
|  181.4163 
|  21 
|  181.3926
|-style="text-align: center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
|       9 
|  181.3573 
|  22 
|  181.4198
|-style="text-align: center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
|       10 
|  181.4730 
|  23 
|  181.4055
|-style="text-align: center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
|       11 
|  181.4235 
|  24 
|  181.4310
|-style="text-align: center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
|       12 
|  181.4277 
|  25 
|  181.4227
|-style="border-bottom: 2px solid; text-align:center;"
|       13 
|  181.3645 
|  
|  
|}


<div id='img-5'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;"
|-
|style="padding:10px;"| [[Image:Review_691124104615-BC1.png|350px|Comparación Costos para el Caso 1, Distribución Beta]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" style="padding:10px;"|  '''Figura 5'''. Comparación Costos para el Caso 1, Distribución Beta
|}

En la Tabla [[#table-5|5]] se muestra el error porcentual en los 25 casos, y en la Tabla [[#table-6|6]] el análisis estadístico.

<div class="center" style="font-size: 75%;">'''Tabla 5'''. Error calculado, caso 1. Distribución beta</div>

{|  class="floating_tableSCP wikitable" style="text-align: center; margin: 1em auto;min-width:50%;font-size:85%;"
|-style="border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;text-align: center;border-top: 2px solid;border-bottom: 2px solid;"
| '''Simulación''' 
| '''Error (%)'''
| '''Simulación'''
|  '''Error (%)'''
|-style="text-align: center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
|       1 
|  0.019455 
|  14 
|  0.025474
|-style="text-align: center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
|       2 
|  0.004630 
|  15 
|  0.000496
|-style="text-align: center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
|       3 
|  0.010640 
|  16 
|  0.000441
|-style="text-align: center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
|       4 
|  0.015933 
|  17 
|  0.032644
|-style="text-align: center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
|       5 
|  0.016920 
|  18 
|  0.015933
|-style="text-align: center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
|       6 
|  0.004024 
|  19 
|  0.027224
|-style="text-align: center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
|       7 
|  0.020557 
|  20 
|  0.000386
|-style="text-align: center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
|       8 
|  0.002260 
|  21 
|  0.000551
|-style="text-align: center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
|       9 
|  0.003087 
|  22 
|  0.009978
|-style="text-align: center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
|       10 
|  0.029445 
|  23 
|  0.005016
|-style="text-align: center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
|       11 
|  0.034330 
|  24 
|  0.002867
|-style="text-align: center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
|       12 
|  0.007055 
|  25 
|  0.011189
|-style="border-bottom: 2px solid; text-align:center;"
|     13 
|  0.009370 
|  
| 
|}


<div class="center" style="font-size: 75%;">'''Tabla 6'''. Datos estadísticos, error Calculado, caso 1. Distribución beta</div>

{|  class="floating_tableSCP wikitable" style="text-align: center; margin: 1em auto;min-width:30%;font-size:85%;"
|-style="text-align: center;border-top: 2px solid;
|       Varianza 
|  0.000117
|-style="text-align: center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
|       Media 
|  0.006564
|-style="text-align: center;border-left: 1px solid;border-right: 1px solid;"
|      Promedio 
|  0.012396
|-style="text-align: center;border-bottom: 2px solid;
|      Desviación Estándar 
|  0.010833

|}

Las figuras [[#img-6|6]] y [[#img-7|7]] presentan los histogramas de los escenarios simulados de Monte Carlo.

<div id='img-6'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;"
|-
|style="padding:10px;"| [[Image:Review_691124104615-1S1B.png|388px|Escenarios para la potencia, costos de subestimación y sobrestimación, Caso 1, Función Beta.]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" style="padding:10px;"|  '''Figura 6'''. Escenarios para la potencia, costos de subestimación y sobrestimación, caso 1. Función beta
|}

<div id='img-7'></div>
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: auto;"
|-
|style="padding:10px;"| [[Image:Review_691124104615-2S1B.png|388px|Costo de incertidumbre (UCF), bajo los parámetros de simulación, Caso 1, Función Beta.]]
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
| colspan="1" style="padding:10px;"|  '''Figura 7'''. Costo de incertidumbre (UCF), bajo los parámetros de simulación, caso 1. Función beta
|}

==5. Análisis de resultados y conclusiones==

El principal resultado encontrado en esta investigación es la formulación matemática del costo de incertidumbre de cargas controlables. El costo de incertidumbre evaluad con la formula analítica resulta ser el mismo que el costo esperad de las simulaciones de Monte Carlo. Las conclusiones de este estudio son:

* A través del modelamiento de la demanda con funciones de distribución de probabilidad es posible encontrar un patrón de consumo, que permite definir los costos de incertidumbre que se generan en el sistema por la subestimación y la sobrestimación de la demanda de energía eléctrica.
* Es posible encontrar valores muy cercanos a las simulaciones a través de la formulación analática, como se puede ver a través de los resultados, los valores encontrados se aproximan al método de Monte Carlo, por lo tanto, se tiene una nueva herramienta para definir los costos de incertidumbre sin emplear grandes tiempos de simulación.
* Con la formulación analítica presentada se pueden hallar los costos de incertidumbre por subestimar o sobrestimar a la demanda de energía eléctrica, sin diferenciar esta y teniendo rangos amplios para el modelamiento de cualquier tipo de demanda.
* Con el modelamiento de la demanda de energía eléctrica a través de las funciones de distribución normal y beta, se demostró que el algoritmo desarrollado es capaz de adaptarse a cualquier tipo de variación de la demanda y que no se tienen errores significativos en la adquisición de resultados.
* Se ha encontrado una manera simple y sencilla de definir el costo de penalización que debe ser asumido por el sistema o la demanda cuando alguno de las partes falla en los compromisos adquiridos en el mercado de energía eléctrica.
* Las variaciones de los datos de simulación y del error encontradas son menores al 1%, evidenciando la facilidad y utilidad de la formula analítica desarrollada en este documento.

==Acknowledgements==

The  authors  would  like  to thank  the  Cyted  Network:    RED  IBEROAMERICANA PARA EL DESARROLLO Y LA INTEGRACION DE PEQUENOS GENERADORES EOLICOS(MICRO-EOLO) for the continued support during thedevelopment of this work.

==Referencias==

<div class="auto" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;font-size: 85%;">

<div id="cite-1"></div>
[[#citeF-1|[1]]]  V. Siriariyaporn, D. J. Gotham, and F. T. Sparrow, "Determining the cost of uncertainty to electric utilities in serving highly varying loads," Electr. Util. Deregulation, Restruct. Power Technol. 2004. (DRPT 2004). Proc. 2004 IEEE Int. Conf., vol. 2, no. April, p. 580–585 Vol.2, 2004. <div id="cite-2"></div>
[[#citeF-2|[2]]]  F. Santos, J. Arévalo and S. Rivera, "Uncertainty Cost Functions for Solar Photovoltaic Generation, Wind Energy, and Plug-In Electric Vehicles: Mathematical Expected Value and Verification by Monte Carlo Simulation," International Journal of Power and Energy Conversion (in press) 2019. <div id="cite-3"></div>
[[#citeF-3|[3]]]  J. Cardell, L. Anderson, "Analysis of the System Costs of Wind Variability Through Monte Carlo Simulation," Proceedings of the 43rd Hawaii International Conference on System Sciences, 2010. <div id="cite-4"></div>
[[#citeF-4|[4]]]  J. Hetzer, C. Yu and K. Bhattarai, "An economic dispatch model incorporating wind power," IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 23, no. 2, 603-611, 2008. <div id="cite-5"></div>
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[[#citeF-15|[15]]]  S. Simbaqueba, tesis pregrado “Costos de Incertidumbre con Generación Distribuida Considerando la Estocasticidad de la Demanda Controlable,”, Director: S. Rivera, 2018.
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