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<!-- metadata commented in wiki content
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==ESQUEMA NUMÉRICO HÍBRIDO PARA SIMULAÇÃO DE ESCOAMENTO TRANSIENTE EM ÁGUAS RASAS==
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'''Sara Coelho da Silvacor1<sup>a,b</sup>, , , Liliana M. Gramani<sup>a</sup>, Ricardo V. P. Rezende<sup>c</sup>, Regiani Aparecida Almeida<sup>d</sup>'''
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{|
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|-
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|<sup>a</sup> Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia, UFPR, Centro Politécnico,  Curitiba, Paraná, Brasil
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{|
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|<sup>b</sup> Departamento de Matemática da Universidade Tecnologia Federal do Paraná, UTFPR, Campo Mourão, Paraná, Brasil
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|<sup>c</sup> Departamento de Engenharia Urbana da Universidade Estadual de Maringá, UEM, Maringá, Paraná, Brasil
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|}
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|-
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|<sup>d</sup> Departamento de Engenharia Química, UEM, Maringá, Paraná, Brasil
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|}
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-->
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==Abstract==
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Este trabalho apresenta a simulação hidráulica do escoamento em um reservatório, utilizando o método dos volumes finitos para resolver o sistema de equações que modelam o fluxo bidimensional em águas rasas, negligenciando as tensões tangenciais. Para resolver as equações, utilizou-se um esquema híbrido de   volumes finitos. A solução do sistema de equações linearizadas foi obtida por  implementação computacional do método iterativo de Gauss-Seidel. Para ilustrar a aplicação do esquema numérico em engenharia hidráulica, apresenta-se o estudo do escoamento em um reservatório subterrâneo com pilares internos, cujo fluxo é gerado pela abertura de dois portões de saída. O código desenvolvido permite a análise temporal do volume e do fluxo no reservatório,  a interpretação gráfica do fenômeno físico investigado bem como o cálculo da precisão do modelo. Os resultados obtidos mostram a interpretação física esperada, boa concordância com os dados da literatura, boa precisão, estabilidade e baixo custo computacional.
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'''keywords'''
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Equações de águas rasas,  Volumes Finitos,  Interpolação híbrida,  Estabilidade numérica,  Simulação de leito seco,  Reservatório de contenção.
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==HYBRID NUMERICAL SCHEME FOR SIMULATION OF TRANSIENT FLOW IN A PLUVIAL WATER RESERVOIR==
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'''Abstract'''
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This work presents the numeric simulation of flow in a reservoir, using the finite volume method for  solver the system of equations that model the two-dimensional flow in shallow water, neglecting the tangential tensions.  The solution of the system of linearized equations was obtained by computational implementation of the Gauss-Seidel iterative method. To illustrate the application of the numerical scheme in hydraulic engineering, it was considered the study of flow in an underground reservoir with internal pillars, whose flow is generated by the opening of two outlet gates. The employed code allowed the temporal analysis of the volume and the flow in the reservoir, the graphical interpretation of the investigated physical phenomenon as well as, the calculation of the precision of the model. The results obtained show the expected physical interpretation, good agreement with literature data, good precision,stability and low computational cost.
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''Keywords'': Shallow water equations, Finite volumes, Hybrid interpolation, Numerical stability, Dry bed simulation, Containment reservoir.
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==1 Introdução==
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A ocorrência ou agravamento de inundações nas grandes cidades, bem como a quebra de barragens, tornaram-se problemas cada vez mais recorrentes, causando mortes e fortes impactos ambientais. Nesse cenário, fica evidente a necessidade de conhecimento prévio do comportamento dos fluxos de superfície livre e simulações de abertura de comportas de barragens para manejo de recursos hídricos, avaliação de riscos e usos para obtenção de melhor disponibilidade visando a preservação ambiental. Para tanto, é necessário utilizar metodologias que possam descrever as variáveis hidrodinâmicas envolvidas, como campo de velocidade do fluxo, turbulência e mudanças temporais na altura da superfície da água <span id='citeF-1'></span><span id='citeF-2'></span>[[#cite-1|[1,2]]].  Em <span id='citeF-3'></span>[[#cite-3|[3]]] sugere-se o uso de modelos matemáticos para entender os padrões de fluxo em corpos de água. Modelos matemáticos adequados são ferramentas úteis no gerenciamento de recursos hídricos, pois reduzem o tempo de análise, custos e riscos envolvidos em levar dados experimentais em fluxos reais auxiliando na tomada de decisões e na definição de ações corretivas diante de vazamentos iminentes.  Matematicamente, os fluxos de superfície livre podem ser descritos de várias maneiras. Uma abordagem mais simples e muito aplicada é dada pelas Equações de Águas Rasas, que  representam uma simplificação das Equações de Navier-Stokes e é aplicável aos fluxos nos quais as tensões e acelerações verticais podem ser negligenciadas sem prejuízo do resultado. Essas equações são derivadas por meio da integração das equações governantes (Navier-Stokes e Continuidade) na direção vertical. Sua derivação está fora do escopo deste trabalho, mas pode ser vista em detalhes em <span id='citeF-4'></span>[[#cite-4|[4]]] .  Esse sistema de equações, embora definido em um domínio bidimensional, fornece a altura da coluna de água e as componentes de velocidade em um fluxo instável. No entanto, a obtenção de uma solução analítica para o sistema de equações de águas rasas é, na maioria dos casos, uma tarefa difícil, pois trata-se de um conjunto de equações diferenciais parciais hiperbólicas não lineares com termos fontes. O que requer um tratamento numérico robusto para evitar instabilidades numéricas.   Ao longo das últimas três décadas, muitos avanços foram realizados na solução numérica das equações de águas rasas para simulação de escoamentos unidimensionais aplicados a hidráulica fluvial em rios, canais e tubulações
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<span id='citeF-5'></span><span id='citeF-6'></span><span id='citeF-7'></span><span id='citeF-8'><span id='citeF-9'></span>[[#cite-5|[5,6,7,8,9]]], e modelos bidimensionais aplicados à análise de escoamentos causados pela abertura instantânea de comportas e ruptura de barragens <span id='citeF-10'></span><span id='citeF-11'></span><span id='citeF-12'></span><span id='citeF-13'></span>[[#cite-10|[10,11,12,13]]].  Em <span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]] utilizaram esquemas explícitos de diferenças finitas, na discretização das equações de águas rasas bidimensionais, adicionando condições de estabilidade e viscosidade artificial para suavizar as oscilações de alta frequência. Para validar, os esquemas discretos foram aplicados em um problema típico de engenharia hidráulica: abertura parcial de uma barragem e passagem de uma onda de inundação através de uma contração do canal, adotando a razão entre o nível de água a jusante <math> (h_r) </math> e à montante <math> (h_l ) </math> como sendo, <math> h_r / h_l = 0.5 </math>. Os resultados dos diferentes esquemas foram comparados e a ocorrência de oscilações numéricas foi observada, evidenciando a necessidade de se utilizar esquemas implícitos.  O estudo de caso apontado em <span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]] foi analisado por <span id='citeF-15'></span>[[#cite-15|[15]]] usando um esquema de elementos finitos de alta ordem e uma melhoria na relação <math> h_r / h_l </math> para <math> 0,05 </math> foi obtida, buscando simular a condição de leito seco em uma determinada região do domínio. Em <span id='citeF-12'></span>[[#cite-12|[12]]] usaram dados experimentais em um evento de quebra de barragem para verificar a precisão, estabilidade e confiabilidade de uma solução numérica das equações de águas rasas obtidas por um esquema de volumes finitos bidimensional. O modelo numérico permitiu uma precisão de segunda ordem, tanto no espaço como no tempo, acarretando porém um alto custo computacional, apresentando algumas discrepâncias entre os resultados reais dos medidores e os resultados numéricos nos pontos pesquisados. Os autores destacam a necessidade de simular a propagação de uma onda de inundação para um fundo seco e áspero e otimizar o algoritmo para reduzir o tempo de computação.  Um esquema de volumes finitos não estruturado para malhas triangulares para simular fluxos bidimensionais instáveis em águas rasas com frentes molhadas/secas sobre topografia complexa é apresentado em <span id='citeF-11'></span>[[#cite-11|[11]]]. Utiliza-se em <span id='citeF-11'></span>[[#cite-11|[11]]] para o esquema temporal o método explícito de Runge-Kutta e para o espacial a malha não estruturada. Comparações satisfatórias foram obtidas com dados mensurados e numéricos. Todavia, os autores sugerem a incorporação de um procedimento de escalonamento num esquema implícito temporal, e uma implementação paralela do algoritmo, a fim de reduzir o tempo computacional.   A eficiência de um esquema implícito de volumes finitos é explorada em <span id='citeF-13'></span>[[#cite-13|[13]]] para simulação de fluidos em águas rasas bidimensionais, com frentes secas/molhadas. Adotou-se em <span id='citeF-13'></span>[[#cite-13|[13]]] um tratamento complexo para a discretização espacial, fazendo uso de uma malha não estruturada flexível para obter um melhor ajuste à geometrias irregulares. No entanto, é feito ressalvas quanto ao tempo computacional para obtenção da solução por esquemas implícitos, pois embora um método implícito normalmente exija menos etapas da solução, cada uma exige mais tempo computacional do que as soluções obtidas por um esquema explícito. Os autores apontam a necessidade de se utilizar um solucionador de matrizes que com um número reduzido de iterações alcance a convergência.   Neste contexto, o objetivo principal deste trabalho é formular um esquema híbrido e totalmente implícito de volumes finitos para discretização das equações de águas rasas, a fim de obter uma solução numérica estável com um algoritmo iterativo otimizado, com convergência rápida e baixo custo computacional, para aplicação na simulação de fluxos bidimensionais transitórios em topografias complexas (com declives e sujeitos a resistência ao fluxo). Condições iniciais descontínuas representando leitos úmidos/secos foram adotadas. Para tanto, o trabalho está organizado da seguinte forma: A seção [[#2 Modelo Matemático e Solução Numérica|2]] apresenta as equações hiperbólicas, que regem a natureza das águas rasas, considerando as perdas de atrito e declives da topografia do domínio computacional e detalhando a configuração numérica destas equações; na seção [[#3 O algoritmo|3]], o modelo é validado e uma comparação é feita com os resultados obtidos com o trabalho apresentado em <span id='citeF-10'></span>[[#cite-10|[10]]]. A robustez da solução numérica é verificada com uma extrapolação na relação <math> h_r / h_l </math> para <math>0.00002</math>, na seção [[#4 |4]]; o esquema é aplicado na análise de um problema hidráulico real  na seção [[#5 Verificação Numérica|5]] e; as conclusões são apresentadas na seção [[#6 Escoamento em um reservatório de contenção subterrâneo: uma aplicação do modelo completo|6]].
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==2 Modelo Matemático e Solução Numérica==
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Na análise do escoamento bidimensional transiente em um canal, cuja topografia do fundo é descrita por uma superfície <math>z_0(x,y)</math>, busca-se determinar o nível do fluido de superfície livre <math>h(x,y,t)</math> e o campo de velocidade do fluxo <math>U(u,v)</math> para cada instante de tempo <math>t</math>, conforme Fig. [[#img-1|1]].     <div id='img-1'></div>
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{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
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|-
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|[[Image:Draft_Coelho_632154385-fig1.png|300px|Notação adotada na análise de fluxo em águas rasas]]
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|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
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| colspan="1" | '''Figure 1:''' Notação adotada na análise de fluxo em águas rasas
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|}
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===2.1 Sistema de Equações Governantes===
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O sistema de equações diferenciais que descreve o escoamento hidrostático de um fluido incompressível em águas rasas com superfície superior livre é obtido pela integração ao longo da profundidade das equações tridimensionais que modelam a quantidade de movimento e conservação de massa num escoamento, assumindo distribuição de velocidade uniforme na direção vertical. Como em <span id='citeF-3'></span>[[#cite-3|[3]]], adota-se as seguintes simplificações: (i) a distribuição de pressão na vertical é puramente hidrostática; (ii) não há contribuições laterais ao escoamento no reservatório analisado; (iii) a massa específica e a viscosidade do fluido no reservatório não sofrem variações significativas ao longo do tempo e do espaço; (iv) as tensões tangenciais são desprezíveis. Deste modo, as equações governantes do modelo hidrodinâmico, também ditas equações de águas rasas ou equações bidimensionais de Saint Venant, podem ser escritas na forma conservativa (com os fluxos dentro do sinal da derivada):
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<span id="eq-1"></span>
63
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
64
|-
65
| 
66
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
67
|-
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| style="text-align: center;" | <math> \frac{\partial h}{\partial t} +\frac{\partial }{\partial x}(uh)+\frac{\partial }{\partial y}(vh)= 0,  </math>
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|}
70
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (1)
71
|}
72
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<span id="eq-2"></span>
74
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
75
|-
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| 
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{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
78
|-
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| style="text-align: center;" | <math> \frac{\partial }{\partial t}(uh) +\frac{\partial }{\partial x}(u^2h+\frac{1}{2}gh^2)+\frac{\partial }{\partial y}( uvh)= gh(S_{0}^x - S_{f}^x),  </math>
80
|}
81
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (2)
82
|}
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<span id="eq-3"></span>
85
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
86
|-
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| 
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{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
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|-
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| style="text-align: center;" | <math> \frac{\partial }{\partial t}(vh) +\frac{\partial }{\partial x}(uvh)+\frac{\partial }{\partial y}(v^2h+\frac{1}{2}gh^2)= gh(S_{0}^y - S_{f}^y), </math>
91
|}
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| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (3)
93
|}
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onde <math> x </math> e <math> y </math> representam as componentes cartesianas nas direções longitudinal e transversal, respectivamente; <math>h</math> é profundidade da água no reservatório; <math>u</math> e <math>v</math> são as componentes cartesianas da velocidade; <math>g</math> é a aceleração da gravidade, <math>t</math> é o tempo, e <math>S_y</math> e <math>S_x</math> são os declives do fundo do reservatório definidos como:
96
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<span id="eq-4"></span>
98
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
99
|-
100
| 
101
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
102
|-
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| style="text-align: center;" | <math> S_{0}^x=-\frac{\partial z_0}{\partial x},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,S_{0}^y=-\frac{\partial z_0}{\partial y}, </math>
104
|}
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| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (4)
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|}
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enquanto os declives de resistência ao escoamento (perda de energia), nas direções <math>x</math> e <math>y</math>, respectivamente,  são dadas por:
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<span id="eq-5"></span>
111
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
112
|-
113
| 
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{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
115
|-
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| style="text-align: center;" | <math> S_{f}^x=\frac{c_M^2u\sqrt{u^2+v^2}}{h^{\frac{4}{3}}},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,S_{f}^y=\frac{c_M^2v\sqrt{u^2+v^2}}{h^{\frac{4}{3}}}, </math>
117
|}
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| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (5)
119
|}
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onde <math>c_M(m/s^{\frac{1}{3}})</math> é o coeficiente de rugosidade de Manning, que quantifica o atrito do fluxo com o fundo do canal.  As equações de águas rasas ([[#eq-1|1]]) - ([[#eq-3|3]])  não possuem solução analítica fechada, portanto, uma abordagem numérica é empregada para resolvê-las de forma discreta e linearizada, onde o domínio é dividido em um número finito de células resultando em um sistema linear algébrico que é resolvido por um algoritmo computacional apropriado codificado em FORTRAN 90.  Neste estudo, diferentes condições de contorno e topografia de fundo foram impostas para verificar a robustez e aplicabilidade do código. Na etapa inicial, o nível da água é sempre conhecido e todas as velocidades são iguais a zero para todo o domínio. Essas condições estão detalhadas nas Subseções 3.1 e 3.2.
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===2.2 Discretização do domínio e linearização das equações governantes===
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A solução numérica do modelo hidrodinâmico descrito pelas equações ([[#eq-1|1]]) - ([[#eq-3|3]]) é obtida por meio do método dos volumes finitos (MVF). Os fundamentos matemáticos e físicos do MVF são bem discutidos por <span id='citeF-16'></span>[[#cite-16|[16]]], <span id='citeF-14'></span>[[#cite-17|[17]]], <span id='citeF-18'></span>[[#cite-18|[18]]] e <span id='citeF-19'></span>[[#cite-19|[19]]].  De acordo com <span id='citeF-20'></span>[[#cite-20|[20]]], o MVF consiste na integração espacial e temporal das equações diferenciais na forma conservativa (com todos os fluxos envolvidos pelo operador derivada) em um volume genérico de controle.  O sistema de equações ([[#eq-1|1]]) - ([[#eq-3|3]]) é integrado espacialmente (sobre um volume de controle retangular) e no tempo (de <math>t</math> a <math>t + \Delta t</math>) e é empregado para a integração temporal a seguinte aproximação numérica:
126
127
<span id="eq-6"></span>
128
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
129
|-
130
| 
131
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
132
|-
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| style="text-align: center;" | <math> I_T = \int \limits _t^{t+\Delta t} \phi (P,t)dt  = \left[\theta \, \phi (P,t+\Delta t)  + (1-\theta )\, \phi (P,t)\right]\Delta t, \,\,\,\,0 \leq \theta \leq 1.  </math>
134
|}
135
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (6)
136
|}
137
138
Adota-se aqui uma notação mais compacta:
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140
<span id="eq-7"></span>
141
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
142
|-
143
| 
144
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
145
|-
146
| style="text-align: center;" | <math> \phi (P,t+\Delta t) = \phi _P,\,\,\,\,\phi (P,t)=\phi _P^0, </math>
147
|}
148
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (7)
149
|}
150
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E assim, a Eq. ([[#eq-6|6]]) pode ser reescrita como:
152
153
<span id="eq-8"></span>
154
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
155
|-
156
| 
157
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
158
|-
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| style="text-align: center;" | <math> I_T = \int \limits _t^{t+\Delta t} \phi (P,t)dt  = \left[\theta \phi _P + (1-\theta )\phi _P^0\right]\Delta t, \,\,\,\,0 \leq \theta \leq 1.  </math>
160
|}
161
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (8)
162
|}
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Neste artigo, adota-se a formulação totalmente implícita, <math>(\theta = 1)</math>, ou seja, todas as derivadas são avaliadas no nível de tempo <math>t + \Delta \,t </math>. Com uma implementação mais complexa, a formulação totalmente implícita é limitada apenas pela precisão e não sofre instabilidades numéricas devido à mudança de coeficientes de sinal pela variação do intervalo de tempo. E assim, permite o uso de etapas de tempo maiores com menor tempo de computação. Esse é um método incondicionalmente estável no tempo. Obviamente, esta estabilidade pode ser alterada devido às não linearidades do acoplamento e ao comportamento dos termos de fontes, como a perda de energia devido à declividade, o que pode gerar oscilações numéricas. Portanto, faz-se necessário um tratamento cuidadoso  na obtenção de uma solução numérica estável e também precisa.  A derivada temporal é avaliada com uma aproximação de Euler regressiva de <math>1^a</math> ordem:
165
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<span id="eq-9"></span>
167
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
168
|-
169
| 
170
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
171
|-
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| style="text-align: center;" | <math> \displaystyle \frac{d}{dt}\displaystyle \int _{\Delta V}\phi dt \Delta V \approx \left(\phi - \phi ^0 \right),  </math>
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|}
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| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (9)
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|}
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onde <math>\phi </math> representa  uma variável.  Na integração espacial é utilizado o Teorema Fundamental do Cálculo para reescrever as integrais das equações ([[#eq-1|1]]) - ([[#eq-3|3]]) como um sistema de equações constituído pelos valores das variáveis avaliadas nos pontos de integração <math>w, e, s, n </math>, que por sua vez, são avaliados por funções de interpolação. Para o cálculo destes valores, adota-se uma combinação dos esquemas de diferenciação central de <math>2^a</math> ordem ''(CDS - Central Differencing Scheme)'' e um esquema ''upwind (UDS - Upwind Differencing Scheme)'' de <math>1^a</math> ordem.  Na interpolação central, os valores das variáveis nas faces do volume de controle são dados pelo valor médio dos centróides vizinhos, isto é,
178
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<span id="eq-10"></span>
180
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
181
|-
182
| 
183
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
184
|-
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| style="text-align: center;" | <math> \phi _e =\frac{\phi _E+\phi _P}{2}.   </math>
186
|}
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| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (10)
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|}
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No esquema ''upwind'',  os valores das variáveis nas faces do volume de controle são dados considerando primeiramente a direção do fluxo que transporta alguma propriedade do centróide vizinho para a face onde o fluxo é avaliado, por exemplo,
191
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<span id="eq-11"></span>
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{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
194
|-
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| 
196
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
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|-
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| style="text-align: center;" | <math> \phi _w =\phi _W\,\,\,\textrm{e}\,\,\,\phi _e=\phi _P,\,\,\, \textrm{se}\,\,\,\,u>0,   </math>
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|}
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| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (11)
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|}
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O sistema ([[#eq-1|1]]) - ([[#eq-3|3]]) apresenta produtos de variáveis envolvendo <math>u</math>, <math>v</math> e <math>h</math>. Esta característica é a natureza não-linear das equações de Saint-Venant e uma das razões pelas quais não existe uma solução analítica para problemas complexos de águas rasas, e assim, o sistema deve ser linearizado para permitir que o método numérico gere um sistema linear resolvido por qualquer solucionador linear. A linearização é feita considerando no produto de variáveis apenas uma delas como a variável ativa, e as outras são constantes ou variáveis secundárias calculadas a partir da condição inicial da iteração de ''looping'' do tempo anterior e/ou do último passo de tempo, por exemplo,
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<span id="eq-12"></span>
206
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
207
|-
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| 
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{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
210
|-
211
| style="text-align: center;" | <math> \left(u v h\right)_e\approx (u^0v^0)_e h_e, </math>
212
|}
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| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (12)
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|}
215
216
onde neste exemplo, o índice <math>0</math> representa os valores disponíveis do cálculo anterior e esses valores são usados para calcular o coeficiente da matriz para a variável ativa <math>h</math>. Naturalmente, outras equações estão disponíveis para resolver <math>u</math> e <math>v</math> como a variável ativa (ou variável principal), e estas são empregadas para calcular cada coeficiente, assim, quando uma nova solução é alcançada, um novo cálculo é iniciado e novos coeficientes são definidos, e uma nova solução é executada até a convergência.   Na combinação ''CDS/UDS'', o esquema ''UDS'' é escolhido para a variável principal e a aproximação ''CDS'' para a variável secundária conhecida, por exemplo  na integral da Eq. ([[#eq-1|1]]) o  ''UDS'' é usado para a variável principal <math>h</math>, e para <math>u </math> e <math>v</math> é aplicada a interpolação ''CDS''  usando os valores nodais vizinhos conhecidos <math>u^0,\,v^0</math> do nó <math>P</math>. Todos os valores nas faces são funções dos valores nodais <math>P,W, E, S </math>, usando  coeficientes <math>\alpha ^,s</math> que representam o sinal das componentes <math>u</math> e <math>v</math> nas faces do volume de controle, isto é, a direção do vetor de velocidade:
217
218
<span id="eq-13"></span>
219
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
220
|-
221
| 
222
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
223
|-
224
| style="text-align: center;" | <math> h_w =(1-\alpha _w)\frac{h_P}{2}+(1+\alpha _w)\frac{h_W}{2},   </math>
225
|}
226
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (13)
227
|}
228
229
<span id="eq-14"></span>
230
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
231
|-
232
| 
233
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
234
|-
235
| style="text-align: center;" | <math> h_e =(1+\alpha _e)\frac{h_P}{2}+(1-\alpha _e)\frac{h_E}{2},   </math>
236
|}
237
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (14)
238
|}
239
240
<span id="eq-15"></span>
241
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
242
|-
243
| 
244
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
245
|-
246
| style="text-align: center;" | <math> h_s =(1-\alpha _s)\frac{h_P}{2}+(1+\alpha _s)\frac{h_S}{2},   </math>
247
|}
248
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (15)
249
|}
250
251
<span id="eq-16"></span>
252
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
253
|-
254
| 
255
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
256
|-
257
| style="text-align: center;" | <math> h_n =(1+\alpha _n)\frac{h_P}{2}+(1-\alpha _n)\frac{h_N}{2},    </math>
258
|}
259
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (16)
260
|}
261
262
onde,
263
264
<span id="eq-17"></span>
265
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
266
|-
267
| 
268
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
269
|-
270
| style="text-align: center;" | <math> \alpha _i =1,\,\,\,\textrm{se}\,\,\,\,u>0,\,\,\, c.c.\,\,\,\alpha _i =-1,\textrm{para}\,\,\, i=w,e   </math>
271
|}
272
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (17)
273
|}
274
275
<span id="eq-18"></span>
276
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
277
|-
278
| 
279
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
280
|-
281
| style="text-align: center;" | <math> \alpha _j =1,\,\,\,\textrm{se}\,\,\,\,v>0,\,\,\, c.c.\,\,\,\alpha _j =-1,\textrm{para}\,\,\, j=s,n  </math>
282
|}
283
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (18)
284
|}
285
286
Portanto, a partir da formulação totalmente implícita e da  interpolação híbrida ''CDS/UDS'', a equação algébrica discreta  para a Eq. ([[#eq-1|1]]) é dada por:
287
288
<span id="eq-19"></span>
289
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
290
|-
291
| 
292
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
293
|-
294
| style="text-align: center;" | <math> a_{hP}h_P +a_{hE}h_E+ a_{hW}h_W +a_{hN}h_N+a_{hS}h_S=b_{hP},  </math>
295
|}
296
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (19)
297
|}
298
299
onde,
300
301
<span id="eq-20"></span>
302
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
303
|-
304
| 
305
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
306
|-
307
| style="text-align: center;" | <math>  a_{hP}=1+\frac{\Delta t}{2\Delta x}\left[u^0_e(1+\alpha _e)-u^0_w(1-\alpha _w)\right]+\frac{\Delta t}{2\Delta y}\left[v^0_n(1+\alpha _n)-v^0_s(1-\alpha _s)\right],  </math>
308
|}
309
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (20)
310
|}
311
312
<span id="eq-21"></span>
313
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
314
|-
315
| 
316
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
317
|-
318
| style="text-align: center;" | <math> a_{hE}=\,\,\,\,\,\frac{\Delta t}{2\Delta x}u^0_e(1-\alpha _e), </math>
319
|}
320
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (21)
321
|}
322
323
<span id="eq-22"></span>
324
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
325
|-
326
| 
327
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
328
|-
329
| style="text-align: center;" | <math> a_{hW}=-\frac{\Delta t}{2\Delta x}u^0_w(1+\alpha _w), </math>
330
|}
331
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (22)
332
|}
333
334
<span id="eq-23"></span>
335
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
336
|-
337
| 
338
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
339
|-
340
| style="text-align: center;" | <math> a_{hN}=\,\,\,\,\,\frac{\Delta t}{2\Delta y}v^0_n(1-\alpha _n), </math>
341
|}
342
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (23)
343
|}
344
345
<span id="eq-24"></span>
346
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
347
|-
348
| 
349
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
350
|-
351
| style="text-align: center;" | <math> a_{hS}=-\frac{\Delta t}{2\Delta y}v^0_s(1+\alpha _s), </math>
352
|}
353
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (24)
354
|}
355
356
<span id="eq-25"></span>
357
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
358
|-
359
| 
360
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
361
|-
362
| style="text-align: center;" | <math> b_{hP}=h_P^0. </math>
363
|}
364
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (25)
365
|}
366
367
Para integrar a Eq. ([[#eq-2|2]]) aplica-se o Teorema Fundamental do Cálculo considerando a formulação totalmente implícita.  Deste modo, o lado esquerdo  desta equação  é reescrita em função das variáveis calculadas em <math>P</math> e nas faces <math>w,e,s,n</math>, conforme a expressão <math>(</math>[[#eq-26|26]]<math>)</math>:
368
369
<span id="eq-26"></span>
370
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
371
|-
372
| 
373
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
374
|-
375
| style="text-align: center;" | <math> \left[(uh)_P - (uh)_P^0\right]\frac{\Delta x \Delta y}{\Delta t}+ \left(\Delta y\left[(u^2h+\frac{1}{2}gh^2)_e- (u^2h+\frac{1}{2}gh^2)_w\right]+\Delta x\left[(uvh)_n - (uvh)_s\right]\right)_{t+\Delta t}. </math>
376
|}
377
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (26)
378
|}
379
380
Na expressão <math>(</math>[[#eq-26|26]]<math>)</math> o termo <math>u^2</math> é escrito como <math>(u^0\,u) </math> onde <math>u^0</math> é conhecido e <math>u</math> é a variável ativa a ser calculada. A interpolação ''UDS'' é usada para avaliar <math>u</math>, enquanto a interpolação ''CDS'' para avaliar <math>u^0</math> nas faces. Por exemplo,
381
382
<span id="eq-27"></span>
383
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
384
|-
385
| 
386
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
387
|-
388
| style="text-align: center;" | <math> (u_e)^2 = u_e^0.u_e = \left(\frac{u_E^0+u_P^0}{2}\right)\left[(1+\alpha _e)\frac{u_P}{2}+(1-\alpha _e)\frac{u_E}{2}\right], </math>
389
|}
390
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (27)
391
|}
392
393
com <math>\alpha _e</math> definido na equação ([[#eq-17|17]]).  O termo quadrático da expressão ([[#eq-26|26]]) da variável secundária <math>h</math> é calculado usando a interpolação ''CDS'' com os valores disponíveis da Eq. ([[#eq-19|19]]) e assim,
394
395
<span id="eq-28"></span>
396
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
397
|-
398
| 
399
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
400
|-
401
| style="text-align: center;" | <math> (h_e)^2 = \left(\frac{h_E+h_P}{2}\right)^2 </math>
402
|}
403
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (28)
404
|}
405
406
A mesma abordagem é usada nos termos advectivos da expressão ([[#eq-26|26]]). O produto <math>(uvh)</math> é dividido em <math> (hv^0)u </math> com ''UDS'' para variável ativa <math>u</math> e ''CDS'' para as variáveis secundárias, <math>h</math> atualizada e <math>v^0</math>.   Para a integração do lado direito da Eq. ([[#eq-2|2]]), que representa a resistência à declividade, o valor de <math>h</math> é calculada no centróide <math>P</math>,  pois fisicamente a fonte representa a média integral no volume discreto centrado em <math>P</math>, isto é, o fonte não flui, é um termo volumétrico. Portanto, <math>h = h_P</math> e a magnitude da velocidade é constante. Dessa forma, a integral do lado direito da Eq. ([[#eq-2|2]]) é reescrita da seguinte forma:
407
408
<span id="eq-29"></span>
409
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
410
|-
411
| 
412
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
413
|-
414
| style="text-align: center;" | <math> \left[gh_P(-1)(z_e-z_w)\Delta y + (-1)\left(\frac{gc_M^2}{h_P^{1/3}}\sqrt{(u_P^0)^2+(v_P^0)^2}\right)\frac{u_e+u_w}{2}\Delta x \Delta y\right]_{t+\Delta t}, </math>
415
|}
416
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (29)
417
|}
418
419
onde os valores da variável principal <math>u</math> nas faces são obtidos por ''UDS''. Assim,  a forma discreta linearizada da Eq. ([[#eq-2|2]]) é dada por:
420
421
<span id="eq-30"></span>
422
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
423
|-
424
| 
425
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
426
|-
427
| style="text-align: center;" | <math>  a_{uP}u_P +a_{uE}u_E+ a_{uW}u_W +a_{uN}u_N+a_{uS}u_S=b_{uP},   </math>
428
|}
429
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (30)
430
|}
431
432
onde,
433
434
<span id="eq-31"></span>
435
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
436
|-
437
| 
438
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
439
|-
440
| style="text-align: center;" | <math>  a_{uE}=\,\,\,\,\,\,(1-\alpha _e)\left[\frac{\Delta t}{2\Delta x}u^0_eh_e+\frac{\Delta t}{4}\frac{gc_M^2}{h^{1/3}_P}\sqrt{(u_P^0)^2+(v_P^0)^2}\right],  </math>
441
|}
442
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (31)
443
|}
444
445
<span id="eq-32"></span>
446
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
447
|-
448
| 
449
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
450
|-
451
| style="text-align: center;" | <math>  a_{uW}=-(1+\alpha _w)\left[\frac{\Delta t}{2\Delta x}u^0_wh_w+\frac{\Delta t}{4}\frac{gc_M^2}{h^{1/3}_P}\sqrt{(u_P^0)^2+(v_P^0)^2}\right],  </math>
452
|}
453
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (32)
454
|}
455
456
<span id="eq-33"></span>
457
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
458
|-
459
| 
460
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
461
|-
462
| style="text-align: center;" | <math>  a_{uN}=\,\,\,\frac{\Delta t}{2\Delta y}v^0_n(1-\alpha _n)h_n,  </math>
463
|}
464
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (33)
465
|}
466
467
<span id="eq-34"></span>
468
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
469
|-
470
| 
471
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
472
|-
473
| style="text-align: center;" | <math>  a_{uS}=-\frac{\Delta t}{2\Delta y}v^0_s(1+\alpha _s)h_s,  </math>
474
|}
475
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (34)
476
|}
477
478
<span id="eq-35"></span>
479
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
480
|-
481
| 
482
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
483
|-
484
| style="text-align: center;" | <math>  b_{uP}=u_P^0h_P^0+\frac{\Delta t}{2\Delta x}g(h^2_w-h^2_e)-gh_P\frac{\Delta t}{\Delta x}(z_e-z_w),  </math>
485
|}
486
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (35)
487
|}
488
489
<span id="eq-36"></span>
490
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
491
|-
492
| 
493
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
494
|-
495
| style="text-align: center;" | <math>   a_{uP}=h_P+\frac{\Delta t}{2\Delta x}\left[u^0_e(1+\alpha _e)h_e-u^0_w(1-\alpha _w)h_w\right]+\frac{\Delta t}{2\Delta y}\left[v^0_n(1+\alpha _n)h_n-v^0_s(1-\alpha _s)h_s\right]+S_u,   </math>
496
|}
497
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (36)
498
|}
499
500
com
501
502
<span id="eq-37"></span>
503
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
504
|-
505
| 
506
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
507
|-
508
| style="text-align: center;" | <math>  S_u= \frac{\Delta t}{4}g\frac{c_M^2}{h^{1/3}_P}\sqrt{(u_P^0)^2+(v_P^0)^2}\left[\left({1+\alpha _e}\right)+\left({1-\alpha _w}\right)\right].  </math>
509
|}
510
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (37)
511
|}
512
513
A mesma abordagem é usada para  o cálculo de <math>v</math>, integrando a Eq. ([[#eq-3|3]]). Assim, são obtidos três sistemas lineares a serem resolvidos:
514
515
<span id="eq-38"></span>
516
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
517
|-
518
| 
519
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
520
|-
521
| style="text-align: center;" | <math>  A^h h = B^h,\,\, A^u u = B^u,\,\,A^v v = B^v,  </math>
522
|}
523
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (38)
524
|}
525
526
onde <math>A^\phi </math> representa a matriz de coeficientes da variável <math>\phi </math> (<math>h,u</math> ou <math>v</math>), enquanto <math>B^\phi </math> é o vetor que contém as condições de contorno e termos fontes.
527
528
==3 O algoritmo==
529
530
O código de simulação computacional foi programado em Linguagem Fortran, compilado  na versão Fortran Power Station 4.0 licenciada pela Microsoft Corporation. A escolha por esse programa deve-se à sua velocidade de execução e alta capacidade de armazenamento de dados.    Neste trabalho, o domínio físico retangular <math> D = [x_a, x_b] \times [y_a, y_b] </math> é dividido em <math> N_x </math> e <math> N_y </math> volumes de controle com comprimentos dados por <math> \Delta x, \Delta y </math> nas direções <math> x </math> e <math> y </math>, respectivamente. Da mesma forma, o espaço temporal <math> [t_0, t_f] </math> é dividido em <math> N_t </math> passos de tempo uniformes iguais a <math> \Delta t </math>.    A malha cartesiana ordenada e estruturada é varrida de acordo com o par <math>(i, j)</math> da esquerda para a direita aumentando o comprimento <math>(i - 1)\Delta x</math> na direção <math>x</math>, e de baixo para cima aumentando o comprimento <math>(j - 1) \Delta y</math> na direção <math>y</math>, começando no centróide <math>(1, 1)</math> que representa o ponto <math>(x_a + \Delta x/2, y_a + \Delta y/2)</math>. Desta forma, faz-se a seguinte correspondência:,
531
532
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
533
|-
534
| 
535
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
536
|-
537
| style="text-align: center;" | <math>  (i,j)\longmapsto ((x_a+\Delta x/2)+(i-1)\Delta x, (y_a+\Delta y/2)+(j-1)\Delta y)  </math>
538
|}
539
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (39)
540
|}
541
542
Após a discretização do domínio, são lidas a topografia da parte inferior, representada pela superfície <math> z_0 (x, y) </math>, e as condições iniciais <math> h_0, u_0 </math> e <math> v_0 </math>.       O sistema linear é resolvido por um método de Gauss-Seidel de acordo com a direção varrida anteriormente descrita. Ele itera até que um dos dois critérios seja atingido: o número máximo residual <math>tol</math> ou máximo de iterações <math>itmax</math>. Se for atingido resíduo <math>R<tol</math> em um número <math>k</math> de iterações e <math>2k<itmax</math>, então continua-se o processo iterativo até <math>2k</math> iterações. Ou seja, ao atingir a tolerância do resíduo máximo, faz-se mais <math>k</math> iterações, isso torno o resíduo bem inferior ao residual máximo permitido. Para este trabalho, o número máximo de iterações para cada intervalo de tempo é fixado em <math>itmax=1000</math> iterações, enquanto a tolerância para o resíduo máximo global permitido é  igual a <math>tol=10 ^ {- 11} </math>, sendo o  resíduo global <math>R</math>  definido como:
543
544
<span id="eq-40"></span>
545
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
546
|-
547
| 
548
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
549
|-
550
| style="text-align: center;" | <math>  R= \frac{1}{N_x N_y}\left[\frac{r_h+r_u+r_v}{3}\right],  </math>
551
|}
552
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (40)
553
|}
554
555
onde <math> N_x N_y </math> é o número total de volume de controles, e os resíduos <math>r_h, r_u, r_v </math> são a soma dos resíduos individuais de cada volume de controle,calculados incrementalmente de acordo com a Eq. ([[#eq-41|41]]):
556
557
<span id="eq-41"></span>
558
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
559
|-
560
| 
561
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
562
|-
563
| style="text-align: center;" | <math>  r_\phi = r_\phi + d_\phi ,     </math>
564
|}
565
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (41)
566
|}
567
568
onde <math>d_\phi </math> representa a diferença absoluta entre os dois lados da equação linearizada para a variável <math>\phi </math>.      O algoritmo completo é apresentado abaixo. O código também permite usar a última solução para inicializar uma nova execução com novas condições de contorno, se necessário.    
569
{| style="margin: 1em auto;border: 1px solid darkgray;"
570
|-
571
|
572
:   Declare as matrizes principais <math>h, u</math> e <math>v</math> e as variáveis secundárias <math>h_0, v_0</math> e <math>u0.</math>  
573
574
Leia os dados do modelo: tamanho da malha espacial e temporal, coeficiente de atrito.  
575
576
Calcule o comprimento dos passos espaciais e temporal   
577
578
Faça a leitura da topografia <math>(z_0).</math>  
579
580
Leia as condições iniciais <math>h_0,u_0</math> e <math>v_0.</math>  
581
582
Calcule em cada passa de tempo as variáveis principais <math>h,u,v</math> 
583
584
<math> 1 \leq k \leq N_t</math>    
585
586
Calcular as variáveis no contorno 
587
588
<math> 2\leq i \leq N_{x} -1 </math> e <math> 2\leq j \leq N_{y} -1 </math>    
589
590
Interpolar <math>h,u,v,</math> e <math>z_0</math> nos pontos de integração nas faces do volume de controle   
591
592
Calcular os coeficientes do sistema linear de <math>h</math>    
593
594
Calcular o resíduo <math>r_h</math> <math>h(i,j)> z(i,j)</math>     ]
595
596
Calcular <math>h(i,j)</math>    
597
598
Calcular a coluna de água <math>H(i,j)=h(i,j)-z(i,j)</math>   
599
600
Atualizar os valores de <math>h</math> nas faces dos volumes de controle    
601
602
Calcular os coeficientes do sistema linear de <math>u</math>    
603
604
Calcular o resíduo <math>r_u</math>    
605
606
Calcular <math>u(i,j)</math>    
607
608
Atualizar os valores de <math>u</math> nas faces dos volumes de controle    
609
610
Calcular os os coeficientes do sistema linear de <math>v</math>    
611
612
Calcular o resíduo <math>r_v</math>   
613
614
Calcular <math>v(i,j)</math>        
615
616
Faça <math>h(i,j)=z(i,j)</math> e <math>r_h,u,v</math> iguais a zero <math>\,\,\,</math> 
617
618
(o nível da água é calculado até <math>h=z_0</math>.) <math>\,\,\,</math> (fim da malha varrida)    
619
620
Teste de Convergência    
621
622
Atualização de <math>u,v</math> e <math>h</math> no tempo <math>(u_0=u,v_0=v,h_0=h)</math> 
623
624
<math>\,\,\,</math> (fim do ''loop'' temporal)       
625
626
Faça o pós-processamento (tabelas e gráficos)     
627
628
629
|}
630
631
==4 ==
632
633
Validação da solução numérica    Com o objetivo de validar a abordagem numérica apresentada na seção anterior, esta seção apresenta uma comparação com os resultados obtidos para um modelo de abertura instantânea de comportas apresentado em <span id='citeF-8'></span>[[#cite-8|[8]]]. Este problema consiste em um domínio quadrado com <math>200\,m </math> de comprimento com uma barragem interna com <math>10\,m </math> de largura, disposta na faixa de <math> 90-100\,m</math>, que divide o domínio como é mostrado na Fig. ([[#img-2|2]]) .  Para simulação da abertura de comportas, considera-se uma abertura não simétrica e instantânea com <math>75\,m</math> de largura entre <math>30</math> e <math>105\,m</math>. Essa abertura causa uma liberação sutil da coluna de água a jusante, resultando em um fluxo com gradientes espaciais e temporais acentuados.     <div id='img-2'></div>
634
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
635
|-
636
|[[Image:Draft_Coelho_632154385-fig2.png|396px|Domínio do modelo]]
637
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
638
| colspan="1" | '''Figure 2:''' Domínio do modelo
639
|}
640
Todos os parâmetros numéricos e físicos são mostrados na Tabela ([[#table-1|1]]). De acordo com <span id='citeF-8'></span>[[#cite-8|[8]]], neste problema a resistência ao escoamento é desprezada e sua parte inferior é plana.               
641
{|  class="floating_tableSCP wikitable" style="text-align: center; margin: 1em auto;min-width:50%;"
642
|+ style="font-size: 75%;" |<span id='table-1'></span>Table. 1 Parâmetros para simulação de abertura da comporta
643
|- style="border-top: 2px solid;"
644
|     Tamanho da malha 
645
|  Tamanho dos elementos 
646
| <math>z_0</math> 
647
|  Passo de tempo 
648
|  Coeficiente de Manning  
649
| <math>g</math> 
650
|- style="border-top: 2px solid;border-bottom: 2px solid;"
651
| <math>200\,m\,\times \,200\,m</math> 
652
| <math>5\,m\,\times \,5\,m</math> 
653
| <math>0</math> 
654
| <math>0.01\,s</math> 
655
| <math>0.0</math> 
656
| <math>9.81\,m/s^2</math>
657
658
|}
659
660
===4.1 Condições Iniciais===
661
662
Para o tempo inicial, o fluido é quiescente, ou seja, <math> u = v = 0</math> para todo o domínio, enquanto a coluna d'água inicial é dada por:
663
664
<span id="eq-42"></span>
665
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
666
|-
667
| 
668
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
669
|-
670
| style="text-align: center;" | <math>  h_0(x,y):\left\{\begin{array}{lll}  h_l,\,{\hbox{se}}\,x\,\leq \,100\,m\\  h_r,\,{\hbox{se}}\,x\,>\,100\,m,\\  \end{array}  \right.  </math>
671
|}
672
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (42)
673
|}
674
675
com o nível da água à montante <math>h_l=10\,m,\,</math> e a jusante <math>h_r=5\,m</math>. Consequentemente,   a razão entre os níveis de água  é <math>h_r/h_l=0.5\,m.</math>
676
677
===4.2 Condições de Contorno===
678
679
Por uma questão de clareza, esta seção é apresentada aqui para mostrar de forma prática como as condições de contorno são tratadas neste trabalho usando para isso, o caso de validação como exemplo. As abordagens apresentadas aqui também são aplicadas a outros casos de maneira similar, respeitando, é claro, a configuração geométrica de cada um.    Como abordagem teórica, existem pelo menos três maneiras de lidar com as condições de contorno: realizar um balanço para cada volume de controle na fronteira, chamado simplesmente de equilíbrio de contorno; considerar um meio volume na fronteira com seu centróide pertencente ao próprio limite; e, por último, considerar volumes fictícios em torno dos limites, isso significa que o valor de limite prescrito deve ser igual à interpolação (qualquer que seja) entre os centróides do volume real de controle e o novo volume de controle fictício. Esta última abordagem é preferida, pois a primeira implica um tratamento matemático distinto para cada fronteira, o que torna o código mais complexo de acordo com a geometria. O caminho de <math>2^a</math> ordem, o  meio volume, não é conservador porque o valor é imposto, em vez disso, como resultado de um balanço de fluxo.     A abordagem de volume fictício permite que toda a malha seja constituída por volumes inteiros, o que é fácil de codificar e tem a mesma natureza conservadora para todos os volumes. Embora este artifício aumente o número de incógnitas do problema, acarretando custo computacional, é um procedimento útil com codificação fácil. Na Fig. ([[#img-3|3]]) é apresentado um esboço deste conceito.     <div id='img-3'></div>
680
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
681
|-
682
|[[Image:Draft_Coelho_632154385-fig3.png|330px|Volumes fictícios ao redor da malha real]]
683
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
684
| colspan="1" | '''Figure 3:''' Volumes fictícios ao redor da malha real
685
|}
686
Utiliza-se a Condição de Neumann nula para o nível da água nas paredes externas e nos contornos da represa. Desse modo,
687
688
<span id="eq-43"></span>
689
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
690
|-
691
| 
692
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
693
|-
694
| style="text-align: center;" | <math>  \frac{\partial h\,(w)}{\partial x}= \frac{\partial h\,(e)}{\partial x}=0,  </math>
695
|}
696
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (43)
697
|}
698
699
<span id="eq-44"></span>
700
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
701
|-
702
| 
703
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
704
|-
705
| style="text-align: center;" | <math>  \frac{\partial h\,(s)}{\partial y}= \frac{\partial h\,(n)}{\partial y}=0,  </math>
706
|}
707
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (44)
708
|}
709
710
onde <math>w</math> e <math>e</math> são os pontos dos contornos esquerdo e direito, respectivamente; e <math>s</math> e <math>n</math>  são os pontos dos contornos inferior e superior, respectivamente, como descrito na  Fig. ([[#img-4|4]]).     <div id='img-4'></div>
711
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
712
|-
713
|[[Image:Draft_Coelho_632154385-fig4.png|360px|Esquema da condição de contorno para o nível h do fluido]]
714
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
715
| colspan="1" | '''Figure 4:''' Esquema da condição de contorno para o nível <math>h</math> do fluido
716
|}
717
Todas as derivadas nas faces fronteiras (<math>w,e,n,</math> e <math>s</math>) podem ser interpoladas   como funções dos centróides vizinhos destacados na Fig. 4: um externo fictício (<math>W, E, S</math> ou <math>N</math>) e um interno <math>(P)</math> pertencente ao domínio.  Consequentemente,
718
719
<span id="eq-45"></span>
720
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
721
|-
722
| 
723
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
724
|-
725
| style="text-align: center;" | <math>  \frac{\partial h(w)}{\partial x} =\frac{h_{P_w} - h_W}{\Delta x}=0  </math>
726
|}
727
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (45)
728
|}
729
730
<span id="eq-46"></span>
731
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
732
|-
733
| 
734
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
735
|-
736
| style="text-align: center;" | <math>  \frac{\partial h(e)}{\partial x} = \frac{h_E -h_{P_e}}{\Delta x}=0,  </math>
737
|}
738
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (46)
739
|}
740
741
<span id="eq-47"></span>
742
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
743
|-
744
| 
745
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
746
|-
747
| style="text-align: center;" | <math>  \frac{\partial h(s)}{\partial y} = \frac{h_{P_s} - h_S}{\Delta y}=0,  </math>
748
|}
749
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (47)
750
|}
751
752
<span id="eq-48"></span>
753
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
754
|-
755
| 
756
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
757
|-
758
| style="text-align: center;" | <math>  \frac{\partial h(n)}{\partial y} = \frac{h_N - h_{P_n}}{\Delta y}=0,  </math>
759
|}
760
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (48)
761
|}
762
763
o que resulta em,
764
765
<span id="eq-49"></span>
766
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
767
|-
768
| 
769
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
770
|-
771
| style="text-align: center;" | <math>  h_W=h_{P_w},\,\,\,h_E=h_{P_e},\,\,\,\,h_S=h_{P_s} \,\,\textrm{e}\,\,h_N=h_{P_n}.  </math>
772
|}
773
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (49)
774
|}
775
776
Para as variáveis de fluxo (<math>u</math> e <math>v</math>), as paredes são consideradas impermeáveis e todas as componentes de velocidade normal aos contornos são nulas. Esta condição de Dirichlet é imposta considerando o esquema de diferenciação central, ou seja,
777
778
<span id="eq-50"></span>
779
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
780
|-
781
| 
782
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
783
|-
784
| style="text-align: center;" | <math>  u(w) =\frac{u_{P_w} + u_W}{2}=0,  </math>
785
|}
786
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (50)
787
|}
788
789
<span id="eq-51"></span>
790
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
791
|-
792
| 
793
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
794
|-
795
| style="text-align: center;" | <math>  u(e) = \frac{u_E + u_{P_e}}{2}=0,  </math>
796
|}
797
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (51)
798
|}
799
800
<span id="eq-52"></span>
801
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
802
|-
803
| 
804
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
805
|-
806
| style="text-align: center;" | <math>  v(s) = \frac{v_{P_s} +v_S}{2}=0,  </math>
807
|}
808
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (52)
809
|}
810
811
<span id="eq-53"></span>
812
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
813
|-
814
| 
815
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
816
|-
817
| style="text-align: center;" | <math>  v(n)= \frac{v_N + v_{P_n}}{2}=0,  </math>
818
|}
819
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (53)
820
|}
821
822
e portanto,
823
824
<span id="eq-54"></span>
825
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
826
|-
827
| 
828
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
829
|-
830
| style="text-align: center;" | <math>  u(W)= -u(P_w),\,\,\,\,\,u(E)= -u(P_e),  </math>
831
|}
832
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (54)
833
|}
834
835
<span id="eq-55"></span>
836
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
837
|-
838
| 
839
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
840
|-
841
| style="text-align: center;" | <math>  v(S)= -v(P_s),\,\,\,\,\,v(N)= -v(P_n).  </math>
842
|}
843
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (55)
844
|}
845
846
Por outro lado, as componentes da velocidade tangencial são calculados considerando  derivada nula para cada uma, ou seja, uma  Condição de Neumann nula para cada componente tangencial, e então
847
848
<span id="eq-56"></span>
849
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
850
|-
851
| 
852
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
853
|-
854
| style="text-align: center;" | <math>  \frac{\partial u(s)}{\partial y} =\frac{u_{P_s} - u_S}{\Delta y}=0,  </math>
855
|}
856
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (56)
857
|}
858
859
<span id="eq-57"></span>
860
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
861
|-
862
| 
863
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
864
|-
865
| style="text-align: center;" | <math>  \frac{\partial u(n)}{\partial y} = \frac{u_N -u_{P_n}}{\Delta y}=0,  </math>
866
|}
867
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (57)
868
|}
869
870
<span id="eq-58"></span>
871
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
872
|-
873
| 
874
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
875
|-
876
| style="text-align: center;" | <math>  \frac{\partial v(w)}{\partial x} = \frac{v_{P_w} - v_W}{\Delta x}=0,  </math>
877
|}
878
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (58)
879
|}
880
881
<span id="eq-59"></span>
882
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
883
|-
884
| 
885
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
886
|-
887
| style="text-align: center;" | <math>  \frac{\partial v(e)}{\partial x} = \frac{v_E - v_{P_e}}{\Delta x}=0,  </math>
888
|}
889
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (59)
890
|}
891
892
e portanto,
893
894
<span id="eq-60"></span>
895
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
896
|-
897
| 
898
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
899
|-
900
| style="text-align: center;" | <math>  u(S) = u(P_s),\,\,\,\,u(N) = u(P_n),  </math>
901
|}
902
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (60)
903
|}
904
905
<span id="eq-61"></span>
906
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
907
|-
908
| 
909
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
910
|-
911
| style="text-align: center;" | <math>  v(W) = v(P_w),\,\,\,\,v(E) = v(P_e).  </math>
912
|}
913
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (61)
914
|}
915
916
===4.3 Resultados===
917
918
O algoritmo proposto e a formulação numérica devem ser validados para determinar sua precisão e robustez. Isso é feito por meio da aplicação do modelo e do código numérico a um problema representativo de águas rasas: o problema da abertura instantânea de comportas, amplamente utilizado para testar códigos numéricos ou modelos matemáticos que tratam de vazões superficiais sujeitas a mudanças abruptas, mudanças no tempo e no espaço, e a abertura instantânea de comportas tem esses detalhes físicos e é amplamente estudada na literatura [Fennema1990,Adriano2018,Rezende:2015, Hirt:1981, Jahanbakhsh2007,Villota2017].
919
920
====4.3.1 Nível da água====
921
922
A Fig. ([[#img-5|5]]) mostra a superfície livre de água após <math>7.1</math> segundos após a abertura da comporta. Os resultados são comparados com aqueles obtidos em <span id='citeF-8'></span>[[#cite-8|[8]]]. Observa-se na Fig. ([[#img-5|5]])  uma frente de onda após a abertura da eclusa  e uma onda de depressão no lado esquerdo à barreira. Os níveis de superfície computados estão de acordo com os apresentados por <span id='citeF-8'></span>[[#cite-8|[8]]] para o mesmo instante de tempo. <div id='img-5a'></div>
923
<div id='img-5b'></div>
924
<div id='img-5'></div>
925
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
926
|-
927
|[[Image:Draft_Coelho_632154385-fig5a.png|534px|Resultado obtido pelo esquema híbrido proposto]]
928
|[[Image:Draft_Coelho_632154385-fig5b.png|496px|Resultado obtido em <span id='citeF-8'></span>[[#cite-8|[8]]]]]
929
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
930
| (a) Resultado obtido pelo esquema híbrido proposto
931
| (b) Resultado obtido em <span id='citeF-8'></span>[[#cite-8|[8]]]
932
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
933
| colspan="2" | '''Figure 5:''' Comparação do comportamento da superfície livre <math>3D</math> após <math>7.1 \, s </math> após a abertura da comporta
934
|}
935
A Tabela ([[#4.3.1 Nível da água|4.3.1]]) mostra os valores de nível para algumas posições do domínio para fins de comparação quantitativa.            
936
{|  class="floating_tableSCP wikitable" style="text-align: center; margin: 1em auto;min-width:50%;"
937
|+ style="font-size: 75%;" |<span id='table-2'></span>Table. 2 Valores de nível de água  usando a relação <math>h_r/h_l=0.5</math>
938
|- style="border-top: 2px solid;"
939
| style="border-right: 2px solid;" |         yx 
940
| style="border-left: 2px solid;" | <math>0</math> 
941
| <math>25</math> 
942
| <math>50</math> 
943
| <math>75</math> 
944
| <math>100</math> 
945
| <math>125</math> 
946
| <math>150</math> 
947
| <math>175</math> 
948
| <math>200</math>
949
|- style="border-top: 2px solid;"
950
| style="border-right: 2px solid;" | <math>0</math> 
951
| style="border-left: 2px solid;" | <math>9.99932</math> 
952
| <math>9.96352</math> 
953
| <math>9.43066</math> 
954
| <math>8.76246</math> 
955
| <math>5.06748</math> 
956
| <math>7.08372</math> 
957
| <math>5.31831</math> 
958
| <math>5.00090</math> 
959
| <math>5.0</math>
960
|-
961
| style="border-right: 2px solid;" | <math>25</math> 
962
| style="border-left: 2px solid;" | <math>9.99497</math> 
963
| <math>9.88268</math> 
964
| <math>9.18459</math> 
965
| <math>8.70866</math> 
966
| <math>5.16149</math> 
967
| <math>6.34225</math> 
968
| <math>6.43242</math> 
969
| <math>5.01876</math> 
970
| <math>5.0</math>
971
|-
972
| style="border-right: 2px solid;" | <math>50</math> 
973
| style="border-left: 2px solid;" | <math>9.98848</math> 
974
| <math>9.77139</math> 
975
| <math>8.67804</math> 
976
| <math>8.08645</math> 
977
| <math>7.28272</math> 
978
| <math>6.84739</math> 
979
| <math>7.01455</math> 
980
| <math>5.08294</math> 
981
| <math>5.0</math>
982
|-
983
| style="border-right: 2px solid;" | <math>75</math> 
984
| style="border-left: 2px solid;" | <math>9.98760</math> 
985
| <math>9.75073</math> 
986
| <math>8.51860</math> 
987
| <math>7.88839</math> 
988
| <math>7.52336</math> 
989
| <math>6.87814</math> 
990
| <math>7.10481</math> 
991
| <math>5.09955</math> 
992
| <math>5.0</math>
993
|-
994
| style="border-right: 2px solid;" | <math>100</math> 
995
| style="border-left: 2px solid;" | <math>9.99177</math> 
996
| <math>9.83175</math> 
997
| <math>8.98309</math> 
998
| <math>8.49358</math> 
999
| <math>5.82968</math> 
1000
| <math>6.54152</math> 
1001
| <math>6.75214</math> 
1002
| <math>5.04260</math> 
1003
| <math>5.0</math>
1004
|-
1005
| style="border-right: 2px solid;" | <math>125</math> 
1006
| style="border-left: 2px solid;" | <math>9.99851</math> 
1007
| <math>9.95297</math> 
1008
| <math>9.51005</math> 
1009
| <math>9.17919</math> 
1010
| <math>5.68769</math> 
1011
| <math>5.94785</math> 
1012
| <math>5.60476</math> 
1013
| <math>5.00278</math> 
1014
| <math>5.0</math>
1015
|-
1016
| style="border-right: 2px solid;" | <math>150</math> 
1017
| style="border-left: 2px solid;" | <math>9.99996</math> 
1018
| <math>9.99796</math> 
1019
| <math>9.93089</math> 
1020
| <math>9.72443</math> 
1021
| <math>5.48812</math> 
1022
| <math>5.30022</math> 
1023
| <math>5.00670</math> 
1024
| <math>5.00001</math> 
1025
| <math>5.0</math>
1026
|-
1027
| style="border-right: 2px solid;" | <math>175</math> 
1028
| style="border-left: 2px solid;" | <math>9.99999</math> 
1029
| <math>9.99997</math> 
1030
| <math>9.99829</math> 
1031
| <math>9.98574</math> 
1032
| <math>5.00626</math> 
1033
| <math>5.00135</math> 
1034
| <math>5.00001</math> 
1035
| <math>5.00000</math> 
1036
| <math>5.0</math>
1037
|- style="border-bottom: 2px solid;"
1038
| style="border-right: 2px solid;" | <math>200</math> 
1039
| style="border-left: 2px solid;" | <math>10.0000</math> 
1040
| <math>9.99999</math> 
1041
| <math>9.99999</math> 
1042
| <math>9.99985</math> 
1043
| <math>3.75001</math> 
1044
| <math>5.00000</math> 
1045
| <math>5.00000</math> 
1046
| <math>5.00000</math> 
1047
| <math>5.0</math>
1048
1049
|}
1050
Duas linhas de amostra foram extraídas em <math>7.1</math> segundos antes da abertura da comporta <math>(x = 75\, m) </math> e após a abertura <math> (x = 105\, m) </math> e os dados foram comparados a <span id='citeF-8'></span>[[#cite-8|[8]]], onde são confrontados outros dois esquemas numéricos: MacCormack e Gabutti (descritos em <span id='citeF-22'></span>[[#cite-22|[22]]] e <span id='citeF-23'></span>[[#cite-23|[23]]], respectivamente), e ambos os métodos são de precisão de segunda ordem e requerem um cálculo mais complexo, uma vez que uma etapa do preditor deve ser avaliada em <math> t + \Delta t/2.</math>  A Fig. ([[#img-6|6]]) apresenta a comparação dos perfis transversais do nível da água após <math>7.1</math> segundos da abertura da barreira interna, e os dados estão em boa concordância com <span id='citeF-8'></span>[[#cite-8|[8]]]. Algumas diferenças podem ser observadas antes e depois da abertura da barragem, principalmente com a onda de depressão antes do portão, mas os níveis estão na mesma ordem e com o mesmo comportamento físico. Além disso, observa-se algumas elevações locais na frente de onda. <div id='img-6'></div>
1051
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
1052
|-
1053
|[[Image:Draft_Coelho_632154385-fig6.png|276px|Comparação do perfil do nível de água em duas linhas de amostra em x=115\,m e x=75\,m]]
1054
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
1055
| colspan="1" | '''Figure 6:''' Comparação do perfil do nível de água em duas linhas de amostra em <math>x=115\,m</math> e <math>x=75\,m</math>
1056
|}
1057
A Fig. ([[#img-7|7]]) mostra os perfis longitudinais em <math> y = 70 \, m </math> e <math> y = 150 \, m </math> a <math> 7.1 </math> segundos. A linha <math> h (x, 150) </math> está quebrada porque intercepta a parede da barragem, enquanto a linha <math> h (x, 75) </math> passa pela abertura da comporta. Pode ser visto na linha <math> h (x, 150) </math> que a onda frontal após a abertura da eclusa mostra uma elevação de pico que é devida à diferença de velocidade entre a frente de onda e a onda de depressão em movimento a jusante. A frente de onda é desacelerada pelo corpo de água em repouso na frente dela. Embora esse comportamento não seja mostrado nos resultados de <span id='citeF-8'></span>[[#cite-8|[8]]], a posição da frente de onda e o início da onda de depressão são coincidentes. O perfil <math>h (x, 150)</math> tem uma melhor correspondência, uma vez que nesta posição o comportamento do fluido é mais suave e menos dinâmico devido à presença da parede. É evidente que o local mais sensível a ser resolvido é a região de abertura da comporta devido ao abrupto colapso da coluna de água.  <div id='img-7'></div>
1058
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
1059
|-
1060
|[[Image:Draft_Coelho_632154385-fig7.png|282px|Comparação das linhas de amostra longitudinais do nível de água em y=70\,m e y=150\,m]]
1061
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
1062
| colspan="1" | '''Figure 7:''' Comparação das linhas de amostra longitudinais do nível de água em <math>y=70\,m</math> e <math>y=150\,m</math>
1063
|}
1064
As mudanças no nível da água podem ser monitoradas por um período de tempo, em um ponto fixo do domínio. Na Fig. ([[#img-8|8]]), pode-se ver a amostragem do nível de água em <math>P(115,70)</math>, localizado na frente da abertura da comporta que permite capturar o avanço da frente de onda, durante <math>7.1</math> segundos. <div id='img-8'></div>
1065
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
1066
|-
1067
|[[Image:Draft_Coelho_632154385-fig8.png|276px|Comparação do tempo de amostragem do nível da água em P(115,70)]]
1068
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
1069
| colspan="1" | '''Figure 8:''' Comparação do tempo de amostragem do nível da água em <math>P(115,70)</math>
1070
|}
1071
Pode ser visto em ambos os resultados que a frente de onda leva <math>1</math> segundo após a abertura para alcançar o ponto de teste <math>P</math>, e depois de <math>3</math> segundos, o nível da água está próximo de <math>7\,m </math> em ambos os casos. Novamente, há um comportamento mais dinâmico em comparação com os resultados de <span id='citeF-8'></span>[[#cite-8|[8]]], que é mais suave com oscilações brandas devido a utilização de termos dissipativos artificiais, enquanto os resultados obtidos pelo esquema híbrido proposto apresentam uma onda de pico que tende a ser atenuada com o tempo, de acordo com o fenômeno físico esperado.
1072
1073
====4.3.2 Campo de Velocidade====
1074
1075
A Fig. ([[#img-9|9]]) compara os resultados de <span id='citeF-8'></span>[[#cite-8|[8]]] e deste trabalho para o campo de velocidade no instante de tempo igual a <math> 7.1 </math> segundos. Os vetores do campo de velocidade estão em muito boa concordância apresentando as mesmas direções, magnitudes (representadas pelos tamanhos das flechas) com um espalhamento pela mesma área ao redor da abertura da comporta.  <div id='img-9a'></div>
1076
<div id='img-9b'></div>
1077
<div id='img-9'></div>
1078
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
1079
|-
1080
|[[Image:Draft_Coelho_632154385-fig9a.png|471px|Campo de velocidade usando o esquema híbrido]]
1081
|[[Image:Draft_Coelho_632154385-fig9b.png|471px|Campo de velocidade apresentado em  <span id='citeF-8'></span>[[#cite-8|[8]]]]]
1082
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
1083
| (a) Campo de velocidade usando o esquema híbrido
1084
| (b) Campo de velocidade apresentado em  <span id='citeF-8'></span>[[#cite-8|[8]]]
1085
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
1086
| colspan="2" | '''Figure 9:''' Comparação do campo de velocidade em torno da abertura da comporta em <math>7.1</math> segundos
1087
|}
1088
1089
===4.4 Considerações===
1090
1091
Apesar das oscilações locais ou da suavidade, os resultados estão em boa concordância geral com as frentes de onda e ondas de depressão de acordo com os dados da literatura, o que reflete a habilidade da abordagem numérica proposta em lidar e capturar o comportamento físico do fluxos de águas rasas que validam o modelo e a abordagem numérica.  É importante enfatizar que, em <span id='citeF-8'></span>[[#cite-8|[8]]] artifícios numéricos foram usados como uma viscosidade artificial para lidar com as oscilações da superfície livre, o que torna o resultado de <span id='citeF-8'></span>[[#cite-8|[8]]] mais difusivo e quase sem flutuações locais no nível da superfície. Por outro lado, neste trabalho, nenhuma abordagem similar foi empregada para lidar com uma possível instabilidade numérica devido à aproximação de tempo de alta ordem.    O esquema de tempo implícito proposto de <math>1^a</math> ordem neste trabalho mostrou-se capaz de capturar o comportamento físico e os gradientes de tempo rígidos sem etapas de tempo proibitivas. E a formulação ''UDS'' em associação com a abordagem ''CDS'' foi capaz de lidar com mudanças abruptas nos campos de variáveis sem instabilidades ou oscilações não físicas. Todas as oscilações de superfície livre têm um significado físico quando as diferenças de velocidade entre as porções distintas da onda são contabilizadas porque essas diferenças compactam a onda e aumentam sua amplitude. Como apontado em <span id='citeF-8'></span>[[#cite-8|[8]]], as oscilações numéricas puras não são amortecidas com o tempo, em vez disso, elas tendem a ser amplificadas com gradientes rígidos, o que faz com que o sistema divirja. Porém fazendo uso do esquema numérico híbrido aqui apresentado, a solução se mantêm suave com resíduos muito baixo, inferiores a tolerância máxima de <math>10^{-11}</math>. Mesmo para grandes intervalos de tempo, não há crescimento no valor destes resíduos, atingindo valores inferiores a tolerância máxima em poucas iterações.
1092
1093
==5 Verificação Numérica==
1094
1095
Uma validação numérica assegura que o modelo é capaz de fornecer uma resposta física correta sob certas condições iniciais e de contorno. No entanto, mais testes são feitos para descobrir se, sob outro cenário, o modelo computacional é capaz de prever o comportamento físico do sistema. Esta etapa, juntamente com a validação anterior, permite definir se o modelo computacional é útil como uma ferramenta preditiva para qualquer fluxo de água superficial sob condições diversas.
1096
1097
===5.1 Teste da condição de leito seco===
1098
1099
Para avaliar a robustez do código, o modelo da seção [[#3 O algoritmo|3]] é considerado, fazendo a razão <math> h_r / h_l </math> tender a zero, isto é, <math> h_r </math> é considerado com uma fina película líquida, como uma ''“wet condition”''. Esta situação é geralmente uma situação física difícil de resolver devido às singularidades que podem surgir nos termos fontes de atrito, e o possível mau condicionamento da matriz de coeficientes devido a valores nulos que surgirão ao longo dos cálculos quando <math>h</math> tende a zero. Nesta situação, as equações de águas rasas tendem a enfraquecer seu significado físico. Em vista disso, <math> h_r </math> não pode ser exatamente zero, e o código deve ser capaz de lidar com essa situação. Na Fig.([[#img-10|10]]), pode-se observar o nível da água para os primeiros <math> 7.1 </math> segundos com <math> h_r / h_l = 0.00002 </math>.  <div id='img-10'></div>
1100
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
1101
|-
1102
|[[Image:Draft_Coelho_632154385-fig10.png|300px|Visão tridimensional da superfície livre em 7.1 segundos após a abertura da comporta com h<sub>r</sub>/hₗ=0.00002]]
1103
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
1104
| colspan="1" | '''Figure 10:''' Visão tridimensional da superfície livre em <math>7.1</math> segundos após a abertura da comporta com <math>h_r/h_l=0.00002</math>
1105
|}
1106
Os valores dos níveis são reproduzidos na Tabela 3, com todas as unidades em metros.            
1107
{|  class="floating_tableSCP wikitable" style="text-align: center; margin: 1em auto;min-width:50%;"
1108
|+ style="font-size: 75%;" |<span id='table-3'></span>Table. 3 Valores de nível de água usando <math>hr/hl=0.00002</math>
1109
|- style="border-top: 2px solid;"
1110
| style="border-right: 2px solid;" |     yx 
1111
| style="border-left: 2px solid;" | <math>0</math>  
1112
| <math>25</math>       
1113
| <math>50</math>     
1114
| <math>75</math>         
1115
| <math>100</math>                
1116
| <math>125</math>                
1117
| <math>150</math> 
1118
| <math>175</math>                
1119
| <math>200</math>
1120
|- style="border-top: 2px solid;"
1121
| style="border-right: 2px solid;" | <math>0</math> 
1122
| style="border-left: 2px solid;" | <math>9.9984</math>  
1123
| <math>9.9274</math>  
1124
| <math>9.1889</math>  
1125
| <math>8.4453</math>  
1126
| <math>0.0303</math>  
1127
| <math>0.8589</math>  
1128
| <math>1.2135</math>  
1129
| <math>0.0002</math>  
1130
| <math>0.0002</math>
1131
|-
1132
| style="border-right: 2px solid;" | <math>25</math> 
1133
| style="border-left: 2px solid;" | <math>9.9904</math>  
1134
| <math>9.8118</math>  
1135
| <math>8.9461</math>  
1136
| <math>8.3330</math>  
1137
| <math>0.4597</math>  
1138
| <math>1.1416</math>  
1139
| <math>1.1143</math>  
1140
| <math>0.0583</math>  
1141
| <math>0.0002</math>
1142
|-
1143
| style="border-right: 2px solid;" | <math>50</math> 
1144
| style="border-left: 2px solid;" | <math>9.9789</math>  
1145
| <math>9.6532</math>  
1146
| <math>8.3391</math>  
1147
| <math>7.3257</math>  
1148
| <math>5.4764</math>  
1149
| <math>3.3378</math>  
1150
| <math>1.9742</math>  
1151
| <math>0.4390</math>  
1152
| <math>0.0002</math>
1153
|-
1154
| style="border-right: 2px solid;" | <math>75</math> 
1155
| style="border-left: 2px solid;" | <math>9.9773</math>  
1156
| <math>9.6221</math>  
1157
| <math>8.1432</math>  
1158
| <math>6.9206</math>  
1159
| <math>5.6710</math>  
1160
| <math>3.7372</math>  
1161
| <math>2.1506</math>  
1162
| <math>0.6072</math>  
1163
| <math>0.0002</math>
1164
|-
1165
| style="border-right: 2px solid;" | <math>100</math> 
1166
| style="border-left: 2px solid;" | <math>9.9848</math>  
1167
| <math>9.7398</math>  
1168
| <math>8.7161</math>  
1169
| <math>8.0375</math>  
1170
| <math>3.4672</math>  
1171
| <math>1.9603</math>  
1172
| <math>1.4454</math>  
1173
| <math>0.1380</math>  
1174
| <math>0.0002</math>
1175
|-
1176
| style="border-right: 2px solid;" | <math>125</math> 
1177
| style="border-left: 2px solid;" | <math>9.9969</math>  
1178
| <math>9.9163</math>  
1179
| <math>9.3453</math>  
1180
| <math>8.9770</math>  
1181
| <math>0.1084</math>  
1182
| <math>0.5429</math>  
1183
| <math>0.6798</math>  
1184
| <math>0.0058</math>  
1185
| <math>0.0002</math>
1186
|-
1187
| style="border-right: 2px solid;" | <math>150</math> 
1188
| style="border-left: 2px solid;" | <math>9.9999</math>  
1189
| <math>9.9950</math>  
1190
| <math>9.8806</math>  
1191
| <math>9.6130</math>  
1192
| <math>0.0002</math>  
1193
| <math>0.0235</math>  
1194
| <math>0.0028</math>  
1195
| <math>0.0002</math>  
1196
| <math>0.0002</math>
1197
|-
1198
| style="border-right: 2px solid;" | <math>175</math> 
1199
| style="border-left: 2px solid;" | <math>9.9999</math>  
1200
| <math>9.9999</math>  
1201
| <math>9.9960</math>  
1202
| <math>9.9728</math>  
1203
| <math>0.0002</math>  
1204
| <math>0.0002</math>  
1205
| <math>0.0002</math>  
1206
| <math>0.0002</math>  
1207
| <math>0.0002</math>
1208
|- style="border-bottom: 2px solid;"
1209
| style="border-right: 2px solid;" | <math>200</math> 
1210
| style="border-left: 2px solid;" | <math>10.000</math>  
1211
| <math>9.9999</math>  
1212
| <math>9.9999</math>  
1213
| <math>9.9996</math>  
1214
| <math>0.00015</math> 
1215
| <math>0.0002</math>  
1216
| <math>0.0002</math>  
1217
| <math>0.0002</math>  
1218
| <math>0.0002</math>
1219
1220
|}
1221
1222
===5.2 Considerações===
1223
1224
Em  <span id='citeF-8'></span>[[#cite-8|[8]]], <span id='citeF-12'></span>[[#cite-12|[12]]] e <span id='citeF-11'></span>[[#cite-11|[11]]] são apontadas as dificuldades em lidar com  modelo que representam leitos quase secos, devido as possíveis singularidades.   O esquema numérico híbrido ''CDS/UDS'' aqui proposto mostrou-se eficaz e com baixo custo computacional para simular escoamentos transientes em  águas rasas para leitos quase secos, o que evidencia a acurácia e robustez do esquema.
1225
1226
==6 Escoamento em um reservatório de contenção subterrâneo: uma aplicação do modelo completo==
1227
1228
Os reservatórios subterrâneos são projetados para zonas urbanas populosas, onde não há lugar para armazenar água da chuva. Eles são construídos com uma rede de pilares de sustentação e canais de drenagem na parte inferior, como ilustrado na Fig. ([[#img-11|11]])   <div id='img-11'></div>
1229
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
1230
|-
1231
|[[Image:Draft_Coelho_632154385-fig11.png|360px|Reservatório de águas pluviais subterrâneas]]
1232
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
1233
| colspan="1" | '''Figure 11:''' Reservatório de águas pluviais subterrâneas
1234
|}
1235
Para testar a solução numérica obtida para as equações completas das águas rasas, analisou-se o fluxo em um reservatório com obstáculos como colunas estruturais, e drenos controlados por saídas estreitas como fendas na barragem.  A topografia de fundo foi considerada com inclinações não nulas e com resistência ao escoamento no fundo do canal, com coeficiente de atrito de Manning <math>N = 0.013 m/s^{1/3}</math>, que quantifica a resistência ao escoamento no fundo do canal para superfícies de cimento, apresentado em <span id='citeF-24'></span>[[#cite-24|[24]]].   O fundo tem a presença de canais que conduzem a água pelas aberturas de saída até uma área aberta sem paredes. Pode-se dizer que o problema considerado é uma composição do problema de abertura instantânea de comportas, para leitos molhado/seco, com topografia mais complexa e configuração de domínio.  A Fig. ([[#img-12|12]]) representa a configuração do domínio físico. O domínio consiste em um reservatório retangular de <math> 12 m \times 24  m </math> de dimensão com nove pilares de sustentação. <div id='img-12'></div>
1236
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
1237
|-
1238
|[[Image:Draft_Coelho_632154385-fig12.png|600px|Domínio físico do reservatório subterrâneo]]
1239
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
1240
| colspan="1" | '''Figure 12:''' Domínio físico do reservatório subterrâneo
1241
|}
1242
Como ilustrado na Fig. ([[#img-13|13]]), a parte inferior do reservatório possui dois canais de drenagem com seção trapezoidal e um declive sutil em direção às fendas da barragem.  <div id='img-13a'></div>
1243
<div id='img-13b'></div>
1244
<div id='img-13'></div>
1245
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
1246
|-
1247
|[[Image:Draft_Coelho_632154385-fig13a.png|471px|representação tridimensional do fundo]]
1248
|[[Image:Draft_Coelho_632154385-fig13b.png|471px|Perfil frontal do fundo do reservatório]]
1249
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
1250
| (a) representação tridimensional do fundo
1251
| (b) Perfil frontal do fundo do reservatório
1252
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
1253
| colspan="2" | '''Figure 13:''' Topografia do fundo do reservatório
1254
|}
1255
As configurações da topografia do fundo são  descritas por <math>z_0</math> na Eq.([[#eq-62|62]]).
1256
1257
<span id="eq-62"></span>
1258
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1259
|-
1260
| 
1261
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1262
|-
1263
| style="text-align: center;" | <math> z_0(x,y,t)= \left\{\begin{array}{lll} 0.2, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\textrm{se} \,\,\,\,0\leq \,x\,\leq 0.5 \,\,\,\textrm{e}\,\,\,\,0\leq \,y\,\leq 8,\\ \\ 1.2-2x,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\textrm{se} \,\,\,\,0.5<\,x\,<0.6\,\,\,\textrm{e}\,\,\,\, 0\leq \,y\,\leq 8,\\ \\ 0.0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\textrm{se} \,\,\,\,0.6\leq \,x\,\leq 0.9\,\,\,\textrm{e}\,\,\,\, 0\leq \,y\,\leq 8,\\ \\ -1.8+2x,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\textrm{se} \,\,\,\,\,0.9<\,x\,<1.0\,\,\,\textrm{e}\,\,\,\, 0\leq \,y\,\leq 8,\\ \\ 0.2, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\textrm{se} \,\,\,\,1.0\leq \,x\,\leq 11.0\,\,\,\textrm{e}\,\,\,\,0\leq \,y\,\leq 8,\\ \\ 22.0-2x,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\textrm{se} \,\,\,\,11.0<\,x\,<11.1\,\,\,\textrm{e}\,\,\,\, 0\leq \,y\,\leq 8, \\ \\ 0.0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\textrm{se} \,\,\,\,11.1\leq \,x\,\leq 11.4\,\,\,\textrm{e}\,\,\,\, 0\leq \,y\,\leq 8,\\ \\ -22.8+2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\textrm{se} \,\,\,\,11.4<\,x\,<11.5\,\,\, \textrm{e}\,\,\,\,0\leq \,y\,\leq 8,\\ \\ 0.2, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\textrm{se} \,\,\,\,11.5\leq \,x\,\leq 12.0\,\,\,\textrm{e}\,\,\,\, 0\leq \,y\,\leq 8,\\ \\  0.0, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\textrm{se} \,\,\,\,0\leq \,x\,\leq 12.0\,\,\,\textrm{e}\,\,\,\, 8.15\leq \,y\,\leq 24.\\  \end{array} \right.  </math>
1264
|}
1265
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (62)
1266
|}
1267
1268
No reservatório, o nível da água está inicialmente em repouso e tem <math> 2.5\,m</math> de profundidade, enquanto na zona de inundação, há apenas uma camada fina de água, ou seja, “wet condition”, a altura da água é tão pequena quanto possível, como foi testado na Seção 5.1. Neste caso, a razão fixada é <math> h_r / h_l = 0.0002 </math>, como mostrado na Fig. ([[#img-14|14]]). Todas as condições de contorno para o nível da água são as mesmas do problema apresentado na Seção [[#4 |4]].  <div id='img-14'></div>
1269
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
1270
|-
1271
|[[Image:Draft_Coelho_632154385-fig14.png|300px|Condições iniciais para o nível da água]]
1272
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
1273
| colspan="1" | '''Figure 14:''' Condições iniciais para o nível da água
1274
|}
1275
Com relação aos componentes de velocidade, é necessário dizer que: como as paredes do reservatório, os pilares e paredes laterais do domínio externo são considerados impermeáveis; o fluxo da água que é armazenada no reservatório ocorre apenas nas saídas da parede norte do reservatório e na extremidade norte do domínio externo, como indicado na Fig. ([[#img-12|12]]). Mais precisamente, a componente de velocidade <math>u</math> nas paredes internas leste-oeste e nos contornos internos é nula, enquanto a componente de velocidade <math>v</math> é considerada nula no limite sul e nos limites internos norte-sul. Por outro lado, nos contornos norte-sul para a componente <math>u</math> e nos contornos leste-oeste para o componente <math>v</math> respectivamente, é adotada a condição de Neumann nula, como na Seção [[#4 |4]].  Para o domínio externo, uma vez que existem apenas paredes laterais, o fluxo é livre para todos os pontos da extremidade norte. Essa condição de contorno é descrita pelas expressões:
1276
1277
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1278
|-
1279
| 
1280
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1281
|-
1282
| style="text-align: center;" | <math> v(x,24,t)=Ch^{\frac{1}{2}}(x,24,t),\,\,\,\,\,\, t\neq 0,\,\,\,\,\,\,0\,\leq \,x\leq \,12, </math>
1283
|}
1284
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (63)
1285
|}
1286
1287
{| class="formulaSCP" style="width: 100%; text-align: left;" 
1288
|-
1289
| 
1290
{| style="text-align: left; margin:auto;width: 100%;" 
1291
|-
1292
| style="text-align: center;" | <math> \frac{\partial }{\partial x} u(x,24,t) = 0,\,\,\,\,\,\, 0\,\leq \,x\leq \,12, </math>
1293
|}
1294
| style="width: 5px;text-align: right;white-space: nowrap;" | (64)
1295
|}
1296
1297
sendo <math>C=1.0(2g)^{\frac{1}{2}}</math> um coeficiente arbitrário, <math>h(m)</math> o nível da água e <math>g(m/s^2)</math> a aceleração da gravidade.  Para a simulação computacional do modelo proposto utilizamos uma malha estruturada, de espaçamento <math>  \Delta \, x = \Delta y = 0.05\,m, </math> no espaço bidimensional, com intervalo de tempo de <math> \Delta \, t = 0.001\,s</math>. Como há uma topografia especificada na parte inferior do reservatório, é necessário estabelecer uma condição compatível com a física do modelo: se o nível da água atingir o fundo do reservatório, o fluxo será considerado nulo neste ponto. Mais precisamente se, <math> h(x, y, t)> z_0 (x, y, t) </math> os cálculos para <math> h, u, v </math> são feitos para o próximo passo de tempo, caso contrário faz-se: <math> h (x , y, t) = z_0 (x, y, t) </math> e as componentes de velocidade são anuladas neste ponto.  O volume de fluido armazenado no interior do reservatório foi calculado em cada ponto de tempo. E foi estabelecido como critério de parada no código, o volume mínimo <math> V = 0.01 \, m^3. </math>
1298
1299
===6.1 Resultados===
1300
1301
Devido às aberturas na parede norte do reservatório, há um declínio no nível da água dentro do reservatório e ondas de elevação no domínio externo, especialmente nas proximidades das aberturas.  A Fig. ([[#img-15|15]])  é uma representação em perspectiva da superfície da água em todo o domínio para <math> t = 21 \, s </math> e <math> t = 70 \, s </math> após a abertura das saídas. <div id='img-15a'></div>
1302
<div id='img-15b'></div>
1303
<div id='img-15'></div>
1304
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
1305
|-
1306
|[[Image:Draft_Coelho_632154385-fig15a.png|582px|t=21\,s]]
1307
|[[Image:Draft_Coelho_632154385-fig15b.png|582px|t=70\,s]]
1308
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
1309
| (a) <math>t=21\,s</math>
1310
| (b) <math>t=70\,s</math>
1311
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
1312
| colspan="2" | '''Figure 15:''' Visão tridimensional do nível da água após o início do despejo
1313
|}
1314
A representação gráfica do campo vetorial é usada para a análise da intensidade e direção do fluxo, em cada ponto da malha. A Fig. ([[#img-16|16]]) mostra as direções e a intensidade do fluxo nos primeiros <math> 4 \, s </math> do fluxo. Observa-se que a direção do fluxo ocorre de dentro para fora do reservatório, a partir das saídas,  com gradientes mais acentuados próximos às aberturas.  <div id='img-16a'></div>
1315
<div id='img-16b'></div>
1316
<div id='img-16c'></div>
1317
<div id='img-16d'></div>
1318
<div id='img-16'></div>
1319
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
1320
|-
1321
|[[Image:Draft_Coelho_632154385-fig16a.png|474px|t=1\,s]]
1322
|[[Image:Draft_Coelho_632154385-fig16b.png|474px|t=2\,s]]
1323
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
1324
| (a) <math>t=1\,s</math>
1325
| (b) <math>t=2\,s</math>
1326
|-
1327
|[[Image:Draft_Coelho_632154385-fig16c.png|474px|t=3\,s]]
1328
|[[Image:Draft_Coelho_632154385-fig16d.png|474px|t=4\,s]]
1329
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
1330
| (c) <math>t=3\,s</math>
1331
| (d) <math>t=4\,s</math>
1332
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
1333
| colspan="2" | '''Figure 16:''' Campo de velocidade nos primeiros <math>4</math> segundos
1334
|}
1335
Para <math> t = 15 \, s </math> observa-se que ainda não há fluxo na região estreita à frente da parede norte do reservatório, nas seções onde não há aberturas. Por sua vez, nas regiões à frente das aberturas, o fluxo é mais acentuado e o campo de velocidade assume um perfil hiperbólico no domínio externo, como na Fig. ([[#img-17|17]])a. Por outro lado, como mostra a Fig. ([[#img-17|17]])b, a magnitude do vetor velocidade torna-se menos acentuada e mais uniforme, após <math> 70 \, s </math> de simulação do fluxo. <div id='img-17a'></div>
1336
<div id='img-17b'></div>
1337
<div id='img-17'></div>
1338
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
1339
|-
1340
|[[Image:Draft_Coelho_632154385-fig17a.png|471px|t=15\,s]]
1341
|[[Image:Draft_Coelho_632154385-fig17b.png|471px|t=70\,s]]
1342
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
1343
| (a) <math>t=15\,s</math>
1344
| (b) <math>t=70\,s</math>
1345
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
1346
| colspan="2" | '''Figure 17:''' Campo de velocidade após o início do despejo
1347
|}
1348
O perfil transversal do nível da água pode ser analisado em um determinado instante de tempo. Na Fig. ([[#img-18|18]]), o perfil <math> h (0,75, y) </math> é representado para <math> t = 10 \, s </math>. Uma inclinação significativa no nível da água é observada na faixa de <math> 8 \, m <y <8.15 \, m </math>, o que era esperado devido à condição inicial descontínua imposta.  <div id='img-18'></div>
1349
{| class="floating_imageSCP" style="text-align: center; border: 1px solid #BBB; margin: 1em auto; width: 100%;max-width: 100%;"
1350
|-
1351
|[[Image:Draft_Coelho_632154385-fig18.png|240px|Perfil do nível de água em uma linha de amostra em x = 0.75\,m para t = 10\,s ]]
1352
|- style="text-align: center; font-size: 75%;"
1353
| colspan="1" | '''Figure 18:''' Perfil do nível de água em uma linha de amostra em <math>x = 0.75\,m</math> para <math>t = 10\,s</math> 
1354
|}
1355
O código implementado foi utilizado para análises como: variação de volume no reservatório em função do tempo, o comportamento do fluxo ao redor dos pilares e na vizinhança das paredes. Em todas essas análises, os resultados obtidos são satisfatórios e consistentes com a física do problema.
1356
1357
==7 Conclusões==
1358
1359
Foi proposto um método de volume finito implícito de <math>1^a</math> ordem com uma discretização híbrida CDS/UDS para resolver as equações completas de águas rasas. O algoritmo mostrou-se capaz de lidar com fortes problemas instáveis como a abertura instantânea de comportas, vazão em topografias não uniformes com condição ''dry/wet'', com e sem condições de saídas.  Os resultados mostram boa concordância com a literatura com dinâmica de frente de onda mais complexa. Essas diferenças locais são explicadas devido à ausência de artifício numérico, como a viscosidade artificial, que amortece o comportamento da superfície livre e suaviza as ondas.  A formulação numérica proposta tem a vantagem de ser mais fácil de codificar em comparação com aquelas disponíveis na literatura e, além disso, o apelo físico para a conservação de fluxo que é característica do método de volumes finitos, torna-se uma opção com a mesma precisão física, porém  simples e rápida para ser implementada. A convergência do método iterativo de Gauss-Seidel, mesmo impondo máximo residual muito pequeno, é obtida com poucas iterações, o que garante baixo custo computacional.  Como ferramenta preditiva, o modelo computacional tem mostrado bons resultados desde a configuração simples até a mais complexa, com precisão e robustez.  A solução numérica obtida pode ser usada para simular fluxos sobre topografias reais encontradas na natureza.
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==8 Declaração de disponibilidade de dados==
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Todos os dados, modelos ou códigos gerados ou utilizados durante o estudo estão disponíveis pelo autor correspondente por solicitação.  Lista de itens:
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* o algoritmo utilizado para obtenção da solução numérica híbrida proposta;
1366
* o arquivo de dados da Tabela 2;
1367
*  o arquivo de dados da Tabela 3;
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* os dados usados para gerar as figuras.
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==Agradecimentos==
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Este estudo foi financiado em parte pela Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Finance Code 001.   Os autores agradecem também ao Departamento de Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR), Campus Campo Mourão e ao Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos (PPGMNE) da Universidade Federal do Paraná (UFPR).
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==9 Referências==
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Published on 02/04/20
Accepted on 30/03/20
Submitted on 20/08/19

Volume 36, Issue 2, 2020
DOI: 10.23967/j.rimni.2020.03.007
Licence: CC BY-NC-SA license

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